Вариационный метод решения задач фильтрационной консолидации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

М

I

ДРОБОТЕНКО Михаил Иванович

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.Д.ЛЯШКО,

доктор физико-математических наук, А.В.КОСТЕРИН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент А.В.ЛАПИН,

кандидат физико-математических наук, Н.В.АРДЕЛЯН.

Ведущая организация: Московский энергетический институт.

Защита состоится " 1992 г. в 14 часов на

заседании специализированного Совета по математике К 053.29.С в Казанском государственном университете по адресу: 420006, г.Казань, ул.Ленина,- 18,,корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г.Казань, ул.Ленина, 18).

Автореферат разослан "_"_ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доцент

Б.Н.Шапуков

I. Общая характеристика работы.

Актуальность. Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. Большинство из этих процессов описывается, как' правило, при помощи задач математической физики, решение которых требует численных методов. К числу таких задач относятся задачи теории фильтрационной консолидации.

Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия деформируемой пористой среды Сскелета) и фильтрации насыщающей ее жидкости под действием внешних сил.

Теория фильтрационной консолидации охватывает задачи об осадке сооружений на насыщенных грунтах, задачи о взаимодействии с пористым скелетом достаточно мощного фильтрационного потока. Такие задачи встречаются в гидротехнике С фильтрация через ■ тело высотной земляной плотины) и в химической технологии Стеория химических реакторов, фильтрационное разделение волокнистых суспензий).

Становление и развитие теории фильтрационной консолидации связано с работами К.Терцаги, В.А.Флорина, Н. М. Герсеванова, Н. А. Цытовича, Ю. К. Зарецкого, М. Био, В. Н. Николаевского*^ и других авторов. Ими построены

Терцаги К. Строительная механика грунтов.-М.:Госстройиздат, 1953: Флорин В. А. Основы механики грунтов.-М,: Госстройиздат, т. 1,1959,т.2,1961; Герсеванов Н.М. Основы динамики грунтовой массы.-М.:ОНТИ, 1937; Цытович H.A. Основы механики грунтов. -М.: Госстройиздат, 1943; Biot М. A.Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous mediae/Journal of Applied Physics,1962.-33, N 4;Николаевский В.H. Механика пористых и трещиноватых сред.- М. : Недра,19S2.

математические модели фильтрационной консолидации, проделан анализ уравнений механики насыщенных пористых сред с позиций механики сплошных, сред. Для ряда задач в областях простой геометрии при упрощающих предположениях о происходящих при консолидации процессах получено аналитическое решение, проведены численные расчеты.

Учет нелинейности физических процессов, пространственной неодномерности и сложной геометрии области приводит к более сложным моделям, чем в перечисленных работах. Решение возникающих при этом задач представляется возможным получить лишь на основе универсальных численных методов, например, конечноразностных или методов конечных элементов.

Цепь работы. Настоящая работа посвящена исследованию достаточно общих нелинейных моделей фильтрационной консолидации в постановке А.В.Костерина. Рассмотрены вопросы корректности этих моделей; полученные при этом результаты использовались для по 5троения и обоснования численных методов решения рассматриваемых задач.

Методика исследования. При исследовании задач и численных методов их решения использовались методы выпуклого анализа, вариационные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и методы теории операторных дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Дана постановка обобщенной задачи фильтрационной консолидации для среды Кельвина-Фойгта, доказаны существование и единственность обобщенного решения, доказана непрерывная зависимость обобщенного решения от данных задачи. Аналогичные результаты получены

для среды типа Максвелла. Предложен и обоснован численный метод решения задач фильтрационной консолидации.

Практическая ценность. Проведенные в диссертационной работе исследования и разработанные численные мет ы могут быть использованы при решении ряда конкретных задач теории фильтрационной консолидации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математическое моделирование и прикладная математика", Москва, 1990 г. ; на 2-й всесоюзной конференции "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика", Звенигород, 1990 г.; на X всесоюзном семинаре "Фильтрация многофазных сред", Новосибирск, 1990 г. ; на всесоюзной конференции "Математическое моделирование. Вычислительный эксперимент", Казань, 1991 г. ; на семинарах отдела фильтрации НШММ им. Н.Г.Чеботарева Срук. доктор физ.-мат. наук Е.Г.Шешуков) и отдела механики пористых сред Срук. доктор физ. -мат. наук Э. В. Скворцов), а также на итоговых научных конференциях'КГУ С1990-1992 г.г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 11-4].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 58 наименований. Работа изложена на 94 страницах и включает 10 рисунков.

Диссертационная работа выполнена по тематике кафедры вычислительной математики КГУ CN гос. per. 81009013).

В диссертации приведены результаты, полученные только автором.

П. Содержание работы.

Во введении приводится краткий обзор работ, примыкавших к тематике диссертации,, и изложены осноьные результаты работы.

В первой главе, содержащей 6 параграфов, исследуется задача фильтрационной консолидации для среды Кельвина-Фойгта.

Б §1 приводится математическая модель процесса фильтрационной консолидации.

