Эффективные методы численного решения уравнений гидродинамики в сложных областях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

РГБ ОД

2 5 СЕН 1395 На правах рукописи

ДАНАЕВ Наргоэы Турсынбаевич

ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ

01.02.05 — механика жидкостей, газа и плазмы 01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ал маты, 1995

Работа выполнена в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби.

Научный консультант

доктор физико-математических наук, академик ИА PK СМАГУЛОВ Ш.

Официальные оппоненты

Ведущая организация —

д. ф.-м.н., профессор ЖАКУПОВ К. Б. член-корр. РАН, д. ф.-м.н., профессор МОНАХОВ В. Н.

член-корр. HAH PK, д. ф.-м.н., профессор ОТЕЛБАЕВ М. О.

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН (г. Новосибирск).

Защита состоится

&

ИсАИ&д

/0го 1995 г. в часов

на заседании специализированного совета Д14/А01.04 при КазГУ им.^Д/ть-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, 12, ул. Масанчи, 39/47 в а уд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ, Автореферат разослан «

CJXi/1\ Я<'/uJj iQaR r>

Ученый секретарь специализированного совета, канд. физ.-мат. наук

БАЛАКАЕВА Г. Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность теш. Развитие методов вычислительной математики и вычислительной теXIгики открывают новые возможности решения все более сложных научно-технических задач. Это. в свою очередь,изменяет и отношение к созданию программных, средств, реализующих прикладные задачи на современных ЭВМ. При создании пакета прикладных программ для численного ревешш определешгаго класса задач математической физики, в частности, для уравнений гидродинамики, адекватное представление краевых условий, в случае сложных областей( многосвязанные области, области с криволинейными границами и т.п.) связано со значительными извеспшми трудностями. Поэтому построение алгоритмов, позволяющих автоматизировать программирование численного решения задач математической физики для областей со слс;>кной геометрией, является одной из актуальных задач современной вычислительной гидродинамики..

Ц5^ью_настдя!5ей_ра0оты является разработка и математическое обоснование эффективных алгоритмов для численного решения уравнений гидродинамики в сложных областях и использование их при исследовании некоторых задач динамики кидкости и газа.

.Научная_нощзна_и_практотеская цещость.

Разработаны эффективные методы построения криволинейных разностных сеток, адаптируемые к газодинамическим параметрам рассматриваемых задач гидромеханики. Исследованы вопросы использования адаптируемых сеток. Впервые показано, что при использовании сгущающихся в области больших градиентов сеток,достигается равномерная сходимость решений, не зависящая от малых гараметров задачи. Предложенные алгоритмы построения криволинейных сеток могут служить функциональным пополнением имеющихся пакетов прикладных программ для численного решения задач механик;; сплошной среды, в частности, задач гидромеханики.

Впервые доказаны теоремы устойчивости и сходимости, и разработаны новые подходы нахождения решений рада известных разностных схем для уравнений несжимаемой кидкости в переменных "скорость,давление". Для стационарных урвЕнешШ Навье-Стокса в переменных "Функция тока-вихрь скорости" предложены итерационные схемы расщепления, для которых доказана теорема

сходимости.■Полученные в диссертации теоретические результаты относятся к известным проблемам вычислительной гидродинамики и р. дальнейшем могут бить использованы в изучении математических вопросов разностных схем для уравнений вязкой несжимаемой жидкости.

Решек ряд задач гидродинамики внутренних течения, в частности, Епервые рассмотрена новая постановка краевой задачи и проведен расчет точений несжимаемой жидкости па основе уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Результаты вычислительных экспериментов, приведенные в диссертационной рабсю, могут бить ксиользоьани при проектировании аппаратов химической технологии, градирин, тепловых печей и т.д.

Осноещр .положения^ _вш10скше_.на_ защиту:

- разработка и обоснование методов построения адаптируемых конечно-разностных сеток:

• разработка и обоснование ¡эффективных штодов рощ era я уравнений несжимаемой жидкости в переменных "скорость,давление";

- разработка и обоснование эффективных методов репения уравнений не снимаемой жидкости в перемет«« "функция тока, вихрь скорости";

• исследование ряда актуальна задач гидродинамики на основе тфедложетш алгоритмов.

работы сформулированы в заключительной части автореферата("Основные результаты и выводы").

Содержание отдельных разделов диссертации и основные ре вультата били представлены и докладывались на семинарах: "Численные метода механики сплошной срода" ЭТШ СО Ali СССР (рук,-ахадбмяк Н.Н.Яненко,1977-1984),ВЦ СО АН СССР(Красноярск, рук.-академик РАН Ю.И.Шокин, 1988), "Численные методы механики сплошной среда" ИТПМ СО АН СССР (рук.- д.ф.-м.н. В.М.Ковеня и Б.Г.Кузнецов,1989);"Механика сплошной среда" (рук.- член-коор. HAH PK Ш.А.Ершик,1980-1994),кафедры прикладной математики, проблемной лаборатории математического моделирования, проблемного Совета "Математическое моделирование (рук.- академик HAH

FK А.Г. Лукьянов, 1983 1994) и "Краепыо задачи механики ciu.qn-ной среды"(рук.- д.ф.-м.н. Ш.Скагулов и член-коор.НАН РК М.Ог-елбаев,1983~ 1994) КазГНУ им.Аль-^арабн. Кроме этого,результата докладывались на республиканской межвузовской научной конференции по математика и механике,1985,1909,Алма-Ата; на II Республиканской конференции по проблемам вычислительной мато-мати ки и автоматизации научных исследований,I908,Алма-Атя; аа IV Уральской региональной конференции по функционально- дифференциальным уравнениям и их приложениям,1989,Уфа; на Всесоюзной школе молодых ученых но численнш методам механики сплошной среды, 1989,Абакан; на III ыевдународном симпозиуме по структуре пламени 1989,Алма-Ата; на IV международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям.I9S9,Болгария; на международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплоиной среды,I991,Новосибирск; на сеиинарепо тестированию алгоритмов и программ на задаче свободной конвекции,1992,Пермь и на международном семинаре по численным методам вязкой жидкости "Вычислительные г-еиюлогии-94",1994.Новосибирск.

