Математические вопросы приближенных методов для уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ ПАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукоппсп

Смагулов Шалтай

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фпзпко - математических наук

Новосибирск 1988

Работа выполнена в Казахском ордена Трудового Красного Знамени Государственном университете им. С.М.Кирова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. АН СССР Шокин О.И.

доктор физико-математических наук, профессор Монахов В.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Абрааин В.Н.

Ведущее предприятие: Московский государственный университет, факультет вычислительной математики и кибернетики.

Защита состоится "_" _198 г. в_часов на

заседании Специализированного Совета Д 002.10.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Вычислительном центре Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, проспект академика Лаврентьева, б.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отделения ГПНТБ, проспект академика Лаврентьева, 6.

Автореферат разослан н_" __198 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета /

кандидат физико-математических наук '}/ Ю.И.Кузнецов

!:

I. ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для количественного описания происходящих в природе процессов с успехом применяются методы математичес-' Кого моделирования. Большей частью такое моделирование приводит к необходимости решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Численные методы являются наиболее эффективными при решении математических^моделей газовой динамики. Разработка численных методов решения 'Гидродинамики и газовой динамики представляет большой практический и научный интерес. Численные методы позволяют решать прикладные задачи, а также ставить важные эксперименты, имеющие теоретический и прикладной интерес. Математические вопросы теории разностных схем для уравнений газовой динамики мало изучены, что отмечено Самарским A.A., Яненко Н.}}. и другими. Самарский A.A. указывает, что "хотя задачи газовой динамики решаются давно и повсеместно, однако до сих пор нет строгих математических результатов об устойчивости и сходимости какой-либо схемы даже в простейшей ситуации". В монографии С.Н.Ан-тонцева, А.В.Кажихова, Б.Н.Монахова "Краевые задачи механики неоднородных жидкостей" поставлено в виде проблемы обоснование приближенных методов решения системы для моделей вязкого газа.

Цель работы. Исследование, сходимости приближенных методов для модели одномерного движения вязкого газа, уравнения вязкой несжимаемой жидкости и обоснование метода фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса.

Методика исследования связана с получением априорных оценок и применением на их основе общих методов решения нелинейных крае-Biß задач.

Научная новизна. Новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:

I. Предложен новый класс разностных схем для одномерного течения вязкого баротропного газа. Исследованы основные свойства разностных решений, в частности, строгой положительности и огра — ниченности сверху плотности. Доказаны устойчивость и сходимость разностного решения.

Аналогичные вопросы рассматривается для урапиений вязкого теплопроводного газа. Оценки устой'миости полученн при условии малости

Доказана корректность начально-краевой задачи для модели магнитной газовой динамики. Исследованы устойчивость и сходимость разностных схем для модели магнитной газовой динамики.

2. Получены оценки устойчивости решения разностных схем для задачи двикения по раня и движения контактного разрыва в вязком баротропном газе.

3. Рассматриваются аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа. С помощью введения вспомогательных функций С1"7 в уравнения импульса удалось доказать теорему 'существования сильного решения системы дифференциальных уравне-

■ний с малым параметром £. Дана точная оценка скорости сходимости сильного решения при £-*■ о.

4. Изучены вопросы существования и единственности решений одной модели неоднородной вязкой жидкости и уравнения свободной конвекции с учетом энергий диссипации. Рассмотрена £ -аппрокси мации уравнения неоднородной жидкости и уравнения свободно!! конвекции. Даны неулучшаемые оценки скорости сходимости решения вспомогательных подач при .

5. Обоснован метод фиктивных областей для уравнения вязкой несжимаемой жидкости. Доказана теорема существования вспомогатеш ной задачи и исследовано поведение решения при £ о . Изучена ■возможность повышения точности приближения к решению уравнения Навье-Стокса с помощью линейной комбинации решения регуляризо-

!ванных задач, на основе экстрополяционного метода Ричардсона по 'малому параметру £ .

! б. Исследован метод фиктивных областей для уравнения вязко? несжимаемой жидкости в постановках функции тока и вихря скорости в многосвязной областей. Доказана теорема существования вспомогательной задачи и получена скорость сходимости решений при

Построены экономичные однородные схемы с малым параметром. ¡Скорость сходимости решения разностных схем слайо зависит от (значений малого параметра.

I Изучается стационарная сопряженная задача естественной конвекции жидкости и теплопроводности твердого тела в методе фиктивных областей. Доказана теорема существования обобщенного решения и сходимость решения вспомогательной задачи при £ -*-<-;>.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные 0 диссер-' тации результаты относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Выполненные исследования позволили существенно продвинуться в изучении сходимости решений разностных схем для моде-1 ли газовой динамики. Разработанные методы нашли применение э работах других авторов. Результаты могут быть использованы при1 решении широкого класса задач физики и механики. Некоторые материалы диссертации были использовали в учебной практике и учебных пособиях.

