Разделение движений механических систем без явного разбиения переменных на "быстрые" и "медленные" тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

§ 1. Разделение движений. Приближённые модели.

Пример 1.1.

§ 2. Задание малых параметров. Регулярные и сингулярные возмущения.

Пример 2.1.

§ 3. Разделение движений в системах Тихоновского вида.

Глава 1.

§ 4. Системы с «неявной сингулярностью», близкие к консервативным.

§1. Разделение движений. Приближённые модели.

Исследование движений механических объектов с большим числом степеней свободы связано с рассмотрением систем дифференциальных уравнений высоких порядков. Естественно желание уменьшить громоздкость рассматриваемых уравнений.

В ряде случаев значимость определяющих параметров системы может быть существенно различной. При этом можно пытаться перейти от исходного, большого набора переменных к меньшему набору переменных, наиболее существенных для предпринятого исследования, и понизить порядок системы. Методам введения таких переменных, называемых макропеременными (или агрегатами) для многочисленного круга как линейных, так и нелинейных задач управления, идентификации и т. д. посвящена монография [1]. Также в [1] рассматривается обратная задача дезагрегирования - восстановления исходных переменных по известным агрегированным величинам.

Важным классом систем, допускающих упрощение, являются так называемые «жёсткие» системы с сильным разнесением скоростей изменения переменных. К таким системам принадлежат, например, механические системы при наличии вибрации [2]. Под вибрацией в [2] подразумеваются механические колебания, характерные период и размах которых малы по сравнению с основными для выбранного движения масштабными единицами измерения времени и длины. В [2] предложена методика составления упрощённых уравнений «медленных» движений. В этих уравнениях фигурируют так называемые «вибрационные» силы. Они зависят от медленно меняющихся переменных и получаются путём осреднения быстро меняющихся слагаемых, входящих в уравнения исходной системы.

Другим примером «жёсткой» системы может служить система, рассмотренная в [3] где сЬс / \ =Лх + Ьв^) (1л) х = {х1,.,хп^ 5 Ь = {Ьх ^-мерные векторы ( .т обозначает знак транспонирования), А - | а^ || постоянная матрица размерности п х п,

-функция внешнего возмущения. Предполагается, что собственные значения Я / = матрицы Л являются вещественными, различными и разбиты на две группы, сильно разнесённые по величинам:

Л} ~ А А А к+1 Я 2 Я

1.2) причём

Я р< 0, р = к + 1,.,п (1.3)

В [3] ставится задача построения системы дифференциальных уравнений меньшей размерности к

В — — / \ = Ах+Ъ0{г) л

1.4) х = £х (1.5) с матрицей А , имеющей в качестве собственных значений наименьшие по величине собственные значения ^ ]?•••? ^ к матрицы А. Поставленная задача имеет решение, если в (1.4), (1.5) обозначить [3]: = > • • • * ** ) , х = (^¿+15 • • • 5 хп ) - векторы, составленные, соответственно, из к первых и (п — к) последних компонент вектора х,

Л = А + 46, е = гл"', ь=у01¥Ъ где

А = а11 ап аг\ ®22 ак\ ак2 а к а

2 к а кк

- матрица размерности к х к , являющаяся главным диагональным минором к -го порядка матрицы А,

4 = а\ к+1 а\ к+2 а2 к+1 а2 к+2 ак к+1 ак к+2 а п а

2 п а кп матрица размерности к х(п — к) , стоящая на пересечении первых к строк и последних (п - к) столбцов матрицы А, П

V* V*

V.,

- матрица размерности к х к , являющаяся главным составленной из собственных диагональным минором матрицы V — V/ векторов системы (1.1), соответствующих собственному значению ^ у , .1

Г,=

V,

V, V V

2 к к+\ - Ук+1

2 к к+2 " VА+2

V,.

V,

V. матрица размерности (п — к) х к , стоящая на пересечении последних (п - к) строк и первых к столбцов матрицы V ,

Ж/ Ж? и? ж22

Я? ^

Ж,"

Ж2п

ЖГ матрица размерности к хп, составленная из первых к строк матрицы Ж = V 1 ( Ж/ - элемент, стоящий на ¿7 -том месте матрицы Ж).

