Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



/

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РФ

АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.946

Вайгант Владимир Андреевич

ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА СЖИМАЕМЫХ СПЛОШНЫХ

СРЕД

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г'ОСС и

йе от

рисудил ученую степень А

'С

Начальник управления ВАК Рос<

—_____________......х^/9

Оглавление

Введение 3

1. Вспомогательные сведения 18

1.1. Функциональные пространства..................18

1.2. Специальные неравенства и теоремы вложения.........23

2. Исследования краевых задач для одномерных уравнений Навье-Стокса в переменных Эйлера 31

2.1. Постановка задачи и основные результаты...........31

2.2. Вспомогательные уравнения и леммы..............36

2.3. Априорная оценка полной энергии.................44

2.4. Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу. 50

2.5. Оценки для производных. Сильные решения...........52

2.6. Стабилизация решений.......................63

3. Примеры несуществования "в целом" решения для многомерных уравнений движения сжимаемой вязкой среды 79

3.1. Примеры начально-краевых задач и утверждения.......79

3.2. Построение примера 1.......................84

3.3. Построение примера 2.......................89

4. Существование "в целом" решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды 94

4.1. Постановка задачи и основные результаты...........94

4.2. Дополнительные системы дифференциальных уравнений. . . 99

4.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности. ..... 101

4.4. Вторая априорная оценка для плотности.............103

4.5. Вторая априорная оценка для скорости..............ПО

4.6. Оценки старших производных вектора скорости........121

4.7. Сильные и классические решения.................127

4.8. Существование обобщенных решений...............132

5. Глобальные решения для уравнениий Навье-Стокса с функциями состояния типа Ван-дер-Ваальса. 138

5.1. Постановка задачи и основные результаты...........138

5.2. Вывод специальных систем уравнений..............142

5.3. Первая априорная оценка для скорости и плотности......146

5.4. Вторая априорная оценка для плотности.............147

5.5. Вторая априорная оценка для скорости..............159

5.6. Третья априорная оценка для скорости..............169

5.7. Оценка для плотности сверху и снизу..............176

5.8. Оценки производных первого порядка для плотности......179

6. Глобальные решения для уравнений Навье-Стокса при малых числах Рейнольдса 184

6.1. Постановка задачи и основные результаты.......... „ 184

6.2. Существование обобщенных решений...............188

6.3. Оценки в случае двух пространственных переменных.....191

6.4. Оценки для плотности. Единственность решения........198

6.5. Оценки для производных. Существование гладких решений. . 201

Литература

203

Введение

В теории дифференциальных уравнений математические проблемы механики сплошной среды составляют интересный и важный класс задач, актуальность которых обусловлена многочисленными приложениями. С теоретической точки зрения уравнения механики сплошной среды издавна привлекают внимание особенностями постановок задач и своеобразием методов их решения. В последнее время интерес к этим уравнениям особенно повысился в связи с появившимися новыми важными идеями и результатами, которые поставили ряд оригинальных проблем в различных областях математики.

1.Модель Навъе-Стокса сжимаемой вязкой среды.

В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости и сжимаемого вязкого теплопроводного газа. Эта модель включает в себя систему дифференциальных уравнений, которые выражают в дифференциальной форме законы сохранения массы, импульса и энергии [121],[101],[10],[77]

^ + 0, (1)

р(ж + ^' = +р : в+Рд-

(з)

В системе (1)-(3) приняты следующие обозначения: р - плотность, во -внутренняя энергия, 0 - абсолютная температура, й= (щ,... , ип) - вектор

скорости, / = (/х,... ,/п) - вектор плотности массовых сил, д - плотность тепловых источников, эз - коэффициент теплопроводности, Р и В - тензоры напряжений и скоростей деформации.

