Разностные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Рунг Елена Владимировна

УДК 519.63

РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НАСЫЩЕННО-НЕНАСЫЩЕННОЙ

ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНСОЛИДАЦИИ 01.01.07—вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2004

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина».

Научный руководитель:

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор М.Ф. Павлова

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Костерин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор П.Н. Вабищевич

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Егоров

Ведущая организация - Ростовский государственный университет

Защита диссертации состоится " 25 " ноября 2004 г. в 77 часов на заседании диссертационного Совета К 212.081.07 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан октября 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

АгачевЮ.Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. При математическом моделировании большинства этих процессов возникают весьма сложные, часто нелинейные, задачи математической физики, решение которых возможно получить лишь с использованием численных методов. К числу таких задач относятся задачи фильтрационной консолидации.

Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия пористой среды (скелета) и насыщающей ее жидкости под действием внешних сил. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры среды оказываются полностью занятыми жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации — в противном случае.

Наиболее полно исследованы задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Основы этой теории заложены в работах К. Терцаги, Н.М. Гер-севанова, Ю.К. Зарецкого, М. Био, В.Н. Николаевского и других авторов. Строгий математический анализ задач насыщенной фильтрационной консолидации содержится в работах А. В. Костерина, М.И. Дроботенко, Р.З. Даутова, А.Д. Ляшко. Исследованию разностных схем решения некоторых задач насыщенной фильтрационной консолидации посвящены работы П.Н. Вабищевича, F.J. Gaspar, F.J. Lisbona.

С помощью модели насыщенной фильтрационной консолидации могут быть описаны процессы осадки сооружений на насыщенных пластах, процессы деформирования пористого скелета под воздействием достаточно мощного фильтрационного потока и другие. При этом полагается, что в каждый момент времени во всей области исследования поры скелета полностью заняты жидкостью (зоны полного насыщения). Если же рассматривается, например, задача о разгрузке пористого пласта, то для ее описания используется более сложная модель, допускающая присутствие

в расчетной области как зон полного, так и неполного насыщения. Эта модель предложенная в 1998 г. А.В. Костериным и получившая название задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации с точки зрения исследования вопросов ее корректности и методов численного решения изучена слабо.

Цель работы. Исследование обобщенной разрешимости задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, исследование сходимости разностных схем, построение эффективных итерационных методов решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

Методика исследований. При доказательстве теоремы существования используется метод полудискретизации, метод Галеркина и метод штрафа. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного функционального анализа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматорных тождеств. Исследование сходимости разностных схем основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах Соболевских пространств и последующем предельном переходе в сумматорных тождествах.

Научная новизна. В диссертации сформулировано понятие обобщенного решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, доказана теорема существования обобщенного решения, исследована связь между классическим и обобщенным решениями задачи, построена неявная разностная схема и доказана теорема о сходимости неявной разностной схемы к обобщенному решению задачи, построены и с помощью численных экспериментов исследованы итерационные методы решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Обобщенная формулировка задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

2. Теорема существования обобщенного решения.

3. Теорема о сходимости неявной разностной схемы.

4. Итерационные методы решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

Практическая значимость. Разработанные в диссертации численные методы могут быть использованы при решении конкретных задач теории фильтрационной консолидации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на шко ле-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (Казань, 16-22 июня 1997 г.), на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики" (Казань, 18-21 сентября 1998 г.), на Всероссийской молодежной школе-конференции "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач" (Казань, 26 сентября - 1 октября 1999 г.), на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 17-22 апреля 2000 г.), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики" (Казань, 18-21 сентября 2000 г.), на минисимпозиуме "Recent Advances in Multi-Phase Flow in Porous Media" (Казань, 24-26 августа 2004 г.), на Пятом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 17-21 сентября 2004 г.), на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (1996-2000 г.г.), на семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы, содержащего 63 наименования. Работа изложена на 117 страницах.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность изучаемой темы, сформулированы цели работы, приведен обзор результатов, примыкающих к тематике диссертации, кратко изложено содержание работы.

В первой главе, содержащей три параграфа, исследуется корректность задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

В первом параграфе первой главы дается постановка задачи. Рассматриваемая модель включает уравнение равновесия

-div <r' + V(p+ - ms(p)p~) = f(s(j>))

(1)

:0.

(2)

и условие совместного деформирования фаз

Здесь m - пористость, сг? - тензор эффективных напряжений, и - вектор перемещений упругой среды, р - давление, q - скорость фильтрации, s(p) - насыщенность. Вектор-функция f{s(p)) определяет плотность массовых сил, р+ = (|р| + р)/2, р~ = р+ - р.

