Сеточные методы решения нелинейных эволюционных уравнений и неравенств с двойным вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПАВЛОВА Мария Филипповна

;ГГ,и УДК 519.6

СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

И НЕРАВЕНСТВ С ДВОЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ-1998

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Андреев

доктор физико-математических наук, профессор П.Н. Вабшцевич

доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский

Ведущая организация — Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Защита диссертации состоится " /У " ^С^/г^- 1993 Г. в /У часов на заседании диссертационного Совета Д 053.29.10 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан " {^ОЯХ^Л- 1998 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Федотов Е.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения задач математической физики является конечно-разностный метод или метод сеток. В частности, он широко используется при решении эволюционных уравнений и неравенств.

Теория этого метода для линейных параболических уравнений и неравенств развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах A.A. Самарского, A.B. Гулина, П.Н. Вабшцевича, Р. Гловинского, Ж.-Л. Лионса, Р. Тремольера.

Нелинейные параболические уравнения и неравенства также давно являются объектами изучения. В работах В.Н. Абрашина, В.Ф. Ба-клановской, М. М. Карчевского, A.B. Лапина, А.Д, Ляшко исследование разностных схем проводится при условии существования гладкого решения. Достаточно подробно изучены разностные схемы для параболических уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами.

Особое место среди нестационарных задач занимают задачи, в которых нелинейность присутствует не только в пространственном операторе, но и в "параболической" части. Наличие двойной нелинейности существенно усложняет исследование. Изучению устойчивости и сходимости разностных схем для таких задач при условии, что "временная" нелинейность не имеет особенности, и в предположении гладкости решения посвящены, например, работы Н.В. Арделяна и Е.М. Федотова. Проблема становится еще более сложной, когда рассматриваемая задача допускает вырождение и в пространственном операторе, и в нелинейности, присутствующей в "параболической" части. Такие задачи получили название задач с двойным вырождением. Они часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации,

диффузии, таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации и др. В то же время, методы решения таких задач изучены слабо.

Цели исследований. Основная цель работы - построение и исследование сеточных методов решения нелинейных задач математической физики, содержащих уравнения и вариационные неравенства с двойным вырождением, при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросом о разрешимости рассматриваемой задачи, и часто второе является следствием первого.

Методика исследований. Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теорем существования используется метод полудискретизации и метод Га-леркина, а в случае вариационных неравенств также и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сум-маторных тождеств. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа.

Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской.

Научная новизна работы определяется следующими ее основными результатами

1. Предложены и исследованы разностные методы решения нелинейных эволюционных уравнений с двойным вырождением.

2. Доказана теорема существования решения вариационного эволюционного неравенства с двойным вырождением. Предложен сеточный метод решения этого неравенства, доказана его сходимость.

3. Доказана теорема существования обобщенного решения задачи о совместном движении поверхностных и подземных вод, для решения этой задачи предложена явная разностная схема, исследована сходимость построенной схемы. Доказана теорема существования решения вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод.

4. Изучены свойства решения вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе фильтрации. Построены сеточные аппроксимации рассматриваемого вариационного неравенства, доказана их сходимость.

5. Предложена обобщенная постановка задачи фильтрационной консолидации. Доказаны теоремы существования решения при различных краевых условиях.

Практическая значимость. Результаты теоретических исследований и разработанные численные методы могут быть использованы при решении конкретных задач фильтрации неньютоновской жидкости, диффузии, таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Численные методы и приложения" (София, 1984), на Международной конференции "Численные методы и приложения" (София, 1988), на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции "Optimization Of Finite Element Approximations" (St.-Petersburg, 1995), на Международной конференции "Advanced Numerical Analisys" (Moskow, 1995), на Международной конференции и Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л. Чебышева (Москва, 1996), на 5-ой Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987), на конференции "Алгебра и анализ" (Тарту, 1988), на всероссийском семинаре "Теория

сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996), на школе—конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997), в МГУ на семинаре под руководством A.A. Самарского, в МЭИ на семинаре под руководством Ю.А. Ду-бинского, на семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством А.Д. Ляшко, а также на итоговых конференциях Казанского университета 19831997 годов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 работах.

Обьем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 125 наименований. Работа изложена на 238 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулированы цели работы, приведен список литературы, дано краткое описание содержания диссертации.

Первая глава посвящена построению и исследованию разностных методов решения для нелинейного уравнения с двойным вырождением

^дГ = /• (1)

Для этого уравнения в ограниченной области ß С Rn рассматривается первая краевая задача

u|r=0, u(ar,0) = u0(ar). (2)

Предполагается, что - абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом £ 6 Ii1, следующим

условиям

Ъо | £ г -Ьх < /¥>'(*)*<Й < ч £ Г +^3, а > 1, (3)

о

\№\<Ъ\{\а-1+Ь5, (4)

ШЮ' > о, (5)

Ъо > о, Ъ1 > О, ъ2 >о,ь3> о,. Ь4 > 0, Ьь > 0.

Неравенства (3)-(5) вьшолнены, в частности, для </?(£) =| £ |а_2 £, то есть функции и могут иметь особенность в нуле.

Предполагается, что коэффициенты а,-, /г,- таковы, что оператор

" д

Ьи = т;—(а,-(х, и)Ь(х, Уи)),

(--1 ОХ{

о 1

действующий из \¥р (О) в IV(11) (1 /р + 1 ¡р' = 1), является непрерывным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту:

±сч(х,£о)№,£*) - - £,■) > о.

! = 1

Допускается вырождение оператора Ь по Ум.

В первом параграфе дается постановка задачи, вводятся основные обозначения.

Во втором параграфе формулируется и доказывается ряд утверждений, носящих вспомогательный характер. Среди них

Лемма 1 Пусть <р(£) - абсолютно непрерывная, монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условгтм (3)-(5). Тогда для любой функции V такой, •что

V € £Р(0,Т;^ (О))П1„(0,Т-Ьа(П)), (6)

^е^т;^1!«)).

