Математические модели и разностные методы в нелинейной теории фильтрации и теории оболочек тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ¿£) Я %

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБЙРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ^л/Ъ

На правах рукописи

КАРЧЕВСКИЙ Михаил Миронович

УДК 519.632. 4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ И ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

01. 01. 07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1988

Работа выполнена в Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

в.б.авдреев;

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН ЗССР Г.М.ВАЙНИККО;

доктор физико-математических наук, профессор А.Н.КОНОВАЛОВ

Ведущая организация: Институт математики АН БССР.

Защита состоится "_"_1988 года в_час.

на заседании -специализированного совета Д 002.10.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, пр.Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отделения ИШТБ СО АН СССР (цр. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан "_" _1988 года.

Ученый секретарь специали-у зированного совета, канди-7 дат физ.-мат.наук / Ю.И.Кузнецов

:';; • общая характеристика работы

'^"Актуальность темы исследований. Сеточные методы в настоящие вреда являются самым распространенным средством решения задач математической физики. К числу наиболее развитых областей теории этих методов прежде всего относится теория метода конечных разностей и метода конечных элементов решения линейных эллиптических и параболических' уравнений.

Различные аспекты теории этих методов освещены в многочисленных монографиях и обзорах.

Хорошо известно, однако, что более точное математическое моделирование в механике, физике, технике и т.д. приводит, как правило, к необходимости учета нелинейных эффектов, что существенно осложняет построение и теоретическую оценку качества сеточных аппроксимаций соответствующих краевых задач. Значительные трудности,естественно, возникают и при построении эффективных итерационных методов решения систем нелинейных сеточных уравнений. Упомянем здесь лишь наиболее известные области науки и техники, в которых возникает необходимость численного решения нелинейных эллиптических и параболических уравнений. Это - теория упругости и пластичности, теория пластин и оболочек, теория магнитных полей в нелинейных средах, теория теплопроводности,' геометрия (теория поверхностей) , теория фильтрации жидкостей и газов в пористых средах.

К настоящему времени довольно хорошо изучены сеточные схемы и итерационные методы для нелинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами.

В диссертации рассматриваются, в основном, два круга задач, при описании которых возникают эллиптические и параболические уравнения и неравенства с операторами, обладающими более общими свойствами.

Первый - стационарная и нестационарная фильтрация жидкости с предельным градиентом.

Второй - геометрически и физически нелинейный изгиб тонких пластин и оболочек.

Цель работы заключается в теоретическом исследовании математических моделей указанных задач, построении и исследовании разностных аппроксимаций этих моделей, разработке итерацион- •

- 3 -

ных методов их численной реализации.

Методика работы. В диссертации широко используются результаты и методы теории уравнений и неравенств с монотонными операторами, методы выпуклого анализа и, в частности, теория двойственности, теория квазилинейных эллиптических и параболических уравнений. При построении разностных схем последовательно применяется метод сумматорных тоадеств. Исследование разностных схем основано на априорных оценках, получаемых с помощью метода энергетических неравенств, методе внешних аппроксимаций, разностных аналогах теорем вложения.

Научная новизна. I. Предложены новые математические модели для описания стационарной нелинейной фильтрации жидкости в пористой среде в случае законов фильтрации с предельным градиентом. Исследованы основные свойства возникающих здесь нелинейных уравнений и неравенств.

2. Разработаны и исследованы разностные методы решения квазилинейных эллиптических уравнений стационарной фильтрации,

3. Исследованы основные разностные схемы сквозного счета для решения нестационарных задач фильтрации с предельным градиентом.

4. Изучены вопросы существования и единственности решения вариационных задач, возникающих при описании прогибов пологих и цилиндрических оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности. Построены и исследованы разностные аппроксимации этих задач, а также итерационные методы их численной реализации.

5. Разработаны ноше эффективные методы решения разностного бигармонического уравнения на декартовой и полярной сетках.

6. Предложен новый подход к построению разностных аппроксимаций задач теории упругости в произвольных криволинейных координатах. На основе этого подхода построен и исследован разностный метод решения неосесимметричной задачи о равновесии упругого анизотропного цилиндра.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней исследованы математические модели и численные методы их реализации для ряда' важных задач математической физики. Некоторые из предлагаемых ' в работе моделей являются новыми (фильтрационные задачи) и

- 4 -

риентированными на исследование задач современными средства-и вычислительной математики. Практическая ценность состоит в озможности применения предлагаемых в ней методов к решению онкретных задач нелинейной фильтрации, упругости, теории болочек.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на X Советско-Чехословацком совещении "Применение функциональ-их методов и методов теории функций к задачам математической изики" (Донецк, 1986), на 1У и У Всесоюзных конференциях по ариационно-разностным методам в математической физике (Но-осибирск, 1980; Москва, 1983), на Всесоюзной конференции [Современные проблемы вычислительной математики" (Москва, 986), на Всесоюзных конференциях "Численные методы решения адач теории упругости и пластичности" (Кишинев, 1973; Лаго-ехи, 1975; Караганда, 1977; Ташкент, 1979; Миасс, 1981; Уж-ород, 1983; Саратов, 1985), на Всесоюзных конференциях "Чис-енные методы решения задач теории фильтрации многофазных жи-костей" (Рига, 1974; Алма-Ата, 1976; Баку, 1978; Ташкент, 980; Фрунзе, 1982), на Всесоюзных школах по численным мето-ам решения задач математической физики (Казань, 1974; Казань, 976; Минск, 1978), на У Всесоюзной школе-семинаре по теоре-ическим и прикладным проблемам вычислительной математики Црогобыч, 1980), на Всесоюзной школе-семинаре "Математичес- • ое моделирование в науке и технике"(Пермь, 1986), на Всеси-ирской школе по вычислительной математике (Новосибирск,1983), а республиканской конференции "Численное решение краевых за-ач и интегральных уравнений" (Тарту, 1981), на Ш симпозиуме о методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации Таллин, 1984), на семинаре факультета вычислительной матема-ики и кибернетики М1У (руководитель А.А.Самарский), а также, а итоговых научных конференциях Казанского государственного ниверситета 1973-1985 годов.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 37 рабо-ах.