Полагается, что насыщенность s - заданная функция давления р, скорость фильтрации q связана с р следующим законом

q = -b{s{p)){Vp -pig),

Pi - плотность жидкости, д - ускорение свободного падения. Предполагается, что

тветственно, А и

(3)

(4)

- тензор деформации и тензор скоростей деформации соответственно, А и В — линейные операторы, действующие в пространстве симметричных тензоров второго ранга.

Задача (1) -(4) рассматривается в области П с липшицевой границей Г = Ti U Г2 U Гз, где Ti — гладкая кривая, лежащая в полуплоскости х2 < 0, соединяющая точки (-а,0) и (а, 0),

Г2 = {(хь х2) е Г| х2 = 0, ai <| xi |< а}, Г3 = {(яъяг) € Г| хч = 0, I Ii |< а! < а},

Предполагаются выполнеными следующие граничные условия:

u,(x,t) = 0, х € iy, (5)

4 = 0, г€Г3иГ2; -а{2 + р+ - та(р)р- = | * 6 (6)

[ F(t), х е Гз;

gn(x,í) = 0, же Ti; (7)

p{x,t)q2{x,t) = 0, p(x,t)< 0, <z2(x,t)>0, хеГ2; (8)

p{x,t) = 0, хеГ3. (9) Начальные условия задаются в виде:

u,(z,0) = u°t{x), (р(х,0))" =pö{x).

Предполагается, что функции s(p), b(s) и операторы А, В удовлетворяют следующим условиям:

(Ni) s(r/), b{q) - непрерывные неубывающие функции;

(N2) 0 < s(f?) < 1, 0 < Ь(т}) < 1 VrjeR, кроме того, 6(1) = 1;

(n3) i S(V)tj |< ci VTJ < 0, s(j?) = 1 vi? > 0; р

(N4) функция D(p) = J b(s(£))d£ непрерывная и взаимно однозначная о

на R]

(N5) операторы Am В- линейные, симметричные и положительно определенные, действующие из Нз в Яз.1 (Kg) функции /,-, i — 1,2, непрерывны на [0,1].

lH¡ - евклидово пространство симметричных тензоров второго ранга.

Во втором параграфе дается обобщенная формулировка задачи, доказывается теорема, устанавливающая связь между обобщенным и классическим решениями задачи.

Обобщенным решением задачи (1)-(9) называется тройка функций {щ,и2,р} таких, что

^^ О

е ¿2(0,и,(х,0) = и°,(х) пв. на П, г = 1,2,

ш

(р(х,0))~ = Ро(х) п.в. на П, р

= Л(р) = I Ь(*((№ е £2(0, Т; К),

(10)

для любых функций v, 6 ¿г(0, Т; У) выполнены равенства т , 2 ч т

о п ; о гг

+¿,211 г = 1,2,

О Г|

(И)

для любой функции г € ¿г(0,Г; К), имеющей производную — € ¿2(<3т). и любой неотрицательной функции а(£) € С1([0, Т]) такой, что а(Т) = О, справедливо неравенство т

гца(р)9 <*(<)(* - и>) + Уш • У(а(0(г - ъи)) \dxdti-

о я

+М5(р), а(ф - «,)] >11 Ь(8(р)) рх д2 9{а{г)^2 (12)

о п

Здесь V - замыкание гладких функций, равных нулю вблизи Гь в нор-

о

ме пространства (Я), V1 - замыкание гладких функций, равных нулю

вблизи Гз, в норме того же пространства,

К = | ™{х) < 0, п.в. на Г2|,

[тпд{8{р), a(t)(z-w)] = j J mФ(w)дta(t)dxdt - ^ J т.<;(р)д1(аг)с1х(И + о п о п

+ УтФ(ш(-ро))а(0)йх - £тз[-рд)г(х,0)а(0)(1х, п п

где Ф(£) = [ <р'(()(с1(, <р(() ~ ар-1®), 5 - единичный тензор, /о

Теорема 1. Пусть (щ,и2,р) — решение задачи (1)-(9), удовлетворяющее условиям

ди' °

«,,— €/*((>, Г; У) г = 1,2,

V

= т = I Ь(з(0№ 6 Ь2(0,Т;К),

ю

о

тогда («1, П2,р) являются обобщенным, решением задачи.

Обратно, если {и\^щ,р) — обобщенное решение задачи (1)-(9), обладающее гладкостью, необходимой для классического решенья, то функции щ,и2,р удовлетворяют соотношениям (1)-(9).

В третьем параграфе доказывается следующая теорема о существовании обобщенного решения.

