Вопросы теории возмущений нелинейных резонансных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



Московский ордена Лештаа, оццеш Трудового Красного Знамена и ордена Октябрьской Революций государственный университет имени М.В.Ломоносова

НЕЙШВДГ Анатолий Исерович

УДК 531.35

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСНЫХ СКСТШ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации .-на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МЕХЛНИКОЧЛАТИЛАТИЧБСККЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Москва - 1989

Работа выполнена в ордена Ленина Институте космических исследований АН СССР

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау!

профессор Д.В.Аносов, доктор физико-математических нау] профессор В.В.Белецкий, доктор физико-математических нау] профессор А.М.Молчанов

Ведущее предприятие: Институт проблем механики АН СССР

Защита диссертации состоится " "__19 г.

в_час. на заседании специализированного совета

Д 053. 05.01 при Московском государственном универоитете им. М.В.Ломоносова, ауд. 16-Ю.

Адрес: 119899, ГСП, Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, совет по механике К 1.

""V

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механике математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " "_19 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук,

ДОцент И.Л.Антон

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие задачи механики и физики при-юдят к анализу систем, отличающихся от интегрируемых малыми, юзмущениями. Основным средством приближенного описания поведши таких систем являются методы теории возмущений, осно-занные на усреднении по фазам невозмущенных колебаний. Эти методы широко используются в задачах небесной механики, динамики свердого тела, динамики заряженных частиц. Однако вопросы обоснования этих методов решены далеко не полностью. Основные трудности здесь вызваны наличием резонансов. Явления, связанные с резонансами, оказывают существенное влияние на движение я точность его' описания с помошью усреднения. Диссертация посвящена вопросам обоснования и использования метода усреднения и примыкающих к нему методов теории возмущений в нелинейных резонансных системах.

Нель исследования. Требуется установить оценки точности методов теории возмущений. Эти вопросы рассматриваются в работе для задач о разделении движений в системах с одной быстро вращающейся фазой, об усреднении в системах с несколькими быстро вращагацимися фазами, о возмущениях инвариантных торов гамильтоновых систем, о переходе через сепаратрису в системах с быстрыми и медленными движениями, о динамических бифуркациях. Работоспособность полученных результатов демонстрируется на ряде примеров.

Методы исследования. Для получения оценок используются методы и подходы, которые развили в теории возмущений одно-частотных и квазилинейных систем Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Д;Н.Зубарев, Ю.А.Митропольский, В.М.Волосов, А.М.Самойленко,' в теории возмущений гамильтоновых систем А.Пуанкаре, А.Н.Кол-

могоров, В.И.Арнольд, Ю.Мозер, Н.Н.Нахорошев, в теории усреднения для систем с быстрыми и медленными движениями Д.В.Аносов, Т.Касуга, в теории прохождения через резонансы В.И.Арнольд, А.М.Молчанов, Б. В Лириков, в теории перехода через се паратрису И.М.Лифшиц, А.А.Слуцкин, В.М.Набутовский, В.И.Арнольд, в теории релаксационных колебаний А.Н.Тихонов, И.С.Градштейн, А.Б.Васильева, Л.С.Понтрягин, Л.В.Родыгин, М.А.Шишкова.

Научная новизна. Работа содержит следующие новые результаты.

1. Для аналитических систем с одной быстро вращающейся фазой получены экспоненциальные оценки точности разделения быстрого и медленного движений, времени сохранения адиабатического инварианта.

2. Для систем с несколькими быстро вращающимися фазами получены неулучшаемые в классе степенных оценки точности мет да усреднения. Показано, что на больших временах метод усреднения может не описывать поведение значительной части траекторий из-за захватов в резонанс.

3. В рамках теории Колмогорова-Арнольда-Моз ера возмущений гамильтоновых систем_получ§ны неулучшаемые оценки меры разрушающихся и деформации сохраняющихся при возмущении инвариантных торов для невырожденных систем (близкий результат получен Н.В.Сванидзе для симплектических отображений') , эксп ненцнальные оценки меры не заполненного инвариантными торами множества при собственном вырождении в системах с двумя степ нями свободы. Доказана экспоненциальная малость расщепления сепаратрис при резонансе в системах с двумя степенями свобод

4. Показано, что переход через сепаратрису при воэмуще

амильтоновой системы с одной степенью свободы может быть писан о помощью схемы метода усреднения, учитывающей изустные вероятностные явления, возникающие при этом переходе, [айдены неулучшаемые оценки точности метода усреднения в этой 1адаче. Получена обшая формула для вычисления вероятностей различного поведения при переходе через сепаратрису. Исследо-зан ряд задач о переходом через сепаратрису и, в том числе, ¡адачи о приливной эволюции резонансных спутников, о захвате »аряженных частиц в циклотронный резонанс, об эволюции вра-цения твердого тела под действием постоянного и Диссипативно-го возмущающих моментов.