Апробация работы. По мере получения ее результаты неоднократно докладывались в ИГГГШ СО Ali СССР на семинаре "Численные методы механики сплошной среды", руководимом академиком Н.Н.Яненко , и. на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под руководством профессора Монахова В.Н. . Регулярными были выступления на семинаре "Большие задачи математической физит ки" под руководством профессора Коновалова Л.Li. (ВЦ СО АН СССР), на семинаре "Численные методы математической физики" под руководством доктора физ.-мат.наук В.Н.Абрашина (Институт математики АН БССР), на семинаре "Математические моделирования" под руководством академика А.А.Самарского (МГУ), на семинаре "Уравнения смешанного типа" под руководством профессора С.А.'Герсенова и доктора фиэ.-мат.наук В.Н.Врагова (Институт математики СО АН СССР), на семинаре "Численные методы динамики вязкой жидкости" под руководством доктора физ»-мат.наук В.М.Ковеня и доц. Б.Г.Куз+ нецова. Отдельные результаты докладывались на семинаре "Вычисли тельная математика" под руководством член-корр. АН СССР Н.С.Бах-валова МГУ р. Москва, на "Городском научном семинаре по вычислительной и прикладной математике" под руководством академика АН КазССР У.М.Султангазина в КазГУ- и ШН АН КазССР, на общегородском семинаре "Функциональный анализ и его приложения" в Казах ском госуниверситете им. С.М.Кирова под рук. проф. М.О.Отело'аева! л доктора физ.-мат.наук Т.Ш.Кальменова. Некоторые результаты док4 тадызались на различных международных и Всесоюзных конференциях.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [l-5I] .

В работах, выполненных с соавторами, вклад соавторглз был равным.

Структура диссертации, Работа состоит из вредяшш, трех глаф

и трех приложений. Объем - 380 страниц, список цитированной литературы включает 185 наименований.

П. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

ВВВДЕНИЕ

Интенсивное применение разностных, методов к решению прикладных задач вызвала необходимость изучения этих методов, т.е. создание теории разностных схем (PC). Основные Направления развития теорий PC следующие: создание принципов конструирования PC,исследование их свойств. Принципы построения конечно-разност-j ных аналогов краевых задач, такие,как однородность и консерватив*-ность, впервые-сформулированы в основополагающей работе А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. Основные аспекты теории PC освещены, например, в работа:-: С.К.Годунова, Г.Н.Марчука, А.А.Самарского, А.А.Самарского и А.Ф.Гулина, А.А.Самарского и Е.С.Николаева, А.А.Самарского й А.Ф.Андреева, Н.Н.Яненко, Н.С.Бахвалова и др.

Корректность нелинейных разностных схем исследована в работах В.Н.Абрашина, А.Д.Ляшко, А.Н.Коновалова, О.А.Ладыженской, А.А.Дородницына, Ю.И.Шокина, Р.Темама, У.М.Султангазина, Н.Н.Яненко и В.М.Ковеня, В.Я.Ривкинда, Дьяконова D.H. и др.

Математические исследования уравнений гидродинамики, составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений, в частных производных. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют самостоятельный интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач. Подробный анализ исследований по корректности вязкого газа приведен в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова, В.Н.Монахова "Краевые задачи механики неоднородных жидкостей".

Разрешимость уравнений вязкого газа в целом по времени изучена в настоящее время только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Численным методам решения задач вязкого сжимаемого газа посвящено довольно много публикаций, однако существуют мало работ со строгими математическими результатами по обоснованию устойчивости и сходимости разностного решения.

Сходимость разностных схем для уравнения газовой динамики впервые изучена в работе В.Н.Абраашна, П.П.Матуса. Вопросы устойчивости и сходимости разностных решений для уравнений вязкого сжимаемого газа в настоящее время изучены только в случае одномерного движения. Например, отметим работ!-; А.А.Амэс.та и

.А.Злотника, Б.Н.Байбатшаева, Б.Р.Рысбаева, Н.Т.Данаева, И.Д.Ту-етаева, Ж.Н.Вайсуйеуевой, У.Б.Жанасбаевой, Л.М.Даирбаевой, .Б.Берниязова.

Использование численных методов для уравнений Навье-Стокса меет ряд особенностей. Неэволюционность системы уравнений Навье-токса препятствует применения методов дробных шагов для числен-ого решения. При замене уравнений Навье-Стокса уравнениями отно-1 ительно функции тока и вихря скоростей возникает проблема поста-> овки граничного условия для функции тока в случае многосвязной бласти. Наконец, многие прикладные задачи гидродинамики приводя^ : проблеме построения сетки вблизи криволинейной границы. Прежде юего следует отметить идею аппроксимации уравнений Навье-Стокса равнениями эволюционного типа. Впервые эта идея была выдвинута I работе Н.Н.Владимировой, Б.Г.Кузнецова и Н.Н.Яненко. Далее, £ - аппроксимации уравнений Навье-Стокса развивали Р.Темам, I.А.Ладыженская, В.Я.Ривкинд, П.Е.Соболевский и В.В.Васильева, '.М.Кобельков и другие. Сходимость итерационного метода для 'равнения Навье-Стокса обосновал Г.М.Кобельков. Впервые идея ре~ уляризации области была выдвинута Э.Ч.Титчмаршем, как метод фик* •ивных областей представлена, в работах В.К.Саульева, В.Я.Ривкинда, ¡.Н.Лебедева, Л.А.Руховеца, М.К.Орунханова, А.Н.Коновалова, ¡.А.Войцеховского, А.Н.Бугрова, Н.Н.Николаевой, Г.Н.Марчука и ).А,Кузнецова, А.М.Моцокина и др.

Вопросам построения итерационных схем в методе фиктивных )бластей для уравнения эллиптического типа посвящены работы I.Н.Коновалова, А.Н.Бугрова, П.Н.Вабищевича и Т.Н.Вабищевича, 5 цикл работ П.Н.Вабищевича.

Глава I. ОЦЬНКИ РАЗНОСТНЫХ РЕШЕНИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ ВЯЗКОГО ГАЗА

В главе I построен и изучен новый класс разностных схем уш модели вязкого газа. Исследованы устойчивость и сходимость 1редложенных разностных схем для модели Бюргерса, модели вязкого 5аротропного и теплопроводного газа, модели магнитной газовой динамики.