Ш&ШШШ- По теме диссертации опубликовано 38 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1-32/. В работах, выполненных с соавторами, вклад соавторов был равным.

Структура и объом. Диссертация состоит ио трех глав, заключения и списка цитируемой литературы; содержит 325 стр. машинописного текста, в том числе 14 таблиц и 71 рисунка. Описок цитируемой литературы содержит 255 наименований...

КРАТКОЕ ОДЕРЖАН!® РАБОТЫ

Бо_введении обосновывается актуальность теш доссер'гашон-ной работы, определящая цель и основные направления исследования. Кратко излагаются основные положения работы и ее структура.

0§рвая_глава посвящена методам построения криБолинайдах координат и использованию их в задачах динамики вязкого reas.

Численные метода построения криволинейных разноспгах сеток стали разрабатываться сравнительно 1ЮДввно(И1гш1оу,1Э66). Первоначально построение разностных сеток рассматривалось в

- G -

зависимости от требований геометрических свойств( гладкость, ортогональность, адаптируемость к границе преобразуемой области и т.д.) координатных линий в работах Годунова С.К.,Проко-ПОВа Г.Ii. .Сидорова А.Ф. .Barfield W.D. .Ameden A.A.,Eioeman Р., Thomas S.D..ТЪотрзоп J.f. И других.

Возросшие требования к эффективности современных вычислительных алгоритмов Численного решения дифференциальных задач, в частности задач газовой динамики, привели к проблеме построения криволинейных координат, зависящих, кроме геометрических характеристик области, от самого течений. Актуальность и формулировка задачи построения, так называемых, адаптируемых конечно-разностных сеток, координатные узлы которой перестраиваются в процессе рошения в зависимости от особенностей характера газодинамических величин, по-видимому, впервые рассмотрены академиком Н.Н.Яненко. И дальнейшие исследования по проблеме построения и использования адаптируемых сеток отражены в известных работах О.А.Боровикова, П.Н.Вабшцевича, Н.А.Дарьина, O.A.Иваненко,В.И.Коввня.В.Д.Лисейкина,Ю.П.Мещерякова, В.И.Ма-хукина, В.И.Нинчукова, Г.П.ТТрокопова, А,А.Самарского, А.И.Толстых. А.И. Урусова, D.H. Шохина, D.А..Anderson, J.U.Braokblll, 5.С.Caruso, ff.Connot, K.D.Lee. C.W.Maetin, K.Nakahaahi, R.Pi-va, J.Saltwnan, J.P.Steinbrenner, J.?.Thompson, li.Vislal и

других.

Mojkho отмотать следующие основные направления исследований при построении разностных сеток:

1, Для построения координатных функции предлагается непосредственное задание функций отображения x:G—♦ X, как решешя соответствующих краевых задач для системы эллиптических уравнений.

2. Координатные линии, точки пересечения которых определяют узлы разностной сотки, ищутся как линии уровней функции

задающие отооряазние q:X—КЗ, удовлетворяющих также системе эшаиггических уравнения.

В дальнейшем, приведем основные результаты первой главы, полученные в результате использования второго подхода построения расчетных сеток. В 51 сформулированы вариационные принципы

построения подвижных криволинейных сеток, зависящих от потока. Вариационный принцип выбирается исходя из требований, налагаемых на сетку: сгущение в области больших градиентов газодинамических Функций: близость к лагралжевим координатам; минимальное искажение сетки. Приводятся дифференциальные уравнения для координатных функций, как уравнения Эйлера для функций, доставляющих экстремум для рассмотренных функционалов. В §2 приводится функционал довольно простого вида, который порок-дао т эллиптическую систему линейных дифференциальных уравнений

в М V 1

а^И^Г'1'1'2'

где Ф =» Ф(х',х2)>а. Подходящим выбором Ф осуществляется связь меаду заданной в преобразуемой области 0 функцией и(х1,хг) и законом отображения х:С—»X. На основе построенной разностной схемы типа стабилизирующей поправки, аппроксимирующей систему уравноний для физических координат

г>чт1

где 5кт, к,т=1,2 компоненты контровариантного метрического тензора отображения,проведены многочисленные расчеты построения адвптируемых сеток.

§3 посвящен построению адаптируемой ортогональной системы координат. При численном решении дифференциальных уравнений конечно-разностными методами преимущество ортогональной сэтки очевидно и вопросам построения ортогональной системы координат посвящено достаточное количество работ. Излагаемый в работа метод численного построения криволинейных ортогональных сеток заключается в том, что координатные линий одного из двух ое-мейств, например, семейства, задают заранее как линии .уровня функции яг(11 ,х1). Затем, координатные лиши семейства ищутся как линии уровней функции ч1(х1.х2) доставляющий мшщ-мум функционалу

яч'ь и/в^йх'йх!

