Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Прокудин Дмитрий Алексеевич

АНАЛИЗ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ ЖИДКОСТЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

004600833

Кемерово 2010

004600833

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВГ10 «Кемеровский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н. А. Кучер

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент А. Е. Мамонтов

кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Папин

Ведущая организация: Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита состоится 2010 года в ^ часов на засе-

дании диссертационного совета Д 212.174.02 при ГОУ ВПО «Новосибирский государственный университет» по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Новосибирский государственный университет».

Автореферат разослан «^^»»^<-^^«2-2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Н. И. Макаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Кроме классических уравнений гидродинамики при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель двухкомпонентных смесей сжимаемых жидкостей. Эта модель в изотермическом случае (без уравнения энергии) описывается системой дифференциальных уравнений, отражающих закон сохранения массы и закон сохранения импульса для каждой компоненты смеси

^ + АЧ/>(«(") = 0, / = 1,2, (1)

5{Р'"Ь)) + сЦу(р,йш ® ¿/(") - сНгР" + р,710 + 3{(\ / = 1,2, (2)

д(

где р, и г/(,) соответственно плотность и вектор скорости /-ой

составляющей смеси, Р^ - тензор напряжений, - вектор массовых сил

/-ой компоненты смеси, - интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси. Как видно, закон сохранения импульса формулируется для каждой составляющей смеси и связь между этими уравнениями обусловлена структурой выражений

Рт = -р,1 + ст(,), а01 = ¿(2дуДЙ°')+ А^/у и0'/), / = 1,2

i("=(-l)'+'Я(й(2,/ = 1,2,

где р1 - давление /-ой компоненты смеси, сг'1' - вязкая часть тензора напряжений /-ой составляющей, £> - тензор скоростей деформаций

, / - единичный тензор, и /х - коэффициенты

1 few (ЭуИ ^ £>(vv) = ~ — + — 21 сх V ах

J )

вязкости, a-const > 0. Данная модель является общепринятой и широко используется в приложениях (см., например, монографию С. Н. Антонова,|

А. В. Кажихова и В. Н. Монахова Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. М.: Наука, 1983).

Актуальность исследований уравнений механики сплошных сред и, в частности, моделей смесей вязких жидкостей обусловлена многочисленными приложениями и стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Исследования корректности задач, относящихся к проблемам движения смесей вязких жидкостей, способствуют разработке вычислительных методов для их решения, значение чего в последнее время чрезвычайно возросло.

Описанная выше многоскоростная модель смеси является обобщением классической модели Навье-Стокса и, естественно, немногочисленные работы о корректности многомерных моделей смесей сжимаемых жидкостей появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса. Начало нелокальной теории двух- и трехмерных уравнений динамики вязкого газа было положено П.-Л. Лионсом в 1993 г. Им была установлена слабая регулярность эффективного вязкого потока и доказана глобальная разрешимость основных краевых задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемого баротропного газа для достаточно больших показателей адиабаты. Дальнейшее существенное продвижение в теории было проведено Э. Файрайзелом (2001), который показал, что слабая регулярность эффективного вязкого потока является следствием принципа компенсированной компактности и это позволило доказать разрешимость нестационарных краевых задач для показателей адиабаты из интервала

П. И. Плотниковым и Ж. Соколовски предложен подход к анализу

уравнений Навье-Стокса, позволивший доказать существование ренормализованных решений стационарных уравнений динамики вязкого

важный случай двухатомных газов.

Сформулированная выше модель смеси имеет ряд особенностей, первая из которых - это отсутствие закона диссипации энергии в случае общей зависимости давления от плотностей составляющих смеси. По этой причине,

газа для показателя адиабаты из интервала

охватить

нелокальные результаты для многомерных моделей смесей вязких сжимаемых жидкостей на сегодняшний день получены только для системы Стокса без конвективных членов, т. е. рассматривалась система уравнений вида

div(plii{')) = 0, / = 1,2, (3)

-divPU) = pJU) + J0), i = I,2. (4)

Одной из первых работ в этом направлении является работа Ж. Фрезе, С. Гой и Ж. Малека, в которой доказана разрешимость задачи Коши в R' для уравнений (3)-(4). Ими также был получен результат о единственности слабых решений задачи Коши при дополнительном предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси, равны нулю. Ж. Фрезе и В. Вайгант (2004) рассматривали краевую задачу для квази-стационарной системы уравнений смеси в ограниченной области пространства R3

^ + div(p,iiu>) = 0, / = 1,2, (5)

at

-divP(i) = J[i\ / = 1,2, (6)

но со специальными граничными условиями

it{,)-n = 0, пхrot й^ = 0, ¿ = 1,2, (7)

оправданными только с математической точки зрения.