Численным методом изучены движение поршня и движение контактного разрыва модели вязкого баратропного газа. Доказана теорема существования и единственности сильного решения началыю-

краевой задачи для модели магнитной газовой динамики. Причем методика исследования доказательства теоремы существования существенно отличается от ранее известных методик. Оказывается, более трудным является исследование устойчивости н сходимости известных разностных схем типа "крест " для модели вязкого геза Отметим, что впервые строгие математические исследования сходимости решения разностных схем для модели вязкого газа были про ведены Кузнецовым Б.Г.-и автором.

В §1 обсуждается постановка задачи в лагранжевых переменных одномерного уравнения вязкого газа. Используемые в работе функциональные пространства и их обозначения соответствуют общепринята. В дальнейшем всюду в первой главе будем использовать следующие обозначения:

П^{х/о<х<г)% Ц = {(х,1)/хса, ЫСе.тЛ

ИЛ « ^ с'/>, // УС, ¡*С,1.....равномерная сет

на на отрезке [0,1] , Ь - шаг сотки , х»х; узел сетки О^ .

-О»' = I " Сг'" 7/г)/>' -1*<•-г/г - а- 1/1)ь> °>'!"'

В §2 и 53 рассматриваются разностные схемы для модели Бор-герса.

Ш

" \ I)"*' ) Л

ла-н 7\1 , 1~,11 .

У-гА Ч-г/г _ и**т =<:7> пП, (2) с условиями

V- = ия(х\) , хгес4!//г ~ 4 А/-//г;. * ^ (з) **." - /

и

¿-ф

/ Т 7>ГТ\

(5)

иГ-а?

/ Т 7>п\

¡-//г

--------— -о, (о)

Г

о условиями (3) и

Н-к-Г. (7)

Теорема I. Если выполнены О < « г)в (Хг-_г/г ) ? < а0(Х;), 1'с> (х:.ф) (£>%) , то для решения задачи (I)-

(4) имеют место оценки

пах(Ци?]1 (Ии^Щ"//*)^^ с

(8)

* 4-,/г * Ц

Утверждение теореьш имеет место и для решения разностных решений (5! - (7), (3) при малом &( * д^,.

В § 4 исследуются разностные схемы для вязкого газа (изотермический случай)

I )" /

, (Ги? + О «Г)х ' * ({-)>

с условиями (3), (/), где О * су, ^ , & / , если или о( т О л то у=т ¡ если /У 7 , то ы' *= о Для решения задачи (9), (3), (7) имеют место оценки (8-\ локальные по времени.

В § 5 рассматривается следующие разностные схемы для модели вязкого баротропного газа, которые имеют решения устойчивые в целом по времени: '

-^ -и,£ Л- - ,Ы">>

-,){"-* _ А"

"г/г (II)

лt гх

■'«{-"-'о- 1121

у V п ЫГ

V- г/г

и наконец, .г/?"' - гл*

_ г/* ■ / у \

(Г?

Л'7'"7

¿У-г/г ~ "¿-г/г

77+Г

-г/.. =0,

с условиями

г//- г/, (х()у ) - 4 (Ч--/А )>

* — - ; * / «я <">

"-'А о

Теорема 2. Цусть Ц < 4> (Х/./уь)*

() - ■ Тогда для решения задачи (10)-(12),- (16) и (13)-(1б) имеют место оценки

+■ ¿1 (//^//^ //^ /Л //^//г) А? <С< ~о , 19)

о < я?. < г)!"г, ^ Ж. < »о . 7 г -г/г г

Утверждение теоремы 2 имеет место и для решения задачи (17),

(18), (12) если ^ (П),

ие (с) - О при малом

Результаты § 5 обобщаются в § б для модели магнитной газово динамики (изотермический случай).

* „ г/

Ох/ ¿х 'г*" 2Х ' „

да &и _* - )

~ М^ГХ^Г ИГА

причем методика исследования устойчивости разностных схем сущест венно отличается.

В § 7 получены локальные по времени оценки для решения модели вязкого теплопроводного газа для схемы подобной схемы (9).

В б 8 рассматриваются оценки разностного решения для модели резкого теплопроводного газа со свободной границей.

/ЧГ \

27— Ч'Й ~м ' ^<20)

- ¿ЧУ _ . (21)

Ч/г 7/2

„ л"" 2/,в"*' Я

(24)

Иыеот место следующая

Теорема 3. Пусть выполнены условия О <% 7уг)$М<=<х

О в0/х^7/г* Ц А/Л ^ I

Тогда для решения задачн(20)-(24) имеют место оценки

яглс (уг, «у+М/У/) ^¿Г

//в?//2)л-С кгсоо,

'при малом ¿с — .

| В § 9 изучается теорема существования и единственности решег ния для модели магнитной газовой динамики, когда область -ОС£~1. \ Уравнения магнитной газовой динамики с учетом поля температуры в лагранжевых переменных запишутся следующим образом:

бг) ди_ Щ_-4/д /7 да) дР ■„ д# & & дх [с) дх)> * с!

где искомые функции удовлетворяют начальным данным

(28)

и граничным условиям

Л? / дв / я / / „ (29)

-о.