5. Получена общая формула для изменения адиабатического гаварианта. при переходе через' сепаратрису в гамильтоновой системе о двумя степенями свободы, из которых одна соответствует быстрому движению, а другая медленному. Вычислено изменение адиабатического инварианта астероида, движущегося в резонансе 3:1 с Юпитером; эта величина играет важную роль в теории происхождения соответствующего люка Кирквуда.

6. Показано, что явление затягивания потери устойчивости обязательно сопровождает в аналитических системах о быстрыми и,медленными движениями динамические бифуркации, при которых положение равновесия или предельный цикл быстрой системы теряет устойчивость, оставаясь невырожденным. Фазовые точки остаются вблизи потерявшего устойчивость равновесия (цикла) до тех пор, пока медленные переменные не изменятся на величины порядка 1. Получена оценка снизу для времени затягивания потери устойчивости равновесия, дающая в ряде случаев и асимптотику момента срыва. В неаналитических системах подобное затягивание потери устойчивости, вообще говоря, отсутствует.

Практическая ценность. Результаты работы расширяют возможности применения методов теории возмущений при анализе резонансных задач нелинейной механики. Результат о разделении движений является полезным техническим средством анализа од-ночастотных систем. Результаты об усреднении в системах с несколькими вращающимися фазами обосновывают применимость метода усреднения для широкого класса задач, указывают границы этой применимости. Результаты о возмущениях гамильтоновых систем позволяют оценивать меру хаотической компоненты фазовогс пространства в таких системах. Результаты о переходах через сепаратрису позволяют использовать теорию возмущений при анализе важного класса систем, изменяющих в процессе эволюции режим своего движения. Формула для изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису необходима при исследовании стохастизации, связанной с такими переходами. Результаты о затягивании потери устойчивости необходимо учитывать при анализе процесса смены режима движения в системах < релаксацией. Полезность полученных результатов при анализе конкретных систем показана в работе на ряде задач из динамик] твердого тела, небесной механики, динамики заряженных частиц оптики волноводов. ' J

Ацробация работы. Результаты работы.докладывались на семинарах кафедр теоретической механики, дифференциальных урав нений, теории вероятностей, теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на семинаре им. И.Г.Петровского, в Московском математическом обществе, семинарах в ИКИ АН СССР, ИПМех АН СССР, ИФА АН СССР, ИРЭ АН СССР, ЛГУ, ГГУ, ИАЭ, ИЛУ, на У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г.) , У Всесоюз

яой Четаевской конференции (Казань, 1987 г.) , ХШ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах с Куйбышев, 1968 г.) .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 23 ] .

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения и шести глав, изложен на 297 стр. Диссертация содержит также два приложения (14 стр.) , список литературы из 145 названий и 33 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты диссертации. Описана схема метода усреднения, около которой группируется основное содержание работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений вида

1-65(1,4,6) , V = и>< Г)+ е (1)

Здесь 6 > 0 - малый параметр, I. и ¥ - соответственно И - и 171 -мерный векторы, правые части (1) 2Л -периодичны по всем компонентам вектора ¥ и предполагаются достаточно гладкими, точкой обозначена производная по времени Ь . Рассматриваются значения 1 из заданной ограниченной области б- в ЯЛ , переменные ¥ изменяются на УУ1 -мерном торе Тт~ {¥ тс<А(1 ¿Л } . Компоненты I называют медленными переменными, компоненты V называют быстрыми переменными или фазами, компоненты СО - частотами. К виду (1) при достаточно общих предположениях при-

водятся уравнения движения систем, отличающихся от интегрируемых малыми возмущениями.

Для приближенного описания эволюции медленных переменных I в соответствии с методом усреднения используют решения усредненной системы

j = fcF(I), F-аю'п b (2)

Т"Ч

Усредненная система содержит только медленно изменяющиеся переменные, и потому гораздо проще дая исследования, чем исходная.

Пусть I ( t ) - медленное движение в исходной системе, a J(t) - в усредненной, 1(05 = J(0) . Для обоснования описанной схемы метода усреднения надо установить оценки, связывающие 1(f) и Jit) на временах t порядка Vi или больших.

В первой главе рассматриваются системы с одной быстро вращающейся фазой, то есть системы вида (1) с yr\ - 1 Предполагается, что частота СО (Г) не обращается в G . Из результатов П.Фату, Л.И.Мандельштама и Н.Д.Папалекси, Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова вытекает оценка I I(t) - J4t)\: при 0 i Ь £ 1Д . ¿ля этого, случая процедура теории возмущений, построенная Н.Н.Боголюбовым и Д.Н.Зубаревым, позволяет с помощью замены переменных с любой степенной по i точностью исключить из уравнений возмущенного движения быст рую фазу и таким образом приближенно отделить медленное дви жение от быотрого. В первом приближении эта замену перемени приводит исходную систему уравнений к усредненной. Формулир емое ниже утверждение показывает, что в аналитических систе мах разделение быстрого и медленного движений можно провеет

гак, что ошибка будет экспоненциально малой.

Пусть функции М , , в (1) вещественно-аналитические.