Трудность, связанная с отсутствием закона диссипации энергии, исчезает, если дополнительно предположить, что давление р, в каждой из компонент смеси зависит только от соответствующей плотности pt, т.е. /? =pl(pl). При этом предположении одномерные задачи были изучены в работах А. В. Кажихова, А. Н. Петрова, А. А. Злотника и А. А. Папина.

С другой стороны, развитая в настоящее время теория обобщенных решений многомерных уравнений Навье-Стокса динамики вязких тазов позволяет обобщить полученные результаты на случай смесей только тогда, когда вязкая часть тензора напряжений ¿-ой составляющей смеси удовлетворяет тождеству

div2aiA = const, Adivu^, ¿ = 1,2, (8)

т. с. когда + 2/^ = 0, г*/. Однако для сложных сред (см. определение

<т('' выше) это тождество вообще говоря не выполняется.

В данной работе рассматриваются некотрые краевые задачи для стационарных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае грех пространственных переменных. Трудность, связанная с обобщением результатов теории многомерных уравнений Навье-Стокса на случай смесей преодолевается благодаря дополнительным аргументам, основанным на методе монотонности и теории компенсированной компактности.

Цель работы. Основной целью диссертации является теоретический анализ глобальной разрешимости краевых задач для многомерных уравнений движения смесей вязких сжимаемых жидкостей в стационарном случае.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа.

Для доказательства существования решений рассматриваемых в работе краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными используется метод регуляризации (построение приближенных решений исходных уравнений) в совокупности с методом априорных оценок. Затем осуществляется предельный переход с использованием результатов теории компенсированной компактности и метода монотонности с целью обоснования слабого предельного перехода в нелинейных членах.

Основные результаты. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Доказано существование слабых обобщенных решений первой краевой задачи для уравнений, описывающих установившееся баротропное движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае трех пространственных переменных.

2. Доказано существование слабых обобщенных решений краевой задачи для многомерных уравнений движения двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в стационарном случае.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носиг теоретический характер. Все основные результаты в ней формулируются в виде математических теорем и сопровождаются строгими доказательствами. Практическая ценность работы следует из возможных приложений результатов диссертации для построения численных алгоритмов решения рассматриваемых в ней задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

• на семинарах кафедры дифференциальных уравнений ГОУ ВГ10 «Кемеровский государственный университет» «Краевые задачи механики сплошных сред» (руководитель семинара - профессор Н. А. Кучер),

• на семинаре Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (руководитель семинара - член-корр. РАН П. И. Плотников),

• на семинаре Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» (руководители семинара — профессор В. С. Белоносов, д-р физ.-мат. наук М. В. Фокин),

• на семинаре кафедры по новым информационным технологиям Кемеровского государственного университета «Информационные технологии и математическое моделирование» (руководитель семинара -профессор К. Е. Афанасьев),

а также на следующих научных конференциях:

• II (XXXIV) и IV (XXXVI) Международные конференции студентов и молодых ученых "Образование, наука, инновации - вклад молодых исследователей" (Кемерово, 2007 г., 2009 г.),

• VII Всероссийская конференция "Инновационные недра Кузбасса.

1Т - технологии-2008" (Кемерово, 2008 г.),

• 9 Всероссийская конференция "Краевые задачи и математическое

моделирование" (Новокузнецк, 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8], список которых приведен в конце автореферата. Доля авторского участия в совместных публикациях составляет 50-70%, причем доказательство основных научных положений принадлежит диссертанту лично.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 99 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы из 58 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение включает в себя обзор литературы по теме диссертации, краткое описание рассматриваемых в работе задач и полученных результатов.

В первой главе рассматривается задача об установившемся баротропном движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых жидкостей в следующей постановке.

Задача А.

Смесь занимает ограниченную область АсЛ' евклидова пространства точек х = (х,,х2,х3) граница сО- которой принадлежит классу С2. Требуется найти векторные поля скоростей » , г = 1,2 и скалярные поля плотностей р,, г = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям:

¿п>(АЙ(") = 0вП, ¡' = 1,2, (9)

¿Д;(7,у' + ® й':)) + V/?, = У'" + р,/т в О, / = 1,2, (10)

й"' = ОивЖ, / = 1,2, (11)

[¿>,яЬс=Л/„ ( = 1,2, Л/, = сот! > 0. (12)

¡1

Здесь операторы

/,./ = 1,2,^+2^2 = 0 (13)

определены так, что для некоторой постоянной С0 > 0 выполняется неравенство

X • н"'Л 2 С0£|| Уи(" (14)

вытекающее из втрого закона термодинамики. Предполагается, что давление р,—р], 1 = 1,2, где />1 - показатель адиабаты, а интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси 3{л = (-1 у1а(йт -й(П), / = 1,2, где а > 0 - заданная постоянная. Массовые силы /'" и считаются

непрерывными векторными полями.

