Метод конечных элементов высокого порядка точности для краевой задачи с сингулярностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ЕРЕКЛИНЦЕВ АНТОН ГЕРМАНОВИЧ

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С СИНГУЛЯРНОСТЬЮ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 200С

Работа выполнена и Вычислительном цспт|>с ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физ и ко- математических наук, н|хх(>ессор

Рукавишников Виктор Анатольевич

Официальные ошюненты: доктор физико-математических паук, прск(>есшр

Защита состоится "21 "декабря 2000 г. и 14.00 часов пазаседании диссергационного совета К 212.294.02 и Тихоокеанском государстишшом упиис1>снтстс по а; у юсу: 080035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 130 ауд. 315 л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского государственного университета.

Автореферат разослал "10"иоября 2000 г. Учёный секрета))ь

Чеботарёв Александр Юрьевич

(Институт прикладной математики ДВО РАН,

г. Владивосток)

кандидат физ и ко-м атсмати чсск и х паук, доцент Попова Татьяна Михайловна (Тихоокеанский п.жударс-гвсшIый у1шие]юитег, г, Хабаровск)

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической ¡■еофизики СО РАН (г. Новосибирск)

днссе|>тационного совета

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сиигуляр! ¡остью) [юшепия, а также построение и исследование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике.

Краевые задачи с сильной сингулярностью решения, вызванной вырожденном исходных данных, возникают при построении математических моделей ряда процессов, изучаемых в таких областях физики, как нелинейная оптика, физика плазмы в газового разряда, ядерная физика к других.

Отличительной особенностью задач такого типа является то, что в большинство еду чаев для них нельзя определить обобщённое (слабое) решение. Причиной этого может быть как сингулярность исходных данных, так и то, что решение не принадлежит пространству С..Л. Соболева. В связи с этим решение таких красных задач оп]>едслястся как й,,-обобщённое, принадлежащее весовому пространству С.Л. Соболева и удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству. Такое определение позволяет изучать существование и единственность, ко-эрцитивпость и дифференциальные свойства }>ешсний краевых задач с сингулир-ностыо, вызванной как наличием угловых точек па границе и сменой типа граничных условий, так и вырождением (согласованным и несогласованным) исходных данных.

Следует отмстить, что в большинство практических приложений точное |»тонне рассматриваемых краевых задач найти но удаётся. Более того, в ряде случаев неизвестна далее асимптотика поведении точного решения в окрестностях точек особенности. По этим причинам актуальными проблемами являются построение эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.

Одним из наиболее эффективных и распространённых в современной вычислительной математике численных методов является метод конечных элементов (МКЭ). Имеется огромное количество модификаций МКЭ по различным аспектам. В этом отношении следует отметить широко известные работы Г.И. Марчука и В.И. Агошкова, В.Я. Ривкннда и Л.А. Руховца, В.Г. Корпеева. Ю.М. Л невского. И. Бабушки и Э. Азнза. Ж. Деклу, Ж.-П. Обэна, Г, Стренга и Дж, Фикса,

1». Cbíi|wto, Э. Мнтчсла и Р. Уайта. Важное моего c¡>o;w большого разнообразия ко! ich поэ лсм ei ¡Ti i ы х схем отводится схемам МКЭ высоких порядков точности. Для эллиптических краевых задач порядка 2п такие схемы имеют число обусловленности 0(/i~an) и но числу операций асимптотически более выгодны обычных схем МКЭ. Тсо|>стичсскис аспекты построения и численной реализации схем МКЭ высоких порядков точности были исследовалы в работах В.Г. Корноева, Э. Митчола и Р. Уэйта, Ф. Сьирле, П. Равьяра, М. Зламала.

Следует заметить также, что пост]юение и исследование схем МКЭ высоких порядков точности опирается на знание дж|>фсрс1щиалы1ых свойств обобщённых ]>сшсниа соответствующих краевых задач.

Разработка и анализ конечнозлемеитных аппроксимаций при наличии сильной сингулярности в решении задачи характеризуется следующими особенностями:

/ схема МКЭ строится на основе определения /¿„-обобщенного решения соответствующей к]>аевой задачи;

/ базисные функции конечно-элементного и^страиства содержат сингулярную составляющую;

/ порядок сингулярности анпрокснмациоиных функций зависит от того, какому весовому пространству С.Л. Соболева принадлежит /¡„-обобщенное решение краевой задачи;

/ анализ пог^юшностн аищхжеимации проводится в весовых ^юстрапствах С.Л. Соболева.

Для приближённого решения краевых задач с сингулярностью, вызванной вьцю-ждсиием исходных данных, до настоящего времени использовались разностный метод, Л—, р— и h—p версии МКЭ. В связи с этим разработка и обоснование .МКЭ высокого порядка точности для краевых задач указанного тина является актуальной задачей вычислительной математики.

Цель работы — исследование коэрцитивных и дифференциальных свойств Д„-обобщённого решения задачи Дирихле для эллиптического дт^эференциального уравнения BT0ix>r0 порядка с согласованным вырожденном исходных данных в

Л

точках границы произвольной выпукло!! двумерной области; построение И тоо;«*-*1'ичоскоо обоснованно схемы метода конечных элемспч-ои высокого порядка точности для числсшюш решения краевой задачи с сингулярностью на основе применения дифференциальных свойств ее решения.

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории дифференциальных уравнений в частных производных, вычислительной математики и функционального анализа, в частности, теории весовых пространств С.Л. Соболева.

Научная новизна. Новыми в работе являются следующие основные результаты:

1. Исследована коэрцитивность задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных в граничных точках произвольной выпуклой двумерной области Л: доказана принадлежность /^-обобщенного решения краевой задачи весовому пространству С.Л. Соболева Я^+д/г^) при определённых условиях на параметр I/ и правую часть граничного условия; установлена оценка сверху для функции и„(х) в норме пространства

через нормы правых частей дифференциально!« уравнения и граничного условия в соответствующих пространствах (неравенство коэрцитивности).

2. Изучены дифференциальные свойства Л ^-обобщенного решения и„(5с) задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных ц граничных точках произвольной выпуклой двумерной области Л: для произвольного, но фикси]ювашюго, натурального к доказана принадлежность функции и„(х) весовому пространству С.Л. Соболева при определённых условиях на параметр ь>, коэффициенты и правые части дифференциального уравнения и граничного условия; получена оценка сверху для функции ъи(х) в норме пространства через нормы правых частей дифференциального уравнения и граничного условия в соответствующих пространствах.

3. Для задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области Г! построена схема метода конечных элементов высокого порядка точности, причём конечпоэлементное пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную составляющую; исследована погрешность апп)>оксима-ции и установлено, что скорость сходимости приближенного Я„-обобщённого ре-

шении к точному ti норме весового »¡»остранства имеет второй по-

рядок. П]Ю13сд«и численный анализ схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для задач рассматриваемого типа.

