Исследование задач фильтрации с предельным градиентом и теории мягких оболочек и методов их решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

0.1 Введение.

1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ С ПРЕДЕЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ

1.1 Постановка задач.

1.2 Свойства оператора А.

1.3 Разрешимость задачи фильтрации с разрывным законом и исследование свойств ее решений.

1.4 Двойственная задача.

2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ ФИЛЬТРАЦИИ

2.1 Случай банахова пространства.

2 2 Случай гильбертова пространства.

2.3 Применение к задачам фильтрации.

2.4 Итерационные методы, основанные на двойственности.

2.5 Метод модифицированного лагранжиана.

-- 33 ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

3.1 Построение схем МКЭ.

3.2 Исследование сходимости схем МКЭ.

3.3 Итерационный процесс решения схем МКЭ.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

4.1 Постановка задачи.15

4.2 Существование решения задачи.

4.3 Итерационные методы решения задачи.

4.4 Сеточные аппроксимации задачи.

5 ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ МЯГКИХ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК

И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ

5.1 Постановка задачи.

5.2 Существование решений и их свойства.

5.3 Построение и исследование итерационных методов.

5.4 Построение и исследование схемы МКЭ.

5.5 Численные эксперименты.

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [49], [61], [75], [81], [83], [88], [109], [113], [115], [127] - [132], [135] - [137].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к котороым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [47], [76], [86], [87], [122]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [74], [77], [107], [108], [116], [151]).

- 5

Диссертация посвящена исследованию нелинейных стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом (см. [7], [8], [73], [111], [119], [122]), а также стационарных задач теории мягких оболочек и численных методов их решения. Оба этих класса задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися монотонными и псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, и при исследовании этих задач, построении и исследовании приближенных методов их решения были использованы сходные методы.

Математически рассматриваемые в диссертации задачи формулируются в виде уравнений и неравенств с операторами монотонного типа, а для задач теории фильтрации также в виде проблем поиска минимума выпуклых функционалов или отыскания седловых точек функций Лагранжа. Методы теории монотонных операторов (см., например, [43] - [46], [50], [51], [57], [85], [93], [96], [158] - [160]), а также выпуклого анализа (см., например, [53] - [56], [58], [66], [78], [97], [106], [120], [121], [126], [146], [148], [148] ) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [62], [63], [80], [82], [83], [100], [101], где матема

- 6тически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [82], [83], [100] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным градиентом близким законом без предельного градиента. В [63], [83], [100], [80] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [62], [83], [100] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математическая модель задачи стационарной фильтрации с разрывным законом рассмотрена в работе [91], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [95] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [92], [102] - [105], [117], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным , строятся и исследуются разностные схемы.

- 7

Вопросам исследования вариационных неравенств с разрывными монотонными операторами в гильбертовых и евклидовых пространствах пространствах, методам их решения посвящены работы [1], [2], [9], [45].

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [4] - [6], [67], [68], [123] - [125], [138] - [145], [153]) . Одномерные задачи теории мягких оболочек рассматривались в [59], [64], [110]. В работе [65] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [48] построена модель сетчатой конструкции в рамках теории безмоментных оболочек. В работах [69] - [71] исследована корректность линеаризованных моделей сетчатых оболочек, находящихся в двухосном состоянии, предложены и исследованы методы их решения. В [143] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятсвия и при других условиях на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

В настоящей диссертации проведено исследование математических моделей стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом, предложены итерационные методы их решения и исследоьа-на их сходимость, построены конечноэлементные аппроксимации рассматриваемых задач, исследована их сходимость, предложены математические модели одномерных и двумерных задач теории сетчатых мягких оболочек с ограничениями в виде вариационных неравенств,

- 8предложены итерационные методы их решения, построены и исследованы конечноэлементные аппроксимации этих задач. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

1.A., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. -Т. 12. - N 1. - С. 204-207.

2. Абрамов A.A., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы// Доклады АН СССР. -1973. Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Авхадиева К.Ф., Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Сеточные методы решения стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек // Исследования по прикладной математике, Вып. 21, Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, 1999. - С. 50-67.

4. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек/ / Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат. 1965. - Вып. 10. - С. 5-38.

5. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами/ / Дифференциальные уравнения. 1996 - Т. 32. - N 7. - С. 898901

6. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода// В сб. Исследования по прикладной математике", Вып. 22. Казань: Изд-во Казанского математического общества, - 1997. - С. 5-17.

7. Бадриев И.Б., Задворнов O.A. О решении стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек с препятствием // В сб. VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, - 1999. - С. 22-26

8. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с пре- 242дельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1982. -Т. 18. - N 7. - С. 1133-1144.

9. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Методы двойственности в прикладных задачах (общая теория). Казань: Изд-во Казанск. унта,- 1987. - 147 с.

10. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве// В сб. Исследования по прикладной математике, Вып. 17. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, -1990. - С. 3-15.

11. Бадриев И.Б., Карчевский М.М., Панкратова О.В. О численном решении нелинейной задачи фильтрации с разрывным законом методом Удзавы// Тезисы докладов Республик, конференции молодых ученых и специалистов (4-7 мая 1989 г., Минск). Минск, -1989. - С. 119.

12. Бадриев И.Б., Ляшко А.Д., Панкратова О.В. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации// Известия ВУЗов. Математика. 1998. N 11. -С. 8-13.

13. Бадриев И.Б., Панкратова О.В. О решении стационарных нелинейных задач теории фильтрации // Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссийского семинара. Казань: изд-во Казанского математического общества,- 1998. С. 9-10.

14. Бадриев И.Б., Панкратова О.В., Шагидуллин P.P. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1997.- Т. 33. N 3. - С. 396-399.

15. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки// В сб. "Сеточные методы решения дифф. ур-ний". Казань: Изд-во Казанск. ун-та, - 1986. - С. 14-28.

16. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки и алгоритма их решения// Известия ВУЗов. Математика. 1992. - N 1. - С. 7-17.

17. Бадриев И.Б., Шагидуллин P.P. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве // В сб. Исследования по прикладной математике. Вып. 22. Казань: Изд-во Казанского математического общества, - 1997. - С. 17-21.

18. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. - 448 с.

19. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 199 с.

20. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. - 128 с.

21. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения// Методы вычислит. математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. -С. 144-274.

22. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

23. Бидерман В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки // Инж. журн. МТТ. 1966. - N 1. - С 84-89.

24. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Московского ун-та, 1987. - 164 с.

25. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

26. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

27. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, -1987. -542 с.

28. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. - 518 с.

29. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

30. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования// Изв. вузов. Математика. 1978. - N 11. - С. 23-33.

31. Даутов Р.З., Павлова М.Ф., Шагидуллин P.P. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек //В сб. "Сеточные методы решения дифф. ур-ний". -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. - С. 50-57.

32. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. - 384 с.

33. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко A.B., Рысев О.В. К определению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей системы //Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1991. - N 2. - С 140148.

34. Днепров И.В., Пономарев А. Т., Рысев О.В., Семушин С.А. Исследование процессов нагружения и деформирования парашютов// Математическое моделирование. 1993. - T.5.-N3.-C .97-109.

35. Дьяконов Е.Г. Об одной задаче теории сетчатых оболочек и ее разностном аналоге// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969.- Т. 9. N 2. - С 350-361.

36. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

37. Ентов В.М., Панков В.Н., Панъко С.В. К расчету целиков остаточной вязко-пластической нефти// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 5. - С. 847-856.

38. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Строй-издат, 1980. - 304 с.

39. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. 318 с.

40. Ильинский Н.Б., Шешуков Е.Е. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

41. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ / Белоцерков-ский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. / Под ред. Белоцерковского С.М. М.: Машиностроение, 1987. - 260 с.

42. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

43. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами// В сб.- 250Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: изд-во ИТПМ СО АН СССР. - Т. 10. - N 5. - 1979. - С. 63-78.

44. Карчевский М.М., Лапин A.B. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. -1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

45. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнеий. I // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

46. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Исследования нелинейнных задач теории фильтрации// Труды семинара по краевым задачам. Вып.11. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - С. 64-72.

47. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейнных задач математической физики. Казань: Изд-во Казанск. унта, 1976. - 156 с.

48. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. - 166 с.

49. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JT: изд-во Лениградского ун-та, 1977. - 208 с.

50. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

51. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973. 407 с.

52. Лапин A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. - Т. 19.- N 3. С. 689 -700.

53. Лапин A.B. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16. - N 7. - С. 1245-1254.

54. Лапин A.B. Введение в теорию вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - 122 с.

55. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

56. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. -496 с.

57. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами //Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N 11. - С. 63-69.

58. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика. 1975.- N 6. С. 73-81.

59. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика.- 1983. N 7. - С. 28-45.

60. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях // Численные методы и их приложения. София. - 1984. - С. 70-74.

61. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 122 с.

62. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследвание неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной терии фильтрации// Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. - N 7. -С. 1255-1264.

63. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

64. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

65. Магула В.Э. Обзор работ, выполненных в лаборатории мягких оболочек в 1959-1967 г.г.// Сообщ. Лаборатории мягких оболочек. Владивосток: ДВВИМУ, 1967. - Вып. 1. - С. 5-53.

66. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. - 263 с.

67. М арчу к Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

68. Мифтахов Р.Н. Исследование ткани желудка человека при одноосном растяжении// В сб. Гидроупругостьоболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та. Казанск. Филиала АН СССР, 1983. - С. 163-171.

69. Мифтахутдинов Б.А., Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Некоторые вопросы плоской стационарной фильтрации// В сб. Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1971. - С. 51-70.

70. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 430 с.

71. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1980. - 384 с.

72. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 516 с.

73. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

74. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

75. Павлова М. Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации// Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. -С. 1436-1446.- 255

76. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. -496 с.

77. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

78. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

79. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

80. Риделъ В.В. К расчету каркасированных мягких оболочек// В сб. Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та. Казанск. филиала АН СССР, 1983. - С. 133-145.

81. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 466 с.

82. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, - 1971. - 552 с.

83. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. -656 с.

84. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

85. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973. 315 с.

86. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

87. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

88. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 448 с.

89. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - 656 с.

90. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 512 с.

91. Сълрле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир. 1980. 512 с.

92. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981. 408 с.

93. Усюкин В.И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1976. - N 1. - С. 70-75.

94. Шагидуллин P.P. Тензорные аргументы для функционала полной энергии мягкой оболочки// Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссийского семинара. -Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 1998.- С. 79-81.

95. Шагидуллин P.P. Исследование положительных по кривизне решений системы уравнений равновесия мягкой замкнутой цилиндрической оболочки // Известия ВУЗов. Математика, 2000. N 11. - С. 85-96.

96. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

97. Эроу К., Гурвиц, Удзава Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

98. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities// Numerical Funct. Anal, and Optimiz. 1989. - V. 10. - N 9-10. -P. 863-874.

99. Gabay D., Mercier В. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation// Comp. Maths, with Appls, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

100. Edward W. A general theory of parachute opening// J. Aircraft. -1972. V. 9. - N 4. - P. 257-258

101. Kydoniefs A.D. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane Enclosing a Rigid Body// Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1969. - V. XXII. - Pt. 3. - P 319331.

102. Kydoniefs A.D., Spenger A.J.M. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane // Int. Journ. Engng. Sei.- 1967. V. 367. - N. 5. - P 87-95.

103. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces// Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 69-73

104. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings// Bull. Amer. Math. Soc.- 1967. V. 73. - P. 591-597

105. Raviart P.A. Sur l'approximation de certaines equations linearles et non linearies // J. Math. Pures et Appl. 1967. - V. 46. - P. 11-183.

106. Resolution numériques de problèmes aux limites par des methodes de Lagrangien augmente /Eds M.Fortin, R.Glowinski. Paris: Dunod, 1983. - 576 p.

107. Rockafellar R.T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografía Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 3565.

108. Rockafellar R. T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming// SIAM J. Control and Optimization. -1974. V. 12 - N 2, - P. 268-285.

109. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3, - P. 1-25.