справедливо равенство

Т,дф) о' dt

jlpj^,v)dt = Hmi J f $(v(x,t))dxdt - f $(v(x,0))dx, (9)

i

здесь Ф(0 = J ip'(t)tdt. о

Равенство (9) в дальнейшем используется при исследовании начально-краевых задач. Следует отметить, что условие (8) исключает из рассмотрения задачи с разрывными начальными условиями. Для весьма широкого класса задач это ограничение можно заменить более слабым условием:

Определение 1 Будем говорить, что функция w{x), определенная на Q, обладает Рар-свойством, если при любом R > О можно построить (функцию wa(x,t) такую, что

wR G С(0,Г;100(П))П£р(0,Г;^ (fi))

и при t —> О

R i

wR(x,t) -> wR(x) - w(x) minjl, 6

PQJ-свойством могут обладать как непрерывные, так и разрывные функции. Например, этим свойством обладают функции, удовлетворяющие условию (8), а также функции из L-j(O), если а = 2, р > 2п/(п + 2).

Лемма 2 Пусть удовлетворяет перечисленным в лемме 1 условиям и, кроме того, при любом R > 0 имеет место неравенство

но - <р(п)\ < ад п\ m ы < к. (ю)

Тогда для любой функции v, удовлетворяющей условиям (6)-(7), такой, что v(x,0) 6 La(fi) и обладает Ра р-свойством, справедливо равенство (9).

В третьем параграфе первой главы для задачи (1)-(2) рассматривается неявная разностная схема

щ(У) + АУ = Лт, у(х,0)=уо{х), у |г= О,

(И)

где А - разностная аппроксимация оператора X, построенная по методу сумматорных тождеств, у0, Дг - сеточные аналоги щ(х) и /. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1 Пусть функции <р, а,. к{ удовлетворяют перечисленным

О 1

выше условиям; щ £ Х-а(П)П 1Ур (О), если условие (10) не выполнено, и щ Е Ьа(П) и обладает Ра%р-свойством в противном случае, / € Тогда существует подпоследовательность

кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (11), сходящаяся к обобщенному решению задачи (1)-(2), а именно, при г, Л —► 0 имеют место следующие соотношения

где П;Г - кусочно-постоянное восполнение.

В четвертом параграфе рассматривается явная разностная схема

Сходимость явной разностной схемы удается установить лишь в случае, когда а > 2, а для функции (р имеет место неравенство

П в Г-ооСО,

Г\

П¿дпу - Щу * ^ и в Ь^т),

П ?<р{у) * — ¥?(«) в ¿«(О.Г^П)),

(12)

(13)

(14)

(15)

—» и почти всюду в <5х>

<Рг(у)+Ау = /лг-

(16)

> Ь6 I £ Г-2, к > 0.

При выполнении этих предположений справедлива

Теорема 2 Пусть

ha /jp+n(p-a)/at

г < с--Ti если 1 <р < а, г < с-, если р > а,

кроме того, при т, ft —► О

г т

— —» 0, если 1 < р < а, -—-гт- —► 0, если р> а.

ha /jP*+n(p—а)/а ' ^ —

Тогда при любых j 6 £,(0,Т; W^T1^)), max{a',p'}, и щ, удовлетворяющих условиям теоремы 1, подпоследовательность кусочно-постоянных восполнении решения разностной схемы (16) сходится к обобщенному решению задачи (1)-(2) в указанном в соотношениях (12)-(15) смысле.

В пятом параграфе предлагается схема, названная регуляризован-ной:

(<р{у) + aV)t + ¿У = fhr, cr = const > 0, По реализации эта схема близка к явной, ее использование целесообразно, когда а < 2 или не выполнено условие (17), поскольку сходимость регуляризованной схемы при специальном выборе параметра регуляризации удается установить и в этих условиях, а именно, справедлива

Теорема 3 Пусть т, h выбраны так, что параметр р, определенный соотношениями

4пУр

Р =

/г2 2рп

/гр+п(р-2)(р-о)/(ор)

1 <р< 2,

, р>тах{2,а},

2рп

т-jjr, 2<р<а,

удовлетворяет неравенству р < 1 и р —* 0 прик, т —> 0, а параметр регуляризации а выбран так, что а —0 приИ,т —► 0, и справедливо неравенство

> со/*1-7, 10

где О < 7 < 1 - произвольная постоянная, сто - константа, определяемая исходными данными задачи. Кроме того пусть

/ £ д = тах{2,р'},

и0 € /3 = тах{а,2}, щ удовлетворяет условиям теоремы 1.

Тогда подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения регуляризованной разностной схемы сходится к обобщенному решению задачи (1)-(2) в указанном в соотношениях (12)-(15) смысле.

Во второй главе проводятся исследования вариационного неравенства с двойным вырождением следующего вида

/Ш, V - и)<И + [(Ь^и, У«),« - и)Л >

о т о

Т

>/(/,и-и)Л VV е К, (18)

о

где

К = { V , V б Ьр(0,Т;ТУр (П))ПМ0,Т;Хо(П)), V > 0 п.в. в С)т }, У и) - оператор, определяемый формулой

У и) = - £ -Ц-{сц{х, гОА^Уи)), 1=1

-1 °1 (5,?;) - значение функционала д из И^ (П) на элементе V из (П).

При определении решения вариационного неравенства (18) полагается, что функция и такова, что

^еМС-Т^'й)- и(х,0) = щ(х) П. в. в п.

В первом параграфе дается постановка задачи. Предполагается, что для у? имеют место (3)-(5), кроме того, <¿>(0) = 0, для функций а,-, и к{ наряду с перечисленными выше условиями выполнено неравенство

£ а,-(:г, £„) 0 & >0 Ух £ П, е Я1, Щ£ Я". (19) ¿=1

Во втором параграфе с помощью метода полудискретизации со штрафом доказывается теорема существования решения вариационного неравенства (18).

