Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

\Т ' и""

V

российская академия наук сибирское отделение институт вычислительной математики и математической геофизики

На правах рукописи

РУКАВИШНИКОВ Виктор Анатольевич

УДК 519.63

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СИНГУЛЯРНОСТЬЮ

01.01.07- вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 1998

Работа выполнена в Вычислительном центре ДВО РАН

Официальные оппоненты: член-корр. РАН, д.ф.-м.н.,

профессор Шайдуров В.В. д.ф.-м.н. Лисейкин В.Д. д.ф.-м.н., профессор Лапин A.B.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный университет

Защита состоится " ^ " 1998 г. в ¿А) часов

на заседании специализированного совета Д 002.10.01 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан " ¿э " ^ 1998 г

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.-м.н., профессор

Ю.И.Кузнецов

Общая характеристика работы

Актуальность темы обусловлена использованием методов конечных разностей и конечных элементов для решения краевых задач с сингулярностью решения и наличием ряда открытых вопросов в построении и анализе численных методов для задач с сильной сингулярностью.

Сингулярность решения краевой задачи для эллиптического уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и особенностью исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий. Для задач, обобщенное или классическое решение которых можно определить, но оно не обладает достаточной регулярностью для анализа численных методов, в работах A.A. Самарского, Р.Д. Лазарова, И. Бабушки, В.В. Шайдурова, Е.А.Волкова и ряда других авторов разработаны эффективные подходы для преодоления возникающих трудностей.

Задачи с сильной сингулярностью, в которых сингулярность порождена особенностью исходных данных задачи и для которых нельзя определить обобщенное решение, возникают в различных разделах ядерной физики, физики плазмы и газового разряда, в нелинейной оптике и др. При их постановке встают проблемы: введение понятия решения, исследование его существования и единственности, коэрцитивных и дифференциальных свойств в весовых пространствах C.JI. Соболева, создание методик построения конечноэлементных пространств, содержащих сингулярные функции, оргонормированных систем сингулярных полиномов; развитие математического аппарата для исследования вопросов сходимости в различных весовых пространствах как конечно-разностного метода, так и метода конечных элементов.

Цель работы состоит в разработке подхода к определению понятия решения краевых задач с сильной сингулярностью, обусловленной сингулярностью исходных данных; в построении численных методов (метода конечных разностей и конечных элементов) для нахождения решения в зависимости от класса, к которому относится задача, и получении оценок скорости сходимости приближенного решения к точному в весовых пространствах.

Общая методика связана с использованием современных методов численного анализа, теории весовых соболевских пространств и дифференциальных уравнений. Для доказательства основных результатов типична работа с продолжениями функций на более широкие области с сохранением принадлежности к классу, построение специальных отображений и введение вспомогательных задач.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, что, конечно же, не означает отсутствия связи результатов диссертации с работами других математиков. К этим работам, идеи (а иногда и конкретные результаты) которых оказали существенное влияние на автора, относятся:

1) известные работы О.А.Ладыженской и В.А.Кондратьева по исследованию коэрцитивных и дифференциальных свойств решений краевых задач для эллиптических уравнений в невесовых пространствах C.J1. Соболева; эти работы в идейном плане наметили подходы изучения свойств решений для краевых задач с сильной сингулярностью в весовых пространствах;

2) монография A.A. Самарского, Р.Д. Назарова и В.Л.Макарова (Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями, М., 1987) способствовала формированию взглядов на современные способы построения и исследования разностных аналогов краевых задач и привела к созданию такого аппарата, использование которого позволяет строить и исследовать разностные схемы для краевых задач с

сильной сингулярностью в исходных данных и устанавливать оценки ошибки решения в весовых нормах;

3) серия статей И. Бабушки (80-90-х годов) расширила представление автора о способах конструирования схем метода конечных элементов и подвела к идее построения конечноэле-ментных пространств с базисом, учитывающим порядок сингулярности /¿„-обобщенного решения исходной задачи, что позволило доказать теоремы аппроксимации в соответствующих весовых пространствах (теоремы 3.2 и 4.4).

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты и разработанные методы исследования могут быть использованы не только для дальнейшего изучения теоретических проблем в области численного анализа краевых задач с сильной сингулярностью, но и для решения конкретных прикладных задач (расчет серии модельных задач и анализ результатов, приведенный в гл. 6, показал явные преимущества предлагаемого подхода как для решения задач с сильной, так и слабой сингулярностью).

Основные результаты работы сформулированы в заключительной части автореферата.

Апробация. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались в 1983-1997 г.г. более чем на двадцати конференциях и школах как внутри страны, так и за рубежом, на научных семинарах ф-та ВМК МГУ, ф-та ВМК КГУ, ВЦ СО РАН, ИПМ ДВО РАН и др.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 54 работы. Основные результаты представлены в работах [1-25].

Структура и объем: введение, шесть глав (с делением на пункты и подпункты) и список литературы из 154 наименований; общий объем 269 стр.

Содержание работы

Во введении делается обзор литературы, описан круг вопросов, исследуемых в диссертации, и изложены основные результаты работы.

В главе I введено определение Я „-обобщенного решения для задачи Дирихле для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. В случае согласованного вырождения исходных данных доказано существование и единственность /¿„-обобщенного решения первой краевой задачи в прямоугольной области, исследованы его коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах #2 „+/з/2(^)-Для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области О доказано существование и единственность /(¡„-обобщенного решения в весовом пространстве Щ „+|д/2(^*) Устано~ влены априорные оценки.

В п. 1.1 определены весовые пространства И^сД^) и Н2>а($1) с нормами

где ЙС Й2- выпуклая ограниченная область с кусочно гладкой границей сЮ; на границе задано множество точек Т{ (г — 1, ...,п), включающее точки Пересечения ее гладких кусков. Весовая функция р(х) - бесконечно дифференцируемая и поло-

жительная всюду, кроме множества точек и г,-, совпадающая

в некоторой окрестности каждой точки г,- (г = 1,...,п) с расстоянием до нее, т. е.

||и||2 , = V [ р2«+2|А|-2*(я;) ^ (1)

п

р{х\,х2) = - а^) -

ау > 1/2, (4°, г?1) = П, х е П,-.

В (1) = Л = (Аь Л2), |А| = Лг + Л2, йх = ¿а^,

к - некоторое целое неотрицательное число, « - вещественное.

Через С), Ж4,_а(П,С) и обозначены

множества функций с нормами, удовлетворяющими неравенствам

1М1ьоо =угм тах \р-аи\ < С,

' х € М

и „к ^ =шахуга1 шах

=тах уга1 гпах

р-« £?а«| <С,

р—а+|х| в\и <

где С - положительная постоянная, не зависящая от и(х).

Кроме того, введены дробные классы и

возникающие естественным образом как классы следов на границе 00. функций из соответствующих целых классов; перечислены необходимые в дальнейшем неравенства, включая неравенства Харди и Кларксона.

В п. 1.2 приводятся вспомогательные результаты, которые представляют самостоятельный интерес. Перечислим некоторые из них.

Прежде всего, устанавливается эквивалентность нормы функции и(х) из пространства и суммы полунорм функций ра~(к~*)[х) ■ и(х) из пространств И^оФ) = О,...,А;), сначала для к = 1, а затем для любого к.

Далее, получены оценки нормы функции в весовом пространстве ¿2,а на объединении окрестностей точек особенностей через норму функции в пространстве И/21а1 по всей области. Установлена зависимость этих оценок от соотношения а

и

и ах и, что самое главное, от наибольшего из радиусов окрестностей точек вырождения.

