Об одном классе итерационных методов решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 ОД

/ '! -* ] '."' <' > ; I. к.. Л

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ЛАПКО Сергей Леонидович

ОБ ОДНС'М 1СЛАССЕ ИТЕРАЦИОННЫХ »/ЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ВЯЗКОЙ НЕСШАЕМОИ ЖИДКОСТИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1993

Работа выполнена в Институте математики АН Беларуси

Научнз'й руководитель: — доктор физико-математических наук.

профессор Абрашин Вячеслав Николаевич

Официальные оппоненты:— доктор физико-математических наук,

профессор Голоьизнин Василий Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Полевиков Виктор Кузьмич

Ведущая организация: — Институт математического моделирова -

ния РАН

Защита состоится "2.Б " но.а5~рд__ 1993 г. в'^^часов

на заседании специализированного совета К 006.10.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072 , г.Минск, ул.Сурганоьа,II,Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан " " сстяЪрд 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

А.И.Астровский

ОКЧАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. Применение математических методов исследования многих важных явлений и процессов приводит к задачам , включащим системы дифференциальных уравнений в частных производных . 3 гидродинамике одними на важнейших для практики и наиболее интересными для теоретических исследования являются мод ли, описывающие течения жидкости как. сплошной среды . Наиболее полная математическая модель , учитывающая эффекты вязкости и теплопроводности - система уравнений Навье-Стокса . Особый интерес здесь представляют уравнения, описывающие динамику вязкой несжимземой жидкости. Это обусловлено как большой практической значимостью данной системы , так и особого рода проблемами , возникающими прл ее решении .

Математическим "опросам теории уразнан'ий. вязкой несжимаемой жидкости посвящены работы 0.А.Ладыженской , ША.Солонникова , К.К.Головкина , Р.Темама , Ж.Лионоа , Е.Хспфа , К.Сорриня и других авторов. Сложный , нелинейный характер уравнений существенно затрудняет или вообще делает невозможным их аналитическое решение в большинстве практические приложений . Поэтому уравнения механики вязкой жидкости решаются ь основном при помощи численных методов, среди которых'широкое распространение П' лучили конечно-разностные.

Метод конечных разностей является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения задач механики сплошной среды. Теоретическому исследованию данного метода посвящено огромное число публикаций , в том числе широкоизвестные труда А.А.Самарского , Г.Юарчукг , Н.Н.Яненко .С.К.Годунова , Е.Г.Дьяконова , Н.С.Бах-Еалова , Н.Н.Калиткина , ,Б.Л.Рождественского , А.В.Гулина • В.Б.Андреева , О.М.Белоцерковского , Р.Рихтмайера , К.Мортона , В.Вазова , Дж.Форсайта и других авторов .

При численном решении уравнений вязкой несжимаемой жидкости возникает ряд трудностей , обусловленных многомерностью задачи , нелинейностью уравнений , наличием малого параметра при старших производных в случае течений с большими числами Гейнольдса.а'так-

же неэволюционностью системы , что приводит в конечном итоге к проблеме определения давления .Последнее обстоятельство и предопределило первоначально широкое развитие.методов , основанных на переход.'? к системе уравнений относительно переменных завихренность («) - функция тока №) . На присущие данному способу слабые места указывалось в работах О.М.Белоцерковского ,Д.Андерсона , Р.Плетчвра , Дж.Таннехилла , К.Флетчера и многих других авторов. В связи с этим актуальной с'.1'ала проблема разработки элективных методов численного решения уравнений несжимаемой жидкости , записанных в физических переменных скорость-давление (и,Р) .

