Задачи оптимального управления МГД-течением Гартмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Цыба Владимир Евгеньевич

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МГД-ТЕЧЕНИЕМ ГАРТМАНА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

□□3479146

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2009 г.

003479146

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. A.A. Дородницына РАН и в Институте Прикладной Математики ДВО РАН

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Чеботарев А.Ю.

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Ащепков JI.T. д.ф.-м.н., профессор Дикусар В.В.

Ведущая организация:

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН

Защита состоится «22» октября 2009 года в «14:00» на заседании диссертационного совета Д 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к.343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан s> сентября 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Магнитная гидродинамика (МГД) — это наука о движении электропроводящих жидкостей и газов в присутствии магнитного поля. Этот раздел физики развивается на стыке гидродинамики и классической электродинамики. Его методы широко используются для описания процессов, протекающих в плазме, жидких металлах и электролитах. Задачи, возникающие при изучении МГД, представляют большой интерес как с практической, так и с теоретической стороны.

С практической стороны МГД, например, позволяет находить бесконтактные способы управления процессом течения: разгонять или тормозить потоки, а также гасить или наоборот создавать вихри, или, например, создавать новые источники энергии, используя принцип МГД - генератора.

Уравнения МГД и связанные с ними задачи представляют интерес и с теоретической стороны. Это связано, прежде всего, с нелинейностью модели и с тем, что система МГД включает в себя уравнения Навье - Стокса н уравнения Максвелла, которые сами по себе являются предметом многочисленных исследований.

В основе МГД лежат две группы законов физики: уравнения гидродинамики и уравнения магнитного поля. Первые описывают течение проводящей среды (жидкости или газа), однако в отличие от обычной гидродинамики, течение связано с распределенными по объему среды электрическими токами. Вторая группа законов описывает токи в среде и вызываемые ими искажения магнитного поля. Наиболее часто систему МГД рассматривают в предположении, что внешнее магнитное поле не является существенным, и его воздействием на процесс течения можно пренебречь, либо свести воздействие к соответствующим краевым условиям для магнитного поля.

Одной из первых работ по исследованию МГД - течений стала работа Ладыженской O.A. и Солонникова В.А. (1960). В этой работе детально исследованы начально-краевые задачи для нестационарной системы, описывающей МГД - течение. Позднее вышел целый ряд работ, посвященных исследованию разрешимости начально-краевых задач магнитной гидродинамики. Среди них можно отметить работы Ступялиса Л.И. (1980), Алексеева Г.В. (1982), Rappaz J. (1982), Mair A.J. (1993).

Помимо краевых задач магнитной гидродинамики, особый интерес представляют задачи управления, возникающие, например, при рассмотрении про-

дессов, протекающих в МГД - двигателях и МГД - генераторах. Такие задачи успешно решаются с помощью различных численных методов. Разработке методов и алгоритмов решения задач управления, в том числе и МГД - течениями, посвящено большое количество работ. Среди них можно, например, отметить работы Васильева Ф.П. (1989), Ишмухаметова А.З. (2003), Xu С. и Krstic M. (2008). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с задачами оптимального управления МГД - течениями. Среди авторов, занимавшихся изучением таких вопросов можно отметить Фурсикова A.B. (1996), Gunzburger M.D. (1998), Barbu V. (2003), Алексеева Г.В. (2003), Чеботарева А.Ю. (2007).

Настоящая работа также посвящена теоретическому изучению задач оптимального управления магнитогидродинамическим течением в одномерном случае. Изучение одномерного случая существенно упрощает уравнения МГД. Однако, именно благодаря такой постановке задачи удается более детально изучить теоретические основы процесса МГД - течения и подробно исследовать связь между скоростью течения, индуцированным и и внешним магнитными полями.

Следует отметить, что и в одномерном случае связь между внешним магнитным полем и скоростью течения, а также индуцированным магнитным полем не является линейной.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование наименее изученных задач оптимального управления для МГД - течения Гарт-мана: задачи мультипликативного управления и задачи жесткого управления. Исследование включает в себя рассмотрение вопросов существования и единственности решения системы уравнений, описывающих процесс МГД - течения Гартмана, существования и единственности решения указанных задач оптимального управления, изучение вопросов управляемости, а также изучение свойств решений и разработку асимптотических алгоритмов построения оптимального управления.

Методы исследований. При получении результатов данной диссертации использовались следующие методы: теория функциональных пространств Соболева и теоремы вложения, методы исследования разрешимости краевых задач в пространствах Соболева, методы априорных оценок, метод регуляризации, методы теории оптимального управления для уравнений в частных

производных, включающих методы доказательства разрешимости и принцип множителей Лагранжа. Применялись также более тонкие методы анализа, такие как метод единственности Гильберта или метод единственности продолжения решения параболической системы.