При этом строится вспомогательная пол^дискретная задача, решением которой является функция у£{{) £ИГ (£}) П Ьа(Щ V t € шт, та-

о 1

кая, что 2/£(0) = щ(х) и для произвольной функции ю (П) П выполнено равенство

г

•I т

где шт = {г, 2г,..., Г} , /Згу = — | |9~2 гх;-, = (| ги \ -ги)/2,

1 ¿+г

(Л(0, «>} = -/ (ДО, уе(0 = уе(* - т). т {

Установлена разрешимость полудискретной задачи. Получены априорные оценки. Доказана

Теорема 4 Пусть / Е ((¡>г), Р\ < р; гго удовлетворяет условиям теоремы 1, щ(х) > 0 почти всюду в П. Тогда решение вариационного неравенства (18) существует. Кроме того, если р\ < q < р, то существует подпоследовательность восполнений решения полудискретной задачи, сходящаяся к этому решению, при этом

ТРу — ив Х„(0 (2°)

Пту и о Ь^Т-Ь^Щ, (21)

П+у€ и п.в. в (22)

- ^ е ^(О.Т;^1^)), (23)

при Т, £ —> 0.

Отметим, что разрешимость вариационного неравенства доказана при более слабых ограничениях на оператор L по сравнению с имеющимися в литературе аналогами.

В третьем параграфе для решения вариационного неравенства (18) предлагается следующая разностная схема

Мус) + Aye + \ßlк = кг , (24)

уе(х, 0) = у0{х), у£ |г= О,

где оператор А, функции у о, fhr определены так же, как в первой главе.

Отметим, что по простоте реализации разностная схема (24) сравнима с явной разностной схемой для уравнения с двойным вырождением.

В этом параграфе при исследовании сходимости разностной схемы (24) предполагается, что а > 2, имеют место (17) и следующие неравенства

> 0, Vrr G П, V£ € R", Vi € {l,...,n}. (25)

При выполнении этих условий справедлива

Теорема 5 Пусть f G ¿?(0, T;Lj/(Q)), q — тах{а',У}, щ удовлетворяет условиям теоремы 1, кроме того гц > 0 почти всюду в Q. Тогда при т, hue таких, что

т\а т\р

—.—тт-ß—77 < 1, если 1 < р < а; —- < с < 1, если р> а:

£(а-\)Кр-\) - £ ~ ~~

lim (тА") = 0, если 1 < р < а: lim (тА£) = 0, если р > а,

г,Л—>0 " ~ т,Л—(Г а/ -

сфх , , ctfñ Л,, = —;—, если 1 < р < a, A„ = . , . ,-п—, если р > а,

h lia frl+n^-a)/^' 1 — '

существует подпоследовательности кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (24), для которой при т, г, h —► 0 выполнены соотношения, аналогичные (20)-(23).

Третья глава диссертации посвящена исследованию задачи, которая возникает, например, при математическом описании процесса совместного движения поверхностных и подземных вод.

В этой главе О С -К2 - область, внутри которой проведен разрез П, делящий ее на две связные области, Г - граница П. Рассматривается следующая задача

^^ - Е ¿7 {ф,«) V«)) = /ъ х е 0П = П \ П, (26)

+ ¿^(^и) ¿¡(х, Уи) С05(ге, я,-) =/2, [и]ц = 0, х € П, (27) 1|=1 ■1и

и(т, 0) = щ(х), и |г~ д(х, 0- (28)

Здесь [•]„ - скачок функции при переходе через разрез П, п - нормаль

„ д гт

к И, —--производная по направлению П.

ов

В первом параграфе третьей главы дается постановка задачи. На протяжении всей главы предполагается, что функции <£;(£) удовлетворяют тем же условиям, что и функция в главе 1, при этом о = а,-. Операторы

2 ^ ^ / \ = — (а{(х,и)к{(х, Уи)) , =-—,

О 1 1 О 1 ■«

действующие из IVР1 (П) в и из из IVР2 (П) в соответ-

ственно предполагаются непрерывными, коэрцитивными, ограниченными, монотонными по градиенту. Допускается вырождение операто-

г г т-, ди

ра I и по Vи и — соответственно. ОбРетение задачи (20)-(28) понимается в следующем смысле:

Определение 2 Функцию и(х, £ 1У(0, Т) такую, что

и(х, <) - 0 ет-к (о, Т), и(х, 0) = и0(х) п. в. в П и в П ,

е (у {о,т)у,

о

назовем обобщенным решением задачи (26)-(28), если для любой

о

функции V €IV (0,Т) справедливо следующее интегральное тождество

Т Т 2

I (J(u), / [ ,£1сц(х,и)к{(х,Чи)-5—<1хсИ+

0 О О ■•=! дх<

Т т т

О о

з<?есъ Т), (РУ- (0, Г), V" (0,Т)) - банаховы пространства функций, полученные замыканием С°°(0, Г; С°°(П)) Т; Со°(П))^ е нормах

1МЦо,Т) = 1Мк(0.Л + Ни1коо (0,7-^^(12)) + Н^к^О,7^(11)),

1М|к(0,Т) = || (0,7:^(1))) + |М|£,г(0,Г;И£(П))

соответственно, и° - продолжение функции д на {/, и) ({/, г>)д) - значение функционала j е (0, Т; И^"1 (О)) (/ € 1^(0, Т; И^П)))

о

ма элементе V Значение функционала при1 6 [0,Т]

о

на элементах V ЕV определяется по правилу

о о

где (F,v)t - значение функционала Р € (1/)* на элементе V 6У,

о

У - банахово пространство функций, полученное замыканием Со°(0) в следующей норме

И\у = ЦиНиу^П) + ||«||и^(П)-

Во втором параграфе главы 3 исследуется разрешимость задачи (26)-(28). Здесь доказана

Теорема 6 Задача (26)-(28) имеет хотя бы одно обобщенное решение, если

Доказательство теоремы проведено с помощью методов полудискретизации и Галеркина.

В третьем параграфе исследуется сходимость явной разностной схемы для задачи (26)-(28).

Рассматривается случай, когда а* >2, г = 1,2, и каждая из функций <р{ удовлетворяет условию (17).