В лемме 1.5 для функции и(х) из пространства а доказана оценка нормы этой функции в пространстве ¿2,а по приграничной полосе. Установлена зависимость величины этой нормы от ширины полосы.

В третьем пункте главы I приведена постановка краевой задачи:

2 д2и 2 ди

dxidxs fri dxi

u(x) — <p(x), x € d£l. (3)

Выделено два типа задач с согласованным и несогласованным вырождением .исходных данных.

Краевую задачу (2)-(3) называют задачей Дирихле с согласованным вырождением исходных данных, или задачей А, если правые части уравнения (2) и граничного условия (3) для некоторого вещественного неотрицательного числа ¡j, удовлетворяют требованиям

^еЯзУД^ап), (4)

коэффициенты ais{x) = asi(x) (l,s = 1,2) и для некоторого вещественного числа /3 выполняются условия

а/,€ Я^ф.Сх), а, e2/oo,-(0-i)(Si,C2) (/,*= 1,2), а G Ьоо,-(/Э-2)(П,С3) (5)

2 2

а, (в)

а(ж) > С5 • р^~2(х) почти всюду на fi, (7)

где С{ (г = 1,..., 5) - положительные постоянные, не зависящие от ж; - любые вещественные параметры.

В случае, когда коэффициенты уравнения (2) и правые части (2) и (3) удовлетворяют условиям

/ € Z2l/Í(íi), у 6 (4')

dcí

аи € Loo-p(Q, CJ, е

аи 6 (/ ф s), ai e Loo,hj(Í2,C2),

a€loo,-^(í2,C;) (5')

1>,(*)йЬ>с1 ■/(*)■££, (6')

/,«=1 5=1

а(а>) > С5 • почти всюду на П, (7')

(С,-) (г = 1,..., 5) - положительные постоянные, не зависящие от ж), а правые части уравнения и граничного условия удовлетворяют (4), краевую задачу (2), (3) называют задачей Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных или задачей Б.

Для каждого из выделенных типов задач определено понятие решения и пространство, которому оно принадлежит. Введем билинейную и линейную формы

Q

+ai(x)-p2"(x)-^^-v(x)+a(x)-p2"(x)-u{x)-v(x)

uX¡

dx,

Г(у) = I р^{х)-/(х)-ь(х) йх.

п

Определение 1. Функция м„(а;) из пространства называется -обобщенным решением задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных, если

о -

почти всюду на 00. ии(х) = у{х) и для всех из Я^+^/г справедливо тождество

ап(ии,у) =/(у) (8)

при любом, но фиксированном V, удовлетворяющем неравенству

р>ц +(3/2-1. (9)

Определение 2. Функция и1/(х) из пространства называется /¡"„-обобщенным решением задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных, если

о 1

почти всюду наи1/(х) = ц>(х) и для всех из И^ удовлетворяет тождеству (8) при любом, но фиксированном I/, подчиненном неравенству

и>ц + р/2. (Ю)

В пп. 1.4.1 для несамосопряженного эллиптического уравнения (2) с согласованным вырождением исходных данных и с однородными граничными условиями первого рода в прямоугольной области доказано существование и единственность Д^-обобщенного решения при выполнении неравенства

2{Сх-(25^\+1)+Ъ.ЬС2)2 <СаСъ

др

дх.

<£, 5=1,2^; (11)

при этом получена оценка его нормы в пространстве Я* через правую часть уравнения (2) в норме

IWI/,1 (П)<Сб-||/1и2„(п) (Ce > 0).

Найдена шкала изменения параметра t>, в которой для каждого v существует единственное /¿„-обобщенное решение в пространстве H\v+pi2(ÇÏ), при этом показана принадлежность этого решения классам Н\ (Œ) ПРИ любом v из установленной шкалы.

В пп. 1.4.2 для поставленной задачи при дополнительных условиях на параметры и, /? и ц:

+ и v + /5/2 > 2 (12)

установлена принадлежность ^„-обобщенного решения пространству и доказано неравенство коэрцитивности

1МЯ2 (n) < с7- ||/IU2il(iî) (Ст > о). (13)

В следующем подпункте исследованы дифференциальные свойства ^„-обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения (2) с однородным граничным условием в прямоугольнике. Относительно коэффициентов уравнения предполагается, что выполняется требование ультраэллиптичности (6), условие (7) на функцию a(ar), a также равенство аи(х) = as/(x) и для некоторого целого неотрицательного

«ь е я^(п,с8), щ е (/,*= 1,2),

(14)

Правая часть уравнения (2)

/ € /х >

В этом случае ^„-обобщенным решением поставленной задачи называется функция иц(х), почти всюду обращающаяся в

ноль на сЮ и удовлетворяющая интегральному тождеству (8)

для всех у(х) из #2 „+¿3/2 при любом, но фиксированном и, подчиненном неравенству

" > V + /V2 - к1 ~ 1В теореме 1.3 при выполнении дополнительных условий 1>>ц + Р/2, и + Р/2>кг+2

установлены принадлежность и11(х) пространству и справедливость для него неравенства

Ыи1+2 (т < Си ■ Ц/Н^ (СЦ > 0).

Доказательство этой теоремы опирается на следствие 1.1.2, из которого показана принадлежность /¿„-обобщенного решения пространствам ¡/^р/2-(к1+2-к)(^) для ^ = • • ч + 2, на введение для каждого к вспомогательной задачи, обобщенным решением которой является функция и1,к(х), равная ри+р/2-(к1+2-к)^ . на результаты работы В.А. Кондра-

тьева (Труды ММО, т.16, 1967 г.), на основе которых сделан вывод о принадлежности пространству И^оС^)) и на

аналог теоремы вложения весовых пространств, сформулированный в п. 1.2 (лемма 1.2).

В п. 1.5 исследована задача Дирихле для самосопряженного эллиптического уравнения без смешанных производных с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области:

2 ^ / $11, \ -¿^(МяЭ^+ФО-«(«) = /(*). хеп, (15)

и{х) = 0, х е (16)

и

Вводятся обозначения: Г 2

! \ [ ^ 2и, ч / \ дии{х) дд(х)

п 1>1 = 1

Я

^тЛ {г} „

¿ж,

+*«(*) • ^^ • ^^ • 0 (*) + «(*) • р2и(х) ■ и,(х) • д(х)

Ыд) = 1р2"(х)-Кх)-д(х)<1х.

Через О* обозначена подобласть области все точки которой удовлетворяют неравенству р(х) > к* > 0.

Функция и* (ж) из пространства И^^^П*) названа Л„-обобщенным решением задачи Б для уравнения (15) на области О*

О -

(О* С если для всех <?(#) из и+р/2 Ф) спРавеДЛИВо тождество

ап'(К^в) = /пЛа)

и для любой д(х) она может быть продолжена на ^ так, чтобы ее продолжение и„(х) из класса И^1 „^^(О) удовлетворяло равенству

ааК><?) = Ыд)

при любом, но фиксированном и, подчиненном неравенству V > ц /3/2, а на границе почти всюду имело место равенство и„{х) = 0.

В теореме 1.4 для задачи (15), (16) при выполнении условий (4), (5')-(7') и

о(ж) >2Сц -V2 • ац(х) ■ р~1/а1(х), С12 > 1,

в области доказаны существование и единственность Д„-обобщенного решения в классе ХУ\11 справедливость оценки

<С13 -Н/Н^п.) (С13>0).

В следующей теореме и следствии из нее установлены априорные оценки и„(х) через правую часть уравнения.