Научная новизна. В диссертации изложены следующие новые научные результаты:

1. Изучена задача мультипликативного управления для одномерного МГД - течения Гартмана. Доказаны теоремы существования, единственности решения и выведена система оптимальности. Построена асимптотика оптимального управления и доказана его субоптимальность.

2. Для задачи мультипликативного управления доказана изолированность решений и получено условие существования конечного числа решений. Получены априорные оценки, определяющие качественные свойства решения.

3. Изучена задача жесткого управления магнитным полем. Доказаны теоремы существования и единстенности решения. Показано, что оптимальное управление принадлежит границе множества допустимых управлений. Выведена система оптимальности.

4. Доказана аппроксимативная управляемость одномерного МГД - течения Гартмана относительно локализованного управления. Обоснован алгоритм, позволяющий построить аппроксимативное управление.

Все указанные результаты получены автором диссертационной работы. Из совместных работ в диссертации приведены результаты, полученные лично автором.

Теоретическая и практическая ценность работы. Основные результаты работы являются теоретическими. Идеи и методы, используемые в диссертации, могут быть применены для исследования различных задач оптимального управления параболическими системами.

Практическая ценность работы заключается в возможности использовать ее результаты для обоснования использования численных алгоритмов решения задач оптимального управления. Кроме того, помимо упомянутых задач, имеется значительное количество задач в инженерной магнитной гидродинамике, которые могут быть сведены к системам, рассмотренным в диссертации.

Работа была поддержана следующими грантами: проект РФФИ - «Дальний восток» - 06-01-96003, грант ДВО РАН 09-I-OMH-08.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на XXI и XXII Воронежской весенней математической школе (г. Воронеж, 2007 г. и 2008 г.), на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (г. Хабаровск, 2005 г. и 2009 г., г. Владивосток, 2008 г.), а также на семинарах Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН (г. Москва) и Института прикладной математики Дальневосточного отделения РАН (г. Владивосток).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Статьи [2]-[3] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 82 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 52 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Целью работы является изучение задач оптимального управления для одномерного магнитогидродинамического течения Гартмана., Выводу и формализации модели, описывающей одномерный процесс МГД - течения посвящена первая глава работы. Модель получена из трехмерной модели МГД -течения вязкой несжимаемой жидкости с учетом следующих предположений:

1. Скорость имеет везде одинаковое направление.

2. Поток ограничен двумя твердыми, проводящими плоскостями, расположенными параллельно.

3. Внешнее магнитное поле перпендикулярно плоскостям, ограничивающим поток.

4. Влияние температуры на характер течения жидкости не учитывается.

В этих предположениях процесс МГД - течения описывается следующей системой уравнений:

й-иихх = -№) + 13Вх, (1)

В - и,пВхх - @их + Ех, х е (0,1), Ь > 0, (2)

«|х=0 = 0, и\х=1 = О, В\х=о = 0, В|1=1=0. (3)

Здесь и = и(х, £) - скорость течения, В = В(х, Ь) - индукция магнитного поля, Е = Е(х, Ь) - сторонние элекродвижущие силы (ЭДС), 0 - внешнее магнитное поле, /(¿) - перепад давления на единицу длины канала, и, ит - константы, соответствующие кинематической и магнитной вязкости. Граничные условия (3) соответствует условию прилипания на твердых поверхностях и обеспечивают непрерывность тангенциальной компоненты магнитного поля. Через й, В обозначаются частные производные по времени, а через их, Вх и т.д. - частные производные по пространственной переменной.

В параграфе 1.2 определены дифференциальные операторы, с помощью которых система (1)-(3) сводится к задаче Коши для уравнения с операторными коэффициентами:

у + Ау + /0-рСу = Т(Е), (4)

у|«=о = Уо, (5)

где уо = {и0,В0} £ И = Ь2(0,1) х ¿2(0,1) — начальное условие. Операторы определяются следующими соотношениями:

СЛу,г) = 1>{их,ух) + 1/т(Вх,и)х), (Су, г) = (Вх,у) + (их,ад), (д,г) = (М, (Г(Е),г) = -(Е,и>х).

Здесь у = {и, В}, г = {?;, и>} и через (•, •) обозначено скалярное произведение в пространстве Ь2(0,1). Решение системы ищется в классе

¥ = {уеЬ2(0,Т-Н1о хЩ), у е 12(0,Г;Я_1 х Я-1)},

при этом функции /, /3 и Е принадлежат пространствам

/ е Ь2(0,Т), /Зеиь = Ь2(0,Т),

Е е ие = {Е 6 Ь2(0, Т;Ь2(0,1)) : (Е, 1) = 0}.