Сходимость явной разностной схемы доказана в предположении, что выполнены условия теоремы 6, и кроме того

/I е ¿к(О, Т; И^П)), Ь 6 Ьй(0,Т; И^П)), Щ 6 К

и°бЖ(0,Г), ^-ехаа(пг),

л

/, 6 ¿9,-(0, Г; И^СП,-)), Ъ = тах{а-,р-}, г' = 1,2,

а шаги г и /г выбраны так, что

т < скр, т/У —> 0, при г, /г —>• 0,

где

1 < р,- < а;

Р; >

Р =

В четвертом параграфе доказывается теорема существования решения вариационного неравенства г

/{{«/(и),и — и), + (Ьи,и — у) + (Ьпи,и — <

< /{(/i,ii -v) + U2,u-v)a}dt Vu е К. (29)

Здесь

ueK={v€W (О, Г)| v(x, t)> 0 п.в. в QT и на Пг},

QT = fix [О, Г], Пг = П х [0,Т].

Под решением вариационного неравенства понимается функция и Е К, удовлетворяющая (29), такая, что

J(j(u),---).dt6(v (О,Т)Г, о

и(х,0) = щ(х) п.в. в il и на П.

В этом параграфе дополнительно предполагается, что имеет место (19), <л(0) = 0, ¿ = 1,2, и

> 0> V£ € Ri-При выполнении указанных условий справедлива Теорема 7 При любых функциях

h € Lt/(Qt), f2 6 ХГДПТ), р = min(pbp2),

о

«о GV^ Q£ai(fi), щ(х) > 0 почти всюду в П и иа П существует решение вариационного неравенства (29).

В четвертой главе рассматривается задача нестационарной фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе фильтрации.

Эта задача определяется следующими уравнениями

^ + divi? = /, reß, (зо)

V = -ff(|Vu|2)VU, (31)

u(®,0) = щ(х), u|r = 0, (32)

где (30) - следствие уравнения неразрывности, (31) - закон фильтрации, u(x,t) - давление, v(x,t) - скорость фильтрации. Рассматривается случай, когда зависимость скорости фильтрации от градиента давления носит разрывный характер. Относительно функции д предполагается, что

= 9o(e)Z + Si(f2)£ е R\

причем

* - [*, Iii > А

a 00 (£2) ~ абсолютно-непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

Ы£2Ю' >0 Vi G Rl

и существует £о > 0, <5 > 0, р > 1 такие, что при £ > £о имеют место неравенства

¿(С-еоГ1 < д(ен < Cd^-for1.

Известно, что пространственный оператор рассматриваемой задачи пе является даже радиально непрерывным, поэтому решение задачи (30)-(32) естественно определять с помощью следующего вариационного неравенства

/ди \dt

,v-u) + (L0u, v-u) + Fi(v) - Fi{v) > if,v-u), (33)

здесь Lo и Fi - оператор и функционал, заданные на пространстве

о 1

Wp (О) равенствами

я j= 1 oxi их3

|V.|»

^ = 9 J f 9№dHdx,

Q 0

{/, w) - значение функционала / £ Wp1(Q) на элементе v 6Wp (П). Обобщенным решением задачи (30)-(32) называется функция

u(x,t) € Zp(0,T;Wp(n))n^oo(0,r;L2(fi))

такая, что

€ 2^(0, Т;!^1 (О)), и(х, 0) = гго п. в. в Q,

о 1

и для произвольной функции v 6WP (О)ЛЬг(^) и для почти всех t € [0, Г] справедливо неравенство (33).

Поскольку скорость фильтрации, построенная по решению неравенства (33) согласно закону (31), не удовлетворяет, вообще говоря, уравнению неразрывности (30), то наряду с законом (31) рассматривается многозначный закон

v = -ff(|Vu|2)Vu,

где д = #0 + д\, & h " многозначная функция:

0, < ¿3,

= о, |<с| = (з,

Здесь в - любое число из интервала [0, г?].

Устанавливается существование и единственность распределения скорости фильтрации, построенного по решению вариационного неравенства (33) с помощью многозначного закона и удовлетворяющего уравнению неразрывности.

Вышеизложенный материал представлен в первом параграфе этой главы.

В двух последующих параграфах рассматриваются сеточные аппроксимации вариационного неравенства (33).

Во втором параграфе исследуется сеточное неравенство, названное неявной разностной аппроксимацией:

[Уи V - у] + [А0у, V - у] + *\Л(г/) - > [/Лг, V - у], (34)

здесь Ао и - сеточные аппроксимации оператора Ьо и функционала Т7!, построенные по методу сумматорных тождеств, [•, •] -обычное скалярное произведение в пространстве сеточных функций.

Установлена однозначная разрешимость неравенства (34). Доказана

Теорема 8 Пусть / € 1у(0,Т; РГу^П)), щ € и обладает Ра,р~

свойством. Тогда последовательность кусочно-постоянных восполнений решения неявной разностной схемы сходится к решению неравенства (33).

В третьем параграфе рассматривается сеточное неравенства вида:

['Л,« - У] + Иоу, V - Я + - > [Лг,» - У], (35)

которое в отличие от неравенства (34) названо явной разностной аппроксимацией .

Здесь так же доказана разрешимость неравенства (35), а также Теорема 9 Пусть функция щ обладает, Рар-свойством,

г, Ь выбраны так, что имеют место соотношения

/г2 /гР+п(р-2)/2

т < С—7ГГ, если 1 < р < 2, г < с---, если р > 2,

- п2/р' ^ - 2 Рп _

^ 0, если 1 < р < 2, f^J^ß - °> если Р^2'

при г, ft —► 0. Тогда последовательность кусочно-постоянных восполнений решения явной разностной схемы сходится к решению задачи (33).

