Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ииа45ЭОЗО

На правах рукописи

Ключев Вячеслав Валерьевич

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ КВАЛИФИЦИРОВАННОЙ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2008

003459030

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций ГОУ ВПО «Марийский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Михаил Юрьевич Кокурин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сергей Игоревич Пискарев;

кандидат физико-математических наук, доцент Юрий Романович Агачев

Ведущая организация: Институт Математики и Механики

Уральского Отделения РАН, г. Екатеринбург

Защита состоится 4 февраля 2009 года в 16.00 на заседании диссертационного сооета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, аудитория 324.

С текстом диссертации можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан «30» декабря 2008 года

Ученый секретарь Совета Д 212.081.10 к. ф.-м. н., доцент

Евгений Константинович Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Итерационные методы аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах являются объектом интенсивных исследований на стыке теории приближений, вычислительной математики и функционального анализа. Растущий интерес к данной группе средств приближения стимулируется расширяющимися запросами теории и практики решения различных классов некорректных задач, в частности, обратных задач математической физики и анализа. Формализация возникающих на практике некорректных задач как правило приводит к уравнениям, операторы которых не обладают свойствами регулярности в парах пространств, естественных с точки зрения постановок этих задач. В нелинейном анализе к классу нерегулярных относят операторы, производные которых не являются непрерывно обратимыми в выбранной паре пространств; уравнения с такими операторами называются нерегулярными. Классические итерационные методы решения нелинейных операторных уравнений, такие как градиентный метод, метод Ньютона-Канторовича, метод Гаусса-Ньютона, в нерегулярном случае нереализуемы, либо не сходятся к решению. К настоящему времени для указанных методов построен обширный массив регуляризованных модификаций, обладающих свойством сходимости, однако скорость их сходимости существенно определяется характеристиками искомого решения. Последнее обстоятельство аналогично взаимосвязи между гладкостью приближаемой функции и качеством ее наилучших полиномиальных аппроксимаций, устанавливаемой классическими прямыми и обратными теоремами теории приближения функций.

До последнего времени основные усилия исследователей упомянутых методов имели целью конструирование различных условий на искомое решение, достаточных для сходимости вырабатываемых итераций к решению с той или иной скоростью. В качестве этих условий обычно выступают требования истокообразной представимости решения. Утверждения такого рода являются аналогами классических прямых теорем теории приближения функций. Значительно меньшее внимание уделялось выяснению вопроса о необходимости данных условий и связанному с ним вопросу о неулучшаемости получаемых оценок скорости сходимости. Подобные утверждения играют роль обратных теорем в теории итерационной аппроксимации решений нерегулярных уравнений. Наиболее полно в отношении необходимых и достаточных условий сходимости изучены итерационные методы аппроксимации решений нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве (А.Б.Бакушинский, М.Ю.Кокурин; H.W.Engl, M.Hanke, A.Neubauer; T.Hohage). Методика этих исследований существенно связана с наличием в гильбертовом пространстве исчисления самосопряженных операторов, удобные аналоги которого в произвольном банаховом пространстве отсутствуют. Указанное обстоятельство определяет актуальность настоящего исследования, посвященного установлению необходимых и достаточных

условий сходимости с различными скоростными характеристиками (квалифицированной сходимости) широких классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных уравнений с нерегулярными операторами в банаховом пространстве. В процессе исследования решаются две взаимосвязанные актуальные задачи: во-первых, известные в гильбертовом случае необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости обобщаются на случай нерегулярных уравнений в банаховом пространстве, и во-вторых — известные достаточные условия, гарантирующие сходимость с данной скоростью итерационных методов в банаховом пространстве, дополняются соответствующими необходимыми условиями. Параллельно решается задача пополнения теории итерационной аппроксимации решений нерегулярных уравнений в гильбертовом пространстве новыми необходимыми и достаточными условиями, относящимися к не изученным ранее классам оценок скорости сходимости.

Цель работы. Целью работы является получение необходимых и достаточных условий сходимости с данной скоростью для различных классов итерационных методов решения линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в банаховом и гильбертовом пространстве.

Методика исследования. Исследование проведено с использованием методов и результатов функционального анализа, связанных с исчислениями линейных операторов в банаховом и гильбертовом пространстве, с теорией полугрупп линейных операторов в банаховом пространстве, с теорией интерполяции банаховых пространств.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Впервые получены необходимые и достаточные условия сходимости с экспоненциальной скоростью для классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

- Получены необходимые условия степенной сходимости для классов итерационных методов решения нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве, близкие к ранее известным достаточным условиям такой сходимости. Тем самым впервые установлено, что ранее известные теоремы о скорости сходимости этих методов неулучшаемы в существенном.

- Получены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости для различных классов итерационных методов решения некорректной линейной задачи Коши в банаховом пространстве. В частности, известные в гильбертовом случае необходимые и достаточные условия логарифмической сходимости обобщены на случай банахова пространства.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории прибли-

жений в банаховом пространстве при изучении известных и штош. создаваемых итерационных процедур аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений. Практическая значимость работы заключается в том, что полученные в ней утверждения непосредственно применимы к большинству итерациошплх методов приближенного решения нерегулярных операторных уравнений, распространенных п вычислительной практике.

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором па итоговых научных конференциях Марийского государственного университета (2001-2008), па международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2002» (г.Казань), па тестой Казанской международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (2003), па международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (г.Казапь, 2004), па II Международной научной конференции «Современные проблем!,I прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007), на Шестой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтеиия-2007» (г.Казань), па научном семинаре кафедры м пори и функций и приближений КРУ (2008).

На защиту выносятся следующие результаты:

- Необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

- Необходимые условия выполнения степенной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве, близкие к ранее известным доста,точным условиям такой сходимости.

- Достаточные и близкие к ним необходимые условия выполнения логарифмической оценки скорости сходимости для класса итерационных методов решения некорректной линейной задачи Копш в банаховом про-страпст пе.

- Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости для класса копечпо-разпоотпых методов аппроксимации решения некорректной линейной задачи Коти I! банаховом пространстве.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 13 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты совместных работ, представленные в диссертации, получены автором.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, подразделенных па 16 параграфов, и заключения. Список цитированной литературы содержит 99 наименований. Общий объем работы - 127 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации, обосновывается актуальность работы и пкратце описывается ее содержание.

Глава 1 посвящена необходимым и достаточным условиям квалифицированной сходимости для классов итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных лилейных и нелинейных операторных уравнений в гиль-бертопом пространстве.

В §1.1 представлен класс исследуемых методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в гильбертовом пространстве, сформулированы известные утверждения, определяющие необходимые и достаточные условия выполнения степеттых и логарифмических оценок скорости сходимости этих методов. Пусть Aj, Á'2 — гильбертовы пространства. Рассматривается уравнение

Ах = /, / G R{A) (1)

с оператором А 6 L(Xi, Ху)- Через R(A) здесь и далее обозначается образ оператора А. Непрерывная обратимость А не предполагается, так что (1) относится к классу нерегулярных уравнений. Для аппроксимации решения х*, ближайшего к выбранному элементу £ 6 Х\, применима изпестпая параметрическая схема

ха = (Е — 0( Л\4, а).4* + Q{A*A, a)A*f, ае(0,а0]. (2)

Здесь Е — единичный оператор и пространстве Xi, порождающая функция © = ©(А, а) при любом а £ (0,с*о] измерима по Борелто па отрезке [О, ||ЛМ||2], а функция Э(А*А,а) понимается и смысле исчисления самосопряженных операторов. Приведены известные условия на начальную невязку х* — необходимые и достаточные для справедливости оценок ||xa — л*|( < С\ар (р > 0) пли Цха - х*\\ < С2(-1па)~р (р > 0). Здесь и далее в автореферате символ || ■ || используется для единообразного обозначения норм различных пространств. Наряду с (1) рассматривается уравнение

F(x) = о. leXj. (3)

Считается, что F : Xi —> Х2 — нелинейный оператор, действующий и паре гильбертовых пространств Xi,Xo-, и дифференцируемый по Фреше в окрестности £1ц(х*) = {у € Х\ : ||у — ж*|| < R} решения х* уравнения (3). Предполагается выполненным условие Липшица

||F'(x) - ПУ)\\ < L\\x - у\\ Vx, у 6 üR(x*). (4)

Нерегулярность уравнения (3) означает, что в любой окрестности решения а;* существуют точки х, для которых оператор F'*(x)F'(x) не является непрерывно обратимым. Исследуется известный итерационный процесс Хо € Х\,

*п+1 = i - - F'(xn)(xn - 0). (5)

получаемый применением схемы (2) к линеаризованному уравнению F(xn) + F'(xn){x -хп)=0. Здесь ап+1 € (0,a„],n G N U {0}; lim а„ = 0.