являющегося аналогом функционала рассмотренного Прокопевыл Г.Л.

В 54 рессмотрены возможности построения изометрической системн координат но заданной поверхности, являющейся обобщением параметризации по длило дуги кривой. Уравнения для изо-мотрт виде

1(5.5*) ап*р' ер'т' вг'

метрической системы координат Ск=- £к({1',£2' .г.записаны в

вкЛ

--^----^Ь 3(П'21'

АГ I *"а* дС

где алименты преобразования представлены в параметрической системе координат.

В диссертационной работ« по каждому из предложенных алгоритмов преобразования системы координат приводятся результаты чн(!Лотшх экспериментов и примеры построения разностных сеток, полученные ка основе итерационных схем вида

(1-дО

«-ч ъТ'

П+1 П П>1

где 3 соответствуют выражениям, предложенных диффе-

ренциальных уравнений: .2, вспомогательные сеточные

вектор-Функций. Для обращения разностных операторов Г-1йк, К=1,2 в представленных уравнениях, используются формулы трех-точечйоЯ скалярной прогонки.

Примеры построения сеток приведены на рисунках 1 - 3. Рвзугьтирущие сетки рис.1, подученные по алгоритму излокшшо-го в 52 о управляющей функцией вида Ф • 1 + |£гасЮ|а. иллюстрируют возможности управления интенсивностью сгущения и соответствуют различным значениям параметра а. На рис.2 и 3 приведены сетки, полученные с помощью алгоритма списанного в §3.

В §5 изучаются свойства одномерных преобразований для построения сеток, сгущаяцихся в области больших градиентов заданной функции. Доказала швирсядошюсть преобразования, обус-

Рис Л.

1С -

!--1 i i m i i i i i ¡ M-W-H-M-f ^f^mlvK^

Рис.З. Рвзулмгирующая сотка.

» и -

ловленннх решением стационарного уравнения для координатных функций методом установления.

8G - §8 посвящены вопросам использования адаптируемых координат применительно к задачам динамики вязкого газа.

В $6 на примере уравнении Бюргерса, системы уравнений Блазиуса, уравнений с малым параметром при старшей производной показаны преимущества использования адаптируемых систем координат. Установлено, что использование сгущающихся в области больших градиентоз параметров потока разностных сеток, существенно повышают точность расчетов. В §7 обсуждаются вопросы применения подвижных сеток в нестационарных задачах газовой динамики. Приводятся исследования сходимости итерационного процесса, пригодного для численной реализации реивний неявных разностных для уравнений сжимаемого: вязкого газа. Сходимость итерационной схемы, ка примере одномерных уравнений изотермического газа, в случав лагранжевых координат проведена методом априорных оценок. Приводятся результаты численных расчетов.

58 посвящен вопросам выборе адаптируемых координат для решения задачи обтекания тел вращения сверхзвуковым потоком вязкого сжимаемого теплопроводного rasa. В расчетах управляющая функция преобразования ф выбиралась по формулам

а р

а) « - (1 ■+ |grad ul| v) ,

б) ф - <1 + ejdiv ulS + еа|0,а|а*> где о^, а,,в,. ва;р некоторые положительные величины

дха дх* Эх'

В первом случае выбора функции Ф в виде а) ожидается сгущение значения координатной функции в областях с большими градиентами компонент вектора скорости среда и. Во втором случае сгущение происходит по разному в области пограничного слоя, где действует сдвиговая компонента о48 тензора напряжения и на ударной волне, где существенно действует модуль дивергенции вектора S. Проведены многочисленные расчеты и приводится сравнение с результатами других работ.

Глава.II посвящона вопросам численного решения уравнения

Навъе-Стокса для несжимаемой жидкости в переменных (u,v,p), для которой широкое распространение получили конечно - разностные схемы расщепления, математическое исследования которых отражено, например, в работах Абрашинз A.A., Велоцарковского О.М., Гущина В.А. Давидова Ю.И.,Кузнецова Б.Г.Кобельксва Г.М., Ладыженской O.A., Палимского И.Б., Ривгатад Б.Я., Смагулова Ш., Темама Р, Тимухина Г.И., Осколкова А.П., Щзнникова В.В., Янен-ко H.H. и других. Основные трудности рассмотрения числештах алгоритмов решения системы уравнений несжимаемой жидкости в переменных "скорость,давление" связаны с расчетом поля давления и с постановкой краевых условии при разностном счете.

Существенным отличием,предлагаемых в диссертационной работе алгоритмов решения уравнений Навье-Стоксв, от основного варианта метода расщепления по физическим фекторам является то, что на твердых границах точно выполняются условия прилипания, а условие непротвкания учитывается на расстоянии полшага сетки от границы с порядком 0(h2).

В 51 рассматриваются математические вопроси ограниченности решения, исследовании аппроксимационных свойств и сходимости схемы расщепления по физическим процессам для системы уравнений Навье-Стокса с разрывными коэффициентами, с помощью вво-. дения сеточной функции тока рассмотрена возмокность реализации решения разностной схема, позволяющая избежать нахождения давления на каждом временном шаге. В качестве примера проведаны расчеты течения жидкости в плоских каналах с пористой вставкой.

В §2 изучены разностные схемы для регуляризованиых {для "е - аппроксимации") уравнений несжимаемой жидкости вида.

