Обобщение метода регуляризации на некоторые резонансные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных нелинейных задач в резонансном случае.

§ I. Формализм метода регуляризации.

§ 2. Разрешимость итерационных задач.

§ 3. Оценка остаточного члена

§ 4. Теорема о предельном переходе.

Глава 2. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных сильно нелинейных задач с быстрыми и медленными переменными.

§ I. Регуляризация и формализм исходной задачи

§ 2. Обоснование разрешимости итерационных задач

§ 3. Обоснование асимптотической сходимости

§ 4. Теорема о цредельном переходе.

Глава 3. Регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи с быстрыми и медленными переменными

§ I. Регуляризация краевой задачи

§ 2. Вопросы разрешимости итерационных задач

§ 3. Асимптотический характер решения.

Интенсивное развитие современной науки приводит к существенному усложнению математических моделей реальных процессов. Исследование этих процессов требует учета многочисленных факторов, влияющих на поведение изучаемых систем, описываемых сложными системами дифференциальных уравнений. Многие задачи электротехники, теории гироскопов, химической кинетики, теории автоматического регулирования и других областей науки приводят к моделям, содержащим качественно разные группы движений. В таких случаях, как правило, выделяются уравнения с малыш множителями при старших производных (уравнения такого типа называются сингулщшо возмущенными) а компоненты вектора-решения разделяются на быстрые и медленные. При численном интегрировании сингулярно возмущенных систем возникают трудности, обусловленные их жесткостью (см., например, [81]). Для исследования таких уравнений наряду с численными методами целесообразно использовать асимптотические методы. В частности, использование асимптотических методов позволяет разрабатывать более эффективные алгоритмы численного интегрирования жестких систем.

Внимание математиков к проблемам сингулярно возмущенных уравнений было привлечено известными работами А.Н. Тихонова (см., например, [65,66]). Сформулированная и доказанная им теорема о предельном переходе в системах уравнений, содержащих быстрые и медленные переменные, сыграла исключительно важную роль как в теории сингулярных возмущений, так и при решении большого круга прикладных задач. В дальнейшем задачи указанного типа изучались многими авторами. Для сингулярно возмущенных задач, описываемых линейными уравнениями в частных производных, был разработан метод Вишика-Люстер-ника (см. [ю]). Идеи этого метода развивались и обобщались в различных направлениях. На его основе В.А. Треногиным, В.Ф. Бутузовым и другими исследователями были получены глубокие и важные результаты (см., например, [4,5,67,68]). В.А. Треногин исследовал вопросы асимптотического интегрирования смешанных краевых задач для квазилинейных параболических и гиперболических уравнений (частные виды таких уравнений встречаются в гидродинамике). В.Ф» Бутузов исследовал аналогичные вопросы, но для задач с негладкой границей. Он впервые ввел угловые погранфункции и построил равномерные асимптотические решения таких задач. Линейные сингулярно возмущенные задачи в банаховых пространствах изучались Ю.Л. Далецким и М.Г. Крейном в [14]. Результаты этих авторов являются обобщениями известных результатов С.Ф. Фещенко и Н.И# Шкиля [79].

Определенные трудности возникают при асимптотическом интегрировании нелинейных сингулярно возмущенных задач. Принципиально важные результаты в этом направлении были получены с помощью метода пограничных функций, разработанного А.Б. Васильевой и ее учениками (см., нацример, [8,9]) на основе результатов А.Н. Тихонова, а также с помощью метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митрополь-ского (см. [з,4б]). Определяющим моментом в выборе метода при решении той или иной сингулярно возмущенной задачи является расположение спектра некоторого предельного оператора на комплексной плоскости. Если все точки спектра этого оператора лежат на мнимой оси, то эффективным является применение метода усреднения; если же на мнимой оси нет точек спектра предельного оператора, то целесообразным является применение метода пограничных функций. Метод усреднения и метод пограничных функций А. Б. Васильевой позволили изучить большое число важных проблем как в црикладном, так и в теоретическом плане. Метод усреднения изучался с различных точек зрения многими исследователями. Здесь интересные результаты получены В.М. Волосовым [il], А.Н. Филатовым [70,71] и другими математиками (см., например, [12,13,47]). Идеи метода усреднения оказались весьма эффективными при исследовании на устойчивость колебательных систем. Развивая идеи этого метода, М.М. Хапаев применил его к многочастотным системам и создал эффективные алгоритмы, обобщающие второй метод Ляпунова [44], и успешно применил их для изучения различных резонансных задач (см., например, [72-7б]).

