Исследование трёхпараметрического итерационного метода, ориентированного на решение двух классов задач с нелинейными седловыми операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

Милютин Сергей Владимирович

Исследование трёхпараметричсского итерационного метода, ориентированного на решение двух классов задач с нелинейными седловыми операторами

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010

003490949

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Евгений Владимирович Чижонков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Юрий

Викторович Василевский кандидат физико-математических наук Татьяна Константиновна Козубская

Ведущая организация: Волгоградский государственный университет

Защита диссертации состоится 17 февраля 2010 года в 16 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.002.16 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико- математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 января 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д.501.002.16 при МГУ, доктор физико-математических наук

А.А. Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача численного решения уравнений гидродинамики имеет важное практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев {например, в случае уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости) нахождение аналитического решения в явном виде не представляется возможным. При этом, как правило, при дискретизации исходных дифференциальных уравнений, рассматриваемых в переменных скорость-давление, приходят к системам нелинейных алгебраических уравнений с седловыми операторами.

В настоящее время разработано достаточно много методов решения седло-вых задач, среди которых можно выделить класс итерационных методов, полученный различными модификациями хорошо известного алгоритма Эрроу-Гурвица. Заметим, что в отличие от линейных симметричных седловых задач, для которых эффективность оригинального алгоритма Эрроу-Гурвица не уступает многим другим алгоритмам, при решении нелинейных задач метод Эрроу-Гурвица начинает сходиться крайне медленно, а во многих случаях вообще перестаёт сходиться. Таким образом, с практической точки зрения интерес представляют обобщения метода Эрроу-Гурвица, среди которых следует отметить двухпараметрический ¡3 — т метод Г.М. Кобелькова, а также особо выделить трёхпараметрический итерационный метод, предложенный в работе Ю.В. Быченкова и Е.В. Чижонкова. Основными отличительными особенностями этих алгоритмов является простота реализации, минимальные требования к объёму памяти, а также гораздо более высокая скорость сходимости для нелинейных задач по сравнению с методом Эрроу-Гурвица.

Наибольший прогресс в теоретических исследованиях упомянутых итерационных методов удалось добиться в случае линейных симметричных задач: доказаны окончательные теоремы о сходимости алгоритмов и получены аналитические формулы для оптимальных итерационных параметров. Были также предприняты удачные попытки обоснования применения двухпа-раметрических и трёхпараметрического итерационных методов для решения

нелинейных задач. В частности, Ю.В. Быченков обосновал трёхпараметриче-ский итерационный метод для кососимметричной (как в уравнениях Навье-Стокса) и сильно монотонной нелинейностей. Представляется важным обобщение упомянутых методов на новые, более сложные нелинейные задачи, в частности— на задачи, описывающие течения бингамовской и обобщённой ньютоновской жидкостей.

Бингамовская жидкость — это модель вязкопластической среды, уравнение состояния которой имеет следующий вид:

= ~Pkj + + vDij{u).

Здесь Sij — символ Кронекера, д, и — положительные константы, характеризующие физические свойства среды, а — тензор напряжений, D{u) — тензор скоростей деформаций, a |f(u)| — его второй инвариант. С математической точки зрения уравнения, описывающие течение бингамовских сред, представляют обобщения уравнений Навье-Стокса, отличающиеся от последних наличием нелинейного слагаемого, моделирующего пластические свойства среды. Теоретические исследования данных уравнений были проведены в работах Ж. Дюво, Ж.-JI. Лионса и др., результатами которых являются теоремы существования и единственности обобщённых решений в двумерном случае, а также теорема существования решения в трёхмерном случае. С вычислительной точки зрения основная трудность, связанная с моделированием течения бингамовской жидкости, заключается в недифференцируемости дополнительного нелинейного слагаемого. Одним из способов обхода этой трудности является рассмотрение различных регуляризаций исходной задачи. Однако это не избавляет от вычислительных проблем, так как применение многих классических методов (например, ньютоновских и квази-ньютоновских) к регуляризованной задаче даёт крайне плохие результаты в силу плохой обусловленности получаемых уравнений. Таким образом, задача разработки эффективных методов расчёта течений бингамовской жидкости является актуальной.

Обобщённая ньютоновская жидкость — это модель нелинейно-вязкой жидкости, уравнение состояния которой имеет вид:

aid = —рSij + <р (\D(u)\) Aj(u),

где на функцию ¡р накладываются специальные ограничения, обеспечивающие существование и единственность обобщённых решений уравнений движения. Отметим, что данная модель является обобщением широкого класса физических постановок задач, в частности, при ср = const > 0 из неё следуют уравнения Стокса.

Целью диссертационной работы является исследование вопросов применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного решения двух классов нелинейных задач, а именно: задач, описывающих течение бингамовской вязкопластической и обобщённой ньютоновской жидкостей.

На защиту выносятся:

1. Доказательство локальной теоремы сходимости трёхпараметрического метода расчёта течений бингамовской жидкости.

2. Доказательство теоремы сходимости трёхпараметрического метода расчёта течений обобщённой ньютоновской жидкости.

3. Формулировка алгоритма поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров трёхпараметрического итерационного метода.

Научная новизна. В работе впервые проведен о теоретическое обоснование сходимости трёхпараметрического итерационного метода для двух специальных классов нелинейных задач с седловыми операторами: в терминах указанных норм получены оценки скорости сходимости и исследованы их предельные свойства. Предложен и реализован алгоритм поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров в зависимости от параметр ров дискретизации и физических констант задачи.

На основе результатов численных экспериментов проведён сравнительный анализ трёхпараметрического метода с другими алгоритмами этого же класса.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основная теоретическая ценность работы заключается в строгом математическом обосновании применимости трёхпараметрического итерационного метода для расчёта течений бингамовской и обобщённой ньютоновской жидкостей. Практическая ценность заключается в демонстрации на большом количестве тестовых примеров работоспособности исследуемого метода, а также в формулировке практического алгоритма поиска итерационных параметров.