(g + g)< '>D ¿/•/)" " = (4)

_ 1 (diij ди^

Dij = -

ij 2

h3=

Для замыкания системы уравнений (1)-(4) необходимо присоединить к ним уравнения состояния

Р = Р(р,в), е0 = е0(р,в) (5)

и закон напряженного состояния (закон Стокса)

Р = (-Р + Лdivu) ■ I + 2р • D. (6)

Здесь: Р - давление, I - тензорная единица, Ли//- коэффициенты сдвиговой и динамической вязкости. При этом соотношения (5) должны быть согласованы с основным термодинамическим тождеством (первый закон термодинамики)

и

Кроме этого нужно добавить выражения для коэффициентов р = /¿(р, <9), Л = Л(р,в) и ае = эз(р,в). Обычно эти коэффициенты считаются постоянными, а в общем случае определяются экспериментально как функции независимых термодинамических параметров р и в. При теоретических исследованиях модели Навье-Стокса наиболее часто принимается р > О,

ЗА + 2/1 > 0 или Л = — -/1 (второй закон термодинамики).

о

Отметим наиболее часто используемые в математических исследованиях уравнения состояния (5).

а) Р = Rp9, во = cv0, где R — const > 0, cv = const > 0 - модель совершенного политропного газа.

б) Р = Р(р) - модель баротропного движения среды.

Это предположение позволяет, если коэффициенты вязкости Л и р не зависят от решить предварительно систему уравнений (1)-(6) относительно р и м, а затем определить температуру К баротропным течениям относятся изотермическое течение (Р = Rp, i? = const > 0) и изоэнтропи-ческое течение (Р — Rp1, 7 > 1, i? = const > 0).

в) Р = const - модель Бюргерса. При рассмотрении этой модели в уравнении импульса градиент давления исчезает.

Система уравнений (1)-(6) является весьма сложной (нелинейной), в которой уравнения импульса и энергии являются параболическими относительно искомых функций й и 9, а уравнение для плотности р представляет собой уравнение первого порядка. Теория таких систем дифференциальных уравнений (систем составного типа) находится на пути своего становления и развита еще недостаточно полно.

2.Локальная проблематика уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой

среды.

Принято считать, что начало изучению вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса (1)-(6) положила работа J.Serrin [269]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Однако, необходимо отметить более раннюю статью D.Graffi [200] по единственности классических решений начальной задачи для баротроп-ного случая, которая предшествовала выше названной работе [269].

Первый результат по разрешимости для уравнений (1)-(6) получил J.Nash [252] в 1962 году. Он доказал существование классического решения задачи Коши на достаточно малом промежутке времени, то есть "в малом" по времени. Результат работы [252] был, несколько иными методами, повторен и обобщен в работах N.Itaya [220], А.И.Вольперта и С.И.Худяева [41].

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А.Солонниковым [135] и

A.Tani [277]. Разрешимость задачи Коши для системы (1)-(6) "в целом" по времени, но при условии, что начальные данные близки к состоянию покоя, т.е. в малом по данным, была установлена A.Matsumura and T.Nishida [240]. Также необходимо отметить результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным), которые содержатся в следующих работах [287], [290], [265], [242], [237], [281], [282], [205], [207]. С дополнительной информацией по этой проблематике можно ознакомиться в обзорах [272], [10], [254], [288].

3.Глобальная проблематика для уравнений Навье-Стокса сжимаемой

вязкой среды (одномерный случай).

Наиболее полная теория глобальной разрешимости по времени и данным для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, т.е. когда одна компонента вектора скорости зависит лишь от одной пространственной координаты и времени, а остальные компоненты вектора скорости равны нулю.

Первый результат по однозначной разрешимости "в целом" по времени и по данным был установлен в 1968 году Я.И.Канелем [74] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (Р = R ■ р1). Для модели Бюргерса (Р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах N.Itaya [214], [215] и A.Tani [279].

В 1976 году А.В.Кажихов [58] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А.В.Кажихова и его учеников [59-65], [69-72] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получена в работах [249], [251], [250], [222], [62], [16-19], [182], [24], [26], [30], [9]. При этом

принципиальным моментом работ автора [24], [26], [27], [30] является то, что исследования проводились непосредственно в эйлеровых координатах и это позволило изучить задачи с неоднородными краевыми условиями без дополнительных ограничений.