Доказательство корректности представления модели в виде абстрактной задачи Коши приведено в параграфе 1.3. Используя стандартную методику, доказаны существование и единственность решения задачи (4)-(5) в пространстве У (ТЕОРЕМА 1) и получены априорные оценки нормы решения в пространствах Ь°°{0,Т;Н) и Ь2(0,Т; V),, где V = Щ х Щ. Получены также более сильные оценки решения:

ЛЕММА 1. Пусть уо £ V, Е € 12(0,Т; Щ(0,1)), / е Ь2(0,Г), (3 е Щ. Тогда 2/<=£°°(0,Т; V), ЛуеЬ2(0,Т; Н).

Для описанной модели МГД - течения в последующих главах рассматриваются задачи оптимального управления и связанные с ними вопросы.

Вторая глава работы посвящена изучению задачи мультипликативного управления, когда в качестве управления выбирается внешнее магнитное поле /3. При такой постановке отображение управление —> состояние не является линейным, что требует привлечение тонких, методов анализа.

Рассматриваемая задача мультипликативного управления (задача 1) может быть сформулирована следующим образом:

Необходимо минимизировать функционал

АУ,Р) = \\ии=т-ио\2 + ^\\13-Ро\\2и, ^>0 (6)

на множестве решений системы (4)-(5), при условии, что управление ¡3 выбирается из некоторого выпуклого замкнутого множества иаа С Уь- Здесь иц б Ь2(0,1), (Зц € иа<1 - заданные функции. Без потери общности можем считать, что сторонние ЭДС отсутствуют, то есть Е(х,Ь) = 0.

В параграфе 2.2 доказано существование решения поставленной задачи оптимального управления:

ТЕОРЕМА 2. Пусть А > 0 или множество допустимых управлений иав. ограничено в Vь. Тогда задача 1 имеет, по крайней мере одно, решение.

В параграфе 2.3 на основании принципа Лагранжа выводится система оптимальности для задачи 1.

ТЕОРЕМА 3. Пусть пара {у,, /3,} £ У х ¡Уа^ является решением задачи 1. Тогда существует функция р е ¥ такая, что тройка {у,, /3», р} удовлетворяет уравнениям

у + Ау + /<2-РСу = 0, (7)

у\г=о = Уо (8)

и следующим соотношениям:

-р + Ар + /3,£р = 0, р|4=т = {"о0}, (9)

(А(/3. - /?о) + 7, £ - Л)с/„ > 0, V? е (Ю)

Здесь 7 = (у,, £р), Л у» = и».

В параграфе 2.4 получены условия, обеспечивающие единственность решения системы оптимальности и, соответственно, задачи 1, а также условие выпуклости функционала 3 в некоторой окрестности оптимального состояния.

ТЕОРЕМА 4. Если Л > у/Су, то система оптимальности задачи 1 имеет единственное решение.

Здесь и далее через С^Сг,... обозначены константы, зависящие от исходных данных. Значения констант приводится в соответствующих параграфах.

Для доказательства теоремы 4 выводятся априорные оценки решения системы оптимальности, следствием которых является теорема единственности.

ТЕОРЕМА 5. Пусть {у,, /3»} - решение задачи 1 и /Зр е Обозначим через ./о норму разности 7о = |Ау — иогде у ~ решение системы (7)-(8) при Р = До- Тогда, если

2С270 < А,

то функционал 3(0) строго выпуклый на множестве

!/« = {/?: /3 € иа<1, \\р-(ЗЛиь<5}, где 5 = АСз — С^З®.

Доказательство теоремы основывается на оценках получаемых для первого и второго дифференциала Гато функционала 3.

Важным результатом вытекающим из теоремы 5 является конечность числа решений задачи 1.

ТЕОРЕМА 6. Пусть у0 € V, ид е V и

2С1 ^ < тхА.

Тогда задача 1 имеет конечное число решений.

В основе доказательства лежит утверждение, что множество оптимальных управлений компактно в 11ь и, в силу теоремы 5, каждое решение изолировано.

Параграф 2.5 посвящен построению асимптотики оптимального управления в предположении малости чисел Рейнольдса (е = Де) и малости числа /1 = 1/А. Основным результатом является следующая теорема:

ТЕОРЕМА 7. Пусть /3 - решение задачи 1, тогда справедливо соотношение 0 = Р{/Зо-ц(г, Сд)) + <Я, (11)

где {г, д} - решение системы

г + ^Аог + №)д-Ро(Ь)Сг = 0, г|(=0 = у0; (12)

-д+^Лод + РофСд-О, д{Т) = {и0-Кг\1=т, 0}. (13)

При этом

||Ф|к < С5»2е2.

