Построение и исследование h-р версии метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

Пгава 1. Построение и исследование Ъ-р версии метода конечных элементов для одномерной задачи Дирихле с сингулярностью решения.

1.1. Весовые пространства.

1.2. Первая краевая задача с согласованным вырождением исходных данных.

1.2.1. Постановка задачи. Определение ^-обобщенного решения.

1.2.2. Существование и единственность ^-обобщенного решения.. . . .'.

1.3. Схема метода конечных элементов.

1.4. Вспомогательные утверждения

1.5. Аппроксимация решения модельной задачи с сингулярностью с помощью к-р версии метода конечных элементов на геометрической сетке.

1.5.1. Экспоненциальные оценки погрешности аппроксимации в норме пространства

1.5.2. Двусторонние экспоненциальные оценки невязки метода конечных элементов.

1.6. Построение и исследование к-р версии метода конечных элементов на радикальной сетке.

Глава 2. Метод конечных элементов в его к-р версии для задачи Дирихле с сингулярностью решения в точках границы двумерной области.

2.1. Основные обозначения.

2.2. Вспомогательные утверждения.

2.3. Задача Дирихле с согласованным вырождением исходных данных.'.

2.3.1. Постановка задачи. Определение Л^-обобщенного решения.

2.3.2. Существование и единственность ^-обобщенного решения.

2.4. Схема метода конечных элементов.

2.4.1. Задание сетки и степенных векторов аппроксима-ционных функций.

2.4.2. Конечноэлементное пространство. Определение приближенного Я,» -обобщенного решения по МКЭ —

2.4.3. Построение к-р версии метода конечных элементов

2.5. Экспоненциальная оценка погрешности аппроксимации в норме пространства Щ ^. ^

Гяава 3. Численная реализация к-р версии метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения.

3.1. Постановка дифференциальной задачи.

3.2. Алгоритм численного метода.

3.3. Численный эксперимент и анализ результатов.

Настоящая диссертация посвящена разработке и обоснованию к-р версии метода конечных элементов для задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы области.

В последние три десятилетия теория краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения является одной из интенсивно развивающихся областей математики.

Сингулярность решения краевой задачи для эллиптического уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий).

Исследования краевых задач с сингулярностью решения, вызванной первыми двумя причинами, проводились В.А.Кондратьевым, П.Грисвардом, В.Г.Мазьей, Б.А.Пламеневским, И.Бабушкой и другими. В работах этих авторов (см. [10]—[12] ? [ТО]—[73], [19]-[25], [28], [84], [51], [52], [80]) изучались вопросы разрешимости рассматриваемых краевых задач, исследовались дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях угловых и конических точек.

М.Труази в [94], С.М.Никольским в [29], [31], П.И.Лизоркиным и С.М.Никольским в [32], [16]-[18] исследована краевая задача первого рода для эллиптического уравнения порядка 2г с вырождением на всей границе области П (О с Яп - ограниченная область с достаточно гладкой (п - 1)-мерной границей <90). Для данной задачи 5 доказано существование и единственность обобщенного решения в весовых пространствах С.Л.Соболева, изучены его дифференциальные свойства.

Дифференциальные задачи, в которых сингулярность решения вызвана вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий), возникают в таких областях физики, как физика плазмы и газового разряда, ядерная физика, нелинейная оптика и других.

В теории рассеяния большой класс задач о вылете частиц из притягивающего центра или падении их на центр описывается уравнением Шредингера, решение которого есть волновая функция, стремящаяся к бесконечности в начале координат. Такое поведение решения обусловлено наличием сингулярности у потенциала, являющегося частью исходных данных задачи. К упомянутому классу относится также задача о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г-1/2) (см. [14, Глава 5], [1, Пгава 10, §90], [13]).

В нелинейной оптике в трехмерной задаче о самофокусировке лазерного луча, из-за свойств среды световой пучок собирается в точку, в которой плотность энергии обращается в бесконечность. Точное решение данной задачи не найдено и асимптотика поведения решения неизвестна (см. [15, Глава 13, §109]).