Математическая модель включает в себя

- уравнение движения

*У1 - ^ - 0;

- реологическое соотношение типа Кельвина-Фойгта

дР. д<р

СТ. = '- + -;

- закон фильтрации насыщающей жидкости

7Р

ч = - Г1 С ¡7Р1-ЭЗ-

¡УР1

- уравнение неразрывности

д8

сИУ а + — = 0; сЛ -

- граничные условия для пористого скелета

- ру. = п, , хеГр.; и, = 0, хеГи;

- для фильтрационного потока

Ф

Р=Р0. ^Т = 0,Х€Гч;

- начальное условие

и(х,0) = иоСх), хеС). Здесь от, £, е - соответственно тензоры эффективных напряже-

ний, деформаций и скоростей деформации в скелете; q. р -скорость фильтрации и давление хидкости; 8 = div и, и -вектор макроперемещений скелета; F=FCc), p=p(s,e) - упругий и дкесипативный потенциалы.

Параграф 2 носит вспомогательный характер.

В этом параграфе определены необходимые функциональные пространства и приведены результаты, которые будут использованы в дальнейшем.

В §3 дается определение обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации.

Обобщенным решением задачи фильтрационной консолидации называется функция usC1 ССОД],Vo), являющаяся решением задачи Коши

Эи

—С tí = GCtíuCtí, иСО) = и .

dt 0

Для определения оператора G рассматривается функционал

h 1

JCt.u.v.q) = jítix - JrtjVjdT + J JfC0,7?3d77dx + П Га По

+ Je div v+div q)2dx + Jpoqndr.

0 ГР

Здесь u,vqVo, q<=Wo, 7i=7r(tí, p0=p0(tí, 9=dlv u, |q|2=q1q1.

ФСs.eí = p + <е,а/Сс)> , p = pCe.eí, F = FC«Í,

dv. av. ди. da.

2e. . = —- + —i- , Ее, . = —- + —■»- ,

1J a?, atj ÍJ axj ax,

V = (W icn))? P = {peW ^cm, ^ = 0. xerj, W = (q ■= Cq,)i=1 . qj<íLaCro, div qcL^CCl],

Ы% = {С^+СсИУ П

V 0, н€Гч}, Уо = V = О, х€Гц}.

М = . уеУ0, q6Wo. сИу у-'.СИУ д = о}.

Приведены условия, которым должны удовлетворять функции р, Г, Г, п, р0 и ио и доказана лемма 3.1, в которой утверждается, что при выполнении этих условий функционал J является сильно выпуклым по Су,ч)<=М, из чего следует, что задача

СУ,Ч)«=М имеет единственное решение.

На основании этого' результата вводится оператор

в: [0,Т]хУо Уо, определенный следуадим образом:

вСОи = V, если Л^и.у.ср = з.пГ Л^и.у.ч).

(у,Ч)«=М

В следующих параграфах этой главы исследована разрешимость обобщенной задачи и другие ее свойства. -Далее вводится функционал

ЛрСии.у.ц.р] = Лии.у.ч) - |рСсПу У+сйу ЧЫХ.

П

Доказано С лемма 3.2), что существует такое р€Р, что решение задачи

^ Д^и.у.ч) (у.чЗеМ является решением задачи

з.пГ у,ч,р).

0 0

Этот результат будет использован в § 4.

Параграф 4 посвящен исследование связи обобщенного и классического решений задачи фильтрационной консолидации. Именно, доказано (теорема 4.1), что классическое решение

задачи, если оно оущеотвует, при некоторых дополнительных условиях является обобщенным. С другой стороны если функции р и F удовлетворяют некоторым условиям гладкости и само обобщенное решение является достаточно гладким Cu€C' ÜO,T],V0J), то оно является классическим решением задачи С теорема 4.23.

Ü §3 доказана разрешимость обобщенной задачи.

Вначале доказано Слемма 5.1, теорема 5.2), что оператор G является непрерывным по ШО,Т] для любого u«V0 и липшиц-непрерывным по u«=V0 для любого ШО.Т]. Это условие является достаточна.; для существования единственного обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации (теорема 5.33.

В §6 доказана теорема, в которой утверждается, что обобщенное решение непрерывно зависит от данных задачи.

Вторая глава посвящена численному решению задачи фильтрационной консолидации, исследованной в первой главе.

В §1 вводится приближенное решение обобщенной задачи.

Обозначим через Vh, Wh, Ph - конечномерные пространства, аппроксимирующие V , W0 и Р соответственно, Vh я V0> Wh S Wo, Ph £ Р, f^ = М Л CVhxWh); N>0, г = Т/Н.

Приближенным решением обобщенной задачи называется последовательность 1=0, N, определенная следующим

образом:

uheVh аппроксимирует ч", uh*I=uh+rvh' 1=0>N~1> где v^«=Vh решение задати

Inf JCt1 .<.vh.qh>.

В §2 доказана сходимость приближенного решения к точному.

В §3 исследован алгоритм Удзавы решения приближенной задачи.

