Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.948

Танана Алексей Витальевич

ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Южно-Уральского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Л.Д. Менихес.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент А.Р. Данилин; кандидат физико-математических наук, доцент С.А. Рогожин.

Ведущая организация: Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Защита состоится : ^ i^J1 2004 г. в .iA^ часов на заседа-

нии диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу, 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, дом 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан nlCLn -utejU— 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К операторным уравнениям первого рода, не удовлетворяющим условиям корректности по Адамару, сводятся многие задачи геофизики, гидродинамики, физики твердого тела и других разделов естествознания.

Необходимость решения такого рода задач и непригодность для этой цели традиционных методов привели к созданию новых методов. Теория таких методов была заложена в основополагающих трудах академиков

A.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова.

На сегодняшний день эта теория нашла свое отражение во многих монографиях.

Разработкой и исследованием методов решение некорректно поставленных задач занимались многие математики: А.Л. Агеев, В.В. Арестов,

B.Я. Арсении, А.Б. Бакушинский, Г.М. Вайникко, В.В. Васин, В.А. Винокуров, А.В. Гончарский, А.Р. Данилин, A.M. Денисов, А.С. Леонов, О.А. Лисковец, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, В.Н. Страхов, В.П. Танана, A.M. Федотов, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола и др.

Так как в последнее время появилось большое число линейных и нелинейных некорректно поставленных задач, имеющих практическую ценность, но не удовлетворяющих условию единственности, то появилась необходимость расширения границ применимости известных методов и создания новых для решения такого рода задач.

Важность разработки и исследования методов решения вырожденных операторных уравнений отмечалась еще в известной работе В. К. Ивановал

Созданию методов решения вырожденных операторных уравнений посвящены работы А.Л. Агеева2, С.А. Рогожина, В.П. Тананы3, О.А. Лис-

4

ковца и др.

В данной работе продолжены исследования метода L-регуляризации, а также конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений.

'Иванов В.К. Линейные неустойчивые задач с многозначными операторами //Сиб. мат. журн., 1970, т. 11, N5, с 1009-1016.

3Агеев АЛ. Об одном регулярном алгоритме нахождения базиса ядра линейного оператора //ЖВМ и МФ, 1983, т. 23, N 5, с. 1041-1051.

'Рогожин С.А., Талана В.П. Оптимальный по порядку метод решения вырожденных операторных уравнений //Изв. вузов. Математика, 1988, N 5, с. 86-88.

4Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач //Минск: Наука и техника, 1981.

Цель работы. Разработка метода L-регуляризации и его конечномерных аппроксимаций применительно к решению вырожденных линейных и нелинейных операторных уравнений первого рода.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории некорректно поставленных задач и функционального анализа.

Научная новизна. Впервые сформулированы максимально общие в классе гильбертовых пространств необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций в методе Ь-регуляризации при решении вырожденных линейных операторных уравнений. Заметим, что впервые эти условия не используют дополнительные предположения об аппроксимирующих последовательностях операторов.

Для нелинейных операторных уравнений рассмотрен обобщенный метод Ь-регуляризации и первые найдены необходимые и достаточные условия его сходимости.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории некорректно поставленных задач, а также специалистами по вычислительной матечати-ке при разработке численных алгоритмов решения вырожденных операторных уравнений или плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, а также обратных недоопределенных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа Южно-Уральского государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Менихес Л.Д.) и на семинаре по некорректным задачам Института математики и механики УрО РАН (руководитель - член-корреспондент РАН Васин В.В), на конференции в рамках форума "Няука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия"(г. Челябинск, 1997 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(г. Челябинск, 2002 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав; изложена на 134 страницах. Список литературы содержит 102 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический экскурс в теорию некорректных задач.

Первая глава посвящена исследованию вопроса сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению линейного операторного уравнения

где u, / G H,' H — сепарабельное гильбертово пространство, а А - линейный ограниченный, вообще говоря, неинъективный оператор, отображающий H в Н.

Метод регуляризации приближенного решения уравнения (1) заключается в сведении его к вариационной задаче

inf{pU-7||2 + а||«Ц2 :«6Я}, а>0. (2)

Задача (2) разрешима единственным образом. Обозначим ее решение через

Метод конечномерной аппроксимации заключается в замене задачи (2) конечномерной

inf{||Л„« - 7„||2 + «NI2 : « € я„}, (3)

где Н„ - конечномерное подпространство H, а {Ап} — ограниченная последовательность линейных операторов, отображающих H В Н. Решение задачи (3) обозначим через иа{п).

Основной вопрос первой главы заключается в нахождении условий на последовательности обеспечивающих сходимость конечно-

мерных аппроксимаций йа(п) к йа при п —>• оо.