В дальнейшем будут использоваться обычные обозначения ЬР[}У,'Р^ для пространств функций, интегрируемых со степенью р > 1 (вместе с обобщенными производными до порядка

/>0). Через С'(й) (СДп)) обозначим банахово пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций (обращающихся в нуль на ЗГ2), /> 0. Обозначения пространств для векторных функций будем использовать такие же, как и для скалярных функций, а принадлежность и &Х будем понимать как и1 е X, / = \,...,п, и = (и ...,и„).

Определение 1.1. Обобщенным решением краевой задачи А называются неотрицательные функции р1Е.Ь\0), / = 1,2 и векторные поля г?1" 6 1У'2(0.), / = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям: (А1)

¡р,с1х = М„ р,Г^е1}{П\ р,(р^е ¿)0С(О), Р/\и(1) \2е ь)0С(П), /-1,2;

о

(А2) для любых дифференцируемых функх\ий С с ограничение,'.ча производными еС(И), / = 1,2 и произвольных функций у/, еС'(О), / = 1,2 выполняются интегральные тождества

!!

(АЗ) Лад любых векторных полей ф'" еС*(С2), / = 1,2 выполняются

интегральные тождества

2 г \

£ д, |Уйи1: йх + (Я. + V £1 £3

®Й10 :Уфи)с!х= ¡р;с!п'фи)с1х + а п

+ ри) +р^п)-ф["<Ьс, / = 1,2.

¡г

Основной результат первой главы формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 1.1. Для любых /'" еС(П), / = 1,2, ;/ > 3 краевая задача А имеет по крайней мере одно обобщенное решение.

Обобщенное решение задачи А получено как предел решений следующей краевой задачи;

- еЛр? + й(е°) + £р1 = е^- в £2, / = 1,2, (15)

+£Р,ч« + +1р< («(О. V)»« +

(16)

+ ® а(£°) + VрЧ = Л'1 + р,Е/(/) в П, / = 1,2,

и-'= О, Ур? -п = ОнадО, /=1,2, (17)

\р',<Ь = М1, / = 1,2, (18)

п

которую условимся называть задачей А... Здесь р'=(р'У, -«;"), 1 = 1,2, |£2|=ше<и(£1), ее (ОД], й - вектор единичной внешней нормали к границе 80 области О.

Сначала доказывается существование сильного обобщенного решения задачи Ас.

Определение 1.2. Сильным обобщенным решением задачи Ас называются неотрицательные функции е 1-У2'ч(П) V 1<^<оо,

\р^дх = М1, /=1,2 и векторные поля и^ е1У2''(П) V )<</<», /' -1,2 п

такие, что уравнения (15), (16) выполнены п. в. в П и п. в. на ЦП - кр<-условия (17).

Теорема 1.2. Для любых /"' еС(Д), /'=1,2, у>3 крч-.-- • хдача имеет по крайней мере одно сильное обобщенное решение, у -жор •„■> удовлетворяет неравенству

Е^Ик 12 1<С, .¡д)

¿■Д1Г'11/-г(п) II £ Ни^чш II ^'ПГ'Чп)) у '

где постоянная С>0 зависит только от II /'(,||| , Л„, и , /, |£21, М*. а и

II 11с"(Ц) 1 ''

не зависит от параметра е.

Затем, на основании априорной оценки (19), совершается предельный переход в слабом смысле в уравнениях (15)-(16) при е—>0. Основная проблема здесь связана с предельным переходом в последовательности функций давления р/ = (р^У, /=1,2 при В силу оценки (19)

р' р, слабо в ¿"(£2), р' ->р1 слабо в /-1,2. Так как априори

известно, что последовательности р', ¿ = 1,2 только интегрируемы в пространстве ¿2г(С1), у > 3, равенства р1 = (р,)у, ¿ = 1,2 далеко не очевидны. Для доказательства данных равенств обобщается техника, развитая Э. Файрашелом для классической модели Навье-Стокса, связанная с регулярностью так называемых эффективных вязких потоков компонент смеси.

Во второй главе рассматривается задача об установившемся движении двухкомпонентной смеси вязких сжимаемых теплопроводных жидкости-.': ;.-следующей постановке.

Задача Б.