Теоретическая и практическая ценность. Представленные в диссертации методы и ]кззультати исследования могут быть использованы при построении и анализе схем МКЭ высокого порядка точности для других краевых задач с сильной сингулярностью, а также для численного решения конкретных прикладных задач. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции но вычислительной математике MKDM-2004 (г. Новосибщжк, 2004 г.), на VII и VIII Краевых конференциях молодых ученых Хабаровского края {г. XafiajioiiCK, 2005 и 200G гг.), на XXXI Дальневосточной математической школс-семинаре нм. академика Е.В. Золотова (г. Находка, 200С г.), на семинарах Вычислительного центра ДВО РАН, на учебно-научном семинаре "Математическое моделирование и численный анализ "Дальне восточного государственного университета путей сообщения.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — |5], указанных и конце авто|мх|>ерата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав (с делением на пункты и подпункты), списка использованной литературы и приложении. Объём работы с приложением — 137 страниц машинописного текста, к том числе 12 рисунков, 3 таблицы и список лите)»атуры из 133 наименований.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических паук, профессору Виктору Анатольевичу Рукавишникову за постоянное внимание и неоценимую помощь в работе.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация приводимых ннже математических предложений совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

Во введении даётся краткий обзор работ, посвященных исследованию краевых задач с сингулярностью и построению для них численных методов; сжато излагаются основные 1>езультаты, полученные в диссертации.

Первая глава посвящена исследованию коэрцитивное™ задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области, а также изучению диф(|ю-ренциальных свойств /{„-обобщённого решения указанной краевой задачи. В пункте 1-1 вводятся основные обозначения, о наделяется весовая функция, описываются все функциональные пространства, используемые в работе, приводятся выражения для норм и полунорм в этих пространствах. Пусть fi — выпуклая ограниченная область пространства К2. Множество dVt" состоит из п точек, принадлежащих кусочно-гладкой границе dSl\&îl"&C2. Весовая функция р{х) бесконечно дис}>ферснцируема и положительна всюду, кроме точек множества ôfï", и совпадает в некоторой окрестности каждой точки из ÔÎÏ" с (расстоянием до неё; её первые производные удовлетворяют неравенствам

дрШ

<S 0 = 1,2),

дх]

где 6 — вещественное число, 5 > 1.

В пункте 1.2 приводится постановка задачи. Пусть и области задано дифференциальное уравнение

2 л 2

с граничным условием

«(я) = х 6 дИ. (2)

Будем предполагать, что а^я^аг^я) и выполняются следующие условия:

(/,5 = 1,2), (3)

€ (1 = I.2). (4>

а(:г) 6 Сз), (5)

2 г

1>л*>й€.> с, */»(*)][;& (6)

о{ж) > С^р^'^х) и. в. на О, (7)

/(г) е ^„(П), (8)

е (9)

где С, ({ = 175) — положительные постоянные, не зависящие от х ; 0 и ^ — вещественные числа, /а > 0; £], £2 — произвольные вещественные числа, одновременно не рапные нулю.

Краевая задача (1), (2) при выполнении условий (3)-{9) называется задачей Дирихле с согласованным вырождением исходных данных. С помощью иы])ажС11ИЙ

1=1 д

+ 1 а{х)р2,,{х)и(х)ф)<1х, . (/,«) = ! о П

соответственно определяются билинейная и линейная формы. Определение 1.1. Функция и„(х) из пространства Н^ „+3(г2(П) называется обобщеппым решением задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных (1), (2), если и„(а;)=^г(а:) п- в- на ОН и для всех г/(х)Е Яг,справедливо интегральное тождество а(и„,г))=(/,«) при любом, но фиксированном 1/, удовлетворяющем неравенству

V >{1 + 0/2-1. (10)

Следующий пункт первой главы посвящен исследованию существования и единственности /¡^-обобщённого решения рассматриваепоП задачи. В теореме 1.1 устанавливается, что. если выполняются условия (3)—(10), а также неравенство

2(С,(МИ +1) +0.5Сг)а < С4С5; (11)

то существует единственное ^„-обобщённое решение и„(х) краевой задачи (1), (2) в пространстве Н\ н имеет место оценка

\Ых)\)и1„тт * (ИД*,™ + ,(12)

с положительной постоянной Со. не зависящей от функций п..(.г). /{х) и <р{х).

8

Из доказательства теоремы 1.1 непосредственно вытекает Следствие 1.1. Если найдётся хотя бы одно с, при котором существует единственное Я^-обобщённое решение краевой задачи (1), (2), то всегда можно определить полуинтервал {^ь^) такой, что при каждом ^2) существует единственное /^-обобщённое решение. Здесь

где е — фнксщювашгое и достаточно малое положительное число. Более того, в теореме 1.2 доказывается, что (х) (т) для любых £ [^ь^). В пункте 1.4 исследуется коэрцитивность «¡паевой задачи (1), (2). Доказываем (теорема 1.3), что при выполнении условий (3)-(8), (11), а также условий

9(х) е (13)

+ (И)

1/ + 0/2 > 2 (15)

/^-обобщённое решение краевой задачи (1), (2) принадлежит пространству ^2,1и имеет место неравенство коэрцитивное™

И«"(а;)11и,%+(,Л(П)< С7 (|!/(^11й.дп) + 11^)11/^^(00,) • 0«)

где постоянная С? положительна и не зависит огг (функций «^(х). /(х) и <г>(х)-Следующий пункт первой главы посвящен изучению дифференциальных свойств Я^-обобщснного решения краевой задачи (1), (2). Теорема 1.4. Пусть а^я) = ац{х) и выполняются условия

ои(*)еЯ™9(11.С1). ((,5 = 1,2), (17)

<*(*) е ^.^.„(ась) (г = 1,2), (18)

(19)

Г(Х) € Н^и), (20)

у(.г) е Нк2+Х1(дП), (21)

V + 0/2 > к + 2 (22)

при некотором фиксированном целом значении к > 1, а также условия (0), (7), (11), (14). ТЬгда /Í„-обобщенное решение ии(х) краевой задачи (L), (2) принадлежит щюстрапству и имеет место оценка

1М*)||/,< Се (||/(x)||Hf(i{íl) + llWs)!!,,*«/^)) , (23)

где постоянная Cg положительна и не зависит от функций utf(x), f{x) и v'(x). Во второй главе рассматривается задача Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных. Основные ]юзультаты главы касаются поет[)оспия схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для численного решения этой задачи, а также исследования аппроксимационных свойств MIO в весовом пространстве С.Л. Соболева Н\

В пункте 2.1 приведена постановка задачи и дано ощюдслснис сё /¡^-обобщенного решения. Рассматривается задача Дирихле с согласованным вырождением исходных данных для дифференциального уравнения (1) с однородным граничным условием

и(х) = 0, I е 3ÍÍ, (24)

исходные данные которой удовлетворяют условиям (3)-(8). Определение 2.1. Функция ии(х) из пространства Я^+л/аФ) называется Н„-обобщенным решением краевой задачи (1), (24), если и„(л:)=0 п. в. на <30 и для всех t>(x)6 Hl(Í1) справедливо интегральное тождество 0(1^,■!;)=(/,и) при любом, но фикси1>ованпом и, удовлетворяющем неравенству (10).