Получен также важный результат, гарантирующий субоптимальность асимптотического управления (11).

ТЕОРЕМА 8. Управление Ра = £<?)), где гид решение системы

(12), (13), является субоптимальным, то есть

J(Pa, Уа) - J{P, у) -* 0, при -* 0. Здесь уа - состояние, отвечающее управлению (За, {у, /3} - оптимальная пара.

Третья глава посвящена изучению вопросов точной управляемости для системы МГД, когда в качестве управления выбираются сторонние электродвижущие силы (ЭДС). Особенностью такой постановки является то, что ЭДС входят в правую часть только одного уравнения системы (1)-(2). Требуется в данный момент времени создать магнитное поле заданной структуры. При этом накладывается дополнительное условие минимума работы, совершаемой

сторонними электродвижущими силами. Сложность задачи связана еще и с тем, что ставится задача жесткого управления, когда в функционал качества не входит регуляризирующее слагаемое, учитывающее "затраты" на управление.

Рассмотренная постановка формализуется следующим образом (задача 2): Необходимо найти функцию Е £ IIе, минимизирующую функционал

ЦЕ) = ^М(=т|2 + £ ЫЯ||2 + ИМ12) Л

на решениях системы

й+иЛ1 и = /ЗВх, (14)

В + итЛ1В = Рих+Т1{Е), (15)

ии=о = О, В|4=0 = 0, (16)

при условии, что

II* < м. (17)

Здесь М > 0 - заданное число, Т\- одномерные аналоги операторов, введенных выше. Функционал 3 соответствует совершаемой работе.

В параграфе 3.4 определены несколько специальных операторов, необходимых для дальнейшего изучения задачи 2. Введен, например, оператор интегрирования !(/) : Я"1 (0,1) Ь2{0,1).

Важным результатом является доказательство теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи.

ТЕОРЕМА 9. Существует положительное число Мо такое, что при М > Мо задача 2 имеет единственное решение {В, Е} е ¥1 х [/е, а при М < Мо решение задачи 2 не существует.

Здесь ¥1 - одномерный аналог пространства ¥.

Доказано также следующее утверждение, с помощью которого задача 2 сводится к системе с ограничениями типа равенства, что позволяет применить принцип Лагранжа для построения системы оптимальности.

ТЕОРЕМА 10. Если {В,Е} — решение задачи 2, тогда

II* = М2. (18)

В параграфе 3.6 для задачи 2 на основании принципа Лагранжа выводится система оптимальности.

ТЕОРЕМА 11. Пусть м > мй, тогда тройка {й,в,ё} е ¥1 х ¥'х х 110 является решением задачи 2 тогда и только тогда, когда существуют {рх, } € ¥1 х ¥1, удовлетворяющие уравнениям:

-рх + »Ауру + /?р2х = -2ауй, (19)

р2 + »а1р2 + рр1х = -2аув, (20)

р1\г~т =-й(т), (21)

при этом

Ё = -Р2х/Х, А > 0. (22)

Результаты третьей главы справедливы, если требуется создать в данный момент времени заданное значение магнитного поля. Получить аналогичные результаты для скорости не удалось. Но тем не менее, вопрос о возможности создания с помощью сторонних ЭДС заданного профиля скорости исследован. Этому посвящена четвертая глава диссертации.

В главе рассматривается вопрос об аппроксимативной управляемости системы (14)-(16). Причем, в отличие от предыдущей главы, управление является локальным, то есть сосредоточено в заданном пространственном интервале и. Другие условия, использованные в третьей главе, на управление не накладываются. Таким образом задача аппроксимативной управляемости может быть сформулирована следующим образом (задача 3):

Пусть ио,Во £ ¿2(0,1) — заданные функции, 6 > 0. Требуется найти управление е € 11е = {е £ ь2(0,Т;ь2(0,1)) : эирр £сшх(0,Т)} такое, чтобы в момент времени í = т для решения системы (14)-(16), соответствующего управлению е, выполнялось следующее условие:

Иными словами, необходимо найти управление, которое переведет систему из стационарного состояния в сколь угодно малую окрестность заданного состояния. Отметим, что в данном случае целевыми являются и скорость течения и, и магнитное поле В.

В параграфе 4.2 доказано, что такое управление существует.

ТЕОРЕМА 12. Задача 3 аппроксимативно управляема относительно класса управлений 11е.