Теорема 2. Пусть выполнены условия и, кроме того,

с'/У)

—^ < М = ств1> 0. (13)

о _

Тогда при любых Р(х,*) € Хг(0, Т; ^г(Гз)), щ ю(-р0) 6 К существует обобщенное решение задачи (1)-(9).

При доказательстве этой теоремы используется метод полудискретизации со штрафом. Для этого на отрезке [О, Т] строится равномерная сетка с шагом т, 9Т = {0,т,2т,...,Т = Мт} - множество узлов сетки, шг = шт\ {0}.

Решение полудискретной задачи — функции (¿), > Рт-(^) — определяются следующими соотношениями

у,(*) € V V* € изт, г/,(0) = и°г п в. на П, г = 1,2, (Рг(0))~ = Ро п в. на П,

Рг(0

«»г(рг(*))= / € к \«бы„

о

/{¿((^Л(у))ц + (р? - тз(рт)р~) | ~

= I f,(s(Pт))v,dx+5l21 Рт(х,ф4х^г €У, г = 1,2, V* € Щ\{Т}, (14)

П Гз

У | »71»(Рг) сИу у, г + • V* | йх + J т5(Рг) - а(Рт) ^ +

(1 п

+ ¡Ка{рг))рдг~11х Мг (15)

г2 п

V — V 1 Г

Здесь у = уЬ+т), уг =-, Рт(х,{) = - / ^(я, е > 0 — параметр

г г у

<

штрафа.

С помощью метода Галеркина доказано существование решения полудискретной задачи. Получен ряд равномерных по г и е оценок, с помощью которых показано, что существует подпоследовательность решений полудискретной задачи, сходящаяся к обобщенному решению задачи (1)-(9).

Вторая глава, посвященная исследованию сходимости разностной схемы для задачи (1)—(9), содержит три параграфа

Здесь и в дальнейшем полагается, что П - прямоугольная область вида П = {(жь х2) е В? | -а<х1<а,-н<х2< 0}.

В первом параграфе вводятся основные обозначения, с помощью метода сумматорных тождеств строится неявная разностная схема для задачи (1)-(9), доказывается теорема существования решения неявной разностной схемы.

Решением неявной разностной схемы называются функции 2/=(уь 2/г)> удовлетворяющие следующим соотношениям

2

- \ Е (рлг - ™Фьг)рйт) . =

/¿(З(РЛт)) ,

+ ¿а

Ьт(х^), V,

\fviEVH, г = 1,2, (16)

г х

з{$ьт) у,, 2 - Щт\ +

+ 771

г 4

V,u;Лrt Vг(*-t&ftr)^ +

з(РЛг) ~ ¿(РДт)

г-ь>Нт

* X Е (м*Ы). ^ - «&/*)) ^2 € (17)

Здесь 6> равномерная сетка с шагом }ц по г-тому координатному направлению, 7< = £5 П Г,-, г = (г1, г2) - вектор с компонентами г,- = ±1,

Ух,, П = +1,

дг>У =

Угу — (дг^у,дТ2у), (Нуг V = 9Г11'1 + дТ1У2, шт - множество точек I € й, в которых определен оператор Лг(г/) - разностная аппроксимация

тензора деформаций с компонентами (Лг(у))^ = - (дГ]у.; + дпУ})\

я

(У, «)г = £ Ь1к2у(х)ь(х), [у, у] = ^ и)г,

г

М Г,7,= Ь1у{х)у(х), = 1 = 2,3,

г6игП7< г

о

V/, - пространство сеточных функций, определенных на а), С V/, - мно-

о

жество сеточных функций, равных нулю на границе 71, Ум С Ул - множество сеточных функций, равных нулю на 73,

о

Кь. = {ю 6У1Л: и>(х) < 0, х 6 72}, у1, - сеточные функции такие, что

Пгр'ш-+рй в Ь2{П), (18)

в ¿2(0, Г; Г3). (19)

Доказана

Теорема 3. Пусть выполнены условия (^^-(^б). Тогда решение неявной разностной схемы (16)-(17) существует.

Доказательство этой теоремы проводится с помощью метода штрафа. С этой целью строится вспомогательная разностная схема вида

!/?(*)€ УА, 1 = 1,2, 1н

УК*,0) = у°{х), (рЬ(х,0))- = р1^х) Ух ей,

о

г ^'=1 ^ '

т \ /г

Лт.(»(РЛт)) .