Пусть Hq — ортогональное дополнение до ядра кег(Л) оператора JI, M С Hq. и замыкание < M > линейной оболочки < M > множества М удовлетворяет соотношению

<~М >- H¿-, (4)

a L с H и

< L >— Н. (5)

Основное утверждение первой главы сформулировано в теореме 1.9. Теорема 1.9. Пусть множества L и M удовлетворяют условиям (4)

Для того чтобы для любых а > О, fu {/„} таких, что /п / выполнялись соотношения йа(п) иа и Апйа(п) —> Aïïa при п —> оо необходимо и достаточно, чтобы Ап и РпА'Л поточечно сходились к операторам А и А' на множествах M и L соответственно, где А' и А'п -

операторы сопряженные к А и Ап, а Рп - оператор ортогонального проектирования пространства Н на Нп.

Теорема 1.9 обобщает известный результат А.Р. Данилина5 на вырожденный случай, кроме того, в отличие от работы5 аппроксимирующие операторы Ап и конечномерные подпространства Нп связаны друг с другом, что более естественно. Отсюда следует, что даже в невырожденном случае необходимое условие поточечной сходимости А'„ к А' при п -¥ 00, используемое в работе,5, заменено более слабым условием РпА^, —> А' поточечно. В первой главе доказано, что для любой последовательности Ап существует последовательность {.Нп} такая, что условие: пРпА'п —> Л'поточечно" может быть опущено, так как оно автоматически следует из другого необходимого условия: пАп —> А поточечно".

Отметим, что при использовании подхода дискретной аппроксимации В.В. Васиным6 были найдены необходимые и достаточные условия сходимости дискретных аппроксимаций в случае невырожденного уравнения, близкие к условиям работы5.

Вторая глава посвящена вопросу сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению в случае вырожденного уравнения (1) с неограниченным (замкнутым) оператором А.

В первом и втором параграфах этой главы найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляри-зованному решению Эти результаты обобщают теорему 1 9 первой главы на случай неограниченного оператора А.

Третий и четвертый параграфы второй главы посвящены обоснованию сходимости конечномерных аппроксимаций в методе Ь-регуляризации.

Пусть II, О — гильбертовы пространства, Ь - инъективный линейный замкнутый оператор с областью определения 0{С) С II, В(Ь) — II и множеством значений Я(Ь) С С?, А - линейный замкнутый оператор с областью определения /?(Л) С II, О(А) Э и множеством значений

ША) С

Рассмотрим на скалярное произведение

= (Ьи,Ьу) : и, V € 0{Ь)

и обозначим ядро кег(.А) оператора А ч <#ор через

(6)

о ортогональное дополнение относительно скалярного произведения, определяемо-

5Данилин А Р Об условиях сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки //Изв вузов Математика, 1980, N 11, с 38-40

8 Васин В В , Сидоров А Ф О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений //Изв вузов Математика, 1983, N 7, с 13-27.

го формулой (б), а через Р - оператор ортогонального проектирования, относительно (6), многообразия D(L) на Hq. Предположим, что Hq С Но П D(L), а Hq С D(L). Кроме того, предположим существование числа di > 0 такого, что для любого и G Hq

pU|[ + IMI><filMI- (7)

Метод L ~ регуляризации7 заключается в сведении задачи приближенного решения уравнения (1) к вариационной задаче

inf{|H« - 7||2 + a||iu||2 : u € D(L)}, a>0. (8)

При выполнении условия (7) задача (8) разрешима единственным образом и ее решение ыа принадлежит Hq.

Теперь перейдем к аппроксимации L-регуляризованпого решения йа

Для этого введем последовательность {i/n} подпространств пространства U, А„ и L„ - линейные инъективные ограниченные операторы, отображающие Un в F и G, соответственно. Предположим существование числа О такого, что для любых п и и 6 Un

||Л.«|| + ||М1>^М. (9)

Рассмотрим вариационную задачу

inf{||4„u - 7„Ц2 + a||I„u||2 : u е (10)

Решение задачи (10) обозначим через йа{п) и назовем аппроксимацией L-регуляризованного решения tia.

Пусть X и У - гильбертовы пространства, а В и Вп - операторы, действующие из X в У.

Определение 1. Последовательность операторов {Д»} будем называть B-полной на множестве М С' D[B), если для любого х £ М найдется последовательность {х„} такая, что для любого п хп Е D(Bn), хп —> х и В„х„ Вх.