Параграф 4.3 посвящен описанию алгоритма построения аппроксимативного управления и его обоснованию. Идея построения состоит в том, чтобы рассмотреть вспомогательную задачу минимизации функционала с параметром £ > О

3(Е, е) = М(=т ~ив|2 + \В\^т -Вв|2 + е\\Е\\Ъс -» М (23)

на решениях системы (14)-(16). Доказано, используя стандартную технику, что решение такой задачи существует и единственно.

ТЕОРЕМА 13. Задача (14)-(16), (23) имеет единственное решение.

Далее доказано, что при достаточно малых е > 0 решение вспомогательной задачи в финальный момент времени попадает в заданную окрестность фиксированных значений скорости и магнитного поля.

ТЕОРЕМА 14. Для любого <5 > 0 существует £ > 0 такое, что

\и£\г=т ~ и0\2 + \Ве\г=т - Во\2 < 52.

Здесь через иг,Ве обозначено решение вспомогательной задачи, при конкретном значении параметра е.

В параграфе также выведена система оптимальности для вспомогательной задачи.

ТЕОРЕМА 15. Тройка {ие,Вс,Ее} е ¥1 х ¥[ х [/е является решением задачи (14)-(16), (23) тогда и только тогда, когда существуют рг,р2 € ¥1 такие, что выполняются следующие соотношения:

йе + иА\ие — /ЗВех = 0, ие|(=о=0,

Ве + »тАгВе - 0иех = ?1(Ее), Ве|(=о=0, -Р1 + иЛт + Рр2х = О, Р1 |г=т = 2(иг> - щ\ь=т), -Р2 + утА\Р2 + Рр\х = о, р2|<=т = 2(Во ~ в£|4=г),

Ее = —р2х, при 1ёо).

Таким образом, в диссертации исследованы задачи оптимального мультипликативного и жесткого управления. Для каждой из них доказаны теоремы существования и единственности решения и выведена систем оптимальности. Кроме того получены результаты, описывающие качественные свойства множеств решений задач управления, которые могут быть использованы для дальнейшего исследования одномерной модели МГД - течения Гартма-на. Доказана аппроксимативная управляемость системы за счет локального распределенного управления, входящего в уравнение для магнитного поля.

Список литературы

[1] Ишмухаметов А.З., Цыба В.Е. О задаче оптимального управления маг-питогидродинамическим течением // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Издательство ВЦ РАН. 2006. С. 144-148.

[2] Цыба В.Е. Мультипликативное управление МГД течением Гартмана // Труды института системного анализа. 2008. N 32(1). С. 87-100.

[3] Цыба В.Е., Чеботарев А.Ю. Асимптотика оптимального управления магнитогидродинамическим течением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49, N 3. С. 482-489.

[4] Цыба В.Е. Задача о минимизации работы при создании магнитного поля заданной конфигурации // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. N 1-2. С. 194-203.

[5] Чеботарев А.Ю., Цыба В.Е. Обратная задача магнитной гидродинамики // Математические заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 139-150.

[6] Цыба В.Е. Аппроксимативная управляемость МГД-течения Гартмана // Владивосток: Дальнаука, 2009. 12 с. Препринт / ДВО РАН. Институт прикладной математики; № 4.

Цыба Владимир Евгеньевич

ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МГД-ТЕЧЕНИЕМ ГАРТМАНА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Изд. лиц. ИД №05497 от 01.08.2001 г. Подписано к печати 14.09.2009 г. Формат 60 х 90/16. Печать офсетная. Усл.п.л. 1,13. Уч.-изд.л. 0,94. Тираж 100 экз. Заказ 99.

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

Введение

Обозначения и символы

1 Постановка начально-краевой задачи для модели Гарт-мана

1.1 Модель течения Гартмана.

1.2 Функциональные пространства и операторы.

1.3 Сведение начально-краевой задачи к задаче Коши для уравнения с операторными коэффициентами.

1.4 Существование и единственность решения. Априорные оценки решения.

2 Задача мультипликативного управления

2.1 Постановка задачи.

2.2 Теорема существования решения задачи 1.

2.3 Система оптимальности.

2.4 Условия конечности множества оптимальных управлений

2.5 Асимптотика оптимального управления.

3 Задача управления с заданным финальным состоянием

3.1 Постановка задачи с жестким управлением.

3.2 Формализация задачи управления.

3.3 Априорные оценки решения управляемой системы.

3.4 Существование и единственность решения задачи управления

3.5 О несуществовании решения

3.6 Система оптимальности.

4 Аппроксимативная управляемость

4.1 Постановка задачи.

4.2 Аппроксимативная управляемость системы.

4.3 Конструкция аппроксимативного управления.