+ ¿,2

УтчбКл, 1 = 1,2, (20)

+

+т

'«(Яг) ~ ' )г

т

= тЕ(ьШг))Лг*)г ъепн, (21)

где е - параметр штрафа

Для функций у!г, рдг получены равномерные по е, г, Л априорные оценки

Во втором параграфе главы доказана теорема о сходимости разностной схемы (16)—(17)

Теорема 4. Пусть выполнены условия (13), (18)-(19). То-

гда существует последовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (16)-(17), сходящаяся к обобщенному решению задачи (1)-(9), а именно, П* у„ П± дф, П± (у,)(, {дг,у,)ь %кг, П* дГ/Шкт сходятся слабо в Ь^т) к функциям и„ п}(р) или их производным. Здесь П± - оператор кусочно-постоянного восполнения сеточной функции

Доказательство этой теоремы основано на получении априорных оценок для решения неявной разностной схемы (при их получении существенно используются априорные оценки для у*,р^Т) и последующем предельном переходе в соотношениях (16)—(17)

Отметим также, что из результатов этой главы следует сходимость разностной схемы со штрафом (20)—(21) в указанном теореме 4 смысле

Третья глава, включающая три параграфа, посвящена построению и численному исследованию итерационных методов решения задач насыщенной и насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации

В первом параграфе третьей главы строится итерационный метод решения задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Необходимость решения данной задачи объясняется тем, что в качестве начального условия для задачи (1)-(9) естественно выбирать установившееся решение задачи насыщенной фильтрационной консолидации.

Задача насыщенной фильтрационной консолидации включает в себя уравнение равновесия среды в целом

- div а1 + Vp - [(1 - m)ps + тр{№- = О,

•п

(22)

условие совместного деформирования фаз

<9(div и)

Vi-

Bi

+ div q = О,

(23)

(24)

закон фильтрации

q=-(\>p - Plg),

где ps,pi~ плотность твердой фазы и жидкости, F\ - безразмерный парат метр. Предполагается, что

а5 = div и • 5 + 2 Л(и) + 2щ Л (^j .

(25)

На Гх ставятся краевые условия такие же, как и в задаче (1)-(9). Полагается, что

р(г,«)=0, хег2иг3.

Начальные условия имеют вид

и,(х,0) = и®(х), (26)

о

Приближенное решение задачи (22)-(25) (функции ¡/,/, 6Ул., г = 1,2,

о

ркт определяется следующими уравнениями

Lhfa + piLih——— + ChPrh = FTh,

„ /-.г Vh ~ Vh а л _ n -ШЧ--AftPrft = o.

(27)

Здесь Унр (Т4Ц) - множество непрерывных на П функций, кусочно-линейных на Т (Г') соответственно, Т и Т" - разбиения области Г2 на треугольники, причем такие, что каждый конечный элемент из Т содержит четыре треугольника из Т', полученных разбиением его средними линия-

О 0 0 о

ми; Ук = Ук„ п Уг, Уки- Ук п V, операторы Ьм, действующие в

о о

пространстве х и операторы Сд, -Д^, действующие в простран-

о

стве Ун, определены билинейными формами

2 * ^ \ ду- -

(11уи• ¿у + 2(Л(м)).. ] Уи,« х

* Г Я

Е / 2(л("))<* Уи>" е^ X

т-л Г 0 0 0

X, / Р ^ ^ V? Уг; €х П., »=1 п *

1=1 п

Использование разных триангуляций области по и и р обеспечивают выполнение для операторов Ь^ и С/, неравенства вида О „ . -Тл,г , „ г ' 1

которое является следствием неравенства O.A. Ладыженской, И. Бабушки, Б. Брецци. Роль оценки (29) при построении итерационного метода, становится понятной, если от системы (27)-(28) перейти к уравнению относительно pTh

Vi Ск (rLh + /л!«)"1 Ch pTh - ДhpTh = FThl (30)

гдеFTh = mCl(rLh + HiLihY1 FTh - щСЦтЬь + wi^)"1 Lhy. Для решения уравнения (30) предложен итерационный процесс:

Bh$L_ZJk + Ahpnh = Frh> (31)

т

где

Вк = -Ан + иЕ, * = •

От

Ан = ГЦ 01 (тЬк + щЬхн)-1 Сн - Дл.

5т + 3^1

Условие (29) обеспечивает сходимость итерационного процесса (31) при т* £ (0,2/х], оптимальным значением параметра т* является

. . 2

где

т =то = ТТ~'

1 + х

5т + 3»!

Х 0{т + щУ

Итерационный процесс реализуется путем последовательного решения урав-

нений:

уП+1 _ у

{тЬн + цуЬиУ--= -СнРтн ~ иУ +

т

этп+1 _ „п „п+1 _ „

ВьЬь-Ьь - - ДЛР?Л = о.