Для изучения релаксационных колебаний, возникающих в нелинейных системах с точками "срыва", теория асимптотического интегрирования была разработана Дородницыным А.А., Понтрягиным Л.С., Мищенко Е.Ф., Розовым Н.Х. и их учениками (см. [46,52]).

Однако применение описанных методов к задачам с произвольным расположением спектра на комплексной плоскости связано с определенными трудностями. Для задач с таким спектром эффективно применяется метод регуляризации С.А. Ломова (см. [25-43]). В настоящее время метод получает интенсивное развитие в работах С.А. Ломова и его учеников (см., например, [7,18,19,24,39-43,48,49,51,56-61, 63,37j). Этот метод оказался эффективным в сингулярно возмущенных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений в частных цроизводных, уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах. Столь широкие возможности метода объясняются тем, что для асимптотического анализа решений сингулярно возмущенной задачи в нем используется спектр предельного оператора. Поясним некоторые идеи метода регуляризации на примере линейной задачи Коши зс.е) £ - ЛсаогЛсос), = (O.I)

Здесь г = , = XX,. Л*) » ^ > 0 " малый пара" метр, матрица /1 сое) и вектор-функция К ОД предпологаются достаточно гладкими на рассматриваемом отрезке [о>а] . Задача (0.1) является типичной сингулярно возмущенной. Для построения асимптотического решения задачи (0.1) методом регуляризации выделяются существенно особые многообразия в решении задачи (0.1). Выделение существенно особых многообразий производится с помощью спектра } оператора .Я(ос") . Для этого вводятся следующие регуляризирующие функции ос.

V г ] V»« 'Ь1^ . -А „) Л Л,»,!), (0.2) О и вместо задачи (0.1) рассматривается задача

2(0,0,0^°. (0.3)

Связь задачи (0.3) с исходной сингулярно возмущенной задачей (0.1) состоит в том, что если Z=2(oe/t,£) - решение задачи (0.3), то его сужение цри -t=^Cx,£) является точным решением задачи (0.1)* В то же время задача (0.3) обладает тем преш^уществом, что решение предельной системы

0 = ZT - = Woe) <°-4> можно подчинить граничному условию jco,o) - 2°. Следовательно, решение задачи (0.3) можно искать в виде ряда pa i = о по неотрицательным степеням малого параметра в .

Регуляризация по спектру предельного оператора позволяет правильно учитывать существенно особые многообразия, входящие в решение исходной задачи. Получаемые с помощью такой регуляризации асимптотические ряды (регуляризованные асимптотические решения) обладают следующими важными свойствами. Регуляризованные асимптотические ряды не содержат секулярных членов типа f m е р , где t - ^/s у и поэтому в ряде случаев они могут сходиться в обычном смысле (см., например, [40 ] ). В последнем случае такие ряды являются обычными разложениями истинных решений рассматриваемой сингулярно возмущенной задачи в ряды по степеням малого параметра. Даже если регуляризованные ряды сходятся лишь асимптотически, то и в этом случае из них можно получить точное решение исходной задачи с помощью регулярных методов суммирования. Поясним этот факт на примере. Рассмотрим следующую скалярную задачу Коши: е г = J , гсо;£) = 1. (о.5)

Регулщдазованное асимптотическое решение этой задачи имеет вид ге*,£) = {е-^sole"** ,„*Ы!eVV^,,,}где -= - { f A s - - х (е^- i). О

Ряды в фигурных скобках сходятся только асимптотически. Применяя к ним метод суммирования Бореля (см., например, [54,55]), получаем, что оо ©О

НСос^Сэе^е.^о/е. s

-с/ос s

•^№.0 \ е • е ,

1-oUs о 0

После некоторых преобразований функция (0.7) примет вид

-(Л)}{i-l^Mi-0}, (0-8) что совпадает с точным решением задачи (0.5).