Методы исследований. При доказательстве сходимости трёхпараметрического итерационного метода была использована теорема Каратеодоре, а также теорема о среднем. Для дискретизации уравнений движения использовался метод конечных элементов, а также метод конечных разностей на смещённых сетках

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ ( [1 — 5]), из которых две ( [1 — 2] )— в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание степени доктора и кандидата наук".

Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на научно исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. Г.М. Кобелькова (Москва, 2009), на ежегодных научных конференцях "Ломоносовские чтения"(Москва, 2008,2009), на международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики"(Москва 2009), на семинаре "Вычислительные и информационные технологии в математике "под руководством проф. В.И.Лебедева, д.ф.-м.н. Ю.М.Нечепуренко, чл.-корр. Е.Е.Тыртышникова (ИВМ РАН, Москва, 2009), на семинаре сектора "Вычислительная аэроакустика"под руководством к.ф.-

м.н. Т.К. Козубской (ИММ РАН, Москва, 2009) а также на 7-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(Казань, 2007).

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения. Библиография содержит 38 наименований. Общий объём диссертации 92 страницы. В работе содержится 14 рисунков и 15 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводятся формулировки решаемых задач, а также выписывается трёхпараметрический итерационный метод, исследуемый в работе. В краткой форме описываются уравнения течения бингамовской и обобщённой ньютоновской жидкостей и формулируются основные теоретические результаты, касающиеся теорем существования и единственности.

Глава 1 посвящена обоснованию применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного моделирования течений бингамовской жидкости.

В §1.1 формулируется двумерная стационарная первая краевая задача, описывающая течение несжимаемой изотермической бингамовской вязкопла-стической жидкости в переменных скорость-давление в области ÍI:

-и Au + р(и • V)u - д V • + Vp = f,

V-u = 0, (1)

u|9n =

о о

гдеи 6 V ~W\{ü)y.W\(ü.) и ре Ь2( П)/К. Основная трудность, возникающая при численном решении (1), связана с недифференцируемостью нелинейного

г, DÍU)

слагаемого V ■ , ' в так называемых застойных областях, а также в оола-стях сдвигового течения, которые характеризуются условием |.D(u)| = 0. Для преодоления данной трудности рассматривается известная е—регуляризация (е > 0) задачи (1) следующего вида:

-Í/ДиЕ +(и£ - V) u£ - fl V • + f,

v/£2 + |¿3(u£)|2

V • u£ = 0, {¿)

В §1.2 исследуются свойства операторов регуляризации. В частности, доказывается следующая лемма:

Лемма 1. Производная нелинейного оператора ( V ■ —, ^ ) яв-

\ у/?тщщ¡у

ляетпся линейным, самосопряженным, неотрицательным оператором на V.

В §1.3 выписывается формальная дискретизация системы (2) (построенная, например, на основе метода конечных элементов), которая без ограничения общности имеет вид:

(А(и)+Вр = /

{ 2^ = 0 О)

Здесь и и Р — конечномерные евклидовы пространства размерностей А'ц и Ар соответственно, причём Аг[/ > Агр. Отметим, что II я Р являются аппроксимациями пространств V и соответственно. Оператор А представим в виде

А(и) = Би + N(4, и) + М(и),

где

5 : 11 —► [I — линейный, самосопряженный, положительно определенный оператор;

N -.и х I/ 17 — билинейный оператор, для которого справедливо

(N(4, у),у) — 0 Уи,иеи, (4)

|(%®)1ш)|<^|МиНУИ15 и, (5)

причём его производная в точке и — линейный оператор Л'и— допускает оценку

Уи,уеЩ (6)

М : II —> и — нелинейный оператор, удовлетворяющий условию

0 < (М(у), у) Чу е и, (7)

причем его производная в точке и (линейный оператор Ми) является самосопряженным, неотрицательным оператором, для которого выполнено следующее неравенство:

О <MU< oiS. (8)

В '. Р —* U — линейный оператор, для которого (вместе с оператором S) имеет место аналог известного LBB-условия

(Во и)

■К! (р,р) < sup YlH G P' > (9)

офиеи IMIs

Выше было использовано обозначение ||u||s = \J(Su,u). Отметим, что все константы в условиях (4)—(9) предполагаются сеточно-независимыми, а сами условия являются естественными в том смысле, что их аналоги справедливы в непрерывном случае. Доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)~~(9). Тогда для произвольной правой части f € U существует по крайней мере одно решение задачи (3).

В §1.4 изучается сходимость трёхпараметрического итерационного метода

qH-- + A(yk) + ¡3BC-1BTuh + Bpk = /

г (10)

- р*) + BTuk+l =0

для решения системы (3). В (10) использованы следующие обозначения:

(■uk\pk) = zk — приближение на к—ой итерации к решению (u; р) = z системы

(3). т, ¡3, а — независимые параметры итерационного процесса, причем т >

0, а > 0, /3 £ Ж] Q : U —+ U, С : Р —> Р — линейные, положительно

определенные, самосопряженные операторы. Предполагается, что выполнены

следующие условия:

0 < etQ < S < OxQ, (11)

О < 7iС < BTQ~1B < TjC, (12)

где 0 < 6i < ©1, 0 < 7i < Гх — сеточно-независимые константы. Отметим, что условие (12) является аналогом LBB-условия, а (11) связано с задачей построения эффективного предобусловливателя для оператора 5.

Определим параметрическую норму в ¿Г = <7 х Р следующим образом:

Ып = ||(и;р)||к = + {Ср,р}.

Доказывается основная теорема о локальной сходимости метода (10) для расчёта течений бингамовской жидкости.

Теорема 2. Зафиксируем некоторое г > 0. Пусть выполнены следующие условия:

/? > 0, вг - + г) - ~ > о,

■ (а 1 1 О < Т < ГШП < --> ■

\4Гх' ©! + СГ!©! /

Тогда для произвольного начального приближения £ ВТ(г) метод (10) сходится со скоростью геометрической прогрессии с показателем 0 < д < 1 в норме || • \\ц, то есть выполнено \\гк — хЦя < — 2\\ц, где

д = тах | + ^ (1 - т{вх - в3/2¿л,(1М1л + г))) ,

Обозначим через 2} оператор перехода в методе (10). Имеет место следующее следствие.