В [3] показано, что У0 является матрицей собственных векторов для А .

Для обоснования перехода от (1.1) к (1.4), (1.5) в [3] из полного решения х(/) системы (1.1) исключаются быстрозатухающие в силу (1.2), (1.3) составляющие, соответствующие Л п. При этом оценки интервала времени, на котором возможно такое исключение, а также погрешности приближения решением (1.4), (1.5) решения х({) исходной системы (1.1) не делается.

В ряде случаев система дифференциальных уравнений высокого порядка может представлять собой совокупность взаимодействующих подсистем меньших размерностей, слабо связанных друг с другом. В таком случае поведение всей системы может быть описано через совокупность характеристик её составных подсистем. Так, в [4] рассматривается система вида Ж

ОС 2 си с12 ОС | >

2 С21 С22 х2 ^ + <р 2М

1.6) х

0) = х0 = хл(0)" х2(0) где х19 х2 - векторы размерностей тип соответственно, сп, с12, с21, с22 -постоянные матрицы размерностей тхт, тхп, пх т, пхп, t p{t) = p ¿t) <p2(t) заданная функция времени. Здесь (р x{t) ^ (р 2 (7) имеют размерности тип соответственно. В таком случае говорят, что система (1.6) является совокупностью двух взаимодействующих подсистем [4].

Обозначим через Л[, I = и Щ, Л 2, у' = и собственные значения и матрицы собственных векторов для сп и с22 соответственно.

Система (1.6) называется слабо связанной [4], если выполняются следующие неравенства: г ту 5 « 1, -« 1

R R где г = ШаХ л i R= min , r=max y ij 5 Y

1 ¿i<m Uí hj

5= max «i, 5 8» = w;lc2lwui = l,.,/w, j = 1,

1.7) w;lcl2w2,

В [4] проводились оценки порядков величин коэффициентов характеристических уравнений системы (1.6) и двух систем вида dt

С\\ С\2С22С2\ Iх!

1.8) с22 х2 dt -- - 1141

Было показано, что при условиях (1.7) коэффициенты характеристического полинома /(/0 системы (1.6) являются сильно разнесёнными. Характеристический многочлен j\ ) системы (1-8) является аппроксимацией последних {т + l) слагаемых многочлена f (А ), делённых на коэффициент при Я . Этот коэффициент имеет порядок Характеристический многочлен /г(^) системы (1.9) представляет собой ф«=

1.10) приближение к первым (п + l) слагаемым f (Л ) после деления их на Я т. Уравнения

А) = О, /2(Л) = О служат, соответственно, для нахождения приближений к «малым» и большим» по величинам корням характеристического многочлена f (А ).

Фундаментальная матрица решений (1.6) приближённо записывается в виде ф1 (f ) + Cl2 С^ Ф2 {t) С^ С21 -ФМ С12 + Cl2 С221 Ф2 (t) Ф2{t)c'2l с21 -с~1 с21 фДО ф2(/) с21 ФД^Си с~21 где ФД4 Ф2(^) - фундаментальные матрицы решений для подсистем (1.8), (1.9).

Таким образом, приближённое решение полной системы (1.6) записывается в виде x(t) = Ф(t)x0 + f<i>(t- r)<p{r)dr о т. е. выражается, в силу (1.10), через решения систем (1.8), (1.9) более простых, чем (1.6), и вектор внешнего возмущения (pif) .

В [4], также как и в [3], не оговариваются условия допустимости замены приближённым решением полного.

Основное большинство методов понижения порядков многомерных систем подтверждено содержательными примерами. Однако, зачастую (например в [3, 4]), предлагаемые методики не включают обсуждения классов движения, на которых корректно использование предлагаемых приближённых решений вместо полных, а также оценок погрешностей, возникающих при этом. Более продуктивным при решении данных вопросов является метод малого параметра. Уравнения движения конкретных механических систем, в большинстве своём, малых параметров не содержат. Тем самым, возникает необходимость приведения исходных уравнений к такому виду, когда в них появляются малые параметры. Ряд способов введения малых параметров и построения приближённых математических моделей представлен в [5]. В [5] рассматриваются ситуации, когда малый параметр вводится за счёт исходных предположений о «больших» коэффициентах, «малых» нелинейностях и т. п. -тоже оговоренных постановкой задачи.