Развитие метода регуляризации на неизученные классы задач (нацример, на нелинейные сингулярно возмущенные задачи с быстрыми и медленными переменными) имело бы важное значение как для самого метода, так и для его цриложений. Именно этому воцросу посвящена настоящая работа. В [18,28,29] было построено регуляризованное асимптотическое решение скалярной нелинейной сингулярно возмущенной задачи. Общее развитие метода регуляризации для нелинейных систем, содержащих только быстрые переменные, было проведено В.§. Сафоновым (см. [58-61]). Некоторые нелинейные системы с быстрыми и медленными переменными рассматривались в работах [20,2l].

Перейдем к краткому описанию содержания диссертации. Работа состоит из трех глав, две из которых посвящены развитию метода регуляризации для асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных задач Коши с быстрыми и медленными переменными. В третьей главе с позиций метода регуляризации рассмотрена нелинейная ьфаевая задача.

Разработка алгоритма метода регуляризации на нелинейные задачи проводится по разному в резонансном и нерезонансном случаях. Напомним, что спектр {^Сэс), l=i7nj предельного оператора сингулярно возмущенной задачи является резонансным, если существуют целочисленные векторы ггЛ=Сп\,щг1 с ^иуу^щ^ч „ч ™ такие, что при некоторых iejl,^.,^ имеют место соотношения тА' -V ,., + пОиСос) 3C.eto,ai. (0.9)

Заметим, что мы рассматриваем лишь "тождественный" резонанс, т.е. такой резонанс, при котором резонансные мультииндексы ггЛ не зависят от occCo^aJ.

В первой главе метод регуляризации обобщается на следующую нелинейную сингулярно возмущенную задачу Коши: ii = где ) , - малый параметр, f^cx^y) , jг) , -fcp^y,-?) - некоторые нелинейные функции.

Для этой задачи разрабатывается алгоритм построения формального асимптотического регуляризованного решения. В § 3 главы I диссертации доказана асимптотическая сходимость полученного формального решения. Отметим, что в резонансном случае алгоритм метода регуляризации претерпевает существенные изменения, поскольку в этом случае точное решение задачи (0.10),(0.II) стремится при £ —-> +0 к некоторой функции ($, г ) , которая, вообще говоря, не является решением предельной задачи (получающейся из (0Л0), л.

0.II) при £ = О ). Вычисление предельного режима для задачи (0.I0),(0.11) цри наличии чисто мнимых точек спектра у one

-таратора представляет собой самостоятельную и, как нам кажется, нетривиальную проблему, так как в этом случае отсутствуют теоремы о предельном переходе типа теорем А.Н» Тихонова. Ранее С.А. Ломовым в линейном случае было показано, что при наличии чисто мнимых точек спектра решение возмущенной системы сходится к решению предельной системы слабо в (см. [зэ]). Обобщение метода регуляризации на указанный класс задач (проведенное в §§ 1-3) поз

С^ Z4 V

Ч ■> 2.) задачи (0Л0),(0.П) и уточнить понятие предельного перехода. Показано, что если в задаче (0.10),(0.II) отсутствуют резонансные соотношения вида = 0 , то решение этой задачи стремится к решению цредельной задачи (при £. —*> ■+ 0 ) следующим образом:

1) 2Сос,г) —>zcoc) слабо в «ДССо^ц, С") ;

2) —> у ^) сильно в С ? .

При наличии резонансов типа (тДсое.)) - о имеет место аналогичная сходимость, только не к решению цредельной задачи, а к решению другой задачи, получающейся из предельной "подцравлением" на резонансные слагаемые. Соответствующие теоремы сформулированы и доказаны в § 4 главы I.

В 1976 году С.А. Ломовым была высказана гипотеза о связи разрешимости в целом исходной сингулярно возмущенной задачи с разрешимостью в целом системы уравнений, получающейся из условий ортогональности в методе регуляризации. В.Ф. Сафоновым было установлено, что из разрешимости системы дифференциальных уравнений условий ортогональности на отрезке [о,аЗ следует существование ограниченного при £—->-»- 0 решения исходной сингулярно возмущенной задачи на этом отрезке. В нашей работе (см. § 4 главы I) показано, что справедливо и обратное утверждение. Таким образом, установлен следующий критерий разрешимости нелинейной сингулярно возмущенной задачи: исходная сингулярно возмущенная задача (0.10), (0. II) имеет на отрезке [о,а] ограниченное при £—> + 0 решение тогда и только тогда, когда на этом отрезке разрешима задача Коши, получающаяся из условий ортогональности метода регуляризации. Отметим, что исследование последней системы облегчается тем, что она получается в нормальной (по Брюно [з]) форме и не является сингулярно возмущенной (так как она вообще не содержит малого параметра).