Магнитная гидродинамика (МГД) — наука о движении электропроводящих жидкостей и газов в присутствии магнитного поля. Этот раздел физики развивается на стыке гидродинамики и классической электродинамики и широко используется для описания процессов, протекающих в плазме, жидких металлах и электролитах.

Основные положения МГД были сформулированы в 1940-х годах Альфвеном X. [1]-[2], который в 1970 году за создание магнитной гидродинамики был удостоен Нобелевской премии по физике. Активное развитие МГД началось в начале 1950-х годов с принятием в США, СССР и Великобритании национальных программ по исследованию проблем управляемого термоядерного синтеза. Появились и быстро совершенствовались многочисленные технические применения магнитной гидродинамики, такие как МГД-насосы, генераторы, сепараторы, ускорители, перспективные для космических полетов плазменные двигатели и пр.

В основе МГД лежат две группы законов физики [3]-[5]: уравнения гидродинамики (уравнения Навье-Стокса) и уравнения электромагнитного поля (уравнения Максвелла). Первые описывают течения проводящей среды (жидкости или газа), однако, в отличие от обычной гидродинамики, эти течения связаны с распределенными по объему среды электрическими токами. Присутствие магнитного поля приводит к появлению в уравнениях дополнительного члена, соответствующего действующей на эти токи распределенной по объему электродинамической силе. Сами же токи в среде и вызываемые ими искажения магнитного поля определяются второй группой уравнений. Таким образом, в МГД уравнения гидродинамики и электродинамики оказываются существенно взаимосвязанными.

Наиболее часто задачи МГД рассматриваются в предположении, что внешнее магнитное поле не является существенным, и его воздействием на процесс течения можно либо пренебречь, либо свести воздействие к неоднородным краевым условиям для магнитного поля на границе области течения. Одной из первых работ по исследованию такого типа задач в нестационарном случае является работа Ладыженской O.A. и Солонникова В.А. [6]. В стационарном случае аналогичная задача была рассмотрена Солонниковым В.А. в [7].

После публикации этих статей вышел целый ряд работ, посвященных исследованию разрешимости начально-краевых задач магнитной гидродинамики. Среди них можно отметить работы Ступялиса Л.И. [8], [9], Алексеева Г.В. [10], Rappaz J. [11], Mair A.J. [12].

Помимо краевых задач магнитной гидродинамики, особый интерес представляют прикладные задачи - задачи управления. Они возникают при рассмотрении процессов, протекающих в МГД-двигателях и МГД-генераторах, при проектировании систем охлаждения ядерных реакторов и т.д. Такие задачи успешно решаются с помошыо различных численных методов. Разработке методов и алгоритмов решения задач управления, в том числе и МГД течениями, посвящено большое количество работ. Среди них можно, например, отметить работы Васильева Ф.П. [13], Ишмухаметова А.З. [14]-[16], Xu С. и Krstic M. [17]-[19], Kassinos S.С. [20], Gunzburger M. и Meir A. [21]-[22] и других.

Работ по численному решению различных задач оптимального управления МГД течениями достаточно много, и данный вопрос изучен достаточно хорошо. В гораздо меньшей степени изучены вопросы разрешимости таких задач. Среди работ, изучающих теоретические вопросы управления системами МГД, отметим работы Алексеева Г.В. [10], [23], [24], Чеботарева А.Ю. [27], [47], Фурсикова A.B. [25], [26], Barbu V. [28]-[30] и других авторов [31]-[36]. При изучении задач МГД в основном используются результаты, полученные для соответствующих уравнений гидродинамики (Навье-Стокса). Среди основных работ, посвященных изучению этих уравнений, можно выделить статьи Темама Р. [37], Gunzburger M.D. [38] и других [39]-[42].

Настоящая работа также посвящена теоретическому изучению задач оптимального управления магнитогидродинамическим течением в одномерном случае. Изучение одномерного случая существенно упрощает уравнения МГД. Однако, именно благодаря такой постановке задачи удается более детально изучить теоретические основы процесса МГД-течения и подробно исследовать связь между скоростью течения и электромагнитным полем. Особенностью работы является то, что ранее для данной модели подобные задачи оптимального управления не рассматривались, и в этом смысле результаты работы являются новыми. Кроме того, для анализа были выбраны наиболее сложные и наименее изученные типы задач: задача мультипликативного управления и задача жесткого управления. Мы не рассматривали задачи, для изучения которых необходимо лишь проверить условия применимости известных результатов. Именно по этой причине не были, например, рассмотрены задачи стартового и граничного управления. Наконец, особенностью данной диссертационной работы является то, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений не симметрична, и нет возможности применить широко известные результаты, приведенные, например, в [26].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 51 наименования.