Основной результат этой главы сформулирован в теореме 2 9. Теорема 2.9. Пусть выполнены условия (8) и (9). Тогда для того, чтобы для любых значений / G R(A), а > 0 u /„ / выполнялись соотношения

иа(п) йа,

7Морозов В А , Кирсанова Н Н Об одном обобщении метода регуляризации //В кн Вычислит методы и программирование М : Изд во МГУ, 1970, вып 14, с 40-45

A."«(n) -> Lua Anüa{n) Лйа,

необходимо и достаточно, чтобы последовательность операторов {(i4n,Ln)} являлась (Л, L)-полной на Hq , а последовательность {/^(¿п1)'-^]} была (L~1)'РА'-полной на всюду плотном множестве Ф.

Здесь (L-1)', А'п - операторы, сопряженные i"1 и Л„, а Рп - оператор ортогонального проектирования U на Un. Этот результат является самым обшим среди близких ему результатов в классе гильбертовых пространств.

Третья глава посвящена приложению первых двух к интегральным и интегрооператорным уравнениям первого рода. В первом параграфе рассматривается уравнение

= JK(s, t)u(e)ds = /(<) (0 < t < 1),

в котором правая часть /(i) и решение u(s) принадлежат пространству непрерывно на квадрате Используя метод регуляризации, задачу приближенного решения уравнения (11) сведем к вариационной

XI 1

inf{/[/ K(S' ds ~ dt + a / "2(s)d3: !]}• (12) 0 0 o

Метод конечномерной к аппроксимации, уравнения (11) заключается в его замене системой линейных алгебраических уравнений

Применяя к системе (13) метод регуляризации, сведем ее к вариационной задаче

Задачи (12) и (14) имеют единственные решения йо и uQ(n).

Основной вопрос данного параграфа сводится к исследованию сходимости иа(п) к йа при п —> оо.

Приведем некоторые вспомогательные построения. Пусть Нп =< е^й), ег(5), , е2»(з) > - линейная оболочка, порожденная элементами

а Кп - оператор, определенный формулой

Кпи = I Кп(з,{)и{з)(1з, (16)

в когором и, К и е ¿2[0, 1], К„=КпМ при (г — 1)/2" < в < г/2", (з - 1)/2" < < < ]/2п, (17) /„ = рг(7, Я„) и Д(*) = £ при - 1)/2" < * < ЦТ,

Ь 7 — 1)2,...,2".

В новых обозначениях задача (14) эквивалентна следующей

тЯЦ^и - £||2 + а||«||2: и 6 Я„}. (18)

Решение задачи (18) обозначим через иа(п).

Теорема 3.1..Для того, чтобы имела место сходимость иа(п) кйа и Кпиа(п) к Кйа при п —> с», необходимо и достаточно, чтобы для любого Т п < г < 1 аглтпаияаиггл гпптипшриия

К„(з, Ь)<1з-У £ К(з, I) (¡в] ! Кп{з, £) (И -> J К{з,г)<Н. • (19) о о ■ о о

При доказательстве теоремы 3.1 существенно использован подход первой главы, заключающийся в зависимости конечномерных подпространств Нп от соответствующих возмущений Ап оператора А.

В работе приведена последовательность ядер Кп(з, £), удовлетворяющих условию (17), которая не сходится к ядру К(з,1) при п -> оо ни в одной из точек квадрата [0,1] X [0,1], но удовлетворяет условиям (19)

/

Во втором и третьем параграфах эти результаты распространены на ин-тегрооператорные уравнения первого рода, для которых доказана теорема, аналогичная теореме 3.1.

Четвертая глава посвящена обоснованию сходимости метода обобщенной L-регуляризации.

Пусть Н\, Н2 и Дз - сепарабельные гильбертовы пространства, А -оператор с областью определения D(A) С Я] и множеством значений Д(А) С #з> a L - оператор с областью определения D(L) С и множеством значений R(L) С i?2 такой, что D(A) П D{L) ф 0. Операторы А и L, вообще говоря, нелинейные.

Определение 2. Оператор А будем называть L-полузамкнутым снизу, если из того, что Аи„ /, где f £ а

Нт ||Lu„|[ < inf{||L«||: « € D(A) fl D(L), Аи = /} следует, что р(ип, М) -> 0 при г» —* 00, где М = {и : «6 £)(Л) П

од, Ли=7}.

Рассмотрим нелинейное операторное уравнение (1) и предположим, что при / = /о существует точное решение «о £ f)D(L), но вместо /о нам известны приближенное значение f¡ и уровень погрешности & > 0 такие, ЧТО ||/,-/o||<¿.

Требуется по исходной информации (/j, ¿) построить множество приближенных решений Mi, близкое к множеству Мц точных решений уравнения (1), такому, что

Метод обобщенной L-регуляризации заключается в сведении поставленной задачи к вариационной задаче (8).