В главе II построены две разностные схемы для краевых задач с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Первая из них введена для задачи Дирихле, вторая - для задачи с изменением типа граничных условий. Показана сходимость разностных решений этих схем к 11^-обобщенным решениям исходных задач со вторым порядком по шагу сетки в норме разностного аналога весового пространства Н\ и+р/2- Кр°ме того, для решения первой разностной схемы установлена оценка скорости 0(/12) в сильной норме сеточного пространства

В пп. 2.1.1 приведена постановка первой краевой задачи для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка

1>(ж) = 0, х £ сЮ;

наложены необходимые условия на коэффициенты и правую часть уравнения, при которых Я„-обобщенное решение задачи принадлежит пространству Я^-из/г- Д3-1166 строится сетка, вводится пространство сеточных функций и дискретный аналог весовой функции, определяются разностные отношения, скалярные произведения и нормы для различных пространств.

В следующем подпункте для поставленной задачи предложена разностная схема

Л^и = хи € Оа, р1"(ха) • Фа) = 0, хке

гле

Ahpu = - £ a¡Áxh) • Ph~ß/2(xh) • dfd~ и

1,3= i

+ a{xh) ■ Ph~ß,2(xh) ■ u{zh),

Fhp = Puh~ß/2(xh) -fh(Xh),

и исследована погрешность ее аппроксимации на /¡^-обобщенном решении. Вывод оценки погрешности аппроксимации опирается на оценки ее составляющих на /¿„-обобщенном решении, имеющем определенную гладкость, выраженную в терминах его принадлежности весовому пространству И-/3/2 ' и на лемму Брэмбла-Гильберта. В отличие от известного подхода 1 доказательства согласованных оценок для разностных схем, построенных с помощью усредняющих операторов, здесь для оценки правой части разностной схемы использовано определение /¿„-обобщенного решения, построение срезающей функции и теоремы о связи обобщенных производных с конечно-разностными отношениями.

В пп. 2.1.3 приведен ряд лемм, в которых получены оценки снизу для разностного оператора Анри. Основными следует считать неравенства, установленные в леммах 2.4 и 2.7

1Ил/>и1к2)0(П„) > Си ■ IMItfi m„)<

j Z

h "2,v+ß/2(ith) 2,1/4-/3/2'

с положительными постоянными См, С15 и Ci6, не зависящими от вектора h, которым определяется сетка. Чтобы показать

1См., например, Самарский A.A., Назаров Р.Д., Макаров B.JT. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. — М.: Высшая школа, 1987. — 296 с.

справедливость первого из этих неравенств, помимо регулярности и ультраэллиптичности, от коэффициентов уравнения необходимо потребовать выполнения некоторого специального соотношения типа (11). Доказательство второго неравенства, являющегося основой для получения коэрцитивной оценки, существенно отличается от доказательства подобных неравенств для краевых задач без сингулярности исходных данных, так как в нашем случае нужно оценивать члены на кусках границы, полученные в результате двойного суммирования по частям (Ahpu, Ahfiv)çih, с учетом несамосопряженности оператора AhpU, влияния весовой функции ph(xh) и условия ультраэллиптичности.

В последней части п. 2.1 доказывается разностный аналог неравенства коэрцит.ивности, в теоремах 2.3 и 2.4 установлена сходимость в пространствах Н^^р^Фн) и Щv+p/ifàh.) решения разностной схемы к /^-обобщенному решению исходной задачи со скоростью О (h2).

В п. 2.2 в прямоугольной области il с границей дП

^dfi = U áí2(¿)J рассмотрена граничная задача для эллиптического уравнения второго порядка с заданными естественными краевыми условиями на одной из сторон и однородными главными условиями на остальных трех сторонах прямоугольника:

2 â2v

Av = - J2 aía(x) • + а(х) • v(x) = f{x), x <E Я,(17)

2 dv

âv = £ a¡s(x) ■ ---cos(7?,x¡) = ipi{x), x G <?Í2(1), (18)

/,5=1 OXs

аи = и(а:) = 0, x € дПщ, i = 2,3,4, (19)

где r¡ - единичный вектор внешней нормали к dQ^y

Через н\ а(Г2) обозначается пополнение по норме (1) множества бесконечно дифференцируемых в Л2 функций с носителем О, равных нулю в окрестности

Функция и„(а:) из пространства называется

/¿„-обобщенным решением задачи (17)—(19), если и„(х) почти всюду на обращается в ноль и для всех д(х) из

Я^+(0/2(О) удовлетворяет тождеству

[\ ^ / \ IV, Ч ду„(х) д9{х) , , х др21,(х) дии(х) п и.«=1

9ща(х) 2 ди„(х) 2

•р2и(х)-—--д(х)+а(х)-р "{х)-у„(х)-д(х)

йх

0x1 дх5

=I р2и{х)^{х)-д{х)йх-\- J р2и(х)-^(х)-д(х) (1х2

при любом, но фиксированном V > /г + /3/2 — 3.

На коэффициенты и правые части уравнения (17) и граничного условия (18) наложены условия, при которых и„(ж) принадлежит пространству

Для нахождения /¿„-обобщенного решения задачи (17)—(19) на сетке равномерной по каждому из направлений, использована разностная схема

Аири = хк е Пн,

где

кр ~ I акРЩ хк € Нр ~ I Флр, хк €

Здесь

2

1 г

АКри = - ^2аи(хк)-р1~р/2{хн)-д^д^и-- [«ьл)'Рл"^2л)

анри = и{хн), хн € « = 2,3,4.

Функция

-РаДЯ/О =/>л~^2(а;л)-/л(®л), = (¿1/11,^2) 6 Пь,

где

¿1А1+0.5А1 ¿2/12+0.5^2

¿1/11— 0.5/ц ¿2/12—0.5^2 функция Флр^л) на стороне имеет вид:

ФьР(®л) = рГ^Ю'Ри^/,) + яд = (0,г2Ь2),

где

¿2/12+0.5A2

¿2.

¿2/12 —0.5Л2

0.5/ц i2h2+0.bh2

(0.5/¿i)/Í2

0 ¿2/l2—0.5/l2

ФлДяь) = О при xh e дпЦ\ i = 2,3,4.

Для представленной разностной схемы исследована погрешность аппроксимации, устойчивость и сходимость. Основное внимание уделено оценке модуля погрешности аппроксимации в узлах сетки, принадлежащих границе с естественными граничными условиями. Отличительная черта доказательства этой оценки (лемма 2.12) состоит в том, что правая часть граничного условия в разностной схеме задается с помощью усредняющего оператора и для ее оценки в интегральном тождестве R„- обобщенного решения строится пробная функция специального вида, зависящая от срезающей функции и ее следа на части границы; оценки проводятся в нормах пространств различной размерности.

В лемме 2.13 установлено неравенство

(Ahpu,pvh+ß/2u)nh + /ahpu,puh^,2u/dnh > С16 ■ IMItfi Wííh)'

Ci6 - положительная постоянная, не зависящая от и(хи) и h.

На основании лемм 2.12 и 2.13 получена оценка скорости сходимости 0(h?) в норме разностного пространства #j„+(3/2'

Глава III посвящена построению метода конечных элементов (МКЭ) для задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных

данных на конечном множестве точек, принадлежащих криволинейной границе двумерной области и исследованию скорости сходимости приближенного решения предложенного метода к Д„- обобщенному решению исходной задачи в весовых пространствах Щ^+р/^Щ и ^.н-т^)-

В п. 3.1 приведена постановка задачи (2), (3), наложены условия (4)-(7) на коэффициенты и функцию правой части уравнения, доказано при выполнении дополнительного условия (11) существование единственного Ли- обобщенного решения

о .