Основным результатом настоящего параграфа является следующая

■ Теорема 4. Пусть начальные данные обладают следующими свойствами гладкости,

(и о, 0', V) е У/ Щ), и"Сх) = V°Сг) -

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи (25) -(29), причем V(х, т.) , 6(X, £) - строго положительные ограниченные функции. Для решения имеют место оценки

тох (//ь>х/;т- //6>г// 5 С/ (30)

ОХ^Т о

//&хх //* + //#ХХ /< С* оо,

7

Г+Щ//г)а? //)<с

В § 10 исследуется разностная схема для задачи (25) - (29). Рассмотрим разностную схему, аппроксимирующую уравнения (25)-(27)

я*,

I - /г '-"г .уя ,

"с? I уя+г - I)" . ¿1 /х (32)

.¿ГАИ.) („*+>)*

л*г

ф'Ш»«)*-*^?*

С?*) - .1331

',"« - Ч,':;^ с«"/' <34)

»'Г .Я¿г

-¿/г

/Л"/

27 ^ ( г).»*'

условиями

(35)

К- ^¿г,;. - я,/*-,;, ,/г - ,

Получены разностные аналоги оценок (30) для решения задачи (31) -

(36).

В силу полученных оценок легко доказывается теорема сходимости решения задачи(31) - (36) к решению задачи(25) - (29) при

В § II изучается поведение приближенного решения движения поршня и движения контактного разрыва в вязком баротропном газе (изотермический случай).

Построены разностные схемы,исследованы устойчивость и сходимость приближенного решения. Проведены методические численные расчеты.

Отметим, что различные интересные свойства решений разностных схем (10), (II) для модели вязкого газа (изотермический, не-изотерш1ческий случай) исследованы в сериях работ А.А.Амосова и А.А.Злотника. Для модели магнитной газовой динамики - в работе И.Д.Туретаева. Сходимость решения разностной схемы для модели вязкого газа с переменной вязкостью и немонотонной функцией состояния изучены в сериях работ В.Р.Рысбаева, У.Б.Жанасбаевой, и Л.М.ДаПрбаевой совместно с автором. Свойства решения схемы типа (17) в случае однородных граничных условий для скоростей изучены в работе Ж.Б.Берниязояа совместно с автором . Оценки ре-

шения схемы (17) получены для модели вязкого теплопроводного газа в работе Л.М.Дайрбаевой совместно с автором, при условии

Глава П. Е- А' ЛРОКСИМАЦ;Ш УРАВНЕНИЙ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА

Класс задач, для решения которых применяются аппроксимации, содержащие малые параметры, достаточно велик. Отметим два взаимосвязных вопроса. Это аппроксимация в целях доказательства корректности краевых задач и аппроксимация исходных задач в целях построения более эффективных численных алгоритмов.

Численное решение уравнений типа Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости сопряжено с рядом трудностей, и превде всего с тем, что они не являются системой 7ипа Ксии-Ксвалевской, поэтому одним из методов их исследования является приближение системами типа Коши-Ковалевской. Их уже принято называть £ -аппроксимацией. Метод аппроксимации, обеспечивал хорошую точность, требует исследования разрешимости аппроксимирующей системы и поведение её решения при стремлении параметра £ к нулю. Глава 2 посвящена исследованию £ -аппроксимации для уравнения Навье-Стокса. Дока-, зывается теорема существования сильного решения системы уравнения эволюционного типа с малыми параметрами. Причем все полученные априорные оценки равномерны по £ ¿№г1 (0,Т, (&)) • За счет введения дополнительной функции в уравнениях импуль-

са удалось поднять сколь угодно гладкость решения вспомогательной задачи равномерной по в . Дана неулучшаемая оценка скорости сходимости решения вспомогательной задачи.

Далее, рассматриваются теоремы существования и сходимости решения £ -аппроксимации для модели неоднородных сред и уравнений свободной конвекции с учетом диссипации энергии. Получены точные оценки скорости сходимости решения при ,

Отметим, что исследования ¿-аппроксимации для модели неоднородных сред и уравнения свободной конвекции с учетом диссипации энергий, по-видимому,в работе рассматривается впервые.

В § I рассматривается аппроксимация уравнения Навье-Стокса, которая получается заменой уравнения неразрывности другим уравнением, ~ £

8 ^ + а>11)г)е=Я, в ас$г. (Зб)

Изучается существование сильного решения, а также поведение решения Для того, чтобы получить более гладкие решения, например, из класса Щ * (С, Т; ф/' (£>)) вводится вспомогательная функция (х) , которая обеспечивает условия согласования в начальный момент времени решения уравнений Навье-Стокса.

Для скорости сходимости решений вспомогательной системы к решению уравнений Навье-Стокса была получена оценка

В § 2,3 построены различные классы разностных схем типа дробных лагов с малым параметром. Доказана сходимость разностного решения к решению уравнений Навье-Стокса в энергетической норме. В § 4 изучается стационарная задача гс№£* г)£ г)£-сЛ'г/ гК = е Сл9£ -

Для £=*0 получим стационарное уравнение Назье-Стокса. Далее показано, что если - достаточно мало, , то

¡решение эллиптической аппроксимации уравнений Навье-Стокса схо-!дятся со скоростью

+'9£'9'** о?)

* 7/- (за»

Если ' т0 оценка (37) заменяется оценкой

Оценки (37), (38) неулучшаемн.

Исследована сходимость разностных схем, аппроксимирующих линейные эллиптические уравнения с малым параметром, доказаны оценки:

где , - решения конечно-разностных уравнений с малым

параметром; ££, - решения стационарных уравнений Стокса.

Ясно, что последняя оценка для решения нелинейного стационарного! уравнения верна при достаточно большом V1 >¿7 .

В § 5 доказана 1 еорема существования сильного решения, а также исследуется поведение решения при £-*■<? для начально-краевой задачи:.

^ - ¿V ) # X),

/ х /

Г*,Я.

Получены оценки скорости сходимости

# &*{г!е-г))лг , // д«-' , /¡г

/ //3 //^Ж/^; ££ „г ж

/ ^ / 'Я*

где - малая положительная постоянная -С С А .