Во второй главе рассматривается нелинейная сингулярно возмущенная задача Коши более общего вида:

Roc, у, г), =

0.12)

Lj'c: -Р С:*, у, г), где ,,,, , , у^) , £>0 - малый параметр, огеСо^а]; Rcc,y г) , - некоторые нелинейные функции.

При развитии метода регуляризации на указанный класс задач возникают определенные трудности при построении формальных решений и цри обосновании разрешимости соответствующих итерационных задач, связанные с тем, что условия ортогональности для произвольных функций, входящих в решение этих задач, приводят к более сложным системам дифференциальных уравнений, причем уравнения для различных произвольных функций становятся взаимосвязаны. Изучению этих вопросов посвящены §§ I и 2. Оцределенные трудности возникают и при исследовании асимптотических свойств полученных формальных решений и при доказательстве теоремы об оценке остаточного члена. Эти вопросы изучаются в § 3 главы 2. С помощью построенного асимптотического решения задачи (0.12) исследован вопрос о предельном переходе в этой задаче при наличии чисто мнимых точек спектра предельного оператора. Изучен вопрос о связи разрешимости в целом исходной сингулярно возмущенной задачи (0.12) с разрешимостью системы уравнений, получающихся из условий ортогональности метода регуляризации. Указанным вопросам посвящен § 4 главы 2. Отметим, что разработанный в этой главе метод был применен к. изучению одной конкретной задачи физики атмосферы (см. [82]).

Третья глава посвящена развитию метода регуляризации для асимптотического интегрирования нелинейной краевой задачи для системы (0.10) с краевыми условиями вида

РгСэс, е) £М zco,e) + N zа, £) = г% ^со, е) = ^ (0.13) где М = c=Jcag {I , 0} , |\JrJca^ ( 0, Iй ? ]s - единичная матрица размерности S .

В этом случае при исследовании разрешимости итерационных задач приходится изучать системы уравнений в частных производных (в том числе и нелинейные), по отношению к которым устанавливаются теоремы о нормальной и однозначной разрешимости. Отметим, что если доказательство теорем о нормальной разрешимости повторяет, по сути дела, аналогичные доказательства для задачи Коши, то доказательство теорем об однозначной разрешимости значительно усложняется наличием краевых условий (0.13). В работе приводятся условия, при которых итерационные задачи однозначно разрешимы в построенных пространствах решений.

Усложняется также доказательство теоремы об оценке остаточного члена. Основные трудности здесь возникают из-за наличия краевых условий (0.13) и чисто мнимых точек спектра у оператора Л сое) . Доказательство теоремы об оценке остаточного члена проводится с помощью теоремы Л.В. Канторовича (см., например, [15]), сформулированной применительно к сингулярно возмущенным задачам в работе [62].

Отметим, что проблемам качественного исследования решений сингулярно возмущенных краевых задач уделяется внимание многими математиками (см., например, [34,53,61,80]), поскольку такие задачи часто встречаются при решении прикладных проблем.

Результаты настоящей работы докладывались на всесоюзной школе "Методы малого параметра и их применение", посвященной 75-летию академика А.Н. Тихонова (г. Минск, 1982 г.), на научной конференции в МЭИ (1983 г.), на семинаре по теории сингулярных возмущений проф. Ломова С,А. в МЭИ, на семинаре по асимптотическим методам проф. Хапаева М.М. в МГУ.

Автор выражает своему научному руководителю профессору Ломову Сергею Александровичу искреннюю и глубокую благодарность за постановку задач, внимательное отношение и ценные советы.

1. ^itkko-f-f G.D. On 1. as^w^otu. eWouW of 4WO&A-Uon of еел4л.1п eolations, соиЬэапСмCL jpamme-le'x. . 1"сдп2>- flwiex. МЛ. s

2. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

3. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 252 с.

4. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в смешанных сингулярно возмущенных задачах для гиперболических уравнений. Матем. сб.,т. 104, № 3, 1977.

5. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными. Дифф. уравнения, т. 15, № 10, 1979, с. 1848-1862.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.

7. Валиев М.А., Ломов С.А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора.- ДАН СССР, 1977,236,№ I,c. 11-13.

8. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.- М.: Наука, 1973. 272 с.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях.- М.: МГУ, 1978, 108 с.

10. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром.УМН, 12, № 5, 1957, с. 3-122.

11. Волосов В.М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.- М.: МГУ, 1971. 507 с.

12. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике.- М.: Наука, 1971. 444с.

13. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.- М.: Наука, 1979. 431 с.

14. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространсвах.-М.:Наука, 1970. 536 с.

15. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.- М.: Наука, 1959. 684 с.

16. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: МИР, 1972.

17. Коддингтон З.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.:ИЛ, 1958.

18. Коняев Ю.А. Построение регудяризованной асимптотики для нелиной задачи Кош.- В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам. Фрунзе: Илим, 1975, с. 317-320.

19. Коняев Ю.А. Применение метода регуляризации к одной задаче теории нелинейных колебаний.- Тр. МЭИ, 1982, 537, с. II4-II7.

20. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы.- Дифф. уравнения, 1977, 13,№ 6, с. I008-I0I9.

21. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Асимптотическое решение одной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Куйбышев: Куйбы-шевск. гос. ун-т, 1979 , 5, с. 25- - 31.

22. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1967. 464 с.

23. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука, 1978. 280 с.

24. Ломов И.С. Регуляризация сингулярных возмущений по спектру предельного оператора.- Вест. МГУ, 1976, Л 3, с. 6-13.

25. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с малым параметром.- ДАН СССР, 1963, 148, & 3, с. 516-519.

26. Ломов С. А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярными возмущениями.-ИАН СССР, сер. матем., 1966, 30,№ 3, с. 525-572.

27. Ломов С. А. Об одном методе регуляризации сингулярных возмущений.- ДАН СССР, 1967, 177,№ 6, с. 1273-1276.

28. Ломов С. А. Построение асимптотических решений некоторых задач с параметрами.-ИАН СССР,сер. матем., 1968,№ 3,с. 884-913.

29. Ломов С.А. Асимптотические решения в критическом случае. -Тр. МЭИ, 1971, 89, с. 3-10.

30. Ломов С.А., Мягкова М.П. Однозначная разрешимость асимптотически корректных задач.- Тр. МЭИ, 1972, 146, с. 85-88.

31. Ломов С.А. Метод возмущений для сингулярных задач.- ИАН СССР, сер. матем., 1972, 36, с. 635-651.

32. Ломов С. А. Формализм неклассической теории возмущений. ДАН СССР, 1973, 2I2.B I, с. 33-36.

33. Ломов С.А. Математическое описание пограничного слоя в некоторых цростейших случаях.- МЭИ, 1974, 201, с. 79-94.

34. Ломов С. А. Теория возмущений сингулярных краевых задач.-Алма-Ата, 1976.

35. Ломов С.А. О сходимости асимптотических рядов.- Тр. МЭИ, 1975, 240, с. 91-96.

36. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование при изменении характера спектра.- МЭИ, 1978, 357, с. 56-62.

37. Ломов С.А., Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для систем со слабой нелинейностью в резонансном случае.- Матем. заметки,1979, 25, № 6, с. 871-889.

38. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование и метод Фурье.-Тр. МЭИ, 1979, 412, с. 84-88.

39. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981, 400 с.

40. Ломов С. А. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач.-ДАН СССР, 1982, 265,Л 3, с. 529-533.

41. Ломов С.А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач и метод регуляризации,- В кн.: Методы малого параметра и их применение, Минск, 1982, с. 45-48.

42. Ломов С.А., Стрижков В.А. .Метод регуляризации для сингулярно возмущенных нелинейных задач в резонансном случае.-В кн.: Методы малого параметра и их применение, Минск, 1982,с.90-91.

43. Ломов С.А., Стрижков В.А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спектра.- ДАН СССР, 1983 , 271,№ 6, с. I3I7-I320.

44. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения.- В кн.: Собр.соч.,т. 2, М.: АН СССР, 1956.

45. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев; Наукова думка, 1971. 440 с.

46. Мшценко Е.Ф., Розов НД. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.:Наука, 1975. 248 с.

47. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики.-М.: Наука, 1981. 440 с.

