Некоторые задачи электрогидродинамики поляризующихся сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ СРЕД

§ I. Введение определяющих параметров сплошной среды.

Вариации параметров.

§ 2. Вариационное уравнение. Уравнения состояния. Уравнения баланса энергии-импульса и баланса моментов.

§ 3. Замыкание системы уравнений при помощи релятивистского обобщения методов неравновесной термодинамики

§ 4. Релятивистские уравнения движения намагничивающихся сред. Уравнения Френкеля

ГЛАВА П. НЬЮТОНИАНСКИЕ УРАВНЕНИЯ Д ЖЖЕНИЯ ПОЛЯРИЗУЮЩИХСЯ

СРЕД.

§ I. Уравнения движения сред с внутренними механическими моментами.

§ 2. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики.

§ 3. Переход от релятивистских уравнений движения поляризующихся сред к уравнениям ныотонианской механики. Релятивистские эффекты

§ 4. Распространение звуковых волн в поляризующейся среде с внутренним массовым моментом

ГЛАВА Ш. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ

§ I. Введение определяющих параметров для двухфазной поляризующейся смеси. Вариации определяющих параметров

§ 2. Вариационное уравнение. Уравнения состояния и уравнения движения

§ 3. Уравнение баланса энтропии. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики

§ 4. Частный случай модели поляризующейся двухфазной смеси. . VI

ГЛАВА 1У. ЗАДАЧИ О РАВНОВЕСИИ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ ДВУХФАЗНОЙ

СМЕСИ.

§ I. Равновесное распределение несжимаемых частиц в смеси в поле плоского конденсатора в присутствии силы тяжести

§ 2. Равновесное распределение пузырьков газа между обкладками плоского конденсатора

§ 3. Равновесие частиц в смеси в поле вращающегося цилиндрического конденсатора

§ 4. Распределение пузырьков газа в поле вращающегося цилиндрического конденсатора

ГЛАВА У. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ПОЛЯРИЗУЮЩЕЙСЯ

ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ.

§ I. Движение диэлектрической частицы в пространстве между обкладками цилиндрического конденсатора.

§ 2, Движение частиц в смеси в заданном неоднородном электрическом поле. IIQ

§ 3. Стационарное движение частиц в поле цилиндрического конденсатора с учетом влияния частиц на электрическое поле.117

§ 4. Особые точки поля интегральных кривых стационарного течения двухфазной поляризующейся смеси

Вопросы изучения движения сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов приобретают в последнее время все большее значение. По сравнению с другими взаимодействиями, известными в физике (гравитационными, сильными, слабыми), электромагнитные взаимодействия более универсальны: они проявляются и могут быть существенны и на микроскопическом (например, атомном) и на макроскопическом уровнях. Неудивительно, что при постановке конкретных механических задач часто возникают ситуации, когда необходим учет сил и притоков энергии электромагнитной природы.

Представленная диссертация посвящена изучению движений сред, взаимодействующих с электромагнитным полем.

Общая теория построения моделей сплошных сред изложена в работах Л.И.Седова [1-9]. В работах [3-9] предложен и развит метод построения моделей сплошных сред с помощью вариационного уравнения которое для действительных явлении сводится локально к первому и второму законам термодинамики. Определение модели сплошной среды

Общая теория конструирования моделей сплошных сред при наличии взаимодействия материальных тел с электромагнитным полем с учетом электрических токов, поляризации и намагничивания, основанная на использовании базисного вариационного уравнения, предсвязано с заданием скалярной функции Лагранжа Л и фиксированием функционала в шде интеграла по четырехмерному ем локена в работах- [8-9] .При заданных внешних воздействиях выводится замкнутая система уравнений, в том числе уравнения Максвелла, уравнения состояния, описывающие поляризацию, намагничивание и внутренние механические напряжения.