В пятой главе исследуется задача фильтрационной консолидации. В первом параграфе дается постановка задачи. Рассматривается модель, предложенная A.B. Костериным, она основана на уравнениях квазиравповесия среды в целом:

diver' - V - т s(p)p~) = f(s(p)) (36)

и условии совместного деформирования фаз:

s(p)«i|pl + <Iiv,+ m2|)=„. (37)

Здесь т - пористость, а? - тензор эффективных напряжений, и - вектор перемещений упругой среды, р - поровое давление, q - скорость фильтрации, s(p) - насыщенность. Вектор-функция f(s(p)) определяет плотность массовых сил, р+ = ~(|р| +р), р~~ = р+ — р. В этой

и

модели полагается, что насыщенность s - заданная функция давления р, скорость фильтрации q связана с р следующим законом

q = -b(s(p))(Vp - pg), (38)

р - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения. В данной работе предполагается, что

af = Ae(u) + Be^, (39)

где с (иj и г ~ тензор деформации и тензор скоростей деформации соответственно, а А и В - линейные симметричные положительные операторы, действуюшие в пространстве симметричных тензоров второго ранга. Кроме того предполагается, что

1) в(£)>Ь(0 ~~ непрерывные, неубывающие функции;

2) о < *(е) < 1 V* € Дь I *(£)£ 1< У£ < О, = 1 У£ > О;

3) о < 6(0 <1 У£ е Й1, 6(1) = 1;

4) функция

К{р) = / о

взаимно однозначна на В}.

Рассматриваются следующие краевые условия

щ(х, t) = 0, xGPiUr2, г = 1,2; (40)

а{2 = 0, л; G Г3 U Г4; -а{г + (Р+ - = ( * 6 ^ 1 (41)

9l(ar, i) = 0,xer,; q2{x, t) = 0, х G Г3; (42)

р(х, i) = О, хе Г4; (43)

q2{x,t) = 0, :геГ2, . (44)

&(x,t) = i(PH{x,t)-P(p(x,t))), х G Г2. (45)

Здесь Г; - часть границы П, характеризуемая равенством | £1 |= а; множество Гз определяется соотношениями = 0, | Х[ |< а; < а; на Г2 : а?2 = —ii; Г4 - оставшаяся часть границы, 7 = const >0, Рц, Р - заданные функции.

Кроме того полагается, что

р(х,0) = р°(х), щ(а:,0) = t = 1,2.

Задача, определяемая соотношениями (36)—(43), (44), названа задачей I, равенства (36)-(43), (45) описывают задачу II.

Во втором параграфе дается обобщенная формулировка задачи I, исследуется разрешимость этой задачи.

Определение 3 Обобщенным решением задачи I назовем функции «ь щ, Pi для которых справедливы следующие соотношения

г\

uh~eL2(d,T-Vl 1ф;,0) = и?(а;) п.в.вП, (46)

д

^ 6 ¿2(0,Т; (КО*), я(р(®, 0)) = 8(р°(х)) п.в. в П, (47)

и,(р) = /б(в(£)К € ЫО,Т;Ух), (48)

о

и для любых функций V,- € ¿2(0, Г; У), г = 1,2, г € ¿2(0, Т; У О имеют место равенства

/ / {,5^ ^ ~ ^ ~ =] /

т

+ $¿2 / У ^(аг, г = 1,2, (49)

о г3

Т* л ^ ч Г

//|в(р) —2 + Угу • + /(т^, г)Л =

О П 4 ' о

X

дг

- I I Н3(р)) Р92 ^—

о п

Здесь V - замыкание гладких функций, равных нулю каГхиГг, в нор-

1 о

же пространства (П), а У1 - замыкание гладких функций, равных нулю на Г4, в норме того оке пространства, (и, г) - значение функ-

0 о

ционала V £ (УО* на элементе z £Ух, у - символ Кронекера, г ■ и -скалярное произведение в Я2.

Справедлива

Теорема 10 Пусть функции /¿(я) - непрерывны на [0,1]. Тогда задача I имеет, обобщенное решение при любых

и°{ €¿2(0,Г; У), %<)€^(0,Т,12(Г3)), (/)" € £«,(12).

В третьем параграфе рассматривается задача II.

Определение 4 Функции назовем решением задачи II, если

выполнены соотношения (46)-(49), и имеет место равенство

о п 1 т '

+ т I (^Г^г) Л + / / 7 Р(р) г йхй1 = о 4 ' ог 2

Т дг т о

= 1/ Ъ{з{р))рд2 ¿хЛ + ] I 7 Рн г йхЛ Уг £ ¿2(0,Т; Гх).

Условия разрешимости этой задачи зависят от вида функции Р. Получено два результата о существовании решения задачи И.

Теорема 11 Пусть Р(р) = р, выполнены условия теоремы 10. Кроме того,

b(s) > 6 > 0 Vs € [О,1].

Тогда задача II имеет обобщенное решение при любых

u«eL2(0,T;F), (р°)-еМП), Рн е£2(0,Т;£2(Г2)). (50)

Теорема 12 Пусть выполнены условия теоремы 10, функция Р(р) имеет вид

Р, Р> Р*,

Р(р) =

Р*

■w(p), Р<Р*,

w(

. w(p*)

>{р) = I ь(з(0) dt,

о

р* = const.

Тогда задача II имеет обобщенное решение при любых и®,р®,Рц, удовлетворяющих (50).

Автор благодарит Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы на её заключительном этапе в рамках грантов 95-01-00400, 98-01-00260.

Основные работы автора по теме диссертации.

1. Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О численном решении нестационарной задачи совместного движения грунтовых и поверхностных вод // Исследования по прикладной математики. - Казань, 1989. -вып. 16 - С. 34-40.

2. Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для задачи совместного движения грунтовых и русловых вод с произвольной формой поперечного сечения русла реки // Исследования по прикладной математики. - Казань, 1990. -вып. 17 - С. 27-45.

3. Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одной задачи совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №9. - С. 16-27.

4. Глазырина Л. Л., Павлова М.Ф. О существовании решения одного нелинейного эволюционного неравенства с нелокальным условием на границе // Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань. - 1996. - С. 29-31.

5. Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию П.Л. Чебы-шева, Москва. - 1996. - С. 113-116.

6. Глазырина Л. Л., Павлова М.Ф. О разрешимости одного нелинейного эволюционного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод // Изв. вузов. Математика. - 1997. -№4. - С. 20-31.

7. Глазырина Л.Л., Павлова М.Ф. О сходимости явной разностной схемы для задачи совиестного движения поверхностных и подземных вод // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо. -

1997. - С. 38-39.

8. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях // Численные методы и их приложения. - София. -1984. - С. 70-74.

9. Ляшко А.Д., Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О разрешимости одного вариационного неравенства теории нелинейной нестационарной фильтрации // Дифференц. уравнения. - 1996. - Т.32.- №7. - С.958-965.

10. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. - 1984. - Т.20. - №7. - С. 1237-1247.

11. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Математика. - 1994. - №1. - С. 43-53.

12. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О явных разностных схемах для нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации //Исследования по прикладной математики. - Казань: изд-во Казанского ма-тем. общества. - 1997. - вып. 22. - С. 106-130.

13. Майорова М.Е., Павлова М.Ф. О сходимости явных разностных схем для одного вариационного неравенства теории нестационарной фильтрации // Изв. вузов. Математика. - 1997. - №7. - С. 53-65.

14. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации. // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т.23,- №8. -С.1436-1446.

15. Павлова М.Ф. О сходимости метода полудискретизации для некоторых нелинейных нестационарных задач // Численные методы и их приложения. - София. - 1989. - С. 359-361.

16. Павлова М.Ф. О разрешимости одной задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математиче-

ского моделирования", Абрау-Дюрсо. - 1997. - С. 110-114.

17. Павлова М.Ф. Исследование корректности задачи фильтрационной консолидации при неполном насыщении // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т.34,- №7. - С. 1-11.

18. Павлова М.Ф., Майорова М.Е. О явных разностных схемах для параболического нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань. - 1996. - С. 87-89.

19. Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. О разрешимости одного нелинейного уравнения типа нестационарной фильтрации // Матем. моделирование. - 1992. - Т.4. - №4. - С.74-88.

Подписано к печати 2.11.98 г. Заказ 1077. Тираж 100 экз. Объем 2,0 п.д. Типография ИнИК. г. Казань

- ч ' * / -г '<

/ V ».''

ф /5 .¿> Г 09 О/б^к

казанским государственный университет имени в.и. ульянова-ленина

Президиум ВАК £Ъ??^!НУКОПЙСИ

(решение от"

УДК 519 ^присудил ученую степень ДОКТОРА

¿¿¿¿V

✓1

Начальник

наук лерия ВАК России

ПАВЛОВА Мария Филипповна

СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ДВОЙНЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1998

Оглавление

Введение 4

1 Исследование сходимости разностных схем для нелинейного уравнения с двойным вырождением 32

1.1 Постановка задачи, обозначения............................32

1.2 Вспомогательные результаты................................35

1.3 Исследование сходимости неявной разностной схемы . 55

1.4 Явная разностная схема......................................64

1.5 Регуляризованная разностная схема........................74

2 Исследование вариационного неравенства с двойным вырождением 84

2.1 Постановка задачи...................... 84

2.2 Теорема существования решения вариационного неравенства ............................. 86

2.3 Исследование сходимости явной разностной схемы ... 97

3 Задача о совместном движении поверхностных и подземных вод 111

3.1 Постановка задачи, вспомогательные результаты, обозначения ............................111

3.2 Теорема существования...................125

3.3 Явная разностная схема...................140

3.4 Теорема существования для вариационного неравенства теории совместного движения поверхностных и подземных вод.........................160

4 Исследование сходимости разностных схем для нестационарных задач фильтрации с разрывным законом 175

4.1 Постановка задачи, исследование разрешимости .... 175

4.2 Исследование неявной разностной аппроксимации вариационного неравенства...................180

4.3 Исследование явной разностной аппроксимации вариационного неравенства.....................192

5 Исследование корректности задачи фильтрационной

консолидации при неполном насыщении 199

5.1 Постановка задачи......................199

5.2 Обобщенная формулировка и теорема существования решения задачи I.......................202

5.3 О существовании обобщенного решения задачи II ... . 218

Литература

223

Введение

В настоящее время одним из наиболее эффективных методов решения задач математической физики является конечно-разностный метод или метод сеток. В частности, он широко используется при решении эволюционных уравнений и неравенств.

Теория этого метода для линейных параболических уравнений и неравенств развита к настоящему времени достаточно полно. Различные аспекты этой теории освещены, например, в монографиях и обзорах [104], [107], [105], [24], [38], [39], [47], [91], [35].

Нелинейные параболические уравнения и неравенства также давно являются объектами изучения. Имеется ряд работ, в которых исследование разностных схем проводится при условии существования гладкого решения (см., например, [1]-[7], [17]-[21], [57], [73]-[76], [79], [86], [103], [110], [111])- Достаточно подробно изучены разностные схемы для параболических уравнений и неравенств со слабой нелинейностью, а также с монотонными пространственными операторами: [35], [92], [84], [64], [96], [27].

Особое место среди нестационарных задач занимают задачи, в которых нелинейность присутствует не только в пространственном операторе, но и в "параболической" части. Наличие двойной нелинейности существенно усложняет исследование. Изучению устойчивости и сходимости разностных схем для таких задач при условии, что "временная" нелинейность не имеет особенности, и в предположении

гладкости решения посвящены, например, работы [14], [15], [109]. Проблема становится еще более сложной, когда рассматриваемая задача допускает вырождение и в пространственном операторе, и в нелинейности, присутствующей в "параболической" части. Такие задачи получили название задач с двойным вырождением. Они часто встречаются в приложениях, например, при математическом моделировании процессов неньютоновской фильтрации, диффузии,-таяния ледника, совместного движения поверхностных и подземных вод, фильтрационной консолидации (см., напр., [55], [23], [93], [13], [67]). В то же время, методы решения таких задач изучены слабо.

Следует отметить, что характерной особенностью задач с двойным вырождением является негладкость решения. Поэтому исследование сеточных методов естественно проводить при минимальных предположениях о гладкости исходных данных, обеспечивающих лишь существование обобщенного решения задачи. В этом случае исследование сходимости приближенных методов тесно взаимосвязано с вопросом о разрешимости рассматриваемой задачи, и часто второе является следствием первого.

Кратко охарактеризуем рассматриваемые в диссертации задачи и укажем близкие по тематики работы.