(Ü-v) + gradP - vAü + a(t)v*t, ePt + dlvü = 0,

со следущими начальными и перидаческими краевыми условиями üu^Xj.OJMJJX,^),

2*S}¡ „ e^l , a!2| , £P¡ «o

0X*¡xf=O 0x*jxt«i' dx*jxt=o Ы).1,2,...; Ü=0 при = O, - 1,

Рассмотрены рааностные схемы первого порядка аппроксимации на традиционных сотках, узж которой определены ках точки пересечения прямых, параллельных осям координат. Доказаны теоремы устойчивости и сходимости для разностных схем расщепления при постоянном значении расхода и заданных значениях перепада давления.

В §3 исследованы вопросы устойчивости и сходимости неявных конечно-разностных схем расщепления для уравнений Навье-Стокса второго порядка аппроксимации по пространственным переменным. В случае регуляризованных уравнений рассмотренные разностные схемы представлены в форме

Avf"1- vühun+1- vhpn+,+ a(tn+,)vhx1 - L^tP) - AtR<un"M.uri),

epg+Udly^+^O,

где линейные операторы А и R подбираются таким образом, чтобы обеспечить использование формул скалярной прогонки. Методом априорных оценок доказаны ограниченность и сходимость решений рассмотренных схем для регуляризованных задач несжимаемой жидкости и для уравнений Навье-стокса на примере периодической задачи протекания с заданным перепадом давления на концах плоского канала. •

Важным моментом рассмотрения разностных схем расщепления для решения уравнений несжимаемой жидкости является нахождения реоония системы линейных алгебраических уравнений вида

п+1 п+1 п+1/2 n+1

u graá^ ш Q , divhü = О .

возникающих, как при использовании явных, так и при использовании неявных разностных схем. В §4 для решения указанной системы уравнений исследованы итерационные схемы, не требущие задания граничных значений для давления и предложена новая итерационная схема

n+f,a+í n+í,e n+/,a

ü + t(P - -Г díü.Ü )_ =

ta o h Xm

п+ t,в* 1

т

Р

п*I,а*I П+ /а в

- р

+ СИи^1-00 =» О

где о > 0 - некоторая константа; ит,ггкГ7И - компоненты вектора скорости;Р - давление; N - размерность задачи. Доказаны теоремы сходимости и экспериментально установлено, что сходимость предложенной итерационной схемы не зависит от количества узлоз сетки.

§5 и §В посвящены численным расчетам исследования течений жидкости в многосвязанных областях с использованием (и.у.Ф) метода. В §5 изучено течение вязкой несжимаемой жидкости в оесконечном плоском канале с периодически расположенными препятствиями в форме пластинок, ортогонально расположенных к стенкам канала. Принципиальной особенностью использованного метода является то, что для определения значения функции тока на препятствии привлекается условие однозначного определения давления, причем на каждом временном шаге это условие .удовлетворяется точно, что выгодно отличает метод от ранее известных, методов. В 56 приводятся результаты исследования применения схемы расщепления по физическим процессам для расчета обтекания цилиг дра в плоском канале потоком несжимаемой жидкости при использовании метода фиктивных областей, продолжением по младшим коэффициентам. Приводятся результаты расчетов и их обсуждение .

Кратко изложим основные положения третьей главы.

Для численного ревекия плоских течений неехшаемой гад- ' кости широкое распространение получили матодц основвнпыо на аппроксимации уравнений Навье-Стокса, записанные в перэменныг "функция тока-вихрь скорости" ((ф.ГЗ)). Привлекательность рас смотрения уравнений Навье-Стокса в переменных ($,0) заключается в том, что удается сократить число уравнений в физических переменных "вектор скорости - давление" я тождественно удовлетворить закону сохранения массы.Численным методам ранения

— IG —

уревноний кесямаомой жидкости в переменных (Ф.О) посвящены известные работа Еулеевя Н.И..ВаСииевича П.Н.«Владимировой Н.Н..Гончарова А.Л,,Грязнова В,А.,Дорфмана А.Л..Жакупова К.Б., Кузнецова Б.Г.Дураера Г. Н, .Кусковой Т.В.,Орунханова М.К.,Па-тзнкьра г;. .Полежаева В.И.«Смагулова Ш,.Тарунина Е.Л., Тимухина Г.И..ЧУДОВй Л.А..Фрязинова И.В..Фромма Дж., Agarwal R., Gupta М., Hanel В., Khosla P., Kordylevreki »..Manohar R.. Shay W., Takeniiiau И ДРУГИХ.

Наибольшее затруднение в рассмотрении уравнений несжимаемой иидкосги в переменных (Ф.П) вызывает отсутствие краевых условии для а в Физической постановке дифференциальной задачи, соответствующее условиям прилипания и непротекания на твердых границах. Это обстоятельство преодолевается выбором граничных условий для шаря скорости в виде формул Тома, Вудса и других или непосредственной аппроксимацией условии вида дф/дп = О, где п - внутренняя нормаль к границе расчетной области. При этом для реализации краевых условии используются процедуры реалзкеации, внутренних итерации, что, в свою очередь, снижает эффективность алгоритмов. Вместе с тем сходимость большинства разностных схем, используемых для расета течений несжимаемой жидкости в переменных (4>,Q). остается не доказанной.

В настоящей работе разработаны методики расчетов течений несжимаемой жидкости в переменных "функция тока-вихрь скорости", не использующие внутренние итерации и процедуры реа-лаксации краевых условии. Рассмотрены итерационные схемы для которых доказаны.теоремы устойчивости и сходимости.