содержание рашш

Во введении изложено состояние проблем, исследуемых в дис-ертации, дана краткая характеристика работ, примыкающих к её

- 5 -

тематике, приводится 1фаткий обзор основных результатов диссертации.

Глава I посвящена построению и исследованию математических моделей для задач теории фильтрации жидкостей с предельным градиентом. В основе математического описания медленного без-инерционного движения (фильтрации) однородной несжимаемой жидкости в пористой среде лежат следующие соотношения: уравнение неразрывности

¿IV V (I)

закон фильтрации

V = -^С17а1г)Уа. (2)

Здесь V - скорость фильтрации, Ц, - давление, ^ - плотность внешних источников.

Известно, что в некоторых случаях (например, при фильтраций воды в глинстых грунтах, нефтей при пониженных температурах) скорость фильтрации остается равной нулю до тех пор, пока градиент давления не достигнет некоторого положительного значения £ (называемого предельным градиентом сдвига). Это означает, что д(£2)£ = 0 при . При фильтрации, сле-

дующей закону с предельным градиентом, могут образовываться застойные зоны (области, в которых скорость фильтрации равна нулю).

В традиционной постановке в этом случае задача об определении функции- К/ (давления) рассматривается в области, часть границы которой (птраница застойной зоны) заранее неизвестна. Внутри области предполагается выполненным нелинейное, вообще говора, уравнение

{ (3)

(следствие соотношений (I) - (2)).

На известной части границы области считаются заданными обычные краевые условия (например, давление или поток), на неизвестной границе застойной зоны предполагаются выполненными два условия

.УЧД-у, (4)

(второе из условий (4) означает, что граница застойной зоны -предельная линия тока).'

Исследование задач в такой постановке, а также их численное решение, вызывают значительные трудности и были выполнены лишь в некоторых частных случаях плоской фильтрации, в основном, на основе преобразований типа годографа скорости и. методами теории струй (А.М.Алшпаев, В.М.Ентов, Н.Б.Ильинский,Ю.М. Молокович, Э.В.Скворцов, Л.М.Котляр, Е.Г.Шешуков и др.).

В § I предполагается следующий подход для описания фильтрации в случае нелинейного закона (2) с предельным градиентом.

В пористой среде выделяется область , включающая в себя, вообще говоря, и застойные зоны. Предполагается, что на границе Г области О. можно поставить обычные граничные условия (то есть задать значения давления, потока). Внутри области функция U, (давление) определяется как решение квазилинейного уравнения (3). Застойные зоны находятся затем по решению сформулированной краевой задачи как множество точек области, , в которых ivai^ß

Подробное исследование задачи проводится в случае однород-юго граничного условия Дирихле

ULI =0. (5)

V

Предполагается, что цри , р^О ,функ- •

И1*1 при ^^ непрерывна, кусочно-непрерывно диффе-

юнцируема, не убывает и имеет на бесконечности степенной юст порядка р-1 > 0 .

Задача (3),(5) формулируется в виде операторного уравнения

Au,= f (6)

Д т°7111 Т г 1-0 \ Д

! оператором А , действующим из И/р в Vv Q ( р + "¿" = П и юределяемым тождеством " '

0 СО (-1)

<•,*> - отношение двойственности между Wp и W^ ).

Исследование разрешимости уравнения (6) проводится на ос-

:^Данная постановка эквивалентна традиционной в случае достаточно гладких решений.

нове общей теории уравнений с монотонными операторами (Брау-дер, Минти).

При этом устанавливается, что оператор А монотонен, непрерывен, коэрцитивен и, следовательно, уравнение (6) имеет непустое замкнутое множество решений.

Ясно, что решение уравнения (6), вообще говоря, не единственно. Однако, если предположить, что функция наряду с перечисленными выше, удовлетворяет условию

с = const ¿о,

-> г

то скорость фильтрации V = -g(lVUI )VIL определяется однозначно (не зависит от выбора решения уравнения (6)).

На основе общих результатов о гладкости решений квазилинейных эллиптических выровдавдихся уравнений (Г.Н.Яковлев)ус-тановлено также, что если f(x)€ , то шх) удовлетворя-

ет уравнению (30 почти всвду в £1 , обобщенные производные компонент скорости фильтрации суммируемы со степенью — £ cj, , р>2 ; Р , р<г> . При численной реализации задачи (16) полезной оказывается её регуляризация вида

Au+t3u = *, (8)

*t тГг(1) тгН) где J : W -> Wn - оператор двойственности, определяемый Р У

тождеством

<Ciu,»2> = Nvu.v^dx. a

Принятая регуляризация уравнения (6) может быть интерпретирована как переход от закона фильтрации (2) к близкому закону

V«-gt(ivaia)vu, дьС^^Ч + б^"1

без предельного градиента.

При любом £>0 решение уравнения (8) существует и единственно, U£->U,0 (сильно в'"^5 ) при £-*0 , где

и.о - нормальное решение уравнения (6) (решение с минималь-

т°т«>

НОЙ В IVр нормой). Оценку скорости сходимости к Ч0 при

принятых предположениях относительно функции $}(£.) получить не удается. Однако, такую оценку можно получить для скорости фильтрации

построенной по решению задачи (7). А именно, II V -О. = = 0(>1&) , где пг'цг ((^,,2.) , V - скорость, соответствующая решению исходной задачи.

Эти результаты показывают, что переход от закона фильтрации с предельным градиентом к близкому закону фильтрации без предельного градиента мало изменяют картину течения.

Исследование аналогичных вопросов на примерах конкретных задач путем анализа их аналитических или численных решений . проводилось ранее В.М.Ентовым, Ю.М.Молоковичем и др.

В § 2 предлагается и исследуется математическая модель стационарной фильтрации в случае разрывного закона (закона М.Г.Алишаева).

Предполагается, что

где функция д„с£) удовлетворяет тем же условиям, что и функция из § I, а

Как и в § I, соотношение (I) дополняется уравнением неразрывности (2) и граничным условием (5).

Задаче (I),(2),(9),(10),(5) по аналогии с § I приводится в соответствие уравнение

где оператор А: ^ р определяется соотношением (7).

Оператор Д оказывается при этом монотонным коэрцитивным, но

- 9 -

с

=1.