Объектом настоящей работы являются «жёсткие» динамические системы, исходные уравнения которых не содержат явно малых параметров и приведение которых к возмущённой по малому параметру форме требует дополнительных операций. В работе рассматриваются два вида таких систем:

1) Системы линейных дифференциальных уравнений, составляющие движения которых сильно разнесены, однако коэффициенты уравнений являются величинами одного порядка. Далее для краткости будем называть их системами с «неявной сингулярностью».

2) Системы дифференциальных уравнений, которые содержат комбинации фазовых переменных, образующие слагаемые с иерархией «больших» коэффициентов. Назовём такие системы системами с иерархией коэффициентов жёсткости [5].

Пример 1.1.

В качестве примера системы с «неявной сингулярностью» рассмотрим механическую систему, образованную точечной массой т, находящейся под действием упругих сил двух линейных невесомых пружин, ортогональных друг другу в невозмущённом положении системы (рис. 1).

Рис. 1.

• • ~а>\ 0

Х2. 0 (И,

Жёсткости пружин обозначим кх, к2. Положение точки определим координатами Хх, Х2 5 отсчитывая их от невозмущённого положения системы.

Уравнения собственных малых колебаний системы имеют вид:

1.1.1) к 1с 2 2 где ® ? & 2~ тп т

Предположим, что кх « к2 , тогда

1«®2, (1.1.2) т. е. собственные частоты системы (1.1.1) являются сильно разнесёнными. В данном случае на разнесение составляющих движения указывает сильное разнесение коэффициентов системы (1.1.1), стоящих при Х1, Х2 .

Перейдём в (1.1.1) от системы координат Х19 Х2 к системе координат

У\, У2, получающейся поворотом репера Хх, Х2 на угол (р против часовой стрелки: со $(р - ътр X х2 втер со Б<Р Уг

В системе координат У1, У2 уравнения (1.1.1) примут вид: у,' • • со \ соб2 (р + со 2 ът2 (р (а>\-со\}$тсрсо$ср ~х со22-со\)ътсрсоъср со 2 вт2 ср + со \ соб2 ср Уг.

1.1.4)

Система (1.1.4) имеет те же, что и система (1.1.1) собственные частоты СО !« СО 2. Коэффициенты системы (1.1.4) - величины одного порядка, т. е. система (1.1.4) является системой с «неявной сингулярностью».

В главе 1 исследуется класс механических систем, близких к консервативным системам с сильно разнесёнными собственными частотами. Предполагается, что исследуемые системы уравнений являются системами с «неявной сингулярностью». Строятся две приближённые модели, описывающие «медленные» составляющие движения, производятся оценки их погрешностей. Построение первой приближённой модели производится в три этапа:

1) исходная система записывается в нормальных координатах консервативной части системы;

2) вводится малый параметр, равный отношению малых и больших собственных частот консервативной части системы, и проводится Тихоновское вырождение задачи по «быстрым» движениям [6, 7];

3) совершается переход от вырожденной системы, записанной в нормальных координатах, к исходным переменным задачи.

В § 4 главы 1 показано, что при вырождении исходной системы по указанному выше малому параметру на неё налагаются голономные связи.

Вторая модель строится путём наложения указанных голономных связей на исходную систему.

В качестве примеров в главе 1 строятся упрощённые модели для ряда простых задач и для более содержательной задачи о вертикальных колебаниях железнодорожного вагона, вызванных неровностями пути.