В §1 на основе монотонных разностных схема для численного решения уравнений вязкой несгимаемой жидкости с граничными значениями для вихря скорости в виде известных формул Тома, Вудса и Кусковой приводятся вычислительные алгоритмы,позволяющие проводить расчеты с условиями для вспомогательной функции вихря, не зависящие от значений Ф во внутренних узлах конечно-разностной сетки. Для простоты изложения расчетные фэрмулы приведены для стационарной системы уравнений с однородными краевыми условиями. Проведены одномерные расчеты, представлены результаты числонного решения задач течения несжимаемой жидкости в квадратной каверне с подвижной верхней границей и тепловой конвекции в прямоугольной области с подогревом сооку на

различных сетках с использованием формул Тома и Вудса .

Во втором параграфе рассмотрена система операторно- разностных уравнения, возникающая при использовании конечно-разностных методов решения стационарных уравнений несжимаемой жидкости, следующего вида

3(»,ф) + Аи> + В|> - /,

Аф « го,

( Здесь Э(ш,ф)- билинейная форма; А - линейный, положительный, самосопряженный оператор, а оператор В такой, что (Вф.ф)^О) для которой построена абсолютно устойчивая и сходящаяся итерационная схема

л/1*1 ю"

-—-+ 3(ш? фп+1/г) + А»" ♦ - /.

Аф"+1/г «

-^-+ А(иР*\ - О,

А*?"1 * «Р*1'.

Далее, в §3 рассмотрены примеры использования результатов, касаимхся операторно-разностной схемы.-Предложены итерационные методы решения стационарных уравнений несжимаемой ■ жидкости и обсувдены вопросы использования в случав применения метода фиктивных областей для односвязанной и многосвязанной областей.,

В §4 исследованы вопросы устойчивости и сходимости решения стационарной разностной задачи для уравнений Навье-Стокса, определенная на традиционном пятиточечном шаблоне сетка. Установлено, что для рсвения задачи имеет место оценка

I Ф - ^ <0№3/г), .

2 ^ ' ' справедливая при малых значениях чисел Рейнолъдса.

В §5 разработана методика расчета осесимметричных течений жидкости в криволинейных каналах с пористой вставкой. Математическое моде.уфаьыше течений вязкой несжимаемой жидкости

- 18 -

проводится на основе системы уравнений Навье-Стокса, записанная в криволинейной ортогональной системе координат в следующем виде.

(Ь, ♦ 1^)0 - - Ь3Ф. в ГФ §§1, 1 ОФ 1 с тп

• где

• «О

«"47«,7- • в, .

где к - коэффщиент сопротивления пористой среды. С помощью разностной схзмы типа дробных шагов получены основные параметры установившихся течений в широком диапазоне физических параметров, определяющие рекам работы различных аппаратов с неподвижным зернистым слоем. Результаты расчетов приведены в виде рисунков и таблиц (см..например, рис.4,5).

По результатам многочисленных расчетов можно заключить, что течение в тр-убах с пористой вставкой является вихревым и вихрь зарождается в результате взаимодействия текущей среды с пористым материалом. В пристенных течениях заровдение и диффузия ! вихрей происходит от стенок канала. Увеличение значений ко&ффихи&нта сопротивления пористой среды при -одинаковых числах, Рейнольдса слабо влияет на объем вихревой зоны. 'Ка освовашш проведенных расчетов также установлено, что:

- при яэбнх режимах определяющих параметров происходит тор-нокйнве потока жидкости серед пористой вставкой;

. т характер течений через зернистый слой по горизонтальным сечегязд вставки является близким к одномерному и слабо зависят о? Форш подвода еидкости (при постоянном расходе);

Рис.4. Расчетная область.

- обнаруживается появление неоднородностей продольной компоненты скорости в виде так называемых "ушей", которые сильно зависят от значений коэффициента пористости.

56 посвящен численному исследованию решения системы дифференциальных уравнений тепловой конвекции

1 Gr дв

(и v)w « - Aw--г- '

fie Re* Ох

(С v)6

¿ф S W, 1

Pr*Re

в области показанной ыа рис.3.12,

ле,

Рис.6. Картина расчетной области.

пра еледупцих краевых условиях: .<,

На верхно» твердой стенке (ВС,СБ) области для ф имеем

"" .Ар •

г v •.;■ ф , _ « 0;

за нкха&Й стекка <АА')

к.

«Эф 0

- - - о. <р = и0/ йо{у)(Зу = ф; : н/х.

на оси симметрии (00')

на входной границе (АВ)

«Эф 7

- 0. Ф(0.У)= 0о(у)с н/ь

на выходе

«Эф . <Эи

-¿¡у - = ■ 0, ("мягкие"-условия),

где йо(у)- заданная функция, а величины Ц,.Ф* подлежать определению.

Для определения константа иа, положим, что при х=0 н/ь 1 а н/ь ^ н/ь

«о/ Ц,<4/>®(0.у>ф = / V Оу - -у X 9 ф + Ор.

О О О

Новизна постановки краевой задачи эаключется в том, что на входе рассматриваемых областей нормальная Компонента скорости задается но полностью, а прогнозируется лишь форма профиля. Например, при рассмотрении плоского канала прямоугольной Формы нормальную компоненту вектора скорости на входе возьмем в виде и(0,у) = иойо(у). Для определения величины и^ рассмотрены условия вида РСО)— Р(Ю = ОР « сспаГ, где.О и N некоторые точки на прямой х-0, а Р - давление. Такие задачи в рамках свободной конвекции встречаются при рассмотрении течений в каньонах, при расчетах градарин. температурных печей и т.д.

