Метод регуляризации решения задачи связанного псевдообращения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.983.54

Ястребова Ирина Юрьевна Метод регуляризации решения

задачи связанного псевдообращения

(специальность 01.01.01 - математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург-2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор P.A. Шафиев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.П. Рязанцева, кандидат физико-математических наук, доцент М.А. Рекант.

Ведущая организация: Институт математики и механики Ураль-

ского отделения РАН.

Защита состоится 24 декабря 2003 года в_часов на заседании

диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете имени A.M. Горького по адресу: 620083, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, УрГУ, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан "_"ноября 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

доцент В.Г. Пименов

Общая характеристика работы

Актуальность представляемой диссертации. Под задачей связанного псевдообращения понимается задача нахождения нормального квазирешения одного линейного операторного уравнения в гильбертовом пространстве

Ах = у (1)

на множестве псевдорешений другого -

Вх = г. (2)

При отсутствии связей (2) (В = 0, ^ = 0) эта задача переходит в классическую задачу псевдообращения, то есть в задачу нахождения нормального псевдорешения уравнения (1). Известно, что классическая задача псевдообращения является абстрактной моделью многих некорректных задач, и ее исследование имеет давнюю и богатую историю. Фундаментальные результаты этих исследований нашли отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина; М.М. Лаврентьева; В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Танины: Ф.П. Васильева и многих других.

Таким образом, задача связанного псевдообращения является обобщением известной задачи, и поэтому ее изучение актуально для развития самой математики. Однако, этим ее значение не ограничивается. Как оказалось, многие содержательные некорректные задачи из различных областей знаний укладываются в рамки этой абстрактно сформулированной задачи, что делает ее изучение необходимым.

Впервые задача связанного псевдообращения поставлена в работе 1970 года японских математиков N. Мшагшс1е и К. Макапшга. В ней авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора, с помощью кото-

poro выписали точное решение задачи, и применили общие результаты к решению одной задачи из области оптимального управления.

В том же 1970 году к задаче связанного псевдообращения пришли В.А. Морозов и H.H. Кирсанова и для ее решения предложили регу-ляризирующий алгоритм, основывающийся на функционале А.Н. Тихонова, в котором стабилизирующая часть ||ж||2 заменена на \\Вх — z||2. Исследованию этого метода посвящена книга1) В.А. Морозова 1974 года и переизданная в 1987 году. Однако, применение метода регуляризации

B.А. Морозова ограничено требованием так называемой дополнительно-

\В~

сти операторов А и В, что для составного оператора Г = озна-

L А

чает существование на подпространстве R(Г) ограниченного обратного оператора Г-1. Это ограничение присутствует в работах других авторов: В.И. Мелешко, С. Джумаева, Б. Алиева, J.H. Härtung, L. Eiden,

C.W. Groetsch и т.д.

В ряде работ P.A. Шафиева, результаты которых вошли затем в его книгу2) 1989 года, построен и исследован двупараметрический метод регуляризации, применимый к задаче связанного псевдообращения без требования дополнительности операторов А и В. P.A. Шафиевым, в основном, рассмотрен операторный вариант этого метода; вариационный вариант двупараметрического метода регуляризации рассмотрен его учеником М.Я. Кугелем.

Тем не менее, в этих работах не решены все проблемы, которые обычно рассматриваются при изучении любого регуляризирующего алгорит-

В.А. Морозов. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. - 360 с.

P.A. Шафиев. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. - Баку: Элм, 1989. -

152 с.

ма. Например, не решена проблема выбора параметров регуляризации. Поэтому дальнейшее изучение этого метода, несомненно, представляет интерес.

Цель работы: исследовать вариационный двупараметрический метод регуляризации задачи связанного псевдообращения; решить проблему выбора параметров регуляризации; построить конечномерный регу-ляризирующий алгоритм.

Методика исследования широко использует аппарат теории псевдообращения, теории регуляризации, а также общие результаты функционального анализа и теории возмущений.

Научная новизна исследования заключается в следующих основных результатах диссертации:

- установлена сходимость метода регуляризации и его устойчивость в подклассе относительно ограниченных возмущений, в котором устойчиво вычисление псевдообратного оператора Г+;

- исследован вспомогательный регуляризирующий алгоритм, зависящий от одного параметра г, который является обобщением метода регуляризации В.А. Морозова из цитируемой выше его книги, при условии обобщенной дополнительности операторов А и В. В терминах составного оператора Г это условие означает существование ограниченного псевдообратного оператора Г+. Сформулированы и обоснованы принципы выбора параметра г из вспомогательного ре-гуляризирующего алгоритма, которые в частном случае дополнительности операторов А и В переходят в соответствующие результаты из книги В.А. Морозова. Получены также результаты, которые и в частном случае дополнительности операторов А и В являются

новыми и не содержатся в книге В.А. Морозова. Это исследование в бесконечномерном случае дифференциальных свойств функции-невязки и ее степеней и установление возможности применения метода Ньютона для приближенного решения скалярного уравнения, возникающего в процессе выбора параметра г по принципу невязки;

_ Пр6дЛОжен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации в двупараметрическом методе регуляризации. Сформулированы и обоснованы критерии последовательного выбора параметров регуляризации;

_ ПредЛОжена проекционная схема численного нахождения регуляри-зованных решений задачи связанного псевдообращения. Сформулированы и доказаны теоремы аппроксимации регуляризованных решений семейством конечномерных регуляризованных решений в случае точных и возмущенных данных;

- рассмотрено применение построенной теории к решению задачи оптимального управления с минимальными затратами энергии. Приведен пример решения задачи оптимального управления.

Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят вклад в теорию методов решения некорректных задач. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Полученные результаты могут быть использованы при решении экстремальных задач и многочисленных уравнений в частных производных, к которым сводится достаточно широкий круг прикладных задач.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссер-

тации докладывались:

- на научных семинарах кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (1998, 1999, 2002, 2003 г.г.);

- на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (1998-2003 г.г.);

- на IV, V, VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 1999, 2000, 2002 г.г.);

- на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2001 г.);

- на научном семинаре "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - проф. Ф.П. Васильев, доктор физ.-мат. наук A.C. Антипин, доц. М.М. Потапов) (2003 г.);

- на научном семинаре "Математическая теория оптимального управления" Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (руководители - проф. В.И. Сумин, проф. М.И. Сумин) (2003 г.);

- на научном семинаре кафедры прикладной математики Нижегородского государственного технического университета (руководитель -проф. И.П. Рязанцева) (2003 г.).

Основные результаты отражены в 13 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [2,6,9], выполнен-

ных в соавторстве с P.A. Шафиевым, личным вкладом диссертанта являются формулировки и доказательства теорем. P.A. Шафиеву принадлежат постановки задач, идеи доказательств основных теорем и общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 60 наименований. Материал диссертации изложен на 134 страницах.

Содержание работы

В диссертации предполагается, что А: X —>• У, В: X —>• Z - замкнутые линейные операторы с непустой общей частью областей определения D, всюду плотной в X, удовлетворяющие условию обобщенной дополнительности:

З7 > 0 : \\Ах\\2 +\\Вх\\2 >j2\\x\\2, Vx£Ü±. (3)

где D1 = D П (N(Ä) П N(B))±. В частности, если (3) выполняется для всех х £ D. то операторы Л и В называются дополнительными. Рассматривается задача связанного псевдообращения (основная задача): по уравнениям (1) и (2) требуется найти элемент ж*, удовлетворяющий условиям:

х* £ Argmin ||Вх — z\\ = Xi,

x£D

х* £ Argmin II Ах — у || = Л'(4)

x£Xi

x* = argmin ||ж||.

■Г(г Л" (

Для нахождения х* - нормального связанного псевдорешения уравнения (1) (решения основной задачи) рассматривается метод регуляризации, состоящий в построении семейства {хга}7 г, а > 0, решений вариационной задачи: Фга[хга ) = inf Фга(х),

x£D

/ \ и Ii о мл || о 1111O /\

Фга(^) = г\\Вх — z\\ +||Ах — у\\ +а||ж|| . (5)

Функционал (5) характеризуется более сложной связью с исходной задачей, чем функционал А.Н. Тихонова. В отличие от функционала А.Н. Тихонова, функционал (5) ни при каких значениях а и г не включает в себя задачу связанного псевдообращения. Положив в (5) а = 0, получим по существу регуляризирующий алгоритм В.А. Морозова, которым можно воспользоваться, если операторы Л и В дополнительные. Однако и здесь возможны ситуации, когда метод В.А. Морозова не применим. Это касается случая плохой обусловленности оператора Г. В этом случае следует использовать двупараметрический метод регуляризации подобно тому, как метод регуляризации А.Н. Тихонова используется в корректных, но плохо обусловленных задачах.

В случае приближенных данных Л/. В/,. ут. в диссертации предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

(6)

I\у - Ут\| < Г, \\г - г5\\ < 8, \\Atx - Ах\\ < t (||ж||2 + \\AxfY Уж е О {А), ||Вьх - Вх|| < к (||ж||2 + ||Вж||2)^ Уж е £>(В), = Щ, К) > 0: \\Агх\\2 + \\Вьх\\2 > 72|к1|2 Уж е

Известно, что при £ < 1 и /г < 1 операторы Л/ и В/, замкнутые с областями определения -О(Л^) = -О (Л), П(В},) = И (В). Поэтому, если ввести

Въ

возмущенный оператор Г = , то он оказывается определенным на

[At\

I), а условия аппроксимации операторов примут вид:

||Гж — Гж||2 < (¿2 + к2) (||Гж||2 + ||ж||2) , (7)

||Гж|| > 7||ж||, х £ ПП(М(Т))± = В1. (8)

Наряду с условием (7), предполагается выполненным условие "близо-

сти"сопряженных операторов:

||г*0 - < (¿2 + н2) (||Г^||2 + \\д\\2) Vд е В(Г). (9)

Известно, что "малость"возмущений (7) обеспечивает выполнение условия (8), если А^(Г) = {0}, и не обеспечивает, если А^(Г) ^ {0}. Таким образом, при выполнении условия дополнительности В.А. Морозова требование (8) излишне, оно выполняется всегда. При выполнении более общего условия (3) (8) вытекает из (7) при дополнительных ограничениях. Класс таких "малых"возмущений описан в главе I, § 1, п.З, и совпадает он с классом возмущений, обеспечивающим устойчивое вычисление псевдообратного оператора Г+ (см. замечания 6.1 и 6.2).

Перейдем к содержанию диссертации. Во введении обоснована актуальность темы, обозначаются направления исследования, дается краткая аннотация работы.

В главе I собраны сведения о псевдообратных операторах к замкнутым операторам, об их устойчивом вычислении в классе относительно ограниченных возмущений, и о связи с нормальными псевдорешениями уравнений. Следующие результаты главы I являются новыми.

Пусть I': X —О замкнутый линейный оператор, действующий между гильбертовыми пространствами X и 6г, и пусть область определения оператора II всюду плотна в X.

Теорема 1.2. Пусть Т: X ч> X линейный оператор такой, что оператор 11т = Г/д-(Г) + и*11} где Рм(и) ~ ортопроектор на N(17), имеет обратный. Тогда справедливо следующее представление псевдообратного оператора

и+д = Щ1и*д, Vд € В((иП*)+) П В(11*). (10)

Замечание 1.11. Если оператор U нормально разрешим, то представление псевдообратного оператора (10) определено для Уд £ D(U*) и может быть продолжено по непрерывности на все пространство G.

Вторая глава начинается с постановки задачи //-связанного псевдообращения. Установлены достаточные условия, а также необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи, найдены вид решений и вариационные равенства, характеризующие эти решения. Приводится п + 1-параметрический регуляризирующий функционал. Эти результаты обобщают соответствующие результаты из цитируемой выше книги P.A. Шафиева на случай замкнутых операторов.