Теорема 1« Аналитической заменой переменных

1=1+6(Ш,Г,£ ), , 1и|+|1Г1<С;1

уравнения возмущенного движения приводятся к виду

I,&)+<>(( У = £(?,£) + £ /3(1,Г, £)

и1 +1 $М < с4 ехр^с'/Л), I +1 с^е

Здесь и далее - положительные постоянные, т.е. величины, не зависящие от £ (нумерация постоянных и некоторые обозначения в автореферате и диссертации не совпадают) .

Доказательство основано на процедуре последовательных замен переменных.

Экспоненциально малая погрешность разделения быстрого и медленного движений принципиально неустранима ни в каком варианте теории возмущений ( приведен соответствующий пример) . Одна из причин этой неустранимосги - влияние резонансов между быстрым и медленным движениями.

Если система Ш гамильтонова, то замену переменных теоремы 1 можно выбрать симплектической.

С помощью теоремы 1 доказывается следующее имеющее самостоятельный интерес утверждение.

Теорема 2. Аналитическое отоораясение области пространства ЯЛ , на 0(£) отличающееся от тождественного, может быть представлено как отображение сдвига,за время 2Л вдоль траекторий.автономной,системы (как говорят, включается в поток) с экспоненциально малой погрешностью 0(*УР(~ С^-1/?)).

Приведен пример отображения, для которого более точное включение в поток невозможно. Если исходное отображение симп-лектическое, то автономную систему в теореме 2 можно выбрать гамильтоновой.

Эти результаты использованы для доказательства того, что в аналитических одночастотных гамильтоновых системах адиабатический инвариант за экспоненциально большое время £Хр(С<1/£) изменяется лишь на (9(£ ) и что аналогичная .. оценка справедлива для адиабатических инвариантов симплектических отображений. Даны применения этих утверждений к задачам о движении частицы в плавнонеоднородном магнитном поле, о распространении лучей в плавнонерегулярном волноводе и к задаче Ферми-Улама о разгоне шарика движущимися стенками. Результаты главы 1 используются также в главе 3 при изучении инвариантных торов гшлильтоновых систем с двумя степенями свободы при собственном вырождении и без вырождения в окрестност! резонанса.

Во второй главе рассматриваются системы с несколькими вращающимися .фазами (. Ш > £ ) вида (1) . Предполагается, что либо ю.пд (Ию/д! ) = ж , либо Ю £ 0 и

^ м л

Э1 (здесь,. -кошо--

ненты вектора ий ) . Резонансы между быстрыми фазами приводят здесь к новым явлениям по сравнению со случаем одной фазы. В ходе эволюции переменные I , а с ними и частоты ¿о(1) , медленно изменяются. В некоторые моменты времени возникает целочисленная соизмеримость частот - резонанс. При некоторых соотношениях между фазами возможен захват в резонанс: фазовая точка начинает двигаться так,.чтобы сохранялась [возникшая соизмеримость. Для описания.такого.движения незави-

имое усреднение по всем фазам, конечно, неприменимо,за вре-я '/£ точки КО' и J(t) расходятся на величину орядка 1. Поэтому в обосновании метода усреднения здесь воз-икает метрический аспект: надо оценивать меру-множества.на-альных данных, для которых КО и JU) могут силь-о разойтись. Из очень общего результата Д.В.Аносова об усред-ении в системах с быстрыми и медяенншш движениям -вытекает, то эта мера стремится к 0 при £ 0 • Близкий ре-ультат получил Т.Касуга для гамильтоновых систем. Формулируемо ниже утверждения дают для систем вида (1) явные оценкис ■ Будем рассматривать решения системы (1)

; начальными условиями (I0 rf0) € D0.~ &0KTW . Пусть юшения усредненной системы с начальными условиями КО) определены при 0 ^ st < 1 и не подходят

: границе области определения системы ближе, чем на Ci 1 (бозначим р, £ ) - множество начальных данных (10D0 аких, что при 0 s t £ 1/£ решение (Т(£)?ТШ) 'Пределено и выполнено "^(Го^о^З^Р > ГД0

• к(10,чо е) = sap fKtJ-j(Oi

(бозначим D'* Ф(0.£С11, £) } D'^D^O' Теорема 1. Справедливы оценки

J A (I0,f0je) <LI0d40 < c2 ü , mes D"< c3 i/T o'

Таким образом, средняя по начальным условиям погрешность »писания движения с помощью метода усреднения на интервале фемени длины V g есть

0( КГ)

,. ,Эта .оценка неулучша-!ма. Доказательство теоремы 1 использует методы цитированной ш«* таботы Д.В.Аносова, общий подход метода усреднения с за-

меной переменных, исключающей фазы, и идею Т.Касуги о сглаживании этой замены переменных. •

Из теоремы 2 вытекает такая оценка для меры множества О r D0\ начальных данных-, при которых

погрешность метода усреднения за время превосходит

величину р

Теооема 2. ÏÏieS> Е( j>, Ê ) < l/T/f Эта оценка неулучшаема в классе степенных опенок.

