Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

904609869

На правах рукописи -

Папин Александр Алексеевич

КОРРЕКТНОСТЬ НАЧАЛЬНО - КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 7 °КТ 2010

Красноярск 2010

004609869

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" (г. Барнаул).

Научный консультант -

Академик РАН,

профессор Монахов Валентин Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Андреев Виктор Константинович;

доктор физико-математических наук, профессор Кучер Николай Алексеевич;

доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Вадим Александрович.

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Защита диссертации состоится "<//- "№AlOr.B ifkа заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, ИКИТ СФУ, ауд. 115 (УЛК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

2010 г.

Автореферат разослан " I " V

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент л

К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность теоретического исследования моделей механики многофазных сред обусловлена их широким применением к решению важных практических задач: поведение зерновой и угольной пыли, газированной нефти, капель и аэрозолей; горение топлива; образование кокса, сажи и дыма; движение суспензий и пузырьков в жидкостях; движение жидкостей и газов в пористых средах; процессы растворения и осаждения. Систематическому рассмотрению динамики многофазных сред посвящены монографии Р. И. Нигматулина (1987), Э. Орана (Е. S. Oran) и Дж. Бориса (J. P. Boris) (1990), К. L. Rajagopal и L. Тао (1995), В. Н. Николаевского (1996). Система уравнений многофазного течения выводится из законов сохранения массы, импульса и энергии сплошной среды и, как праг вило, является недоопределенной. Для ее замыкания необходимо конкретизировать величины, описывающие внутрифазные и межфазные массовые, силовые и энергетические взаимодействия. Примерами такой конкретизации служат работы Н. Е. Жуковского, связанные с выводом уравнений фильтрации; JL Д. Ландау и Е. М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия; С. С. Кутателадзе, М. А. Стыриковича, М. Е. Дейча и Г. А. Филиппова по газожидкостным системам; Н. Н. Яненко, Р. И. Солоухина по сверхзвуковым двухфазным течениям; Я. И. Френкеля, В. Н. Николаевского по деформированию водонасыщенных грунтов; В. Н. Доровского по моделям континуальной теории фильтрации, не использующим закон Дар-си; С. К. Годунова по термодинамически согласованным моделям многофазных сред; К. Wilmanski по моделированию процессов сорбции в деформируемой пористой среде.

Во всех этих задачах имеются отличительные характеристики, которые делают невозможным единый подход к многофазному моделированию. Поэтому в настоящее время существует много различных моделей многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретической точки зрения, так и в отношении их использования для решения конкретных заг дач.

Одна из таких моделей - модель фильтрации двух жидкостей в пористой среде возникла, в первую очередь, в связи с применением метода вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды (газа) или специальных растворов. М. Маскет (М. Muskat, 1937) предложил обобщить закон Дарси на случай двух несмешивающихся жидкостей. В 1941 году М. Левереттом

(M. Leverett) было предложено учитывать скачок давлений на границе раздела жидкостей в виде некоторой функции капиллярного давления, зависящей от насыщенности порового пространства одной из жидкостей (формула Лапласа). Полученную математическую модель фильтрации многофазных жидкостей принято называть моделью Маскета -Леверетта. Интенсивные исследования задач фильтрации несмешивающихся жидкостей начались в 50-х годах и продолжаются до настоящего времени. Разработке физических основ и математическому моделированию процессов совместного движения жидкостей в пористой среде, а также исследованию математической корректности и разработке алгоритмов численного решения разнообразных задач двухфазной фильтрации посвящены работы С. Н. Ан-тонцева, Г. И. Баренблатта, К. С. Басниева, Э. А. Бондаренко, В. В. Ведерникова, В. Л. Данилова, В .М. Ентова, Ю. П. Желтова, А. Ф. Зазовского, А. Н. Коновалова, В. Н. Монахова, В. Н. Николаевского, С. А. Христиано-вича, И. А. Чарного, М. И. Швидлера и др.