(32)

(33)

Операторы (г Ьн + р-г ¿1л) и 5л обращались с помощью метода квадратного корня.

Во втором параграфе третьей главы приведены результаты численных экспериментов для задачи фильтрационной консолидации при полном насыщении. При помощи итерационного метода (33)-(32) проведена серия численных экспериментов при

I А, г> <„,

где (о - заданная величина, характеризущая скорость нагружения. На основании численных экспериментов были сделаны следующие выводы:

1) итерационный метод (32)—(33) сходится, и число итераций слабо зависит от шагов сетки как по пространству так и по времени;

2) в случае быстрого нагружения (¿о много меньше 1) появляются "рассасывающиеся" со временем узкие зоны больших градиентов перемещений и давления (особенности погранслойного вида);

3) решение задачи с ростом времени выходит на стационар.

В третьем параграфе третьей главы предлагается и с помощью численных экспериментов исследуется итерационный метод решения задачи

Поскольку задача (1)-(9) наследует основные трудности задачи насыщенной фильтрационной консолидации, то при построении разностной схемы учитывались результаты первых двух параграфов. На основе схемы (16)—(17), построенной в главе 2, была сконструирована сеточная аппроксимация задачи (1)-(9), использующая различные сетки для давления и перемещения. Для решения полученной разностной схемы предложен следующий итерационный процесс

цр 1 + Срп =

(34)

' «п+1 _ пп

(И

(Ч

(1)

1 / \(1)

тп

ХР") ~ *(Р) „ п+1

, г р

+ (1)

(35)

Здесь Нр = (ЛьЛг), К = (/м/2,/12/2), (й^) - множество узлов сетки с шагом Нр (ки), [и, г;]'1', (и, г)^' ([и, г)]*2', (и, - скалярные произведения, построенные для сеток и^ (£т,и),

1 ( \(2) [Ср, г>](2) = т£Д(р£- МРиЖ„) - .

Оу{х) = I ¿\\-(ук)({х)г1х,(х)с1х,

где через зд, (г^р) обозначено кусочно-линейное восполнение сеточной функции V, определенной на (ш^), рии - сеточная функция, полученная

сносом в точки сетки функции рьр, т}х< - базисная функция, соответствующая узлу х' € w/ip, принадлежащая множеству кусочно-линейных на функций.

и°(х) = й,(х), г = 1,2, Pq{x)=P (х), хеП,

здесь й,(х), р(х) - установившееся решение задачи насыщенной фильтра-ционной консолидации (22)—(25).

Для решения системы уравнений (34) использовался метод квадратного корня. Неравенство (35) решалось с помощью метода верхней релаксации с проектированием на множество К/,.

При численных расчетах полагалось, что функции з(р), Ь(з) в уравнениях (1)-(3) имеют вид

На основе проведенных численных экспериментов были сделаны следующие выводы:

1) предложенный итерационный метод сходится и число итераций практически не зависит от количества точек сетки;

2) при резком изменении нагрузки (при малых значениях to) вблизи границы Гг U Гз появляются зоны неполного насыщения (р < 0, 0 < з(р) <

Начальные условия uf, выбираются в виде

нагрузка F(t) в уравнении (6) задается соотношением

(36)

3) с ростом времени решение выходит на стационар.

Результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Павлова М.Ф. О разностном методе решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации /М.Ф. Павлова, Е.В. Шему-ранова (Е.В. Рунг) // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по мат. моделированию, геометрии и алгебре, Казань - 1997. - С. 129-133.

2. Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для задачи фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Второго Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики", Казань - 1998. - С. 58-60.

3. Павлова М.Ф. О разностном методе решения одной задачи насыщенной фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по мат. моделированию, Казань - 1999. - С. 250— 255.

4. Павлова М.Ф. О существовании решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Третьего Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики", Казань - 2000. - С. 97-99.

5. Костерин А.В. Об одном методе решения задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации / А.В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Третьего Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных задач математической физики", Казань - 2000. - С. 79-82.

6. Костерин А.В. Численное исследование фильтрационной консолида-

ции / А.В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Математическое моделирование. - 2001. - Т. 13. - №9. - С. 63-70.

7. Павлова М.Ф. О существовании слабого решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Изв. вузов. Математика. - 2001. - №10. - С. 58-68.

8. Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации /М.Ф. Павлова, Е.В. Рунг // Материалы Пятого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань - 2004. -С. 202-206.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина

Тираж 120 экз. Заказ 10/48

420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел.38-05-96

Р2055 О

Введение

Глава 1. Исследование корректности задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Определение обобщенного решения.