При п = 1, то есть для задачи связанного псевдообращения (4), получены следствия:

Следствие 3.16. Решение основной задачи х*

1. существует и единственно при У у £ ) и ,; £ R(B) ф ЩВ)1; при

этом х* = B+z + (АРЩВ])+ (у - AB+z);

2. х* £ D1 и удовлетворяет соотношениям

(Вх* - z, Вх) = 0, (Ах* - у, APn(b)x) =0, Ух £ D,

Теорема 4.1. При любых а > 0 и любых г > 0 экстремали функционала (5) хга существуют и определяются однозначно.

Замечание 4.2. Искомые элементы хга лежат в I) .

В условиях (3), (6) и (9) доказана сходимость и устойчивость регуля-ризованных решений в норме графика оператора Г:

Теорема 5.1. Имеет место соотношение: \хга — х*\ —>• 0 при а —>• 0, г —>• оо, где \х\2 = ||Аж||2 + ||13ж||2 + ||ж||2.

Теорема 6.7. Если г —>• ос. д. т. t. h. n -4 0 п выполняется условие согласования rh + у/г6 —>• 0, то \хга — х*\ —>• 0.

В диссертации впервые рассматривается проблема алгоритмического выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации: параметр г выбирается из вспомогательного регуляризируюгцего алгоритма, зависящего только от параметра г; параметр а - из исходного алгоритма, в котором параметр г фиксируется выбранным значением.

Вспомогательный регуляризирующий алгоритм определяется на основе функционала

Fr(x) = г\\Вх - z\\2 + \\Ах - у\\2, г > 0, (11)

как метод, состоящий в аппроксимации х* семейством {хг} решений вариационной задачи Fr(xr) = inf Fr(x). Исследование этого метода

xgd1-

представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В.А. Морозовым в цитируемой выше его книге при более сильном, чем (3), ограничении дополнительности операторов А и В.

Вспомогательному регуляризирующему алгоритму (11) посвящена глава III диссертации.

Основное отличие метода (11) от метода, рассмотренного В.А. Морозовым, заключается в том, что при возмущении операторов возмущается не только функционал Fr(x), но и область В1: Fj>(x>p\ — Fipix^). СлбДОВЗ/ГбЛЬНО ^ Xf (iE В1, однако решение задачи (4)

XGD1-

х* £ В1. Потребовалось доказательство следующего предложения. Лемма 6.6. Для Ух £ (\/х £ Всправедливо неравенство

\\Qx\\ < c(t + h)\\x\\ {\\Qx\\ < с (t + h)\\x\\) i

где Q - ортопроектор на N(T), а с = 1 + ||Г+|| (с' = 1 + •

Эта оценка показывает, что та часть любого вектора из D-1, которая не лежит в I) . при f 0. h —0 сколь угодно мала. Этот центральный результат позволил перенести на метод (11) все, рассмотренные В.А. Морозовым, принципы выбора параметра регуляризации - это принцип невязки, обобщенный принцип невязки, принципы сглаживающего функционала и квазирешений.

Остановимся подробно на принципе невязки. Пусть х* - решение возмущенной задачи (4), аж*- решение задачи, аналогичной (4), но с измененным порядком следования уравнений. Пусть

jlB = \\Bhx* - zs||, vB = \\Bhx* - zs\\.

Установлены следующие свойства функции-невязки Лемма 8.1. Если /"),. < ¿>,.. то функция-невязка

p(r) = \\Bhxr - zs\\ (12)

непрерывна, строго монотонна на (0, +оо) и ее значения заполняют интервал (Дв, vB).

Выбор параметра гА по принципу невязки означает, что гА есть корень скалярного уравнения

р(г) = А, < А = Дв + hC + S < vB, (13)

где предполагаются известными числа //,. > /./,. и С радиус шара, содержащего х*. Доказана следующая

Теорема 9.3. Пусть параметр гА выбран по принципу невязки. Тогда имеем \хг — х*\ —>• 0 при А —цв.

Таким образом, практическая реализация выбора параметра гА по принципу невязки связана с вычислением корня уравнения (13) некоторым численным алгоритмом. В диссертации показано, что к вычислению корня уравнения (13) можно применить быстросходягцийся метод Ньютона.

С этой целью исследуются дифференциальные свойства функции-невязки (12) и ее степеней. При этом, так как обе пары операторов А, В и Аъ, Вь удовлетворяют идентичным условиям (3) и (8), то и свойства возмущенной функции р(г) и невозмущенной функции р(г) = ||Вхг — оказываются одинаковыми. Поэтому, для простоты, приведем результаты для невозмущенного случая.

Сначала рассматриваются вопросы дифференцирования регул яр! повинных решений хг по г. С помощью оператора Г,.: .V -> ^ х V = С и вектора у,- € О:

у/тВх у/гг

, 9г =

Ах у

регуляризованные решения записываются в виде:

хг = 17//,.. (14)

В (14), далее, используется представление псевдообратного оператора (10). Установлен следующий результат:

Лемма 10.2. Абстрактная функция хГ7 определенная равенством (14), дважды непрерывно дифференцируема в любой точке г > 0, причем

(1хг _ 1

дьт у/г г

Это позволило установить справедливость теорем:

Вхг — г 0

й2хг йг2

—Г+

Ф Г

^ахг (1г

о

Теорема 10.5. При любых г > О функция р(г) дважды непрерывно дифференцируема, р'{г) = -—dr р(г) — ■> и Р(г) ~ выпУклая вниз функция.

Теорема 10.6. Функция ps(r) при Vs > 0 убывающая выпуклая вниз функция, а при — 1 <•%•<() возрастающая выпуклая вверх.

Из этих результатов вытекает

Следствие 11.1. При .%• > — 1 и s ^ 0 для приближенного решения скалярного уравнения

\\Bxr-z\\s = As, s^O, (15)

эквивалентного невозмущенному уравнению (13), может быть применен метод Ньютона с любым начальным приближением 0 < г о < гА.