Введенные выше условия на частоты могут быть выполнены только для ÏL ^ ÏÏl-i . Недавно В.И.Бахтин получил для любых И. . WI . неулучшаемые оценки меры £(f3 £ ) в условиях общности положения. При этом использовался метод доказательства теорем 1,2 и методы теории особенностей.

В главе 2 приведен также пример системы, в которой за вре мя Vf %/х из-за захватов в резонанс независимое усреднение по фазам приводит к погрешности порядка 1 для множества начальных данных меры порядка 1. В этом примере пучок траекторий многократно пересекает одну и ту же резонансную поверхность, и при каждом прохождении доля порядка fi фазовых точек

захватывается в резонанс. За 1/пересечений, что требует времени порядка Viî/2 испытывает захват множество фа-

зовых точек меры порядка,1..

В третьей главе рассматриваются гамильтоновы системы вида (1) . Гамильтониан предполагается аналитическим. Пусть I , <f - переменные действие-угрл.невозмущенной системы,.так что возмущенный гамильтониан имеет вид

H- « Н0 ( I) + f Hre&cR", fWc/^r"- (3,

1усть невозмущенный гамильтониан Н0 невырожден или изо-энергетически невырожден, то есть выполнено одно из условий

M (2'На/д1У*0, <*et( дИ,/?г . о )*0

Усредненная система (2) принимает вид J - Q , то есть в приближении метода усреднения эволюция медленных переменных отсутствует и движение происходит по торам I = CQin.it Строгое оправдание этому выводу дает теория Колмогорова-Ар-нольда-Мозера (КАМ) . Согласно теореме А.Н.Колмогорова, при наложении гамильтоиовского возмущения большая часть инвариантных торов невозмущенной системы не разрушается, а лишь немного деформируется. В главе 3 получены следующие явные неулучшаемые оценки.

Теорема 1. При любом èi , удовлетворяющем условию Ci \fé < <: Q1 . множество F = СХТЛ пред-

ставимо в ввде объединения двух множеств, Fx и F^ , со следующими свойствами. .

1°. mes Fj < с35€

2°. Множество Fx - объединение инвариантных Cl -мерных аналитических торов Tç возмущенной системы. Переменная Ç , нумерующая торы, - И -мерный вектор, принимающий значения из некоторого подмножества области & Тор Tç. параметрически задается уравнениями

i = ?+ ,н^ Q+ Q), (¿мм ггет* è/x. , < с

3°. Движение на торе Tg условно-периодическое, оно задается формулой d ~ Uû-^ , вектор частот Uç удовлетво-

---12 -—

ряет оценкам > ¿е 1<<ГК для всех цело-

численных векторов -к ? О

Доказательство следует данному В.И.Арнольдом доказательству теоремы А.Н.Колмогорова с уточнением промежуточных оценок.

При X = Сд 1^6 из теоремы 1 следует, что мера множества разрушающихся при возмущении торов и деформация сохраняющихся торов есть величины 0 ( 1/Г ) . Эти оценки неулуч-шаемы.

Аналогичные оценки в теореме Мозера об инвариантных кривых отображения плоскости в себя получены В.Ф.Лазуткиным, а для отображений в многомерном случае Н.В.Сванидзе,

В системах с собственным вырождением невозмущенный гамильтониан не зависит от некоторых переменных "действие", сопряженные им фазы являются медленными переменными. Существование большого количества инвариантных торов устанавливает здесь теорема В.И.Арнольда. Эти торы близки к инвариантным торам системы, получающейся из исходной усреднением по быстрым фазам. В главе 3 показано, что при однократном собственном вырождении в системах с двумя степенями свободы мера множества, не заполненного этими торами, экспоненциально мала.

V

Рассмотрим гамильтониан

моЛ иТ еТ1

среднее функоди по ^ равно 0 .; (р, р и

( Го - пары сопряженных канонических переменных. К виду (4) приводится после изоэнергетической редукции гамильтониан системы с двумя степенями свободы при однократном вырояу

и. Если на фазовом портрете системы с гамильтонианом Hj(py<p еется область, заполненная замкнутыми траекториями, то, вво-в этой области переменные действие-угол It , , га-

льтониан можно переписать в виде

= IJ+ÎÏÏ^XX)* i^^Wof) (5)

li € & С R1 ? tf . ( if,^ ) 21 ет*- ■

еднее Ж j по f0 равно 0 . Считаем выполненными ловия - вещест-

нный интервал.

Теорема 2. Множество ( G ~ С"/) * Т"^ ' лежит в объе-нении F двух множеств, F g и Fe , обладающих едующими свойствами.