§ 3. Теорема существования.

Глава 2. Исследование сходимости неявной разностной схемы для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

§ 1. Построение разностной схемы.

§ 2. Исследование сходимости.

Глава 3. Итерационные методы решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

§ 1. Итерационный метод решения задачи насыщенной фильтрационной консолидации.

§ 2. Численные эксперименты для задачи насыщенной фильтрационной консолидации.

§3. Итерационный метод решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации.

Интенсивное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения численного моделирования для исследования различных физических, технологических и производственных процессов. При математическом моделировании большинства этих процессов возникают весьма сложные, часто нелинейные, задачи математической физики, решение которых возможно получить лишь с использованием численных методов. К числу таких задач относятся задачи фильтрационной консолидации.

Фильтрационной консолидацией называется процесс взаимодействия пористой среды (скелета) и насыщающей ее жидкости под действием внешних сил. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры среды оказываются полностью занятыми жидкостью, и о ненасыщенной фильтрационной консолидации — в противном случае. Теория фильтрационной консолидации охватывает задачи об осадке сооружений на насыщенных грунтах, задачи деформации пористого скелета под воздействием достаточно мощного фильтрационного потока и др.

Наиболее полно исследованы задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Основы теории насыщенной фильтрационной консолидации заложены в работах К. Терцаги, Н.М. Герсеванова, Ю.К. Зарецкого, М. Био, В.Н. Николаевского ([53], [3], [18], [57], [37]) и других авторов. Ими построены математические модели фильтрационной консолидации, проведены исследования этих моделей с позиций механики сплошных сред. Строгий математический анализ задач насыщенной фильтрационной консолидации был проведен в работах А.В. Костерина, М.И. Дроботенко, Р.З. Даутова, А.Д. Ляшко ([9]-[13]). В этих работах введено понятие обобщенного решения, доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения, изучены его свойства, достаточно подробно исследованы методы численной реализации. Исследованию разностных схем решения некоторых задач насыщенной фильтрационной консолидации посвящены работы П.Н. Вабищевича, F.J. Gaspar, F.J. Lisbona ([59]—[60]).

Следует отметить, что при формулировке модели насыщенной филь-трационой консолидации предполагается, что давление в порах не опускается ниже некоторого порогового значения, обеспечивающего полное насыщение пор скелета. В то же время, экспериментальные исследования показывают, что при достаточно быстром расширении упругой среды (например, при резком снятии нагрузки на пласт) возникают зоны, в которых жидкость не успевает занять весь поровый объем, и его свободная часть заполняется парогазовой смесью, то есть образуются зоны неполного насыщения. Для описания этого процесса А.В. Костерин в работе [26] предложил модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Эта модель позволяет описывать процессы фильтрационной консолидации как при полном насыщении, так и в случае, когда в части области (или во всей области) поры скелета не полностью заняты жидкостью. Изучению данной модели посвящена настоящая диссертация.

С математической точки зрения модель насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации представляет собой систему уравнений в частных производных относительно перемещений упругой среды и давления жидкости. Причем уравнение относительно давления — вырождающееся, эллиптико-параболического типа, с нелинейностью и в "пространственном" операторе, и в "параболической" части. Такого типа задачи получили название "задачи с двойным вырождением". С 70-х годов прошлого столетия они привлекают внимание многих исследователей. Работы [14],

63], [61], [39] посвящены исследованию вопросов существования решения параболических уравнений и неравенств с двойным вырождением; в работах [54], [55] доказаны теоремы существования решений для уравнений и вариационных неравенств эллиптико-параболического типа с двойным вырождением, в [62] доказана единственность решения для этих задач.

Исследование задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации было впервые проведено в работах [40], [41]. В этих статьях доказано существование обобщенного решения одной начально-краевой задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Настоящая диссертационная работа продолжает эти исследования, а именно, здесь рассматриваются более сложные краевые условия, приводящие в обобщенной постановке к вариационному неравенству первого рода (относительно давления) с ограничением на решение на части границы области. Известно [54], что исследование вариационных неравенств с ограничением на границе имеет ряд существенных отличий по сравнению с исследованием уравнений, поскольку решения вариационного неравенства, как правило, обладают меньшей гладкостью.

Цель настоящей работы — исследование корректности и построение эффективных численных методов решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации, в случае, когда на части границы задано условие односторонней проницаемости.

В первой главе исследуется корректность рассматриваемой задачи. Здесь дается обобщенная постановка задачи, обсуждается связь между понятиями обобщенного и классического решений. С помощью метода полудискретизации со штрафом доказывается существование обобщенного решения. Для доказательства разрешимости полудискретной задачи используется метод Галеркина.