Следствие 1. Если дополнительно к условиям теоремы 2 выполнено неравенство

то справедлива следующая асимптотическая оценка:

]№Мк<!_ 1

тт г-г-<1--

а > 0,т > 0, И*0-*»* ^ /?ек

где с = ——— = const, £ = —» 0. 6i -f 771 Г!

Глава 2 посвящена обоснованию применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного моделирования течений обобщённой ньютоновской жидкости.

В §2.1 формулируется трёхмерная стационарная первая краевая задача для уравнений течения обобщённой ньютоновской жидкости:

Vp-V-[^(|i3(u)|2)D(u)]=f,

V-u = 0, (13)

«1«! =

На функцию tp накладываются следующие ограничения:

1. tp(x) — непрерывная на полупрямой 0 < х < оо функция, у которой

/ ч dw(x)

в любой точке х € (0;оо) существует производная ——, непрерывно

V d<p(z) п зависящая от х, и lira —;—х — О.

®-о dx

2. Для Vx £ [0; 00) функция <р(х) удовлетворяет неравенствам: а,2 > ip(x) >

нстан'

dip(x)

, . „ dip(x) _

ai, <р(х) + 2х—~— > аз, где ai, аа, аз — положительные константы. dx

3. Существуют положительные постоянные а4 и as такие, что при х > а5.

dx

<

Приводятся известные теоремы существования и единственности решения задачи (13).

В §2.2 выписывается формальная дискретизация системы (13), которая имеет форму задачи (3) с оператором А, представимым в виде:

Л (и) = + (14)

где в :[/—»{/ — линейный, самосопряжённый, положительно определённый оператор;

Ь : V —* и — нелинейный оператор, удовлетворяющий условию

(Ь(ь), У) > 0 \ZveU, (15)

причём линейный оператор Ьи (производная £ в точке и) является самосопряжённым, положительно определённым оператором, для которого выполнено

О < Ьи < оъР. (16)

Рассматривается В : Р —> II — линейный оператор, для которого выполнено следующее неравенство

/е2(р,р)< вир ^^ УреР, «2>0, (17)

являющееся аналогом ЬВВ-условия. На основании указанных свойств устанавливается теорема существования решений для дискретной задачи (3).

Теорема 3. Пусть выполнены условия (Ц)—(17). Тогда для произвольной правой части / 6 (7 существует по крайней мере одно решение задачи (3).

В §2.3 изучается сходимость трёхпараметрического итерационного метода (10) для решения системы вида (3), полученной при дискретизации уравнений обобщённой ньютоновской жидкости (условия (14)—(17)). Предварительно потребуем, чтобы выполнялись следующие неравенства:

о < 02<Э < £ < ©2<3, (18)

о < 12с < вТд~1в < г2с, (19)

где 0 < 02 < ©2) 0 < 72 < Гг — сеточно-независимые константы. Условие (19) является аналогом ЬВВ-условия, а (18) связано с задачей построения эффективного предобусловливателя оператора (7. Доказывается следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:

/3> о, в2 - — > О,

а

О < т < хпш

тш(4г2'е2 + <т2е2 + /?г2/'

{

а 1

}

Тогда для произвольного начального приближения метод (10) сходится со скоростью геометрической прогрессии с показателем 0 < д < 1 в норме || • ||я7 то есть выполнено ]]гк — гЦх, < — г\]к, где

Отметим, что результат, доказанный в теореме 4, является более сильным по сравнению с результатом, доказанным в теореме 2. Причина в том, что сходимость исследуемого трёхпараметрического метода для расчёта течений бингамовской жидкости имеет место лишь в окрестности точного решения, в то время как в случае обобщённой ньютоновской жидкости трёхпарамет-рический итерационный метод сходится с любого начального приближения. Обозначим через оператор перехода метода (10) с условиями (14)—(17). Имеет место следующее следствие.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 4 справедлива следующая асимптотическая оценка:

< 1.

а > 0, г > 0

тт

где с = сопб^ £ = —--> 0.

1г

Глава 3 посвящена обсуждению практической реализации трёхпарамет-рического итерационного метода. Основная трудность, связанная с практическим использованием трёхпараметрйческого итерационного метода, заключается в определении приемлемых для счёта итерационных параметров. Будем называть оптимальными итерационными параметрами такие т, а, /3, для которых норма невязки убывает в заданное количество раз за минимальное количество итераций.

В §3.1 обсуждаются основные особенности применения трёхпараметрического итерационного метода, к числу которых относятся следующие.

1. Метод (10) крайне чувствителен к изменению итерационных параметров. Если физические параметры задачи (и, р, д в случае расчёта течений бингамовской жидкости) и параметр дискретизации Л фиксированы, то уже в относительно небольшой окрестности оптимальных параметров т,, а*, Д, метод либо перестаёт сходиться, либо сходится очень медленно.

2. При небольших изменениях физических параметров задачи (например, V, р, д в случае расчёта течений бингамовской жидкости) оптимальные значения г», а*, /3* также меняются слабо, что позволяет при малом изменении и,р,д локализовать окрестность поиска новых оптимальных значений т, а, /3.

3. Оптимальные итерационные параметры метода (10) слабо зависят от параметра дискретизации исходной дифференциальной задачи, что позволяет эффективно определять т*, а„ /3» на сетке с крупным шагом, для их последующего уточнения, если это необходимо.

На основании перечисленных свойств предлагается практический алгоритм поиска оптимальных итерационных параметров (сформулируем его для звг дачи расчёта течений бингамовской жидкости).