Слсдующи й пункт второй главы посвящён вопросам существования, единственности и регулярности fí„-o6o6iценного решения краевой задачи (1), (24), В соответствии с материалом первой главы, при выполнении условий (3)-{8), (10), (11) /^-обобщённое решение краевой задачи (1), (24) существует и единственно в п]>остралстве Н\ и имеет место оценка

1М*)Инз^(п> ¿ ^ll/(x)|Íts.„{í5); (25)

если же, помимо перечисленных условий, выполняются н неравенства (14), (15), то функция ыДг) принадлежит пространству #2,k+/j/2 11 справедливо неравенство коэрцитивпоети

Hu*(*>II«i,.«<n) £ (26)

10

где C7g и Сю — положительные постоянные, не зависящие от функций и„(а:) и /(т). Далее будем предполагать, что ап(х)=а.-ц(х) и совместно с условиями (б), (7), (11), (14) выполняются условия

вь(я) е (U = 1,2), (27)

eiWe^W"^) ((=1.2), (28)

в(х)€Я^1_((|_ч(П1С,), (29)

/(*) 6 Яг,,.(«). (30)

v + 0/2>3. (31)

ТЬгда /¡„-обобщённое решение tt„(x) краевой задачи (1), (24) прина;пежит п|ю-

о .

страпству //2t„+p/i(il) и имеет место оценка

в которой постоянная Сц положительна и пе зависит от функций ti,,{.r) и f{x). В пункте 2.3 на основании определении /^-обобщенного ¡и'шсиии поставленной задачи построена схема МКЭ. С этой целыо в область ii вписывается многоугольник П* таким образом, чтобы множество dil" являлось подмножеством множества вершин П*. Дополнительные правила построения этого MiioroyiwibtniKa связаны непосредственно с заданием ссгкн. iV — множество сегментов, образованных кусками границы дО, и звеньями ломаной dil*. Для задания сетки и необходимых узловых точек проведена квазиравномерная триангуляция Th многоугольника ii* по следующим правилам:

_ JV

(Ti) Многоугольная область № = Kj — множество замкнутых трсуголыт-

J-i

ков, называемых конечными элементами, с границей 6Vth — совпадает е областью

П*; h — наибольшая из длин сто]юн указанных треугольников.

(Tj) Общими для треугольников h'} (j = 1, N) могут быть только стороны или

вершины.

(Т!|) sup ,тлхК> < С]2, где С\г — положительная постоянная, не зависящая от

"rain Kj величины h.

U

(Т{[) Расстояния от точек множества до границы ОН не превосходят величины С13 • И2, где С 13 — положительная постоянная, не зависящая от А. Ри ..Рр/,, — вершины треугольников (узлы триангуляции), причём N1,= +п+п, где 77(1 ~ число узлов триангуляции, не принадлежащих ломаной ¿НУ", а п — число узлов, принадлежащих \ дС1°. Конечномерное пространство Р'А(ПЛ) представляет собой линейную оболочку, натянутую на систему функций

Мх) = ¿=1, 3?У,, + 2п,

а — непрерывные кусочно-кубические финитные в О'' функции относительно переменных ж» и хг, обладающее следующими свойствами:

1) при 1=1, и з = 1, Ли + П

Г1- если 1-7, ( 0, если ! з,

2) при 1, 27Гн+п и з = 1, 77н + Я

д<Рг(Р,) _ Г 1. осли г - 77л = 3, \ 0, осли г - 77(1 ^ ¿,

3) при 1=277л+71+1, 377а+2п и з = 1, 7Як + п

д^{Р3) ( если 1 - 277л - П = дх-г \ 0, если г - 277,, - « ^ 3,

Функции vhEVll(Sll^} продолжены на П' тождественным нулём. Определение 2.2. Функция «¡¡(х) из пространства называется при-

ближённым й„-обобщённым решением краевой задачи (1), (24) по методу конечных элементов, если она удовлетворяет равенству л(«£,уа)=(/, 1>л) для любой функции Vй из пространства

В этом же пункте устанавливается однозначная раз1>ешимость построенной схемы

мкэ.

В пункте 2.4 исследуется скорость сходимости приближённого Я^-обобщснно-го решения «¡¡(х) краевой задачи (1), (24) по МКЭ к точному /^-обобщённому

5x1 дх^

= 0;

решению u¡,{x). В качестве шлюмогатсмiыЮ1х> приведено утверждение, котсцюе являегся аналогом леммы Cea для весовых щкютрапств (лемма 2.1). Доказана априорная оценка погрешности аппроксимации /2„-обоб щепного решения и„(я)е //1,v+pp. (П) с помощью МКЭ высокого порядка точности. Сначала установлен результат об апщхжеимации функции и„(х) ннтериолянтом

*=i

+ £ i=ATi,+l

Теорема 2.1. Для произведённой триангуляции Т1' существует положительная постоянная Си, не зависящая от h и удовлетворяющая первенству

- ■uu,i(x}¡\¡,i ^í¡r(Q) < см • л2 • IM1) II//£„„., l(n,. (ЗД

Затем (на основании леммы 2.1, теоремы 2.1 и используя днф({ инициальные

° i

свойства /{„-обобщённого решения) доказано, что, если u„(i)e (íi) —

/^-обобщённое решение рассматриваемой задачи, a u¡(;r)eV'*(íl'') -- «i приближённое ^-обобщённое решение по МКЭ, noCTjweiiiioe в пункте 2.3, то для произведённой триангуляции X'1 имеет место оценка скорости сходимости

К(») - < ск. н2 • и дг)1ки(п» m

с положительной постоянной Си, не зависящей от «„(я), и* (г), f(x) it h (теорема 2.2).

В заключительном пункте второй главы, состоящем из трёх подпунктов, проведён численный анализ МКЭ высокого порядка точности для одномерной краевой задачи с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных.