в пространстве Н2и+р/2 получена его оценка через правую часть уравнения в норме Утверждение теоремы следует из установленных свойств непрерывности и Я\ — эллиптичности билинейной формы а^(и,ь), непрерывности линейной формы /(ь) и теоремы Лакса-Мильграма.

В следующем пункте описано построение схемы метода конечных элементов для нахождения Яи- обобщенного решения поставленной задачи. С этой целью проводится квазиравномерная триангуляция Тк области так, чтобы выполнялись свойства:

_ м

(Тдх) Многоугольная область О, = К^ ({Л'}={Л'1,...,

¿=1

- множество замкнутых треугольников, называемых конечными элементами, к- максимальная из длин сторон треугольников К) с границей дО,н содержится в Г).

Рм) Общими для треугольников К являются только стороны или вершины.

(Тдз) Все вершины треугольников К 6 Гд, расположенные на границе д£1н, принадлежат также границе 80.. Точки сингулярности решения гг- (г = 1,...,п) задачи А являются подмножеством множества вершин треугольников, принадлежащих д0.н. При этом один треугольник К содержит не более одной из точек {г,•}"_!•

(З/м) Существует число 0О > 0 такое, что для — наименьшего из всех углов триангуляции, имеем 0д > 0О.

{Тнъ) Расстояние от точек d£lh до 80. не превосходит величину ст2/г-2, где о2 > 0, не зависит от h.

Вершины Р0,Р\,. •., Pnh треугольников К названы узлами триангуляции Тд.

Через Q' обозначено множество сегментов, образованных кусками границы дП и отрезками ломаной dQh, т.е. fi' = Q\Qh. Из свойств триангуляции Тн следует, что каждому сегменту принадлежит не более одной точки т% (г = 1,..., тг).

Далее, каждому узлу Pi, кроме совпадающих с точками г,-, поставлена в соответствие базисная функция

ф{{х) = р-^2\х) .<pi(x), i = l,...,Nh-n,

где ipi(x) - функция, равная единице в точке Pi, нулю в остальных узлах и линейная на каждом треугольнике К из

Через Vh обозначено множество линейных комбинаций

N/j—n—m

]Г сч-ф^х), «=1

равных нулю на fi'. (Здесь ец = pt/+^^2(Pi) ■bi, 6г —const; (n+тгг) - число граничных узлов).

Пространство Vh является подпространством H\v+pfV Приближенным Rv- обобщенным решением задачи А по методу конечных элементов была названа функция ujj из пространства Vh, удовлетворяющая равенству (8) для любой функции vh из Vh.

Так как Vh СН\ и+р/г^ то приближенное Ru- обобщенное решение МКЭ существует и единственно.

В п. 3.3 исследован вопрос сходимости МКЭ по норме пространства Согласно лемме 3.1, получение оценки

разности точного и приближенного решения сведено к оценке величины М I\uu — vh\\rJl ,01.

Ввиду того, что функция и„(х) £ по лемме 1-2

•ии(х) принадлежит И^2 и по лемме 4.2 ри+13/2(х) •

ии(х)

= 0, г = 1, ...,п. Для этой функции на базисе

х—т,

{Фг}?=1 П определен интерполянт 1=1

В силу справедливости неравенства

~ (П) ^ " и»Лн1 (Ш'

сначала в теореме 3.2 была установлена оценка

\\и„ - и^1\\н1 т<С17-Н-\\и^]Н2 №). (20)

Доказательство этой теоремы проведено в четыре этапа.

На первом этапе получена оценка в области состоящей из треугольников, ни одна из вершин которых не совпадает с точками особенностей. В силу того, что весовая функция р[х) в Г2§ ограничена как сверху, так и снизу, оценка в Щ „-(-/3/2(^2) проведена с использованием техники доказательств для невесовых соболевских пространств.

На втором этапе установлено неравенство (20) в области в которую входят треугольники, одна из вершин которых совпадает с точкой особенности гг- (г = 1,...,тг). Для этого в произвольном треугольнике К из строится продолжение функции • и„ — р^+Р!2 • на прямоугольник и> (о; = [-<5,5] х [0, 5], 8 = 0(к)) с сохранением принадлежности к классу И7! (у) и делается отображение и> на прямоугольник

П = [—1,1] X [0,1]. Затем показана непрерывность линейного функционала

д(Р»+М2 • «„) = ■ и„ - р*+Р/2 •

относительно р"+Р/2 • и„ из И7^ (П) и обращение его в ноль на полиномах первой и нулевой степени. На основании леммы Брэмбла-Гильберта получено неравенство (20) сначала на К, а далее на П^.

На третьем и четвертом этапах утверждение теоремы устанавливается в объединении сегментов £2' благодаря свойствам проведенной триангуляции Тд и с помощью вспомогательных лемм из главы I об оценке норм функций с сингулярностью в окрестности точек вырождения, лемм о вложении весовых пространств С.Л.Соболева и оценки интегралов по приграничной полосе.

На основании теоремы 3.2, леммы 3.1 и неравенства коэр-цитивности делается вывод, что приближенное решение, найденное по методу конечных элементов, сходится к .^-обобщенному решению задачи А в норме пространства с0 скоростью О (к).

Из этой теоремы, очевидно, следует оценка

1К - <С18-к- ||/1к2)/да),

где параметр -у > /3/2 — 1.

В п. 3.4, используя идею Обэна-Нитше для невесовых пространств, показано, что в действительности для определенных 7 имеет место

II ^-ъНЛь2,и+у(п) = 0(112).

В теореме 3.4 доказано, что если выполняются неравенства

+ — — 2 — а</(, V < — (а -вещественное число)

и они не противоречат изначальным условиям (9), (12) на параметры [г и /5, то, выбирая у > а/2, определяется пространство //2,1/+7) по норме которого сходимость предложенного метода конечных элементов имеет порядок О (И2).

В главе IV рассмотрена третья краевая задача для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с сильной сингулярностью решения на конечном множестве точек кусочно гладкой границы двумерной выпуклой области. Для этой задачи определено /("„-обобщенное решение; доказано существование и единственность в весовом пространстве I^„4./?/2построена Л-версия метода конечных элементов на основе конечноэлементного пространства, содержащего сингулярные функции, зависящие от пространства, которому принадлежит Д„-обобщенное решение; установлены оценки скорости сходимости приближенного решения в норме весового пространства Соболева Н\ с первым порядком и в норме

весового пространства Лебега ¿2,^+7 со вторым порядком.

В п. 4.1 в дополнение к пространствам, определенным в первой главе, введены весовые пространства с нормами:

1М1£2, ат = / р2а(х)-и2(х) ¿з, до,

1К21а(п) = 1Н1я211а(П)+1М12ча_1/2№ Мьз>в(п) = 1М12ча(п) + 1М1£2,в+1/20П).

а - некоторое вещественное число.

Далее, показано: (1) след любой функции и(а;) из пространства Я2 а(Я) принадлежит ¿2,0-1 /г(^) и его норма в этом пространстве оценивается через ||и||д-1 (2) для функции и(ж) из пространстваН%а(Я) Яа(ж)-и(х)|д:=Т; = 0; (3) норма

функции и{х) пространстваэквивалентна ЦиЦу^ (п)-В п. 4.2 рассмотрена третья краевая задача

2 д2и 2 ди

ди

Ь(х)-и(х) + — = ф), хедп, (22)

где = V щАх) • • соз(п, жЛ - конормальная производная, п - единичный вектор внешней нормали к ¿Ю.