Предположим, что удалось найти оптимальные значения т, а, /3 для некоторых щ, ро, до. Обозначим их через то, ао, /?о- На следующем шаге рассмот-

рим — ^о + Д^, р\ = ро + Ар, д\ — до + Ад и с помощью какого-либо алгоритма оптимизации (например, циклического метода покоординатного спуска) найдём новые оптимальные значения т\, «1, /?х, причём область поиска сузим до некоторого 5д(то, ао,/?о) ~~ шара радиуса й с центром в то, с*о> $)■ Отметим, что конкретные значения Аи, Ар и Ад, а также К подбираются для каждой задачи экспериментально. Соответственно, на следующем шаге данного алгоритма рассматриваются 1/2 = ¡/\ + А и, р% — р\ + Ар, дч = дх + Ад и уже для них находятся оптимальные итерационные параметры. В качестве отправной точки предложенного алгоритма может служить некоторая линейная задача (в случае бингамовской жидкости это задача Стокса (р = 0, д = 0, и = 1)), так как для неё получены аналитические формулы параметров то, «о, /30. Следует отметить, что с помощью описанной процедуры мы находим оптимальные итерационные параметры с некоторой погрешностью, определяемой точностью алгоритма оптимизации. Таким образом, корректнее называть итерационные параметры, найденные с помощью предложенной процедуры, квазиоптимальными.

Глава 4 посвящена обсуждению численных экспериментов, демонстрирующих работоспособность метода.

В §4.1—§4.2 представлены результаты численных экспериментов, среди которых расчёты течений в квадратной каверне, а также расчёты течения Пуазейля для цилиндрических труб как постоянного, так и переменного диаметра. Для всех экспериментов приводятся графики линий уровня функций тока, а также профили скорости и указываются квазиоптимальные итераг ционные параметры, построенные с помощью процедуры, описанной в §3.1. Обсуждается вопрос влияния параметра регуляризации е в случае расчёта течений бингамовской жидкости на трёхпараметрический итерационный метод, а также на алгоритм поиска квазиоптимальных итерационных параметров.

Заключение содержит основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Для дискретного аналога г— регуляризованньтх уравнений, описываю-

щих течения бингамовской вязкопластической жидкости, доказана локальная теорема сходимости трёхпараметрического итерационного метода.

2. Для дискретного аналога уравнений, описывающих течения обобщённой ньютоновской жидкости, доказана теорема сходимости трёхпараметрического итерационного метода с произвольного начального приближения.

3. Сформулирован и экспериментально опробован алгоритм поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров в зависимости от параметров дискретизации и физических констант задачи.

Кроме того, с целью демонстрации вычислительной эффективности трёхпараметрического итерационного метода рассчитаны приближённые решения различных модельных и реальных задач течения бингамовской вязкопластической и обобщённой ньютоновской жидкостей.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Евгению Владимировичу Чижонкову за постановку задачи и помощь в работе. Автор также выражает признательность коллективу кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Милютин C.B. Об одном алгоритме расчёта течений бингамовской жидкости // ЖВМ и МФ. 2009. 49, №3. 549-558.

2. Милютин C.B. Об одном алгоритме расчёта течений обобщённой ньютоновской жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. №5. 63-65.

3. Милютин C.B. Практическая оптимизация трехпараметрического итерационного метода для расчёта течений бингамовской жидкости // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т.9. 34-39.

4. Милютин C.B. К расчёту течений бингамовской жидкости. Сеточные методы для краевых задач и приложения:. Материалы Седьмого Всероссийского семинара. Казань: йзд-во Казанского гос. университета, 2007. 200-205.

5. Милютин C.B. Об одном алгоритме расчёта течений бингамовской жидкости. Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. -396 с.

Подписано в печать /г о /, ю Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1.25 Тираж 100 экз. Заказ 01

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

Введение

Глава 1. Численное исследование течения бингамовской вязкопластической жидкости

1.1. Модель бингамовской жидкости.

1.2. Вспомогательные результаты.

1.3. Дискретная задача.

1.4. Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода.

1.5. Выводы.

Глава 2. Численное исследование течения обобщённой ньютоновской жидкости

2.1. Постановка задачи.

2.2. Предварительные результаты.

2.3. Доказательство сходимости трёхпараметрического итерационного метода.

2.4. Выводы.

Глава 3. Алгоритм поиска итерационных параметров трёхпараметрического метода

3.1. Формулировка алгоритма.

3.2. Выводы.

Глава 4. Практическая реализация трехпараметрического итерационного метода

4.1. Задача о каверне.

4.2. Течение Пуазейля.

4.2.1. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса.

4.2.2. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе переменного радиуса.

4.2.3. Течение Пуазейля бингамовской жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса.

4.3. Выводы.

Проблема численного решения уравнений гидродинамики имеет важное практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев (например, когда уравнения описывают течение вязкой, вязкопластической и других жидкостей) нахождение аналитического решения в явном виде не представляется возможным. Однако применение численных методов для решения задач о течении различных жидкостей требует тщательного обоснования используемых алгоритмов. Отметим, что такое обоснование с одной стороны связано с вопросами существования и единственности решения рассматриваемых постановок физических задач, а с другой стороны — с особенностью применения конкретного алгоритма к конкретной задаче (или классу задач). Для многих моделей жидкостей (нелинейно-вязкой, вязкопластической и других) в том или ином виде доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих уравнений движения ( [9], [25], [27]). Таким образом, для таких моделей остаётся открытой проблема выбора эффективных численных методов. При численном анализе математических постановок задач гидродинамики, как правило, приходят к нелинейным конечномерным системам алгебраических уравнений, полученных дискретизацией исходных дифференциальных уравнений. Отметим, что, как правило, данные системы характеризуются большой размерностью, что делает невозможным применение прямых методов.