П-+00

Приведены примеры порождающих функций 0 для схем (2) и (5), соответствующие наиболее распространенным п вычислительной практике методам аппроксимации решений задач (1) и (3). Особое внимание в работе уделяется итерационным методам с порождающими функциями вида

е(А,о) = ( A"1(1_(1"Aff(A,)1/°)' (6)

I 9(0)а-1, А = О,

где а € {1,1/2.1/3...., 1/п,...}. В частности, рассматриваются простейшие явный и неявный итерационные методы, для которых соответственно д(А) = Но и д(А) = (А + цо)~1 (но > 0).

В §1.2 для схемы (2) установлены необходимые и достаточные условия, соответствующие не изучавшемуся ранее случаю быстрой (экспоненциальной по параметру а) сходимости приближений к решению. Получены условия па порождающую функцию 0, при выполнении которых имеют моею следующие утверждения.

Теорема 1.2.4. Пусть приближения ха получены по схеме. (2) и имеет место истокообразное представление

х* - £ G Я (ехр (-р(ЛМ)-1)), р> 0. Тогда справедлива оценка

|| je - х* || ^lex.p{-ky/pjä), а е (0,ao], k = k(Q). (7)

Теорема 1.2.5. Пусть для приближений ха, вырабатываемых схемой (2), справедлива оценка (7). Тогда имеет место истокообразное представление

x'-teR (exp(-fcv^HM)-1/2)J W G (0 ,р).

Условиям теорем 1.2.4 и 1.2.5 удовлетворяют многие методы аппроксимации решения уравнения (1), в т.ч. методы вида (2), (6).

В §1.3 изучаются необходимые и достаточные условия сходимости итераций (5) с экспоненциальной по ап скоростью. Полученные здесь результаты аналогичны теоремам из §1.2, относящимся к линейному случаю. При соответствующих условиях на функцию © справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.3.1. Существуют такие постоянные С3-С5. мвисящие. лигиь от Э и F. что если имеет место соотношение (4), приближения хп определены согласно (5) и выполняются условия

sup ( --;== ) = Г < ОО, (8)

neNu{0} Wan+1

¡ко - 1*11 ^ iexp(-fcVp/ao),

О < 1 ^ min ехр(-кгу/р), fiexp(fc\/p/Qo)},

.-г* - £ = exp(—p(F't(x*)F'(x*))~1)v, р > О, ®е Хь ||и|| ^ d =min {С\1ехр(-кг^р), C^L'1 ехр(-А:гч/р)} , rno справедлива оценка

||i„ -ж*К ¿exp(-fcVp/c^), n € N, fc = fc(0). (9)

Теорема 1.3.2. Пусть выполняются соотношение (8) и для приближений хп, вырабатываемых согласно (5), справедлива оценка (9). Тогда имеет место истокообразное представление

x*-teR (ехр (-fcv4F'V)FV))-1/2)) Vi/ е (О, р).

Условия теорем 1.3.1 и 1.3.2 выполняются для многих процедур вида (5), п том числе для процедур с порождающими функциями (б).

В §1.4 проводится обсуждение результатов главы 1 п сравнении с аналогичными известными утверждениями.

В главе 2 исследуются схемы аппроксимации решений нерегулярных линейных и нелинейных уравнений в банаховом пространстве, аналогичные (2) и (5). В §2.1 описапы исследуемые методы аппроксимации. Рассматривается уравнение

Л.г = /, / G X, (10)

где X — банахово пространство. Оператор А € L(X) пе предполагается непрерывно обратимым, так что уравнение (10) является нерегулярным. Для аппроксимации решения уравнения (10) применима общая схема

xa = {E-e{A,a)A)Z + Q{A,a)f. а€(0,ао]. (11)

Функции ограниченных операторов вида 6(Л, а), а £ (0, оц] в (19) понимаются в смысле операторного исчисления Рис.са-Дапфорда. Через R(X,A) = (АЕ — Л)-1 обозначаем резольвенту Л и полагаем А'(у?о). = {А € С\{0} : | arg А| < ^о} U {0}; Е - единичный оператор п X. Предполагается, что оператор А удовлетворяет следующему условию секториалыюсти.

Условие А. Для некоторого (Е (0,7г/2) имеют место соотношения

<7(Л)СА'Ы. УАес\А'Ы-

Пусть функция tp : С —> С апалитичпа в окрестности спектра о{А) оператора А, контур Г лежит н этой окрестности и окружает сг(А). Функция <р(А) S L(X) оператора А определяется равенством

= j <p(\)R(X. A)d\. (12)

г

В силу нерегулярности уравнения (10), получение оценок качества аппроксимации его решения приближениями (11) возможно лишь при наложении па искомое решение дополнительных условий типа требований повышенной гладкости. Рапсе в работах А.Б.Бакушипского и М.Ю.Кокурипа была исследована связт. условия истокопредставимости х* — £ € ЩЛ1'). р > 0 и скорости сходимости отдельных процессов (11) к решению х*. Было установлено, что для ряда методов вида (11) указанное включение влечет степенную оценку скорости сходимости ||ia — х*|| ^ С7ар,а S (0,«о], а из последней в свою очередь вытекает

x*-teR{A4) Vg S (0,р). (13)

Оставался открытым вопрос о необходимости соотношения (13) для выполнения упомянутой степенной оценки в случае итерационных методов аппроксимации (11) с порождающими функциями вида (6). Поскольку для функции ip(\) = Лр условия применимости формулы (12), вообще говоря, не выполняются. для оператора Aq в условии (13) используется представление Бала-кришпапа

ос

л„ = su^i J tß-^fE + Ay\AdL е (0 о

Для ц ^ 1 полагаю-! Aß = А^ ■ А([/г] есть целая часть [/, .4° = Е).

Второй объект исследования в главе 2 — методы аппроксимации решений нерегулярных нелинейных уравнений вида

F(x) = 0, х S X, (14)

где оператор F действует из банахова пространства X н X. Пусть х* — искомое решение уравнения (14). Считается, что F дифференцируем по Фреше в окрестности точки :г*, и в этой окрестности выполняется условие Липшица (4). Изучается следующая известная группа методов, получаемая линеаризацией (14) и применением к линеаризованному уравнению схемы (11):

.с„ € X, xv+l = f - e{F'(xn);an)(F(xn) - Г(х„)(хп - О)- (15) Здесь ап > 0, н £ N U {()}; lim ап = 0. Предполагается, что оператор

П—>00

А = F'(x') удовлетворяет условию А. Как и в случае линейного уравнения, для схем!)] (15) ранее были установлены необходимые и достаточные условия сходимости приближений со степенной скоростью, за исключением необходимых условий для случая итерационных методов с порождающими функциями вида (6). В §§2.2, 2.3 получены необходимые условия степенной (по q и а„) сходимости приближений (11) и (15) с такими порождающими функциями.

Основным результатом в §2.2 является следующее утверждение.

Теорема 2.2.1. Пусть при фиксированных Л,/,£ и заданного р > О выполняется оценка

||а:(п) - з*|| < С8п-р, (16)

где приближения ж'"' = ха, а = 1/п определены в (11), (6). Предполо-э/сиМ; что выполняется условие Л при <¿0 € (0,7г/4). Пусть также ра € (О, С9ЦЛЦ-1).. Сд в (о, (3 - л/25 - 16\/2)/2) в случае д(\) = р0 и р0 > О

произвольно в случае д(А) = (А + /хо)-1- Тогда начальная невязка допускает истокообразное представление

У9е(о,Р). (17)

Эта теорема дополняет следующее известное утверждение, устапавлива-ющее достаточное услопие выполнения (17).

Теорема 2.1.1. Пусть оператор А в (10) удовлетворяет условию Л и при некотором р > 0 имеет, место представление.

х*-$е ЩА"). (18)

1) Предположим, что 0 < р0 < Сю|И||-1, Сю € (0, гшп{1,2со8!£о})- Тогда для приближений х^ = хп, а = 1/п, определяемых (11), (6) с функцией д(А) = ро, справедлива оценка (16).

2) Пусть ро > 0. Тогда для приближений (11), (6) с функцией д(А) = (А + //о)-1 справедлива оценка (16).

Показатели степени оператора А в условиях (17) и (18) сколь угодно близки, поэтому необходимое услопие для выполнения оценки (16) близко к достаточному, а требование (18) не может быть существенно ослаблено. В то же время, уже и гильбертовом пространстве известны примеры, п которых услопие (18) не является необходимым для выполнения оценки (16). Таким образом, утверждения теорем 2.1.1 и 2.2.1 в существенном пеулучптаемы.