Задача (21), (22) является третьей краевой задачей с согласованным вырождением исходных данных, если

/€2,2,м(П), <р€ ¿2,„-1/2(9Г1), Я > 1/2, (23)

а коэффициенты щ3{х) = а31(х) (/,« = 1,2) и для некоторого вещественного числа выполнены условия (5)-(7),

&е£00,_(/,_1)№С19), (24)

Ь[х) > С20 • > 0 почти всюду на (25)

где С19, С20 - положительные постоянные, не зависящие от х; О, & ~ любые вещественные параметры. Обозначим через

адО.{и,ь) = £р2"(х) -Ь(х) • и(х) • ЭП

¿(и) = J р2"(а:) • /(®) • о(г)</я + У />а"(а:) • <^(х) • ф)^ соответственно билинейные и линейную формы.

Определение 3. Функция ии(х) из пространства w+ß¡2^) называется i?„- обобщенным решением третьей краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных, если для всех v(x) из V2 v+ßfo^) справедливо тождество

и) = l(v)

при любом, но фиксированном и, удовлетворяющем неравенству

v>n + ß/2-l. (26)

При выполнении условий (5)-(7), (И), (23)-(26) в теореме 4.2 доказано существование единственного Ru- обобщенного решения ии(х) третьей краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных в пространстве ^г^-ьз/г^) 11 установлена справедливость оценки

IKIIi^+/3/2(fi) < С21 • (||/||^(п) + 1Мк,„_1/2(эп))-

Основное внимание при доказательстве уделено оценкам форм ад&{и,у) и £(v) по границе д£1.

В п. 4.3 для нахождения /^-обобщенного решения построена схема метода конечных элементов. Для этого вокруг области Q описан многоугольник и проведена его квазиравномерная триангуляция по аналогии с п. 3.2; введена система базисных функций {^'¿К'^Г'1-"' содержащая сингулярные функции, и определено пространство Vh (fi/j) как линейная оболочка этой системы.

Функция иу из пространства Vh(Q), удовлетворяющая равенству

«nvh) + vh) = £(vh), Vvh € Vh,

названа приближенным Rv- обобщенным решением MIO задачи (21)-(22).

Приближенное решение находится в виде

Nh-n

Uv - £ «' • 1=1

где а,- = -bi, b{ - const. Имеет место его существова-

ние и единственность.

В следующем пункте сначала получена оценка аппроксимации ии(х) с помощью интерполянта uuj{x), построенного для продолжения (р"+/3/2(х) • и„(х))* в W2{£lh) по его значениям в узлах триангуляции. В теореме 4.5 для /¿„-обобщенного решения поставленной задачи, при предположении, что оно из пространства установлена оценка сходимости

- ^ С22 -h • (ИЯк/ЛП) + 1Мк2,„_1/2(эп)).

В п. 4.5 доказана сходимость приближенного решения и^(х) к /¡^-обобщенному решению «„(ж) задачи (21), (22) в норме со скоростью О (/г2).

Для этого введена вспомогательная задача с граничным условием специального вида. Изучена дифференциальная постановка этой задачи и схема метода конечных элементов. При этом уделено особое внимание исследованиям на границе области.

В теореме4.6, предположив, что /¿„-обобщенные решения исходной и вспомогательной задач из пространства [/+/3/,2 (fi) и выполнены неравенства и-\-/3/2—2—а < р, v < р+а/2 доказывается оценка скорости сходимости

- ^ Сгз •h2 • (илиа.„(п) + IMUi>M_1/a(en)),

где параметр 7 > а/2.

В главе V исследуются разностные схемы для задач с краевыми условиями первого рода и с изменением типа граничных условий с

несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области. Не ограничивая общности, предполагается, что в условиях на коэффициенты уравнения параметр /3 равен нулю.

В п. 5.1 приведена постановка задачи Дирихле

+ = /(*)■ (27)

«(я) = 0, хе дП. (28)

Предполагается, что точками особенностей являются углы прямоугольника, а исходные данные задачи таковы, что /¿„-обобщенное решение «„(я) из класса Я|„(О).

Сетка, сеточные функции, скалярные произведения и нормы заданы так же, как и в главе II. Сеточный аналог весовой функции рь{хк) определен как евклидово расстояние до ближайшей точки особенности в узлах сетки из объединения окрестностей ПЛ точек особенностей и как постоянная функция в (размер каждой из окрестностей определяется радиусом |/1|1-7/'2 с центром в точке особенности, |/1| = тах/ц, 7 - вещественный параметр.

Для нахождения Я„- обобщенного решения задачи (27), (28) предложены две разностные схемы Л(д) и В^ с самосопряженным и несамосопряженным разностными операторами

Акри = рь^хь) ■ 1^x11), ад £

рЦяь) ■ и(хь) = 0, хи 6 дПн;

Вьри = рЦхь.) -//.(¿л),

р1(хь) ■ и(хь) = 0, ждеШ/,;

где

Аьри = - £<9, -а^хь) -д^и) + рд(:сл) ■ а{хи) • и(хк), 1=1 ^ '

В/1ри = -^рЦхн) (а/-д+и) + р%(хА) -а(хн) -и(хн).

1=1 ^ '

Здесь

а^хл) = Ь^хп + 0.5 • аг2л), а2(х11) = Ь2(х1/1, х2н + 0.5 • И2), а(гл) = 6(а:л), /л(жл) = Джл),

В пп. 5.1.2 для разностной задачи /!(/,) исследована погрешность аппроксимации, установлена слабая устойчивость, получена оценка по шагу сетки порядка 2 — 7 — ^ для разности сеточного решения и(хь) ц /¡"„-обобщенного решения у1/(х) дифференциальной задачи в норме пространства И^Дйд).

Погрешность аппроксимации представляется в виде суммы двух функций ф[1%> и где ф^ определена во всех узлах сетки П/, и для нее имеет место оценка

< с24 • |Л|2 • (Лх • Л2)~1/2 • Ы1л« „(<*,<,) + с25 • |Л|2,

где - объединение ячеек, содержащих узел х/,. Погрешность ■ф(?\хн) определена в узлах жд из для |ф^ (хь) | установлена оценка, зависящая от квадрата расстояния от этого узла до ближайшей точки особенности,

В лемме 5.3 получена оценка

• ||Лл,«||£2(Пл) > С27 ■ 1М1П„(П,.)> с™ >

характеризующая слабую устойчивость разностной задачи /1(д) в пространстве И^2„(Г2/,).

На основании исследования аппроксимации и устойчивости выводится оценка скорости сходимости О в норме пространства И^ДПл).

В пп. 5.1.3 при выполнении одного из условий на поведение функции и(хь) в подобласти

а) и(хь) > 0 и и(агл) - возрастающая функция относительно точки вырождения;

б) и(хь) < 0 и ~ убывающая функция относительно точки

вырождения, (29)

для разностной схемы В(д) с несамосопряженным оператором установлена оценка скорости сходимости 0(/г2).