Базисное вариационное уравнение для малого элемента объема среды и электромагнитного поля в случае действительных процессов, согласно основной идее, должно сводиться локально к полному уравнению балансов для приращений всех видов энергии, возникающих при взаимодействиях в полях и в материальных средах в изучаемых процессах. Это обстоятельство может служить ведущим физическим указанием для установления вида функционалов, фигурирующих в базисном вариационном уравнении, которое, однако, может содержать также дополнительно члены, обращающиеся в нуль для действительных процессов.

В работе [9] дается термодинамическое обоснование для следующего вида функционала

И*1 и Г.

Здесь п и - компоненты канонических четырехмерных тензоров электромагнитного поля, А-к -компоненты четырехмерного потенциала электромагнитного поля, I - компоненты четырехмерного вектора электрического тока, 3 - энтропия, рассчитанная на единицу массы сплошной среды, Т - температура, g - массовая плотность сплошной среды, Од, - компоненты плотности четырехмерной внешней объемной силы. Компоненты Zi* определяют дисси-пативные процессы в среце.

Вывод выражений для пондеромоторных сил содержится в значительном числе монографий [ю-1б] ; при этом разные авторы дают различные по существу формулы, которые приводятся только для отдельных частных случаев. Основой такого несовпадения служит возможность различного определения тензора энергии-импульса поля при фиксированном суммарном тензоре энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля [17] .

Построению моделей сплошных сред, которые являются одновременно поляризующимися и намагничивающимися, посвящены работы [18-22] ; в работах ' 23-2б] рассмотрены релятивистские модели таких сред.

Усредненные соотношения, описывающие взаимодействие сплошной среды и высокочастотного электромагнитного поля, получены в работах [l5, 26-27] .

Значительное число работ [28-34] посвящено построению качественно более сложных моделей поляризующихся и намагничивающихся многокомпонентных и многофазных сред.

В ряде случаев нет необходимости рассматривать и учитывать одновременно поляризуемость и намагничиваемость сплошной среды. Так, приближение феррогидродинамики используется при постановке задач и построении моделей магнитоупругих сред, когда основными являются магнитные свойства тел [36-37, 39] . В работе [37] рассмотрены модели магнитоупругих сред с учетом таких необратимых эффектов,как магнитный гистерезис и пластические деформации. Релятивистские модели магнитоупругих сред строятся в работах [38, 40].

Интерес к намагничивающимся жидким средам возрос в связи с созданием и экспериментальным исследованием ферромагнитных суспензий - магнитных жидкостей [4l].

Модели магнитных жидкостей, построенные в работах [42-52], учитывают наличие в среде внутреннего момента количества движения. Б работах [44-47, 50] вектор внутреннего момента количества движения считается пропорциональным намагниченности среды (учитывается только гиромагнитный момент), в других работах, например, в [22, 42-43], учитывается также молтент количества движения, связанный с вращением частичек. Обзор различных моделей намагничивающихся жидких сред и решенных в рамках этих моделей задач был сделан В.В.Гогосовым, В.А.Налетовой и Г.А.Шапошниковой [бз].

Использование моделей, учитывающих наличие в среде внутреннего момента количества движения, сделало возможным описание таких экспериментально наблюдаемых явлений, как увеличение эффективной вязкости при течении магнитной жидкости в трубах в магнитном поле [б4-5б] и увлечение магнитной жидкости вращающимся магнитным полем [56-6l].

В релятивистских моделях [45, 49, 62-63] вводится кососим-метричный пространственный (с временными компонентами, равными нулю в собственной системе) тензор внутренних механических моментов, который, как и в случае ныотонианских моделей, может иметь гиромагнитную или иную природу.

Модели заряженных и электропроводных сплошных сред в приближении электрогидродинамики строились, в частности, в работах [64-65]. В работе [бб] были получены условия на электрогидродинамических ударных волнах. Структура ударных волн в электрогидродинамике исследовалась при различных предположениях в работах б7—69]• В работе [70] были получены условия на поверхностях разрыва в поляризующихся средах в присутствии электрического поля.