В §2.3 проведено аналогичное исследование для итераций (15) с порождающими функциями вида (6). Доказано следующее утверждение.

Теорема 2.3.1. Пусть выполняется соотношение (4), оператор Р(х*) удовлетворяет условию А при ро £ (0, тг/4), и аппрокглшациг1 решения уравнения. (Ц) строятся по схеме (15) с порождаюгцей функцией (6) при д(А) = ро или. при д(А) = (А + //о)-1- Еслгь для приближений {:г„} при п £ М, р ^ 1 имеет, место оценка ||.гп — х*|| ^ Сцп'р, то для любого <7 € (0, р) справедливо

Это утверждение дополняет ранее известный достаточный критерий х* — £ £ И.(Р'(х*)р) выполнения оценки ||а:„ — х*|| ^ С\\П~Р и устанавливает невозможность его существенного ослабления.

Более медленная логарифмическая скорость сходимости приближений к точному рептепшо естественным образом возникает в важном частном случае, представленном некорректной задачей Коши для абстрактного параболического уравнения. В §2.4 приводятся необходимые сведения о задаче Коши для абстрактного линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. Пусть А : D(A) С X —» X — замкнутый неограниченный оператор п банаховом пространстве X с областью определения /J(/l), плотной в X. Рассматривается уравнение

dj/^ + Mt)= 0 (19)

с начальным условием

2/(0) = уо е X. (20)

Под решением задачи (19), (20) понимается функция у : [0,Т] —» X, непрерывная па [О, Т], непрерывно дифференцируемая па (О, Т], удовлетворяющая уравнению (19) при t S (0,Т] и равенству (20). Известно, что если оператор А удовлетворяет условию А, то задача Коши (19), (20) корректна и ее решение имеет вид y(t.) = U(t)yo, t € [0,Т], где U(t) = exp(—tA) — аналитическая полугруппа линейных операторов, генератором которой является оператор (—Л). Если же в дополнение к уравнению (19) известно значение у(Т) = /. а требуется определить элемент и = j/(0), то приходим к некорректной задаче Копти

^■ = Ax(t), х(0 ) = /, (21)

= У(Т ~ t)-. t £ [0, Т1]. Последняя сводится к линейному нерегулярному операторному уравнению

Bu = f, В — ехр(-ТЛ). (22)

В §2.5 устанавливается достаточное условие логарифмической сходимости для класса методов аппроксимации (11) п применении к уравнению (22). Предполагается, что оператор А удовлетворяет следующему усиленному условию секториалыюсти.

Условие В. Существуют постоянные '-ро.фо € [0,7г/2) и а > 0 тате, что

<г{А) С {а € С : |ImA| ^ ReA > aj С К{у0)>

rj

и выполняется оценка ||Д(А, Л)|| ^ -р^ VA € C\K(¿o)-

При выполнении нежестких условий ira функцию Э, которым, в частности, удовлетворяют порождающие функции вида (6), справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.5.1. Пусть решение и* уравнения (22) таково, что имеет место истокообразное представление

и" - £ е R{A~P). (23)

Тогда для приближений иа, построенных по схеме

иа = (Е-в(В,а)В)£ + в(В,а)/, В = ехр(-ТА), аё(0,ао], (24)

имеет место оценка

||иа - и*|| < С13(-1па)-р Уа € (0,а0]. (25)

Включение (23) является аналогом условия логарифмической истокопред-стапимости ь* — £ = (— 1п В)~г'ь\ у Е X, которое ранее применялось для получения оценок вида (25) в случае гильбертова пространства X (T.Hohage и ДР-)-

В §2.6 с использованием методов теории интерполяции банаховых пространств устанавливается, что условие (23) близко к необходимому для выполнения оценки (25). Именно, при выполнении условия В и при соответствующих ограничениях па функцию 0, которым удовлетворяют, например, порождающие функции вида (6), установлена следующая теорема.

Теорема 2.6.1. Пусть приближения иа построены по схеме (24) и справедлива оценка (25). Тогда имеет место истокообразное представление.

и*-$бН(А-д) Удб (0,р).

Показатели степени оператора А в теоремах 2.5.1 и 2.6.1 сколь угодно близки, поэтому условие (23) практически является необходимым и достаточным для выполнения оценки (25).

В §2.7 показано, что если А является дифференциальным оператором высокого порядка, порождающим вместе с граничными условиями регулярно-эллиптическую задачу, то условие (23) эквивалентно требованию принадлежности элемента, у{0) — £ подходящему пространству типа Соболева -Бесова. Приведены условия па коэффициенты дифференциального оператора А, при выполнении которых реализуются условия теорем из §§2.5 и 2.6.

В §2.8 проводится сравнение резулт.татов главы 2 с аналогичными известными результатами других авторов.

Глава 3 посвящена исследованию необходимых и достаточных условий сходимости еще одного класса итерационных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши. В основе конструкции этих методов лежит техника разностной аппроксимации уравнения по времени.

В §3.1 описан класс конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши (21), где общие требования па оператор А те же, что и в §2.4, условие секториальиости принимается в виде условия А. Предполагается, что для данного элемента / существует решение х = х(£) задачи Коши (21) в указанном выше смысле. Рассматривается следующий

класс разностных схем аппроксимации функции х — х(Ь), I € [О, Т]:

к к т ^ = Д£ 0 ^ п < N - к, дг = —;

Хо = XI = . . . = Хк-\ = /■

Здесл. Л7, /с е N. а а„, /?„ (0 ^ и ^ к) — вещественные параметры, выбор которых определяет конкретную разностную схему. Первые исследования методов аппроксимации вида (26) были выполнены С.Г.Крейпом, О.И.Прозоровской, А.Б.Ва.кушипским в 60-70-х годах прошлого пека, впоследствии эти исследования были дополнены результатами Н.Ю.Бакаева, С.И.Пискарепа и других авторов. Схемы (26) получаются формальным применением к бесконечномерной задаче (21) известной процедуры конструирования копечтто-ра.зпостпых методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциал г,пых уравнений. Параграф завершается выводом необходимых интегральных представлений решения х = .т(£) и приближений хп и :г(пД?), к ^ п ^ N.

В §3.2 устанавливаются условия, достаточные для выполнения различных оценок скорости сходимости приближений хп к точному решению. При выполнении ряда условий на коэффициенты схемы (26) и на свойства задачи (21) справедливы следующие утверждения.

Теорема 3.2.1. Пусть приближения к решению х(£), t £ [О, Т] задачи (21) строятся по схеме (26) и имеет место истокообразное представление.

х{Т) е Я(Л"Р), р> 0.

Тогда справедлива оценка

||.г„ - ,г(гаД£)|| ^ Сц(— 1п Д£)~р; 0 ^ п ^ N - 1. Д/ <Е (О.г).

Теорема 3.2.2. Предположим, что приближения к решению .е(£) задачи (21) па отрезке [О, Т] строятся по схеме (26) и решение (21) существует на отрезке [0, Т]]; где Т\ > аТ (а > 1). Тогда для. любого ц £ (0, р) с величиной р, зависящей от коэффициентов в (26) и величин Т. 7\, имеет .место оценка

И*,, - .т(пД£)II «С С15(Д0?; о ^ п N. д/. 6 (0, с). (27)

Постоянная ('и, = С'^д) не зависит от га, Д£.

В §3.3 с использованием техники интерполяции банаховых пространств доказывается утверждение о необходимых условиях выполнения оценки (27).

Теорема 3.3.1. Пусть приближения к решению задачи (21), определяемые согласно (26), удовлетворяют, оценке (27) с некоторым д £ (0, 1). Тогда имеет место включение

X(Т)ед(д-?) Ще (о,<?).

В §3.4 обсуждаются результаты главы 3. Отмечается, что реализации схемы (26) приводят к различит,im мультипликативным представлениям решения х = х(1) некорректной задачи (21), аналогичным представлению Поста-Уиддера х(£) = lim [f R (f, А)]"/, имеющему место в корректном случае.

В заключении перечислены результаты работы, пыпосимые ira защиту.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кокурип, М.Ю. Необходимые условия сходимости с данной скоростью итерационных методов решения линейных некорректных операторных уравнений в банаховом пространстве/ М.Ю. Кокурип, В.В. Клточев // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2002. - Т.5, №4. - С.295-310.

2. Кокурип, М.Ю. Необходимые условия степенной сходимости одного класса итерационных процессов для нелинейных некорректных операторных уравнений в банаховом пространстве / М.Ю. Кокурип, В.В. Ключей // Вычислительные методы и программирование. - 2002. - Т.З, раздел 1. - С. 93109. (http:/www.srcc.msu.su/num - meth/)

3. Клточев, B.B. Об одном классе методов решения обратной задачи Копти для абстрактного параболического уравнения / В.В. Клточев // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т.18. Лобачевские чтения -2002: Материалы международной молодежттой научной тпколы-копферепции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С.42-43.