Для численного анализа задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных использование разностной схемы , если найденное решение и(х^) удовлетворяет требованиям (29), значительно рациональней, потому что порядок точности этой разностной схемы существенно выше, чем для разностной схемы А^) ■

В п. 5.2 в прямоугольной области рассмотрена краевая задача с несогласованным вырождением исходных данных для самосопряженного эллиптического уравнения с изменением типа граничных условий, т.е. задача, в которой на одной половине стороны прямоугольника Г задается естественное граничное условие, а на второй половине и остальных трех сторонах прямоугольника ЗГДГ — главное. Для нахождения Яу- обобщенного решения этой задачи построена разностная схема с самосопряженным оператором, опираясь на результаты, полученные в п. 2.2 и п.5.1, исследована погрешность аппроксимации как внутри области, так и на границе (леммы 5.55.8). В лемме 5.9 показана справедливость оценки

^Г^ЦАЛ^ИН^П») + ||ал^||12(гЛ) + • ||адр«||1,а(впь\гл) >

В теореме 5.3 для разности решения разностной схемы и ^-обобщенного решения исходной задачи в норме пространства И^ Д^л)

установлена оценка скорости сходимости О ^Ь2*1 ^^ .

В главе VI проведен численный анализ двух модельных краевых задач для самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка в прямоугольной области. Для нахождения обобщенного и /?„- обобщенного решений задач Дирихле и с изменением типа граничных условий на стороне прямоугольника на равномерной сетке строилась разностная схема с самосопряженным разностным оператором. Для решения сеточных уравнений был использован явный чебышевский метод с оптимальным набором итерационных параметров. Для найденных приближенных решений как обобщенно-

го, так и /¿„-обобщенного, определялась относительная погрешность ¿(хд) = |[г)]/( — ил|/тах|[г)]/,| в каждом из узлов сетки Па, количество н координаты узлов с погрешностью больше заданных предельных. Выяснялась зависимость точности нахождения Я„- обобщенного решения от величины и и у (у -параметр, определяющий размер окрестности точки особенности, в узлах которой сеточная весовая функция задается как расстояние до точки вырождения, а вне ее как постоянная).

Результаты серии расчетов показали, что величина погрешности всегда убывает по мере удаления узла от точки особенности и при выборе параметров и и у близкими к наилучшим количество узлов с погрешностями больше заданных предельных для /¿„-обобщенного решения в десятки, а иногда и в сотни раз меньше чем для обобщенного решения. В задачах с сильной сингулярностью обобщенное решение не удавалось найти из-за "аварийной остановки" машины, в то время как /?„-обобщенное решение находилось с точностью до шести н более знаков после запятой.

В п. 6.4 приведены результаты расчетов восьми модельных задач, анализ которых сведен в таблицы и в некоторых случаях проиллюстрирован.

Основные результаты диссертации

1. Для краевых задач с вырождением исходных данных и сингулярностью решения определено понятие /?„-обобщенного решения, выделено два класса с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. Исследованы вопросы существования и единственности /¿„-обобщенного решения, его коэрцитивные и дифференциальные свойства для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области. Доказано существование единственного /¿„-обобщенного решения первой краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных в выпуклой области П в пространстве ^ ($1* С П).

2. Развит подход построения и исследования разностных схем и схем метода конечных элементов для эллиптических задач с сингу-. лярностью на основе введенного понятия /^-обобщенного решения и весовых пространств С.Л.Соболева.

3. Построены разностные схемы с самосопряженным и несамосопряженным операторами для задач Дирихле и с изменением типа граничных условий с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Установлены оценки скорости сходимости сеточных решении к /¿„-обобщенному решению в нормах разностных аналогов весовых пространств //£ (к=1,2) и И£„+/,/а(ПЛ).

4. Для нахождения /¿„-обобщенного решения задач с граничными условиями первого и третьего рода для эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в точках границы двумерной выпуклой области построен метод конечных элементов на основе базиса, содержащего сингулярные функции. Установлено, что в норме Н\ сходимость приближенного решения МКЭ имеет порядок О (Л), а в метрике пространства ¿2,^(0) - 0(Л2).

5. Проведен численный анализ построенных разностных схем для задач Дирихле и с изменением типа граничных условий с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных в прямоугольнике. Сделано сравнение точности нахождения обобщенного и /?„-обобщенного решений поставленных задач. Установлена зависимость нахождения /¿„-обобщенного решения от способа задания и показателя степени сеточной весовой функции.

Основные публикации по теме диссертации

1. Рукавишников В.А. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих вторую краевую задачу для эллиптических уравнений второго порядка // Модели и уравнения (Сообщения по прикладной математике) - Москва: ВЦ АН СССР, 1980. - С.3-14.

2. Рукавишников В.А. Коэрцитивная оценка скорости сходимости приближенного решения второй краевой задачи // Докл.АН СССР. - 1983. - Т.271, N 4. - С.798-801.

3. Рукавишников В.А. Регулярность решения задачи Неймана на прямоугольнике // Методы алгебры и анализа. - Тарту: ТГУ, 1983. - С.132-135.

4. Рукавишников В.Л. О регулярности решений краевых задач // Численные методы в алгебре и анализе. - Владивосток: ВЦ ДВНЦ АН СССР, 1985. - С.6-15.

5. Рукавишников В.А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Докл. АН СССР. - 1986. - Т.288, N 5. - С.1058-1062.

6. Рукавишников В.А. Весовые оценки скорости сходимости разностных схем задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. - Владивосток, 1986. - 20с.- (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 02092).

7. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах /?„- обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР. - 1989. -Т.309, N 6. - С.1318-1320.

8. Рукавишников В.А. О Rv- обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике. - Владивосток, 1989. - 35с.- (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 14435).

9. Рукавишников В.А., Власенко В.Д. Численный метод решения задачи о переходных процессах в поляризованных пьезопреобразова-телях в двумерном приближении в режиме излучения // Прикладной численный анализ и математическое моделирование. - Владивосток: ВЦ ДВО АН СССР, 1989. - С.38-54.

10. Рукавишников В.А. О весовых оценках погрешности метода сеток решения уравнения Гельмгольца // Numerical Analisis and Mathematical Modelling. - Warsaw: Banach Center Publications. - 1990.

- V.XXIV. - P.397-408.

11. Рукавишников В.А. Разностный метод решения краевых задач с вырождением исходных данных в угловых точках границы // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. -Москва: ИММ РАН, 1991. - С.42-43.

12. Рукавишников В.А. О обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. - Новосибирск, 1993. - Т.2, N 4. - С.105-111.

13. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. - 1994. - Т.337, N 4.

- С.447-449.

14. Рукавишников В.А. Исследование разностной схемы смешанной краевой задачи с сингулярностью решения // Методы численного анализа. - Владивосток: Дальнаука, 1993. - С.61-90.

15. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. - 1994. - Т.338, N б. - С.731-733.

16. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа.

- Владивосток: Дальнаука, 1993. - С.22-48.

17. Rukavishnikov V.A. The Finite Element Method for Dirichlet Problem with Co-Ordinated Degeneration of Initial Data // AMCA-95. Abstracts - NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - P.281-282.

18. Рукавишников B.A. Исследование разностной схемы краевой задачи с изменением типа граничных условий с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа. - Вып.2

- Владивосток: Дальнаука, 1995. - С.4-29.

19. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве ¿2,^+7 для задачи Дирихле с вырождением // Методы численного анализа. - Вып.2 -Владивосток: Дальнаука, 1995. - С.30-43.

20. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т.32, N 3. -С.402-408.

21. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. Error estimates for the finite element method for the third boundary value problem with strong singularity of solution. - Khabarovsk: Dalnauka, 1997. - 21p.

22. Rukavishnikov V.A., Kashuba E.V. On a new normalized orthogonal singular polinomials set, its properties and special features. -Khabarovsk: Dalnauka, 1997. - 15 p.

23. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. Abstracts of Second European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications. - Heidelberg, Germany, 1997. - P.199-200.