В § 6 рассматривается поведение при £-*-& начально-краевой задачи для следующей системы дифференциальных уравнений с малым параметром:

•2»/ А го{1/ех гУ^ гх» -

( (39)

- {го? г} £ х г) £) + л ,

- ^(х), . (40)

^ = ^сгоШ/-

Получены априорные оценки для решения задачи (39), (40) в пространстве (в) ЯЪ?/'7 {&} равномерные по <£ , а также исследованы скорость сходимости решения задачи (39) - (40) к решению уравнений Навье-Стокса при £-*-0 . Доказана оценка

В § 7 изучается £ - аппроксимация для одной диффузионной модели неоднородной жидкости. Рассматривается система уравнений с малыми параметрами.

У"3/ + (Vе-

О а и6- я ( -Я ~ (/>- - (41)

с начальными и граничными условиями

VеА,о - ^А-*

Докаоывается теорема существования и единственности сильного решения задачи (41), (41.1) при <£г- -¿> , а такяе получены оценки т /

юг (/г/- ^ГС(^гс^г'^'^^^^

ostzт "л-«у

где I) ,/> , р - решение задачи (41), (41.1) при £. . Рассмотрим уравнения свободной конвекции

~ (#.-$), ¿'¿¿--О, (4?)

^ в ~ +o¿

I ¿'-'-У ОХ/ /

^ = о, -§г/г> Г =

Рассмотрим .уравнения с мал им параметром

(Л- I -¿¿■о'мЛ+Г^

-С * (44)

(0+Ф

~0%а = (45)

Доказано, что при некоторых условиях на А(0)и на выходные данные существует единственное сильной речонке задачи (42), (43). ¡Кроме того, показана оценка

Наконец, рассматривается система уравнения бароклинного океана.

Доказана теорема существования сильного решения, когда 'область Получены точные оценки скорости сходимости ре-

шения вспомогательного уравнения к решению исходной задачи при

О . Построены схемы типа дробных шагов и исследована сходимость разностных решений к решению исходной задачи при некоторых ограничениях на лб , £ .Проведены методические численные расчеты (см.приложение 2).

Ранее в известных работах Р.Темама, В.Я.Белова, А.П.Оскол. -кова, В.Я.Ривкинда,Б.Г.Кузнецова, Н.Н.Яненко аппроксимации уравнений неразрывности в виде (36) исследованы только для обобщенных решений. Причем скорость сходимости решения аппроксимирующих систем V'?7 в норме ¿'¿(<2') • Параболическая аппроксимация для уравнения вязкой несжимаемой жидкости рассмотрена П.Е.Соболевским, В.В.Васильевым и получены оценки для решения вспомогательного задачи

+ * С-соо ,

а оценка

для той же аппроксимации получены в работе А.Ы.Джайкбаева и автора.

Аппроксимация (39) - (40) впервые изучена в работе Б.Г.Кузнецова. ¡Показана скорость сходимости решения задач (39) - (40) к решению (уравнения Навье-Стокса л/Т в нор!,«; ¿2 (О,

Глава 3. МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Впервые, по-видимому, исследования задач для линейных дифференциальных уравнений с быстроменяющимся, коэффициентами в |подобластях были проведены Вишихом, Соболевым, Люстерником. В основу метода фиктивных областей для численного решении эллинти-

чесхих уравнений били положены эти исследования предложенные Саульевы?/, Ривкиндом и др. Основная идея метода фиктивных областей заключается в том, что область с границей ¿Г , в которой решается исходная дигЬференцйальная задача, дополняется областью Х2,2 ДРУГ0Й области -¿2 с границей &Х2. . Тогда отыскание решения исходной задачи в ¿¿т сведется к отысканию решения вспомогательной задачи с разрывными коэффициентами, но в более простой области. Тем самым обоснование метода фиктивных областей сведется к доказательству близости в -Х2Г реаений основной и вспомогательной задач. Естественно также потребовать, чтобы решение вспомогательной задачи сохранило свойство исходной и построения более аффективных численных алгоритмов.

В главе 3 изучаются различные свойства решения метода фиктивных областей для уравнения Навьё-Стохса. Доказывается теорема существования сильного решения вспомогательной задачи к решению уравнений Навье-Стокса. Далее рассматривается метод фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса в постановках функции тока и вихря скоростей в многосвязной области. Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений с нелокальным граничны?! условием. В настоящей работе предлагается вариант метода фиктивных областей для решения этой задачи. Полученная система дифференциальных уравнений с малым параметром без интегрального условия. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения свободной конвекции и теплопроводности твердого тела с учетом фазового перехода. Эта задача исследована методом фиктивных областей.

В параграфе I рассмотрим краевую задачу для стационарного уравнение Навье-Стокса в .

Дополним область _£>/ Д° некоторой области -О. с границей Г . При численном расчета за -£2 можем взять параллелепипед.

Соответствующая вспомогательная задача Л ставится так:

V) V* = ~~ ДО* - Г/О*, В £>2 (47)

гУ/С * О, в .а ¿/л2

с граничными условиями

, ^/г'0* С*1-»?/*-* (48>

Имеет место следукяцал

Теорема 5. Пусть ^ /~^гСгг ¿¿^¿^ (-С2.г) ■ Тогда для решения (47), (48) имеют место оценка

.кроме того

при малом //¿//¿¿(Лг) •

Теорема 5 является основным результатом § I. Задача о нестадионарном движении вязкой несжимаемой жидкости в двухсвязной области С с границей /^-/2/^сподится к решению следующего дифференциального уравнения:

¿¡/¡у дУ длУ др, .г г ,7/кгп

с начальными и граничными условиями

д^/г-гиг • /а ¿Г

Здесь

- нормальная и касательная производные на границах; V - функция тока. Исходную область 12) дополним областью с границей ^ до области с границей

/\ , ' , В Л рассмотрим уравнения

'' дсо£ ду* ■ . '

с начальными и граничными условиями:

Здесь

С О В -О-? ,

ЧМ' ( |

На границе выполняются условия согласования

= ' 4** 1/.