Итак, рассмотрим в ограниченной области О С М2 стационарную первую краевую задачу для уравнения Навье-Стокса в переменных скорость — давление:

- Ди + р (и • V) и + \7р = ¥, уи = 0, и1<зп = о о ре < д\д е Ь2(П), [ дсЮ, = О

Известно, что уравнения (1) описывают течение однородной вязкой несжимаемой жидкости. Дискретизация задачи (1), построенная, например, методом конечных элементов, представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, относящуюся к классу седловых задач [10], которую схематически можно представить в следующем виде:

Здесь 11 и Р — конечномерные евклидовы пространства вектор-функций, которые являются аппроксимациями пространств V и ¿2(Г2)/Ж соответственно.

Нелинейный оператор А{и) представим в виде суммы двух операторов: здесь Б : II —>II — линейный, самосопряженный, положительно определенный оператор;

N : 11 х и —► и — билинейный оператор, удовлетворяющий условию кососимметрии:

В : Р и — линейный оператор. Отметим, что операторы ¿У, N и В являются дискретными аналогами операторов

2)

А(и) = 8и + N(4,4),

Ди, соответственно.

Потребуем, чтобы для оператора В (вместе с оператором S) имел место дискретный аналог известного условия Ладыженской-Бабушки-Брецци (LBB-условие) [12].Это условие играет важную роль для теорем существования, а также является необходимым для сходимости многих алгоритмов:

СBv и) р,р)< sup -УТГ^ VpeP,«> 0, (3) где к > 0— сеточно-независимая константа, а Ц^Ц^ = y/(Su,u).

В настоящее время разработано большое количество методов решения седловых задач, среди которых можно выделить класс итерационных методов, полученный различными модификациями хорошо известного [1], [33] алгоритма Эрроу-Гурвица: пп.к

Q--- + л(ик) + BPk = f, т (4) ~а(рк+1 - рк) + Втик+1 = 0.

Здесь г, a > 0 — независимые итерационные параметры. Q : U —» U — линейный, положительно определённый, самосопряжённый оператор в U.

Отметим, что с практической точки зрения алгоритм Эрроу-Гурвица является крайне привлекательным, так как фактически при его реализации на каждом шаге мы должны решать линейную систему с симметричной положительно определённой матрицей.

Исследованию сходимости и оптимизации алгоритма Эрроу-Гурвица посвящено немалое количество публикаций, однако следует отметить, что в подавляющем большинстве работ рассматривают случай линейных симметричных задач. Однако в отличие от линейных симметричных седловых задач, для которых предельные характеристики эффективности оригинального алгоритма Эрроу-Гурвица не уступают многим другим алгоритмам, для случая нелинейных задач метод Эрроу-Гурвица начинает сходиться крайне медленно, а во многих случаях перестаёт сходиться совсем, что крайне ограничивает область применимости алгоритма. Данное обстоятельство побудило рассмотреть различные модификации и обобщения алгоритма (4), среди которых следует отметить двухпараметрический ¡3 — т итерационный метод, предложенный в работе Г.М. Кобелькова [23]: п/к+1 к

Я--+ А(ик) + (ЗВВтик + Врк = /, т м ' (5) р-1(рк+\ + ВТик;+1 = 0.

Метод (5) был предложен в контексте решения задачи Навьс-Стокса, однако в дальнейшем был обоснован и для других классов нелинейных задач [30]. Основное отличие метода (5) от метода (4) заключается в наличии члена (3~1ВВтик, который впервые был предложен в работе [23]. В этой работе была отмечена особая роль слагаемого ¡3~1ВВтик в улучшении сходимости для нелинейных задач. Однако, как показала практика, для линейных задач скорость сходимости двухпараметрического метода Кобелькова во многих случаях сильно уступала скорости сходимости метода Эрроу-Гурвица.

В дальнейшем, в работе Ю.В. Быченкова и Е.В. Чижонкова [5] был предложен трёхпараметрический итерационный метод: с+1 к и--и + к + рВС-1ВТик + Врк = уг

Т (6) -аС{рк+1 - рк) + Втик+1 = 0.

Как следует из названия, метод (6) характеризуется наличием трёх независимых итерационных параметров г,/5, а, причём г > 0, а > 0, /? Е М.

Р : 11 —> I/ — линейный, положительно определённый, самосопряжённый оператор на и.

С : Р —» Р — линейный, положительно определенный, самосопряженный оператор на Р.

Легко видеть, что трёхпараметрический метод является обобщением как метода Эрроу-Гурвица (С = 1,(3 = 0), так и двухпараметрического (3 — т метода (С = /, /3 = а-1). Отметим, что при этом метод сохранил свою практическую привлекательность, присущую оригинальному алгоритму Эрроу-Гурвица.

Исследования трёхпараметрического метода были проведены в диссертации Ю.В.Быченкова [20]. В частности, для случая линейных симметричных задач была доказана окончательная теорема сходимости трёхпараметрического метода, а также получены аналитические формулы для оптимальных итерационных параметров.

Теорема 1. Пусть А — линейный, самосопряжённый, положительно определённый оператор и пусть выполнены следующие неравенства:

7С < ВТА~1В < ГС,

6<2<а< дд.

Тогда задача оптимизации алгоритма (6) имеет единственное решение: а= 25 (2Ш-1) + й>0' 0 = °' Т = ~Г' где ш = а до — единственный корень на интервале (0; 1) уравнения

Ь^3 - (1 - и)д2 + - 1)д + (1 - у>) = 0, где £ = и при этом норма ошибки ек на к-ой итерации удовлетворяет оценке ек < дке°.

Прокомментируем результат, доказанный в теореме 1. Во-первых, в случае линейной симметричной задачи были получены аналитические значения оптимальных итерационных параметров метода.

Во-вторых, было доказано, что в случае линейной симметричной системы оптимальное значение параметра (3 — 0, то есть фактически, в случае линейной симметричной системы метод Эрроу-Гурвица является оптимальным.

Помимо линейной задачи, в диссертации [20] трёхпараметрический метод был обоснован для двух нелинейных задач:

1. нелинейности типа Навье-Стокса;

2. сильно монотонной нелинейности:

S \\щ - u2\\q < (A(ui) - A(u2),ui - u2) Vi¿i, i¿2 € U.

Проиллюстрируем всё вышесказанное на примере двух модельных задач, рассмотренных в работе [20].