Нахождение точного решения физических задач, описанных выше и аналогичных им, возможно лишь в небольшом числе частных случаев. Поэтому, актуальным вопросом является теоретическое исследование таких задач в более общей постановке, а также создание для них эффективных методов численного анализа.

Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярностью коэффициентов и правой части в гра6 ничных точках изучались в [9], [82], [6], [65], [85]. Основной целью этих работ являлось исследование разрешимости рассматриваемых задач в подходящих функциональных пространствах; при этом в [82], [6] были найдены асимптотические представления решений. Особенностью краевых задач такого типа является то, что в ряде случаев обобщенное (слабое) решение для них определить нельзя или оно не обладает регулярностью, необходимой для построения того или иного численного метода (это может быть вызвано как сильной сингулярностью исходных данных, так и тем, что решение не принадлежит классическому (невесовому) пространству С.Л.Соболева). В связи с этим В.А.Рукавишниковым в работах [33], [34] было предложено определять решение краевых задач с вырождением исходных данных как /^-обобщенное. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах С.Л.Соболева существование и единственность решения, его коэрцитивные и дифференциальные свойства при сингулярностях, вызванных как наличием угловых точек на границе области и сменой типа граничных условий, так и вырождением (слабым или сильным) исходных данных задачи (см. [35]—[40], [42]).

Одним из наиболее распространенных численных методов решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка является метод конечных элементов (МКЭ). Теоретические основы МКЭ изложены в монографиях Ж.Деклу [7], Г.Стренга и Г.Фикса [45], Ф.Сьярле [46], Э.Митчелла и Р.Уэйта [27], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [26]. В [8], [43], [44] описаны применения МКЭ к решению задач, возникающих в различных областях физики и техники.

В своей простейшей форме МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементными пространствами. Эти пространства состоят из кусочно-полиномиальных функций, определенных на разбиении исходной области. При 7 этом, в зависимости от способа увеличения размерности конечно-элементного пространства различают три версии (разновидности) метода конечных элементов: а) /¿-версия, в которой степень р полиномов фиксирована и обычно мала (р = 1,2,3), а требуемая точность достигается измельчением сетки (уменьшением сеточного параметра Л); б) р-версия, где фиксирована сетка, а степень р аппроксимацион-ных полиномов возрастает для того, чтобы уменьшить погрешность аппроксимации; в) к-р версия (комбинация к- ир- версий), в которой одновременно и измельчается сетка, и увеличиваются степени аппроксимационных полиномов.

В настоящее время /г.-версия МКЭ является уже классическим подходом к решению многих задач математической физики, в том числе и задач с сингулярностью.

В [69], [55], [60], [63], [92] с цепью построения /¿-версии для краевых задач в двумерных и трехмерных областях с нерегулярной границей применялся подход, предложенный в [68] Г. Фикс ом и основанный на выделении сингулярной составляющей решения в окрестности угловой точки. В работах других авторов (см., например, [47], [54], [90]) для этой цели использовалось специальное построение сеток (в частности, сеток со сгущением к точке особенности).

В начале 80-х годов в работах И.Бабушки и других американских математиков получили свое развитие р- и к-р версии МКЭ. Впервые они были исследованы в [59] (^-версия) и [49] {к-р версия) для краевых задач в областях с кусочно-гладкой границей и со сменой типа граничных условий, т.е. для задач со слабой сингулярностью решения (обзор основных результатов, касающихся р- и к-р версий МКЭ, а также обзор работ по этой тематике приведен в [48]). 8

Дальнейшее изучение р-версии проводилось в [66]-[67], [56]—[58], [64]. Было доказано, что, если скорости сходимости /г-версии (на равномерной или квазиравномерной сетке) ир-версии выражены через размерность конечноэлементного пространства, то скорость сходимости р-версии не может быть ниже, чем для /г-версии. Более того, в случае, когда сингулярность решения вызвана наличием угловых точек на границе области, скорость сходимости р-версии в два раза выше, чем для /¿-версии.