1°. mes Fg < сз exp(-c;i/è)

2°. Множество - объединение двумерных инвариант-

х аналитических торов Г^ системы с гамильтонианом (5) . ременная Ç .нумерующая торы, принимает значения из которого подмножества интервала G- . Тор Tç параметри1-ски задается уравнением

I* = = û +JF(Q,Ye), QncxlZfeT1

I f 5=1 <счь, < Cv £

3°. 'Движение на торе Те задается формулами i . = i Wç, вектор частот, ( 1, £ Wç ) удовлетворяет оценкам + Ъ CJç I > €ХрС-С^/е ) lil'2 для всех.цело-[сленных векторов =

4°. При любых начальных данных ( f(0>) G F

Юль движения выполнено неравенство

| 1(0- 1(0)1 < с6£ ,

При доказательства сначала делается замена переменных теоремы 1 главы 1, относящая зависимость от быстрой фазы в экспоненциально малые члены, а затем применяется процедура последовательных замен переменных КАМ-теории.

Из теоремы 2 следует, что экспоненциально мала мера множества разрушающихся торов в теоремах В.И.Арнольда о вечной адиабатической инвариантности.

Если на фазовом портрете гамильтониана Н^Р}^) имеются сепаратрисы, то при переходе к переменным действие-угол возникают особенности. В главе 3 доказаны теоремы 3 и 4, согласно которым и в этом случае, при достаточно общих предположениях, в фазовом пространстве системы с гамильтонианом (4) мера множества, не заполненного инвариантными торами, есть

Окхрс-с;1/*)).

Рассматривается также вопрос о структуре окрестности заданного резонанса в изоэнергетически невырожденной системе с двумя степенями свободы. Показано ( теорема 5) , что при условии общности положения окрестность размера порядка ТЁ резонансной поверхности с точностью до остатка мери

/|/б)) заполнена инвариантными торами, на 0(1) отличающимися от инвариантных торов усредненной по быстрым фазам с оставлением резонансных гармоник системы. В частности, экспоненциально мало отбытое А.Пуанкаре расщепление сепаратрис в этой задаче: расщепленные сепаратрисы зажаты в слое толщины 0(£хр(~ )) между инвариантными торами. Доказательство теоремы 5 основано на сведении задачи к системе с однократным собственным вырождением и использовании теоремы <

В качестве примеров рассмотрены движение астероида в плоской ограниченной круговой задаче трех тел, быстро закрученного тяжелого твердого тела около неподвижной точки, заряженной частили в длинной осесимметричной магнитной ловушка.

В четвертой главе устанавливаются результаты, позволяющие использовать усреднение для описания перехода через сепаратрису в одночастотных системах с быстрыми и медленными движениями. Рассматриваемая система уравнений имеет вид • "3 Е , f . а р , •• ,

*"ЭР > Р = + 2 ,6)

где £ > 0 - малый параметр, ( р5 <р е R1 , j? е Rm , ' = f J ( Р* £ J ' Соответствующая невозмущенная система - гамильтонова с одной степенью свободы и гамильтонианом , i - Cond . Предполагается,

что при всех Z фазовый портрет невозмуденной системы разделен на области &-L сепаратрисами , проходящими через седловую точку (например, как на рис. 1

Pt

Рис. 1

Возмущение вызывает эволюцию, в ходе которой проекция фазовой

| точки на плоскость р , ^ пересекает сепаратрису. К системам рассматриваемого вида приводят задачи об эволюции в од-ночастотной интегрируемой системе под .влиянием возмущений в ' случаях, когда расслоение фазового пространства невозмущенной системы на инвариантные кривые имеет особенности. Системы вида (6) часто возникают также как модельные при анализе эволюции многочастотных систем в окрестности резонанса.

Система (6) рассматривается в предположении, что отличны от 0 величины

0.(2) = - 6 [Ц I 4 I + !£. пл (7>

Н Зр ^ Э 2 V*

где интеграл берется в невозмущенном движении вдоль сепаратрисы в правой части Ь ■=.О , гамильтониан Е нормирован так, что он обращается в 0 в седловой точке С . Условие в 1*0. обеспечивает достаточно быстрый переход через сепаратрису. Правые части (6) предполагаются бесконечно дифференцируемыми.

• Вдали от сепаратрис уравнения (6 ) приводятся к одно-частотной системе вида (1) с отличной от нуля частотой, если выбрать в качестве новых,переменных Е ,, И и фазу невозмущенного движения. Эволюция.с погрешностью 0(&) описывается усредненной системой. На сепаратрисе частота невозмущенного движения обращается.в 0 (резонанс) , а правые части уравнений возмущенного движения в виде (1) имеют особенности. Поэтому необходим специальный анализ движения.вблизи- сепаратрис.

Переход через сепаратрису приводит к своеобразным.вероятност-

ным явлениям, обнаруженным И.М.Лифшицем, А.А.Слупкиным и В.М.Набутовским. Фазовые точки, которые в начальный момент находились на расстоянии порядка £ друг от друга, могут после пересечения сепаратрисы захватиться в разные области, и их дальнейшее движение будет совершенно различным. Так как начальные условия всегда известны лишь с некоторой точностью, то при £ О детерминированный подход к задаче теряет смысл. Однако можно рассматривать захваты в ту или иную область как случайные события и вычислять их вероятности.