с/? \ до Ь с/7 /' "

В § 2 доказано, что сущестзует обобщенное решение задачи (52), (53) и при £-*-о оно сходится к обобщенному решения задачи (50), (51). Получены оценки близости А/- в ¿г к'? (12))

Отметим, что численная реализация вспомогательных задач по методу фиктивных областей приводит к необходимости решать систему алгебраических уравнений, обусловленность которых зависит от малого параметра <£ , Использование итерационных методов для получения решения с требуемой точностью приближения в ряде случаев оказывается затруднительным. В 5 3 для вспомогательной задачи, получаемой продолжением в фиктивную область старших коэффициентов эллиптического уравнения и уравнений Навье-Стокса, строятся решения, являющиеся линейной комбинацией, с некоторыми весами, решений, полученных для сравнительно больших £ . Показано, что в этом случае получаем реиение, обладающее точностью приближения £ " , где М - количество решенных вспомогательных задач с параметрами £, £/2,,, £///.

С использованием метода, предлагаемого в работе, проведены численные расчеты течений вязкой несжимаемой жидкости, результаты которых приводятся в § 4. Результаты тестовых расчетов удовлетворительно согласуются с оценками, полученным? ранее, для решений вспомогательной задачи. Изучается течение в плоском канале с препятствиями в виде пластины или одного или нескольких цилиндров. Плоское течение мекду двумя круглыми цилиндрами при различном их взаимном расположении представляет собой одно из интереснейших течений, с точки зрения приложений.

В работе исследуется случай течения методу двумя круглыми цилиндрами одинакового радиуса, расположенными я калане рядом поперек тока, при различных расстояниях между ними, а также рас-

положенными углом выноса. Результаты расчетов иллюстрированы рисунками. Проводится качественное сравнение полученных результа- 1 тов с результатами экспериментов. Предложена разностная схема типа стабилизирующей поправки, в которой скорость мало зависит от 8 . (см. приложе: ие 3).

Такой прием моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в постановках функция тока и вихря скоростей многосвязной области с помощью метода фиктивных областей ранее не применялся. Метод фиктивных областей для уравнения Навье-Стокса односвязной области рассматривались в работах А.Н.Бугрова, П.Н.Вабищевича. В работах А.Н.Коновалова и его учеников метод фиктивных областей применяется,в частности,для задачи фильтрации и упругости.

В § 5 рассматривается стационарная сопраженная задача естественной конвекции жидкости и теплопроводности твердого тела с учетом фазового перехода. Основная трудность при решении этой задачи связана с наличием свободной границы раздела фаз. Для преодоления этой трудности в работе предложен вариант метода фиктивных областей, основанный на факте, что движение в среде с относительно большими значениями коэффициента сопротивления и переноса тепла полностью определяется механизмом теплопроводности. Задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений.

~-(Vu)) £ (üu)) = Уда) +f(6) в -Й*.

ау „ со , <(б) Ж*

с граничными условиями

9 - § * + , ■ (56)

& - в0 (X, у), ■fcyjerdJ2. На свободной границе раздела фаз ставятся условия Стефана: задаются температура и непрерывность теплового потока

"Л W-: " (57)

¿2 -односвязная область занимаемая жидкой фазой, температура которой положительна и через Л. - односвязная область занимаемая твердой фазой, температура которой отрицательна 7'= ¿¿Л *Л0& свободная граница раздела фаз. Дня численного решения задач (55);-(5/) строим вспомогательную задачу, по методу фиктивных областей

аппроксимирующую задачу (55) - (57). Лв€- (58)

где

1 ¿7, в*(х.ч)>0,

.7, 6>'{Х,у)*0, ¿'О.

'тлеет место следующая

Теорема б. Пусть <£/2 еГ2, 0 (х.у]е:Сг . Тогда существует, хотя бы одно обобщенное решение задачи (58) - (59) для него справедливо оценки

где С>о - постоянная, независящая от £ .

Решение задач (58) - (59) будем искать методом установления.

8**7-0* д а"*' 'гло*-" п , 4

- <У - , (60)

Г * •, *

ь"*1 Г •

О<?Г

о граничными условиями (59)

Решение уравнения (60) находим во внутреннем итерацион-

ном цикле с н

спользованием варианта схемы стабилизирующей поправки.

Особую сложность представляет нахождение решения V*'7 уравнения (61). Расщепление (61) на два уравнения второго порядка относительно вихря скорости й функции тока и построение итерационного процесса сопряжено с следующими трудностями: с одной стороны о заданием граничного условия для вихря скорости, с другой стороны с тем, что обусловленность полученной системы зависит от значений параметра 6 .

Итак, для нахождения функции тока V использован внутренний итерационны;'! процесс, построение и исследование которого про-

иедино и работе П.Н.Вобищеаича. Проведены численные расчеты при разных числах , Рг . Проведенное сравнение показало хорошее совпадение результатов расчетов с тестовыми., и качественно согласуется с результатами экспериментальной работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уpai?ftofmit вязкого теплопроводного газа. Докл. АН СССР, 1984, т. Я "5, № Г, с. 165-168.