Существенной особенностью к-р версии МКЭ является то, что для ряда задач правильный выбор сетки и распределения степеней аппроксимационных полиномов приводит к экспоненциальной (в отличие от степенной для к- и р- версий) скорости сходимости.

В [74]—[76] проведен анализ /г-, р- и к-р версий МКЭ для одномерной модельной задачи, решение которой имеет сингулярность типа ха (а > 1/2, а - нецелое) в начале координат (такое поведение решения является моделью сингулярности, вызванной наличием угловых точек на границе области для двумерных краевых задач). Целью этих работ являлось доказательство оптимальных оценок погрешности аппроксимации для каждой из версий МКЭ; при этом изучались вопросы оптимального выбора сетки и степенного вектора аппроксимационных функций. В результате, наилучшая экспоненциальная оценка погрешности аппроксимации была установлена для 1г-р версии на геометрической сетке в сочетании с линейным степенным вектором. Кроме того, было показано, что для к-р версии МКЭ на равномерной сетке экспоненциальную скорость сходимости получить невозможно.

Построению к-р версии для краевых задач с кусочно-аналитическими исходными данными на многоугольниках и в областях с криволинейной границей посвящены работы [78], [79], [52], [53]. В них 9 основой для исследования к-р версии является детальное изучение дифференциальных свойств решений рассматриваемых задач в специальных счетно-нормированных пространствах.

Дальнейшее свое развитие к-р версия МКЭ получила в работах И.Бабушки, Б.ГУо, К.Шваба, Т.Лукаса и других математиков (см. [50], [81], [77], [91], [83]).

Анализ схем МКЭ для краевых задач с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, проводился в [39]—[41], [87]—[89]. Были рассмотрены первая и третья краевые задачи для несамосопряженного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области. Для поставленных задач на основе определения /^-обобщенного решения строилась /г-версия МКЭ. При этом в [87]—[89] были введены конечноэле-ментные пространства, содержащие функции с сингулярностью, зависящей от класса, которому принадлежит /^-обобщенное решение. В результате проведенных исследований были доказаны сходимости приближенных /¿^-обобщенных решений к точным в норме весового пространства С.Л.Соболева с первым порядком по сеточному параметру Л, а в норме весового пространства Лебега - со вторым.

В настоящей диссертации для одномерной и двумерной задач Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения в граничных точках построена и исследована И-р версия МКЭ. Решения поставленных задач определяются как /^-обобщенные,-что позволяет установить их существование и единственность в весовых пространствах С.Л.Соболева. Вследствие специфики рассматриваемых задач, а именно, сильной сингулярности их решений в точках границы, К-р версия МКЭ характеризуется следующими особенностями: схема МКЭ строится на

10 основе определения /¿^-обобщенного решения соответствующей задачи; конечноэлементное пространство, являясь подпространством весового пространства С.Л.Соболева, содержит непрерывные функции с сингулярностью, зависящей от класса, которому принадлежит /¿^-обобщенное решение. В результате, за счет использования сеток со сгущением к точкам особенности и благодаря специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций, для каждой краевой задачи установлена экспоненциальная скорость сходимости приближенного /^-обобщенного решения к точному.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1968. — 480 с.

2. Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А. Об к-р версии метода конечных элементов для одномерной краевой задачи с сингулярностью решения. — Владивосток: Дальнаука, 1996. — 34 с. — (Препринт ЛГ8/ Вычислительный центр ДВО РАН).

3. Беспалов А.Ю., Рукавишников В.А. Об экспоненциальных оценках погрешности аппроксимации метода конечных элементов на радикальной сетке. — Владивосток: Дальнаука, 1998. — 30 с. — (Препринт Я 35 / Вычислительный центр ДВО РАН).

4. Веретенцева Т.В., Кобельков Г.М., Сушко В.Г. Приближенные решения некоторых задач с быстро изменяющимися коэффициентами // Вестник Моск. Ун-та. Серия XV Вычисл. мат. и ки-бернет. — 1993. ~ М 3. — С. 22-28. •

5. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976. — 92 с.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975. — 541 с.

7. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с сингулярностью произвольного порядка в граничных точках //146Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. — Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. — С. 109-123.

8. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209-292.

9. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. уравнения. — 1970. — Т. 6, Я 10. — С. 1831-1843.

10. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи матем. наук. — 1983. — Т. 38, вып. 2(230). — С. 3-77.

11. Крылов В.И. К вопросу о сечении ионизации водородоподоб-ного атома быстрыми электронами в однородном электрическом поле // Краткие сообщения ФИАН. — 1995. — Вып. 8. — С. 90-94.

12. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. — 752 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 624 с.

14. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Вариационный метод // Докл. АН СССР. —1981. — Т. 257, Ml. — С. 42-45.

15. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 257, М 2. — С. 278-282.

16. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 259, ЛГ 1. — С. 28-30.

17. Мазья В.Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 211, М 1. — С. 40-43.147.

18. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН СССР. — 1973. — Т. 210, Я 3. — С. 529-532.

19. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 219, Я 2. — С. 286-290.

20. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребер // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 229, Я 1. — С. 33-36.

21. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки функций Грина и ша-удеровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сибирский математический журнал. —1978. — Я 5. — С. 1065-1082.

22. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами на границе // Труды семинара С.Л.Соболева. — 1978. — Я 2. — С. 69-102.

23. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Х^-оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами // Труды Моск. Матем. об-ва. — 1978. —,Т. 37. — С. 49-93.

24. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

25. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

26. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

27. Никольский С.М. О краевой задаче первого рода с сильным вырождением // Докл. АН СССР. — 1975. — Т. 222, Я 2. ~ С. 281-283.

28. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных итеоремы вложения. — М.: Наука, 1977. — 456 с.148

29. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. — 1979. — Т. 150. — С. 212-238.

30. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задачах с сильным вырождением на границе // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 159, Я 3. — С. 512-515.

31. Рукавишников В.А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Докл. АН СССР. — 1986. — Т. 288, Я 5. — С. 1058-1062.

32. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах Ru-обобщенного решения задачи Дирихле // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 309, Я 6. — С. 1318-1320.

33. Рукавишников В.А. О Ru- обобщенном решении задачи Дирихле в прямоугольнике. — Владивосток, 1989. — 35с. — (Препринт / АН СССР. Дальневосточное отделение. ВЦ; ВД 14435).

34. Рукавишников В.А. О /^-обобщенном решении задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1993. — Т. 2, Я 4. — С. 105-111.

35. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 337, Я 4. —С. 447-449.

36. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения. — 1996. — Т. 32, ЯЗ. — С. 402-408.

37. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численного анализа. — Владивосток: Дальнаука, 1993. — С. 22-48.149

38. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН. — 1994. — Т. 338, ЛГ 6. — С. 731-733.

39. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве £2,^+7 Для задачи Дирихле с вырождением // Методы численного анализа. — Вып. 2. — Владивосток: Дальнаука, 1995. — С. 30-43.

40. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Третья краевая задача с сильной сингулярностью. — Владивосток: Дальнаука, 1997. — 16 с. — (Препринт М 11 / ВЦ ДВО РАН).

41. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. — 392 с.

42. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 229 с.

43. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349 с.

44. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

45. Babuska I. Finite element method for domains with corners // Computing. — 1970. — V. 6. — P. 264-273.

46. Babuska I. The p- and h-p versions of the finite element method. The state of the art // In: Dwoyer D.L., Hussaini M.Y. and Voigt R.G. (eds.). Finite Elements. Theory and applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1988. — P. 199-239.

47. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the combined h andj? versions of the finite element method // Numer. Math. — 1981. — V. 37. — P. 257-277.

48. Babuska I., Elman H.S. Performance of the h-p version of the finite element method with various elements // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 1993. — V. 36, No. 15. — P. 2503-2523.150

49. Babuska I., Guo B.Q. Regularity of the solution of elliptic problems with piecewise analytic data. Part 1. Boundary value problems for linear elliptic equation of second order // SIAM J. Math. Anal. — 1988. — V. 19, No. 1. — P. 172-203.

50. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for domains with curved boundaries // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — V. 25, No. 4. — P. 837-861.