Пусть (р0, <\ ПРИ 2 -¿о • Обозначим

- окрестность точки (М0(Р0, Ч,„ ~Ь0) в £ Ц • - множество точек из и , захватывающихся в Сг-с с I =1, I) . Следуя В.И.Арнольду, мы называем значением в точке М о плотности вероятности захвата в область 0-1 С или, для краткости, вероятностью захвата точки М0 в область 6ч ) величину

¿-»о V1*'

Оказывается, этот предел существует.

Для приближенного описания эволюции представляется естественным использовать усредненную систему вплоть до сепаратрисы, подсчитывать вероятность захвата.в ту или иную об-, ласть на сепаратрисе, и вновь использовать усредненную систему, начиная с сепаратрисы, в той области, в которую произошел захват. В главе 4 получены оценки, обосновывающие применение этой схемы усреднения (теорема 1) . В частности, для большинства начальных данных эта схема описывает изменение мед-

ленных переменных с точностью 0(£ in 6) на временах порядка Vfc • Мера исключительного множества начальных данных, для которых такое описание неприменимо, стремится к О при Ь. 0 быстрее любой степени £ . Вероятности захвата в ту или иную область ( в смысле определения (8)) выражаются через величины (?«) (7 ) , где Z » - значение параметра Н при выходе на сепаратрису, рассчитанное с помощью метода усреднения. Например, если для рис. 1 01>О,

0 и Е > О - в области , то фазовые точки

из &3 захватываются в G-j или в G2 , и вероятность захвата в &L вычисляется по формуле Qi(Mc) =

= 0i(H.)/(01(z,)+ 0t(Z.)), £ =

С помощью описанной схемы усреднения в главе 4 рассмотрены некоторые модельные задачи о приливной эволюции резонансных спутников и о движении заряженных частиц, указана применимость этой схемы для анализа движения в системе Лоренца при больших числах Рэлея. Проанализирована также эволюция вращения твердого.тела под действием суммы постоянного (в связанных с телом осях) и диссипативного ( линейного по проекциям угловой скорости на связанные оси) возмущающих моментов, в ходе которой возникает переход через сепаратрисы невозмущенной задачи Эйлера-Пуансо. Построены фазовые портреты усредненной системы, вычислены вероятности различных переходов через сепаратрисы.

В пятой главе рассматривается поведение,адиабатических инвариантов при.переходах через,сепаратрису. Эта.глава примыкает по содержанию к предыдущей..Анализ вновь относится к системе (6) ..которая теперь предполагается гамильтоновой с двумя степенями свободы; одна степень свободы соответствует

быстрому движению, другая - медленному, гамильтониан Н = • Р■ - ™пульсы. 1 * -ко-,

ординаты. Переменная "действие" невозмущенной системы является интегралом усредненных уравнений и, следовательно, адиабатическим инвариантом (ДИ) полной возмущенной системы при движении вдали от сепаратрисы. В главе 5 получена асимптотическая формула для изменения этого АИ при переходе через сепаратрису. Из этой формулы следует, что данная в главе 4 оценка погрешности схемы метода усреднения при переходе через сепаратрису величиной п £ ) неулучшаема. В случае системы с одной степенью свободы и медленно изменяющимся параметром формула для изменения АИ при переходе через сепаратрису получена независимо автором и Дж.Теннисоном, Дж.Кари, Д.Эскандом, а для маятника в плавно изменяющемся поле тяжести - впервые А.В.Тимофеевым.

Рассматриваемое изменение АИ трактуется в рамках вероятностного подхода главы 4 как случайная величина, а полученная формула дает фактически распределение этой'величины. Суммирование изменений АИ при многократных, переходах через сепаратрису приводит, как показывают численные расчеты С К.Менюк, Дж.Уисдом ) к диффузии АИ и хаотизации движения.

Общая формула главы 5 для изменения АИ громоздка. Приведем ее в частном случае гамильтониана

Н-- '/¿¿Р1- ви,у))-&1х,р (97

¿--сот1 >09 А>0

К системе с гамильтонианом (9) .сведено в работах Дк.Уисдома исследование движения астероида при резонансе 3:1с Юпитером в плоской ограниченной эллиптической задаче трех тел. Невоз-

мущенная (. ^, X = Сспй ) система - маятник, ее фазовый портрет разделен на области колебаний и врашений сепаратрисами. Медленное изменение ^ , х приводит к переходу через 'сепаратрису. Вводится улучшенный АИ - величина- X , отличающаяся от "действия" маятника на 0(Ь) и постоянная на траектории возмущенной системы с точностью вдали от

сепаратрис. Пусть фазовая точка переходит из колебаний во вращение, а Л и 1+ - значения 1 на ее траектории до и после перехода вдали от сепаратрисы^.Тогда справедлива асимптотическая формула

27Г1+ - У[ -га91и.12ип7Г5)± ьу (ю) •

Знак "+" перед £ & выбирается для перехода в прямое вращение, знак"-" - д обратное вращение. Входящая в выражение (10) величина ? - функция начальных условий, значение которой можно изменить на величину порядка 1 малым, порядка 6 ., изменением начальной точки. Величина трактуется как слуг-чайная: ее распределение, определяемое в пределе при 6 -* О аналогично 18) , является равномерным на интервале (0,1) Соотношение (.10) справедливо при Сд < ^ < 1 ~ С. Коэффициенты в (10) вычисляются в точке ( X , ^) , соот--ветствующей выходу на сепаратрису, | , } - скобки Пуассона.