Так как вариационная задача (8) при общих предположениях об операторах А и L может не иметь решения, то множество приближенных решений уравнения (1) определим формулой

= {В: 3 € D(A) П D(L), \\Ай - f¡\? + a\\Lüf < < inf[pu - /¡f + a||Lu||2: u б D{A) П D(L)] + e}, (20)

где е - достаточно малое положительное число.

Основной результат этой главы сформулирован в теореме 4.2.

Теорема 4.2. Для того, чтобы для любого /о € R{A) такого, что Л_1/0 П D(L) ф 0 имела место ¡3-сходимость приближенных решений к множеству точных решений Мо уравнения (1) при условии, что

а — £*(<$), £ = s(6) и a(S), е(<5), —--> 0 при 5 —» 0, необходимой

достаточно, чтобы оператор А был L-полузамкнут снизу.

Теорема 4.2 использована для обоснования сходимости приближенных решений обратной задачи фильтрации в неоднородном пласте без дополнительных предположений о гладкости коэффициента гидропроводности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций в методе L-регуляризации при решении уравнений первого рода с линейным неинъективным неограниченным оператором в гильбертовых пространствах.

2. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при решении интегральных и интегрооператорных уравнений первого рода в пространстве

3. Найдены необходимые и достаточные условия сходимости метода обобщенной L-регуляризации при решении нелинейных операторных уравнений первого рода в гильбертовых пространствах.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Танана А.В. О сходимости метода аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений //Сиб. матем. журн., 1999, т. 40, N 2, с. 443-454.

2. Танана А.В. Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций Т-регуляризованных решений вырожденных уравнений //Известия Челябинского научного центра. Выпуск 2(4), 1999, с. 1-5.

3. Танана А.В. Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций с неограниченным неинъективным оператором //Там же. Выпуск 2(4), 1999, с. 6-10.

4. Танана А.В. Об операторных топологиях, используемых в аппрокси-мационных методах //Там же. Выпуск 1(14), 2002, с. 5-7.

5. Танана А.В. О приближенном решении нелинейных операторных уравнений //Там же. Выпуск 4(21), 2003, с. 1-5.

6. Танана А.В. О сходимости аппроксимаций L-регуляризованного решения в вырожденном случае //МО РФ. Челяб. ун-та. Челябинск, 2002. Деп. в ВИНИТИ 20.03.02, N 511-В2002.

»120 2 2

7. Танана А.В. О сходимости метода аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений //В кн.: Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия, тез. докл. конф. Челябинск: ЧГ-ПУ, Изд-во "Факел", 1997, с. 29.

8. Танана А.В. Об операторных топологиях, используемых в теории аппроксимаций //В кн.: Алгоритмический анализ некорректных задач: Тезисы докладов. Всероссийской научной конференции (2-6 февраля 1998 г., г. Екатеринбург): УрГУ, 1998, с. 254.

9. Танана А.В. О сходимости аппроксимаций L-регуляризованного решения в вырожденном случае //В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели: Тезисы докладов международной конференции (2-4 февраля 2002 г., г. Челябинск): ЧелГУ, 2002, с. 103.

Подписано в печать 29.04.2004 г. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 0,8. Бумага «Гознак» Тираж 100 экз. Заказ №66

Отпечатано в типографии ООО «ИРАУТК»

620219, г. Екатеринбург, ул. К. Либкнехта, 42, к. 1103.

ВВЕДЕНИЕ

1 О СХОДИМОСТИ МЕТОДА АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУЧАЙ ОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА)

1.1. Основные понятия и определения.

1.2. Сравнение операторных топологий, используемых в аппроксимационных методах

1.3. Метод конечномерной аппроксимации

1.4. Сходимость конечномерных аппроксимаций в вырожденном случае.

1.5. Сходимость конечномерных аппроксимаций в невырожденном случае.

2 О СХОДИМОСТИ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ (СЛУЧАЙ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 46 2.1. Основные понятия и определения.

2.2. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению.

2.3. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций к £-регуляризованному решению в случае невырожденного уравнения

2.4. Условия сходимости аппроксимаций Ь-регуляризованного решения в вырожденном случае.

3 КОНЕЧНОМЕРНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Конечномерная аппроксимация интегральных уравнений на конечном отрезке

3.2. Аппроксимация интегральных уравнений типа свертки на действительной прямой.

3.3. Конечномерная аппроксимация интегро-операторного уравнения на конечном отрезке

4 О СХОДИМОСТИ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия и определения.

4.2. Небходимые и достаточные условия /^-сходимости £-регуляризованных решений к множеству точных решений нелинейного уравнения

4.3. О сходимости конечномерных аппроксимаций к L-регуляризованному решению.

4.4. О сходимости регуляризованных решений обратной задачи фильтрации.