4. Ключей, В.В. Необходим!,те и достаточные условия экспоненциальной сходимости класса итерационных методов для нерегулярных уравнений / В.В. Ключев, М.Ю. Кокурип // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 19. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы шестой Казанской международной летней школы-конференции. - Казань: Изд-во КГУ, 2003. - С.119 120.

5. Кокурип, М.Ю. О логарифмических оценках скорости сходимости методов решения обратной задачи Копти в банаховом пространстве / М.Ю. Кокурип, В.В. Ключев// Известия вузов. Математика. - 2004. - №3. - С.73-75.

6. Клточев, В.В. Необходимое условие медленной сходимости класса методов решения обратной задачи Копти в банаховом пространстве / В.В. Клточев// Труды Математического центра имени Н.И.Лобачепского. Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной научной конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2004. - С.140-141.

7. Ключев, В.В. О необходимых условиях медленной сходимости класса методов решения обратной задачи Коти в банаховом пространстве / В.В. Ключев// Известия вузов. Математика. - 2005. - №8. - С.78-81.

8. Бакупшиский, A.B. Об оценке скорости сходимости и погрешности разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Копти в банаховом пространстве / А.Б. Бакупгипский, М.Ю. Кокурип, В.В. Ключев // Вычислительные методы и программирование. - 2006. - Т.7. - С.163-171.

9. Ключев, В.В. Необходимые и достаточные условия логарифмической сходимости методов решения обратной задачи Коши в банаховом пространстве / В.В. Ключев // Тихонов и современная математика: Обратные и некорректно поставленные задачи: Международная конференция, Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-25 июня 2006 г.: Тез. докл. секции №-4. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им.М.В. Ломоносова, 2006. - С.36-37.

10. Kokurin, M. Necessary and sufficient conditions for logarithmic convergence of regularization methods for solving inverse Cauchy problem in Banach space / M. Kokurin and V. Kljuchev // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2006. - V.14, №5. - P.481-504.

11. Ключев, В.В. Необходимые условия квалифицированной сходимости разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве / В.В. Ключев // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Материалы II Международной научной конференции. - Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия», 2007. - С.94.

12. Ключев, В.В. Об условиях квалифицированной сходимости класса разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве / В.В. Ключев // Труды Математического центра им. Н.И.Лобачевского. Т.36. Лобачевские чтения - 2007: Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, издательство Казанского государственного университета, 2007. - С.107-109.

13. Кокурин, М.Ю. Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости конечно-разностных методов решения некорректной задачи Коши / М.Ю. Кокурин, В.В. Ключев / / Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения В.К. Иванова, Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года. - Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2008. - С.213-214.

Лицензия ИД № 06434 от 10 декабря 2001 г.

Подписано к печати 18.12.2008 г.Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1.0. Тираж 100. Заказ № 3358.

Отпечатано в ООП ГОУВПО «Марийский государственный университет» 424001, г.Йошкар-Ола, пл Ленина, 1.

Введение.

1 Скорость сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве

1.1 Классы методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

1.2 Прямые и обратные теоремы для итерационных методов решения нерегулярных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве

1.3 Прямые и обратные теоремы для класса методов аппроксимации решений нерегулярных нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

1.4 Обсуждение результатов главы 1.

2 Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве

2.1 Класс методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве.

2.2 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения линейных уравнений в банаховом пространстве.

2.3 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения нелинейных уравнений в банаховом пространстве.

2.4 Задача Коши для линейного операторного дифференциального уравнения первого порядка.

2.5 Логарифмическая сходимость методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве.

2.6 Обратная теорема для класса методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве.

2.7 Реализация условий истокопредставимости.

2.8 Обсуждение результатов главы 2.

3 Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости класса конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве

3.1 Класс конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве.

3.2 Оценка скорости сходимости конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши.

3.3 Необходимые условия сходимости класса конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши.

3.4 Обсуждение результатов главы 3.

В работе исследуются итерационные схемы аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. Пусть F : Х\ —> Х2 — нелинейный оператор, Xi,X2 — вещественные или комплексные гильбертовы или банаховы пространства. Рассмотрим уравнение

F(x) = 0, же Хъ (1)

Считаем, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение х*. Предполагается, что оператор F является дифференцируемым по Фреше в окрестности точки ж*, а его производная F'(x) в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица. Важнейшей качественной характеристикой уравнения (1), определяющей выбор методов численной аппроксимации ж*, является регулярность данного уравнения. На протяжении работы регулярность задачи (1) и соответствующего оператора F понимается в смысле следующего определения (см., например, [16]).

Определение 1. Уравнение (1) (оператор F) называется регулярным в окрестности решения х*, если для всех точек х из этой окрестности оператор F'(x): Х\ —У Хч имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Х2. В противном случае уравнение (1) (оператор F) называется нерегулярным.

Типичным примером нерегулярного оператора является оператор F, производная которого F'(x) вполне непрерывна для всех х из некоторой окрестности точки х*.

К теоретическому и численному анализу нерегулярных операторных уравнений в последние десятилетия проявляется растущий интерес специалистов различных направлений. Он объясняется тем, что к такого рода уравнениям сводится широкий спектр обратных задач математической физики и неустойчивых задач классического анализа [74],[62],[27], [22],[70],[72],[87],[89],[90],[94],[96].

Входные данные при решении прикладных обратных задач обычно бывают осложнены погрешностями 'измерений. В этих условиях нерегулярность уравнения (1) приводит к некорректности данного уравнения в смысле Адамара. Как следствие, традиционные численные методы оказываются малопригодными для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (1). В теории некорректных задач разработан общий способ преодоления подобных трудностей. Он сводится к применению методов регуляризации, которые позволяют по данному приближенному оператору F задачи (1) и уровню погрешности аппроксимации § эффективно строить приближения к решению х* уравнения (1), сходящиеся к х* при J —> 0. Методам регуляризации посвящена обширная литература (см., например, [74],[28],[13] и цитированные там источники). Большинство существующих схем аппроксимации решений нерегулярных уравнений с точными и приближенными данными имеет следующий общий вид. Пусть F — класс операторов F : Х\ —> Х2, в который входят как точный оператор задачи (1), так и допускаемые к рассмотрению его приближения F. Фиксируется параметрическое семейство отображений : F —>- Х\ такое, что lim3ía(F) = ж*, где

F — точный оператор задачи (1). Последнее соотношение означает, что элемент ха = З^а(-Р) можно рассматривать как приближенное решение уравнения (1), сколь угодно близкое к истинному решению х* при достаточно малом значении параметра регуляризации a G (0,с*о]- Предположим, что задан приближенный оператор F, и величина S > 0 измеряет уровень погрешности аппроксимации. Пусть удалось согласовать выбор параметра регуляризации с уровнем погрешности а = ог(<5) так, чтобы было НтскШ = О и для элементов х6а — 3ía(¿)(F) имела место сходимость lima;^» = х*. Тогда

6—>о ^ ' приближенное решение х6а^ уравнения (1), полученное в условии неточных данных, обладает устойчивостью к малым вариациям этих данных.

Основной объект изучения в данной работе — аппроксимационные свойства итерационных методов решения нерегулярных уравнений вида (1). Мы будем рассматривать уравнения (1), в которых оператор F известен без погрешности, хотя изучаемые методы в рамках представленной выше схемы могут быть преобразованы в соответствующие регуляризующие процедуры для задачи (1) с приближенно заданным F. Значительная часть исследуемых аппроксимирующих конструкций введена в работах [7],[9],[11], там же положено начало их изучению. В настоящее время наиболее полно изучены схемы аппроксимации решений нерегулярных линейных операторных уравнений

Ах = /, же! (2) в гильбертовом пространстве X, т.е. уравнений (1) с аффинным оператором F(x) = Ах - /, где А £ L(X)J G X. Обозначим через X*(A,f) множество решений уравнения (2). Предположим, что / £ R(A), так что X*(A,f) 0. Известно, что множество X*(A,f) является замкнутым аффинным подпространством в X. Будем считать, что А — неотрицательный самосопряженный оператор, не являющийся, вообще говоря, непрерывно обратимым. Например, оператор А может быть вполне непрерывным. Зафиксируем произвольно элемент поставим задачу аппроксимации точки £ Х*(А, /), ближайшей к £ среди элементов множества Х*(А, /). Для построения приближений к xt используется параметрическое семейство элементов ха = {Е- 0(Л, a)Ä)f + ©(Д a)f, а Е (0, а0]- (3)

Здесь Е — единичный оператор, функция Q(A, а) от оператора А при каждом значении параметра а Е (О, с*о] понимается в смысле исчисления самосопряженных операторов [71]. Отметим, что схема (3) применима и для аппроксимации решения уравнения (2) с оператором А Е L(X), действующим в банаховом пространстве X, В этом случае функция ©(А, а) оператора А понимается в смысле исчисления Рисса-Данфорда [25].