Лемма 11.2. Поправка на шаге метода Ньютона наибольшая при s = -1.

Возможность применения метода Ньютона для приближенного решения уравнения (15) рассмотрена В.А. Морозовым в цитируемой выше его книге лишь в конечномерном случае и при выполнении более сильного условия дополнительности операторов А и В.

В главе IV диссертации исследован исходный регуляризирующий алгоритм (5) с фиксированным г, сформулированы и обоснованы принципы последовательного выбора параметров регуляризации, рассмотрена проекционная схема численного нахождения регуляризованных решений основной задачи.

Зафиксируем г = f и перепишем функционал (5) в виде:

^га(х) = \\TfX — gf\\2 + а\\х\\2. (16)

Очевидно, алгоритм, состоящий в построении экстремалей функционала

(16), является методом регуляризации Тихонова вычисления регуляри-зованного решения (14) х? = 1 й/г основной задачи (4).

Рассматривая функционал (16) как частный случай функционала (11) ( Г,. = В. у,- = Л = I .у = 0. г = из общих результатов главы III получены следствия для метода регуляризации А.Н. Тихонова. Например, из леммы 8.1 следует, что функция

ф(а) = \\frXra - 9г\\ (17)

непрерывная, строго возрастающая на (0, +оо), а ее значения заполняют интервал (Д^, ||Дг||)5 где Д^ = ЦГ^ж^ — д?||. Приведем один из критериев выбора обоих параметров регуляризации.

Критерий (Д; ф): в качестве параметра г примем число гд, являющееся корнем уравнения (13); в качестве параметра а примем корень аа уравнения ф(а) = <т, где ф(а) определено в (17), Д^ < а < ЦД^Ц, а г = гд.

Доказано, что в случае выполнения условия < ув выбор параметров Гд и аа по критерию (Д; ф) осуществим и справедлива следующая

Теорема 13.1. Пусть параметры гА и аа выбраны по критерию (Д; ф). Тогда \хг а<г — х*\ —^ 0 при А —а —>• ДГд.

Отметим, что случай //,. = Vн не представляет для нас интереса, так

как тогда основная задача вырождается в классическую задачу псевдо-

( Ах = у,

обращения, а именно, в задачу решения системы уравнений < В

I Вх =

этом случае следует положить г = 1, а параметр а выбирать по любому из принципов выбора, используемых в методе регуляризации А.Н. Тихонова.

Для построения проекционной схемы численного нахождения регуля-ризованных решений основной задачи в предположении, что гильбертово пространство X сепарабельно, множество И аппроксимируется семей-

ством конечномерных пространств Dn:

1) Dn С D;

2) Vх £ D inf \х — и\ —У 0 при п —>• оо,

и£ Dn

и определяется оператор проектирования рп: D —>• Dn следующим образом: рпх = argmin \х — и\ Vх £ D. Найдены условия, при которых точки «е Dn

минимума xfa функционала (5), рассмотренного на Dn) аппроксимируют

регуляризоваппое решение хга.

Теорема 14.5. Если возмущенные данные удовлетворяют условиям

(6) и (9), а параметр г = г(п) —>• оо при п —>• оо выбран таким, что

выполняются условия согласования lim r(n)\xr(n\a — pn%r(n)aI — 0, то

n—teo к ' к '

тогда \хга — ¿га | —0 при п —>• оо, а-)0иг = г(тг).

В главе V предложенный метод регуляризации решения основной задачи и его конечномерный аналог применены для решения задачи оптимального управления. Рассмотрена линейная динамическая управляемая система

^ = W(t)x(t) + V(t)u(t), f„ < f < f,.

ПГ> ( ~t~ \ - nf

и функционалы платы

Ji(u) = (x(t1)-<f(t1), Р(х&)-<р&))),

h

J2(u) = j(x(t) - <p(t), Q(t)(x(t) - <p(t)))dt,

h

J(u) = J(u(t), R(t)u(t))dt,

tn

где \¥{{) - матричная функция порядка матричная функция

порядка V х ограниченные на [¿0, t1] функциями, интегрируемыми с квадратом, Р - положительная симметрическая матрица порядка V х I/, - симметрическая положительная ограниченная на [¿0, t1] матричная функция порядка симметрическая положительно определенная ограниченная на [¿0, t1] матричная функция порядка ц х а <£>(£) - заданная ¿/-мерная вектор-функция наблюдения.

Пусть Н\ - вещественное гильбертово пространство вектор-функций

из -^([¿о; ¿1]; со скалярным произведением, определенным равен-

Ч

ством: (и, у) = /(«(£), Д (£)?;(£)) сИ. В работе 1970 года японских ма-.

тематиков N. Minamide и К. Макатига поставлена следующая

Задача оптимального управления: найти элемент и0 £ Н\ такой,

Ци0) + (и0) < J(u) + 3<1 (и) для всех и таких, что Jl(u) = ^(и0).

В диссертации показано, что основная задача является математической моделью приведенной задачи оптимального управления, найдены вид операторов А и В и регуляризирующего функционала (5). Следствием теоремы сходимости основной задачи является следующая

Теорема 15.4. Экстремали ига{€) регуляризирующего функционала задачи оптимального управления однозначно определяются при Vа, г > 0, а при а —>• 0 и г —>• оо сходятся к и0(£) в норме пространства

Jí{uo) < Для всех «бЯц

Яц

о

Рассмотрена также проекционная схема решения приведенной задачи. Применение регуляризирующего алгоритма и его конечномерного варианта к решению задачи оптимального управления иллюстрируется на примере.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты, которые приведены в пункте "Научная новизна исследования".

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Ястребова И.Ю. Нормальное n-связное псевдорешение уравнения и регулярные методы его вычисления. // Н.Новгород, 1999. 19 с. Деп. в ВИНИТИ за № 3388-В99.

2. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. Проблемы устойчивости и выбора параметров регуляризации в задаче связанного псевдообращения. // Н.Новгород, 2000. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 954-В00.