Заключение

1. Основная цель данной диссертации состояла в исследовании различных задач управления для параболической системы дифференциальных уравнений, моделирующих МГД течение Гартмана. При этом, на основе абстрактной формулировки основной модели в виде задачи Коши для уравнения в гильбертовом пространстве с операторными коэффициентами удалось развить методику исследования различных нетривиальных задач управления МГД системой. Задачи мультипликативного управления сложны для анализа, поскольку отображение, ставящее в соответствие управлению состояние системы, является нелинейным даже в случае, когда управляемая система линейна по фазовой переменной. При рассмотрении задач жесткого управления возникают интересные особенности, связанные с условиями разрешимости, а при анализе соответствующей системы оптимальности следует учитывать, что оптимальное управление, как правило, оказывается на границе множества допустимых управлений. Наконец, задачи управляемости точной или аппроксимативной требуют привлечения тонких методов анализа, таких как метод единственности Гильберта или метод единственности продолжения, основанный на карлемановских оценках.

2. Рассмотренные в диссертации постановки связаны между собой, вопервых, методикой исследования, основанной на результатах теории оптимального управления системами с частными производными и на развитой технике получения априорных оценок решений параболических систем, возникающих в магнитной гидродинамике. Во-вторых, рассмотренные задачи взаимно дополняют друг друга, создавая относительно полную теорию задач управления для нестационарной модели Гартма-на.

3. Конечно же, автору не удалось рассмотреть все важные вопросы в теории оптимального управления в магнитной гидродинамике. В стороне осталось, например, исследование таких важных свойств решений задач управления как регулярность. Автор не касался в работе исследования необходимых и достаточных условий оптимальности второго порядка. Однако ряд постановок, которые нетрудно будет исследовать на основе предложенной методики, ожидает своего решения, в том числе и в связи с вопросами нахождения наиболее эффективных механизмов и способов управления МГД полями. Автор не сомневается, что имеется значительное количество постановок задач в инженерной МГД, которые можно свести к задачам рассмотренным в данной работе.

1. Alfven Н. Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic Waves // Nature. 1942. V. 150. P. 405-406.

2. Альфен Г., Фельтхаммар К.Г. Космическая электродинамика. Основные принципы. М.:Мир, 1967. 260 с.

3. Ватажин A.B., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинами-ческие течения в каналах. М.: Наука, 1970. 672 с.

4. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. М.: Мир., 1967. 320 с.

5. ЛандауЛ.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656 с.

6. Солонников В.А. О некоторых стационарных задачах магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Математические вопросы гидродинамики и магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. 1960. Т. 59. С. 174-187.

7. Ступялис Л.И. Нестационарная задача магнитной гидродинамики для случая двух пространственных переменных // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147, то. С. 156-168.

8. Ступялис Л.И. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений магнитной гидродинамики // Труды матем. ин-та имени В.А.Стеклова. Краевые задачи математической физики. 1980. Т. 147, №10. С. 169-193.

9. Алексеев Г.В. О разрешимости однородной краевой задачи для уравнений магнитной гидродинамики идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. 1982. Вып. 57. С. 6-24.

10. Rappaz J., Touzani R. On a two-dimentional magnetohydrodynamic problem // Rairo Model. Math. Anal. Number. 1982. V. 26, №2. P. 347364.

11. Mair A.J. The equation of stationary, incompressible magnetohydrodynamics with mixt boundary condition // Comp. Math. Applic. 1993. V. 25. P. 13-29.

12. Васильев Ф.П., Ишмухаметов A.3., Потапов M.M. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1989. 144 с.

13. Ишмухаметов А.З. Регуляризованные приближенные методы проекции и условного градиента с конечношаговыми внутренними алгоритмами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43, №12. С. 1896-1909.

14. Ишмухаметов А.З. Вопросы устойчивости и аппроксимации задач оптимального управления системами с распределенными параметрами, М.:ВЦ РАН, 1998. 120 с.

15. Ишмухаметов А.З., Юлина А.В. Аппроксимация квадратичной задачи оптимального управления параболической системой // Ж. Вестник МЭИ. 1998. №6. С. 73-84.

16. Schustera Е., Luoa L., Krstic М. MHD channel flow control in 2D: Mixing enhancement by boundary feedback // Automatica. 2008. V. 44, №10. P. 2498-2507.

17. Xu C., Schuster E., Vazquez R., Krstic M. Stabilization of linearized 2D magnetohydrodynamic channel flow by backstepping boundary control // Systems and Control Letters. 2008. V. 57. P. 805-812.