В приближении электрогидродинамики исследовалась в различных постановках цроблема электризации тел при движении в потоках дисперсных сред - аэрозолей [71-72] и решалась задача об электризации слабопроводящих жидкостей при течении в трубах [73-74]. Обширной литературе по исследованиям в области электро-гндродинамики посвящен обзор, сделанный В.В.Гогосовым и В.А. Полянским [75].

В работах [29-33, 7б] в электрогидродинамическом приближении построены модели многофазных поляризующихся сред. Модели многофазных сред в отсутствие электромагнитного поля строились и исследовались многими авторами [77-87]. Многофазная смесь представляет собой совокупность нескольких взаимопроникающих континуумов (фаз), каждый из которых занимает только часть общего объема смеси [з, 77]. В связи с этим цри построении моделей многофазных сжимаемых сред необходимо выписывать уравнения, связывающие давления фаз и являющиеся одновременно уравнениями для нахождения объемных концентраций. В качестве такого уравнения для смеси жидкость - пузырьки газа в работах [78-79] было предложено уравнение Рэлея, выведенное для пульсаций одиночного пузыря в несжимаемой жидкости [i] и постулируемое в моделях многофазных сред дополнительно. Постулата такого рода не делается в моделях поляризующихся многофазных сред [30-33, 7б], в которых уравнения для изменения объемных концентраций фаз следуют из общего формализма термодинамики необратимых процессов.

Системы уравнений моделей дисперсных сред, построенных в работах [29-33], включают в себя уравнения движения и энергии для смеси в целом и "диффузионные" соотношения, заменяющие уравнения движения и энергии для каждой фазы. Модель поляризующейся дисперсной среды, построенная в работе [7б]- многоскоростная: для каждой фазы выписывается свое уравнение движения, а наличие других фаз учитывается добавлением в уравнения слагаемых, связанных с обменом импульсом и энергией между фазами. В работе выводятся выражения для сил, действующих со стороны электрического поля на каждую из фаз, и возникающих из-за различия диэлектрических проницаемостей и проводимоетей фаз.

В рамках построенной в работе [7б] модели поляризующейся дисперсной смеси в работах [88-89] рассмотрена задача о всплы-вании и осаждении частиц в поле плоского конденсатора при наличии силы тяжести. Вызываемое движением частиц перераспределение объемной концентрации изменяет диэлектрическую проницаемость среды, а вместе с ней и степень взаимодействия среды с электрическим полем. Изменяется и само электрическое поле; цри этом на диспергированную фазу действует сила, пропорциональная градиенту квадрата напряженности электрического поля. Поведение частиц существенно зависит от того, какой режим - дозвуковой или сверхзвуковой (по отношению к скорости распространения слабых разрывов) осуществляется в течении.

В представленной диссертации рассматривается поведение поляризующихся сред в электромагнитных полях.

Предлагаются релятивистские и ньютонианские модели, описывающие движение поляризующихся сред с внутренними механическими характерно тиками.

Решается задача о распространении слабых возмущений в среде такого типа.

Строится, при помощи базисного вариационного уравнения, модель двухфазной поляризующейся смеси, в частном случае совпадающая с моделью, полученной в работе [7б].

Решаются задачи о равновесных состояниях двухфазной поляризующейся смеси, а также задачи о стационарных течениях частиц в неоднородном электрическом поле.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы.

1. Седов Л.И. Механика оплошной среды. Изд. 3-е. М.: Наука, 1976. T.1. 536 е.; Т.2. 573 с.

2. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

3. Седов Л.И. Об основных концепциях механики сплошной среды.- В сб.: Некоторые проблемы математики и механики (К 60-летшо академика М.А.Лаврентьева). Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1961, с.227-235.

4. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. Успехи мат. наук, 1965, т.20, вып.5(125), с.120-180.

5. Седов Л.И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. Прикл. мат. и мех., 1968, т.32, вып.5, с.771-785.