3. Ястребова И.Ю. Выбор параметра в методе регуляризации L-псевдо-обрагцения // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых (математические и гуманитарные науки): Тез. докл. Часть I. Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. С. 64-65.

4. Ястребова И.Ю. Численный алгоритм выбора параметра регуляризации // Пятая Нижегородская Сессия молодых ученых. Математика и математическое моделирование. Тез. докл. Саров: Изд-во Сар-ФТИ, 2000. С. 25-26.

5. Ястребова И.Ю. Вычисление параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // Алгоритмический анализ неустои чи-

пых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф., Екатеринбург, 26 февр,-2 марта 2001 года. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001. С. 73-74.

6. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. О критериях выбора параметров регуляризации для задачи связанного псевдообращения // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 3. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2001. С. 66-78.

7. Ястребова И.Ю. Об одной задаче оптимального управления с минимальной затратой энергии // Шестая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., г. Саров, 13-17 мая 2001 года. Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2001. С. 118-119.

8. Ястребова И.Ю. Способ вычисления параметра регуляризации // Вестник математического факультета. Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2001. № 1. С. 89-96.

9. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации L-псевдообрагцения // Известия вузов. Математика, 2001. № И. С. 71-76.

10. Ястребова И.Ю. Конечномерная регуляризация задачи связанного псевдообращения // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 4. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2002. С. 57-60.

11. Ястребова И.Ю. Проекционный способ решения задачи связанного псевдообращения // Седьмая нижегородская сессия молодых уче-

ных (Математические науки): Тез. докл., 19-23 мая 2002 года. Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. С. 71-72.

12. Ястребова И.Ю. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // ЖВМ и МФ. - 2002. - Т. 42, № 10. - С. 1466-1474.

13. Ястребова И.Ю. Численная реализация регуляризирующего алгоритма // Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероссийской научно-практической конференции, 3-4 декабря 2002 г. - Н.Новгород: Из л-по НГПУ, 2002. - С. 159-161.

Введение.

Глава I. Вспомогательные понятия и предложения.

§1. Псевдообратный оператор.

§2. Задача псевдообращения.

Глава II. Задача связанного псевдообращения.

§3. Задача n-связанного псевдообращения: постановка и разрешимость.

§4. Регуляризованная задача n-связанного псевдообращения

§5. Сходимость регуляризованных решений.

§6. Устойчивость регуляризованных решений.

Глава III. Выбор параметра г из вспомогательного регуляризирующего алгоритма.

§7. Вспомогательный регуляризирующий алгоритм.

§8. Вспомогательные функции.

§9. Критерии выбора параметра регуляризации.

9.1. Принцип невязки

9.2. Обобщенный принцип невязки.

9.3. Принцип сглаживающего функционала.

9.4. Принцип квазирешений.

§10. Вспомогательная функция р{г): продолжение.

§11. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в принципе невязки.

Глава IV. Последовательный выбор параметров регуляризации.

Конечномерная аппроксимация вариационной задачи

§12. Общий регуляризирующий алгоритм при фиксированном г.

§13. Критерии последовательного выбора параметров регуляризации.

§14. Проекционный способ вычисления регуляризованных решений.•.

Потребности практики вопреки известному высказыванию Ж. Ада-мара привели к необходимости изучения некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение

Ах = у (0.1) с оператором Л, действующим между гильбертовыми пространствами

X и У, и необязательно непрерывным. По уравнению (1) требуется найти нормальное псевдорешение х: х е А^тт ||Лаг - у|| = ХА, е£>(Л) (0.2) х = а^тш ||а;||. хеХА

Если А+ - псевдообратный к оператору Л, то нормальное псевдорешение х = А+у, (0.3) и задачу его отыскания можно назвать задачей псевдообращения.

Не останавливаясь на истории вопроса, отметим, что одним из наиболее важных методов решения задачи псевдообращения является метод регуляризации Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (3) семейством {яа}, ос > 0, экстремалей функционала

Фа(х) = \\Ах-у\\2 + а\\х\\2. (0.4)

Теория методов регуляризации решения уравнения (1) хорошо развита и нашла отражение в монографиях А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [30], М.М. Лаврентьева [14], В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [11], Ф.П. Васильева [6], а также в работах [1], [5], [8], [15], [16], [21], [23], [26], [28], [32] и многих других.

Начиная с 1970 года, стали появляться практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), но неизвестная х - не произвольный вектор пространства X, а удовлетворяет некоторым линейным связям, которые можно описать с помощью другого линейного уравнения

Bx = z (0.5) с оператором В, действующим между гильбертовыми пространствами X и Z. По уравнениям (1) и (5) требуется найти элемент х*, удовлетворяющий условиям: х* в Argmin ||Вх — z\\ = Х\, xeD

X* е Argmin IIЛяг - y\\ = XA, (0.6) xeXi x* = argmin ||ж||, хбА'л где D - общая часть областей определения операторов Л и В. Эту задачу по аналогии с предыдущей будем называть задачей связанного псевдообращения, а ее решение х* нормальным связанным псевдорешением уравнения (1).

Впервые задача связанного псевдообращения (6) поставлена в работе [56] японских математиков N. Minamide и К. Nakamura. В этой работе авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора и с его помощью представили решение х* задачи (6) в виде, равносильном формуле я* = B+z + [АРЩВ))+(у - AB+z), (0.7) где РЩВ) ~ ортопроектор на ядро N(B) оператора В.

К задаче связанного псевдообращения независимо пришли также В.А. Морозов и H.H. Кирсанова в работе [24]. Их цель состояла в обобщении классической задачи псевдообращения: вместо второго условия в (2) они потребовали условие х = argmin || Вх — z ||, которое при В = I и z = 0 переходит в прежнее. Очевидно, что в постановке В.А. Морозова и H.H. Кирсановой нет определенности (единственности х) и для ее достижения на операторы А и В они накладывают так называемое условие дополнительности операторов:

37>0: ||Ла;||2+||Ва;||2>72|к1|2, Ух е D. (0.8)

К решению поставленной частной задачи связанного псевдообращения В.А. Морозов в [22] применяет метод регуляризации, используя функционал А.Н. Тихонова (4) с естественной заменой стабилизирующей его части на \\Вх — z||2.