Многие задачи математической физики, возникающие в приложениях, не являются корректно поставленными по Адамару [96], т.е. не удовлетворяют трем требованиям корректности: существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от исходных данных. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов, связанных с обращением оператора задачи.

Такие задачи получили название некорректно поставленные и ими математики долгое время мало интересовались, считая их неудачно поставленными и мало пригодными для практики.

Впервые практическая ценность таких задач была замечена А.Н. Тихоновым в известной работе [81]. Кроме того, в данной работе была отмечена важность правильной постановки некорректно поставленных задач как для их дальнейшего исследования, так и для решения.

В вопросах постановки некорректных задач, а также в создании теории специальных методов их решения основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н. [81-83], Лаврентьева М.М. [43, 44], Иванова В.К. [36-38]. Дальнейшее развитие теории некорректных задач было связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей Арсенина В.Я., Агеева А.Л., Бакушинского A.B., Бухгей-ма А.Л., Вайникко Г.М., Васильева Ф.П., Васина В.В., Винокурова В.А., Гончарского A.B., Гласко В.В., Денисова A.M., Дмитриева В.И., Леонова A.C., Лисковца O.A., Мельниковой И.В., Морозова В.А., Прилепко А.И., Романова В.Г., Страхова В.Н., Та-наны В.П., Федотова A.M., Чечкина A.B., Яголы А.Г. и многих других математиков. [1-31], [33-41], [43-50], [52-95] и [99-101].

К настоящему моменту теория некорректно поставленных задач стала одним из основных направлений современной прикладной математики, которое бурно развиваясь, находит все новые и новые приложения в естествознании и технике.

Состояние теории некорректных задач на сегодняшний день в какой-то степени отражено в известных монографиях Лаврентьева М.М. [43], [44], Тихонова А.Н. и Арсенина В.Я. [85], Лат-теса Р. и Лионса Ж.Л. 46], Иванова В.К., Васина В.В. и Та-наны В.П. [40], Морозова В.А. [59], Лаврентьева М.М., Романова В.Г. и Шишатского С.П. [45], Лисковца O.A. [47], Васина В.В., Агеева А.Л. [16], Вайникко Г.М. [11], Федотова A.M. [88], Тихонова А.Н., Гончарского A.B., Степанова В.В. и Яголы А.Г. [87], Иванова В.К., Мельниковой И.В. и Филинкова А.И. [41] и многих других. Все это говорит о зрелости соответствующего раздела математики.

Современную теорию некорректных задач можно условно разбить на три основных направления.

I. Исследование регуляризуемости задачи, т.е. ответа на вопрос о существовании хотя бы одного регуляризующего алгоритма или линейного регуляризующего алгоритма, если исходная задача линейна. Решение такого рода вопросов позволяет отсеять тот класс задач «абсолютно некорректных», за решение которых бесполезно браться, кроме того, данные исследования позволяют для некоторых «трудных» задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны этого явления, называемого некорректностью.

В известной работе Винокурова В.А. [20] было замечено, что далеко не все задачи регуляризуемы. Например, уравнение

Аи = /, Ae(U -+F) даже в случае линейного непрерывного оператора А, отображающего банахово пространство U в банахово пространство F нере-гуляризуемо, если U - несепарабельно, а F сепарабельно. Общая постановка проблем, связанных с этим направлением, и их решение принадлежит Винокурову В.А. и Менихесу Л.Д [20, 21].

Параллельно с решением вопроса о регуляризуемости данной задачи, т.е. о принципиальной возможности ее решения, встает вопрос о выборе, наиболее подходящего метода для ее решения. Круг этих вопросов может быть выделен во второе научное направление.

И. Построение специальных методов решения некорректных задач.

Основополагающие работы в этом направлении принадлежат Тихонову А.Н. [92], Лаврентьеву М.М. [43] и Иванову В.К. [36, 37] в которых были сформулированы основные принципы регуляризации, и предложены некоторые методы, исследование которых продолжается по настоящее время. Затем Бакушинским А.Б. в [8] был предложен один общий прием построения регуляризующих алгоритмов. Начиная с этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, которая заключалась в том, что для решения одной и той же задачи в арсенале имелось много методов для ее решения. Поэтому дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик для методов регуляризации и на их основе сравнение методов. Здесь одним из основных являлся вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого Ивановым В.К. [38] и Морозовым В.А. [57] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач. Затем в работах Иванова В.К. и др. [40] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые, дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило дать определения оптимального или близкого к нему метода, как наиболее точного. Первые исследования, связанные с построением оптимального метода и оценки его погрешности в общем случае, принадлежат Страхову В.Н. [67-69] , а для операторов дифференцирования Стечкину С.Б. [65] и Арестову В.В. [5].