Смесь занимает ограниченную область О с Л' евклидова пространств точек х = (х,,х1,х,) граница сО. которой принадлежит классу С2. Тр-г'бу: найти векторные поля скоростей й(", / = 1,2, скалярные поля плотное гь-Л п

и температур в1, / = 1,2 составляющих смеси, удовлетворяющие следующим уравнениям и краевым условиям:

<//'у(р,1г"') = 0вП, / = 1,2, (20)

+ ЛЦр^" ® и"1) + V/?, = У1" + р,/"1 е П, г = 1,2, (21)

¡-1

¿¡у(рДи(,)) + с!1щ(') ^-р^Ый^ + Г^а, / = 1,2, (22)

г7("=0касП, / = 1,2, (23)

к^уив, ■ п + ЩЩ -в) = 0на Ш, / = 1,2, (24)

|р;с£с = М;> 0, ¡ = 1,2. (25)

£2

В уравнениях (21) операторы Ь определены по формуле (13) и при этом выполняется неравенство (14). Кроме того, предполагаются выполненными следующие соотношения:

р=р\+р<Э„ /=1,2, у> 1

- давление / -ой составляющей смеси,

Г^ / = 1,2, где = 1 + 0?, / = 1,2, т > 1

- вектор теплового потока / -ок компоненты смеси,

;(0=(-1),Ч1а(Й(2>-Й(1)). / = 1,2, а > 0

- интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси,

Г,.=(-1)ыг>((92-(9,) + ^|й(,)-г7а,|2, / = 1,2, Ь> 0

- интенсивность обмена энергией между составляющими смеси,

Щ) = 1 + 0?-\ / = 1,2. В краевых условиях (24) предполагается, что в > 0 - известная достаточно гладкая функция. Массовые силы /(1) и /<21 в уравнениях (21) считаются заданными непрерывными векторными полями. Величины М,-, Я„, д,, у, а,

т и 6 считаются заданными константами.

Определение 2.1. Обобщенным решением краевой задачи Б называются

^ я

неотрицательные функции р, б А'(О), е \¥ / = 1,2 и векторные поля

и'" б / = 1,2, удовлетворяющие следующим условиям:

(Б1)

jp,dx = Мп р,в, p/i0' eL'(ii), в'"Чв, е Z,'(Q),

1!

р;еЬ1(П), р,\й>'>\2е11(П), / = 1,2; (Б2) для любых дифференцируемых функций б, с ограниченными производными (У/е С'(К), /=1,2 и произвольных функций (//, бС'(П), / = 1,2 выполняются интегральные тождества

/( б,(/>,)«"> • Уул + (С,(л) - «ЗДд) Г,«йуЙ<") Л = О, 1 = 1,2;

а

<БЗ) для любых векторных полей е СДП), / = 1,2 выполняются интеграпьные тождества

¿1 |Vî7ui :Vçu)dx + + p.)jdivii{J)divpu)dx -1 V Q il j

n n

+ fp,&idivp<"à!x + J(Jl" +pf'))-cp{')cb, / = 1,2; il 1!

(£4) для любых функций ?дбС"(П), / = 1,2 выполняются интегральные тождества

- \Pieiu(ï)-Vilidx+ ¡щщ-ё),7,da+ ¡к№)ЧвгЧт,>с1х = п сП П

= - ¡P^divû"'»]^ + Jr ,7},dx, 1 = 1,2.

Основной результат второй главы формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. Для любых еС(П), / = 1,2, в е С1 (дП), 0 >0, 6(у-1)(2У-1)

т >—--, у> 3 краевая задача Б имеет по крайней мере одно

(Г-3)(6/~1)

обобщенное решение.

Обобщенное решение задачи Б получено как предел решений следующей

регуляризованной краевой задачи:

-еАрЧ + П, /=1,2, (26)

¿/.,4" + | а'Й» ^(й® • V)«» +

9 £ 2 £ 2\П\ е 2

+ + = + «а / = 1,2,

2

\

= П Х7 . й =

=-рчвч&ш™+г; в а /=1,2, (28)

= 0, ЧрЧ ■ п = О на 2£2, / = 1,2,

гг + Я* - (29)

^¡{вЧ)~!~УвЧ ■ п + е\пвЧ + Щ£Ще - в) = 0 на 5П, / = 1,2,

04

\рЧс1х = Мп / = 1,2, (30)

п

которую условимся называть задачей Бс. Здесь рЧ ~ (рЧ У + рЧв?,

3? = - й<"), 17 = (-1 )'+1Ь(^ - + и?» - и® I2, < = 1,2,

е е (0,1].

Как и в первой главе, сначала доказывается существование сильного обобщенного решения задачи Бе, которым называются неотрицательные

функции рЧ е№2ч(С1) V 1 < с/ < =с, |рЧс!х = М1, / = 1,2, положительные

п

функции 04 е И/2"(0) V 1<д<оо, / = 1,2 и векторные поля ¡4° еЖ2'<?(П)

V 1 < ^ < оо, / = 1,2 такие, что уравнения (26)-(28) выполнены п. в. в и п.в.

на Ш - краевые условия (29).

Теорема 2.2. Для любых /'" еС(Г)), / = 1,2, 0еС'(ЗП), 0> О,

6(/-1)(2у -1) , . . .