Вторая глава посвящена исследованию разностных методов решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации. Следует отметить, что для задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации предположение о гладкости решения не является неестественным, поскольку наиболее сложный объект в этой модели — уравнение относительно давления относится к классу уравнений с двойным вырождением, характерной особенностью которых является негладкость решения. В связи с этим использование методов общей теории разностных схем (см., например, [48], [51], [49], [1], [8], [16], [35], [6], [7], [8], [60]) оказывается невозможным. Исследование сходимости разностной задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации проводится при минимальных предположениях о гладкости решения и исходных данных задачи. При этом используется методика, разработанная О.А. Ладыженской [29], [30] при исследовании сходимости разностных схем для линейных уравнений математической физики. Среди близких по методике исслё^ования работ следует также отметить [36], [33], [34], [4], [5].

Третья глава диссертации посвящена построению итерационных методов решения, как для задачи, изучаемой в первых двух главах, так и для задачи насыщенной фильтрационной консолидации. Необходимость построения итерационного метода для задачи насыщенной фильтрационной консолидации продиктована тем, что в качестве начального условия для насыщенно-ненасыщенной фильтрационной консолидации естественно выбирать установившееся стационарное решение.

Остановимся подробнее на содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, шестнадцати рисунков, девяти таблиц. Список используемой литературы содержит 63 наименования.

1. Вабищевич П.Н. Устойчивость проекционно-разностных схем для нестационарных задач математической физики / П.Н. Вабищевич, А.А. Самарский // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1995. -Т.35. - №7. - С. 1011-1021.

2. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. -М.: Мир, 1978. 336 с.

3. Герсеванов Н.М. Основы динамики грунтовой массы / Н.М. Герсева-нов. М.: ОНТИ, 1937. - 336 с.

4. Глазырина JI.JI. Разностная схема решения задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод / J1.J1. Глазырина, М.Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. 1984. 9. - С. 72-75.

5. Гловински Р. Численное исследование вариационных неравенств / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 574 с.

6. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.:Наука, 1973. 400 с.

7. Гулин А.В. О некоторых результатах и проблемах теории устойчивости разностных схем / А.В. Гулин, А.А. Самарский // Матем. сборник.- 1976. Т. 99. - С. 299-360.

8. Даутов Р.З. Исследование корректности обобщенного решения задачи фильтрационной консолидации / Р.З. Даутов, М.И. Дроботенко, А.Д. Ляшко // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33. - № 4. -С. 515-521.

9. Дроботенко М.И. Исследование фильтрационной консолидации / М.И. Дроботенко, А.В. Костерин Препринт. - Казань. -1991. - 34 с.

10. Дроботенко М.И. Обобщенные решения задачи фильтрационной консолидации / М.И. Дроботенко, А.В. Костерин // ДАН России. 1996.- Т. 350. № 5. - С. 619-624.

11. Дроботенко М.И. Регуляризация задачи фильтрационной консолидации упругой пористой среды / М.И. Дроботенко, А.В. Костерин // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 4. - С. 18-22.

12. Дроботенко М.И. Приближенное решение задачи фильтрационной консолидации / М.И. Дроботенко, А.Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1992. - № 3. - С. 3-6.

13. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях / Ю.А. Дубинский // Матем. сборник. -1965. Т.67. - К0- 4. - С. 609-642.

14. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Наука, 1980. 383 с.

15. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач, вып. 2. Нестационарные задачи / Е.Г. Дьяконов. М.: Изд-во МГУ, 1972. -227 с.

16. Егоров А.Г. Консолидация и аккустические волны в насыщенных пористых средах / А.Г. Егоров, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов. Казань: Издательство КГУ, 1990. - 102 с.

17. Зарецкий Ю.К. Теория консолидации грунтов / Ю.К. Зарецкий. -М.: Наука, 1967. 270 с.

18. Карчевский М.М. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений / М.М. Карчевский, А.В. Лапин, А.Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1972. - № 3. - С. 23-31.

19. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий. I / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1972. - № 11. - С. 23-31.

20. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. II / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко // Изв. вузов. Математика. 1973. - № 3. - С. 44-52.

21. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко. Казань: Изд-во КГУ, 1976. - 158 с.

22. Киндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Мир, 1983. - 256 с.

23. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств L2 / Г.М. Кобельков // Analysis Mathematica. 1977. - Т. 3. - № 3. -С. 177-186.

24. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы / Р. Коллинз. М.: Мир, 1964. - 350 с.