не удовлетворяет даже условию радиальной непрерывности. Поэ-тоцу, следуя А.А.Абрамову и А.Н.Гаиповой, под решением уравнения (II) мы понимаем функцию а в , удовлетворяющую

неравенству

со

<Ад-*,д-и>»0 VeeWj,. (12)

Отметим, что в случае, когда А деминепрерывен, неравенство (12), как известно, эквивалентно уравнению (II). Исследование разрешимости неравенства (12) проводится на основе сведения его к эквивалентной задаче на минимум выпуклого функционала

iva»

Fia)= j J d£dx - <f,a> no

При этом устанавливаются и существенно используются следующие результаты общего характера.

1) Пусть А : X X* , X - линейное нормированное пространство. Для того, чтобы элемент Au-f , f € X для любого

аеХ был субградиентом некоторого функционала необходимо и достаточно, чтобы оператор А был монотонным и криволинейным, интеграл j < Aa,da> по любому замкнутому контуру был

равен нулю.

2) Функционал F однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется по своему субградиенту Atl-f соотношением

F(u)= A(ia),a>¿i - cf,u>.

Задача

mía F(U-)

аеХ С»)

эквивалентна при этом решению неравенства

<A«2-Í-,»2-il> ^ О V»2 е X.

- ю -

Отметим, что указанные в I) условия (их можно назвать условиями субпотенциальности оператора А ) являются естественным, обобщением известных условий потенциальности (М.М.Вайнберг, АЛангенбах).

Показано, что функционал F слабо полунепрерывен снизу на

О

Wp и коэрцитивен ( Fcu/)->+«> при nuil-»+«> ). Отсюда вытекает, что задача (13), а, следовательно, и (12), имеет непустое замкнутое выпуклое множество решений.

Важно отметить, что поскольку а определяется как решение неравенства (12), то скорость фильтрации построенная по и согласно разрывному закону не удовлетворяет, вообще говоря, уравнению неразрывности (I).

Это приводит к необходимости физической интерпретации решения задачи (12), в связи с чем более внимательно анализируется задача минимизации (13).

Известно, что если а - точка минимума F , то 0 e 3F(a) , где BF(u) - субдифференциал F в точке а . В связи с этим возникает необходимость полного описания субдифференциала функционала F . Показано, что 3F(U) в каждой точке aeWp°

есть множество линейных функционалов" , определяемых формой

< ^и.'\ ^„(wufxvujvipАх v J^iwuiblVtt, vg)dbt, Q. а

где

г. 0(i «о

q í\Vil\ ) = -Л— » 09 ivai

а - произвольная функция из L^ , такая, что

(14)

CU e^cxu-tf^ 9a№) =

\vut < p

l tf, ivui >£.

Отсюда вытекает, что если И - решение задачи (12), то существует функция 0а , удовлетворяющая условиям (14) .такая, что

у (15)

Этот факт позволяет дать следующую интерпретацию решения задачи (12).

Наряду с разрывным законом (2) рассматривается многозначный закон фильтрации

vH

(16)

-^МеСО^итш-р.

Соотношение (15) показывает, что если [¿-решение задачи (12), то существует распределение скорости фильтрации, связанное с Ц многозначным законом (16) и удовлетворяющее уравнению неразрывности (I).

Для того, чтобы указать способ построения такого распределения, на основе общей теории двойственности (Экланд, Темам) строится двойственная задача (задача в скоростях).

(17)

где И - афинное множество скоростей, удовлетворяющих уравнению неразрывности,

а о

-¡¡м

ф(£г)£ -функция, "обратная" )£ (см. рис.1). Показано, что задача (17) разрешима. Причем, если V - решение задачи (16), и а - решение задачи (13), то существует функция , удовлетворяющая условиям (14), такая, что

1оказано, что по исходным данным задачи (12) однозначно определяются области,где |уи.|>£ и |\7икр , в этих областях зкорость фильтрации определяется однозначно. В "переходной зоне" (17и1 = £) скорость фильтрации определяется неединствен-шм образом. Конструируется пример (плоско-параллельный поток эт галереи скважин), в котором реализуется случай, когда мера збласти = положительна, и на этой области существует эднопараметрическое семейство скоростей фильтрации, удовлетворяющих уравнению неразрывности35).

В заключение § 2 указывается способ аппроксимации разрыв-юго закона (16) - непрерывным. Показано, что последователь-гость скоростей, построенных по решениям аппроксимирующих за-щч сходится сильно к нормальному решению задачи (17).

В § 3 исследуется задача нестационарной фильтрации с предельным градиентом. Предполагается, что реализуется упругий зежим фильтрации. Тогда распределение давления Ц, описывается шлинейным выроздающимся параболическим уравнение!^®)

^ - ¿¿у^ичгщ^и) =1 (18)

^Близкие примеры рассматривались А.В.Костериным, Н.Д.Якимовым.

Здесь предполагается выполненный непрерывный закон фильтрации (2). Случай разрывного закона и соответствующих нестационарных неравенств изучался А.Д.Ляшко и М.Ф.Павловой, автором, А.В.Лапиным.

Исследована обобщенная разрешимость в пространстве У^)

первой начально-краевой задачи для уравнения (18). Показано также, что если наряду с законом (2) рассмотреть регуляризо-ванный закон

у = - +

то решение соответствующей нестационарной задачи сходится в пространстве (0,Т; ^(й)) к решению исходной задачи со скоростью 0«ь) (ср. с результатами о регуляризации в стационарном случае).

Глава П посвящена исследованию разностных методов решения стационарных и нестационарных задач теории фильтрации с цре-• дельным градиентом. Мы ограничиваемся при этом случаем непрерывного закона фильтрации. Разностные методы в случае разрывного закона изучались в работах И.Б.Бадриева,-А.Д.Ляжо, М.Ф. Павловой и автора.

В § I строится разностная схема, аппроксимирующая задачу (6). Метод построения основан на аппроксимации интегрального тождества, определяющего обобщенное решение, - сумматорным. В случае общего эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида этот метод описан в [5] (см. также [16]). Оператор разностной схемы, построенной таким способом, сохраняет основные свойство (монотонность, коэрцитивность) оператора исходной задачи в сеточном пространстве . Это позволяет доказать разрешимость разностной схемы, единственность ■разностной скорости фильтрации при тех же условиях на закон фильтрации что и для исходной задачи.