В главе 2 рассматриваются динамические системы, парциальные постоянные времени которых образуют последовательность, сильно разнесённую по своим величинам. Предполагается, что это разнесение определяется иерархическим разнесением «больших» коэффициентов, входящих в исходные уравнения. Для таких систем в § 6 главы 2 предлагается последовательная процедура введения каждого из малых параметров « // 2 «.«//„ « 1. Малый параметр № ,, /=1равен отношению указанных сильно разнесённых постоянных времени. Он вводится путём нормализации [5] размерного аналога вырожденной по /л ¿! системы.

Под вырожденной по Ц о системой понимается в данном случае исходная система.)

Процедура излагается, в основном, на примере исследования задачи о поперечных колебаниях четырёхосного железнодорожного вагона конечной жёсткости. Эта задача имеет самостоятельный научный и прикладной интерес [8-15].

Численные исследования показывают [8-10], что величины собственных чисел задачи образуют иерархическую последовательность, а их разброс достигает трёх десятичных порядков. Сильное разнесение скоростей составляющих движения вагона связано с наличием «больших» коэффициентов сил крипа [8-11] и жёсткостей упругих сил. (Силы крипа - это силы, возникающие в точке контакта колеса с рельсом вследствие учёта «малых» [8-11] проскальзываний колёс относительно рельсов. Упругие силы возникают вследствие учёта конечной жёсткости конструкции вагона.) Жёсткости указанных сил крипа и упругости, в свою очередь, сильно разнесены. Таким образом, система уравнений, описывающая поперечные колебания вагона конечной жёсткости, является системой с иерархией коэффициентов жёсткости.

Работа продолжает исследования, проведённые в [11-15]. В [11-14] ставится задача понижения размерности математической модели движения двухосного абсолютно жёсткого железнодорожного вагона. Оговариваются условия применимости получаемых упрощённых постановок. В указанных работах учитываются силы крипа [8-11] в точках контакта колёс с рельсами. Таким образом, в уравнениях появляются «большие» коэффициенты одного порядка, стоящие при «малых» проскальзываниях. Эти слагаемые вызывают сильное разнесение составляющих движения задачи.

В [11] показано, что проскальзываниями колёс абсолютно жёсткого вагона можно пренебречь в случае стремления к нулю массы экипажа или его продольной скорости.

В [12-15] понижение порядка уравнений движения вагона производится с помощью методов малого параметра [6, 7]. В [12] проведён анализ движения абсолютно жёсткого вагона с учётом динамики колёсных пар и динамики продольного движения. Установлена иерархия составляющих движения, развивающихся в четырёх временных масштабах. Показано, что при исследованиях поперечных колебаний вагона продольная скорость может считаться постоянным параметром. В [13] построена предельная модель движения абсолютно жёсткого вагона при учёте создаваемых ребордами колёс ограничений поперечных перемещений колёсных пар. Также как и в [12], в исходной системе уравнений вводится малый параметр, равный отношению постоянной времени колебаний вагона под действием «больших» сил крипа к постоянной времени «кинематических виляний». («Кинематическими виляниями» называется в [12-15] низкочастотная составляющая поперечных колебаний вагона.) Моделью нулевого приближения по вышеуказанному малому параметру описываются «кинематические виляния», происходящие в зоне свободного хода между ребордами. Этой моделью не улавливается эффект слабого возрастания амплитуды колебаний вагона. Модель из [13] имеет переменную структуру. Её размерность зависит от числа колёс, реборды которых соприкасаются с головкой рельса. В [14] модель из [13] уточняется членами первого порядка по введённому в [13] малому параметру. Это позволяет уловить вышеуказанное слабое возрастание амплитуды колебаний вагона.

Конечная жёсткость двухосного грузового вагона учитывается в [15]. В этой работе произведено построение вырожденных уравнений для двух схем железнодорожных вагонов: вагона с тележкой, представляющей собой шарнирный параллелограмм и вагона с упругодиссипативными узлами крепления колёсных пар. Вторая схема исследуется в [15] при существенном ограничении. Предполагается, что колёсные пары не могут поворачиваться относительно корпуса вагона.