На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие очень многие математики.

Параллельно с развитием оптимальных методов в теории некорректных задач появилась новая проблема, связанная с решением прикладных задач. Эта проблема заключалась в том, что оптимальные методы не давали нужного для практики решения, заглаживая его. Это привело к необходимости создания новых методов, позволяющих выявлять "тонкую структуру" решения. Создание этих методов было связано с использованием в них дополнительной априорной информации о решении.

Особенностью этого направления являлся тесный контакт с практиками и наличие значительного численного эксперимента. В этом направлении в качестве примеров можно отметить исследования некоторых физических задач в работах Иванова В.К., Васина В.В. и Тананы В.П. [40] и Васина В.В., Агеева А.Л. [16].

С численной реализацией методов решения некорректных задач на ЭВМ связано третье направление, в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом.

III. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов.

Практическая реализация основных методов решения некорректных задач таких как метод регуляризации Тихонова А.Н. [82], метод Лаврентьева М.М. [43], метод квазирешений Иванова В.К. [36] и метод невязки [38] невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ. Среди этих работ отметим [1], [3], [10], [12-19], [25], [27-29], [33], [40], [47], [53-55], [59], [70-77], [79], [80], [82], [87], [99-101] и многие другие.

Чтобы сохранить сходимость регуляризованных решений в первых работах по аппроксимации, таких как [19], [76] и др., возмущение исходного оператора при замене основной задачи конечномерной выбиралось очень осторожно. В этих работах было использовано равномерное возмущение оператора, но поскольку такого возмущения было недостаточно для обоснования большого числа проекционных и конечноразностных методов, то в [40] было введено понятие т-равномерного возмущения оператора и с его помощью обоснованы методы конечномерной аппроксимации. Дальнейшее развитие этого направления было связано с ослаблением т-равномерного возмущения, а также с использованием идей дискретной аппроксимации исходных пространств, что позволяло при переходе к конечномерной задаче не привязывать ее к исходным пространствам. Здесь следует отметить две известные работы Васина В.В. [12, 13].

В начале восьмидесятых годов появились две работы Тана-ны В.П., Данилина А.Р. [79] и Васина В.В. [17], в которых были найдены необходимые и достаточные условия на возмущения исходного оператора, обеспечивающие сходимость конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению. После появления в свет этих работ казалось, что все вопросы в теории конечномерных аппроксимаций сняты и можно в ней поставить точку. Но при дальнейшем развитии теории некорректных задач все большую роль стали играть задачи, имеющие неограниченный оператор и неединственное решение [49], [50], [37], [16], [94].

В связи с этим стали актуальными вопросы, связанные с формулировкой условий сходимости конечномерных аппроксимаций без предположений о единственности решения исходной задачи и ограниченности оператора.

Требования ограниченности оператора задачи были сняты в работах [54, 55] и [99-101] и сформулированы необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций при условии единственности решения задачи и неограниченности исходного оператора.

Исследованию вопросов сходимости конечномерных аппроксимаций к регуляризованному решению в условиях неединственности решения исходной задачи и посвящена настоящая диссертация.

Перейдем в краткому изложению содержания диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и библиографии, насчитывающей 102 наименование.

1. Агеев A.J1. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1991, т. 31, N 7, с. 943-952.

2. Агеев A.JL Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому /В кн. Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральск, ун-та, 1978, с. 3-5.

3. Апарцин A.C. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода методом квадратур //Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск, 1976, с. 79-82.

4. Апарцин A.C. Дискретизованные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений 1-го рода //Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск, 1987, с. 263-297.

5. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов дифференцирования //Матем. заметки, 1967, I, вып. 2, с. 149-154.

6. Арсенин В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т. 5, N 5, с. 922-926.

7. Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1968, т. 8, N 2, с. 310-321.

8. Бакушинский A.B. Один общий прием построения регуля-ризующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений вгильбертовом пространстве / /Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т. 7, N 3, с. 672-677.

9. Бакушинский А.Б. Некоторые вопросы теории регуляризу-ющих алгоритмов //Вычислительные методы и программирование. Вып. 12. М.: Изд-во МГУ, 1969, с. 56-79.

10. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. Тарту.: Изд-во Тартус. ун-та, 1976.

11. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту.: Изд-во Тартус. ун-та, 1982.

12. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1979, т. 19, N 1, с. 11-21.

13. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах //ДАН СССР, 1981, т. 256, N 2, с. 271-275.

14. Васин В.В. О /3-сходимости проекционного метода для нелинейных операторных уравнений //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, N 2, с. 492-497.