Изменения АИ при переходах через сепаратрису для гамильтониана (9) играют ключевую роль в построенной Дк. Уисдомом

теории хаотизации движения астероида вблизи резонанса 3:1 с Юпитером и происхождения соответствующего люка Кирквуда в поясе астероидов. Однако величина изменения АН в этой теории не была известна. Она дается формулой (10) . Соотношение (10) приводит к оценке времени существования астероида в люке, согласующейся по порядку величины с результатами проведенного в работах Дж.Уисдома численного интегрирования.

В шестой глава рассматривается явление затягивания потери устойчивости в системах с быстрыми и медленными движениями, описываемых дифференциальными уравнениями вида

x=fuc,y,fc), £ = (id

Здесь 6 >0 - малый параметр, X € КП , у е Цт Переменные X называют быстрыми, а ^ - медленными. Система для X при lj - const , i-0 называется быстрой системой. Рассмотренные ранее системы вида (1) и (6) являются частными случаями системы (11) . В отличив от предыдущего считается, что быстрая система имеет положение

равновесия или предельный цикл. И равновесие и цикл, распо-

Rn+m .

, для краткости обозначаются L^. и называются "состоянием".

Медленной системой называется система tj = £ G(lj) , где правая часть G(^) в случав равновесия - значение функции <J (X , у ,0) на равновесии, а в. случае .цикла -среднее по времени значение функции <j(x , ^ , 0) вдоль,цикла в быстром движении..

Зафиксируем какое-нибудь решение медленной.системы:

Пусть "состояние" в быстрой системе асимптотичес-

ки устойчиво в линейном приближении при Г 6" [ Х0 f £ ) , где

С* £ ( te , C"j) . При V = t„ происходит бифуркация и •эта устойчивость теряется. В случае равновесия при V -t» имеется пара сопряженных мнимых собственных значений и нет собственного значения 0 , в случае цикла при Т.» Г* имеется либо пара сопряженных мультипликаторов на единичной окружности, либо мультипликатор (-1) и нет мультипликатора i . Фазовая точка системы (11) , начавшая движение при ..it SV0 , - У а Б t'l ~ окрестности "состояния" Lpo , притягивается к "состоянию" и дрейфует в его 0(i) ~ окрестности, пока "состояние" асимптотически: устойчиво. Это утверждение хорошо,известно,из ; работ А.Н.Тихонова, И.С.Градштейна, А.Б.Васильевой для.равновесия, Л.С.Понтрягина и Л.В.Родыгина для цикла. Явление затягивания потери устойчивости состоит в том, что.фазовая.точка может оставаться вблизи рассматриваемого "состояния" 'еще в течение времени порядка 1/£ после момента потери устойчивости, и лишь затем происходит срыв. Это явление впервые обнаружено для одной модельной системы уравнений М.А.Шишковой, и затем для некоторых частных классов систем С.Каримовым. Следующее утверждение показывает, что если система ана-литична, то потеря устойчивости обязательно затягивается.

Теорема 1. Пусть правые части системы (11) аналитически продолжаются по X , ^ в■комплексную не зависящую от Ь окрестность "состояния" t,) , оставаясь гладкими по £. Тогда фазовая точка (Xlt),Lj(t)) ,?той системы, начавшая движение при it = Г„ , ^U) = '(^-окрест-

ности состояния Ly„ , будет при £t £ f Г* , Г, + С^1]

находиться в С3 6 - окрестности состояния у (£ £.

Доказательство основано на оценках в процедуре теории возмущений, аналогичных оценкам главы 1.

Затягивание потери устойчивости иллюстрирует рис.

Рис. 2

Предполагается, что быстрое движение теряет устойчивость мя1 ко, т.е. при Г = Г* +0 от равновесия ответвляется

устойчивый предельный цикл быстрой системы, размер которого растет как Ут- Г, . В полной системе (11) срыв с равновесия и переход на этот цикл происходят при X > Г,+ С^1 когда цикл уже имеет размер-порядка 1 . Амплитуда колебаний скачком (за время Ь порядка \inti ) возрастает от малой, порядка Ь , до величины порядка 1 . То есть потеря устойчивости выглядит, как происходящая жестко.

В теореме 2 главы 6 получена оценка снизу для времени затягивания потери устойчивости равновесия, дающая и ряде случаев и асимптотику момента срыва. Здесь используется основной прием работы М.А.Шишковой - аналитическое продолжение решений в плоскость комплексных значений времени. При движении вдоль некоторых путей на этой плоскости система имеет адиабатический инвариант, который и препятствует уходу от положения равновесия. Оценки момента срыва связаны •■ рв-тнансннми явлениями ('■>Лращрт*» п С частот :, рпр'Ч'^тпп

еобственных значений) , возникающими при комплексных значениях времени.