2, Смагулов 111. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа в переменных Эйлера. Докл. АН СССР, 1904, т. Z7 7, 3, с. 553-555.

3. Смагулов Ш. Об устойчивых разностных схемах для модели Бир-герса. В кн.: Динамика сплошной среды, вып. 57. - Новосибирск, 1382, с. 77-89.

4, Смагулов Ш. Движение порлня и контактного разрыва в модели Бюргерса. Вестнип MI КазССР. 1986, У 12, г. Алма-Ата.

з. Смагулов Ш. Разностные схемы дня уравнения рязкого газа переменной вязкости. Докл. АН СССР (в печати).

6. Смагулов Ш. О некоторых разностных схемах для уравнений вязкого газа. В кн.: Математические модели и их приложения. Изд. "Наука" , Алма-Ата, I9B5, с. H6-II8.

7. Смагулов Ш. Теорема существования решения одной модели вязкой сжимаемой жидкости. В кн.: Применение методов функционального анализа к неклассическим уранвиенияч ¡математической физики. Новосибирск, 1983, ИМ СО АН СССР, с. 182-188.

8. Смагулов Ш. О корректности некоторых задач для уравнений магнитной гидродинамики. В кн.: Математические модели течения жидкости. Новосибирск, Институт теоретической ипприкладнпй механики СО АЛ СССР, 1987,с. 257-266.

9. Смагулов UI. Корректность краевой задачи для уравнений свободной конвекции с диссипацией. В кн.: Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 1985, Ш СО АН СССР.

10.Смагулов Ш. Устойчивая разностная схема для модели вязкого газа. В кн.: Устойчивость и оптимальность управляемых систем. КазГУ, г. Алма-Ата,- 1985, с. 93-97.

11.Смагулов ¡П. Об одном нелинейном уравнении аппроксимирующем уравнение Навьо-Стокса. Труды У Всесоюзного семинара по числе! -ним методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 19/5, с. 123-134.

12.Смагулов И. Аппроксимация урчвиеннь о.пмой модели неоднородно!! жидкости. В кн.: Численны-? методы механики сплошной сред».

Щ СО АН СССР, 197?, т. 8, № 2, с. II2-I24.

13. Смагулов Ш. О параболической аппроксимации уравнений Навье-Стокса. В кн.: 1исленные методы механики сплошной среды, т.. 10, » I, I9V9, ВЦ и.КГШ СО АН СССР, с. II2-I24.

14. Смагулов Ш. Об одном варианте аппроксимации уравнений Навье-Стокса. В вн.: Дифференциальные уравнения с частными производными. Изд. "Наука", Новосибирск, 1980, с. 57-62.

15. Смагулов Ш. Аппроксимация задачи. Коши для уравнений Навье-Стокса в переменных4!' , (/). В кн.: Численные методы прогноза погоды. Москва, Гидроыетеоиздат, 198Г, выпуск 53, с. 7278.

16. Смагулов 1Ü. Метод фиктивных областей для краевой задачи уравнений Навье-Стокса. Новосибирск, 1979, ВЦ СО АН СССР. Препринт. 68, 22с.

1?. Смагулов Ш. К теории аппроксимации уравнений гидродинамики В кн.: Численные методы в механике жидкости и газа. ИТШ СО АН СССР, Новосибирск, 1980, с. IIÖ-I2I.

18. Смагулов Ш. Об устойчивых дивергентных разностных схемах для уравнений вязкого газа. В сб.: Краевые задачи нелинейных уравнений. Ш СО АН СССР, 1983, Новосибирск, 13 с.

19. Смагулов Ш. Устойчивые разностные^схемы для модели магнитной гидродинамики. Вестник АН КазССР, 1985, 7, с. 60-62.

:20. Смагулов Ш. Оценки разностного решения схемы типа "крест" дл* модели вязкого газа. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. ВЦ и'ИТПМ СО АН СССР, 198? г. (в печать).

!21. Кажихов A.B., Смагулов ¡11. Корректность и приближенные методы для модели магнитной гидродинамики.-Известия АН КазССР, сер. физ.-мат., №6, 1986, Алма-Ата.

22. Кузнецов В.Г., Смагулов 111. Численное исследование движения жидкости в электропзчи (плоская задача). В кн.: ЧММСС, т. 6, № I, с. 65-74. Новосибирск, 1975.

23. Смагулов Ш., Туретаев И.Д. Устойчивые " в целом" по времени разностные схемы для уравнений магнитной газовой динамики. Деп. в ВИНИТИ от 7 мая 1985 г., № 33I5-B86. 8с.

24. Смагулов Ш., Туретаев И.Д. Разностные схемы для уравнений магнитной.газовой динамики и их корректность "в целом". Докл. АН СССР, т. 294, №. 3, 1984, с, 542-545.

Кажихов A.B., Смагулов Ш. О корректности краевых задач в

одной диффузионной «одели неоднородной жидкости. В ich.: Численные методы механики сплошной среды, 1975, ВЦ СО АН СССР, т. 7, »4, с. 75-93.

25. К&тлхов A.B., Смагулов Ш. О корректности краевых задач в одной диффузионной модели неоднородной жидкости. Докл. АН СССР. т. 234, » 2, с. 330-332, 1975.

27. Еайбатааез Б.Н., Смагулов Щ. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого-теплопроводного газа. В кн.: 4MLICC ВЦ и ЙГШ СО АН СССР, т. 5. 1984.

28. Смагулов Щ., Утегеноа К.У. Асимптотическое поведение решения задачи течения неоднородной-.жидкости. Известия АН Каз.ССР, сер. физ.-мат., № 5, 1977, с. 49-55, Алма-Ата.