15. Васин В.В. Методы решения операторных уравнений с априорной информацией //Численные методы и оптимизация. Таллин, 1988, с. 70-80.

16. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993, 261 с.

17. Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений //Изв. вузов. Матем., 1983, N 7, с. 13-27.

18. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода //Матем. записки Уральск, ун-та, 1968, т. 6, N 2, с. 27-37.

19. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач //ДАН СССР, 1974, т. 215, N 5, с. 1032-1034.

20. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляри-зуемости по Тихонову //ДАН СССР, 1970, т. 195, N 3, с. 530-531.

21. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости //ДАН СССР, 1976, т. 229, N 6, с. 1292-1294.

22. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1987.

23. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Об одном регу-ляризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, N 6, с. 1592-1594.

24. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Обобщенный принцип невязки //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, т. 13, N 2, с. 294-302.

25. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Конечноразност-ная аппроксимация линейных некорректных задач //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1974, т. 14, N 1, с. 15-24.

26. Гончарский A.B., Ягола А.Г. Равномерная аппроксимация монотонных решений некорректных задач //ДАН СССР, 1969, т. 184, N 4, с. 771-773.

27. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т. 22, N 4, с. 824-839.

28. Данилин А.Р., Танана В.П. О сходимости проекционных методов //Матем. записки Уральск, ун-та, 1975, т. 9, N 4, с. 3-13.

29. Данилин А.Р., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т. 24, N 5, с. 633-639.

30. Джумаев С.К. К вопросу о дискретизации одного класса линейных уравнений //ДАН СССР, 1988, т. 302, N 4, с. 789-792.

31. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994, 208 с.

32. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Киев: Высшая школа, 1980.

33. Долгополова Т.Ф. Конечномерная регуляризация при численном дифференцировании периодических функций //Матем. записки Уральск, ун-та, 1970, т. 7, N 4, с. 27-33.

34. Домбровская И.Н., Иванов В.К. К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах //Сиб. матем.журн., 1965, т. 6, N 3, с. 499-508.

35. Иванов В.В., Кудринский В.Ю. Приближенное решение линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве методом наименьших квадратов //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, N 5, с. 831-841.

36. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах //ДАН СССР, 1962, т. 145, N 2, с.270-272.

37. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах //Матем. сб., 1963, т. 61, N 2, с. 211-223.

38. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, N 6, с. 1089-1094.

39. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами //Сиб. матем. журн., 1970, т. 11, N 5, с. 1009-1016.

40. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

41. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физ-матлит, 1995, 176 с.

42. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972, 496 с.

43. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.

44. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, НГУ, 1973.

45. Лаврентьев М.М. Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

46. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

47. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника, 1981, 343 с.

48. Лисковец O.A. Некорректные задачи с замкнутым необратимым оператором //Дифференц. ур-ия, 1967, т. 3, N 4, с. 636646.

49. Лисковец O.A. Регуляризация уравнений с замкнутым линейным оператором //Дифференц. ур-ия, 1970, т. 6, N 7, с. 1273-1278.

50. Лисковец O.A. Метод регуляризации для нелинейных задач с замкнутым оператором //Сиб. матем. журн., 1971, т. 12, N 6, с. 1311-1317.

51. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

52. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988, 310 с.

53. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева //Сиб. журн. вычисл. матем., 1998, т. 1, N 1, с. 59-66.

54. Менихес JI.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций методя регуляризации в ^-пространствах //Докл. РАН, 1998, т. 263, N 5, с. 599-601.

55. Менихес Л.Д., Танана В.П. О критерии сходимости аппроксимаций метода регуляризации //Сиб. матем. журн., 1999, т. 40, N 1, с. 130-141.

56. Морозов В.А. О псевдорешениях //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т. 9, N 6, с. 1387-1391.

57. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, N 1, с. 170-175.

58. Морозов В.А. О регуляризующих семействах операторов //Вычислительные методы и программирование. Вып. 8, М.: Изд-во МГУ, 1967, с. 63-93.

59. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

60. Морозов В.А., Кирсанова H.H. Об одном обобщении метода регуляризации //Вычислительные методы и программирование. Вып. 19, М.: Изд-во МГУ, 1970, с. 40-45.

61. Прилепко А.И. Об единственности определения формы тела по значениям внешнего потенциала //ДАН СССР, 1965, т. 160, N 1, с. 40-43.

62. Рекант М.А. Об одном классе решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Изв. вузов. Матем., 1980, N И, с. 77-79.

63. Рогожин С.А. Исследование методов решения вырожденных операторных уравнений /Дис. канд. физ.-мат. наук. Свердловск, 1987, 97 с.