25. Костерин А.В. Насыщенно-ненасыщенные состояния деформируемых пористых сред / А.В. Костерин, Д.А. Березинский // ДАН России. -1998. Т. 356. - JV® 3. - С. 343-345.

26. Костерин А.В. Численное исследование фильтрационной консолидации / А.В. Костерин, М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Математическое моделирование. 2001. - Т. 13. - JV® 9.- С. 63-70.

27. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения / О.А. Ладыженская. М.: Гос. изд-во тех.-теор. литературы, 1953. - 280 с.

28. Ладыженская О.А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными / О.А. Ладыженская // УМН. -1957. Т. 12.- № 5. С. 123-149.

29. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. М.: Наука, 1970. - 288 с.

30. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587 с.

31. Майорова М.Е. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации / М.Е. Майорова, М.Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. 1994. - JV» 1. - С. 43-53.

32. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации / М.Е. Майорова, М.Ф. Павлова // Изв. вузов. Математика. -1997. X® 7. - С. 53-65.

33. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1977. 456 с.

34. Масловская JI.B. О сходимости разностных методов для некоторых вырождающихся квазилинейных уравнений параболического типа / JI.B. Масловская // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. - Т. 12. - № 6. - С. 1444-1455.

35. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В.Н. Николаевский. М.: Недра, 1984. - 232 с.

36. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж-П. Обэн. М.: Мир, 1977. - 384 с.

37. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации / М.Ф. Павлова // Дифференц. уравнения. 1987. -Т. 23 - JV® 8. - С. 1436-1446.

38. Павлова М.Ф. О разрешимости одной задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении /М.Ф. Павлова // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо. 1997. - С. 110-114.

39. Павлова М.Ф. Исследование корректности задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении /М.Ф. Павлова // Дифферент уравнения. 1998. - Т. 34.- № 7. - С. 1-11.

40. Павлова М.Ф. О разностном методе решения одной задачи насыщенной фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по мат. моделированию, Казань 1999. - С. 250255.

41. Павлова М.Ф. О существовании слабого решения одной задачи ненасыщенной фильтрационной консолидации / М.Ф. Павлова, Е.В. Шемуранова (Е.В. Рунг) // Изв. вузов. Математика. 2001. - JV® 10. -С. 58-68.

42. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. М.: Наука, 1971. - 552 с.

43. Самарский А.А. Устойчивость разностных схем / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М.: Наука, 1973. - 315 с.

44. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений / А.А. Самарский, В.Б. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

45. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 656 с.

46. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. М.: Мир, 1981. - 408 с.

47. Терцаги К. Строительная механика грунтов / Терцаги К. М.: Гос-стройиздат, 1953. - 400 с.

48. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equation / H.W. Alt, S. Luckhaus // Math.Z. 1983. - Bd. 183. - № 8.- P. 311-341.

49. Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media / H.W. Alt, S. Luckhaus, A. Visintin // Ann. Mat.Pura ed Appl.- 1984. V. 136. - P. 303-316.

50. Bercovier M., Pironneau О. Error estimates for finite element method solution of the Stokes problem in the primitive variables / M. Bercovier, O. Pironneau // Numer. Math. 1979. - V. 33. - P. 211-224.

51. Biot M.A. The mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media / M.A. Biot // J. Appl. Phys. 1962. - V. 33. - №4-P. 1482-1498.

52. Ganzburger M. D. Finite element methods for viscous incompressible flows. A guide to thery, practice, and algorithms / M.D. Ganzburger. -Academic Press, Inc. 1989.

53. Gaspar F.J., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. Finite difference schemes for poro-elastic problems / F.J. Gaspar, F.J. Lisbona, P.N. Vabishchevich // J. Сотр. Methods in Applied Math. 2001. -V. 1. - № 1 - P. 1-9.

54. Gaspar F.J., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. A numerical model for the radical flow through porous and deformable shems / F.J. Gaspar, F.J. Lisbona, P.N. Vabishchevich // J. Сотр. Methods in Applied Math. 2004. - V. 4. - № 1 - P. 34-47.

55. Grange O., Mignot F. Sur la resolution d'une equation et d'une inequation paraboliques nonlineaires / O. Grange, F. Mignot // J. Funct. Anal. -1972. № 11. - P. 77-92.

56. Otto F. L-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equation / F. Otto // Reprinted for journal of differential equation, all rights reserved by academic press. 1996. - V. 131. - № 1. - P.

57. Raviart P.A. Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires. / P.A. Raviart // J. Funct. Anal. 1970. - V. 5. - № 2. -P. 299-328.