В диссертации рассматриваются два различных подхода к исследованию сходимости разностных схем для задач с предельным градиентом.

Во-первых, показано, что при любом £>0 соответствующие восполнения решения разностной схемы для регуляризованной задачи сходится к её решению при ^-»0 . Отсвда на основании общей теории регуляризации некорректных задач вытекает, что можно согласовать выбор параметров £ ( при

£.->0") так, что восполнение ^ сходится к нормальному решению задачи (6) при £-*0 .

- 14 -

Во-вторых, рассматривается поведение разностной скорости фильтрации при Ри-^О .А именно, Показано, что кусочно-постоянное восполнение разностной скорости фильтрации сходятся при к скорости фильтрации, построенной по решению ис-

ходной задачи в пространстве , где = пгиг (<^,2,') .

В § 2 изучаются разностные методы решения нестационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом. Рассматривается три способа аппроксимации первой краевой задачи для уравнения (18).

1) Неявная схема

где А - аппроксимация "пространственного" дифференциального эператора, построенная по методу сумматорных тождеств.

Показано, что эта схема однозначно разрешима при любых негодных данных. Последовательность восполнений решения схемы зри 0 слабо сходится к обобщенному решению дифферен-

циальной задачи. Исследование сходимости основано на специальна априорных оценках решения разностной схемы, полученных методом энергетических неравенств, и последующем предельном переходе в сумматорном тождестве, соответствующем разностной зхеме. Аналогичная методика для .линейных параболических уравнений хорошо известна (О.А.Ладыженская). Отметим также, что эбоснование предельного перехода проводится аналогично предель-зому переходу для галеркинских уравнений (Ю.А.Дубинский, Ли-энс) и существенно использует монотонность разностного опера-гора А .

Доказывается также сильная сходимость восполнения разност-юго решения в пространстве С0,Т-, и^СОЛ") и разностной зкорости фильтрации в пространстве Ц (0,Т) ЦАСО.')),о1=пии(с})2).

2) Явная схема

Е^При этом используются лишь те цредположения об исходных данных. которые обеспечивают обобщенную разрешимость задачи в

Т^р . В случае, когда решение достаточно гладкое, Р=В , схемы, как показано для более общих уравнений С5], С12], С14], имеют точность 0(?Л в сеточном пространстве Аналогичные результаты для схем на полярных сетках см. в

Слабая сходимость восполнений решения этой схемы доказана при условии, что. шаги сетки (Т-по1г, ^ - по X ) удовлетворяют неравенству ТСр) 4С , где

С - постоянная, определяемая исходными данными задачи. Аналогично случаю неявной разностной схемы устанавливается также сильная сходимость решения разностной схемы и разностной скорости фильтрации.

3) Регуляризованная (по А.А.Самарскоыу) разностная схема

где В = Е+ТбЦ , Е - единичный оператор, Ц - самосопряженный -неотрицательный разностный оператор, удовлетворяющий условиям аппроксимации. Эти условия таковы, что схема включает в себя как частный случай схему с факторизованным оператором

Щ-

В-ПСЕ+ТС^, 55."

1=1 1

Сходимость разностной схемы исследована при р - £ . При этом отдельно рассмотрены случаи неотрицательного и положительно определенного оператора 0, .

Отметим, что в случае, когда пространственный дифференциальный оператор не вырождается (предельный градиент равен нулю) , оценки точности (на гладких решениях) рассмотренных в § 2 разностных схем непосредственно вытекают из результатов работ [2], [4].

В § 3 исследуется итерационный метод

численной реализации разностных схем из § I. Здесь А - оператор разностной схемы, Ч*- правая часть, ^ - пятиточечная разностная аппроксимация оператора Лапласа. Предполагается, что р= 2, . Операторы и Я рассматриваются в соответст-

- 16 -

вующем гильбертовом пространстве сеточных функций.

Показано, что операторы А и R связаны неравенством под-чтения*)

llAii-Apll^cCAa-Ai^u-i^ (19)

С = Coast.

В случае, когда предельный градиент равен нулю, выполняются более сильные условия равномерной энергетической эквивалентности производной Гато оператора А оператору R :

МЗД^И^^И3' (20)

yi15'a=const>0.

На основании неравенства (19) показывается, что при любом Т 6 (0,2,/С.) последовательность невязок А у * - .стремится к нулю, последовательность разностных скоростей V£ • построенных по приближениям у к , стремится к разностной скорости фильтрации V^ .

В случае, когда выполнено неравенство (20), 0 < Т < ,

последовательность у к сходится, к у при любом начальном приближении у 0 .

В § 4 конструируется и исследуется итерационный алгоритм Удзавы для решения стационарных задач теории фильтрации с разрывным законом.

Предварительно задача вычисления давления а и скорости фильтрации V сводится к задаче определения седловой точки лагранжиана:

£ni Sap Sup £(W,r>,Z)} (21)

W€Y* £6V leQ '

где

W p , Y = L<* Ц*. , Q = lie Y:liui П.а.: на ill,

^Здесь и далее, как обычно, II у н ^ = J)=D*>o.

- 17 -

о. о

Показано, что при выполнении перечисленных выше условий на разрывную функцию д^2")^. , седловая точка (решение задачи (21)) существует, причем V - решение задачи в скоростях (17) а - решение задачи (13), а у = V/IV! , если у*0 , 11| 14 1 и произволен, если V = 0 . Наряду с задачей (21) рассматривается задача отыскания сед-ловой точки регуляризованного лагранжиана +■ . Исследуется сходимость последовательности сед-

ловых точек (, , Ъь) лагранжиана к седловой точке исходного лагранжиана X . Для отыскания седловой точки регуляризованного лагранжиана применяется алгоритм Удзавы. В рассматриваемом случае он сводится к следующему.

„ ' СIX) Гц) /и! „

Пусть у , а известны, находим V по формуле

Затем строим 5СЛ> как решение однородной задачи Дирихле для уравнения

(23)

и определяем И(п+0 , у из соотношений

® ~-----<• 7><М)

тахЦ^^^у"1'!} - 18 -

где Уо^О - итерационный параметр.

Каждый шаг итерационного процесса (22)-(24) сводится фактически к решению уравнения Пуассона.