.Одним из подходов , используемым при решении (11,Р)-уравпе-ний, 'является сведение их определенным способом к некоторой эволюционной системе ,для численного решения которой затем можно использовать методы типа дробных шагов или переменных направлений . Для аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного тина широко используется идея искусственной сжимаемости (работы Н.Н.Владимировой , Б.Г.Кузнецова , Н.Н.Яненко А.Чорина ) , а также различные способы ^-аппроксимации (работы Р.Темама ; П.Е.Соболевского , В.В.Васильева ; Л.П.Осколкова ; Ю.Я.Белова и др.) .Построению и обоснованию разностных методов для таких систем посвящены работы 0.Д.Ладыженской .В.Я.Ривкиндя, А.П.Осколкова , Г.М.Кобелькова , Б.Г.Кузнецова, А.Чорина , Р.Темама и многих других авторов.

Другой подход , применяемый при численном интегрировании (II,Г) - системы уравнений , связан с естественным стремлением точно удовлетворять в каждый момент времени разностному уравнению неразрывности , что означает выполнение сеточного аналога закона сохранения массы . В этой связи следует отметить методы , использующие для аппроксимации исходной дифференциальной задн-чи разнесенные сетки ( работы Ф.Хнрлоу Д.Увлча ; А.Лмсдена ; С.Истона ; К.Гхиа ; О.М.Белоцерковского и других авторов ).

■Помимо закона сохранения массы для исходной модели вязкой несжимаемой жидкости выполняется уравнение баланса энергии. Для разностных неявных схем , построенных в работах О.Л.Ладн-ской , А.Кживицкого , имеет место сеточный аналог такого

уравнения . В работах Й.В.Фрязинова построены энергетически-нейтральные консервативные схемы на смещенных друг относительно друга неравномерных сетках , для которых также выполняются указанные выше законы. Применение неявных консервативных алгоритмов позволяет проводить вычисления с использованием достаточно грубых сеток. Однако, эти методы относительно неизвестного временного слоя образуют довольно сложные и специфичные по конструкции системы алгебраически: уравнений . Поэтому построение эффективных способов р элизшдои. данных .сем является ванной проблемой .

Целью работы является построение и исследование, эффективных итерационных алгоритмов реализации энергетически-нейтральных схем как для нестационарной . так и стационарной двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости в шременных скорость-давление ,э также некоторых способов корректировки разностных свойств атих. схем в случае , когда для исходной задачи характерны, области быстроменяющегося реш?;к-:я .

Научная новизна. Для реализации ^.ьухслойнкх неявных млювр-

вативных схем , аппроксимирующих н"стационарные уравнения Навье-Стокса в переменных (II,Р) , на основе многокомпонентного метода переменных направлений построены итерационные алгоритмы , для которых на каждой итерации точно выполняются уравнение неразрывности и некоторые сеточкке соотношения , обеспечивающие разрешимость разностной задачи для давления в классическом смысле в,конечномерном гильбертовом пространстве сеточных функций . Итерационные методы , обладающие данными свойствами , построены и для стационарных '-/равнений . На основе анализа первого дифференциального приближения предложен способ коррекции используемых схем' при полном сохранении их консервативности, позволяющий уменьшить схемную вязкость и дисперсию в областях ,-где большая величина этих параметров ухудшает точность приближенного решения. Изучены вопросы устойчивости разностных схем , сходимости итерационных процессов, разрешимости разнос лш методов . Предложен способ адаптации временной сетки , сохраняющий в области особенностей решения ряд основных свойств используемых схег,. , а также позво-

лящий значительно уменьшить общее число арифметических операций для получения с приемлемой точностью, приближенного реиения нестационарной задачи и для обеспечения стабилизации решения стационарной задачи по методу установления .

Практическая значимость. ^ Предложенная в работе методика

построения итерационных алгоритмов является «эффективным аппаратом для коь-.груировшия экономичных методов численного решения задач динамики и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости , а разработанный способ адаптации временного шага и итерационного ' параметра значительно повышает эффективность разностных методов для различных задач математической физики , допускающих решения с особенностями .