Если оператор А Е L(X 1,^2), где Xi,X2 — в общем случае различные гильбертовы пространства, то от уравнения (2) можно перейти к симметри-зованному уравнению А*Ах — А* f с неотрицательным самосопряженным оператором А*А Е L(Xi,Xi). В этих условиях представляет интерес элемент х* = х^, реализующий min ||ж — £||2, где

Х*{А, /) - Arg min \\Ах - f ||2 = {х Е : А*Ах = А*/}. xeXi

Определяемый таким образом элемент х| называется £-псевдорешением уравнения (2). Если множество решений уравнения (2) непусто, то это множество совпадает с Х*{А, /), а £-псевдорешение является ближайшим к £ элементом множества решений. Рассматривается следующий класс методов аппроксимации £-псевдорешения уравнения (2): ха = (Е - Q(A*A, а)А*А)£ + Э(А*А, a)A*f, а Е (0, а0]. (4)

В общие схемы (3) и (4) при соответствующем выборе порождающих функций © = ©(А, а:) вкладывается большинство наиболее распространенных в вычислительной практике методов аппроксимации решений и псевдорешений нерегулярных линейных операторных уравнений: методы М.М. Лаврентьева и А.Н. Тихонова и их итерированные варианты, метод установления и др. В виде (3) и (4) записываются также многие популярные итерационные методы решения (2).

На основе схем (3), (4) и процедуры линеаризации эффективно строятся итерационные методы аппроксимации решений нелинейных уравнений вида (1) [16]. В регулярном случае переход от уравнения (1) к линеаризованному уравнению

F(xn) + F'(xn)(x-xn) = 0, х Е Х\ (5) приводит к классическому методу Ньютона-Канторовича xn+i = xn- F,(xn)~1F(xn), n Е N0.

Если вместо (5) использовать симметризованное уравнение

F*(xn)F(zn) + F'*(xn)F'(xn){x ~ хп) = 0, а: е Хи (6) то получаем известный метод Гаусса-Ньютона хп+1 = хп ~ (F'*(xn)F'(xn))~l F'\xn)F{xn), п G N0.

Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона широко используются при решении различных классов регулярных операторных уравнений. В нерегулярной ситуации операторы F'(xn), F'*{xn)F'{xn) не являются в общем случае непрерывно обратимыми, поэтому указанные методы, вообще говоря, нереализуемы. Если же к линеаризованному уравнению (5) применить схему (3) с а — ап и полученный элемент хап выбрать в качестве новой итерационной точки, то приходим к итеративно регуляризованному варианту метода Ньютона-Канторовича xn+i = £ - e(F'(*n),aJ0F(a;„) " F'(xn)(xn - £)). (7)

Здесь {o!n}(an > 0) - априори задаваемая последовательность параметров регуляризации. Применение схемы (3) к уравнению (6) аналогично приводит к итеративно регуляризованному варианту метода Гаусса-Ньютона

X„+1 = i - 0(F"(x„)F'(xn), an)F"(xn)(F(xn) - F'(x„)(:,:„ - Q), х0 e Хъ

8)

Подчеркнем, что регуляризованные итерации (7) и (8) пригодны для аппроксимации решений уравнений вида (1), операторы которых не удовлетворяют условию регулярности.

Наряду с общими схемами (3), (4), в работе подробно исследуются методы решения нерегулярных линейных уравнений частного вида. Эти уравнения связаны с некорректной задачей Коши для абстрактного операторного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве [60],[29],[31]. Именно, рассматривается проблема аппроксимации решения задачи = t G (0,Т], (9)

0) = (10) где А : D(A) С X —> X — замкнутый неограниченный оператор с областью определения D(A), плотной в банаховом пространстве X] щ 6 D(A). Корректность задачи Коши (9), (10) зависит от расположения спектра оператора А. Обозначим

К(<р) = {А е С\{0} : | arg А| < ф) U {0}, tp G [0,тг].

Будем говорить, что оператор А удовлетворяет условию секториалыюсти с углом сро Е [0,7г), если а(А) с К(сро), УА е С\К(<р0). (11)

Если оператор А в уравнении (9) является секториальным с углом <Ро £ [0; тг/2), то задача Коши (9), (10) некорректна и сводится к аппроксимации значения неограниченного оператора ехр(^4), £ £ (0, Т] на элементе щ. Если же секториальным с углом <¿>0 £ [0,7г/2) является оператор (—А), то уравнение (9) является абстрактным параболическим [60, с.93], а задача (9),(10) оказывается корректной. Ее решение имеет вид и(1) = и({]щ, где £/(£),£ Е [0, Т] — сильно непрерывная полугруппа линейных ограниченных операторов с генератором (—А). В этом случае некорректной оказывается задача с обратным направлением времени, в которой по известному значению и(Т) необходимо восстановить начальный элемент гго = ^(0). При помощи замены т = Т — £ эта задача сводится к некорректной задаче Коши вида (9), (10). Положив для задачи с обратным направлением времени и(Т) = /, щ = х, В = и(Т), получим линейное нерегулярное уравнение Вх = /, т.е. уравнение вида (2). Для аппроксимации решения этого уравнения применимы, в частности, методы из класса (3).

Альтернативный аппарат аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10) доставляет введенный в [8] класс итерационных процессов конечно-разностного типа к к У] = А* (ЗиАип+1/, 0 ^ п ^ N — к, At = п ./—п V / щ = . . . = ик1 = Щ.

Здесь И, к £ М, а Е Ж (и = 0,к) — параметры, выбор которых определяет конкретную разностную схему.

Опишем вкратце аппарат, применяемый в работе при исследовании аппроксимативных свойств схем (3),(4),(7),(8) и (12). Во-первых, систематически используются определения и факты, относящиеся к исчислениям различных классов операторов в гильбертовых и банаховых пространствах. Пусть оператор А Е где X — гильбертово пространство, является самосопряженным и его спектр расположен на отрезке [га, М] вещественной оси. Тогда имеет место спектральное разложение (см., например, [71])

М +оо

А= ! ЫЕ\ = J ЫЕХ. т-0 —оо

Здесь А ^ (—оо, +оо) — семейство спектральных проекторов оператора А. Семейство {-Ел} является непрерывным справа, т. е. \\Ец — Е\|| —> О при ¡1 —Л + 0; кроме того, Е\Ец = Е\ при Л ^ /и; Е\ = О (нулевой оператор) при Л < т 1{{Ах,х) : ||ж|| = 1}; Е\ = Е при Л ^ \\А\\. В случае, когда Л — собственное значение оператора А, оператор Е\ — Е\о является ортопроектором на собственное подпространство, соответствующее этому Л. Если функция ср : Ж —> С измерима, конечна и почти всюду определена относительно спектрального семейства {Е\} (т.е. относительно всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А —>- ЦЕ'джЦ2, х Е X), то определен оператор <р(А) : И((р(А)) СХ-^Х, м р(А) = I 1р(\)<1Ех, Б^А)) = \х е X : ^ ^ \1р(Х)\2<1\\Ехх\\2 < • т-0

13)

При этом £)(</?(А)) = X и м м ц>{А)х= I ч?(\)(1Е\х, ЫА)х\\2= I \р(\)\Ч\\Ехх\\2, хеО(<р(А)). ш—0 - ш-0

14)

Если уга1вир |<^(А)| < оо, где существенная верхняя грань берется Ш по совокупности всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А —ЦЕ'джЦ2, х Е X, то выражения (13) определяют оператор <р(А) Е Ь(Х) с нормой ™1зир |<р(А)| < 8иР \vW\- (15) л} Хеа(А)

В случае вещественнозначной функции (р этот оператор, как и оператор А, является самосопряженным. Аналогично определяются функции от неограниченного самосопряженного оператора А : 0{А) С X X, О(А) = X. Например, если функция <р непрерывна и ограничена на спектре сг{А), то оо ср(А)х= ! <р(\)с1Е\х, хеВ(А), (16) оо где {Е\} — семейство спектральных проекторов оператора А. Выражение (16) определяет линейный оператор </э(А), который является самосопряженным, если функция </? вещественнозначна.