В результате применения процедуры разделения движений систем с иерархией коэффициентов жёсткости из § 6 главы 2 в п. 8.1 § 8 главы 2 строятся две приближённые математические модели движения двухтележечного грузового вагона конечной жёсткости. Одна из них описывает движение по упругим и кинематическим его составляющим, другая - «кинематические виляния» тележки грузового вагона. В результате уточнения последней модели с помощью членов более высоких порядков по малому параметру в п. 8.2 § 8 главы 2 построена математическая модель, учитывающая слабое возрастание амплитуды колебаний вагона. Уточнённую модель удалось, также, как и в [14], записать в замкнутой форме, благодаря введению новых переменных. Замена позволяет избежать многошаговой итерационной процедуры построения внепогранслойных составляющих решения из [7].

Оговариваются точности трёх полученных моделей. Делается вывод о том, что упомянутая выше слабая неустойчивость движения железнодорожного вагона определяется, в решающей степени, конечной жёсткостью его конструкции.

Выводы к главе 2.

В главе 2 рассмотрены системы линейных дифференциальных уравнений с «большими» коэффициентами при части переменных. Предполагается, что эти большие» коэффициенты / = 1,., /7 также являются сильно разнесенными: 1 «Кп «Кпх «.«£,. Рассмотрен класс задач, для которых указанное разнесение «больших» коэффициентов влечёт за собой сильное разнесение парциальных постоянных времени I

Тх « Т2 «.« Тп « 71. в таком случае «быстрыми» являются не исходные фазовые переменные задачи, а комбинации переменных, стоящих при «больших» коэффициентах. Эти «быстрые» переменные развиваются на временах порядка Тх, Т2, Тп и называются в главе 2, соответственно, «быстрыми» первой, второй, ., п -й очереди.

Глава 2 посвящена методике приведения указанных выше систем к сингулярно возмущённой форме с п иерархически убывающими малыми параметрами /-1 \ « Р 2 « « ¡и п « 1. Эти малые параметры стоят, соответственно, при «быстрых» переменных первой, второй, ., п -й очереди. Методика основана на пошаговом введении каждого из малых параметров.

Малый параметр ^ т > / - 1, я вводится путём нормализации

1*. размерного аналога вырожденной по № ¡-\ системы. (Под вырожденной по f~i о системой понимается в данном случае исходная система.)

В качестве примеров в § 7-8 главы 2 были рассмотрены две механические системы: тело, закреплённое двумя линейными пружинами (рис. 1) и двухтележечный грузовой вагон конечной жёсткости (рис. 5, 11). Уравнения движения обеих систем содержат по два сильно разнесённых «больших» коэффициента. В изучаемых уравнениях при различных, сильно разнесённых «больших» коэффициентах стоят слагаемые одного порядка.

К таким системам была применена пошаговая процедура разделения движений из § 6 главы 2. В § 7 и п. 8.1 § 8 главы 2 уравнения движения указанных систем были переписаны в сингулярно возмущённой форме с двумя иерархически убывающими малыми параметрами. В результате вырождения по этим малым параметрам построены два вида приближённых моделей движения описанных систем. Эти модели описывают низкочастотные составляющие движения исходных систем и имеют различные точности.

В п. 8.2 § 8 главы 2 предложена методика уточнения приближённых моделей слабо связанных систем. Уточнённую модель, удерживающую члены более высокого порядка малости по малому параметру, удалось записать в замкнутой форме, благодаря введению новых переменных. Эти новые переменные являются частичной суммой ряда, составляющего внепогранслойную часть разложения А. Б. Васильевой [7]. Замена позволила избежать многошаговой итерационной процедуры построения приближённого решения.

В качестве примера проводилось уточнение вырожденной по обоим малым параметрам системы уравнений движения грузового вагона. Анализ уточнённой модели привёл к выводу о том, что путевая неустойчивость движения железнодорожного вагона определяется, в решающей степени, конечной жёсткостью его конструкции.

§ 9. Заключение.

Диссертация посвящена исследованию механических систем, составляющие движения которых сильно разнесены. Рассмотрены линейные системы, не содержащие в явной форме малых параметров. В диссертации разработаны методы разделения движений двух видов указанных систем:

1) Механические системы, уравнения движения которых не содержат «больших» или «малых» коэффициентов. Такие системы названы в работе системами с «неявной сингулярностью».

