Исследование итерационных методов решения неявных разностных схем МГД тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

-X

/

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕЗОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВШНЫЙ УНИЗЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ К КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

НАГАЕЗА ЕЛЕНА ИГОРЕВНА

I

УДК 519.632

ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ МГД.

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре Вычислительных методов факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ

Научные руководители: академик А.А.САМАРСКИЙ,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.М.ГОЛОЗИЗНИН, доктор физико-математических наук Ю.А.ЕРЕМИН

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР

Зашита состоится" 5* " й-ПрА+^А- 1991 года в час.

на заседании специализированного Совета Л 053.05.37 при Московском государственном университете им. 'Л.3.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы," МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ. Автореферат разослан" 5* " 1991 года

Ученый секретарь Совета доктор физ.-мат. наук,

кандидат физико-математичесгах наук, старший научный сотрудник Н.В.АРДЕЛЯН

профессор

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Изучение методом вычислительного эксперимента задач магнитной газовой динамики является сейчас активно развивающимся направлением научных иссследозаний. Основу метода вычислительного эксперимента составляет триада: математическая модель -численный метод - программа. Математические модели задач МГД представляют собой сложные нелинейные системы уравнений в частных производных. Построение эффективных численных методов их решения невозможно без проведения достаточно подробных теоретических исследований.

Актуальность темы. Создание численных методов решения уравнений МГД разделяется на два этапа: построение и исследование разностной схемы и построение и исследование метода решения полученной дискретной задачи на каждом шаге по Еремени. Особую важность последний этап приобретает при использовании полностью консервативных неявных разностных схем, обладающих рядом преимуществ при решении сложных задач. Существуют различные методы построения таких схем /см. . В работе [4^] описаны полностью консервативные лагранжевые разностные схемы на нерегулярной треугольной сетке, являющиеся дискретными моделями уравнений двумерной магнитной гидродинамики, в линейном приближении исследована их устойчивость. В этой работе использован операторный подход теории разностных схем: разностная задача, решаемая на каждом временном шаге, записывается в виде системы операторных уравнений в пространствах сеточных функций; предложены двухслойные итерационные методы решения этой системы уравнений, относящиеся к классу обобщенных линей-

ных итерационных методов. Применение этих итерационных методов позволяет свести процедуру получения очередного итерационного приближения к последовательному решению трех взаимосвязанных групп уравнений: динамической /Д-группы/, магнитной /^-группы/ и энергетической /Е-группы/, на которые по физическому смыслу разбивается система уравнений операторно-разност-ной схемы МЩ. В общем случае, Д- и Е- группы уравнений нелинейны, для их решения необходимо применить вспомогательный /внутренний/ итерационный процесс. Таким образом, ите-

рационные методы решения на шаге разностных схем МГД имеют сложную структуру из вложенных друг в друга итерационных процессов, состоящую из двух или даже трех ступеней /поскольку для выполнения итераций по нелинейности также можно применить двухступенчатый итерационный метод; в комплексе программ, реализующем описанные в [4 ] численные методы, такой вариант предусмотрен/.

В диссертации рассматриваются теоретические вопросы, возникающие при изучении сходимости итерационных методов решения на шаге неявных разностных схем МГД. -

Цель работы:

1/. исследование, с помощью линейных моделей, сходимости внешнего итерационного процесса в итерационных методах решения разностных схем МГД и возможности введения итерационных параметров, обеспечивающих безусловную сходимость этих процессов;

2/. анализ общих закономерностей взаимодйствия' двух вложенных друг в друга итерационных процессов - внешнего и внутреннего в различных двухступенчатых методах;

3/. получение достаточных условий полулокальной сходи-

мости обобщенных линейных итерационных методов, в которых учитывается специфика операторно - разностной схемы МГЦ как системы нелинейных операторных уравнений, то есть учитывается, что вектор неизвестно ^ принадлежит линейному конечномерному пространству К , представлявшему собой прямую сумму

линейных конечномерных пространств сеточных функций И;,

N °

соответствующих физическим переменным исходной задачи МГД: скорости, температуры, давления и т.д..

Состояние вопроса. Методика исследования сходимости итерационных методов решения разностных схем МГД с помощью линейных моделей предложена и обоснована в работе £4 ] . Там же получены теоретические оценки скорости сходимости ряда итерационных методов.