Пусть теперь X — банахово пространство. Предположим сначала, что оператор А Е £(Х), функция </? аналитична в окрестности спектра сг(А) оператора А, а проходимый в положительном направлении контур Г лежит в указанной окрестности и охватывает множество сг(А). Тогда оператор <р(А) Е Ь(Х) может быть определен формулой / (17) г

Интеграл в (17) понимается в смысле Бохнера [25]. Если X — гильбертово пространство и А = А*, то представления (13) и (17) определяют один и тот же оператор. Формула (17) служит основой и для определения функции от неограниченного оператора А с плотной в X областью определения -О(А). Если функция (р аналитична в окрестности (возможно, неограниченного) множества сг(А), а контур Г, также возможно неограниченный, окружает сг(А), то формула (17) определяет оператор ф{А) Е Ь(Х) для достаточно широкого класса функций (р. Для оператора А, удовлетворяющего условию секториальности (11), в этот класс входят, например, все аналитические функции </?, для которых существует в > 0 такая, что АЯ<£?(А) О равномерно по а^А при А Е К(<ро), |А| —> оо.

При исследовании скорости сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве оказывается полезной техника интерполяции банаховых пространств. Мы используем вещественный метод интерполяции с помощью К"-функционала [20], [77]. Пусть Хо и Х\ — банаховы пространства, непрерывно вложенные в линейное топологическое пространство X. Обычным образом вводится банахово пространство Хо + Х\: Х\ = {х : х £ X, х = хо + х^ £ Ху, з = 0,1}, \\х\\Хо+Хг= ^ (|Ми0 + 1Ык)

Для произвольного t ^ 0 и элемента х Е Хо + Х\ обозначим х=хо+х1,хо£ло,х1 ЕЛ\

Пусть г Е (0,1) и д Е [1,оо]. Интерполяционное банахово пространство (Хо, Х{)Тд определяется как множество элементов х Е Хо + Хх с конечным значением нормы IMI^,^)^, где

С /оо \1/<1

9 €[1,00),

1И1(ЗДк9 = < Vo , ч J sup t TK(t,x): q = оо. t€(0,oo)

Интерполяционные пространства (X, D(Am)), m G N используются при оценке областей определения дробных степеней оператора А.

Наконец, при исследовании класса конечно-разностных методов (12) привлекаются факты теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов (см., например, [31],[60]).

Целью работы является установление необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости итерационных процедур вида (3),(4),(7),(8) и (12) для аппроксимации решений соответствующих классов нерегулярных операторных уравнений. Удобно считать, что итерационный переход в рассматриваемых процедурах связан с последовательным вычислением приближений хап и пошаговым изменением параметра а = ап —у О, где п 6 N — номер итерации. В качестве ап может выступать, например, параметр регуляризации из (7), (8), либо величина шага Аt из (12).

Определение 2. Будем говорить, что сходимость элементов хап, аппроксимирующих решение х*, квалифицирована по параметру ап, если с некоторой функцией d : (0, +оо)" —> [0, +оо), lim ¿¿(а) = 0, имеет место а—fO оценка

- ®*|| = 0{d(an)), ап 0. (18)

Выбор конкретной функции d фиксирует тот или иной порядок аппроксимации решения х* приближениями хап. В работе используются следующие три типа оценок скорости сходимости, охватывающие широкий диапазон асимптотик \\хап — -» 0(п —у со): степенные оценки с d(a) = ар, р > О, логарифмические с d(a) = (—Inа)~р,р > 0 и экспоненциальные оценки с d(a) = е~гоГР{г:р > 0).

Актуальность данного исследования мотивируется следующими соображениями. В случае регулярных уравнений (1) и (2) для методов типа (3), (4) оценка скорости сходимости может быть установлена без привлечения дополнительной качественной информации о решении. Так, в случае уравнения (2) для метода А.Н. Тихонова погрешность аппроксимации имеет порядок О (а), итерационные методы при любом начальном приближении сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона решения уравнения (1) в случае регулярности этого уравнения локально сходятся с квадратичной скоростью. В нерегулярной ситуации положение качественно иное. Известно [13, гл.1, §3], что в этом случае сходимость приближений к решениям (1) и (2), построенных по какой-либо устойчивой схеме, если и имеет место, то может быть сколь угодно медленной. Тем самым, установление квалифицированных оценок скорости сходимости приближений возможно лишь при наложении на искомое решение х*, либо на начальную невязку х* — £ тех или иных дополнительных условий. В классическом анализе это обстоятельство отчетливо проявляется при исследовании скорости сходимости в норме частичных сумм ряда Фурье к порождающей этот ряд функции. Хорошо известно, что в общем случае указанная сходимость может быть сколь угодно медленной. Однако, при наличии априорной информации о повышенной гладкости раскладываемой в ряд функции (например, об ее принадлежности классу Сили И^"), скорость сходимости частичных сумм Фурье оценивается степенной функцией количества слагаемых частичной суммы, при этом показатель степени в оценке зависит от т.

Аналогичная ситуация имеет место для изучаемых в работе методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений. Именно, достаточные условия степенной оценки скорости сходимости а - р > 0, а е (0, а0] (19) для приближений (3) к решению х* = х^ уравнения (2) в гильбертовом пространстве имеют вид истокообразного представления начальной невязки

X* - £ £ Я(Ар) (20) с тем же, что и в (19), показателем р. Кроме того [16],[89], условие (20), достаточное для выполнения (19), весьма близко к необходимому условию в том смысле, что оценка (19) влечет истокообразное представление начальной невязки х*-£вВ(А«) Уде (0,р). (21)

Сказанное означает, что качество аппроксимации решения нерегулярного уравнения (2) элементами (3), находится в тесной связи с истокообразной представимостью начальной невязки. Возможность такого представления определяет более или менее высокую «гладкость» искомого решения. Утверждения о достаточности соотношения (20) и о необходимости (21) для выполнения оценки скорости сходимости (19) имеют прообразом прямые и обратные теоремы конструктивной теории функций. У истоков этой теории лежат классические теоремы Джексона и Бернштейна о качестве аппроксимации в связи с гладкостью приближаемых функций ([26],[75]). В случае, когда приближаемый объект есть числовая функция, а аппаратом аппроксимации являются алгебраические или тригонометрические полиномы, теоремы Джексона и Бернштейна являются соответственно прямой и обратной теоремами теории приближений. В настоящей работе роль погрешности приближения играет величина невязки ||жа — ж*||, а условие истокообразной представимости соответствует условию принадлежности приближаемой функции тому или иному классу гладкости. Как показано в §2.7, в случае дифференциального оператора А в задаче (9)—(10) подходящая истокопредставимость элемента означает определенную степень его гладкости в классической шкале пространств Соболева-Бесова. Таким образом, утверждения настоящей работы являются обобщениями прямых и обратных теорем теории приближений в применении к процедурам (3), (4), (7), (8) и (12), рассматриваемым как средства построения аппроксимаций элементов банахова пространства X, определенных уравнениями (1) и (2).

Скажем несколько слов о предыстории представленного в работе исследования. Отправной точкой можно считать приведенные выше утверждения о связи оценки (19) с условиями (20) и (21). В работах [11],[17] эти утверждения были распространены на итерационные схемы (8). Именно, в [17] установлена связь между степенной оценкой скорости сходимости хп-х*\\4:С2с£, р^ 1/2, пеМо (22) и условием истокообразной представимости начальной невязки х*-£е (2з)

Было показано, что оценка (22) обеспечивается условием (23), а для выполнения этой оценки необходимо соотношение я* - £ е в,(((г'(хГР'(х*)У) Уя е (о, Р). (24)

Кроме степенной сходимости, определяемой функцией й{а) = ар (см. (18)), исследовался случай более медленной — логарифмической сходимости с ¿¿(а) = (—1па;)-р, р > 0. В [93] установлено, что условие ж*д((-1пА)-р), > 0 (25) достаточно для выполнения логарифмической оценки ха-х*\\^С3(-1па)-р. (26)

В свою очередь, оценка (26) влечет истокообразное представление

-еед((-1пА)-«) Ще(о,Р). (27)

Исследование необходимых и достаточных условий более быстрой экспоненциальной скорости сходимости методов (3) и (8) в гильбертовом пространстве впервые проведено в главе 1 данной работы.