51. Babuska I., Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for problems with nonhomogeneous essential boundary conditions // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. — 1989. — V. 74. — P. 1-28.

52. Babuska I., Kellogg R.B., Pitkaranta J. Direct and inverse error estimates for finite elements with mesh refinement // Numer. Math. — 1979. V. 33. P. 447-471.

53. Babuska I., Rosenzweig M.B. A finite element scheme for domains with corners // Numer. Math. — 1973. — V. 20. — P. 1-21.

54. Babuska I., Suri M. The optimal convergence rate of the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1987. — V. 24. — P. 750-776.

55. Babuska I., Suri M. The treatment of nonhomogeneous Dirich-let boundary conditions by the p-version of the finite element method // Technical Note BN-1063, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.

56. Babuska I., Suri M. The p-version of the finite element method for constraint boundary conditions // Technical Note BN-1064, Institute for Physical Science and Technology, Univ. of Maryland, College Park, MD. — 1987.

57. Babuska I., Szabo B.A., Katz I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. —1981. — V. 18. — P. 515-545.

58. Barnhill R.E., Whiteman J.R. Error analysis of Galerkin methods for Dirichlet problems containing boundary singularities // J. Inst. Math. Applies. — 1975. — V. 15. — P. 121-125.151

59. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing. — 1982. — V. 28. — P. 53-63.

60. Cai W., Lee H.C., Oh H. S. Coupling of spectral methods and the p-version of the finite element method for elliptic boundary value problems containing singularities //J. Comput. Phys. — 1993. — V. 108, No.2. — P. 314-326.

61. Canale A., Caso L., Di Gironimo P. Variational second order elliptic equations with singular coefficients // Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5). — 1993. — V. 17. — P. 113-128.

62. Dorr M.R. The approximation theory for the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1984. — V. 21. — P. 1181-1207.

63. Dorr M.R. The approximation of solutions of elliptic boundary value problems via the p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. — 1986. — V. 23. — P. 58-77.

64. Fix G.J. Higher order Rayleigh Ritz approximations // J. Math. Mech. — 1969. —V. 18. — P. 645-657.

65. Fix G.J., Gulati S., Wakoff G.I. On the use of singular functions with finite element approximations //J. Comput. Phys. — 1973. — V. 13. — P. 209-238.152

66. Grisvard P. Alternative de Fredholm relative an problème de Dirich-let dans un polygone ou un polyedre // Bull. U.M.I. — 1972. — P. 132-164.

67. Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains. — BostonLondon-Melbourne: Pitman, 1985.

68. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. — Recherches en Mathématiques Appliquées, 22. Paris: Masson; Berlin: Springer-Verlag, 1992. — xiv+199 pp.

69. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 1: The error analysis of the p-version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 577-612.

70. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 2: The error analysis of the h- and h-p versions // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 613-657.

71. Gui W., Babuska I. The h, p and h-p versions of the finite element method in 1 dimension. Part 3: The adaptive h-p version // Numer. Math. — 1986. — V. 49. — P. 659-683.

72. Guo B., Babuska I. The h-p version of the finite element method. Part 1: The basic approximation results // Comp. Mech.— 1986. — V. 1. — P. 21-41,

73. Schatz А.Н., Wahlbin L.B. Maximum norm estimates in the finite element method on plain polygonal domains. Part II: Refinements // Math. Comput. — 1979. — V. 33. — P. 465-492.

74. Schwab C., Xanthis L.S. The method of arbitrary lines an h-p error analysis for singular problems // C. R. Acad. Sei. Paris Ser. I Math. — 1992. — V. 315, No. 13. — P. 1421-1426.

75. Stephan E., Whiteman J.R. Singularities of the Laplacian at corners and edges of three-dimensional domains and their treatment with finite element methods // Math. Methods in the Appl. Sciences. — 1988. — V. 10. — P. 339-350.

76. Törnig W. Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Band 2: Eigenwertprobleme und Numerische Methoden der Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 350 p.

77. Troisi M. Problemi elliptici con dati singolari // Ann. mat. pura ed appl. — 1969. — V. 83. — P. 363-407.