Аппробацкя работы. Основные результаты диссертации докладывались на Межреспубликанской научно-практической конференции "Актуальные проблемы информатики ¡математическое , программное и информационное обеспечение" (Минск,1992), на семинаре отдела вычислительных методов Института математики и информатики АН Литвы , на семинарах отдела численных методов математической физики Институт:, математики АН Беларуси .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав , приложения и списка литературы , содержащего 141 наименование . Общий объем работы 164 страницы .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор литературы и состояния проблем , изучаемых в диссертации , обоснована актуальность проведенных исследований и изложено их основное содержание .

Первая глава посвящена построению разностных алгоритмов рд-шения нестационарныл (II,Р)-уравнений Кавье-Стокса , описывающ». плоские течения вязкой несжимаемой жидкости :

ди. * <?и. ар

- !/Ди. + > и„ —к =--, V > 0 , к=1,2,

дх к а ах ах

(1

(Ну и = О , (хД) б Б1®'* 10, Т1 , и = (и ,иг);

в 0 ' ¿тг>= Г * ^О.ТЗ . и! = 5(х) . X .5 П<2>,

(^т т Г-

$ = (р^'р/-

Разработка разностных схем. ,тя линеаризованных уравнений и итерационных процессов реализации неявных консервативных схы основывается в работа на идее многокомпонентного метода переменных направлений , пр"чложзн?;ого в работах В.Н.Абрашина и позволяющего конструировать безусловно-устойчивые экономичные разностные алгоритма для различных кл: г'еов задач любой размерности при сохранении полной аппроксимации решаемых уравнений . Многокомпоне'тность данного метода в настоящей работе играет существенную роль при построении экономичных алгоритмов и решении проблемы давления .'

В § т для линеаризованной модели вязкой несжимаемой жидкости построены разностные алгоритмы многокомпонентного типа один из которых имеет следующий■вид :

У, = Ь (У ) + ъг (У ) - иго^О , х ^ С^ ,

^ (У) + 12(У ) -вгос^О , ,

А А А (2 ^

У31 = Ь (У ) + ьа ) - ггас^О , х- € , , '

¿¿иь 7з = 0 , X € пь , Уй

■-О.Тв| -«„.«И.З.

где Уа - сеточные аналоги вектор-функции скорости , опреде^ ленные з%узлах сетки «ьт , ягас^О = ( )т , ч - сеточный

1 г

аналог давления , заданный в узлах полуцелой сетки £2ЬТ . Первые два уравнения в (2) предназначены для определения экономичным способом векторов У1 , Уг . Третье и четвертое уравнения взятые вместе образуют систему ууэвнений для нахождения я , которая в работе интерпретируется как разностная задача Неймана

л л л

XX XX

1 1 2 г (3)

л л л ^

Ч = Г(У .У ) ,

"о * ч 9 э ' *

определенная на каждом временном слое в узлах сетки Пь , расположенных строго внутри расчетной области . Изучение свойств задачи (3) покрывает разрешимое ь в классическом смысле в конечномерном гильбертовом пространстве сеточных функций ,

/ч

определенных на Г^ .Подстановка найденного из (3) значения д в

Л

третье уравнение (2) дает соленоидальны« вектор Уэ . ?,ыбор начального условия для а осуществляется из (3) , где вмес-

А

то Уа , аЛ,2 берется функция . В пара1-рафе пос.роены также схемы , не требующие определения начального условия для ч . Для реализации неявной схемы предложены итерационные многокомпонентные щюцессн , построенные по типу (2) и обладающие аналогичными свойствами..