24. Рукавишников В.Л., Беспалов А.Ю. The h-p version of the finite element method for one-dimensional boundary value problem with singularity of solution // Сибирский журнал вычислительной математики. - 1998. - T.l, N2. - С.58-77.

25. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. - Singapore: World Scientific Publishing Company - 1998. - 9 p.



РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ . ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

/ / $ ^ на правах рукописи

Ь -

РУКАВШШИКОВ ВИКТОР АНАТОЛЬЕВИЧ

УДК 519.63

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СИНГУЛЯРНОСТЬЮ

01.01.07 - вычислительная математика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

С <-"" ' ь

? ) ^ 1' и ^

Хабаровск - 19Э7

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................. 5

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ВЫРОЩЩНИЕМ..................... 27

1.1. Весовые пространства С.Л.Соболева................. 27

1.2. Теоремы вложения. Вспомогательные утверждения..... 31

1.3. Постановки задач. Определение Н^-обобщенного решения........................................... 54

1.4. Первая краевая задача для несамосопряженного эллиптического уравнения с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области____ 57

1.4.1. Существование и единственность Н^-обоб-щенного решения............................ 58

1.4.2. Неравенство коэрцитивности................. 66

1.4.3. Дифференциальные свойства ^-обобщенного

к1

решения в пространствах ........

1.5. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области... 85

1.5.1. Существование и единственность ^-обобщенного решения в пространстве ffj Ш*)•■- 85

1.5.2. Априорные оценки R^-обобщенного решения____ 90

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ

ИСХОДНЫХ ДАННЫХ.................................. 93

2.1. Первая краевая задача............................. 93

2.1.1. Сетка, сеточные функции и их нормы......... 93

2.1.2. Разностная схема. Погрешность аппроксимации. 99

2.1.3. Основные леммы............................. 106

2.1.4. Разностный аналог неравенства коэрцитив-

ности. Теоремы сходимости....................118

2.2. Задача с изменением типа граничных условий................121

2.2.1. Постановка разностной задачи......____..... 121

2.2.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость________126

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ

С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ............143

3.1. Задача Дирихле и ее свойства.......................143

3.2. Построение схемы метода конечных элементов........ 152

3.2.1. Триангуляция двумерной выпуклой области.... 152

3.2.2. Выбор базисных функций................................153

3.2.3. Существование решения схемы метода

конечных элементов............................154

3.3. Оценка скорости сходимости в пространстве

¿и+Р/2(0).......................................154

3.3.1. Сходимость интерполянта решения........................155

3.3.2. Теорема о сходимости метода конечных элементов.................................................165

3.4. Сходимость и скорость сходимости приближенного решения в метрике Ъ0 (О).............................166

3.4.1. Вспомогательная задача..........................................166

3.4.2. Теорема о скорости сходимости в пространстве Ь£ ..........................................171

ГЛАВА 4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ

ДАННЫХ...........................................................174

4.1. Вспомогательные утверждения...................174

4.2. Постановка задачи............................179

4.3. Схема метода конечных элементов.................186

4.4. Оценка скорости сходимости метода конечных элементов в пространстве Н^ (Œ)•■■---- 138

4.5. Оценка скорости сходимости МКЭ в пространстве Lg ....................... 194

ГЛАВА 5. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С

НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОВДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ...... 202

51. Задача Дирихле.................................... 202

5.1.1. Постановка задачи..........................202

5.1.2. Схема с самосопряженным разностным оператором................................. 205

5.1.3. Схема с несамосопряженным разностным оператором........................................214

5.2. Краевая задача с изменением типа граничных

условий...........................................218

5.2.1. Дифференциальная задача.................... 218

5.2.2. Разностная схема........................... 220

5.2.3. Погрешность аппроксимации.................. 223

5.2.4. Слабая устойчивость. Теорема сходимости.... 229 ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ДЛЯ

ЗАДАЧ С ВЫРОЩЩНИЕМ..............................235

6.1. Постановки дифференциальных задач.................235

6.2. Выбор разностных схем.............................236

6.3. Метод решения сеточных уравнений.................. 239

6.4. Численный эксперимент и анализ результатов........240

ЛИТЕРАТУРА.........................................................253

ВВЕДЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена разработке и обоснованию методов численного анализа краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с сингулярностью решения в точках границы двумерной области, исследованию вопросов существования и единственности R^-обобщенного решения задачи Дирихле с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, изучению коэрцитивных и дифференциальных его свойств в весовых пространствах С.Л.Соболева.

В последние три десятилетия интенсивно развивается теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений с частными производными и теория краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения.

Обычно вырождающимся уравнением называют такое уравнение, которое меняет свой тип или порядок на некотором подмножестве замыкания области (см., например, [113, с.125 и [173, с. 810).

Особенность решения краевой задачи для дифференциального уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий). К изучению краевых задач с сингулярностью решения приводят математические модели электромагнетизма, электродинамики, гидродинамики и т.д. (см., например, Е843).

Вопросами разрешимости общих краевых задач для эллиптических уравнений в областях с нерегулярной границей,'

исследованием асимптотических свойств их решений в окрестностях конических точек занимались Г.Фикера, В.А.Кондратьев, В.Г.Мазья, Б.А.Пламеневский, П.Грисвард и другие (см. И223-Е1253, Е193-Е213, С361-С433, С483, [129 3-[133 3).

В работах С.М.Никольского Е523,Е543, [1413, П.И.Лизоркина и С.М.Никольского [263-Е313, С513 был развит подход, предложенный Труази Е1503, к исследованию граничной задачи первого рода для дифференциального уравнения эллиптического типа порядка 2г с вырождением на границе области О -ограниченная область п-мерного пространства с достаточно гладкой (п-1}-мерной границей Ш), доказано существование и единственность обобщенного решения в весовых пространствах С.Л.Соболева, изучены его дифференциальные свойства.

Основные аналитические свойства, такие как существование, регулярность, единственность решения и численные методы его нахождения для граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и их систем с сингулярностью коэффициентов в граничных точках изучались в [1373, [1453, [1363 , [1123, [1163, [1523, [1383.

Важным моментом для численного анализа краевых задач с особенностью решения является определение понятия решения и пространств, в которых оно существует, единственно и обладает необходимыми дифференциальными свойствами( так как известно, что скорость сходимости приближенного решения к точному решению дифференциальной задачи существенно зависит от его регулярности).

Наиболее распространенными численными методами решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка

является метод конечных разностей и метод конечных элементов (МКЭ).

В 60-70 годы многими авторами (см.»например, [813, [803, [443, [123} исследование погрешности аппроксимации разностных схем основывалось на формуле Тейлора, при этом для получения "хороших" оценок скорости сходимости необходимым условием являлась принадлежность классического решения исходной задачи пространству Ск а(П) (кгЗ, 0<а<1). В случае, когда область содержит угловые точки, регулярность решения в окрестностях этих точек нарушается, даже если исходные данные задачи (коэффициенты и правые части) достаточно гладкие. Однако, для задач Дирихле, Неймана, со смешанными граничными условиями для уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца, с постоянными коэффициентами в прямоугольнике и в многоугольнике с прямолинейными сторонами в работах [493, [503, [63-[83, [893, [903, [453, [583, [593 были найдены дополнительные условия, при выполнении которых потери регулярности решения не происходит. Суть этих требований заключается в том, что в угловых точках выполняются условия согласования для некоторых производных от коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий, а для определенных задач еще и дополнительно условий интегрального типа.