В качестве первого примера приведём задачу о течении жидкости в квадратной каверне. Рассмотрим следующую систему:

- Ди + р (и ■ V) и + Vp = 0,

V " и = 0, (7)

Чал = S> в области Q, = (0; 1) х (0; 1) с граничными условиями g = (<?ъ #2) следующего вида: gU=o,i = 0, g|y=0 = 0, gi\y=i = 0, = 1.

N2pa ~~ число итераций в методе Эрроу-Гурвица (/? = 0, Q — С = I). N2pb ~~ число итераций двухпараметрического (3 — т метода (а — ¡3~г,

С = 1).

АГ3р — число итераций трёхпараметрического метода (Q = S, С = /). В таблице 1 приведена зависимость количества итераций, необходимых для р N2РА N2 рв ЛГЗР

0 10 11 8

1 12 13 10

5 13 13 10

10 16 14 11

50 80 22 22

100 217 31 31

200 1177 60 53

500 — 365 235

1000 — 1705 726 удовлетворения критерия остановки рассматриваемых итерационных методов (который в данном случае был уменьшение .¿^-сеточной нормы невязки в 103 раз) от параметра р. В качестве матрицы С} рассматривался дискретный аналог оператора — Д, а в качестве С бралась единичная матрица. Анализ таблицы 1 позволяет сделать вывод о том, что с ростом параметра р (т.е. с ростом влияния нелинейности в задаче) метод Эрроу-Гурвица сходится всё хуже и хуже, а начиная с некоторого предельного р перестаёт сходиться вовсе. В этом смысле область сходимости двухпараметрического /3 — т, а также трёхпараметрического методов гораздо шире. При этом следует отметить, что с увеличением параметра р трёхпараметрический метод начинает сходиться в разы быстрее, чем двухпараметрический (3 — т метод. Важно также заметить, что трудоёмкость одной итерации каждого из рассмотренных методов совпадает. Это означает, что для перехода с одного итерационного слоя на другой необходимо решить систему с симметричной положительно определённой матрицей С}.

В качестве второго примера приведём задачу обтекания тела. Рассмотрим систему (7) в области конфигурация которой представлена на рисунке 1.

В качестве граничных будем рассматривать условия следующего вида:

1г2г4г5 = о, ё^хГз = (-у2; о) . г, \ Г4 гэ Г5 у ^ г2 у

Рис. 1

Таблица 2 является аналогом таблицы 1 и демонстрирует зависимость числа итераций каждого из рассматриваемых методов от параметра р.

Таблица 2. р ^РА ■^2 РВ ЫЪР

0 177 273 174

10 181 278 178

30 191 288 189

40 204 304 200

50 216 320 212

60 231 347 230

70 261 368 253

100 560 471 453

120 — 655 635

Комментируя таблицу 2, во-первых, следует отметить, что, как и в предыдущем примере, область сходимости двухпараметрического ¡3 — т и трёхпараметрического методов шире, чем у метода Эрроу-Гурвица. Однако в данном примере наибольший интерес представляют первые строки таблицы 2. В случае, когда задача является линейной или близка к ней (т.е. в случае, когда параметр р мал), трёхпараметрический метод сходится гораздо быстрее двухпараметрического (3 — т метода. При этом скорость сходимости метода Эрроу-Гурвица и трёхпараметрического итерационного метода практически совпадает. Заметим, что данное обстоятельство полностью согласуется с результатом, доказанным в теореме 1: в случае линейной, самосопряжённой, положительно определённой задачи (случай, когда р — 0) оптимальное значение итерационного параметра (3 = 0.

Таким образом, трёхпараметрический метод хорошо зарекомендовал себя как для линейных, так и для нелинейных задач. Данная работа посвящена проблеме обоснования возможности и эффективности применения трёх-параметрического итерационного метода для двух новых классов нелинейных задач: задачи течения бингамовской вязкопластической жидкости и обобщённой ньютоновской жидкости.

Бингамовская жидкость (тело Шведова-Бингама) является телом, обладающим такими фундаментальными свойствами, как вязкость и пластичность [3], [15]. Следует отметить, что среды, обладающие вязкостью и пластичностью в различной степени, образуют более широкий класс, нежели бингамовские среды и называются вязкопластическими средами. Уравнение состояния бингамовской жидкости имеет следующий вид: где с (и) — тензор напряжений, -О(и) — тензор скоростей деформаций, 2 и)| — второй инвариант тензора И : |-0(и)|2 = ^ и)•

С математической точки зрения уравнения движения, описывающие течение бингамовских сред, представляют из себя обобщения уравнений Навье-Стокса (1), отличающиеся от последних наличием нелинейного слагаемого, описывающего пластические свойства среды: дV • В работах Ж.-Л. Лионса, Ж. Дюво, Р. Гловински [9], [21] были проведены теоретические исследования модели течения бингамовской жидкости, результатами которых являются теоремы существования и единственности обобщённых решений уравнений, описывающих течение бингамовской жидкости в двумерном случае, а также теорема существования решения в трёхмерном случае.

Одна из основных сложностей, возникающая при численном моделировании бингамовской жидкости и отличающая её от уравнений Навье

Стокса, заключается в наличии областей, в которых /}(и) = 0. Для обхода этой трудности применяются два основных подхода: рассмотрение различных регуляризаций нелинейного члена V- (см. [13], [2], [8], [17], [21] и цитированную там литературу), либо исследование вариационных постановок для бингамовской жидкости и использование метода множителей Лагранжа (см. [9], [21], [6], [11] и цитированную там литературу).