В § 2 для нелинейной модели (I) рассматриваю!ся неявные энергетически-нейтральные схемы , для которых на сетке узлов выполняются законы , свойственные исходной дифференциальной задаче . Предлагается способ введения в данные схемы .параметра а ,

специальный выбор которого позволяет существенно уменьшить схемную вязкость и дисперсию в тех местах расчетной области , где большая величина этих параметров может привести к потере точности приближенного решения . Для реализаций неявных схем построены итерационные алгоритмы следующего вида :

=ь (У ) + ьД) -вхч^О ' X Г/ ) + ьД) ; Х€«ь ,

Б +1 Б 4-1 3+1 (4)

^ = МТ.> + № > Х€ыь • •

сг^у = о , х е п^ ,

Б+1 5+1 5+1 Б+1 5+1 --_

где Уа1= г"1 ( Уа - У ) , Уа = ( уа, 2а)т, а=1,3, У = (у )т,

У - решение разностной схемы на никнем слое. На каждой итерации

S +1

(4) получается соленоидальное приближение вектора скорости Уэ , точно удовлетворяющее разностьому уравнению неразрывности,а для задачи Неймана для давления выполняются условия , гарантирующие ее разрешимость. В данном параграфе предлагаются также итерационные алгоритмы реализации неявной нелинейной консервативной схемы , а также итерационный процесс , допускающий полное распараллеливание вычислений .

В § 3 предыдущие результаты обобщаются на уравнения конвективного теплопереноса в приближении Буссинеска

да * du. SP

39 ' " 3S

— - а Д0 + > и„ — = 0 , div U = 0 ,

at а дха

для решения которых построены многокомпонентные итерационные процессы следующего вида :

т- <Е0 - е ) = л ) + лг ( \) ,

5+1 Э+1

(е-б)=л(в) + л(б),хеы. -

\ г / • 4 « ' £ 2 П

для определения 0 ;

*У 4 = Ъ ) + ьг (У ) - ггс^а - % , х 6 ,

% = ) + ЬД) - вгасф -йд , х € ^ ,

У31 = (У, ) + Ь2 (УС) - ^гс^С - , X е ,

Б ♦ I АЛЛ

У = 0 , X е - для определения у,2,о, .

В § 4 с целью повышения эффективности используемых схем при решении задач , для которых характерны Оольше градиенты решения , предлагается способ адаптации временной сетки , сохраняющий в области особенностей ряд основных качеств схем, таких как выполнение закона сохранения масса , разрешимость задали для давления и других . Показывается возможность применения данного способа адаптации как в случае равномерных , так и неравномерных пространственных сеток . На простых модельных примерах рассматриваются вопросы устойчивости и сходимости разностных схем на введенных сетках . Показано, что вопросы устойчивости в этом случае хорошо согласуются с общей теорией устойчивости двухслойных схем .

Вторая глава посвящена обоснованию предложенных разностных методов решения.уравнений Навье-Стокса . Изучаются вопросы устойчивости разностных схем и сходимости итерационных процессов.

В § 5 при помощи энергетического метода получен ряд априорных оценок решения разностных схем в сеточных нормах Ьг и 5?. Из полученных оценок следует безусловная устойчивость этих схем в линеаризованном случае . Для неявных энергетически-нейтральных алгоритмов такие оценки выражают баланс энергии на сетке узлов . Применение метода первого дифференциального приближения для изучения используемых неявных консервативных схем позволило

К + 1

построить методы с уменьшенной внутренней вязкостью .относящиеся к классу энергетически-нейтральных схем .

3 § 6 получен ряд оценок погрешностей многокомпонентных итерационных процессов . Так для (4) такие оценки имеют вид :

3+1 я

И г < г Нг ,

э , в г г

в которых в Иг входят сеточные нормы \ и величин ра ,(1 .

Б Э А Б . Э л --Б Э л

Гда Р<х = усс " У ' ^х = аа " 2 • а = й = ~(ч " '

а множитель г < I всегда , если рассматривается линеаризация уравнений (I) , в которой отсутствуют конвективные члены , и при определенных соотношениях между шагами сетки при наличии конвективных членов . Данные оценки характеризуют сходимость итерационных процессов к решениям соответствующих неявных схем по геометрическому закону , причем сходимость имеет место для

Э +1 --Э +1

всех компонент Уа ,аЛ ,3, и для вгас^й . Для внешних итерационных процессов реализации неявной нелинейной схемы получены оценки, характеризующие их сходимость пои выполнении ограничеий на временной шаг , согласующихся с требованием корректности первого дифференциального приближения используемой схемы .'