48. Мягкова М.П. Асимптотическое решение слабо нелинейной краевой задачи с вырожденным предельным оператором.- В кн.: Всесоюзная конференция по асимптотическим методам, чЛ, Алма-Ата; Наука, 1979, с. 88-90.

49. Мягкова М. П. Асимптотическое решение краевой задачи. -Тр. МЭИ, 1971, 89, с. 83-86.

50. Нгуен Тхе Хоан. Об асимптотическом поведении решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.- Дифф. уравнения, 1981, 17, J§ 4, с. 624-628.

51. Омуралиев А.С. Краевая задача для сингулярно возмущенных систем интегро-дифференциальных уравнений в критическом случае. В кн. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам, ч. II, Алма-Ата: Наука, 1979, с. II3-II5.

52. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных.- ИАН СССР, 1957, 21,№ 3, с. 605-626.

53. Разумейко Б.Г. Об асимптотическом поведении решения краевой задачи для линейного ОДУ с малым параметром.- Дифф. уравнения, 1971, 7, № II, с. 1998-2006.

54. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.-т. I, М.: Мир, 1977. 358 с.

55. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. -т. 4, М,: Мир, 1978. 428 с.

56. Рыжих А.Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осцилирующими коэффициента»®.- Тр. МЭИ, 1978, 357, с. 92-94.

57. Рыжих А.Д. Регуляризованные асимптотические решения слабо нелинейных задач с быстро осцилирующими коэффициентами.- Тр. МЭИ, 1982,566, с. II3-II8.

58. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных систем со слабой многочленной нелинейностью. -Тр. МЭИ, 1974, 201, с. 142-150.

59. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений. -ДАН СССР, 1977, 235,№ 6, с. 1274-1276.

60. Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений. ИАН СССР, сер. матем., 1979, 43,$ 3, с. 628-653.

61. Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенной краевой задачи со слабой нелинейностью. -Тезисы докладов Всесоюзной научной конференции "Современные проблемы радиотехники в народном хозяйстве**, МЭИ, Москва, 1977, с. 46.

62. Стрижков В.А. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными.- М., 1983, 18 с. Рукоп. предст. Моск. энергет. ин-том. Деп. в ВИНИТИ 13 июля 1983 г. $ 3899-83.

63. Территин Х.Л. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр.- Математика» 1957,ltJfc 2,с. 29-59.

64. Тихонов А.Н. 0 зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.- Матем.сб.,1948,22(64),с. 193-204.

65. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры цри производных.-Матем.сб., 1952,32(73), с.572-586

66. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического методаЛюстерника-Вишика.- УМН,1970,25,№ 4(154),с. 123-156.

67. Треногий В.А. Асимптотика и существование решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. ДАН СССР, 1963, 152,Я I, с. 63-66.

68. Федорш М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.- II: Наука, 1983. 352 с.

69. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.- Ташкент: ФАН АН УзССР, 1974. 216 с.

70. Филатов А.Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1976, 152 с.

71. Хапаев М.М. Об одной теореме типа Ляпунова.- ДАН СССР, 1967, 1766, с. 1262-1265,

72. Хапаев М.М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний.- Матем. заметки, 1968,3,$ 3,с. 307-318.

73. Хапаев М.М. Обобщение второго метода Ляпунова.- Дифф. уравнения, 1973,9,В II,с. 2020-2028.

74. Хапаев М.М. Проблемы устойчивочти в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.- УМН,1980,35,№ 1(211),с.127-170.

75. Хапаев М.М. 0 теореме А.Н. Тихонова для сингулярно возмущенных систем.- ДАН СССР, 1983,271,В 5.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М. :Шр,197Ф

77. Флэтто Л#, Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем.- Математика, 1958,2,№ 2, с. 61-68.

78. Фещенко С.В., Шкиль Н.И., Николаенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наукова думка, 1966. 252 с.

79. Рожков В.И., Панфилов Н.Г. Краевая задача для линейных систем с малым параметром при производной.- Дифф. уравнения, 1978, 14, & 10, с. I806-I8I3.

80. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем.- М.: Наука, 1979.

81. Дерягин Б.В., Кочергин А.В., Леонов Л.Ф., Стрижков В.А. Об особенностях пассивации парами ПАВ роста (или испарения) водяных пульсирующих капель.- В кн.: Всесоюзная конференция по аэрозолям. Ереван: ЕПИ, 1982, с. 98.