Некоторые двухступенчатые методы часто анализируются в литературе /например, метод, в котором в качестве внешнего итерационного процесса используется метод Ньютона, а в качестве очередного итерационного приближения метода Ньютона каждый раз берется т-е приближение внутреннего итерационного процесса/. При изучении такого рода методов обычно стремятся в явном виде получить оператор Сс: Н —* К » связывающий £ -е и (-е итерационное приближение двухступенчатого метода

а затем изучить его свойства. Если количество итераций внутреннего процесса фиксировано, и оно больше единицы, то опера-

тор Ос имеет сложную структуру; получение условий, при которых гарантируется сходимость двухступенчатого метода, требует большой дополнительной информации об операторах внешнего и внутреннего процессов, и условия эти являются весьма жестки;/./.. Если же число итераций внутреннего процесса не фиксировано заранее, а критерием окончания внутренних итераций является, например, достижение заданной точности, то построить оператор & в явном виде вообше не удается.

Известны теоремы о локальной [б] к полулокальной [б^сходимости обобщенных линейных итерационных методов з линекных нормированных пространствах /к этому классу итерационных методов относится внешний процесс в рассматриваемых итерационных методах решения на шаге разностных схем МГД/.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. С помощью линейных моделей исследовано влияние выбора итерационных параметров на сходимость итерационных методов решения разностных схем для задач М1Д в двух случаях: изотермическом /ДМ-задача/ и в случае отсутствия магнитного поля /ДЕ-задача/. Получены результаты, позволяющие оптимизировать вычислительные алгоритмы. Отдельно рассмотрены итерационные методы, соответствующие двум вариантам выбора основных термодинамических параметров в ДЕ-задаче: в первом варианте это давление и температура, во втором - плотность и температура. На линейных моделях показано, что если итерационные параметры в этих методах выбираются оптимальным образом, то оценки множителей сходимости одинаковы, независимо от того, давление или.(плотность выбраны в качестве основного термодинамического параметра.

При исследовании различных двухступенчатых итерационных

методов в диссертации применен следующий подход: предполагается, что на предварительном этапе внешний и внутренний процессы двухступенчатого метода рассмотрены по отдельности, получены неравенства и оценки, которым удовлетворяют итерационные приближения внешнего и внутреннего процессов. Цчя изучения двухступенчатого метода в дальнейшем используются только эти неравенства и оценки, без какой-либо дополнительной информации о свойствах операторов двухступенчатого метода как единого целого. Получен« ограничения на выбор начатьного приближения, гарантирующие убывание нормы погрешности различных двухступенчатых методов, оценки числа итераций внешнего процесса, необходимых для достижения заданной точности в двухступенчатом методе.

Доказана теорема о полулокальной сходимости обозленных линейных итерационных методов в линейных конечномерных структурно - нормированных пространствах, то есть пространствах, в которых в соответствие вектору ^ ставится не единственное число - его норма, а вектор с неотрицательными компонентами - абстрактная норма , обозначаемая через |г| |

Рассматривается случай, когда

Существенной особенностью доказанной теоремы является то, что область, в которой итерационный метод сходится к решению исходной задачи, определяется отдельно по каждому из пространств К^ } - • Применительно к задачам МГД это означает, что можно определить область, в которой сходится итерационный ме-

тод, отдельно для каждой сеточной функции. Полученные в работе теоретические результаты проясняют границы применимости различных итерационных методов.

Апробашя работы. Материалы диссертации докладыватись на семинаре под руководством академика А.А.Самарского, диссертация в целом докладывалась на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных методов факультета В'.1иК МГУ.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы. Список трудов приведен в конце реферата.

Объем к структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем работы 140 страниц, из них 3 рисунка, 2 таблицы; библиография 20 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор состояния вопроса в решении проблем, рассматриваемых в диссертации, обоснована актуальность темы, изложено содержание работы.