В подпунктах 2.5.1 и 2.5.2 дана постановка дифференциальной задачи, описан алгоритм нахождения приближённого R„-обобщённого решения но МКЭ в случае произвольной сетки

В ходе численного эксперимента (подпункт 2.5.3) создана программа в среде программирования Delphi 6, реализующая описанный в предыдущем подпункте алгоритм нахождения приближённого /^-обобщенного решения, приведены расчёты серии одномерных модельных задач с сингулярностью. Расчёты каждой меделыюй задачи проводились на равномерной сетке с фиксированным числом элементов т. Для различных значений сеточного параметра h находилось приближённое /¿„-обобщённое решение соответствующей модельной задачи и определялась погрешность аппроксимации Я(П'1) в сеточном аналоге нормы весового пространства С.Л. Соболева

вычисленном с помощью квадратурной формулы Ромберга. Полученные )>езуль-таты представлены в виде таблиц и графиков и содержатся в приложении. На основании данных численного эксперимента сделаны выводы об аппроксимаци-онных свойствах МКЭ высокого порядка точности для краевых задач с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных. Установлено, что погрешность аппроксимации в сеточном аналоге нормы весового пространства Щ имеет степенной характер убывания с уменьшением сеточного пара-

метра Н. Этот вывод полностью согласуется с теоретическим результатом, сфо!>-мулироваипым в теореме 2.2 для аналогичной задачи в двумерном случае. Установлено также, что аппроксимациониые свойства метода тем лучше, чем больше число элементов т. Однако уже при малых значениях этой величины (т=2,4) предлагаемый метод позволяет находить решение с достаточно высокой точностью. Кроме того, сделаны выводы о влиянии параметра V на точность нахождения приближённого ^„-обобщённого решения задачи по МКЭ.

1. Исследована коэрцитивность задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением псходньис данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области.

III. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

2. Изучены ди<[>фс1>снциалы1ые свойства ^-обобщенного решения задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области.

3. Построена и исследована схема метода конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с сильной сингулярностью и согласованным вырождением исходных данных в точках границы произвольной выпуклой двумерной области.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ереклинцев А.Г. О коэрцнтивности /¿„-обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вьцэождением исходных данных / Ереклинцев Л.Г., Рукавишников В. А. // Дифференциальные уравнения, 2005. — Т. 41, № 12. — С. 1080-1089. (1.12 п.л.).

2. Eroklintsev A.G. On differentiality properties of an /¡^-generalized solution of the first and the third boundary value problems with singularity / Ercklintsev A.G., Rukavislmikov V.A. // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics (ICCM-2004). - Novosibirsk, 2001 ~ P. 916-921. (0.03 пл.).

3. Ереклинцев А.Г. Коэрцитивные оценки Л „-обобщенного решения для первой и третьей краевых задач с сингулярностью решения / Ереклинцев А.Г., Рукавишников В.А. // Препринт № 70 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2003. - 37 с. (2.31 п.л.).

4. Ереклинцев А.Г. О дифференциальных свойствах /^-обобщенного |>ешения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных / Ереклин-цев А.Г., Рукавишников В.А. // Препринт № 95 / Вычислительный центр ДВО РАН, - Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 200G. - 31 с. (1.93 п.л.).

5. Ереклинцев А.Г. Метод конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с сингулярностью / Ереклинцев А.Г., Рукавишников В.А. // Препринт № 102 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 200G. - 27 с. (1.68 пл.).

Ерсхлшщеп Антон Германович

Метод конечных элементов высокого порядка точности для краевой задачи с сингулярностью

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических паук

Подписано в печать I.VI1.2СНУ> г. Фор*мт 60x84/16. Бумага пиемия Печать офсстки. Ус.г.печ.д. - I, Тираж 100 мо. 3.1»ип №.

Отпечатано в отделе оперативном ш>шг\:;'.фнн Тсррнторишмюго орпни ФеаерильиоЙ службы Т0С"-Д<11Х^1Ь?>1НОИ с-итпетикп по Х<|С\'1;нж^ком\ к|М10 6М>0. г Хабаровск. ул. Фр>н к. (Л

Введение.

Глава 1. Коэрцш ивность и дифференциальные свойства задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных.

1.1. Основные обозначения.

1.2. Постановка задачи. Определение /^-обобщённого решения.

1.3. Существование и единственноегь /^-обобщённого решения.

1.4. Коэрцитивное! ь задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных.

1.5. Дифференциальные свойства /^-обобщённого решения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных.

Глава 2. Метод конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных.

2.1. Постановка задачи. Определение /^-обобщённого решения.

2.2. Существование, едини венность и регулярность

Rv-обобщённо! о решения.

2.3. Схема меюда конечных элемешов.

2.4. Оценка noipcmnociи аппроксимации в норме просфанства

H2,v+p/2(fy.

2.5. Численная реализация меюда конечных элемешов высокого порядка точности для задачи с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью.

2.5.1. Постановка дифференциальной задачи.

2.5.2. Алгоритм численного метода.

2.5.3. Результаты численного эксперимента и выводы об апироксимационных свойствах меюда конечных олемошов высокого порядка точности.

Настоящая диссертация посвящена исследованию коэрцитивных и дифференциальных свойств Я^-обобщённого решения задачи Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы произвольной выпуклой двумерной области и построению и теоретическому обоснованию схемы метода конечных элементов высокого порядка точности для численного решения краевой задачи с сингулярностью на основе применения дифференциальных свойств её решения.

В настоящее время построена законченная теория краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с гладкой границей. Один из центральных результатов этой теории состоит в том, чю если коэффициенты уравнения и граничных операторов, их правые части, а также граница области являются достаточно гладкими, то решение задачи — соответственно гладкая функция. Так, если коэффициенты и правые части непрерывны в обычном смысле, доказана разрешимость эллиптических краевых задач в пространствах Wp(ft); если же исходные данные непрерывны по Гёльдеру, разрешимость установлена в пространствах С1+а(Щ (см. [1], [3], [4], [7], [10], [31]—[35]} [40], [GO], [98]-[101]).

Исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения, а также разработка и обоснование методов численного анализа таких задач являются интенсивно развивающимися направлениями в современной математике.

Сингулярность решения краевой задачи для эллиптических дифференциальных уравнений может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе области; сменой тина граничных условии в точках границы; вырождением исходных данных краевой задачи (коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий).

Первоначально основное внимание исследователей было сосредоточено на изучении краевых задач, сингулярносп» решения в которых вызвана первыми двумя причинами. Так, в работах В.А. Кондратьева, П. Грисварда, В.Г. Мазьи, Б.А. Пламеневского, О.А. Назарова и других авторов (см. [16]-[19], [116], [42]-[50], [54], [55], [94], [95]) изучались вопросы существования и единственности решения, исследовались коэрцитивность и дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях нерегулярных точек границы.

С.М. Никольским в [56], [57], П.И. Лизоркиным и С.М. Никольским в [38], [39], [59], М. Труази в [130] проведено исследование краевой задачи первого рода для эллиптического дифференциального уравнения порядка 2г с вырождением на всей границе области Q (П — ограниченная область пространства IRn с достаточно гладкой границей 80). Для этой задачи доказано существование и единственность обобщённого решения в весовых пространствах C.JI. Соболева, изучены его дифференциальные свойства.

С середины 80-х годов прошлого века начинает активно развиваться теория краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с сильной сингулярноеi ыо решения, вызванной вырождением исходных данных (см. [14], [67]-[69], [72], [124]).