т > - ------'/ > 3 краевая задача Бе имеет по крайней мере одно

(Г-ЗХ6Г-1)

сильное обобщенное решение, которое удовлетворяет неравенству

+

du

eil

<c,

где i,' = li\Oc, постоянная C> 0 зависит только от /''H , Öl , Я„,

Г |1г(П) II Нс(«2) *

fifl, т, у, |ii|, |c*Q|, а, Mj и не зависит от параметра е.

Значительную часть второй главы занимает процедура предельного перехода в слабом смысле в уравнениях (26)-(28) при е0. Процедура предельного перехода опирается на те же идеи, которые были использованы в первой главе и отличается уровнем технических сложностей.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Н. А. Кучеру, а также члену-корреспонденту РАН П. И. Плотникову за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

Слисок работ автора но теме диссертации

1. Кучер H.A., Прокудин Д.А. Об установившемся течении смеси мзких несжимаемых жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. 2007. Выпуск 4 (32). С. 13-18.

2. Кучер H.A., Прокудин Д.А. Об одной модели, описывающей баротроиное течение смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сборник научных трудов VII Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса. 1Т-технологии-2008». Кемерово, 2008. С. 372-377.

3. Прокудин Д.А. Шестаков М.М. Об установившемся течении смеси вязких несжимаемых жидкостей в цилиндрических трубах // Сборник статей 9-ой Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и математическое моделирование". Новокузнецк, 2008. Т. 1. С. 107-111.

4. Прокудин Д.А., Трофимова О.С. Стационарное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками // Вестник Кемеровского государственного университета. 2009. Выпуск 1 (37). С. 20-23.

5. Кучер H.A., Лрокудин Д.А. Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. 2009. Выпуск 1 (37). С. 9-19.

6. Кучер H.A., Лрокудин Д.А. Разрешимость уравнений баротропных течений смесей вязких сжимаемых жидкостей. Кемеровский гос. университет. Кемерово, 2009. Деп. в ВИНИТИ, № 339-В2009. 32 С.

7. Кучер H.A., Прокудин Д.А. Корректность первой краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, вып. 3. С. 33-53.

8. Кучер H.A., Прокудин Д.А. Стационарные решения уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. Т. 12, №3(39). С. 52-65.

Редактор Л. М. Борискина Подписано к печати 10.03.2010 г. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Бума/ а офсетная № 1.Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 32.

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».

650043, Кемерово, ул. Красная, 6. Отпечатано к типографии издательства «Кузбассвузиздаг». 650043, Кемерово, ул. Крмака, 7.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ БАРОТРОПНЫХ ТЕЧЕНИЙ

СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ.

1.1 Постановка задачи и основной результат.

1.2 Существование сильного обобщенного решения задачи А£.

1.3 Предельный переход.

ГЛАВА 2. РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ СМЕСЕЙ СЖИМАЕМЫХ

ТЕПЛОПРОВОДНЫХ ЖИДКОСТЕЙ.

2.1 Постановка задачи и основной результат.

2.2 Существование сильного обобщенного решения задачи Бе.

2.3 Предельный переход.

Общие положения и обзор известных результатов

Кроме классических уравнений гидродинамики при решении многих современных задач механики сплошных сред используются более сложные модели, точнее учитывающие неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов. Одним из примеров таких моделей служит модель многокомпонентных смесей сжимаемых теплопроводных жидкостей и газов. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем Q С (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1-5]) уравнения неразрывности (баланса массы) + div(f>i!t®) = о, (z,*)G^x[0,T], 2 = (0.1) уравнения сохранения импульса div{pilt(i) % = divPd) + ^(0+ dt (0.2) x,t) х [0,T], i = l,.,N, уравнения сохранения энергии divfaUiltW) = : - divt® + dt (0.3)

Г,-, {x,t) еПх [0,Т], г = 1,., N для составляющих смеси. Здесь х - радиус-вектор точки пространства Мп, [0,Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi = Pi{x,t) - плотность, = ~it(l\x,t) - вектор скорости, Ui =

Ui(x,t) - удельная внутренняя энергия г-ой составляющей смеси, Р^ =

P^(x,t) - тензор напряжений г-ой компоненты смеси, x,t)вектор массовых сил, = - вектор теплового потока г-ой компоненты смеси, x,t) - интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси ^^ = , Г; = t) - интенсивность обмена энергией между составляющими смеси + ■ Tt^) = .

При изучении движения определенной сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) конкретизируются заданием вектора массовых сил для г-ой компоненты смеси и определяющих термодинамических и реологических соотношений, замыкающих систему уравнений (0.1)-(0.3).

Актуальность математических исследований уравнений механики сплошных сред и, в частности, моделей смесей вязких жидкостей и газов обусловлена многочисленными приложениями и стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Исследования корректности задач, относящихся к проблемам движения смесей вязких жидкостей и газов способствуют разработке вычислительных методов для их решения, значение чего в последнее время чрезвычайно возросло.