6. Седов Л.И. Виды энергии и их трансформации. Прикл. мат. и мех., 1981, т.45, вып.6, с.963-984.

7. Седов Л.И., Бердичевский В.Л. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Прикл. мат. и мех., 1967, т.31, вып.6, с.981-1000.

8. Седов Л.И. Применение базисного вариационного уравнения для построения моделей сплошных сред. В сб.: Избранные вопросы современной механики. 4.1. М.: Изд—во МГУ, 1981, с.11-64.

9. Седов Л.И., Цыпкин А.Г. 0 построении моделей сплошных сред, взаимодействующих с электромагнитным полем. Прикл. мат. и мех., 1979, т.43, вып.З, с.387-400.

10. Паули В. Теория относительности : Пер. с англ. М.; Л.; Гостех-издат, 1947, 300 с.

11. Абрагам М., Беккер Р. Теория электричества: Пер. с нем. 2-е изд. М.; I.: Гостехиздат, 1939. T.I. 258 е.; 1941, Т.2, 391 с.

12. Стрэттон Jfe.A. Теория электромагнетизма: Пер. с англ. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 540 с.

13. Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1964. 456 с.

14. Synge J.L. Relativity: the Special Theory. Amsterdam: NorthtHolland Publ. Co.; Hew York: Interscience, 1956, XV+450 p.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: ШТТЛ, 1957. 532 с.

16. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 616 с.

17. Седов Л.И. 0 пондеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом конечности деформаций. Прикл. мат. и мех., 1965, т.29, вып.1, с.4-17.

18. Цыпкин А.Г. 0 моделях сплошных сред с учетом эффектов поляризации и намагничивания. Научн. тр. Ин-та механики МГУ, 1974, JS 31, с.144-148.

19. Цыпкин А.Г. Изучение поляризующихся и намагничивающихся сплошных сред с помощью вариационного уравнения. Прикл. мат. и мех., 1973, т.37, вып.5, с.803-812.

20. Штейн А.А., Цыпкин А.Г. Модели сплошных сред в ньютоновской механике. Отчет Ин-та механики МГУ, 1973, is 1468, 103 с.

21. Тарапов И.Е. Об основных уравнениях и задачах гидромеханики поляризующихся и намагничивающихся сред. В сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.17. Харьков: Изд-во ХГУ, 1973, с.221-232.

22. Суязов В.М. О несимметричной модели вязкой электромагнитной жидкости. Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1970, J" 2, с .1220.

23. Maugin G.A., Eringen А.С. Polarized elastic materials with electronic spin a relativistic approach. - J. Math. Phys., 1972, v.13, Ho 11, p.1777-1788.

24. Schopf H.-G. Allgemeinrelativische Prinzipien der Konti-nuums-mechanik. Ann. Phys., 1963, Bd. 12, Hf. 7-8, S.377-395.

25. Schopf H.-G. Bewegte anisotrope Dielektrika in relativischer Sicht. Ann. Phys., 1964, Bd.13, Hf.1-2, S.41-52.

26. Вашими X.f Карпман В.И. О пондеромоторной силе высокочастотного электромагнитного поля в диспергирующей среде. -Журн. эксп. и теор. физ., 1976, т.71, 9, с ДОГ0-1026.

27. Штейн А.А. Модели поляризующихся сред и усредненные соотношения, соответствующие им в случае электромагнитного поля. -Прикл. мат. и мех., 1977, т.41, с.271-281.

28. Цыпкин А.Г., Штейн А.А. Модель вязкой сжимаемой многокомпонентной жидкости с учетом эффектов поляризации и намагничивания. Прикл. мат. и мех., 1974, т.38, вып.4, с.644-653.

29. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А, Гидродинамика дисперсных систем, взаимодействующих с электромагнитным полем. Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа, 1977, JS 3, с.59-70.

30. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. О некоторых моделях многофазных поляризующихся и намагничивающихся сред. В сб.: Некотор. вопр. мех. сплош. среды. М.: Изд-во МГУ, 1978, с.97-113.

31. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. О конструировании моделей поляризующихся дисперсных и многокомпонентных сред. Прикл. мат. и мех., 1979, т.43, JS 3, с.489-499.

32. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Об описании многофазных сред. В сб.: Пробл. осреднения и постр. конт. моделей в мех. сплош. среды. М.: Изд-во МГУ, 1980, с.36-52.

33. Суязов В.М. О структурно-континуальном подходе в магштто-и электрогидродинамике дисперсных систем. Магнитная гидродинамика, 1972, JS 2, с. 14-19.

34. Stuetzer О.М. Magnetohydrodynamics and electrohydrodynamics.- Phys. Fluids, 1962, v.5, No 5, p.534-544.

35. Власов К.Б., Ишмухаметов Б.Х. Уравнения движения и состояния магнитоупругих сред. Журн. эксп. и теор. физ., 1964, т.46, JB I, с.201-212.

36. Черный JI.T. Построение моделей магнитоупругих сплошных сред с учетом магнитного гистерезиса и пластических деформаций.- Научн. тр. Ин-та механики МГУ, 1974, 3 31, с.144-148.

37. Maugin G.A. Relativistic theory of magnetoelastic interactions. J. Phys., 1972, v.A5, p.786-802; 1973, v.A6,p.306-321.

38. Maugin G.A., Eringen A.G. Deformable magnetically saturated media. Field equations. J. Math. Phys., 1972, v.13, Ho 2, p.143-155.

39. Esposito R. On the utilization of angular momentum balance principle in relativistic theory of magnetoelastic continua.- Ricerche Matematika, 1978, vol.27, p.265-282.

40. Neuringer J.L., Rosensv/eig R.E. Ferrohydr о dynamics. Phys. Fluids, 1964, v.7, No 12, p.1927-1937.

41. Баштовой Б.Г., Кашевский Б.Э. Асимметричная модель магнитной жидкости с учетом конечной анизотропии ферромагнитных частиц.- Магнитная гидродинамика, 1976, В 4, с.24-32.

42. Maugin G.A. Sur les fluides relativistes a spin. Ann. Inst. H.Poincare, 1974, A20, llo 1, p.41-68.

43. Шяиомис М.И. Магнитные жидкости. Усп. физ. наук, 1974, т.112, В 3, с.427-458.

44. Шлиомис М.И. Об уравнениях движения жидкости с гиромагнитными свойствами. Журн. эксп. и теор. физ., 1967, т.53, !Ь 9, с.1125-1134.

45. Желнорович В.А. О моделях намагничивающихся и поляризующихся сред с микроструктурой. Докл. АН СССР, 1979, т.249, $ 2,с.333-337.

46. Желнорович В.А. Об уравнениях для жидкостей с внутренним магнитным и механическим моментами.-Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1974, Ш 5, с.174-177.

47. Желнорович Б.Л. 0 ныотонианских уравнениях для жидкостей с внутренним магнитным и механическими моментами. Изв. АНСССР. Механика жидкости и газа, 1974, 6, с.155-158.

48. Желнорович БД. Модели материальных сплошных сред, обладающих внутренним электромагнитным и механическим моментами» М.: Изд-во МГУ, 1980, 174 с.

49. Цеберс А.О. Феррогидродинамика как гидродинамика системы с внутренними степенями свободы. В сб.: Физич. свойства и гидродинамика дисперсн. ферромагнетиков. Свердловск, 1977, с.49-57.

50. Гогосов Б.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей. В сб.: Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. T.I6. М.: ВИНИТИ, 1981, с.76-208.

51. Мозговой Е.Н., Бдум Э.Я., Цеберс А.О. Течение ферромагнитной жидкости в магнитном поле. Магнитная гидродинамика, 1973, }Ь I, с.61-67.

52. Шлиомис М.И. Эффективная вязкость магнитных суспензий. -Журн. эксп. и теор. физ., 1971, т.53, 9, с.1125-1134.