Очевидно, что наложение дополнительных условий на исходные данные существенно сужает класс задач, для которых приближенное решение сходится с "хорошей" скоростью. Известно, если граница области содержит углы а^ (1=1,2,...,N), то обобщенное решение краевой задачи принадлежит классу

W^+k~e(Q), k = min {кЛ, где

1=1,...1

' для задач Дирихле и Неймана, а±

к± = -

для смешанной краевой задачи,

а в - любое положительное число. Другими словами, решение краевой задачи в многоугольнике не принадлежит даже

пространству №?(£}), его полунормы \ \ ^ , к; > 2, не ^ Ирт)

ограничены. Фиксом в [1263 был предложен подход, основанный на выделении сингулярной части решения в окрестности угловых точек и позволяющий строить схемы метода конечных элементов с первым порядком сходимости в пространстве У^Ф). Этот метод для решения двумерных краевых задач был развит в работах [1273, [943, [1103, [1073. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях с учетом асимптотики решения в окрестностях особых точек строились и исследовались в [883.

Другой подход, использующий специальное построение сеток около сингулярной точки (в частности, сеток со сгущением к точке особенности), также позволяет избежать потери точности разностной схемы или схемы метода конечных элементов в ее окрестности (см., например, [83-И03, [1133, [1533, [923, [953, [1493, П463).

В [128}, [1113, [1393 для решения задач с угловыми точками использовалась комбинация аналитического представления решения в окрестностях точек особенностей и метода конечных элементов вне этих окрестностей.

Во всех вышеперечисленных случаях общим являлось то, что устанавливалась зависимость точности решения от величины шага сетки и от показателя степени, с которым он входит в оценку скорости сходимости. В методе конечных элементов нахождение

такой зависимости при фиксированной степени р полиномов относится к Ь-версии МКЭ. В начале 80-ых годов в работах И.Бабушки и других математиков [96], [983-И023 получила развитие р-версия МКЭ. В р-версии сетка фиксирована и скорость сходимости зависит от роста степени полиномов. Ь-р-версия метода конечных элементов является комбинацией 11 и р-версий. Однако, в отличии от них, &-р-версия имеет экспоненциальную скорость сходимости. Исследование Зп-р-версии для решения краевых задач в областях с кусочно гладкой границей и с изменением типа граничных условий, основанное на детальном изучении свойств обобщенного (слабого) решения в весовых пространствах Фреше В^Ш), проводилось в серии работ [973, [1343, [1353, И033-И063.

Анализу схем метода конечных элементов для краевых задач в трехмерных областях с границей, содержащей трехгранные узлы и ребра, при различных ограничениях посвящены работы [1083, [1093, [1243, [1173, [1183, [1483.

В [119 3-[1213, [154 3 исследовался метод конечных элементов для нелинейных краевых задач с изменением типа граничных условий.

Изучению численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с вырождением исходных данных посвящено сравнительно небольшое число работ. В [933 в области с кусочно гладкой границей рассмотрена задача Ддрихле для уравнения Пуассона с правой частью из пространства Ш21+а(Ш (- ^г-<а< ^ )• Известно [1403, что в этом случае слабое решение задачи принадлежит пространству Слободецкого ИУ^ (£}). В работе получены оценки скорости сходимости метода конечных элементов в пространствах (О<0< ) и установлена

зависимость параметра 0 и скорости сходимости (от 0(111/2~е) до

0(ü1"e), s>0 - любое) от величины а. В [147] для этой же задачи, в случае когда правой частью уравнения является 6-функция Дирака и граница области гладкая, установлена сходимость метода конечных элементов в пространстве LC(Q) со скоростью Q(h).

В работах [783, [793 для граничной задачи первого рода для самосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с вырождением коэффициентов на границе области построен метод конечных элементов. За счет предложенного алгоритма сгущения сетки с учетом порядка вырождения удалось доказать сходимость в весовом пространстве С.Л. Соболева W^ a(ß) со скоростью О (Ii) и в классе L2(Q) - 0(h2).

В [323 получены согласованные оценки погрешности в нормах весовых пространств С.Л.Соболева схем метода конечных элементов с лагранжевыми конечными элементами степени п(п>1) для линейного эллиптического уравнения, вырождающегося на части границы.

Вопросы построения численных методов решения дифференциальных задач с особенностями на кусках границы области изучались в работах [133, [253, [13, [183.

Общим для вышеперечисленных работ является то, что в них рассматриваются задачи со слабой сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных; то есть такие задачи для которых можно определить обобщенное (слабое) решение. Однако в некоторых разделах физики, таких как: физика плазмы и газового разряда, ядерная физика и нелинейная оптика-возникают задачи с сильной сингулярностью решения, обусловленной сингулярностью исходных данных.

В теории рассеяния большой класс задач о вылете частиц из притягивающего центра или падении их на центр описывается

уравнением Шредингера, решение которого - волновая функция, стремится к бесконечности в начале координат. Такое поведение решения обусловлено наличием сингулярности у потенциала -исходных данных задачи. К этому классу относятся задачи о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г~1//2) ( ЕЗЗЗ, гл. 5, Е343, гл.10 ).

В нелинейной оптике в трехмерной задаче о самофокусировке лазерного луча из-за свойств среды световой пучок собирается в точку, в которой плотность энергии обращается в бесконечность. Точное решение данной задачи не найдено, и асимптотика поведения решения неизвестна ( [35],гл. 13).

В этих и аналогичных задачах нахождение точного решения возможно в небольшом числе частных случаев. Предлагаемый здесь подход позволяет анализировать их численно в более общей постановке.

Для краевых задач с сингулярностью, в которых обобщенное (слабое) решение определить нельзя, или оно не обладает необходимой регулярностью, нами в [593 предложено определить решение как Н^-обобщенное. Такое новое понятие решения привело к выделению двух классов задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных, а также позволило изучить его существование и единственность, коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах О.Л.Соболева н| а- Для этих классов задач построены и исследованы разностные схемы и схемы метода конечных элементов, получены оценки скорости сходимости в различных весовых пространствах.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и шести глав.

В главе I введено определение Н^-обобщенного решения для задачи Дирихле для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных. В случае согласованного вырождения исходных данных доказано существование и единственность ^-обобщенного решения первой краевой задачи в прямоугольной области, исследованы его коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах Н^ • № задачи Дирихле с

несогласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области 0 доказано существование и единственность Ду-обобщенного решения в весовом пространстве Н^ )

(где О с О), установлены априорные оценки.

В пункте 1.1 даны определения весовой функции р(х), весовых пространств С.Л.Соболева а(0) и а(0)(к - целое,

а - вещественное), пространств Ь (0,0), У?^ „(0,0),

00 у 1Л» 00 у чД>

Й „(0,0), весовых дробных классов

00 у (А с | Ц (Л

возникающих естественным образом как классы следов на границе дЧ^ функций из соответствующих целых классов. Кроме того, перечислены необходимые в дальнейшем неравенства, включая неравенство Харди и Кларксона.

В пункте 1.2 приводятся вспомогательные результаты, которые представляют самостоятельный интерес. Перечислим некоторые из них.

Прежде всего, устанавливается эквивалентность нормы

функции и(х) из пространства н£ „(О) и суммы полунорм функций

с. ,<Л

рОМк-з)(Х).и(Х) из пространств И? (О) (з=0,...,к), сначала

с~ , О

для к=1, а затем для любого к.

Далее, получены оценки нормы функции в весовом

пространств© Ь2 а на объединении окрестностей точек

1

или

особенностей через норму функции в пространстве Н;> Л

_ по всей области. Установлена зависимость этих оценок от ^ »ОЦ

соотношения а и оц и, что самое главное, о