Дифференциальные задачи эюго типа возникают при построении математических моделей ряда физических процессов, изучением коюрых занимаююя такие облает науки, как нелинейная ошика, физика плазмы и газового разряда, ядерная физика. К примеру, в теории рассеяния существует большая группа задач о вылете частиц из притягивающею цепipa или падении их на центр. Математические модели подобных задач описываю 1ся дифференциальным уравнением Шрёдингера, решением которого является волновая функция, бесконечно большая в начале координат. Указанное поведение решения обусловлено наличием особенной и у потенциала, который можно рассматривать как часть исходных данных задачи. К упомянуiой группе следует относи и» также и задачу о тормозном излучении электрона, вылетающего из ядра. В этой задаче решение имеет особенность 0(г-1/2) (см. [36, Глава 5], [2, Глава 10, § 90]).

В нелинейной оптике рассматривается задача о самофокусировке лазерного луча, суть которой состоит в том, чго из-за свойств среды световой пучок собирается в точку; плотность энергии в этой точке обращайся в бесконечнойь. Точное решение сформулированной задачи не найдено и асимптотика поведения решения неизвестна (см. [37]).

Нахождение точного решения описанных выше задач и задач, им аналогичных (см. [30], [97], [128]), возможно лишь в небольшом числе частных случаев. В большинстве же случаев обобщённое (слабое) решение для них определить нельзя.

В связи с этим актуальным является исследование таких задач в более общей постановке, а также создание для них эффективных методов численного анализа.

Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением исходных данных в граничных точках изучались в [G], [9], [14], [29], [64], [65], [72], [92]. Основным направлением исследований, описанных в этих работах, являлось изучение разрешимости рассматриваемых краевых задач в подходящих функциональных пространствах. Отличи юльной особенностью краевых задач с сильной сингулярностью является то, что в ряде случаев обобщённое (слабое) решение для них определить нельзя или оно не обладает свойствами, необходимыми для использования того или иного численного метода. Эю может бьпь вызвано как сингулярностью исходных данных, так и чем, что решение не принадлежит классическому (невесовому) пространству C.JI. Соболева. В связи с этим В.А. Рукавишниковым в работах [G9], [72] было предложено определять решение таких краевых задач как Я^-обобщённое, удовлетворяющее специальному весовому интегральному тождеству. Такое определение позволило изучить в весовых пространствах СЛ. Соболева существование и единственность решения краевой задачи, её коэрци-тивность и дифференциальные свойства при наличии сингулярностей, вызванных как наличием угловых точек на границе области и сменой типа граничных условий, так и вырождением (слабым или сильным, согласованным или несогласованным) исходных данных (см. [67], [68], [70], [74], [75], [78], [82], [122]).

Следует заметить, чю в большинстве практических приложений точное решение рассматриваемых краевых задач найти не удаётся. Более того, в ряде случаев неизвестна даже асимптотика поведения точного решения в окрестностях нерегулярных точек. По этим причинам актуальной является проблема построения эффективных численных методов, учитывающих специфику задач с сингулярностью, а также теоретическое исследование этих методов.

Одним из наиболее эффективных и распространённых в современной вычислительной ма1ематике численных меюдов решения краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию этою метода в большей аепени способствовали работы инженеров, рассматривавших МКЭ в 50-х и 60-х годах прошлого века как способ построения дискретных моделей сплошных сред на основе фундаментальных положений механики твёрдого тела. Впоследствии (конец 60-х — начало 70-х годов 20 века) был развит математический аппарат МКЭ и получены основные результаты, связанные с оценками погрешности аппроксимации, сходимосш и обусловленное!и схем МКЭ. Большая часть указанных теоретических аспектов изложена в монографиях Ж. Деклу [11], Ж.-П. Обэна [61], Г. Стренга и Дж. Фикса [90], В.Г. Корнеева [24], Ф. Сьярле [91], Э. Митчела и Р. Уэйта [53], Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [52], О. Зенкевича и К. Моргана [13], статьях И. Бабушки и Э. Азиза [102], М. Зламала [132], J1.A. Оганесяна, JI.A. Руховца, В.Я. Ривкинда [62], [63]. В работах [12], [86], [87] описаны применения МКЭ к решению задач, возникающих в различных областях физики и техники.

Метод конечных элементов является методом оптимального проектирования на гильбертовом пространстве, а найденное с его помощью решение оказывается интерполяцией точного решения в некотором базисе. В своей простейшей форме МКЭ есть процесс построения конечномерных подпространств, называемых конечноэлементны-ми пространствами. Специфика эшх пространств заключатся в том, что их базисы состоят из кусочно-полиномиальных функций, определённых на разбиении исходной области и имеющих локальные носители. При эюм в зависимос1и от способа увеличения размерности конечноэлементного пространства различают три версии (разновидности) метода конечных элементов: /г-, р- и h-p версии. Классическим подходом является /i-версия МКЭ, в которой иенень р аппроксимаци-онных полиномов фиксирована и обычно мала (р = 1, 2, 3), а убывание погрешности обусловлено измельченим сетки (уменьшением сеточного параметра /г). В р-версии МКЭ фиксирована сехка, а требуемая точность достигается увеличением степени р аппроксимационных полиномов. Сочетанием к- и р- версий является h-p версия, в которой одновременно изчельчаюкя сетка и увеличивают cieneini полиномов.

В настоящее время /i-версия МКЭ является уже классическим подходом к решению многих задач математической физики, в том числе и задач с сингулярностью. В [109], [110], [112], [133] с целыо построения /i-версии для краевых задач в двумерных и трёхмерных областях с нерегулярной границей применялся метод, предложенный в [115] Г. Фиксом и основанный на выделении сингулярной составляющей решения в окрестности угловой точки. В работах других авторов (см., например, [103], [119], [131]) для эюй цели использовалось специальное построение сеток (в частности, сеток со сгущением к точке особенности).

В начале 80-х юдов прошлого века в работах И. Бабушки и других американских математиков получили своё развитие р— и h-p версии МКЭ. Впервые они были исследованы в [106], [108] для краевых задач с кусочно-гладкой границей и со сменой типа граничных условий, т. е. для задач со слабой сингулярностью решения (обзор основных результатов, касающихся р— и h—p версий МКЭ, а также обзор работ по этой тематике приведён в [104]).

Возможности, заложенные в способе аппроксимации краевых задач, используемом в МКЭ, оказались достаточно богатыми. В настоящее время известно и широко используется в приложениях значительное число разнообразных типов конечных элементов (их классификация, а также теоремы об аппроксимации, оценках скорости сходимости и обусловленности соответствующих конечноэлементных схем приведены в [91]). Они позволяют строить конечноэлементные комплексы, занимаемые коюрыми обласш могут со сколь угодно высоким порядком аппроксимировать произвольную область с достаточно гладкой границей. При этом могут быть построены интерполянты любой наперёд заданной гладкости на конечноэлемептном iipoci ране rue и любого наперёд заданною порядка скоросли сходимости в нужном пространстве. Важное место среди большого разнообразия конечно-элементных схем отводится схемам МКЭ высоких порядков точности. Для эллиптических краевых задач порядка 2тг такие схемы имеют число обусловленности 0(h~2n) и по количеству операций асимптотически более выгодны обычных схем МКЭ.