Глава 1 состоит из четырех параграфов, в которых изучаются итерационные методы решения да- и ДЕ-задач двумерной магнитной гидродинамики. Исследование проводится для линейных модельных задач, полученных из исходной нелинейной разностной схемы для ДМ- или ДЕ-задачи посредством линеаризации в окрестности предыдущего временного слоя. Итерационный процесс, применяемый к модельной задаче, при этом совпадает с линеаризацией итерационного процесса, применяемого к исходной нелинейной задаче. Рассматриваемые модельные задачи могут быть записаны в виде системы двух линейных операторных уравнений

определенной на прямой сумме Н = Нз©^ линейных конечномерных пространств Н1 , На со скалярным произведением. Операторы

""Н.',.), 1 = 1,2 удовлетворяют свойствам

С^-1 ? С1=СО^>0 > Лгг>о

/здесь I - тождественны:? оператор/. Для операторов

модельной Дй-запа-чк и ДЕ-задачи, линеаризованной вблизи постоянного решения /в предположении постоянного фона/, выполнено также одно из двух условий

либо

, Cj.rC0n.st> 0 > ^

Итерационные методы решения задачи (1} и'леют вкд

+ 00 лХ- .

где У^3^ - очередное итерационное приближение к

точному решению ^ задачи (1). Конкретный вид ите-

рационного метода определяется заданием параметров ^ и оператора Ь € ( М ^ Н ^. Предлагаются итерационные методы решения исходных ДМ- и ДЕ-задач, которые в линейном приближении приводят к следующему выбору оператора В> в- (з ^ :

оператор "> является легко обратимым, па-

раметр [Ч е [ ^ , "Уг"] »гДе ^, Йг. ~ постоянные из неравенств

^а;1, Ьолг>о

для операторов и Д ^

В §1 главы 1 изучается сходимость итерационных методов (3) решения задач вида (I4), операторы которых удовлетворяют одному из дополнительных услови? (2). Доказаны теоремы, дающие возможность для каждого значения параметра [Не [у,, ^г."] выбирать оптимальную последовательность итерационных параметров метода (з), обеспечивающую безусловную сходимость метода; получены оценки для множителя сходимости метода. В §2 главы 1 результаты §1 применены к исследовании сходимости методов вида (з)для модельных ДИ-задач, в §3,4 - модельных ДБ-задач, линеаризованных в предположении постоянного фона. В §3 в качестве основных термодинамических параметров в ДЕ-задаче выбраны давление и температура, в §4 - плотность и температура. Показано, что если итерационные параметры Т■ в

1

рассматриваемых методах вида (з) выбираются оптимальным образом /на основе результатов §1/, то оценки множителей сходимости этих методов одинаковы, независимо от того, давление или плотность выбраны в качестве основного термодинамического параметра. В §2-4 отмечены также сложности, связанные с проблемой оптимального выбора параметров в методах (з) для модельных ДМ-задач и модельных ДБ-задач на произвольном фоне при различных значениях с [ К л Д*"]: предложен, в частности, вариант выбора параметров ^Ч ~ 0, ЕГ и Т = 1

в стационарном методе (3), позволяющий обойти эти сложности. Установлено соответствие с уже известными результатами.

3 главе 2 диссертации изучаются различные классы двухступенчатых итерационных методов. В §1 приведена постановка задачи. Предполагается, что в нормированном пространстве

таноалено, что скорость сходимости приближения у к точному решению П* исходной задачи определяется соотношением

определен итерационный процесс для элементов ^ £ Н и ус •о

I! Г г,

где с^ и "}) -константы, не зависящие от . При = 4,

с^ < 1 итерационный процесс имеет линейную скорость сходимости, при V > \ - сверхлинейную. Поскольку очередное приближение этого итерационного процесса вычисляется с помошьго вспомогательного /внутреннего/ итерационного процесса, то при 0 получаются не точные значения у^Ч а приближенные

. Пусть на шаге вычислено значение и

- точное значение, которое получилось бы из при от-

сутствии внутреннего процесса, тогда V. - некоторое приближение к ^ , полученное в результате работы внутреннего процесса; в качестве начального приближения во ВНУТреН-

го &

нем процессе берется .