Решению задачи связанного псевдообращения методом регуляризации посвящены работы ряда авторов [3], [10], [19], [25], [51], [53], [54], но во всех этих работах предполагается выполненным условие (8) дополнительности операторов Ли В. Принципиально новые результаты получены P.A. Шафиевым в работах [33], [35], [37] и других, которые вошли в монографию [36]. Главное достижение состоит в построении двупараметрического регуляризирующего функционала

Фга(х) = r\\Bx - z||2 + ||Ах - у\\2 + а||я||2, г, а > 0. (0.9)

При выполнении условия (8) в функционале (9) можно положить а = 0, при этом полученный таким образом функционал с точностью до параметризации совпадает с функционалом В.А. Морозова [22]. Кроме того, в [36] задача (6) обобщена на случай, когда имеется не одно уравнение связи (5), а п уравнений: требуется найти элемент х*, удовлетворяющии условиям х* е Ащтт\\Вкх - гк\\ = Хк, А; = 1,2,., п, Х0 = И, ж* € Агёгшп ||Ас - у\\ = ХА, (0.10) хехп х* = argшin ||а;||.

Ха

Эта задача называется задачей п-связанного псевдообращения, а ее решение х* - нормальным п-связанным псевдорешением уравнения (1). Построен п + 1-параметрический функционал, на базе которого исследован метод регуляризации решения задачи п-связанного псевдообращения.

В данной диссертационной работе продолжены исследования метода регуляризации решения задачи связанного псевдообрашения на основе двупараметрического функционала (9). Предполагается, что А: X —> У, В: X Z - замкнутые линейные операторы с непустой общей частью областей определения всюду плотной в X, удовлетворяющие условию обобщенной дополнительности:

3Т > 0 : ||Ас||2 + ||£г||2>72||я||2, Ух е Б1. (0.11) где I)1 = И П №(А) П АГ(Б))1. Вопросы разрешимости задачи, свойства решений, регулярный алгоритм решения в диссертации рассматриваются сразу для общей задачи п-связанного псевдообращения. Полученные для п-связанного псевдообращения результаты обобщают соответствующие результаты из [36] на случай замкнутых операторов (§§3 и 4). Вывод этих результатов основан на известных фактах из теории псевдообратных операторов и теории некорректных уравнений (глава I, §§1 и 2). Из общих результатов следует: при выполнении условия (11) задача связанного псевдообращения имеет единственное решение х* € И1 при любых у ЕУ и 2 £ Я(В)®ЩВ)1 (следствие 3.16); экстремали функционала (9) хга, г, а > 0, определяются однозначно при любых у иг, причем хга £ И1 (теорема 4.1, замечание 4.2). При выполнении условия (11) установлена сходимость рсгуляризованных решений: |жт — ж*| —> О при независимом стремлении а —> 0, г —оо, где |я|2 = ||Ас||2+ ||Вгс||2 + ||ж||2 (теорема 5.1). По-видимому, условие (11) является и необходимым для сходимости хга к х*, когда а —> О, г —> оо независимо. Без предположения (11) доказано: |жга — х*\ —> О при а —> 0, г -> оо и (аг)-1 —> 0 (теорема 5.3), что подтверждает высказанную выше гипотезу.

В случае, если известны приближенные данные задачи: Л/, В/1} ?/г, то предполагаются выполненными следующие условия аппроксимации:

Ъ-Ут\\<т, \\г — «¿И < 6,

ЦГя - Гх||2 < (¿2 + Л2) (И2 + ||Г*||2) Ух е Д ||Г*9 - Г# < (г2 + л2) (1Ы12 + Гз||2) Уд е я(г-),

Зт = т(<,й) > 0: |И,а;||2 + ||В,,а;||2>72||а:||2 Ух 5 где, как и прежде, Г)1 — ИГ\ (Ы^А^ П Ы{В}1))1' (см. замечание 6.1), а операторы Г: X Z х У и Г: X Z х У определяются равенствами: Вх В)хх

Гх = , Гх =

Ах Аъх

При выполнении условий (11) и (12) установлена устойчивость рсгуляризованных решений: \хга — х*\ —> 0 при а, <5, т, Ъ, —)■ 0, г —>• оо и выполнении условия согласования г И + у/г8 —> 0 (теорема 6.7).

В диссертации впервые рассматривается проблема алгоритмического выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации: параметр г выбирается из вспомогательного регуляри-зирующего алгоритма с использованием различных известных принципов выбора; параметр а - из исходного алгоритма, в котором параметр г фиксируется выбранным значением, и также с использованием известных принципов выбора параметра регуляризации.

Вспомогательный регуляризирующий алгоритм определяется на основе функционала

ВД = г\\Вх - г\\2 + \\Ах - у\\\ г > О, (0.13) как метод, состоящий в аппроксимации х* семейством {хг} решений вариационной задачи:

Гг(хг) = т£ РЛх).

Исследование этого метода представляет и самостоятельный интерес, так как он рассмотрен ранее В.А. Морозовым в [22] при более сильном, чем (11) ограничении (8).

Вспомогательному регуляризирующему алгоритму (13) посвящена третья глава диссертации, состоящая из пяти параграфов (§§7-11). Оказалось, что принципы выбора параметра регуляризации, рассмотренные в [22], - это принцип невязки, обобщенный принцип невязки, принципы сглаживающего функционала и квазирешений, - применимы и в этом более общем случае. Некоторые из принципов исследованы в случае точных данных, некоторые - при возмущенных данных (§§ 8 и 9). Далее, исследуются дифференциальные свойства функции-невязки р(г) = ||В®г-*|| и ее степеней. Для этого рассматриваются сначала вопросы дифференцирования регуляризованных решений хг по г. С помощью оператора Гг:Х->^х7 = С?и вектора дг Е (2:

У/гВХ — , дг —

Ах у/гг У регуляризованные решения записываются в виде: хг — Гг дг.