53. Суязов В.М. Движение ферросуспензии во вращающихся однородных магнитных полях. Магнитная гидродинамика, 1976, JB 4, с.36-50.

54. Суязов В.М. Движение намагничивающейся жидкости под действием вращающегося магнитного поля. Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1970, JS 4, с.40-43.

55. Кирюшин В.В., Налетова В.А., Чеканов В.В. Движение намагничивающейся жидкости во вращающемся однородней магнитном поле. Прикл. мат. и мех., 1978, т.42, вып.4, с.668-672.

56. Вислович А.Н. О воздействии вращающегося поля на ферромагнитную суспензию в слое со свободной границей. Письма в ЖТФ, 1975, т.1, й 16, с.744-748.

57. Цеберс А.О. Моментные напряжения и гидродинамика магнитной жидкости в однородных вращающихся магнитных полях. Магнитная гидродинамика, 1978, Л 4, с.9-13.

58. Шлиомис М.И. Нелинейные эффекты в суспензии ферромагнитных частиц при воздействии вращающегося магнитного шля. Докл. АН COOP, 1974, т.218, Я 5, с.1071-1074.

59. Kafadar С.В., Eringer А.С. Micropolar media II. The rela-tivistic theory. - Int J. Eng. Sci., 1971, v.9, No 3,p.307-329

60. Maugin G.A., Eringen A.G. Relativistic continua with directors. J. Math. Phys., 1972, v.13, No 11, p.1788-1792.

61. Гогосов В.В., Полянский В.А., Семенова И.П., Якубенко А.Е. Уравнения электрогидродинамики и коэффициенты переноса в сильном электрическом поле. Изв. АН СССР, сер. мех. жидкости и газа, 1969, JS 2, с.31-45.

62. Бортников Ю.С., Рубашов И.Б. Некоторые вопросы исследования системы уравнений электрогазодинамики. Магнитная гидродинамика, 1968, Аз 2, с.26-32.

63. Гогосов В.В., Полянский В.А. Разрывы в электрогидродинамике. Прикл. мат. и мех., 1971, т.35, вып.5, с.761-772.

64. Гогосов В.В., Полянский В.А. Структура электрогидродинамических ударных волн. Прикл. мат. и мех., 1972, т.36, вып.5, с.851-865.

65. Гогосов В.В., Коровин В.М., Полянский В.А. Р1сследование структуры электрогидродинамических ударных волн с использованием полного уравнения движения для заряженной компоненты вместо закона Ома. Прикл. мат. и мех., 1977, т.41, вып.6, С.ТПЯЯ-ТПЯР.

66. Гогосов Б.В., Налетова В.А., Фарбер Н.Л. Структура электрогидродинамических ударных волн в многокомпонентных и многофазных смесях в случае произвольного параметра взаимодействия.- Прикл. мат. и мех., 1974, т.38, J5 3, с.465-476.

67. Седова Г.Л. Условия на разрывах в поляризующихся средах.- Прикл. мат. и мех., 1974, т.38, А? 5, с.931-933.

68. Гогосов В.В., Холопов В.Л., Черный Л.Т. Электризация летательных аппаратов. Отчет Института механики МГУ, 1978, № 2133, 58 с.

69. Гогосов В.В., Холопов В.Л., Черный Л.Т. Исследование электризации летательного аппарата, оснащенного разрядниками, при движении в аэрозоле с жидкой дисперсной фазой. Отчет Института механики МГУ, 1981, № 2538, 52 с.

70. Гогосов В.В., Никифорович Е.И., Толмачев В.В. Электризация слабопроводящей жидкости, текущей по металлической трубе. -Магн. гидродинамика, 1979, № 2, с.59-62.

71. Прибылов В.Н., Черный Л.Т. Электризация диэлектрических жидкостей при течении в трубах. Изв. АН СССР. Мех. жидкостии газа, 1979, Ш 6, с.41-47.

72. Гогосов В.В., Полянский В.А. Электрогидродинамика: задачи