По типу условий, выполненных для величины в главе 2 выделяются три группы "внутренних итерационных процессов: к первой группе относятся внутренние процессы, в которых достигается заданная точность, одинаковая на всех шагах внешнего процесса; ко второй группе - внутренние процессы, в которых достигается заданная относительная погрешность, одинаковая на всех шагах внешнего процесса; к третьей группе -

внутренние процессы со сверхлинейной скоростью сходимости, в которых выполняется ровно т итераций на каждом саге внешнего процесса. Предполагается, что на предварительном этапе исследования для внутреннего процесса получены необходимые неравенства и опенки, относяшие его к одной из трех групп.

При исследовании двухступенчатого метода используются только неравенства (4) и неравенства и оценки, описывающие внутренний итерационный процесс. В §2 главы 2 изучаются двухступенчатые методы, имеющие сверхлинейную скорость сходимости внешнего процесса в сочетании с внутренними процессами, имеющими заданную точность и заданную относитачьную погрешность. В §3 рассмотрены двухступенчатые.методы, имеющие линейную скорость сходимости внешнего процесса в сочетании с внутренними процессами, относящимися к каждой из трех упомянутых групп. Дано также теоретическое обоснование двухступенчатых методов, в которых комбинируются внутренние итерационные процессы, относящиеся к различным группам.

Глава 3 посвящена доказательству теоремы о полулокальной сходимости обобщенных линейных итерационных методов в конечномерных структурно - нормированных пространствах.

В §1 приводятся известные теоремы о локальной и полулокальной сходимости обобщенных линейных итерационных методов в нормированных пространствах. В §2 обсуждается специфика применения этих теорем к исследованию сходимости итерационных решения на шаге разностных схем МГЦ. В §3 сформулированы некоторые известные определения и утверждения, касающиеся структурно-нормированных пространств [7.8], доказаны теоремы о дифференцируемых отображениях, действующих в конечномерных структурно-нормированных пространствах. §4 посвящен изучению

свойств обратимых отображений в конечномерных структурно - нормированных пространствах. В §5 доказывается теорема о разрешимости системы нелинейных алгебраических уравнений в таких пространствах. Эта теорема используется в §6 для доказательства теоремы о .тслулокачьксй сходимости обобщенных линейных итерационных методов в структурно - нормированннх пространствах. Эффективность доказанной теоремы демонстрируется на примере одной из задач МГД.

Конечномерность рассматриваемого пространства сушествен-но используется при доказательстве всех утверждений главк 3. 3 заключении сформулированы основные результаты работы. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Арделян Н.В., Нагаева Е.И. О сходимости итерационных методов решения систем двух линейных операторных уравнений. //Математическое моделирование.- 1989.- Т.1, № 12.- С.120-132.

2. Нагаева Е.И. О полулокальной сходимости двухступенчатых итерационных методов.//Вестник Моск. ун-та.- Сер 15.1990,- № 3. - С.35-40.

3. Нагаева Е.И. Полулокальная сходимость обобщенных линейных итерационных методов в структурно-нормированных пространствах. - М., 1990. - 43 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.07.90V

* 4770 - В90.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский A.A. Теория разностных схем. -М.:Наука,1977, -656 с.

2. Годовизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный метод получения разностных схем для уравнений магнитной гидродинамики. // Препринт НТК АН СССР.- 1976,» 65.

3. Самарский A.A., Типкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Операторные разностные схемы. // Дифференциальные уравнения.- 1981.- Т.17, № 7.- С.1317 - 1327.

4. Арделян Н.В., Космачевский К.З., Черниговский С.Б. Вопросы построения и исследования полностью консервативных разностных схем магнитной газовой динамики.- М.:МГУ,1987,-112 с.

5...0ртега Дчс., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неиэвестнами,- М.: Мир, 1975,- 558 с.

6. Арделян Н.В. К вопросу о полулокальной сходимости линейных итерационных методов для систем нелинейных уравнений.

// Вестник Моск. ун-та.- Сер. 15.- 1984, Ji2- С.23-26.

7. Канторович Л.В., Акклов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977,- 742 с.

8. Вулих Б.З. ЗВедение в теорию полуупорядоченных пространств. - М.: Физматгиз, 1961, - 459 с.

_I_-

В печать 16.11.90 Изд..!« 74п Фомат 60x84/16 Уч._изд. л. U,54 Печ. л. 0,75 Тираг 100 экз.

Захм МН-ЗО,. отпечатано в ПОРМ аа /| листах ъ/дд акзешшярах