В первых двух главах исследуются сеточные методы для решения уравнений и неравенств с двойным вырождением с непотенциальным пространственным оператором. По-видимому, первой работой, в которой был исследован вопрос существования обобщенного решения для подобного уравнения, является статья Ю.А. Дубинского [45]. Доказательство существования решения в этой работе проводится с помощью эллиптической регуляризации. Позднее Равьяр [121], используя доказанную в работе [45] теорему компактности, установил существо-

вания обобщенного решения для уравнения вида

<9(|w|a-V) » д

ди

р-2 ди

Эх;

дхi

«Г =/■ W

dt i=1 dxi

При этом существенно использовалась монотонность пространственного оператора и возникало ограничение на связь параметров а, р и п. Там же была доказана сходимость неявной разностной схемы в одномерном случае. В работах [118], [97] аналогичная методика применяется для исследования существование решения уравнений более общего вида. Изучению некоторых свойств решения уравнения (1) посвящена работа [115].

Существенный шаг вперед в изучении уравнений с двойным вырождением был сделан с появлением работы [112]. Здесь была доказана новая теорема о компактности, позволяющая исследовать задачи с непотенциальными операторами, без ограничений на параметры а,р и п и при более слабых предположениях на гладкость исходных данных. В работе [112] исследовалась система уравнений с двойным вырождением с пространственным оператором, зависящим и от градиента решения, и непосредственно от самого решения. Обозначим его L(u,Vu). В [112] предполагается, что

{L(u,Vv) — L(u,Vw),v — w) > coj|v —Vu,v,w , (2)

где Co = const > 0.

Операторы, удовлетворяющие (2) при cq > 0 естественно называть сильно монотонными по градиенту, при cq = 0 - монотонными по градиенту.

В [112] доказана теорема существования решения для уравнений с двойным вырождением, получены некоторые результаты о гладкости решения, доказана теорема о разрешимости вариационного неравенства с двойным вырождением при достаточно сильном ограничении

на пространственный оператор, близком к условию потенциальности. В [124] проведено обобщение результата [112] для уравнений на случай монотонного по градиенту непотенциального оператора.

Проблеме существования обобщенного решения для параболических уравнений с двойным вырождением посвящены также работы [8], [114], [117], [119], [122], [123], [125]. В работах [50]-[54] был получен ряд результатов о регулярности обобщенного решения уравнения с двойным вырождением, получены гельдеровские оценки.

В диссертации исследуется сходимость неявной, явной и регуляри-зованной разностных схем для уравнения с двойным вырождением с монотонным по градиенту непотенциальным пространственным оператором. При этом используется методика работы [112]. С помощью методов полудискретизации и штрафа доказывается существование неотрицательного решения вариационного неравенства с двойным вырождением при более слабых по сравнению с [112] ограничениях на пространственный оператор. Исследуется сходимость решений сеточных аппроксимаций вариационного неравенства к обобщенному решению дифференциальной задачи.

В главе третьей рассматривается система вырождающихся параболических уравнений. Аналогичная система возникает при математическом описании совместного движения поверхностных и подземных вод (см., напр., [12], [13]). Согласно предлагаемой в этих работах модели, процесс неустановившегося совместного движения описывается нелинейным параболическим уравнением в пористой среде (уравнением Буссинеска) и уравнением диффузионных волн в канале (реке). Последнее получается из уравнений Сен-Венана, если пренебречь в них инерционными членами. Оно представляет собой нелинейное параболическое уравнение с двойным вырождением относительно уровня воды в реке. Вопросы существования и единственности решения

для аналогичных систем без вырождения в параболической части рассмотрены в работах [11]—[13]. При этих же предположениях в работах [27]-[29] исследованы разностные методы решения задачи совместного движения поверхностных и подземных вод.

В диссертации рассмотрен более общий случай, а именно, здесь предполагается, что уравнения и в пористой среде, и вдоль русла реки являются уравнениями с двойным вырождением. Устанавливается существование обобщенного решения, исследуется сходимость явной разностной схемы. Рассматривается также соответствующее вариационное неравенство. Возникающая при этом модель учитывает тот факт, что относительный уровень жидкости (функция и) по физическому смыслу задачи не может принимать отрицательные значения. Доказывается существование решения этого вариационного неравенства.

Четвертая глава посвящена исследованию разностных методов решения задачи нестационарной фильтрации с предельным градиентом в случае, когда зависимость скорости фильтрации от градиента давления задается с помощью разрывной функции. Здесь в отличие от других глав рассматриваемая задача содержит нелинейность и вырождение лишь в пространственном операторе, однако этот оператор является разрывным. Постановки задач фильтрации с предельным градиентом содержатся в [9], [10], [23]. В этих работах задача об определении давления ставится в области, часть границы которой (границы застойной зоны) неизвестна. Формулировка этой задачи для непрерывного закона фильтрации в виде уравнения с монотонным вырождающимся оператором в области с фиксированной границей впервые была дана в работе А.Д. Ляшко, М.М. Карчевского [61]. Там же было доказано существование обобщенного решения, изучены его свойства. Разностные методы решения задачи фильтрации с

предельным градиентом для непрерывного закона исследовались в работах [36], [37], [58], [63], [64], [81], [84], [96]. Задача фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе рассматривалась в стационарном случае в работах [56], [71], [80], в нестационарном - в [72]. В [72] с помощью регуляризации задачи и перехода к близкому непрерывному закону без предельного градиента доказаны существование и гладкость по времени обобщенного решения.

В четвертой главе диссертации проводится исследование сходимости неявной и явной разностных схем для эволюционного вариационного неравенства, возникающего при математическом описании нестационарной задачи фильтрации с предельным градиентом при разрывном законе фильтрации.

В пятой главе рассматривается задача фильтрационной консолидации. Фильтрационной консолидацией называется процесс движения жидкости в пористой среде с учетом деформации среды. При этом говорят о насыщенной фильтрационной консолидации, если поры деформируемой среды полностью заняты жидкостью, и о ненасыщенной - в противном случае. По поводу постановок задач фильтрационной консолидации см., напр., [116], [94], [49]. Корректность модели насыщенной консолидации, а также методы ее численной реализации изучены достаточно подробно (см., напр., [40]—[44]). В случае ненасыщенной фильтрационной консолидации известны лишь работы, в которых исследуется разрешимость уравнения относительно давления в порах скелета без учета его деформации (см., напр., [112], [ИЗ]).