Показано, что если р=2 , О<$>04С , где С - постоянная, 'зависящая от исходных данных задачи и от 6 , то последовательность уС1г) сходится к Ус . Последовательности и(а) ,

(и) о

у ограничены, из них можно выбрать подпоследовательности слабо сходящиеся к ^ , а соответственно; (V,и,у) - седловая точка лагранжиана X .

Глава III посвящена разностным методам решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при описании геометрически- и физически-нелинейных- задач теории изгиба оболочек и пластин.

Следует отметить, что большинство работ по теоретическому исследованию систем геометрически-нелинейного изгиба пластин посвящены системе Кармана, описывающей задачу в терминах функции напряжений и прогиба. Для этой системы рассматривались вопросы существования, гладкости, единственности и ветвления решений, вопросы оптимального управления, разностные методы и итерационные схемы (Н.Ф.Морозов, И.И.Ворович, Бергер, Сьярле, Рабье, Нечас, Главачек, Бок, Науманн, Е.Г.Дьяконов, и др.).

В диссертации проводится исследование разрешимости вариационных задач, соответствующих геометрически- и физически-нелинейному изгибу пологой и цилиндрической оболочек. Предлагаются и исследуются разностные аппроксимации этих задач и итерационные методы их численной реализации.

В § I главы Ш, носящем вспомогательный характер, приводятся основные соотношения нелинейной теории тонких оболочек. Используемые здесь выражения компонент деформаций через компоненты вектора перемещений точек срединной поверхности соответствуют теории среднего изгиба (Х.М.Муштари, К.З.Галимов) и записываются в координатах, образованных линиями главных кривизн срединной поверхности оболочки.

Задача отыскания компонент вектора перемещений точек срединной поверхности формулируется как задача минимизации функционала (потенциальной энергии)

at о а

на множестве функций а = (U.,, а3) > удовлетворяющих геометрическим (главным) граничным условиям.

Здесь f = - вектор внешних нагрузок, =

= - область в трехмерном пространстве, зани-

маемая оболочкой, t - толщина, Q. - срединная поверхность

z Xj OTj

оболочки, £ (U) = ty - интенсивность деформации в

.точке, удаленной на расстояние X, от срединной поверхности, х, 0

ECj - компоненты деформации, функции Ci^j , характеризуют материал оболочки, в частности, когда g ) = 1 , материал пластинки подчиняется обобщенному линейному закону 1*ука.

Мы предполагаем, что коэффициенты <Х¿укg - симметричны относительно перестановок индексов и образуют равномерно положительно определенную квадратичную форму. Предполагается также, что существуют постоянные С1 , С^, Са > 0 такие, что

0<С< * д(£нсг>. 0<с34 (25)

Условия (25) означают, что интенсивность напряжений - строго возрастающая функция интенсивности деформаций, растущая на бесконечности - как линейная.

В последующих двух параграфах исследуется разрешимость задачи минимизации функционала F в двух частных случаях.

В § 2 рассматривается задача об изгибе пологой оболочки. Предполагается, как обычно, что геометрию срединной поверхности можно отождествить с геометрией её проекции на декартову плоскость. Это предположение вносит довольно существенные упрощения в выражения компонент деформаций.

Считается, что часть границы Га оболочки жестко защемлена, остальная - свободна. В соответствии с этим минимум функционала F ищется на пространстве функций V^W^ W,> » удовлетворяющих граничным условиям

V0' Э^1г=0-

'а и,

Исследование разрешимости задачи минимизации проводится на основе обобщенного принципа Вейрштрасса. При этом требуется установить слабую полунепрерывность снизу, функционала Р и его коэрцитивность (то есть проверить выполнение соотношения + цри IIи,И°° ).

Показано, что при сформулированных выше ограничениях на функции, характеризующие материал пластинки, Р слабо полунепрерывен при любых $ & V . Коэрцитивность функционала ¥ имеет место лишь цри достаточно малых ^ , . Таким образом, разрешимость задачи о прогибах пологой оболочки гарантируется лишь при достаточно малых касательных составляющихше-шней нагрузки. .

Следует подчеркнуть, что малость касательных составляющих внешней нагрузки необходима для разрешимости задачи.

Далее показано, что для достаточно малых $ = ("^ решение задачи минимизации единственно. С этой целью устанавливается, что функционал р - сильно выпуклый на некоторой сфере в пространстве V •

В § 3 изучается задача о прогибах замкнутой цилиндрической оболочки. Предполагается, что оболочка консольно закреплена. Как и в случае пологой оболочки, исследование существования цроводится на основе обобщенного цринципа Вейрштрасса. При этом правая часть (нагрузка) представляется в "дивергентном" виде

5 ^.Ах*^ е с^Ах + ^ ае срАх УдеУ,

а а о.

где е^. - компоненты тангенциальной деформации, ЭВ у - компоненты изгибной деформации срединной поверхности в линейном приближении. Отметим, что можно интерпретировать как тангенциальные усилия в срединной поверхности соответствующей геометрически линейной оболочке, возникающие под действием силы

i , f - моменты.

Коэрцитивность функционала F и, следовательно, разрешимость задачи удается установить при условии, что II f. и

VLooOD

достаточно малы. Показано, что условия малости касательной составляющей нагрузки необходимы для разрешимости задачи. А именно, устанавливается, что если на оболочку действует достаточно большая осевая сила, то можно так подобрать нормальную составляющую нагрузки и последовательность цЛбУ , ииЛи -» что v

Исследованы также условия единственности решения задачи минимизации.

В § 4 рассматривается задача упруго-идеально-пластического .изгиба пластин. Предполагается выполненным закон Генки деформационной теории пластичности. Принимаются линейные выражения деформаций через перемещения.

Аналогично Дюво и Лионсу задачу отыскания напряжений можно сформулировать в виде задачи минимизации квадратичного функционала

- симметричный положительно определенный тензор (коэффициентов Гука), М - афинное множество статически допустимых напряжений (напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия) , К - выпуклое замкнутое'множество в пространстве напряжений

РОЗ) - заданная непрерывная выпуклая функция, определяемая принятым условием пластичности.

Исследуется два метода решения'задачи (26). Первый - осно-

ínf

беМПК

(26)

где

к = {б F(6) é 0 на.

ван на аппроксимации задачи (26) по методу штрафа и состоит фактически в замене закона пластичности Генки некоторым близким уравнением состояния для нелинейно упругого материала.