Третья глава диссертации "посвящена вопросам применения построенных алгоритмов для решения стационарных уравнений вязкой несжимаемой жидкости по методу установления .

В § 7 рассматривается линеаризованная стационарная задача , для решения которой построены безусловно-сходящиеся итерационные алгоритмы на равномерных и неравномерных сетках . Получены опенки , характеризующие скорость сходимости даншх методов , определяемую соотношениями между шагами сетки т.Ь и параметром задачи и . Показываемся , что в случае применения неравномерных пространственных сеток хорошую скорость сходимости и экономичность дает алгоритм с адаптированным выбором итерационного параметра (шага по фиктивному времени) .'

В § 8 аналогичные итерационные алгоритмы построены для стационарной нелинейной модели вязкой несжимаемой жидкости. Все

предложенные методы на каждой своей итерации удовлетворяют требованиям ссленоидальности и разрешимости . Здесь же рассматриваются вопросы построения хорошего начального приближения для итерационных процессов .

В приложении содержится материал , касающийся изучения свойств разностного оператора задачи Неймана для давления (§ 9), а также некоторых результатов вычислительных экспериментов (§ 10), подтверждают эффективность применения построенных в работе методов для- решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости .

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИЯ

1. Для численного решения нестационарных и стационарных уравнений вязкой несжимаемой жидкости , записанных в физических переменных скорость-давление , на основе . многокомпонентного метода переменных направлений построены эффективные итерационные алгоритмы, для которых выполняются на сетке законы сохранения, свойственные исходной дифференциальной задаче , а также точные аналоги интегрального-соотношения , обеспечивающие разрешимость разностной задачи для давления . Изучены вопросы сходимости данных итерационных процессов к решениям

ч соответствующих разностных схем .

2. С целью коррекции дифференциального приближения используемых разностных схем предложен способ конструирования энергетически-нейтральных схем с улучшенными диссипативно-дисперсионными свойствами .

3. Предложен способ адаптации временной сетки для нестационарных и итерационного параметра для стационарных уравнений вязкой несжимаемой жидкости , ориентированный на задачи с большими градиентами решения .

Основные рейультаты диссертации опубликованы в следующих работах :

1. Абрашин Б.К. Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса.1.// Дифференц.уравнения.1992. T.28.N 7. C.II54-II67.

2. Абрашин В.Н. Лапко С.Л. 00 одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса.П.// Дифференц.уравнения.1993. T.29.N 4. С.673-688.

3. Абрашин В.Н. Лапко С.Л. Об одном классе итерационных методов решения стационарных уравнений Навье-Стокса.1.//Дифференц.уравнения. 1993. T.29.N 9.0.1561-1574.

4. Абрашин В.Н. Лапко С.Л. Об одном классе разностных схем для уравнений вязкой несжимаемой кидкости в переменных скорость-давление .Мн.1992.Препр./АН Беларуси.Ин-т математики.N 1(479). 24 с.

5. Abrashin V. lapko S. On one claaa oi difference echemes oi solution oi Navler-Stokes equations In velocity-pressure variables. //Informatica.1992.V.3,N 2.P.141-158.

6. Лапко С.Л. Разностные алгоритмы решения задачи тепловой конвекции. //Дифференц.уравнения.1992.Т.28,N 12. C.2I37-2I48.

7. Лапко С.Л. Адаптация временной сетки для разностных схем решения уравнений математической физики.//Дифференц.уравнения. 1993.Т.29,N 7.C.I200-I209.

8. Лапко С.Л. Об одном подходе к численному решению уравнений Навье-Стокса.//Матер.межресп.научн.-практ.конференц."Актуальные проблемы информатики".Мн.1992.С.98-99.