В настоящей работе рассматриваются задачи, относящиеся к проблемам движения двухкомпонентных смесей. Обобщение результатов для случая смесей из трех и более компонент принципиальных трудностей не вызывает.

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели смеси являются равенства [2]

P« = -Pi/ + <7W г = 1,2,

2 (0.4) сг(0 = ^ (2mjD(ltW) + Лijdiv it^l) , г = 1, 2, з=1 где pi - давление г-ой составляющей смеси, <jW - вязкая часть тензора напряжений г-ой компоненты смеси, D - тензор скоростей деформаций = | + I - единичный тензор, коэффициенты вязкости Aij и faj в общем случае могут зависеть от термодинамических переменных и, при этом, должно быть выполнено неравенство 2 V^ > 0, (0.5) г=1 вытекающее из второго закона термодинамики. В случае (0.4) уравнения (0.1)-(0.3) описывают смесь ньютоновских жидкостей. Все прочие модели называются неньютоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р^ и D (см., например, [6-9]).

Принимая гипотезу локального равновесия каждой составляющей смеси [1], мы можем ввести в рассмотрение температуру 9f = гой компоненты смеси и, наряду с внутренней энергией Ui: использовать и другие термодинамические функции для каждой компоненты: энтропию Si, энтальпию ц и т.д. Составляющие компоненты смеси представляют собой двухпараметрические среды [4] (термодинамические функции компоненты зависят только от двух термодинамических параметров состояния), т.е.

Ui = Ui{pi, 6У, р{ = pi(pi, 0,-), Si = Si(pi, 9i), i = 1, 2, (0.6) причем справедливы соотношения Гиббса [1]

9id Si — d Ui + pid , i = 1,2. (0.7)

Из равенств (0.7), с учетом предположений (0.6), следуют соотношения

В соответствии с обобщенным законом Фурье [1], зададим вектор теплового потока г-ой составляющей смеси г = 1,2, (0.9) где ki = ki(pi,Qi) - теплопроводность г-ой компоненты смеси.

Что касается выражений, определяющих интенсивность обмена импульсом и энергией Гг- между составляющими смеси, то их обычно считают пропорциональными разности скоростей и температур [1, 5]:

0 = (l)i+iaf#(2) ^W), а = const > 0, i = 1, 2, (0.10)

Ti = (-l)i+lb{92 - 0i) + - "^(2)|2, г = 1,2, 6 = const > 0. (0.11)

Zi

Таким образом, замкнутая модель для описания движения двухкомионентиых смесей жидкостей и газов может быть образована из уравнений (0.1)-(0.4), (0.6), (0.8)-(0.11), к которым нужно добавить выражения для ki, \j и fiij, i,j = 1, 2.

Описанная выше многоскоростная модель смеси является обобщением классической модели Навье-Стокса и, естественно, немногочисленные работы о корректности многомерных моделей смесей сжимаемых жидкостей и газов появились после определенного прогресса, достигнутого для уравнений Навье-Стокса.

Начало нелокальной теории двух- и трехмерных уравнений динамики вязкого газа было положено в работах [10-12], в которых была установлена слабая регулярность эффективного вязкого потока и доказана глобальная разрешимость основных краевых задач для уравнений Навье-Стокса сжимаемого баротропного газа для достаточно больших показателей адиабаты. Дальнейшее существенное продвижение в теории было проведено в работах [13-15], в которых показно, что слабая регулярность эффективного вязкого потока является следствием принципа компенсированной компактности и это позволило доказать разрешимость нестационарных краевых задач для показателя адиабаты из интервала В работе j 16] предложен подход к анализу уравнений

Навье-Стокса, позволивший доказать существование ренормализованных решений стационарных уравнений динамики вязкого газа для показателя двухатомных газов.

Нелокальные результаты для многомерных моделей смесей вязких сжимаемых жидкостей на сегодняшний день получены только для системы Стокса без конвективных членов, т.е. рассматривалась система уравнений вида адиабаты из интервала и тем самым охватить важный случаи

0.12) (0.13)

Одной из первых работ в этом направлении является работа [17], в которой доказана разрешимость задачи Коши в Ж3 для уравнений (0.12)-(0.13) в случае общей зависимости давления от плотностей составляющих смеси. В [18] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши в предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси, равны нулю. В [19] доказано существование слабого обобщенного решения первой краевой задачи для уравнений (0.12)-(0.13) в ограниченной области пространства R3 с уравнениями состояния pi = рг-, г = 1,2. В работе [20] рассматривалась краевая задача для квази-стационарной системы уравнений смеси divfalt®) = 0, г = 1,2, (0.14)

-divP{i) = i = 1,2, (0.15) но со специальными граничными условиями

-^(0 • it = 0, ~rt х rotlt^ = 0, г = 1,2, (0.16) оправданными только с математической точки зрения.