Показано, что аппроксиглирующая задача имеет единственное решение <о ^ при любом положительном значении параметра штрафа р , его построение сводится к решению системы квазилинейной эллиптической системы с сильно монотонным и лишпщ-непрерывным оператором.

В случае, когда задача (26) разрешима (МЛК=£0) последовательность (оц сильно сходится при 0 к решению задачи (26). Г

Второй из рассматриваемых в § 4 методов состоит в сведении задачи (26) к задаче построения седловой точки некоторого лагранжиана. Роль множителей Лагранжа играют при этом функция и. (вектор смещения) и так называемый индикатор зоны пластичности.

В § 5 предлагаются и исследуются разностные аппроксимации задач геометрически-и физически-нелинейного изгиба пластин й оболочек. Параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте рассматривается задача об изгибе пологой, прямоугольной в плане оболочки, граница которой жестко защемлена.

Построение разностной схемы проводится методом аппроксимации функционала (сумматорных тождеств).

Отметим, прежде всего, что,как обычно, метод аппроксимации функционала (метод сумматорных тождеств) позволяет сохранить для разностной задачи основные свойства дифференциальной,и поэтому условия существования и единственности решения построенной в § 5 разностной схемы имеют тот же вид что и в дифференциальном случае.

Далее исследуются различные вопросы, связанные со сходимостью разностной схемы. Показано, что если выполнены условия разрешимости разностной схемы (и дифференциальной задачи), то множество её решений равномерно, по И ограничено ( к - характерный шаг сетки). Отсюда вытекает возможность выбора такой подпоследовательности 0 , что кусочно-постоянные восполнения разностного решения и его соответствующих разностных отношений слабо сходятся (в 1>г(0.) ) к решению исходной задачи и его производным. Сильная сходимость этих восполнений при

любом законе измельчения сетки доказана при условиях,обеспечивающих однозначную разрешимость задачи. При этом существенно используется то, что функционал разностной задачи оказывается в этом случае сильно выпуклым на некоторой сфере в пространстве сеточных функций.

Проводится также оценка точности разностной схемы для задачи об изгибе пологой обйлочки в случае, когда решение достато-

4 €>

чно гладкое ( ИрИ^еС , и5 6 С ) и выполнены условия единственности решения. Показано, что схема имеет точность

О (Яг) . При этом существенно используется тот факт, что оператор разностной схемы оказывается сильно монотонным на некоторой сфере, содержащей точное и приближенное решение задачи.

• Важно отметить, что след решения дифференциальной задачи на сетке не удовлетворяет, вообще говоря, разностным граничным условиям Дирихле. Поэтому предварительно строится вспомогательная функция,снимающая неоднородность граничных условий для погрешности.

Во втором пункте § 5 аналогичные результаты установлены для разностной схемы, апцроксимирующей задачу об изгибе консольно закрепленной цилиндрической оболочки. Соответствующие доказательства существенно опираются на сеточные теоремы об эквивалентных нормировках и неравенствах вложения. Поэтому предварительно в § 3 на дифференциальном уровне приводятся их элементарные "конструктивные" доказательства, которые без каких-либо существенных изменений переносятся затем на разностный случай. Все входящие в эти неравенства постоянные могут быть в явном виде выражены через геометрические размеры оболочки.

В последнем, шестом параграфе предлагаются и исследуются итерационные методы решения разностных схем из § 5.

В первом пункте для задачи о прогибах пологой оболочки показано, что оператор разностной схемы имеет симметричную производную Гато, энергетическую эквивалентную оператору

- д 0 0

в= 0 -д 0

0 0 д*

( Д - пятиточечный разностный оператор Лапласа) на некоторой сфере пространства сеточных функций.

Это позволяет применить итерационный метод вида ,,к+1 к

.В +

( А - оператор разностной схемы, | - правая часть), сходимость которого при любом начальном приближении из указанной сферы и достаточно малом Т установлена при условиях на ^ , близких к условиям однозначной разрешимости разностной схемы.

Аналогичный итерационный метод исследован и в случае задачи о прогибах цилиндрической оболочки.

Во втором пункте излагается и исследуется алгоритм Удзавы построения седловой точки лагранжиана ¿£00,^,11) , соответствующего задаче упруго-идеально-пластического изгиба пластин с частично закрепленной границей. Реализация этого алгоритма сводится к следующему. Пусть с^"- - приближение к индикатору зоны пластичности, Си"" - к вектору перемещений на П - том шаге итераций. Приближение 6 а к компонентам налряжений строится как решение задачи безусловной минимизации.

тгп ^(б.с^и1)

Затем полагаем

где - функция, определяющая условия пластичности, а

вектор Сг (ба)= определяется путем решения

уравнений „

3 3 Ээс(3х^

с однородными граничными условиями Дирихле на части границы Га области Q и естественными граничными условиями на остальной части Г , - итерационный параметр, 0<ро4ра4С

1 Сходимость метода установлена при достаточно общих ограничениях на функцию F , выполненных, например, для наиболее часто используемых условий пластичности Треска и Мизееа.

Наиболее сложный этап алгоритма - задача минимизации (27). В общем случае её можно свести к уравнению с разрывным строго монотонным оператором и использовать для её решения, например, методы, предлагавшиеся А.А.Абрамовым и А.Н.Гаиповой, А.И.Деро-вым, и В.В.Юргеласом, Р.П.Малеевым и др.

В случае, когда F соответствует условию пластичности Мизееа, задача (27) сводится к задаче построения седловой точки специально сконструированного лагранжиана, что может быть выполнено вновь при помощи алгоритма Удзавы, реализация каждого шага которого сводится к вычислениям по явным формулам.

Все излагаемые в настоящем параграфе итерационные методы' состоят фактически в решении последовательности краевых задач для разностного уравнения Пуассона и бигармонического уравнения.

Для решения разностного уравнения Пуассона известно большое число эффективных экономичных прямых и итерационных методов (см., например, кншу A.A.Самарского, Е.С.Николаева).

В последнем третьем пункте § 5 предлагается итерационный метод решениязадачи Дирихле для разностного бигармонического уравнения, требующий операций для достижения точ-

ности 8 .