Теоретические аспекты построения и численной реализации схем МКЭ высоких порядков точности описаны в работах В.Г. Корнеева [20]—[26], В.Г. Корнеева и С.Е. Пономарёва [27], [28], Э. Митчела и Р. Уэйта [53], Ф. Сьярле [91], Ф. Сьярле и П. Равьяра [114] . В [24] представлен детальный анализ различных схем МКЭ высоких порядков точности для эллиптических краевых задач порядка 2п, а также приведён обзор работ по этой тематике.

Анализ схем МКЭ для краевых задач с сильной сингулярностью решения, вызванной вырождением исходных данных, проводился в [15], [80], [83], [111], [118], [121], [125] . В работах [80], [83], [125] для первой и третьей краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы двумерной области строилась /i-версия МКЭ. В результате проведённых исследований были доказаны сходимости приближённых /^-обобщённых решений к точным в норме весового пространства C.JI. Соболева с первым порядком по сеточному параметру h, а в норме весового пространства Лебега — со вторым. В [15], [118] для одномерной задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярностью решения построена и исследована р-версия МКЭ; в результате установлена степенная скорость сходи мое I и приближённого /^-обобщённого решения к точному в норме весового пространства C.JI. Соболева. В работах [111], [121] для одномерной и двумерной задач Дирихле с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных в граничных точках, разработана и обоснована h—p версия МКЭ. В результате благодаря использованию сеток со сгущением к точкам особенности и специальному построению степенных векторов аппроксимационных функций для каждой из рассмотренных в этих работах краевых задач усыновлена экспоненциальная скорость сходимости приближённого Я^-обобщённот о решения к точному в норме весового пространства СЛ. Соболева.

Вследствие специфики рассмотренных задач (а именно, сильной сингулярности их решений в точках границы) метод конечных элементов их численного решения можно охарактеризовать следующими особенностями: схема МКЭ строится на основе определения /^-обобщённого решения соотве1ствующей краевой задачи; базисные функции конечноэлементного пространства содержат сингулярную составляющую; порядок сингулярности аппроксимационных функций зависит от того, какому весовому пространству СЛ. Соболева принадлежит /^-обобщённое решение краевой задачи; анализ погрешности аппроксимации проводится в весовых пространствах СЛ. Соболева.

В настоящей диссертации рассматривав 1ся задача Дирихле для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных и сильной сингулярной ыо решения в точках 1раницы произвольной выпуклой двумерной облает. Решение поыавленной задачи определяв 1ся как R„-обобщённое; доказана его принадлежность весовому пространству СЛ. Соболева Щ исследованы дифференциальные свойства

Ru-o6o6iценного решения: установлена ei о принадлежность пространству п1)И определённых условиях на параметр г/, коэффициенты и правые масти дифференциального уравнения и граничного условия. Для нахождения /^-обобщённого решения рассматриваемой краевой задачи построена схема МКЭ высокого порядка точности, причём конечноэлеменгное пространство в качестве базиса имеет функции, содержащие сингулярную соскшляющую; исследована погрешность аппроксимации предложенного метода. В результат применения этого подхода установлено, что скорость сходимости приближённого /^-обобщённого решения к точному имеет второй порядок.

Перейдём к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. — М.: ИЛ, 1962 . — 208 с.

2. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. —М.: Наука, 1968. — 480 с.

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 351 с.

4. Бирман М.Ш., Скворцов Г.Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой границей // Известия вузов, 1962. — Вып. 30, № 5. С. 12-21.

5. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. — М.: Мир, 1974. — 126 с.

6. Веретенцева Т.В., Кобельков Г.М., Сушко В.Г. Приближённые решения некоторых задач с быаро изменяющимися коэффициентами // Вестник Московского университета, серия XV Вычислительная математика и кибернетика, 1993. — J№ 3. — С. 22-28.

7. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Труды Московского Математического общества, 1952. Т. 1. - С. 187-246.

8. Воеводин В.В. Численные меюды алгебры. Теория и алгорифмы. М.: Наука, 1966. - 248 с.

9. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнений Лапласа на прямоугольнике // Труды Математического институт им. В.А. Стеклова, 1965. — Т. 47. — С. 89112.

10. Гельфанд И.М. Об эллиптических уравнениях // Успехи математических наук, 1960. Т. 15, № 3. - С. 121-132.

11. Деклу Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976. — 92 с.

12. Зенкевич О. Метод конечных элемешов в технике. — М.: Мир, 1975. 541 с.

13. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. — М.: Мир, 1986. 318 с.

14. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с сингулярностью произвольного порядка в граничных точках // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений. — Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1990. С. 109-123.

15. Кашуба Е.В. Метод конечных элемешов в р-версии для краевой задачи с сингулярностью в решении // Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. — Хабаровск, 2002. -98 с.

16. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Труды Московского Математического общества, 1967. — Т. 16. — С. 209-292.

17. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второю порядка в кусочно-гдадкой области // Дифференциальные уравнения, 1970. — Т. 6, .Y® 10. — С. 1831-1843.

18. Кондратьев В.А. Особенное!и решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра // Дифференциальные уравнения, 1977. — Т. 13, .Ye 1. — С. 23812409.

19. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи математических наук, 1983. Т. 38, выи. 2(230). - С. 3-77.

20. Корнеев В.Г. Исследование скорости сходимости приближённых решений // Труды Гидроироекта, 1973. К« 22. - С. 141-172.

21. Корнеев В.Г. Некоюрые вопросы носiроения и исследования схем метода конечных элементов // Численные методы механики сплошной среды, 1974. Т. 5, № 11. - С. 59-87.

22. Корнеев В.Г. О численном решении схем метода конечных элементов высоких порядков точности // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела, 1976. — N° 3. — С. 190.

23. Корнеев В.Г. Оценки обусловленности для схем метода конечных элементов // Труды третьей Всесоюзной конференции по численным методам задач теории упругости и пластичности. II. — Новосибирск, 1974. С. 13-27.

24. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — JI.: Издательство Ленинградского университета, 1977. 208 с.

25. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности для эллиптических уравнений II порядка в трёхмерных областях. I // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979. Т. 19, .V» 4. - С. 937-949.

26. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности для эллиптических уравнений II порядка в трёхмерных областях. II // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1979. Т. 19, .V» 5. - С. 1141-1148.