2) Механические системы, уравнения движения которых содержат комбинации фазовых переменных, образующие слагаемые с иерархией «больших» коэффициентов. Такие системы названы в работе системами с иерархией коэффициентов жёсткости.

В качестве основных методов исследования в диссертации были использованы методы малого параметра.

В главе 1 рассмотрены системы с «неявной сингулярностью», близкие к консервативным линейным системам с сильно разнесёнными собственными частотами. Предложены способы построения двух типов приближённых математических моделей, описывающих «медленные» составляющие движения исходной системы. Обсуждались точности предлагаемых моделей.

Построены приближённые математические модели для описания «медленных» составляющих вертикальных движений железнодорожного вагона конечной жёсткости на неровностях пути.

В главе 2 рассмотрены системы с иерархией коэффициентов жёсткости, вызывающей сильное разнесение составляющих движения исходной задачи. Предложена методика построения приближённых моделей «медленных» движений. Оцениваются точности предлагаемых приближённых моделей.

Построены приближённые математические модели, описывающие «медленные» составляющие поперечных колебаний железнодорожного вагона конечной жёсткости.

120

Предложена методика уточнения приближённых моделей слабо связанных систем, не использующая итерационной процедуры. Уточнённая модель удерживает члены более высоких порядков малости по малому параметру.

Проводилось уточнение приближённой модели, описывающей «кинематические виляния» тележек грузового вагона. Анализ полученной уточнённой модели привёл к выводу о том, что путевая неустойчивость движения железнодорожного вагона определяется, в решающей степени, конечной жёсткостью его конструкции.

Приведённые в работе результаты численных исследований подтверждают продуктивность использованных в диссертации асимптотических методов для «конечных» значений малых параметров.

1. Цурков В. И. Динамические задачи большой размерности. - М.: Наука, 1988.

2. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994.

3. Davison Е. J. Method for simplifying linear dynamic systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1966.-V. 11, №1.-P. 93-101.

4. Miln R. D. The analysis of weakly coupled dynamical systems // Int. J. Control. -1965.-V.2, №4.-P. 171-199.

5. Новожилов И. В. Фракционный анализ. М. Изд-во МГУ, 1995.

6. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. //Мат. сб. 1952. Т.31 (73) №3. С. 575-586.

7. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973.

8. Лазарян В. А. Динамика транспортных средств. Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1985.

9. Вершинский С. В., Данилов В. Н., Хусидов В. Д. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1991.

10. Вериго М. Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986.

11. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967.

12. Новожилов И. В. Разделение движений рельсового экипажа // Изв. АНСССР. МТТ. 1980. №1. С. 55-59.

13. Копылов И. А., Новожилов И. В. Модель переменной структуры для поперечного движения железнодорожного вагона // Изв. РАН. МТТ. 1996. №6. С. 27-36.

14. Копылов И. А., Новожилов И. В. Модель поперечных колебаний железнодорожного поезда // Изв. РАН. МТТ. 1998. №2. С. 27-35.

15. Луговая Л. И. Об уравнениях «кинематических виляний» железнодорожных вагонов различных конструкций // Изв. АНСССР. МТТ. 1985. №4. С.71-74.122

16. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. тр., М.: Наука, 1971. Т.1

17. Кузьмина Р. П. Метод малого параметра в регулярно возмущённой задаче Коши. М.: Изд-во МГУ, 1991.

18. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. М.: Л.: Гостехиздат, 1947.

19. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

20. Влахова А. В. Стабилизация опрокинутого маятника с запаздывающей обратной связью. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 6. С. 54-56.

21. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. II. М.: Наука, 1985.

22. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.

23. Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных // ПММ. 1961. Т.ХХУ, вып. 4. С. 680-690.

24. Цыпкин А. Г., Цыпкин Г.Г. Математические формулы. Алгебра. Геометрия. Математический анализ. : Справочник М.: Наука, 1985.

25. Четаев Н. Г. Устойчивость движения, изд. 2-е. Гостехиздат, 1955.