В работе [67] предложена модель, пригодная для описания как насыщенной, так и ненасыщенной фильтрационной консолидации. В дальнейшем эту модель будем называть фильтрационной консолидацией при неполном насыщении. В этой модели уравнение относительно давления в порах скелета является уравнением с двойным

вырождением.

В пятой главе данной работы исследуется корректность модели фильтрационной консолидации, предложенной в [67], формулируются условия существования обобщенного решения. Доказывается сходимость приближенных решений, полученных с помощью методов полудискретизации и Галеркина, к обобщенному решению исследуемой задачи.

Исследование всех рассматриваемых в работе задач проведено в едином стиле. При доказательстве теорем существования используется метод полудискретизации и метод Галеркина, а в случае вариационных неравенств также и метод штрафа. Построение разностных схем проводится с помощью метода сумматорных тождеств [59], [60], [62]. Исследование сходимости дискретных методов основано на получении априорных оценок восполнений приближенных решений в нормах соболевских пространств и последующем предельном переходе. При этом существенно используется аппарат теории функций и нелинейного анализа.

Для линейных уравнений математической физики аналогичная методика подробно разработана O.A. Ладыженской [68], [69].

Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

Работа состоит из пяти глав.

Первая глава посвящена построению и исследованию разностных методов решения для нелинейного уравнения с двойным вырождением

= (3)

Для этого уравнения в ограниченной области Q С Rn рассматрива-

ется первая краевая задача

и |г= 0, и(х, 0) = щ(х). (4)

Предполагается, что ср(£) - абсолютно непрерывная, строго возрастающая функция, удовлетворяющая при любом ( Е Д1, следующим условиям

£

Ы £ Г ^ / < ^ К Г +Ьз, а > 1, (5)

о

I 1< ь, и г-1 (6)

И00' > (7)

Ъо > О, &1 > О, Ъ2 > О, 63 > О, 64 > о, &5 > 0.

Неравенства (5)-(7) выполнены, в частности, для <£>(£) =| £ |а~2 то есть функции и могУт иметь особенность в нуле.

Предполагается, что коэффициенты а,-, таковы, что оператор

п д

Ъи = - X] Ум)),

° 1

действующий из в И7"^ (П) (1/р+1/р' = 1), является непрерыв-

ным, коэрцитивным, ограниченным, монотонным по градиенту. Допускается вырождение оператора Ь по Уи.

В первом параграфе дается постановка задачи, вводятся основные обозначения.

Во втором параграфе формулируется и доказывается ряд утверждений, носящих вспомогательный характер. Среди них

Лемма 1 Пусть - абсолютно непрерывная, монотонно возра-

стающая функция, удовлетворяющая условиям (5)-(7). Тогда для любой функции v такой, что

v е ьр(О, Г; т п £оо(0, Т; Ьа(П)), (8)

«КО) е№р (П)Г)Ь«(П),

(10)

справедливо равенство

здесь Ф(£) = У

о

Равенство (11) в дальнейшем используется при исследовании начально-краевых задач. Следует отметить, что условие (10) исключает из рассмотрения задачи с разрывными начальными условиями. Для весьма широкого класса задач это ограничение можно заменить более слабым условием:

Определение 1 Будем говорить, что функция ги(х), определенная на О, обладает Ра ^-свойством, если при любом Я > 0 можно построить функцию гид (ж, £) такую, что

р-свойством могут обладать как непрерывные, так и разрывные функции. Например, этим свойством обладают функции, удовлетворяющие условию (10), а также функции из /^(П), если а = 2, р> 2п/(п + 2).

Лемма 2 Пусть у>(£) удовлетворяет перечисленным в лемме 1 условиям и, кроме того, при любом В, > 0 имеет место неравенство

гЬЕ е С(0,Г;£оо(П))П^(0,Т;^ (П))

и при / —> 0

НО - <РШ < к (Я) |£ - Т]\ У|£|, И < п. (12)

Тогда для любой функции v, удовлетворяющей условиям (8)-(9), такой, что v(x,0) 6 La(Q) и обладает Рар-свойством, справедливо равенство (11).

В третьем параграфе первой главы для задачи (3)-(4) рассматривается неявная разностная схема

ipt(y) + Ay = fhT, . (13)

у(х,0) = у0(х), у |г= О,

где А - разностная аппроксимация оператора L, построенная по методу сумматорных тождеств, у о, fhr ~ сеточные аналоги щ(х) и /. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1 Пусть функции ср, щ, к{ удовлетворяют перечисленным

о 1

выше условиям; щ 6 La(Q) П Wp (П), если условие (12) не выполнено, и щ 6 La(Q) и обладает Ра^-свойством в противном случае, / Е Lp>(0, Т; W^71(fi)). Тогда существует подпоследовательность кусочно-постоянных восполнений решения разностной схемы (13), сходящаяся к обобщенному решению задачи (3)~(4), а именно, при r:h 0 имеют место следующие соотношения

Щу*-и в £«,((), Г; Ltt(ii)), (14)

<9 и

Щдиу - Л*у * - и в LP(QT), (15)

¥>(«) 6 МО (16)

П.*у —» и почти всюду в Qt1 (17)

где Щ - кусочно-постоянное восполнение.

В четвертом параграфе рассматривается явная разностная схема

<Pt(y) + Ay = fhT. (18)

Сходимость явной разностной схемы удается установить лишь в случае, когда а > 2, а для функции (р имеет место неравенство

ЛО > h к Г-2, h > 0. (19)

При выполнении этих предположений справедлива

Теорема 2 Пусть

h<x fov+n(p-a)/a

т < с-г, если 1 < р < а, т < с-, если р> а,

~ 2 ап<*/р ~ 2 Рп

кроме того, при r,h 0

т т

— —> 0, если 1 < р < а, -——7-гт- 0, если р> а.

foa ' Г 1 fap-\-n(p—a) / а 7 1 —

Тогда при любых f 6 Lq(0,T) W^"1^)), q = тах{а',У}, и щ, удовлетворяющих условиям теоремы 1, подпоследовательность �