27. Корнеев В.Г., Пономарёв С.Е. Применение криволинейных конечных элементов в схемах решения эллиптических уравнений порядка 2п. \ // Численные методы механики сплошной среды, 1974. — Т. 5, № б. С. 78-97.

28. Корнеев В.Г., Пономарёв С.Е. Применение криволинейных конечных элементов в схемах решения эллиптических уравнений порядка 2п. II // Численные методы механики сплошной среды, 1975. — Т. 6, № 1. С. 47-64.

29. Крупская Д.А. О регулярности граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1977. Т. 13, № 4. - С. 654-667.

30. Крылов В.И. К вопросу о сечении ионизации водородоподобного атома быстрыми электронами в однородном электрическом поле // Краткие сообщения ФИАН, 1995. Вып. 8. - С. 90-94.

31. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. — М.: Наука, 1973. 408 с.

32. Ладыженская О.А. О замыкании эллиптического оператора // Доклады АН СССР, 1951. Т. 79, № 5. - С. 723-725.

33. Ладыженская О.А. О дифференциальных свойствах обобщённых решений некоторых многомерных задач // Доклады АН СССР, 1958. Т. 120, ЛР5 5. - С. 956-959.

34. Ладыженская О.А. Простое доказательство разрешимости основных краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений // Вес шик ЛГУ, серия математики, физики и химии, 1955. — Выи. 4, И. — С. 23-29.

35. Ладыженская О.А., Уральцева II.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

36. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. 752 с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. С24 с.

38. Лизоркин П.И., Никольский С.М., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия вузов. Математика, 1988. — Вып. 8. — С. 4-30.

39. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод // Труды Математического института АН СССР, 1981. — Вып. 157. — С. 90-118.

40. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971. — 370 с.

41. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценки точности для схем МКЭ для вырождающихся эллишических уравнений в юрою порядка // Дифференциальные уравнения, 1993. — Т. 29, К0 7. — С. 12101215.

42. Мазья В.Г. О задаче с косой производной в области типа полиэдра // Доклады АН СССР, 1973. Т. 211, .V» 1. - С. 40-43.

43. Мазья В.Г. О коэрцитивности задачи Дирихле в области с нерегулярной границей // Известия вузов, серия математики, 1973. — № 4. С. 3-1G.О 2

44. Мазья В.Г. О разрешимости в W\ задачи Дирихле для области с гладкой нерегулярной границей // Весгник ЛГУ, 1907. —.V" 7. — С. 87-95.

45. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Lp-оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областями с рёбрами // Труды Московского Математического общества, 1978. — Т. 37. — С. 49-93.

46. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Доклады АН СССР, 1974. Т. 219, № 2. - С. 286-290.

47. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи рёбер // Доклады АН СССР, 1976. Т. 229, № 1. - С. 33-36.

48. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Доклады АН СССР, 1973. Т. 210, > 3. - С. 529-532.

49. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки функций Грина и шауде-ровские оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сибирский математический журнал, 1978. — J№ 5. — С. 1065-1082.

50. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Шаудеровские оценки решений эллиптических краевых задач в областях с рёбрами // Труды семинара СЛ. Соболева, 1978. № 2. - С. 69-102.

51. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1973. 352 с.

52. Марчук Г.И., Агошков В И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

53. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элемешов для уравнений с частыми производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

54. Назаров С.А. Эллиптические краевые задачи, вырождающиеся в конической точке // Вестник ЛГУ, 1980. № 9. - С. 108-109.

55. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

56. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнений эллиптического типа с вырождением на границе // Труды Математического института АН СССР, 1979. Выи. 150. - С. 212-238.

57. Никольский С.М. К задаче Дирихле для областей с углами // Доклады АН СССР, 1956. Т. 109, № 1. - С. 33-35.

58. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977. — 455 с.

59. Никольский С.М., Лизоркин П.И. О некоюрых неравенствах для функций из весовых классов и краевых задач с сильным вырождением на границе // Доклады АН СССР, 1964. Т. 159, № 3. -С. 512-515.

60. Новрузов А.А. О задаче Дирихле для эллиптических уравнений 2-го порядка // Доклады АН СССР, 1975. Т. 223, № 6. -С. 1311-1313.

61. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. - 360 с.

62. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. I. // Дифференциальные уравнения и их применения, 1973. — Выи. 5. — 394 с.

63. Олейник О.А., Чечкин Г.А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий // Успехи математических наук, 1993. — Т. 48, вып. 6(294). — С. 163— 164.

64. Рукавишников В.А. Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью// Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Хабаровск, 1997. — 269 с.

65. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН, 1994. — Т. 337, № 4. — С. 447-449.

66. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения, 1996. — Т. 32, № 3. С. 402-408.

67. Рукавишников В.А. О /{„-обобщённом решении задачи Дирихле в прямоугольнике // Препринт / ДВО АН СССР. — Владивосток: Дальнаука, 1989. — 35 с.

68. Рукавишников В.А. О ./{„-обобщённом решения задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Вычислительные технологии. — Новосибирск, 1993. — Т. 2, К0- 4. — С. 105111.

69. Рукавишников В.А. О весовых оценках скорости сходимости разностных схем // Доклады АН СССР, 198G. Т. 288, № 5. -С. 1058-1062.

70. Рукавишников В.А. О дифференциальных свойствах /^-обобщённого решения задачи Дирихле // Доклады АН СССР, 1989. — Т. 309, № 6. С. 1318-1320.

71. Рукавишников В.А. Численные методы решения задач с сильной и двойной сингулярностью // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. — Хабаровск: Издательство ДВГУПС, 2005. — С. 111112.

72. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. О коэрцитивное™ Rv-обобщённого решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Дифференциальные уравнения, 2005. Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

73. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. Коэрцитивные оценки Rv-обобщённого решения для первой и третьей краевых задач с сингулярностью решения // Препринт JV0 70 / Вычислительный центр ДВО РАН. Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2003. - 37 с

74. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. Метод конечных элементов высокого порядка точности для задачи Дирихле с сингулярностью // Препринт № 102 / Вычислительный центр ДВО РАН. —Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2006. 27 с.

75. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. О дифференциальных свойствах /^-обобщённого решения задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Препринт № 95 / Вычислительный центр ДВО РАН. Хабаровск. ВЦ ДВО РАН, 2006. -31 с.

76. Рукавишников В.А., Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Препринт № 85 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2005. 29 с.

77. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Доклады РАН, 1994. — Т. 338, № 6. — С. 731-733.

78. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об оценке погрешности метода конечных элементов для третьей краевой задачи с сингулярностью в пространстве L*2iV+1 // Сибирский журнал вычислительной математики, 2004. Т. 7, N> 2. - С. 177-185.

79. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Третья краевая задача с сильной сингулярностью // Препринт № 11 / Вычислительный центр ДВО РАН. — Владивосток: Дальнаука, 1997. — 16 с.

80. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. О скорости сходимости метода конечных элементов для задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных // Методы численно1 о анализа. — Вып. 1. — Владивосток: Дальнаука, 1993. — С. 22-48.

81. Рукавишников В.А., Рукавишникова Е.И. Об оценке погрешности метода конечных элементов в пространстве I^wi Лля задачи Дирихле с вырождением // Методы численного анализа. — Вып. 2. — Владивосток: Дальнаука, 1995. — С. 30-43.

82. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров B.JI. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. — М.: Высшая школа, 1987. — 29G с.8G. Сегерлинд Л. Применение меюда конечных элементов. — М.: Мир, 1979. 392 с.

83. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 229 с.

84. Слободецкий JI.H. Обобщённые нроаранства C.JI. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Учёные записки ЛГПИ им. Герцена, 1958. Т. 107. - С. 54-112.

85. Слободецкий Л.Н. Пространства С.Л. Соболева дробного порядка и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Доклады АН СССР, 1958. — Т. 118, № 2. С. 243-246.

86. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1980. 512 с.

87. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

88. Товмасян Н.Е. О существовании и единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в классах функций, имеющих особенности на границе области // Сибирский математический журнал, 1961. Т. II, 2. - С. 290-312.

89. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 с.

90. Филиппов А.Ф. Гладкость обобщённых решений вблизи вершины многогранного угла // Дифференциальные уравнения, 1973. — Т. 9, № 10. С. 1889-1903.

91. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Доклады АН СССР, 1960. Т. 131, № 1. - С. 37-39.

92. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965. — 348 с.

93. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложением к квантовой механике и глобальной геометрии. — М.: Мир, 1990. 408 с.

94. Шапиро З.Я. Об общих краевых задачах для уравнений эллиптического типа // Известия АН СССР, серия математики, 1953. — Выи. 17. С. 539-562.

95. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems. — Princeton, 1965. 291 p.

96. Agmon S., Douglis A., Nirenberg I. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary values. I // Comm. Pure and Appl. Math., 1959. — V. 15. — P. 623-727.

97. Agmon S., Douglis A., Nirenberg I. Estimates near the boundary for the solutions of elliptic differential equations satisfying geneial boundary values. II // Comm. Pure and Appl. Math., 1964. V. 17. — P. 35-92.

98. Babuska I., Aziz A.K. Lectures on the mathematical foundations of the finite-element method // Mathematical foundations of the finite-element method with applications to partial diffeiential equations, 1972. P. 1-345.

99. Babuska I. Finite element method for domains with corners // Computing., 1970. V. G. - P. 2G4-273.

100. Babuska I. The p— and h—p versions of the finite element method. The state of the art // Finite Elements. Theory and applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1988. P. 199-239.

101. Babuska I., Guo B.Q. The h—p version of the finite element method for problems with nonhomogeneousessential boundary conditions // Сотр. Meth. Appl. Mecli. Engn., 1982. V. 74. - P. 1-28.

102. Babuska I., Dorr M.R. Error estimates for the h and p versions of the finite element method // Numer. Math., 1981. V. 37. - P. 257-277.

103. Babuska I., Suri M. Locking effects in the finite element approximation of elasticity problems // Numei. Math., 1992. V. G2, № 4. -P. 439-463.

104. Babuska I., Szabo B.A., Klatz I.N. The p version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal., 1981. V. 18. - P. 515-545.

105. Babuska I., Rosenzweig M.B. A finite element scheme for domains with comers // Numer. Math., 1973. V. 20. - P. 1-21.

106. Barnhill R.E., Whiteman J.R. Error analysis of Galerkin methods for Dirichlet problems containing boundaiy singularities // ,J. Inst. Math. Applies., 1975. V. 15. - P. 121-125.

107. Blum H., Dobrowolski M. On finite element methods for elliptic equations on domains with corners // Computing., 1982. — V. 28. — P. 5363.

108. Bramble J.H., Zlamal M. Triangular elements in the finite element method // Math. Comput., 1970. V. 24. - P. 809-821.

109. Ciarlet P.G., Raviart P.A. General Lagrange and Hermite interpolation in Rn with application to finite element methods // Arch. Ration. Mech. a. Anal, 1972. V. 46, № 3. - P. 177-179.

110. Fix G.J. Higher order Rayleigh-Ritz approximations // J. Math. Mech., 1969. V. 18. - P. 645-657.

111. Grisvard P. Singularities in boundary value problems. — Berlin: Springer-Verlag, 1992. 199 p.

112. Guo B.Q. The h-p version of the finite element method for solving boundary value problems in polyhedral domains // Boundary value problems and integral equations in nonsmooth domains, 1993. — P. 101-120.

113. Kashuba E.V., Rukavishnikov V.A. On the p-version of the finite element method for the boundary value problem with singularity // Siberian J. of Numer Mathematiks / Sib. Branch of Russ. Acad. Of Sci. Novosibirsk, 2005. - V. 8, № 1. - P. 31-42.

114. Lucas T.R., Oh U.S. The method of auxiliary mapping for the finite element solutions of elliptic problems containing singularities //J. Comput. Phys., 1993. V. 108, .V 2. - P. 327-342.

115. Nitsche J. Interpolation in Sobolevchen Funktionenraumen // Numer. Math., 1969. V. 13, № 4. - P. 339-343.

116. Rukavishnikov V.A., Kashuba E.V. On the properties of an orthonor-malized singular polynomials set // Siberian J. of Numer. Mathematiks / Sib. Branch of Russ. Acad, of Sci. — Novosibirsk, 1999. — V. 2, № 2. P. 171-183.

117. Rukavishnikov V.A., Rukaviblmikova H.I. The Finite Element Method for the Third Boundary Value Problem with Strong Singularity of Solution // ENUMATH 1997. Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998. - P. 540-548.

118. Rukavishnikov V.A., Rukavishnikova H.I. The finite element method for the boundary value problem with strong singularity of solution // Chemnitz FEM-Symposium 2005. — Chemnitz: Technische Universi-tat, 2005. P. 30.

119. Sturm K.-T. Schrodinger operators with highly singular, oscilating potentials // Manuscripta Math., 1992. V. 76, № 3-4. - P. 367395.

120. Tornig W. Numerische Mathematik fiir Ingeniere und Physiker. Band 2: Eigenwertproblem und Numerische Methoden der Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 1979. — 350 p.

121. Troisi M. Problemi ellitici condati singolari // Ann. mat., 1969. — V. 83. P. 363-407.

122. Vang G., Li D.M. Finite element methods for singular boundary value problems in one space dimension // Nei Mongol Daxue Xuebao Ziran Kexue, 1992. V. 23, № 3. - P. 306-311.

123. Zlamal M. On the finite element method // Numer. Math., 1968. -V. 12, Л* 5. P. 394-408.

124. Zlamal M. The finite element methods in domains with curved boundaries // Intern. J. Numer. Math. Engng, 1973. V. 5. - P. 367-373.