В неаналитических системах затягивание потери устойчивости, вообще говоря, отсутствует: срыв с неустойчивого равновесия (цикла) происходит вблизи бифуркационных значений медленных переменных (в работе приведены примеры как для

Г оо

конечной гладкости, так и для гладкости С ) . Теорема 3 главы 6 утверждает, что в случае конечной гладкости фазовая точка остается в окрестности размера порядка £ равновесия ( цикла) в течение времени порядка £1 пос-

ле момента потери устойчивости; для гладкости С°° эта оценка заменяется на £) б"11 ¿п £ | М( £ ) при

£ 0 . Эти оценки неулучшаемы.

Приложение 1 к диссертации относится к рассмотренной в главе 4 задаче об эволюции вращения твердого тела под действием постоянного и диссипативного возмущающих моментов. Здесь проведено вычисление вероятностей различного поведения при переходах через сепаратрисы.

Приложение 2 содержит результаты численной проверки формулы главы 5 для изменения адиабатического инварианта прг переходе через сепаратрису на примере системы маятникового типа.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной'

•

задача с медленно изменяющимся параметром. Прикл. мат. и мех., 1975, т. 39, вып. 4, с. 621 - 632.

2. Нейштадт А.И. Ой осреднении в многочастотных системах, П. Докл. АН СССР, 1976, т. 226, № 6, с. 1295 - 1298.

3. Нейштадт А.И., Пивоваров М.Л. Об эволюции вращения ИСЗ под действием возмущающего момента, постоянного в связанных осях. Препринт й 434 ИКИ АН СССР, М.: 1978.

4. Нейштадт А.И. Об эволюции вращения твердого тела под действием суммы постоянного и диссипативного моментов. Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела, 1980, й 6, с. 30 - 36.

5. Нейштадт А.И. О мере инвариантных торов, разрушающихся при малом изменении функции Гамильтона интегрируемой системы. В кн.: Пятый Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, Изд-во "Наука" Казахской ССР, 1981.

5. Нейштадт А.И. О точности сохранения адиабатического инварианта. Прикл. мат. и мех., 1981, т. 45, вып. 1, с. 80 - 87.

7. Нейштадт А.И. .Оценки в теореме А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений. Прикл. мат. и мех., 1981, т.45, вып. 6,.с. 1016 - 1025.

3. Нейштадт А.И. Распространение лучей в олавнонерегулярнах волноводах и теория возмущений гамильтояовых систем. Изв. вузов. Радиофизика. 1932, т. .25, й 2,. с. 218 - 226. Нейштадт А.И., Пивоваров М.Л. Об эволюции вращения ИСЗ под действием возмущающего момента, постоянного в связанных осях. .В кн. Обработка информации по программе ИнтеЦг_

космос. М.: Наука, 1982, с. 134-138.

10. Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой. Прикл. мат. и мех., 1984, т. 48, вып.2, о. 197 - 204.

11. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. фундам. направления. Т. 3 М.: 1985.

12. Нейштадт А.И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось. Успехи мат. наук, 1985, т. 40, вып. 5, с. 300 - 301.

13. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при да- . намических бифуркациях. Успехи мат. наук, 1986, т. 41, вып. 4, с. 206.

14. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Физика плазмы, 1966, т. 12, вып. 6, с.' 992 - 1000.

15. Нейштадт А.И., Пивоваров М.Л. О вычислении изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису. Препринт № 1128 ИКИ АН СССР. М.: 1986.

16. Нейштадт А.И., Тимофеев A.B. Явление авторезонанса при электронном циклотронном .нагреве плазмы. Препринт №4457/6 Института атомной энергии им. И.В.Курчатова. М.: 1987.

17. Нейштадт А.И., Тимофеев1 A.B. Явление авторезонанса при электронном циклотронном нагреве плазмы. ЖЭТФ, 1987,

т. 93, » 5 (11) , с. 1706 - 1713.

18. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степеня-

ми свободы. Прикл. мат. и мех., 1987, т. 51, вып. 5, о. 750 - 757.

19» Нейштадт А.И. 0 переходе через сепаратрису в системах о быстрыми и медленными движениями. В сб. -Пятая Всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Казань, 1987, с. 71.

20. Нейштадт А.И. Скачки адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису и происхождение люка Кирквуда 3:1. Докл. АН СССР, 1987, т.29'5, й 1, с. 47 - 50.

21. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. 1. Дифференц. уравнения, 1987, т. 23, № 12, о. 2060 - 2067.

22. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. П. Дифференц. уравнения, 1988, т. 24, о. 226 - 233.

23. Нейштадт А.И. О рассеянии на особых точках при эволюции

в одночастотных система^. В сб. ХШ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Куйбышев, 1988, с. 137 - 138.

055/02/2 Ротапринт ИКИ АН СССР

Москва, II/811), профсоюзная, 84/3!

T- OI689 Подписано к печати 13.04.8У

.Заказ 6964 Формат 61x86/8 Тираж IUÜ 1,1 уч.изд.л