Решение стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ГВДРОДШАМЖИ И ЭЛЖТН)ГВДРОДИНАМИКИ

§1. Постановка задачи электромагнитной гидродинамики в случае неограниченной области

§2. Теорема существования

§3. Краевая задача электрогидродинамики в случае неограниченной области

§4. Краевая задача электрогидродинамики в случае ограниченной области.

§5. Простейшая краевая задача электрогидродинамики . 49 •

§6. Простейшая краевая задача двухкомдонентной электромагнитной гидродинамики

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТР01ЛАШИТН0Й ГИДРОДИНАМИКИ

И ЭЛЖТРОГЩРОДШАМИКИ.

§7. Постановка разностной задачи электромагнитной гидродинамики

§ 8. Существование и единственность решения разностной задачи электромагнитной гидродинамики

§9. Сходимость разностной схемы.

§10. Модельная разностная задача электрогидродинамики

ВЫВОДЫ.

Во многих прикладных задачах вычислительной математики приходится решать вопросы, связанные с механикой жидкости. Большинство процессов, связанных с движением жидкости, протекает в условиях присутствия электромагнитного поля, в той или иной мере воздействующего на жидкость.-Во многих процессах действие поля необходимо учитывать. В этих случаях складывается картина взаимодействия гидродинамических и электромагнитных сил.

Диссертация посвящена исследованию стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики. Для таких задач рассматриваются вопросы существования обобщенных решении. Предложены разностные схемы для численного решения краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики в области, граница которой является идеальным проводником. В случае параллелепипеда рассмотрены вопросы существования и единственности решения разностной схемы для задачи электромагнитной гидродинамики, и доказана сходимость разностной схемы со скоростью второго порядка.

Математическая модель электромагнитной гидродинамики строилась на основе уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости с учетом действия электромагнитного поля - силы Лоренца, уравнений Максвелла и обобщенного закона Ома. Определяющими моментами рассматриваемой математической модели являются предположение о малой концентрации заряженных частиц и обобщенный закон Ома.

Диссертация состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию существования обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики. Здесь рассмотрены три типа задач, каждый из которых имеет свои особенности. В задачах первого типа пространство R-з все заполнено диэлектриком или вакуумом, кроме некоторого объема rii , в котором движется жидкость. Задачи второго типа рассмотрены только для случая электрогидродинамики. Здесь область Q , в которой изучается явление, состоит из области iTl* , заполненной жидкостью, и области .Ог , окружающей -ГХ, и заполненной диэлектриком. От всего пространства область JQ - Uflz изолирована идеальным проводником, так что вне П все поля отсутствуют. Задачи третьего типа - наиболее простые и в некотором смысле модельные. В них все явления изучаются только внутри объема , заполненного жидкостью, граница которого является идеальным проводником.

ВЫВОДЫ

1. Рассмотрены математические модели электромагнитной гидродинамики и электрогидродинамики.

2. Для ряда краевых задач доказаны теоремы существования обобщенных решений.

1.

3. Построены разностные схемы второго порядка аппроксимации во внутренних точках сеток.

4. Для разностной задачи электромагнитной гидродинамики доказаны теоремы существования и единственности решения, доказана теорема сходимости разностной схемы со скоростью второго порядка для случая области, являющейся параллелепипедом.

5. Для разностной задачи электрогидродинамики при равенстве нулю коэффициента подвижности зарядов в случае произвольной сеточной области доказано существование решения. Предложен итерационный процесс решения разностной задачи. Доказано, что при любых данных задачи можно выбрать итерационные параметры так, что нормы итераций будут равномерно ограничены. Доказана сходимость итерационного процесса.

1. Ъай-Ши-Е. Магнитная газодинамика и динамика плазмы. "Мир", 1964.

2. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа,

3. Тр. МИАН СССР, т. 59, I960, 5-36.

4. Валединский В.Д., Кобельков Г.М. О разностном аналоге неравенства llf^llj^ ^ С W^Vld р || . Материалы семинара Отдела вычислительной математики АН СССР, Препринт J& 67, М., 1983.

5. Гогосов В.В., Полянский В.А. Электрогидродинамика: Задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения, в сб.: "Механика жидкости и газа", т. 10 (Итоги науки),1. М., ВИНИТИ, 1976, 5-85.

6. Кобельков Г.М. Об одном итерационном методе решения стационарного уравнения Навье-Стокса. Вестн. МГУ, I, 1980.

7. Кобельков Г.М. О численном методе решения задачи Стокса. ЖВМ и МФ, 15, № 3, 1975.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., "Наука", 1976.

9. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М., Физматгиз, 1962.

10. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961.

11. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. Тр. МИАН СССР, т. 59, I960, II5-I73.

12. Рубашов И.Б., Бортников Ю.С. Электрогазодинамика. Атомиздат, 1971.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., "МУКА", 1977.

14. Солонников В.А. О некоторых стационарных краевых задачах для уравнений магнитной гидродинамики. Тр. МИАН СССР,т. 59, I960, 174-187.

15. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М., "Наука", 1979.

16. Соколов А.Г. О существовании обобщенных решений стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики. ДАН СССР, т. 277, & I, 44-48.

17. Соколов А.Г. О численном решении некоторых стационарных краевых задач электромагнитной гидродинамики. Материалы семинара Отдела вычислительной математики АН СССР, Препринт71, М., 1984.

18. Соколов А.Г. О некоторых стационарных краевых задачах электромагнитной гидродинамики. Успехи матем. наук, т. 39, вып. 4 (238), 1984, с. 109.