Модели, описывающие движения смесей вязких жидкостей с уравнениями состояния pi = pi(pi), г = 1, 2 в одномерном случае изучались в работах [21-26].

Данная работа посвящена вопросам разрешимости некоторых краевых задач для стационарных уравнений динамики смесей вязких сжимаемых жидкостей.

В первой главе проведен анализ глобальной разрешимости первой краевой задачи для стационарных уравнений (0.1)-(0.2) с уравнениями состояния pi = pj, i = 1,2, описывающих установившееся баротропиое движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых жидкостей в случае трех пространственных переменных. Опираясь и развивая подходы, ранее применявшиеся для уравнений Навье-Стокса вязких сжимаемых сред, доказывается теорема существования слабых обобщенных решений вышеупомянутой задачи для всех значений показателя адиабаты j из интервала (3,-|-оо).

Во второй главе исследуются стационарные уравнения вида (0.1)-(0.3), описывающие установившееся движение двухкомпонентных смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей в случае трех пространственных переменных и уравнений состояния pi{pi,0i) = pi9i + pb а = 1,2, (0.17)

7-1

Ui{Pi, 9i) = 9i + , г = 1, 2. (0.18)

7-1

Эти соотношения согласованны с (0.7), т.е. они удовлетворяют равенствам (0.8). Выражение для энтропии Si имеет следующий вид:

Si(pi, 0i) = In ^ + с,-, г = 1,2, (0.19) где Ci - постоянные. Заметим, чгго с учетом соотношений (0.17)-(0.18) уравнения (0.3) редуцируются к следующему виду: divert®) + div~t® = : Vlt®-dt (0.20)

-piQidiv^ + Г,вО, i = 1,2.

Доказывется теорема существования слабых обобщенных решений краевой задачи для стационарных уравнений (0.1), (0.2) и (0.20) с уравнениями состояния (0.17)-(0.18) при условии отсутствия эффектов, связанных с работой внутренних сил составляющих смеси. Модели, описывающие движения вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей с уравнениями состояния р(р,в) = ро(р)в +pi(p) рассматривались в работах [27-34].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих по три раздела каждая и списка литературы из 58 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое - номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Предпоследний раздел введения

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987.

2. Rajagopal К. R., Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing, 1995.

3. Haupt P. Continuum mechanics and theory of materials. Berlin: Springer-Verlag, 2002.

4. Седов JI.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970.

5. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.

6. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. I // Сибирский математический журнал. Т. 40, № 2, 1999, с. 408-420.

7. Мамонтов А.Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости. II // Сибирский математический журнал, Т. 40, № 3, 1999, с. 635-649.

8. Мамонтов А.Е. Оценки глобальной регулярности для многомерных уравнений сжимаемой неныотоновской жидкости // Математические заметки. Т. 68, выпуск 3, 2000, с. 360 376.

9. Мамонтов А.Е. Глобальная разрешимость многомерных уравнений сжимаемой неньютоновской жидкости, транспортное уравнение и пространства Орлича // Сибирские электронные математические известия. Т. 6, 2009, с. 120-165. http://semr.math.nsc.ru/v6ru.html

10. Lions P.-L. Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, 316, 1993, p. 1335-1340.

11. Lions P.-L. Compacticite des solutions des equations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, № 317, 1993, p. 115-120.

12. Lions P.-L. Bornes sur la deniste pour les de Navier-Stokes compressible isentropiques avec conditions aux limits de Dirichlet // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1, № 328, 1999, p. 659-662.

13. Feireisl E., Matusu-Necasova S., Petzeltova H., Straskraba /. On the motion of a viscous compressible fluid driven by a time-periodic external force // Arch. Rational Mech. Anal. 149, 1999, p. 69-96.

14. Feireisl E. On compactness of solutions to the compressible isentropic Navier-Stokes equations when the denisty is not square integrable // Comment. Math. Univ. Carolinae. 42, 2001, p. 83-98.

15. Feireisl E., Novotny A., Petzeltova H. On the existence of globally defined weak solutions to the Navier-Stokes equations // J. of Math. Fluid Mech. 3, 2001, p. 358-392.

16. Плотников П.И., Соколовски Ж. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса для двухатомных газов // Успехи математических наук. Т. 62, вып. 3 (375), 2007, с. 117-148.

17. Frehse J., Goj S.} Malek J. On a Stokes-like system for mixtures of fluids // SIAM J. Math. Anal. V. 36, № 4, 2005, p. 1259-1281.

18. Frehse J., Goj S., Malek J. A uniqueness result for a model for mixtures in the absence of external forces and interaction momentum // Appl. Math. V. 50, № 6, 2005, p. 527-541.