Уравнения движения вязкого баротропного газа и теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида и непостоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности исследовались в следующих работах [62], [69], [70], [204], [208], [244], [258], [273], [296], [36], [35].

Важный класс уравнений представляют одномерные осесимметричес-кие и сферически симметрические течения, которые по существу являются "многомерными". Эти уравнения рассматривались в работах [111], [109], [110], [197], [196], [209], но полного решения проблемы здесь пока нет. Новый класс одномерных сдвиговых течений введен и изучен В.В. Шелухиным [155].

Вопрос о стабилизации решений при неограниченном возрастании времени к решению стационарной задачи рассматривался в работах [74], [159], [65], [240], [60], [275], [178], [180], [181], [50], [75], [254], [76], [247], [55], [54], [26], [30]. Изучены также уравнения с периодической или почти периодической внешней силой [160], [156], [243]. Ряд работ посвящен некоторым вопросам качественной теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (распространение разрывов, исчезающая вязкость) [152], [161], [154], [158], [105], [204], [208], [213], [211], а также проблемам вырождения плотности [137], [153], [254], [130], [80], [198]. Исследование задач одномерной динамики вязкого газа при наличии дополнительных факторов (многоком-понентность сред, учет влияния магнитных полей, электропроводности и др.) проводилось в работах [190-194], [71], [59], [ИЗ], [223], [98], [1], [105], [146-148].

Важной проблемой в теории уравнений динамики вязкого газа является вопрос строгого обоснования приближенных методов. Начало в этом направлении, по-видимому, положила работа Б.Г.Кузнецова и Ш.Смагулова

[84]. На данный момент довольно подробно исследованы разностные схемы для уравнений одномерного движения вязкого газа, записанные в ла-гранжевых координатах. В этих исследованиях очень большая заслуга А.А.Амосова и А.А.Злотника [6], [51], [173], [175], [47-49], [302]. Отметим также важные исследования, проведенные в работах [124-127], [122], [118], [119], [46], [143-145], [162-164], [297-299], [300]. Некоторые результаты в этом направлении имеются и в случае эйлеровых координат [114], [124], но до завершенной теории здесь еще далеко. Проблема строгого и полного математического обоснования численного решения многомерных задач динамики сжимаемой вязкой среды на данное время является открытой и ее изучение начато в работах Н.А.Кучера [85-93], О.В.Троцкой [141], [142], А.В.Попова [115].

Важная и интересная проблема в теории Навье-Стокса возникает в случае разрывных данных (начальных данных, свободных членов и др.). В связи с этим направлением отметим работы В.В.Шелухина [154], D.Serre [266-268], D.Hoff [203-209], D.Hoff and R.Zarnowski [212], H.Fuijita Yashima, M.Padula and A.Novotny [198], А.А.Амосова и А.А.Злотника [8], [9].

В последнее время возник новый и интересный класс уравнений, обобщающие исходные одномерные уравнения Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды - квазиосредненные уравнения Бахвалова-Эглита. Исследования по этой проблематике проводились в следующих работах [15], [268], [170], [7],

Н, [4].

4.Глобальная проблематика для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (многомерный случай).

Проблема о глобальной (по времени и по данным) разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды является на данное время очень актуальной. Ситуация такова, что эта проблема далека от удовлетворительного решения и поэтому важное значение имеет каждый результат, касающийся того или иного подхода к многомерному случаю.

Одним из подходов к многомерной модели Навье-Стокса является изучение более простых гидродинамических моделей. Среди различных вариантов упрощения уравнений Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель

^ + (1гу(рй) = 0, Р = Р(р),

рАй +{р + Л)У(с*гЧщ) - УР = О,

и, во-вторых, приближение Стокса

др

dt + div(pÛ) = 0, Р = Р(р), ди

р— = дДи + (р + \)X?(divu) - VP,

(9)

где р — const > 0 - средняя плотность.