Идея метода состоит в сведении задачи Дирихле к линейному уравнению

= 0 (28)

относительно вспомогательной функции Cj , определенной на границе сеточного прямоугольника3^. Оператор этого уравнения оказывается вырожденным и энергетически эквивалентным (на области

значений) оператору В , порождающему сеточную норму --г

^Аналогичные подходы для проекционно-разностных аппроксимаций применялись ранее Г.П.Астраханцевым, Гловински, Сьярле, Пи-ранно.

Причем постоянные энергетической эквивалентности не зависят от шага сетки.

На основе сеточных аналогов (В.Б.Андреев) теорем о следах функций в областях с условными точками (Г.Н.Яковлев) выписывается явный вид оператора, обратного к 6 .

Это позволяет применить для решения уравнения (28) методы вида

где параметры ТкИ , выбираются, например, в соответст-

вии с методом сопряженных градиентов. Скорость сходимости этих методов оказывается конечной (не зависящей от шага сетки).

Реализация методов типа (29) сводится к решению на каждом шаге двух разностных уравнений Пуассона (для вычисления невязки А^9к ) и вычислению по явным формулам (с использованием быстрого дискретного преобразования Фурье одномерной сеточной функции) поправки У/к= §К . Еще два разностных уравне-

ния Пуассона требуется решить, если Т к+1 , с<к+1 выбираются по методу сопряженных градиентов.

Таким образом, каждый шаг алгоритма может быть реализован з затратой 0 (& ) арифметических операций.

В заключение § 5 развитая здесь методика применяется для тостроения быстрого прямого метода решения задачи Дирихле для разностного бигармонического уравнения в круге на полярной зетке. Этот метод требует для своей реализации решения четырех разностных задач Дирихле для уравнения Пуассона на полярной зетке, что может быть выполнено, например, на основе метода разделения переменных с использованием быстрого дискретного треобразования Фурье периодической функции. Общее количество шераций при этом есть 0 , ( (I - шаг сетки по ра-

щусу, I - по утлу).

Заключительная, 1У глава диссертации посвящена построению I исследованию разностных методов решения задач теории упруго-:ти в криволинейных координатах. Известно, что переход к кри-юлинейным координатам во многих случаях упрощает решение за-Еач для областей со сложными границами. В то же время постро-!ние разностных аппроксимации может быть затруднено тем, что [ифференциальный оператор задачи вырождается вблизи особых

точек системы координат, и непосредственная 'замена производных, входящих в выражения компонент деформации разностными отношениями, приводит к схемам, обладающими плохими аппроксимативными свойствами.

В § I предлагается способ построения разностных аппроксимаций ковариантных производных компонент вектора в криволинейной ортогональной системе координат, свободной от этого недостатка.

Именно, в качестве аппроксимации ковариантной производной У^ И: (компоненты И.■ вектора Ш по координатному направлению ) принимается выражение

(30)

и и

а

Здесь О - компоненты метрического тензора, (Я.;.-),-,- л - мат-Ои J у"1

рица преобразования системы орт-векторов декартовой системы координат в локальный базис единичных векторов криволинейной системы координат, о(--±'1 - управляющий индекс, ды. - разно-стние отношение вперед, если с(. = +1 , назад - если1о^ = , верхний индекс указывает на сдвиг аргумента на пол-шага вперед, если (назад, если ).

В § 2 гл. 1У на основе метода сумматорных товдеств и формулы (30) строится разностная схема аппроксимирующая первую краевую задачу линейной теории упругости для цилиндра. Предполагается выполненным обобщенный закон Гука. Как обычно, считаются выполненными условия симметрии и положительной определенности тензора Тут.

Поскольку оператор дифференциальной задачи вырождается на оси цилиндра, используется сетка вида

Такой прием построения сетки для линейных эллиптических уравнений применялся И.В.Фрязиновым.

Показано, что, если декартовые компоненты вектора смещений,

I также элементы тензора Гука- достаточно гладкие функции де-:артовых координат, то предлагаемая здесь схема имеет точность

О в смысле сходимости в сеточном пространстве М г .

Исследование точности схемы основано на специальном дивер-'ентном представлении погрешности аппроксимаций, а также апри-)рной оценке решения в сеточном пространстве V ^ •

Основную роль при получении априорной оценки играет разносное неравенство.Корна. В отличие от дифференциального слу-гая3^, его доказательство на разностном уровне вызвало значи-'ельные трудности; что обусловлено, по-видимому, довольно сло-ной структурой сеточного оператора в точках, ближайших к оси ;илиндра.

Отметим, что предлагаемая в данной -главе методика построе-:ия и исследования разностных схем в криволинейной системе ко-рдинат распространена в работах Е.В.Стребкова на задачи тео->ии упругости в сферических, конических, тороидальных областях.

В § 3 гл.1У строится итерационный метод типа переменных на-равлений для задачи о равновесии упругого цилиндра. Идея пос-роения этого метода состоит в следующем. Рассматривается опе-атор R , энергетически эквивалентный оператору А разносной схемы и порождающий норму сеточного пространства .°.М 0.(2)

2,Х гХ ™ г ^ в теРминах разностных ковариантых производ-

ых). Оператор Я представляется в виде , где

К. - соответствует ковариантным производным по X и по ^ , - по Ъ .

На основе этого разбиения строится итерационный метод с акторизованным оператором

В + АуМ, (31)

де Ь=СЕ + со1^)(Е+согЯа).

Показано, что при использовании чебышевского набора пара-етров Тк схема требует 0{к £п ^ ) итераций для дости-ения точности £ . Оператор Е + обращается при помо-

^Известно, что для первой краевой задачи неравенство Корна доказывается тривиальным применением формулы интегрирования по частям.

щи обычной трехточечной скалярной прогонки. Для обращения оператора Е +■ предлагается использовать метод разделения переменных. Реализация этого метода основана на быстром дискретном преобразовании Фурье и методе матричной прогонки (для матриц 3x3). Каждый шаг метода (31) требует 0(—«Сп4-) арифметических операций. * . Автор искренне благодарен профессору А.Д.Ляшко за постоянное внимание, поддержку и обсуждение результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Карчевский М.М. О сходимости метода прямых для эллиптических уравнении четвертого порядка // Изв.вузов.Математика.