Другое направление обобщения первоначальных результатов о связи степенной скорости сходимости процедур аппроксимации решений нерегулярных уравнений и степенной истокопредставимости решений — распространение этих результатов на случай нерегулярных уравнений в банаховом пространстве. Начало этим исследованиям положено в работах [9],[10],[47],[48], где установлена достаточность условия (20) и необходимость условия (21) для выполнения оценки (19), если приближения ха к решению х* линейного уравнения (2) в банаховом пространстве X, строятся с помощью одного из методов (3). Однако, в случае итерационных методов вида (3) необходимость условия (21) для выполнения оценки (19) не была там установлена. Этот пробел устранен в §2.2 настоящей диссертации. Сходная ситуация имела место для схемы (7) аппроксимации решений нелинейных уравнений (1) в банаховом пространстве. В [83] показано, что условие

Р> 1 (28) влечет выполнение степенной оценки (22) для одного класса итерационных методов, в том числе и для методов, рассматриваемых в работе. В §2.3 данной работы доказана необходимость условия д((П<07) Vge(0,р) (29) для выполнения оценки (22). Последнее условие близко к достаточному условию (28).

Вопрос об условиях, необходимых и достаточных для выполнения логарифмической оценки скорости сходимости методов вида (3) в банаховом пространстве, ранее изучен не был. В главе 2 настоящей работы исследование этого случая проведено для класса нерегулярных уравнений, порожденных некорректной задачей Коши (9), (10). Полученные здесь результаты аналогичны утверждениям из [93], установленным для уравнений (2) в гильбертовом пространстве. В §2.5 показано, что условие х*-{ЕЯ(А-р), р> 0 (30) достаточно для выполнения оценки (26) в банаховом пространстве. В свою очередь, необходимым условием выполнения этой оценки является представление

Уд е (0, р), (31) близкое к (30). Этот факт установлен в §2.6.

Конечно-разностные схемы аппроксимации решений задачи Коши для абстрактных операторных дифференциальных уравнений на протяжении последних двадцати лет были предметом многочисленных исследований. Эти исследования направлены на установление свойства аппроксимации, получение оценок скорости сходимости в корректном случае. В некорректном случае исследовались регуляризационные свойства конечно-разностных схем [3], [4], [5], [68], [69], [6]. Многие из изучавшихся схем получены обобщением на бесконечномерный случай классических методов решения конечномерных дифференциальных уравнений и их систем. Рассматриваемые нами схемы (12) получены формальным применением к бесконечномерной задаче (9), (10) известной процедуры (см., например, [19]) конструирования конечно - разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [8] установлены условия сходимости приближений, построенных по схеме (12), к решению некорректной задачи Коши (9), (10), но отсутствует оценка погрешности аппроксимации. В главе 3 данной работы приведены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости приближений (12) к решению некорректной задачи Коши.

Выделим теперь основные результаты диссертации. Во-первых, получены необходимые и достаточные условия выполнения логарифмических оценок погрешности итерационных аппроксимаций решений нерегулярных линейных операторных уравнений. Во-вторых, найдены необходимые условия выполнения степенных оценок погрешности итерационных аппроксимаций в случае нерегулярных линейных -и нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают утверждения, известные ранее для уравнений в гильбертовом пространстве. Близость полученных необходимых условий к достаточным указывает на неулучшаемость рассматриваемых оценок в существенном. В-третьих, установлены необходимые и достаточные условия степенной сходимости конечно-разностных аппроксимаций (12) для решения.задачи Коши (9), (10) в банаховом пространстве. Наконец, впервые получены необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальных оценок погрешности итерационных аппроксимаций для решений нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Тем самым, теория сходимости итерационных аппроксимаций в гильбертовом пространстве пополнена прямыми и обратными теоремами, которые относятся к ранее не изучавшемуся классу оценок скорости сходимости.

Завершая введение, опишем кратко содержание работы по главам. В главе 1 исследуется скорость сходимости итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. В §1.1 представлено описание исследуемых методов и приведен обзор известных результатов, касающихся необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости аппроксимаций, порождаемых этими методами. В §1.2 устанавливаются необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций (3) с экспоненциальной скоростью. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной сходимости итераций (8) получены в §1.3. Обсуждение результатов главы 1 и сравнение их с результатами других авторов содержится в §1.4.

Глава 2 посвящена прямым и обратным теоремам для итерационных методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. В §2.1 описаны рассматриваемые методы и приведен обзор прямых и обратных теорем, установленных для этих методов ранее. В §2.2 доказывается обратная теорема для степенной сходимости группы итерационных методов вида (3). Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов. (7) в случае нерегулярного нелинейного уравнения (1) установлены в §2.3. Важный подкласс нерегулярных уравнений вида (2) порождается некорректными задачами Коши (9), (10). В §2.4 приводятся необходимые для рассмотрения этих задач вспомогательные сведения из теории полугрупп линейных операторов. Прямая и обратная теоремы для итерационных методов вида (3) в применении к нерегулярной задаче Коши доказаны соответственно в §2.5 и §2.6. В §2.7 предыдущие результаты конкретизируются в случае, когда некорректная задача Коши порождена параболическим уравнением, пространственная часть которого является эллиптическим дифференциальным оператором высокого порядка. Показано, что условия истокопредставимости, являющиеся необходимыми и достаточными для сходимости исследуемых методов с логарифмической скоростью, сводятся к вложению искомого элемента в подходящий класс Соболева-Бесова. В §§2.6, 2:7 также приведены используемые сведения из теории интерполяции банаховых пространств. Результаты главы 2 и близкие к ним работы других авторов обсуждаются в §2.8.

В главе 3 исследуются конечно-разностные методы аппроксимации решения некорректной задачи Коши. В §3.1 описывается рассматриваемый класс методов и устанавливаются общие свойства методов этого класса. В §3.2 и §3.3 доказываются, соответственно, прямая и обратная теоремы для конечно-разностных методов вида (12), предназначенных для аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10). Обсуждение результатов главы проводится в §3.4.

В заключении перечислены основные результаты работы. Эти результаты опубликованы в [45], [52], [53], [54], [38], [18], [43], [55].

В работе принята следующая система нумерации формул и утверждений. Запись к.1.ш означает номер формулы или утверждения (теоремы, леммы, условия), имеющего номер ш в параграфе к Л; при этом к — номер соответствующей главы, введение — это глава номер 0. Нумерация констант в каждом параграфе самостоятельная.

В работе используются стандартные обозначения:

М, 1 и С - множества натуральных, действительных и комплексных чисел; = N и {0}.

Пх, П2 (при целых щ, пг) — множество ЪГ\ [щ, П2] (то есть множество целых чисел от п\ до П2 включительно). Запись п = пг, П2 означает, что целочисленная переменная п пробегает множество щ, П2х,у)н ~~ скалярное произведение элементов х и у гильбертова пространства Я;

Е — единичный оператор банахова пространства X; Ь(Х 1^X2) — банахово пространство линейных ограниченных операторов, действующих из банахова пространства Хх в банахово пространство Х2, Ь(Х) = Ь(Х,Х);

0(А), Я(А) и Кег(А) — область определения, образ и нулевое подпространство оператора А;

М — замыкание множества М. С X в топологии нормы банахова пространства X;

А* — сопряженный оператор для линейного оператора А Е Ь(Х 1,^2), где Х\, Х2 — гильбертовы пространства;

А ^ О означает неотрицательность оператора А : О (А) с!-У1в-гильбертовом пространстве X: (Ах,х) ^ 0 Мх Е Е(А)] су {А) и р(А) — спектр и резольвентное множество оператора А € Ь(Х)\ Й(А, А) = (АЕ — А)-1, А 6 р{А) — резольвента оператора А Е Ь{Х)\ Р'{х) — производная Фреше оператора Р в точке ж; 0,ц(х) = {у Е X : \\х — у|| ^ Д} — шар в банаховом пространстве X с центром х и радиусом Я.

К{ч>) = {А Е С\{0} : |агёА| < и {0}; Б (г) - {С Е С : |С| < г}, К{11,1р) = 5(Я)П #(</?).

1 Скорость сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве

В этой главе приводятся известные факты и доказываются некоторые новые утверждения, касающиеся скорости сходимости итерационных аппроксимаций решений нерегулярных уравнений в гильбертовом пространстве. Глава предваряет рассмотрение основного для нас случая — скорости сходимости аппроксимаций в банаховом пространстве.

Заключение

Перечислим основные результаты диссертационной работы.

1) Даны необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.

2) Установлены необходимые условия выполнения степенной оценки скорости сходимости классов итерационных методов аппроксимации решений линейных и нелинейных нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве, близкие к ранее известным достаточным условиям такой сходимости.

3) Получены достаточные и близкие к ним необходимые условия выполнения логарифмической оценки скорости сходимости для класса итерационных методов решения некорректной линейной задачи Копта в банаховом пространстве.

4) Установлены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости для класса конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной линейной задачи Коши в банаховом пространстве.

Автор благодарит научного руководителя профессора М.Ю.Кокурина за постановку задачи и внимание к работе.