Обе модели (8) и (9) являются хорошими приближениями в случае ба-ротропного движения для сильно вязких жидкостей, причем в (8) дополнительно предполагаются малыми ускорения, т.е. все инерционные члены в уравнении импульса (2) исключаются из системы.

Математические исследования модели (8) были начаты в 1991 году С.Вег-nardi and O.Pironneau [184] в случае стационарных течений. В 1993 году А.В.Кажихов [66] установил существование глобальных решений для системы уравнений (8) в классе потенциальных течений. При этом были рассмотрены и некоторые качественные вопросы. Дальнейшее исследование этой модели было продолжено в работах А.Е.Мамонтова [102], [103].

В 1994 году автором и А.В.Кажиховым [37] была рассмотрена система уравнений (9). Ими установлено существование и единственность решения в классе потенциальных течений в случае начально-краевой задачи. Задача Коши для этой модели изучалась в работах Lu Min, A.V.Kazhikhov and Seiji Ukai [236], P.L.Lions [233].

Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости (газа), без каких-либо упрощений, вопрос о глобальной разрешимости рассматривался M.Padula [259], P.L.Lions [231]. В этих работах были пред-

ложены новые идеи и подходы к решению этой проблемы в классе обобщенных решений: в первой работе Р = Яр, а во второй Р = Нр7, 7 > 1. Для второго случая результат о существовании слабого решения установлен Е.Ее1ге1з1 [195]. В случае более общего закона напряженного состояния существование обобщенного решения получено в работе А.Е.Мамонтова [103].

Однако для существования более гладких решений имеются препятствия - примеры, построенные в 1993 году автором [25], [294], а также примеры для более полной модели (с учетом температуры), приведенные в данной работе. Отметим, в связи с вопросом разрушения решений, работу Zhouping Хт [301]. Эти примеры, по-видимому, указывают на необходимость дополнительных требований на коэффициенты вязкости как функций от термодинамических параметров, что хорошо обосновано с физической точки зрения. Реализация этих соображений привела к тому, что впервые удалось получить глобальные теоремы существования для двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды. Сначала это удалось сделать автору [134] для случая специальных уравнений состояния, а затем для более общих уравнений состояния и в более широком диапазоне решений, включающем и обобщенные решения, автору и А.В.Кажихову [33]. Далее автор [295] установил однозначную разрешимость "в целом" для уравнений состояния более общего вида - уравнения состояния типа Ван-дер-Ваальса.

Исследования проводились и для стационарной модели Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа). В связи с этим направлением отметим работы А.Г\Гоуо1;пу [256], А.Г^оуо^у и М.Ра(1и1а [257].

5. Краткое описание содержания диссертации.

Целью работы является математическое исследование проблемы о существовании глобальных решений начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости (газа) в различных функциональных пространствах.

В главе 1 приводятся некоторые известные сведения из теории функ-

ций, функционального анализа и дифференциальных уравнений, которые используются в процессе исследований. Среди них особое место занимают результаты леммы 1.2.9 и следствия 1.2.1, существенно использующиеся в главах 4 и 5 при выяснении порядка роста £р-норм плотности по величине р и при выводе второго энергетического неравенства для вектора скорости.

В главе 2 рассматривается неоднородная начально-краевая задача для одномерной системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой теплопроводной жидкости (газа). Фактически эта задача распадается на несколько: задача о протекании сжимаемой вязкой жидкости (газа) сквозь фиксированную область; задачу, когда на обеих границах происходит втекание жидкости (газа) в область; задачу, когда на обеих границах происходит откачивание жидкости (газа) из области. Для них исследуются вопросы о разрешимости "в целом" по времени и начальным данным как в классе сильных решений, так и в классе классических, а также вопрос о стабилизации при неограниченном возрастании времени. Как правило, при расс