64. Рогожин С.А., Танана В.П. Оптимальный по порядку метод решения вырожденных операторных уравнений //Изв. вузов. Математика, 1988, N 5, с. 86-88.

65. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов //Матем. заметки, 1967, т. 1, N 2, с. 137-148.

66. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

67. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве //Дифференц. ур-ия, 1970, т. 6, N 8, с. 1490-1495.

68. Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно-корректных задач //ДАН СССР, 1972, т. 207, N 5, с. 1057-1059.

69. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач //Дифференц. ур-ия, 1973, т. 9, N 10, с. 1862-1874.

70. Танана A.B. О сходимости метода аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений //Сиб. матем. журн., 1999, т. 40, N 2, с. 443-454.

71. Танана A.B. Об операторных топологиях, используемых в теории аппроксимаций /В кн.: Алгоритмический анализ некорректных задач: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург: УрГУ, 1998, с. 254.

72. Танана A.B. О сходимости метода аппроксимаций при решении вырожденных операторных уравнений /В кн. "Современные проблемы математики на кануне третьего тысячелетия": Тезисы докладов конференции. Челябинск: ЧГПУ, Изд-во "Факел", 1997, с. 29.

73. Танана A.B. Исследование сходимости конечномерных аппроксимаций с неограниченным неинъективным оператором //Известия Челябинского научного центра. Вып. 2(4), 1999, с. 6-10.

74. Танана A.B. Исследование сходимости конечномерных Т-регуляризованных решений вырожденных уравнений //Там же. Вып. 2(4), с. 1-5.

75. Танана A.B. Исследование операторных топологий используемых в аппроксимационных методах //Там же. Вып. 4, 2001, с. 1-5.

76. Танана В.П. Проекционные методы и конечноразностная аппроксимация линейных некорректных задач //Сиб. матем. журн., 1975, т. 16. N 6, с. 1301-1307.

77. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

78. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск: Изд-во Уральск, ун-та, 1987, 200 с.

79. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризованных решений //ДАН СССР, 1982, т. 264, N 5, с. 1094-1096.

80. Танана В.П., Штаркман A.A. О сходимости конечномерных аппроксимаций L-регуляризованных решений //Сиб. журн. вычисл. матем., 2000, т. 3, N 4, с. 395-403.

81. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач //ДАН СССР, 1943, т. 39, N 5, с. 195-198.

82. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //ДАН СССР, 1963, т. 153, N 1, с. 49-52.

83. Тихонов А.Н. О решении нелинейных интегральных уравнений //ДАН СССР, 1964, т. 156, N 6, с. 1296-1299.

84. Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода //ДАН СССР, 1965, т. 161, N 5, с. 1023-1026.

85. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974, 223 с.

86. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

87. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

88. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1990.

89. Хромова Г.В. О задаче восстановления производной //Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов: Труды симпозиума. Киев, 1969, кн. 5, с. 146-153.

90. Хромова Г.В. О регуляризации интегральных уравнений первого рода с ядром Грина //Изв. вузов. Матем., 1972, N 8, с. 94-104.

91. Худак Ю.И. О регуляризации решений интегральных уравнений первого рода //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1966, т. 6, N 4, с. 766-769.

92. Чечкин А.В. Специальный регуляризатор А.Н. Тихонова при решении обратной задачи //Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, т. 10, N 2, с. 453-461.

93. Чечкин А.В. Многопараметрическая регуляризация некорректных задач //ДАН СССР, 1980, т. 252, N 4, с. 807-810.

94. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые приложения. Баку: ЭЛМ, 1989.

95. Шолохович В.Ф. Об одном способе численного решения неустойчивых экстремальных задач //Изв. вузов. Матем., 1972, N 6, с. 92-100.

96. Hadamard J. Le probleme de Cauchy et les equations aux derives partielles leneaires hyperboliqu.es //Paris. Herman, 1932.

97. Kato T. Perturbation theory for linear operators. SpringerVerlag, New-York Jnk. 1966, 592 p.

98. Ky Fan, Gliksberg J. Some geometric properties of the spheres in a normed linear space //-Duke Math. 1958, v. 25, N 4, p. 553-568.

99. Menikhes L.D., Tanana VP., A convergence criterion for approximations in the residual method in Banach spaces //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997, vol. 5, N 3, p. 255-264.

100. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergense for approximation in the regularization method and Tikhonov regularization method of n-th order //Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 1998, vol. 6, N 3, p. 241-262.

101. Tanana V.P. A criterion of convergence of approximations. //Journal of Inverse and 111-Posed Problems, 1997, vol. 5, N 2, p. 1-12.

102. Tanana V.P. Methods for solution for nonlinear operator equations //"VSP" Utrecht, The. Netherland, 1997. 241 p.