В данной работе исследуется вопрос о применимости трёхпараметри-ческого итерационного метода к регуляризованной системе уравнений течения бингамовской жидкости. Отметим, что регуляризация избавляет от многих вычислительных проблем, так как позволяет перейти от вариационных неравенств к уравнениям, для которых могут быть применены многие классические методы численного решения. В контексте данной работы будем ориентироваться на известную [2] е — регуляризацию (е > 0) сла-^ В (и) гаемого V ■ , " ., следующего вида:

V • ^ ; =. (8)

На первый взгляд, добавление регуляризованного члена (8) в уравнение Навье-Стокса не создаёт дополнительных трудностей по сравнению с исходным уравнением. Вместе с тем, рассмотрев производную (8)

V. =

2 + : - : D(w)) (ОД : ОД) п

2+|£,(г)|)3/2 тч

2 2 тут V, г € V, -О(у) : £>(лу) = ^ ^ Z)(v)г•j,•JD(w)г•jr■) легко видеть, что в зонах, где D(v) = 0

Ve2 + P(u£)P V 1 e'

Таким образом, с одной стороны, для обеспечения близости решения ре-гуляризованной и исходной задач параметр регуляризации е необходимо выбирать максимально малым. Однако это автоматически влечёт за собой крайне плохую обусловленность алгоритмов, использующих, например, ньютоновские и квазиньютоновские методы. Это обстоятельство, как правило, играло определяющую роль в выборе метода решения задачи. Однако в случае применения трёхпараметрического метода к регуляризованной задаче проблема плохой обусловленности при малых е получаемой системы пропадает, так как для перехода с одного итерационного слоя (6) к другому нам необходимо решать систему линейных уравнений с симметричной положительно определённой матрицей Q, не зависящей от е. Более того, в случае правильного выбора итерационных параметров метод сходится достаточно быстро. Данные факты показывают крайнюю привлекательность трёхпараметрического метода для расчёта течений бингамовской жидкости.

Обобщённая ньютоновская жидкость [27] — это жидкость, уравнение состояния которой имеет вид: a(u) = -pI + tp(\D(u)\2)D(u).

Здесь функция ip — так называемая материальная функция [27]. Потребуем, чтобы (р удовлетворяла следующим условиям:

1. <р(х) — непрерывная на полупрямой 0 < х < оо функция, у которой в d(p(x) любой точке х G (0; оо) существует производная —^—, непрерывно ах dtp(x) зависящая от а; и lim —-—х = 0. ж—»о ах

2. Для Ух G [0; оо) функция <р(х) удовлетворяет неравенствам: a-j > <р\х) > «1, + - — аз' Г,Д'е а1' а2' аз ~ положительные кон

ОХ станты.

3. Существуют положительные постоянные <24 и as такие, что d(p(x) «4 . — при х > х

1х

Отметим, что чисто формально уравнение состояния бингамовской жидкости подпадает под определение обобщённой ньютоновской жидкости при (р(х) — -^ + 1, однако данный вид функции <р{х) не удовлетворяет условию 1). В случае, если <р(х) = /х, мы получим уравнение состояния классической ньютоновской жидкости с вязкостью ¡1.

Заметим также, что условия 1)—3) несильно ограничивают применимость модели обобщённой ньютоновской жидкости в реальных задачах, так как на практике <р{х) является аппроксимацией экспериментальных данных [29]. Аппроксимируя экспериментальную зависимость х —» ср(х) различными выражениями на различных участках, можно добиться, с одной стороны, нужной нам гладкости функции <р(х), а с другой стороны-близости к экспериментальной кривой. Таким образом, обобщённая ньютоновская жидкость охватывает широкий класс физических постановок задач [32].

Основные теоретические исследования обобщённой ньютоновской жидкости были проведены в работе [27]. В частности, были доказаны теоремы существования и единственности соответствующих уравнений движения как в двумерном, так и трёхмерном случаях. В работе [30] была предпринята удачная попытка обоснования применимости двухпараметрического (3 — т метода для решения дискретных аналогов уравнений, моделирующих течение обобщённой ньютоновской жидкости. Таким образом, естественным является желание применить трёхпараметрический метод для задачи расчёта течений обобщённой ньютоновской жидкости.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения.

3.2. Выводы

В третьей главе предложен практический алгоритм поиска квазиоптимальных итерационных параметров трёхпараметрического итерационного метода. Для нахождения квазиоптимальных г, ¡3, а в случае некоторой конкретной задачи, моделирующей течение бингамовской или обобщённой ньютоновской жидкости, мы должны, стартовав с линейной задачи, последовательно изменять физические параметры до тех пор, пока они не совпадут с физическими параметрами исходной задачи. При этом в момент каждого изменения физических параметров находятся новые квазиоптимальные г, ¡3, а. Отметим, что, во-первых, этот процесс запускается один раз, после чего для различных векторов правых частей, а также граничных условий, мы можем крайне эффективно находить решение исходной задачи, а во-вторых, в главе были сделаны следующие замечания:

• процедура поиска квазиоптимальных итерационных параметров может быть реализована на сетке с крупным шагом;

• с ростом влияния нелинейных членов задачи для упрощения алгоритма поиска квазиоптимальных итерационных параметров можно положить параметр т равным параметру а.

Эти замечания позволяют существенно снизить трудоёмкость алгоритма поиска квазиоптимальных итерационных параметров. Также следует отметить, что предложенный алгоритм является универсальным в том смысле, что он применим для нахождения итерационных параметров двухпарамет-рического ¡3 — т метода, а также алгоритма Эрроу-Гурвица.

Глава 4

Практическая реализация трехпараметрического итерационного метода

В настоящей главе приводятся результаты численных экспериментов, среди которых расчёты течений бингамовской жидкости в квадратной каверне, а также расчёты течения Пуазейля в цилиндрических трубах ( как постоянного, так и переменного диаметра) вязкой и вязкопластической жидкостей. Приводятся графики линий уровня функций тока, а также профили скоростей и указываются квазиоптимальные итерационные параметры, построенные с помощью процедуры, описанной в главе 3. Особый интерес представляет влияние параметра регуляризации е в случае бингамовской жидкости на трёхпараметрический итерационный метод.