29. Рудяк B.Ii., Смагулов Ш. О гиперболической модификации уравнения Еоргерса. Докл. АН СССР, т. 255, № 4, с. 801-804, 1980.

30. Рисбаеб В.Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Докл. .АН СССР, т. 287, № 3, 1986,

с. 558-559. .

31. Смагулов Ш., Рысбаев Б.Р. Приближенные метода решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка. Препринт #20, Новосибирск, 1984, ИТПМ СО АН СССР, 30с.

32. Смагулов Ш., Рысбаез Б.Р. Оценки решения разностной схемы для модели магнитной гззоеой динамики. 3 кн.: Методы и средства математического моделирования процессов переноса. Ажа-Ата, I9S5, с. 54-59. КазГУ.

33. Смагулов Ш., Рысбаев В.Р. Оценки разностных схем для уравнения вязкого газа. -Деп. в ВИНИТИ от августа 1986 г., В-86, $ 4522, Вестник АН КазССР.

34. Смагулов 13., Рысбаеэ В.Р. Движение лоретщ и контактного разрыва в модели вязкого газа. Деп. в ВИНИТИ от 6 августа 1985, » 4523. Вестних АН КаэССР.

35. Смагулоз Ш., Рысбаев В.Р. Разностные схемы для модели теплопроводного газа. В кн.: Исследования по теории функции и дифференциальным уравнениям. Алма-Ата, 1935, КазГУ.

36. Алуаб&ев Д.П., Смагулов Щ., Чалгынбаез К.Д. Теорема существования сб аппроксимации одной модели динамики океана. Препринт 9, Новосибирск, IS8I, ИТПМ СО АН СССР, 14с.

37. Будекбаез Л.В., Смагулов Ш., Чалгынбаев К.Д. Корректность одной модели бароклинного океана. Препринт № 18, с. 18,

ЙТПМ СО АН СССР, IS8I.

38. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш., Аппроксимация уравнения гидродинамики. 3 кн.: ЧМЫСС, г. 6, & 2, ВЦ СО АН СССР, с. 158175. г. Новосибирск, 1975.

39. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О разностных схемах с малым параметром, аппроксимирующих уравнений Навье-Стокса. Труды У Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкого падкости. ВЦ СО АН СССР, 1975, с. 109-122.

40. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О скорости сходимости решений одной системы уравнений с малым параметром к решениям уравнений Навье-Стокса. В кн.: Математические модели течения жидкости. ¡ГОШ СО АН СССР, с. 158-175. г. Новосибирск, 1978.

41. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа. МЕХАНИКА ЧЕТВЕРГИ КОНГРЕСС. Септеври 1981. Варна, Болгария, с. 677-682.

42. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся схемах дробных шагов для трехмерных уравнений Навье-Стокса. В кн.: 4M1JGC ВЦ и ИИШ СО АН СССР, т. 15, Новосибирск, 1984.

43. Яненко H.H., Кузнецов Б.Г., Смагулов Щ. О/г Ue <2ррг&£Ш-(¿ол of ffa Яоы'ег-Stetes fyt/aü'o/is for а? /ш^ййй f'faicf fy ¿üüfottinory- Type fyia&'M tfävmccsf d/eü/х/ ¿г PCaid Ъигдя/is. ¿/¿г, PütäsAers. Ibs/azJ, WS f.

44. Смагулов Ш., Орунханов М.К. Приближенный метод решения уравнений .гидродинамики в кногосвязных областях. Доклад АН СССР. 1981.Г., т. 250, »5, с. 3.

45. Смагулов Ш., Нанасбаёва У.Е. Оценки решения разностной схемы для уравнения бгротропного газа с переменной вязкостью. Докл. АН СССР, 1986 г., (в печати).

46. Смагулов Ш., 0рунхаев И.К. К теории метода фиктивных областей. В кн.: ЧММСС, ВЦ и ИГШ СО АН СССР, т. 13, с. 12. Новосибирск, 1982.

47. Рагулин В.В.' Смагулов Ш. О гладкости решения одной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса. В кн.: Численные метода механики сплошной среды: Математическое моделирование/ ИТШ СО АН СССР, т. II, № 4, с. II3-I2I, 1980, г.Новосибирск.

48. Бугров А.Н., Смагулов Щ. Кетод фиктивных областей в краевых задачах для уравнений Навье-Стокса. В кн.: Математические

_____модели „течения жидкости. ИГШ СО АН-СССР, с.79-80. Новоси-

бирск, 1978.

49. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш. Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданных перепадах давлений. В кн.: Численные методы динамики вязкой жидкости. Новосибирск, 1983 ИТПМ СО АН СССР, с. 203208.

50. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Новосибирск, 1982. Препринт

» 17, с. 45.

51. Пятков С.Е., Рудяк З.Я., Смагулов Ш. О свойствах решения гиперболической аппроксимации уравнений Навье-Стокса. В кн.: ЧММСС, ВЦ и ИТПМ СО АН СССР, т. 13, № б, с. I04-II2. Новосибирск, 1982.

Автор выражает глубокую признательность всем лицам, принявшим участие в обсуждении результатов диссертации, в особенности, сотрудникам Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР.

Подписано в печать 3.02.88. УГ 27041. Формат 60x84/16. Бум.тшт.М 2. Печать офсетная. Уся-овчл.1,6. У сл. к? —отт .8,1. Уч.-вза-лД.О. Тир«« 10G экз. Захаэ 231.

Типография КазНИИНТИ: 480120, г.Алыа-Ата, Кгрова, 221.