0.14)

Используя представление псевдообратного г+ = (д + г;ггг1г;> <э = р, теорема 1.2, замечание 1.11), установлена двукратная непрерывная дифференцируемость абстрактной функции (14) в каждой точке г > 0 и получены формулы лемма 10.2, следствие 10,3). Это позволило установить, что функция р(г) дважды непрерывно дифференцируема и рч(г) при > 0 убывающая выпуклая вниз функция, а при — 1 < я < 0 - возрастающая выпуклая вверх (теоремы 10.5 и 10.6). С помощью этих результатов установлено, что при 5 > — 1 для приближенного решения скалярного уравнения которое возникает при выборе параметра регуляризации по принципу невязки, может быть примемен метод Ньютона, причем при в = — 1 скорость сходимости метода Ньютона наибольшая (следствие 11.1, лемма 11.2). Результаты, касающиеся дифференциальных свойств функции р(г) и приближенного решения уравнения (15), остаются справедливыми и для возмущенного случая. В

Вхг - г\\8 = 5^0,

0.15)

Возможность применения метода Ньютона для приближенного решения уравнения (15) рассмотрена В.А. Морозовым в [22] лишь в конечномерном случае и при выполнении более сильного условия (8). Зафиксируем г = г и перепишем функционал (9) в виде:

Фг-а(х) = ||Гг-х-Ы|2 + ^Ц2. (0-16)

Очевидно, алгоритм, состоящий в построении экстремалей функционала (16), является методом регуляризации Тихонова вычисления ре-гуляризованного решения (14):

Xf — Yf gf задачи связанного псевдообращения (6).

После нахождения параметра f из вспомогательного алгоритма параметр а находится с помощью метода регуляризации Тихонова по принципу невязки или по принципу сглаживающего функционала. Свойства функций ip(a) = ||rfa;r-a - gf ||, ф(а) = ||rfzr-Q - 9f\\2 + <*lkfa||2 и, вообще, все нужные факты теории метода регуляризации Тихонова в диссертации выводятся из построенной в главе III теории для вспомогательного регуляризирующего алгоритма (§12). Критерии последовательного выбора параметров регуляризации формулируются и обосновываются в §13 главы IV.

Рассмотрена проекционная схема численного нахождения регуляри-зованных решений задачи связанного псевдообращения. Для этого множество D аппроксимируется семейством конечномерных пространств Dn и определяется оператор проектирования. Найдены условия, при которых точки минимума хМ функционала (9), рассмотренного на Ип, аппроксимируют регуляризованное решение хга. Эти результаты получены как в невозмущенном, так и в возмущенном случаях (теоремы 14.4 и 14.5).

В заключение отметим, что формулировки некоторых практических задач, абстрактной моделью которых служит задача связанного псевдообращения, можно найти в [53]. Одна из этих задач рассмотрена в [56]. Суть этой задачи состоит в том, что требуется найти управление системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которое за заданное время Т переведет эту систему из начального состояния х(Ь0) в состояние я^), ¿1 = £0 + Т, наименее уклоняющееся от заданной точки фазового пространства, и при этом минимизирующее энергетические затраты. Приведенное в [56] решение связано с обращением ряда операторов (см. замечание 15.3). В главе V диссертации эта задача решена методом регуляризации и его конечномерным аналогом. Приводится пример.

В диссертации принята следующая система нумерации. Нумерация параграфов в работе сквозная. Формулы в работе занумерованы двумя числами, разделенными точкой. Первое число в номере формулы - номер параграфа, в котором приводится данная формула, второе - номер формулы в параграфе. Во введении номер формул начинается с нуля. При ссылке на формулы внутри параграфа указывается только ее номер в данном параграфе. Нумерация определений, теорем, следствий, лемм и замечаний единая в параграфе и состоит из двух чисел, разделенных точкой. Первое число - номер параграфа, в котором сформулировано предложение, второе - номер предложения в параграфе. При ссылке на предложение указывается полный его номер.

Основные результаты диссертационной работы являются новыми и вносят определенный вклад в теорию методов решения некорректных задач. Они опубликованы в [38] - [50] и докладывались на Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (г. Екатеринбург, 2001 г.), на IV, V, VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки) (г. Саров, Нижегородская область, 1999, 2000, 2002 г.г.), на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета (19982002 г.г.), на научном семинаре кафедры математического анализа Нижегородского государственного педагогического университета (1998, 1999, 2002, 2003 г.г.).

Заключение

Подводя итог изложенному, сформулируем основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для задачи гс-связанного псевдообращения в случае замкнутых операторов в гильбертовых пространствах исследованы вопросы разрешимости, свойства решений, регулярный алгоритм решения. Установлена сходимость регуляризованных решений к нормальному связанному псевдорешению и их устойчивость в классе возмущений, рассматриваемых в работе.

2. Предложен алгоритм последовательного выбора параметров регуляризации в двупараметрическом методе регуляризации решения задачи связанного псевдообращения.

3. Исследован вспомогательный регуляризирующий алгоритм при условии обобщеной дополнительности операторов А и В. Сформулированы и обоснованы принципы выбора параметра г из вспомогательного регуляризирующего алгоритма.

4. Исследованы дифференциальные свойства функции-невязки и ее степеней в бесконечномерном случае. Установлена возможность применения метода Ньютона для приближенного решения скалярного уравнения, возникающего в процессе выбора параметра г по принципу невязки.

5. Сформулированы и обоснованы критерии последовательного выбора параметров в двупараметрическом методе регуляризации.

6. Предложена проекционная схема численного нахождения регуляризованных решений задачи связанного псевдообращения. Сформулированы и доказаны теоремы аппроксимации регуляризован-ных решений семейством конечномерных регуляризованных решений в случае точных и возмущенных данных.

7. Рассмотрено применение построенной теории к решению задачи оптимального управления с минимальными затратами энергии. Приведен пример решения задачи оптимального управления.