18. Xu C., Schuster E., Vazquez R., Krstic M. MHD channel flow control in 2D: Mixing enhancement by boundary feedback // Automatica. 2008. V. 44, №10. P. 2498-2507.

19. Grigoriadisa D.G.E., Kassinos S.C., Votyakova E.V. Immersed boundary method for the MHD flows of liquid metals // Journal of Computational Physics. 2009. V. 228, №3. P. 903-920.

20. Gunzburger M., Trenchea С. Optimal control of the time-periodic MHD equations // Nonlinear Analysis. 2005. V.63. P. 1687 1699.

21. Gunzburger M., Meir A., Peterson J. On the existence, uniqueness, and finite element approximation of solutions of the equations of stationary, incompressible magnetohydrodynamics // Math. Comput. 1991. V.56, №194. P. 523-563.

22. Алексеев Г.В. Теоретический анализ обратных экстремальных задач для стационарных задач магиитиой гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. Препринт 1, ИПМ ДВО РАН, Владивосток: Даль-наука, 2002. 78 с.

23. Алексеев Г.В. Задача управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости // Прикл. мех. техн. физ. 2003. Т. 44, №6. С. 170-179.

24. Fursikov A.V., Imanuvilov O.Yu. Controllability of evolution equations. Lecture Notes Series 34. Research Institute of Mathematics, Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1996.

25. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.

26. Чеботарев А. Ю. Управление МГД течением при создании магнитного поля заданной конфигурации. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. Т. 49. №11.

27. Barbu V. Analisys and Control of Nonlinear Infinite Dimensional Systems. Boston. Academic Press, 1993. 488 p.

28. Barbu V. Mathematical Methods in Optimization of Differential Systems. Springer, 1994. 272 p.

29. Barbu V., Havarneanu Т., Popa С., Sritharan S.S. Exact controllability for magnetohydrodinamic equation // Comm. Pure Appl. Math. 2003. V. 56. P. 732-783.

30. Coron J.M. On the controllability of 2D incompressible perfect fluids // J. Math. Pures. Appl. 1996. V. 75. P. 155-188.

31. Fernandez-Cara E., Zuazua E. The cost of approximate contollability for heat equation: The linear case // Advances Diff. Eqs. 2000. V. 5. P. 465-514.

32. Russell D.L. A unified boundary controllability theory for hiperbolic and parabolic partial differantial equations // Studies in Appl. Math. 1973. V. 52. P. 189-221.

33. Sermange M., Temam R. Some mathematical questions related to the MHD equations // Comm. Pure Appl. Math. 1983. V. 36. P. 635-664.

34. Илларионов А. А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для уравнения Навье-Стокса. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 1061-1071.

35. Савенкова А. С. Асимптотика оптимального управления в задаче рассеяния гармонических волн на препятствии. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, №9. С. 1635-1641.

36. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

37. Gunzburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. Numerical approximation of an optimal control problem associated with the navier-Stokes equations // App. Math. Letters. 1989. V. 2, №1. P. 29-31.

38. Фурсиков А.В. Задачи управления и теоремы,касающиеся однозначной разрешимости смешанной краевой задачи для трехмерных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. // Мат.сб. 1981. Т. 115, №2. С. 281-306.

39. Чеботарев А.Ю. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сибирский математический журнал. 1993. Т.34, т. С. 202-213.

40. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput. Fluid Mech. 1990. V. 1. P. 303-325.

41. Desai M., Ito K. Optimal control of Navier-Stokes equations // SIAM J. Contr. Optim. 1994. V.32, №5. P. 1428-1446.

42. Ишмухаметов A.3., Цыба B.E. О задаче оптимального управления магнитогидродинамическим течением // Теоретические и прикладные задачи нелинейного анализа. Издательство ВЦ РАН. 2006. С. 144-148.

43. Цыба В.Е. Мультипликативное управление МГД течением Гартма-на // Труды института системного анализа. 2008. №32(1). С. 87-100.

44. Цыба В.Е., Чеботарев А.Ю. Асимптотика оптимального управления магнитогидродинамическим течением // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 2009. Т. 49, №3. С. 482-489.

45. Цыба В.Е. Задача о минимизации работы при создании магнитного поля заданной конфигурации // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. №1-2. С. 194-203.

46. Чеботарев А.Ю., Цыба В.Е. Обратная задача магнитной гидродинамики // Математические заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 139150.

47. Цыба В.Е. Аппроксимативная управляемость МГД-течения Гартма-на // Владивосток: Дальнаука, 2009. 12 с. Препринт / ДВО РАН. Институт прикладной математики; № 4.

48. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 412 с.

49. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

50. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

51. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.:Мир, 1977. 504 с.