4.1. Задача о каверне

В этом параграфе мы рассмотрим стандартный тестовый пример для бингамовской жидкости, а именно — расчёты задачи о каверне. Итак, будем рассматривать задачу (1.2) в единичном квадрате = (0; 1) х (0; 1) с условиями на границе следующего вида:

Щх=о = и\\х=х = и\\у=о = 0, и\\у=1 = 1, и||5п = 0.

Для дискретизации (1.2) будем использовать те же конечные элементы, что и в предыдущей главе (см. рис 3). Как и ранее, зафиксируем параметры и и р равными 1 и 0 соответственно. В контексте рассматриваемой задачи интерес представляет поведение трёхпараметрического итерационного метода при изменении параметра д. В качестве матрицы С будем рассматривать единичную матрицу, а в качестве в — дискретный аналог оператора —А. Критерий окончания итераций трёхпараметрического метода и начальное приближение выбирались такими же, как и в предыдущей главе. Значение параметра £ для начала принималось равным 0.01. Результаты численных расчётов задачи о каверне (квазиоптимальные итерационные параметры при различных значениях параметра д, а также количество итераций трёхпараметрического метода при найденных параметрах) для N = 32 представлены в таблице 4.1.

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты диссертации.

1. Для дискретного аналога е—регуляризованных уравнений, описывающих течения бингамовской вязкопластической жидкости, доказана локальная теорема сходимости трёхпараметрического итерационного метода.

2. Для дискретного аналога уравнений, описывающих течения обобщённой ньютоновской жидкости, доказана теорема сходимости трёхпараметрического итерационного метода с произвольного начального приближения.

3. Сформулирован и экспериментально опробован алгоритм поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров в зависимости от параметров дискретизации и физических констант задачи.

Кроме того, с целью демонстрации вычислительной эффективности трёхпараметрического итерационного метода рассчитаны приближённые решения различных модельных и реальных задач течения бингамовской вязко-пластической и обобщённой ньютоновской жидкостей.

1. Arrow К., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in Nonlinear Programming. -Stanford, CA: Stanford University Press, 1958.

2. Bercovier M., Engelman M. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows // Journal of computational physics 36, 313-326 (1980).

3. Bingham E.C., Green H. Paint, a plastic material and not a viscous liquid // Proc. Amer. Soc. Testing Materials. 1919, V 11. N 19. 640-658.

4. Buckingham E. On plastic flow through capillary tubes. // Proc. Amer. Soc. Testing Materials. 1921, N 1154.

5. Bychenkov Yu. V., Chizhonkov E. V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type // Russ. J. Numer. Math. Modelling. 1999, V 14. N 5. 429-440.

6. Dean E.J., Glowinski R. Operator splitting methods for the simulation of Bingham visco-plastic flow // Chin. Ann. of Math. B23. 2002. 187-204.

7. Dean E.J., Glowinski R., Guidoboni G. On the numerical simulation of Bingham visco-plastic flow: Old and new results // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2007, V 142. 36-62.

8. O'Donovan E.J., Tanner R.I. Numerical study of the Bingham squeeze film problem //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1984, V 15. 75-83.

9. Duvaut G., Lions J.L. Inequalities in mechanics and physics. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

10. D'yakonov E.G. Optimization in Solving Elliptic Problems. — Boca Raton: CRC Press, 1996.

11. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problem. Springer-Verlag. New York. 1984.

12. Gunzburger M. Finite element methods for viscous incompressible flow: a guide to theory, practice and alghorithms. Boston: Academic Press, 1989.

13. Papanastasiou T. С. Flow of materials with yields //J. Rheology. 1987, N 31. 385-404.

14. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. -Boston: WPS, 1996.

15. Scwedoff T. Recherches experimentáis sur la cohesion des liquides // J. de Phys. 1890, V 2. N 9.

16. Van der Vorst H.A. Bi-CGstab: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Comput. 1992. V. 13. 631-644.

17. Zhang Y. Error estimates for the numerical approximation of time-dependent flow of Bingham fluid in cylindrical pipes by the regularizaron method. //Numer. Math. 2003.96. 153-184.

18. Алексеев В.M, Тихомиров В.M, Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

19. Бреховских Л.М., Гончаров В. В. Введение в механику сплошных сред.-М.: Наука, 1982.

20. Быченков Ю.В. Исследование и оптимизация многопараметрических алгоритмов для решения задач с седловыми операторами. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. Ломоносова, 2003.

21. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Наука, 1979.

22. Гноевой А.В., Клилюв Д.М., Чееноков В.М. Основы теории течений бингамовских сред,- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

23. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Вычислительные процессы и системы. Вып. 8. М.: Наука, 1991. С. 204-236.

24. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Гостехиздат, 1956.

25. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости М.: Наука, 1973.

26. Лебедев В.И. Метод сеток для уравнений типа Соболева // Докл. АН СССР. 1956. Т. 114. №6. 1166-1169.

27. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости М.: Наука, 1982.

28. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике- М.: Наука, 1970.

29. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жёсткопластических сред.-М.: Наука, 1981.

30. Староверов В.М. Об итерационных методах решения нелинейной задачи Стокса. Препринт. Издательство ВЦ СО РАН, Новосибирск, 1994.

31. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1972.

32. Шулъман З.П. Конвективный тепломассопсренос реологически сложных жидкостей М.: Энергия, 1975. -352с

33. Эрроу К., Гурвиц Л., Удзава X. Исследование по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962.

34. Публикации по теме диссертации

35. Милютин C.B. Об одном алгоритме расчёта течений бингамовской жидкости // ЖВМ и МФ. 2009. 49, №3. 549-558.

36. Милютин C.B. Об одном алгоритме расчёта течений обобщённой ньютоновской жидкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. №5. 63-65.

37. Милютин С. В.Практическая оптимизация трехпараметрического итерационного метода для расчёта течений бингамовской жидкости // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т.9. 34-39.

38. Милютин C.B. К расчёту течений бингамовской жидкости. Сеточные методы для краевых задач и приложения:. Материалы Седьмого Всероссийского семинара. Казань: Изд-во Казанского гос. университета, 2007. 200-205.