1. Алибеков Х.А., Соболевский П.Е. Об одном способе построения схем класса Паде и их исследовании в С-норме. Воронеж, 1982. - Деп. в ВИНИТИ, №4737-82.

2. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

3. Бакаев Н.Ю. Оценки устойчивости одного общего метода дискретизации // Доклады АН СССР. 1989. - т.309, №1. - С.11-15.

4. Бакаев Н.Ю. Об устойчивости метода Рунге-Кутты для абстрактных линейных уравнений // Укр. матем. журн. 1990. - т.42, №5. - С.689-694.

5. Бакаев Н.Ю. Многошаговый разностный метод для параболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. - т.32, №2. - С.261-276.

6. Бакаев Н.Ю., Бакушинский А.Б. К теории приближенных методов решения некорректной абстрактной задачи Коши // Доклады АН СССР.- 1990. т.312, т. - С.777-782.

7. Бакушинский А.Б. Один общий прием построения регуляризующих алгоритмов для линейного некорректного уравнения в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. - т.7, т. - С.672-677.

8. Бакушинский А.Б. Разностные методы решения некорректных задач Коши для эволюционных уравнений в комплексном В пространстве // Дифференциальные уравнения. - 1972. - Т.VIII, №9. - С.1661-1668.

9. Бакушинский А.Б. К проблеме построения линейных регуляризующих алгоритмов в банаховом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики.-1973.-Т.13, N1.-C.204-210.

10. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами // Изв. вузов. Сер. Математика. 1978. - №11. - С.6-10.

11. Бакушинский А.Б. Итерационные методы без насыщения для решения вырожденных нелинейных операторных уравнений // Доклады РАН.- 1995. Т.344, т. - С.7-8.

12. Бакушинский А.Б. Итеративные методы для решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. - т.38, №12. - С.685-692.

13. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1989.

14. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Условия истокопредставимости и скорость сходимости методов решения некорректных операторных уравнений. 4.1. // Вычислительные методы и программирование.2000. Т.1. - С.64-84. (http://nummeth.srcc.rnsu.su)

15. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Условия истокопредставимости и скорость сходимости методов решения некорректных операторных уравнений. Ч.П. // Вычислительные методы и программирование.2001. Т.2.,№1. - С.69-95. (http://nummeth.srcc.msu.su)

16. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами.- М.: Едиториал УРСС, 2002.

17. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Об оценке скорости сходимости и погрешности разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Вычислительные методы и программирование. 2006. - Т.7. - С.163-171.

18. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.

19. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. -М.: Мир, 1980.

20. Бурбаки Н. Интегрирование (мера, интегрирование мер). М.: Наука, 1967.

21. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

23. Винокуров В.А., Ювченко Н.В. Полуявные численные методы решения жестких задач // Доклады АН СССР. 1985. - т.284, №2. - С.272-277.

24. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

25. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

26. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач М.: Изд-во МГУ, 1994.

27. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

28. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально -операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995.

29. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

30. Клемент Ф., Хайманс X., Ангенент С., ван Дуйн К., де Пахтер К. Однопараметрические полугруппы.- М.: Мир, 1992.

31. Ключев В.В. О необходимых условиях сходимости со степенной скоростью класса итерационных методов решения нелинейных некорректных уравнений в банаховом пространстве // "Понтрягинские чтения XIII". Сборник материалов - Воронеж: ВГУ, 2002. - С. 77.

32. Ключев В.В. О необходимых условиях медленной сходимости класса методов решения обратной задачи Коши в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. г 2005. №8. - С.78-81.

33. Ключев В.В. О необходимых условиях сходимости разностных методов решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве

34. Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-ХУШ". Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. - С.82-83.

35. Ключев В.В., Кокурин М.Ю. Об оценках скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных некорректных уравнений в банаховом пространстве // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - Т.8, вып. 1. - С. 213-214.

36. Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач. Йошкар-Ола: Изд-во МарГУ, 1998.

37. Кокурин М.Ю. Условие истокопредставимости и оценки скорости сходимости методов регуляризации линейных уравнений в банаховом пространстве. I. // Известия вузов. Матемаггика.-2001. №8. - С. 49-57.

38. Кокурин М.Ю. Условие истокопредставимости и оценки скорости сходимости методов регуляризации линейных уравнений в банаховом пространстве. II. // Известия вузов. Математика-2002. №3. - С. 19-27.

39. Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Необходимые условия сходимости с данной скоростью итерационных методов решения линейных некорректных операторных уравнений в банаховом пространстве // Сибирский журнал вычислительной математики. 2002. - Т.5, №4. - С.295-310.

40. Кокурин М.Ю., Ключев В.В. О логарифмических оценках скорости сходимости методов решения обратной задачи Коши в банаховом пространстве // Известия вузов. Математика. 2004. - №3. - С.73-75.

41. Кокурин М.Ю., Юсупова H.A. О критериях медленной сходимости методов решения линейных уравнений // Обратные и некорректно по-сталенные задачи (тез. докл. конф.). М.: МАКС Пресс, 2000. - С.39.

42. Кокурин М.Ю., Юсупова H.A. О необходимых условиях квалифицированной сходимости методов решения линейных некорректных задач // Известия вузов.Математика. 2001. - №2. - С.39-47.

43. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

44. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

45. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

46. Купцов Н.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов // Успехи математических наук. 1968. - т. XXIII, вып.4(142). - С.117-178.

47. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа.-М.: Наука, 1980.

48. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

49. Мельникова И.В., Филинков .А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи математических наук. 1994. - 49, №6. - С.111-150.

50. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

51. Немировский A.C., Поляк Б.Т. Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. I // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. - №2. - С.13-25.

52. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. II // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. - №3. - С. 18-25.

53. Пискарев С.И. Об оценках скорости сходимости при полудискретизации эволюционных уравнений // Дифференциальные уравнения. -1983. №12. - С. 2153-2159.

54. Пискарев С.И. Оценки скорости сходимости при решении некорректных задач для эволюционных уравнений // Изв. АН СССР, сер. математическая. 1987. - т.51, №3. - С.676-687.

55. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния. М.: Мир, 1994.

56. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.-М.: Мир, 1979.

57. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный Мир, 2004.

58. Соломяк М.З. Оценка нормы резольвенты эллиптического оператора в пространствах Ьр // Успехи.математических наук, -1960. Т.ХУ. -вып. 6(96). - С.141-148.

59. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука, 1979.

60. Тихомиров В.М. Теория приближений. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14. (Итоги науки и техники ВИНИТИ СССР). М., 1987.

61. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1980.

62. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

63. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т2.-М.: Наука, 1969.

64. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека. Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964.

65. Хилл Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

66. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

67. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. Pure Appl. Math. 1962. - 15. -p.119-147.

68. Bakushinskii A. and Kokurin M. Iterative methods for solving nonlinear irregular operator equations in Banach space // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. - V.21, 3-4. - p.355-378.

69. Balakrishnan A.V. Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them // Pacific Journal of Mathematics. 1960. - V.10, №2. - p. 419-437.

70. C. Chicone and Yu. Latushkin, Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1999.

71. Colton D. and Kress R. Unverse acoustic and electromagnetic theory. -Berlin: Springer, 1992.

72. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Berlin: Springer, 2000.

73. Engl H.W., Hanke M. and Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer, 1996.

74. Groetch C.W. Inverse problems in mathematical sciences. Braunschweig: Vieweg, 1993.

75. Haase M. Spectral properties of operator logarithms // Mathematische Zeitschrift. 2003. - 245. - p.761-779.

76. Hohage T. Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss Newton method for the inverse potential and inverse scattering problem // Inverse Problems.- 1997.- V. 13.- N6. - P. 1279 - 1299.

77. Hohage T. Regularization of exponentially illposed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000.- V.21- NN 3,4 - P. 439 -464.

78. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. Berlin: Springer, 2006.

79. Kokurin M., Kljuchev V. Necessary and sufficient conditions for logarithmic convergence of regularization methods for solving inverse Cauchy problem in Banach space // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. - V.14, №5. - P.481-504.

80. Klibanov M.V. and Timonov A.Carleman estimates for coefficient inverse problems and numerical applications. Utrecht: VSP, 2004.

81. Nollau V. Uber den logarithmus abgeschlossener Operatoren in Banachschen Raumen // Acta Sci. Math. 1969. - V.30. - p. 161-174.

82. Okazawa N. Logarithmic characterization of bounded imaginary powers // Progress in Nonlinear Differential equations and Their Applications. -2000. V.42. - p.229-237.

83. Yoshikawa A. On the Logarithm of Closed Linear Operators // Proc. Japan Acad. 1973. - 49. - p.169-173.