Главной особенностью вышеуказанной задачи является то, что заранее определить расход невозможно, что затрудняет применение методик расчетов, разработанных в переменных (ф,0). В данной работе, на основе предложенных разностных схем, провв-дены многочисленные расчеты течений несжимаемой жидкости в прямоточных областях, вознихащих в результате перепада температур стенок канала( см., например, рис.7). Изучены процессы теплообмена на границах расчетной области. Установлено, что:

Во всех вариантах определяющее параметров «адата осноь..ая часть расчётной области занята "сквозным" течением. При Сгяо5

Рис.7. Keptima течения при Gr=5*105. i стеряговой прсфиь скорости)

у нижнего основания оси симметрии возникает слабое вторичное течение с циркуляционным вихрем. Возникновение этой рециркуляционной зоны, очевидно, связано с тем, что в этой области взаимодействуют два сливающихся симметричных потока.С увеличением Сг относительная интенсивность и размера зоны рециркуляции растут, что является следствием более сильного отклонения "сквозного" течения от нижней стенки. Также обнаружено, что . вьш» точки с (у «ю.4) поток жидкости сперва отходит от стенй! в сторону,.а затем набегает на неб. Как и в случав течения за ; выступом при больших значениях Сг(0г-5»1Ф) вше точки С вблизи стенки образуется вихревая зона малой интенсивности.

Зависимость числа Рейкольдса, соответствующего установившимся режимам, от параметра От, показана на рис.8. Как и следовало ожидать, с увеличением Сг число В0 увеличивается, что соответствует также увеличению расхода жидкости через входное сечение. То есть с увеличением Сг течение в рассматриваемой расчётной области становится более интенсивным.

Картина изотерм показывает,что распределение температур- . них полей во всех приведенных вариантах в расчетной области является однородным,т.е. неоднородности,например,а виде теше- • ратурных погршшчшх слоев, даже для относительно больших значений чисел Грасгофа <Сг=5*ю5) отсутствуют и отличаются только интенсивностью нагрева. Место падения интенсивности теплового взаимодействия потока со стенкой соответствует зоне образования вторичного движения при больпих Сг, т.е. поток отклоняется от.стенки и отрываясь служит в качество теплового.изолятора.

В_з§:ш)чеши сформулирована основные результаты и вывода, ,

Основные результаы и выводи

1. Для численного решения краевых задач механики сплошной среда в областях с криволинейными границами:

Сформулированы вариационные принципы построения зсриво-лгаюйных систем координат; предложена новые метода яостроег*я криволинейных разностных сеток, адаптируемые к решениям рас-

- 24 -

сматриваемых диффэренциальных задач; предложены способы построения ортогональной системы координат; разработан численный алгоритм построения изометрической системы координат на заданной поверхности; теоретически и с помощью вычислительных экспериментов исследованы качественные свойства преобразований.

2. Предложенные алгоритмы построения разностных сеток использованы для численного решения ряда задач гидро-аоромехани-

. ки. На примере модельных задач динамики вязкого газа для уравнении Бмргерса, системы уравнений Блазкуса, уравнений изотермического газа,уравнений с малым параметром при старшей производной и задачи обтокания тела вращения потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа показаны преимущества использования • адаптируемых систем координат. Показано, что использование сгущающихся в области больших градиентов параметров потока разностных сеток, существенно повывают точность расчетов.

3. Проведены исследования математических вопросов разностных схем для уравнений несжимаемой жидкости в переменных "скорость, давление" и получены следущие результаты:

Впервые доказаны теоремы устойчивости и сходимости известных разностных схем расщепления по физическим факторам, определенные на смещенных сетках: доказаны теоремы устойчивости и сходимости разностных схем для регуляризоввнных периодических задач "е - аппроксимации"; построены новые итерационные ■ алгоритмы решения вспомогательных задач методов расщеплений, сходимость которых слабо зависит от размерности разностных задач; проведены многочисленные расчеты, иллюст-рируквдо преимущества предложенных алгоритмов. В частности, на основа разработанного (ил.ф) алгоритма проведены расчеты в многосвягзнннх областях периодической задачи обтекания пластинки и цилиндра.

(.'- 4, Проведены исследования математических вопросов разност-них схем для уравнений несжимаемой кидкости в переменных "функция тока,ьихрь скорости" и подучены сведущие результаты:

Разработана методика решения стационарных задач динамики несжимаемой жидкости, основанная в введении вспомогательной функции вихря ■ скорости с однородными краевыми условиями на границах расчетной области; доказана теоремы устойчивости и сходамосгг . одного , класса осераторно-разностных итерационных

схом; построены и математически обоснованы различные схемы для уравнений Навье-Стокса в односвязанных и многосвязанных областях,

6. На основе разработанных алгоритмов решена ряд задач математического моделирования течений жидкости и газа» в частности :

- исследованы течения в каналах с пористой вставкой;

- получены картины свободного конвективного течения в каналах сложной формы, когда входная скорость задана неполностью.