19. Goj S. Analysis for mixtures of fluids. Dissertation. Universitat Bonn. Math. Inst., 2005. http://www. bib.math.uni-bonn.de/pdf2/BMS-375.pdf.

20. Frehse J., Weigant W. On quasi-stationary models of mixtures of compressible fluids // Appl. Math. V. 53, № 4, 2008, p. 319-345.

21. Кажихов А.В., Петров A.H. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. Выпуск 35, 1978, с. 61-73.

22. Злотник А.А. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси // Математические заметки. Т. 58, №2, 1995, с. 307-312.

23. Папин А.А. Существование решения "в целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. I. Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 9, №2 (26), 2006, с. 116-136.

24. Папин А.А. Существование решения "в целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. II. Результаты о разрешимости // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 9, №3 (27), 2006, с. 111-123.

25. Папин А.А. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси. Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2007.

26. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. Барнаул: Издательство Алтайского государственного университета, 2009.

27. Racke R., Zheng S. Global existence and asymptotic behaviour in nonlinear thermoviscoelasticity // J. of Diff. Eqns. 134, 1997, p. 46-67.

28. Hsiao L., Luo T. Large-time behaviour of solutions to the equations of one-dimensional nonlinear thermoviscoelasticity // Quart. Appl. Math. 56, 1998, p. 201-219.

29. Shen W., Zheng S., Zhu P. Global existence and asymptotic behaviour of weak solutions to nonlinear thermoviscoelastic systems with clamped boundary conditions // Quart. Appl. Math. 57, 1999, p. 93-116.

30. Ducomet B. Global existence for a simplified model of nuclear fluid in one dimension // J. of Math. Fluid Mech. 2, 2000, p. 1-15.

31. Ducomet B. Global existence for a simplified model of nuclear fluid in one dimension: the T > 0 case // Appl. Math. 47, 2002, p. 45-75.

32. Ducomet В., Zlotnik A.A. Stabilization for equations of one-dimensional viscous compressible heat-conducting media with nonmonotone equation of state // J. of Diff. Eqns. 194, 2003, p. 51-81.

33. Mucha P., Рокоту M. On the steady compressible Navier-Stokes-Fourier system // Commun. in Math. Phys. V. 288, №1, 2007, p. 349-377.

34. Mucha P., Рокоту M. Weak solutions to equations of steady compressible heat conducting fluids. Necas Center for Mathematical Modeling. Preprint no. 2009-04, 2009. http: / / ncmm.karlin.mff.cuni.cz/preprints /098225413pr.pdf

35. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

37. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 1: Incompressible Models. New York: Oxford University Press, 1996.

38. Lions P.-L. Mathematical topics in fluid mechanics. V. 2: Compressible Models. New York: Oxford University Press, 1998.

39. Fcireisl E. Dynamics of Viscous Compressible Fluids. New York: Oxford University Press, 2004.

40. Боговский M.E. О решении некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad // Труды семинара C.JI. Соболева. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. Т. 1, 1980, с. 5-40.

41. Ладыотенская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

42. Ладыэюенская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

43. Солонников В.А. Об общих краевых задачах, эллиптических в смысле А. Дуглиса J1. Ниренберга, I // Изв. АН СССР. Т. 28, №3, 1964, с. 665-706.

44. Солоиников В. А. Об общих краевых задачах для систем эллиптических уравнений в смысле А. Дуглиса JL Ниренберга, II // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. XCII, 1966, с. 233297.

45. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

46. Agmon S., Doughs A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II // Comm. Pure Appl. Math. 17, 1964, p. 35-92.

47. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

48. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.

49. Никольский С.Л. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

50. Кучер Н.А., Проку дин Д. А. Об установившемся течении смеси вязких несжимаемых жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 4 (32), 2007, с. 13-18.

51. Прокудин Д.А., Трофимова О.С. Стационарное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 1 (37), 2009, с. 20-23.

52. Кучер Н.А., Прокудин Д.А. Стационарные решения уравнений смесей вязких сжимаемых теплопроводных жидкостей // Вестник Кемеровского государственного университета. Выпуск 1 (37), 2009, с. 9-19.

53. Кучер Н.А., Прокудин Д.А. Разрешимость уравнений баротропных течений смесей вязких сжимаемых жидкостей. Кемеровский гос. университет. Кемерово, 2009. Деп. в ВИНИТИ, № 339-В2009, 32 с.

54. Кучер Н.А., Прокудин Д.А. Корректность первой краевой задачи для уравнений смесей вязких сжимаемых жидкостей // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. Т. 9, вып. 3, 2009, с. 33-53.

55. Кучер Н.А., Прокудин Д.А. Стационарные решения уравнений смеси вязких сжимаемых жидкостей // Сибирский журнал индустриальной математики. Т. 12, №3 (39), 2009, с. 52-65.