Из результатов главы 1 следует, что функция cVo, доставляющая минимум функционалу JCt1 , u1 ,v,q) на множестве М, является компонентой седловой точки функционала

§Cv,q,p) = JCt1 .u1 ,v,q) - JpCdiv v+div q)dx.

Q

Алгоритм Удзавы поиска седловой точки функционала §Cv,q,p) состоит в следующем:

1. В качестве р° берется произвольный элемент из Р.

2. Если рт известен, то в качестве V", qn выбираются

элементы, доставляющие минимум функционалу SCv.q.p"1),

veVo, q€Wo.

3. рт+1 = pm - pmSCvjn,qm), где pm удовлетворяет неравенству npI - 8kpm < p0, po > 0.

Алгоритм Удзавы хорошо известен. В настоящей работе при несколько более общих, чем обычно, условиях доказана сходимость алгоритма Удзавы, то есть показано, что v® -♦ v в V, qm -> q в W при m -» ш, где Cv,q,p) - седловая точка функционала $Cv,q,p). Аналогичный результат справедлив и для функционала §Cvh,qh,ph), vheVh, qheWh, ph«=Ph.

В §4 приведены результаты численных расчетов.

Для численного решения обобщенной задачи был использован метод конечных элементов с точным интегрированием на основе линейных треугольных элементов. При этом задача минимизации

Inf 5Cv,q,pm) v €Vh,q€Wh

из пункта 2 алгоритма Удзавы решалась о помощью градиентного метода. Дифференциал Гато функционала ?Су,ч,р) был вычислен при доказательстве теоремы 4.3 главы 1.

Для реализации предложенного алгоритма была составлена программа для ЭВМ. Приведены результаты решения модельной задачи.

В третьей главе, содержащей два параграфа, исследуется задача фильтрационной консолидации для среды типа Максвелла.

В §1 приведена математическая модель процесса фильтрационной консолидации для среды типа Максвелла.

Она отличается от случая среды Кельвяна-Фойгта реологическим соотношением, которое для среды типа Максвелла имеет вид

I

д? др г

ст. 4Ш = - + - + В. ,. , С5)с15.

Параграф 2 посвящен исследованию обобщенной задачи.

Обобщенным решением называется функция иеС', являющаяся

решением задачи Коши Зи

—Ш = вСОи, иСОЭ = и . 31 0

Для определения оператора в вводится функционал

1ч 1

дии.у.ч:) = |<Мх - ^^¿г + | ^(б.т^сМх + П Гц. По

+ |ссйу У+С11У Ч^Х + |р0ЧпйГ.

п гр

Здесь

шгС'^С'аО.Т] V ), УбУ , чеУ , я=лси, р =р си, 0=сИу иси,

О О ^ О г О * С

iCt,e,e) = p + <e.6eF> +<e, jBCt-s)£Cs)ds>,

0

p =. F = FCe3, e = eCt),

öv, öv, Эи, Эи.

- 2e. . = —+ —^ . = —i- + —¡- . 1J öXj dxi *J öXj Ätt

Оператор G:[0,T]xC' Vo, определяется следующим образом:

GCt)u - v если JCt,u,v,q} = inf JCt,u,v,qD.

Cv,q)«=M

Доказано Стеорема 2.1), что обобщенное решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.

Установлено, что классическое решение задачи фильтрационной консолидации, если оно существует, при определенных условиях является обобщенным Стеорема 2.2), а достаточно гладкое обобщенное при некоторой дополнительной гладкости р и F является классическим Стеорема 2.33.

Выделим основные результаты диссертационной работы.

1. Дана постановка обобщенной задачи фильтрационной консолидации для среды Кельвина-Фойгта, проведено ее исследование:

- доказаны существование и единственность обобщенного решения;

- доказана непрерывная зависимость обобщенного решения от данных задачи;

~ установлена связь между обобщенным и классическим решениями задачи.

2. Дана постановка обобщенной задачи фильтрационной консолидации для срегды Максвелла, установлена его связь с классическим решением, доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения от данных задачи.

3. Предложен и обоснован численный метод решения задач фильтрационной консолидации, основанный на аппроксимации исходной задачи конечномерной,

Ш. Публикации по теме диссертации.

1. Дроботенко М. И., Костерин A.B. Вариационный подход к исследованию задачи нелинейной фильтрационной консолидации/ Казан.ун-т.-Казань,1990.-32с.-Деп. в ВИНИТИ 7.05.90,N 2353 -В90. '

2. Дроботенко М.И. , Костерин A.B. Исследование фильтрационной консолидации путем сведения к задаче Коши для смещений скелета. -Казань:НИИММ,1991. -Препринт Iü.-34с.

3. Дроботенко М. И. , Ляшко А. Д. Численное решение задачи фильтрационной консолидации//Тезисы докладов конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент": -Москва,1991. -С.26.

4. Дроботенко М. И. . Ляшко А. Д. Приближенное решение задачи фильтрационной консолидации//Изв. ВУЗсв, сер. Математика, N3,1992.- с.