Автор глубоко благодарен Н.Н.Яненко, который проявлял внимание и заинтересованность в рассмотрении эффективных алгоритмов решения математических задач гидродинамики и помогал в построении адаптивных сеток. Автор также выражает глубокую признательность Смагулову Ш. за поддержку исследований и за консультации при обсуждении математического обоснования предлагаемых алгоритмов численного решения, уравнений пвегимве-мой жидкости. На разных этапах работе по созданию и апробированию методов велась совместно с Д.Алибневым, Н.А.Балдыбеко- . вым, Ш.А.Ерииным, Е.Жанабаевым, У.Н.К&пбасбаевым, Б.Т.Жумагу-ловим, М. йзтлеуешм, К.Е. Коннсбаевкм. Б.Г. .Кузнецовым, М.Ку-лымбаевог, В.Д.Лисейкшшм, М.К. Орунхановьм, Д.Т.Стыбаовым, Я.Т.Сугирбаевоа и Н.М.Темироековым. Всем им, а также коллективу механико-математического факультета КазГКУ им.Аль-Фзраби диссертант выражает благодарность аа помощь и внимание.

Основные результаты диссертации опубликованы

в работах:

I. Данэев Н.1\.Лисейкин В.Д.,Янбнко H.H. О метода подвикчых координат в газовой данамжо. //Проблема вычислительной математики и математ.физики. - М.:Каука.1977. - с.107-115.

2. япенко H.H..Данпев К.Т. .Лксойкш В,Д. О вариационном методе построения сеток.// Численные методы механики сплошной среда.-Новосибирск, 1977 Л.8.J» 4. - с.157-163.

3. Данаев Н.Т. Исследование свойств нэкотодах од^емзрных. тыо-разований.//Числ.методы механики сплокной среда, - Новосибирск, 19?9,тЛ0,#2. - С.59-70.

- 2С -

4. Данаев Н.Т. 00 одном способе построения криволинейных сеток, сгущающихся в области большие градиентов.// Числ. метода механики сплошной среда.- Новосибирск, 19?9,?.Ю,*4. - с.60-74.

6. Данаев Н.Т. О численном решении полных уравнений Навье -Сток-са в криволинейной системе координат.// Числошше метода решения задач механики сплошной среды.- Новосибирск,1960.- с.Э-10. (Препринт/ИТШ СО АН СССР.Я47)

'6. Данаев Н.Т. О численном решении дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной на неравномерной сетке.- Новосибирск, 1980.- га с.(Препринт/ИТШ СО АН СССР,*61)

7. Данаев Н.Т. Об одной возможности численного построения ор тогональшх сеток.//Численные метода механики сплошной среды.-НоВосйбирск.1983,тЛ4,*3.- с.42-53.

8. Данвва Н.Т. Об одном методе построения ортогональных сеток. //Тезисы иаучн-тоеретической конференции,поссящешой 50-летию Квзгосуниворситета им.С.М.Кирова.- Алма-АтаДЭ85,- с.29-30.

9. Данаев Н.Т. Численные матова построения криволинейных разностных. сеток.// Методическая разработка,- Алма-Ата,изд.КазГУ, 1986.- 36 С.

10» Данаев Н.Т..Бадшбеков Да.А. О выборе разностной сетки для численного решения задвч обтекания.// Алма-Атинский энергетический институт, - Алма-Ата,1833. - 19 с.( Депонирована в КазВНШТИ 23.01.83, ХОЗЭЗ)

11. Данаев Н.Т..Байсуйеуоаа 8. О разностных схемах для расчета сжимающего удара по конечному стержню.// В сб."Метода и средства математического моделирования нелинейных процессов физики и техники".- Алма-Ата,изд.КазГУ,I983.- с.95-99.

12. Дяпаев Н.Т. О построение и использовании подвижных конеч-HO-pesHOCTKux сеток.// В сб.'Приближенно-еналитические методы ревения краевых задач*.- Алма-Ата,игд.КазГУ,I&9Q.- с.54-59.

13. Дапаев Н.Т. и др. Численное исследование движения вязкой несжимаемой жидкости в каналах с проницаемой перегородкой./Данаев • Н.Т.',1£»«н ULA.,lau6ßCöaeB У.К,,Кудымбаева Ы.ш.//Вестник АН КазХР.^Ш^О.- с.64г?0. •

14. Двнаев Н.Т. О возмокаооти построения изометрической систе ' ш координат на поворхностн.//Вестник КазГУ, серия математическая.- КазГУ, 1994,- с.НО-Пб.

15. Данзев Н.Т. и др. Исследование сходимости економичнш ко-вачао-разиостша схем для уравнений Навье-Стокса в переменных

(u.v.ph/Даиаев Н.Т..Жумагулов Б.Т..Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. // Моделирование в механике.- Новосибирск,19Й2. т.6(23). ЛЙ.-с.25-57,

16. Данвев Н.Т..Коннсовев Ж.Е..Балдабоков Я*.А. Об одной реализации неявных разностных схем для численного решения задач газовой динамики,// В сб,"Метода и средства математического моделирования нестационарных процессов переноса".- Алма-Ата, Изд.КазГУ.1985. - с.76-92.

17. Данаев н.Т..Смагулов Ш. Об одной методике численного роше ния уравнений Навье-Стокса в перемешшх (Ф.С1).//моделирование в механике,- Новосибирск,1991,т.5<22),Л4.- с.38-47.

18. Данаев Н.Т..Смагулов Ш..Токирбеков K.M. Численное решение уравнений Нг.вье-Стокса для несжимаемой жидкости в каналах с пористой вставкой.//Журнал прикладной механики и технической физики.- Новосибирск,1995,*5,

19. Данаев Н.Т.,Стыбоев Д. Численное решение уравнений Навье-Стокса в плоском канале с пористой встаахой и со сосредоточенным подводом несжимаемой жидкости. //В сб. "Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики".- Алматы.изд.КбзП/, 1903.- с.3-12. . •

20. Данаев Н.Т..Ханабаев Ео.З.,Изтлоуов М.И. Численное решение уравнений конвективного движения несжимаемой жидкости в замкнутой полости при подогреве сбоку.//В сб."Чиелепное моделирование явлений переноса,- Алматы, изд,КвзГУ,199Э,- с.З-Э.