1. Агеев A.J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью: Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1997. 24 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Алиев Б. Об обобщенном принципе невязки для L-псевдообращений // Докл. АН ТаджССР. 1989. - Т. 32, № 3. - С. 147-152.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

5. Вайникко Г.М. Методы решения некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту, 1983. - 45 с.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. - 552 с.

8. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. - 261 с.

9. Гавурин M.K. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.- 248 с.

10. Джумаев С., Назимов А. Об одном способе приближенного вычисления квазирешений // Докл. АН ТаджССР. 1983. - Т. 26, № 4.- С. 195-198.

11. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

12. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

13. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

14. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АНСССР, 1962. - 92 с.

15. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

16. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. -702 с.

17. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Мн.: Наука и техника, 1981. - 343 с.

18. Мелешко В.И. Возмущения неограниченных замкнутых псевдообратных операторов //Дифференциальные уравнения. 1979. -Т. 15, № 4. - С. 681-694.

19. Мелешко В.И. Исследование устойчивых L-псевдообращений неограниченных замкнутых операторов методом регуляризации // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 5. - С. 921-935.

20. Мелешко В.И. Псевдообратные операторы и рекуррентное вычисление псевдорешений в гильбертовых пространствах // СМЖ. -1978. Т. 19, № 1. - С. 108-121.

21. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 215 с.

22. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 360 с.

23. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. - 319 с.

24. Морозов В.А., Кирсанова H.H. Об одном обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970. - Вып. 14. - С. 40-45.

25. Морозов В.А., Назимов A.B. К теории L-псевдообращения // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М.: МГУ, 1983. - С. 20-29.

26. Потапов М.М. Об устойчивом методе решения операторного уравнения при наличии ограничений // ДАН СССР. 1990. - Т. 313, № 6. - С. 1352-1355.

27. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 587 с.

28. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 157 с.

29. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. - Т. 151, № 3. - С. 501504.

30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986. 288 с.

31. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регу-ляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983. - 200 с.

32. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.- 229 с.

33. Шафиев P.A. К теории методов регуляризации Тихонова-Лаврентьева // ДАН СССР. 1985. - Т. 282, № 4. - С. 804-808.

34. Шафиев P.A. О многоэтапной лексикографической задаче. // Баку, 1986. 28 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 3266-В86.

35. Шафиев P.A. О регулярных методах вычисления L-псевдообратных операторов // ЖВМ и МФ. 1983.- Т. 23, № 3. С. 536-544.

36. Шафиев P.A. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. - 152 с.

37. Шафиев Р.А.,Кугель М.Я. О двупараметрическом методе регуляризации L-псевдообращения и принципе выбора параметров регуляризации // Изв.АН АзССР, Сер. физ.-техн. и мат. н. 1984. -№ 6. - С. 24-29.

38. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. О выборе параметров в методе регуляризации L-псевдообращения // Известия вузов. Математика. 2001. - № 11. - С. 71-76.

39. Шафиев P.A., Ястребова И.Ю. Проблемы устойчивости и выбора параметров регуляризации в задаче связанного псевдообращения. // Н.Новгород, 2000. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ за № 954-В00.

40. Ястребова И.Ю. Алгоритм вычисления параметра регуляризации в задаче связанного псевдообращения // ЖВМ и МФ. 2002. -Т. 42, № 10. - С. 1466-1474.

41. Ястребова И.Ю. Выбор параметра в методе регуляризации L-псевдообращения // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых (математические и гуманитарные науки): Тез. докл. Часть I. Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. -С. 64-65.

42. Ястребова И.Ю. Конечномерная регуляризация задачи связанного псевдообращения // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. Периодический сборник научно-методических работ. Выпуск 4. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2002.- С. 57-60.

43. Ястребова И.Ю. Нормальное п-связное псевдорешение уравнения и регулярные методы его вычисления. // Н.Новгород, 1999. 19 с.- Деп. в ВИНИТИ за № 3388-В99.

44. Ястребова И.Ю. Проекционный способ решения задачи связанного псевдообращения // Седьмая нижегородская сессия молодых ученых (Математические науки): Тез. докл., 19-23 мая 2002 года. -Н.Новгород: Изд. Гладкова О.В., 2002. С. 71-72.

45. Ястребова И.Ю. Способ вычисления параметра регуляризации // Вестник математического факультета. Н.Новгород: Изд-во НГПУ, 2001. - № 1. - С. 89-96.

46. Ястребова И.Ю. Численный алгоритм выбора параметра регуляризации // Пятая Нижегородская Сессия молодых ученых. Математика и математическое моделирование. Тез. докл. Саров: Изд-во СарФТИ, 2000. - С. 25-26.

47. Elden L. A weighted pseudoinverse, generalized singular values, and constrained least squares problems // BIT. 1982. - V. 22. - P. 487502.

48. Greville T.N.E. Note on the generalized inverses of a matrix product // SIAM Rev. 1966. - V. 3, № 11. - P. 518-521.

49. Groetsch C.W. Regularization with linear equality constraints // Lect. Notes Math. 1986. - № 1225. - P. 168-181.

50. Hartung J. A note on restricted pseudoinverses // SIAM J. Math. Anal. 1979. - V. 10, № 2. - P. 266-273.

51. Holmes R.B. Course on optimization and best approximation. Berlin: Springer-Verlag, 1972. - 233 p.

52. Minamide N. Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima // SIAM J. Appl. Math. 1970. - V. 19. -P. 167-177.

53. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. 1920. - V. 26. - P. 394-395.

54. Penrose R. On a generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. - V. 51, Part 3. - P. 406-413.

55. Petryshyn W.V. On generalized inverses and on the Uniform convergence of (/ — (5K)n with application to iterative methods // J.Math.Anal.Appl. 1967. - V. 18. - P. 417-439.

56. Wedin P. Perturbation theory for pseudo-inverses // BIT(SVER). -1973. V. 13, № 2. - P. 217-232.