■ - 1969. - 3 4. - С. 24-27. . '2. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Исследование одного класса нелинейных разностных схем // Изв.вузов.Математика.- 1970.-№ 7. - С.63-71. '

3. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений на полярной сетке // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1972. - Т.З.М. - С.77 - 78.

4. Карчевский М.М., Лапин A.B., Ляшко А.Д. Экономичные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений // Изв.вузов. Математика. - 1972. - № 3. - С. 23-31.

5. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений 1,П // Изв.вузов. Математика. - 1972. - JfiLI. - C.23-3I, - 1973. - JS3.-C.44-52.

6. Карчевский М.М. Итерационная схема для квазилинейного эллиптического уравнения на полярной сетке // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1973. - Т.4, J& 2. - С.84-92.

7. Карчевский М.М. Об устойчивых итерационных методах решения задач типа Неймана // ЖВМ и МФ. - 1974. - Т.14, ü I. - С. 254-259.

8. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами // Изв.вузов. Математика. - 1974. - J£ 5. - С.128-137.

9. Карчевский М.М. Итерациошая схема для квазилинейной задачи Неймана // Прикладная математика и ЭВМ. - Казань: Изд-во КЕУ, 1974. - С.39-47.

10. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Исследование нелинейных задач теории фильтрации // Труды семинара по паевым задачам. -Казань: Изд-во КЕУ. - 1974. - Вып.11. - С.64-72.

11. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Изв.вузов. Математика. - 1975.

- № 6. - С.73-81.

12. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Оценки точности разностных схем для нелинейных эллиптических уравнений // Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во КГУ. - 1975.

- Вып. 3. - С. 82.86.

13. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелиней. ных уравнений математической физики. - Казань: Изд-во КЕУ,

1976. - 158 с.

14. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Разностная схема для смешанной граничной задачи сильного изгиба пологих оболочек // Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во НУ, 1976. - Вып.9. - С.32-52.

15. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Разностная схема для задачи о сильном изгибе тонких пластин // ЖВМ и МФ. -

1977. - Т.17, й I. - С. 181г-195.

16. Карчевский М.М., Волошановская С.Н. Об аппроксимации тензора деформации в криволинейных координатах. Разностная схема для задачи о равновесии упругого цилиндра // Изв.вузов. Математика. - 1977. - 10. - С.70-80.

Е7. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский -М.М. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами // Изв.вузов.Математика. - 1978. - № II. - С.63-69. [8. Волошановская С.Н., Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для некоторых задач физически и геометрически нелинейного изгиба пластин // Программирование и численные методы. - Казань: Изд-во КЕУ, 1978. - С.6-18. [9. Карчевский М.М., Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностных схемах для уравнений нелинейной нестационарной теории фильтрации // Дифференц.уравнения. - 1979. - Т.16, $ 8. -

- C.I692-I706.

20. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - 1979. - Т.Ю, № 5. - С.63-78.

21. Карчевский М.М., Лапин A.B. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации //Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во ЮТ", 1979. - Вып.6. - С.23-31.

22. Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О разностных схемах решения нестационарных уравнений теории фильтрации с цредельным градиентом // Численные методы механики сплошной среды.-

• Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - I980.~T.II, М. - С.I04-II2.

' 23. Карчевский М.Ы. Об одном классе итерационных методов решения бигармонического разностного уравнения // Вычисления с разреженными матрицами. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,

1981. - С.73-80.

24. Карчевский М.М., Ляшко А.Д.', Стребков Е.В. Об итерационном методе переменных направлений для решения статических задач теории упругости в цилиндрической и сферической системах координат // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. - T.I3.J6 I. -C.98-II7.

25. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Применение метода двойственности к решению задач фильтрации с предельным градиентом // Дифференц.уравнения. -1982. - Т.18,IS 7. - C.II33-II44.

26. Карчевский М.М., Ляшко А.Д.,- Стребков Е.В. Разностные методы решения задач теории упругости на криволинейных ортогональных сетках // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск: ИПТМ СО АН СССР,

1982. - С.248-255.

27. Карчевский М.М. Итерационная схема переменных направлений для решения плоской задачи теории упругости на полярной

■ ■ сетке // Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во КГУ ,1982. - Вып.9. - С.3-8.

28. Карчевский М.М. О некоторых методах решения первой краевой задачи для разностного бигармонического уравнения // ЖВМ и МФ. - 1983. - Т.23, Jfö. - C.I088-I097.

29. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения не-

- 32 -

линейных задач теории фильтрации // Изв.вузов. Математика'.

- 1983. - » 7. - С.28-45.

30. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Об итерационных методах решения задач упруто-пластического изгиба пластин // Численные методы и их применение.-Казань:Изд-во КГУД983.

- С.3-18.

31. Ляшко А.Д. .Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории фильтрации, упругости и пластичности и их сеточные аппроксимации // Вариационно-разностные методы в математической физике. -М.:Отдел вычисл.матем.АН СССР,1984. - C.I60-I7I.

32. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Решение задачи об упруго-пластических прогибах пластинки методом Удзавы //Сеточные методы решения задач матем.физ. - Казань:Изд-во КГУД984. - С.17-27.

33. Карчевский М.М. О методе штрафа решения задач упруго-пластического изгиба пластин //Сеточные методы решения задач матем.физ.' - Казань: йзд-во КГУД984. - С.55-74.

34. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и их сеточные аппроксимации //Изв. вузов .Матем. - 1985.

- А 10. - С.17-30.

35. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. Исследование разрешимости задачи о сильном изгибе цилиндрической оболочки // Исследования по прикладной матем.-Казань:йзд-во К1УД985. '

- Вып.13. - С.75-85.

36. Волошановская С.Н., Карчевский М.М. О сильной сходимости разностной схемы для задачи сильного изгиба тонких пластин // Сеточные методы решения дифференц.уравн. - Казань: Изд-во КРУ,1986. ,-0.29-46.

37. Карчевский М.М. О сильной сходимости разностных схем для задач нелинейной теории фильтрации // Сеточные методы решения дифференц.уравн. - Казань: Изд-во КГУД986. - С. 5764.

Сдано в набор 11.02.88 г. Подписано в печать 8.02.88 г. ПФ 04077. Форм.бум. 60 х 84 1/16. Печ.л.2. Тираж 100. Заказ 96. Бесплатно.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008, Казань, Ленина, 4/5