21. Жумагулов Б.Т..Данаев Н.т. Устойчивость и сходимость репе ния одного класса разностных схем для задачи протекания несжимаемой жидкости.// Казахский госуниверситот им.Кирова. - Алма-Атз,1989. - 17 с. (Деп.В КазНИШИ 25Лг.89,ЯЙ952)

72. Жумагулов Б.Т, и др. Численное реиение уравнений йавье-Стокса методом крупных частиц в многосвязашшх областях. /Жумагулов Б.Т.,Данаое Н,Т.,Орунханов Ы.К,.Смагулов Ш.//Тезисы докладов IV международной конференции по дмференциальнкм уравнениям и их приложениям. Русе.13-19 август ¿989. - Руса, Болгария, 1969,- с.266.

23. Jumagulov Б.Т..Danayev N.r..Saaguiov Sh. .Temirbekov N.M. Numerical methods of solitlon or Navler-Stokab equations intricate regions.// Ill International senlmr on flame structure. September 18-22,1989,Alma-Ata,1989,- p.8.18.

24. Данаев Н.Т..Сугирбаева Н.т. О сходящихся ргзпостных схемах для нестационарных уравнений несжимаемой жидкости в переменных (Ф,П).//Вычислительные технологий,- Новосибирск,1995,т.4.JM2.

- Г8 -

С.99-106.

25.Данаев Н.Т..Смагулов Ш. О реализации решения разностных

уравнений u^+t grodhРп+1= йп*1/г, ciiiyin+,= 0. //Некоторые

численные метода шшения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. - Алматы,1995. - с.4-П (Преиринт/КА Республики Казахстан,>11)

26. Алибиев Д.Б.,Данаев Н.Т..Смагулов Ш. Об итерационном мето де решения одного класса операторно-разностных уравнения.- Ал-маты,1993.~ 30 с. ( Деп.в КвзШЛНКИ.24.06.93,* 4323-93)

27. Алибиев Д.Б..Данаев Н.Т..Смагулов Ш. Числеиное решение задачи тепловой конвекции с незадакиым расходом,- Алмагы.1993. ЗО'С. (Деп.в КазНИИНКИ. 19.Об.93, #4261-93)

28. Смагулов Ш..Данаев Н.Т.«Темирбеков Н.М. Численное решение уравнений Навье-Стоков с разрывным« коэффициентами,- Краснояр-СК.1969.- 21 с. (ПрепринтЛЩ СО АН СССР,МБ)

29. Темирбеков Н.П.,Данаев Н.Т. Численное моделирование гидро динамики вязкого газа в ородах с пористой структурой.//Числен-кые и аналитические метода решения краевых задач.- Алма-Ата, изд. КазГУ, 1986 .- с.47-54.

30. Яненко H.H.,ДанаеЕ Н.Т.,Лисейкин В.Д. О вариационном метода построения сеток.//Члсл.методы механики сшювной среда.-НовоСИб>фСК,1977,Т.8,*4.- С.157-163.

31. Данаев Н.Т..Смагулов Ш. Об итерационном методе решения одного класса операторно-разностшх уравнений.//Некоторые чис-ленкыо методы решения уравнений Навье-Сгокса для несжимаемой вдзюста. - Алматы,1995. - с. 12-21 (Препринт/ ИА Роспублики Казахстан, *П)

32. Алислев Д.Б.,Данаев Н.Т.,Смагулов Ш. Численное решение одаой тепловой задачи с незадашшм расходом.// Вычислительные технологий,- Н0В0Ш5ирск,1995,Т.4,Й12. - С.10-28.

Н.Т. Данае»

Курде л) облыстэрда гидродинамика тенаеулерЫ шетуд1ц ти!ид1 сан.йык тос1лдер1

ТШРЬЙЩМА

Бей1мделг1и есегггеу торларын тургызу хэне оларды туркырлы газдын линамикасы есептерШ шешуге пайдалану сурактары карас-тарылган. "Кисым, жшдамдьж" айнымалылары аркылы бер!лген cif-гьимайтан суйыктин тендеулерЫе ти1мд1 айырымды схеиалар ку~ растыршшп, математикалык жолмен нег!зделген. "Агын функция-си, жьшамдык и i р iмI" айныыалыларымен бер1лген уакыттан твуел-с')з Навье-Стокс тендеулерЫ шешуге аса ти!мд) итерациялык алгоритм дер карастырылган айне одардик орньсоадыгы мен жииагсты-лыгы теорема тур!нде делелденген. Хумыста усынылган айырымяык тевдеулер мегЫнде гидродинаыиканын ертурл! ecenxepi зерттод-ген-

N. Т. Danayev

Efficient methods of numerical solution of hydrodynamlc «suqatlon-s in сошр1*к regions

ABSTRACT

The method* of adapttv« grids creatine and question of their using in solving task* of visrcosity gas dynamics were considered. Efficient difference schemes for Incompressible liquid was created and mathematical у proved. For numerical solving of stationary equations of K&vier*Stoks in the v&rikblen of "9tre»m function, vortlclty" were considered Iterational schemes. for which the theorems of stability and con wjen-ce »re proved. The series of actual solutions of hydrodynamics w»ra explored numerically on the foundation of offering varl-ons algorithms.