Исследование вопросов корректности модели Маскета-Леверетта было начато в работах С. Н. Антонцева, В. Н. Монахова и А. Н. Коновалова. Следует отметить, что с помощью специального выбора искомых функций уравнения модели Маскета-Леверетта преобразуются к квазилинейной системе составного типа, включающей одно равномерно эллиптическое уравнение и одно вырождающееся параболическое. Предварительный анализ линейной модели был проведен А. Н. Коноваловым. Г. В. Алексеев и Н. В. Хуснутдинова рассмотрели одномерную задачу, которая приводится к одному вырождающемуся параболическому уравнению (теория глобальных слабых решений вырождающихся параболических уравнений построена в работах О. А. Олейник, А. С. Калашникова, С. Н. Кружкова, Е. С. Сабининой, Ю. А. Дубинского, А. В. Иванова, Н. W. Alt, Е. Di Benedetto, Z. Chen и др.). В работах С. Н. Антонцева, В. Н. Монахова было доказано существование обобщенного решения в трехмерном нестационарном и стационарном случаях, а также установлен обобщенный принцип максимума, позволивший априори классифицировать все задачи на вырождающиеся и регулярные. Позднее были изучены дифференциальные свойства обобщенного решения двумерной регулярной задачи. Исследованию двумерной регулярной задачи в случае однородного грунта также посвящены работы С. Н. Кружкова и С. М. Сукорянского, в которых доказаны теоремы существования и устойчивости классического решения, обоснован приближен-

ный метод решения плоской регулярной задачи и дана оценка его скорости сходимости.

Следует отметить, что если в двумерном регулярном случае результат ты о разрешимости основных краевых задач имели вполне завершенный характер, а именно, было показано, что дальнейшая гладкость нестационарных и стационарных решений определяется гладкостью коэффициентов системы и гладкостью границы и граничных условий, то в трехмерном регулярном случае аналогичная ситуация имела место лишь в "малом" по времени, либо при всех конечных t, но при условии малости некоторых функциональных параметров системы. Позднее, в работах С. Н. Антонцева и автора был предложен способ, позволивший исследовать дифференциальные свойства обобщенного решения трехмерной задачи без предположений о малости.

Модели тепловой многофазной фильтрации используются при исследовании процессов тепломассопереноса в промерзающих и протаивающих грунтах (В. И. Васильев, А. М. Максимов, Е. Е. Петров, Г. Г. Цыпкин), при оценке вклада снежного покрова в формирование стока на речном водосборе (Е. A. Anderson, JI. С. Кучмент, В. Н. Демидов, Ю. Г. Мотовилов), при распространении загрязнений в тающем снеге (A.C. Fowler). Особенностью этих моделей является обязательный учет фазовых переходов. Систематического исследования корректности задач тепловой многофазной фильтрат ции с учетом фазовых переходом еще не проводилось. Рассматриваемая в главе 3 настоящей диссертации задача тепломассопереноса в тающем снеге актуальна в связи с оценкой водного стока на водосборе, а также при оценке переноса загрязняющих веществ.

После работы JT. Д. Ландау и Е. М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия активизировались работы по созданию моделей, точнее учитывающих неоднородный характер состава реальных сред (в том числе - моделей фильтрации, не использующих эмпирический закон Дарси).

В диссертации рассматривается модель неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений (X. А. Рахматулин, Р. И. Нигматулин, В. Н. Николаевский), являющаяся обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении для таких моделей двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по срав-

нению с моделью Маскета-Леверетта или моделью вязкого газа. Это связано с существенным усложнением объекта исследования (модель усложняется, в частности, введением концентрации фазы, связывающей истинную и так называемую приведенную плотности). Однако имеется ряд моделей многофазных сред, для которых установлены результаты о разрешимости. Это модели многокомпонентной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, понятие концентрации фазы не используется). В работах А. В. Кажихова, А. Н. Петрова, Г. Г. Доронина, Н. А. Ларьки-на, А. Н. Крайко для этих моделей исследована разрешимость начально-краевых задач и задачи Коши. В работах О. В. Воинова, В. В. Пухначева и А. Г. Петровой получены результаты о локальной разрешимости для уравнений движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

Диссертация посвящена математическому исследованию проблемы разрешимости начально - краевых задач для систем уравнений движений двухфазных жидкостей (газов).

Методы исследования.

При выводе результатов работы используются идеи и методы теории функций, функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций достигается: использованием общих методов решения эволюционных краевых задач, изложенных, например, в монографиях О. А. Ладыженской, Ж. - Л. Лионса, С. Н. Антонцева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова; при доказательстве теорем существования основные усилия сосредоточены на получении априорных оценок, на основе которых с помощью известных теорем из анализа (метод последовательных приближений, принцип Банаха для сжимающих отображений или принцип Шаудера для вполне непрерывных операторов) либо методом Бубнова/-Галеркина показывается разрешимость задач; формулировка результатов работы в виде математических теорем, которые сопровождаются строгими доказательствами.

Цель работы. Математическое исследование проблемы о разрешимости начально - краевых задач для систем уравнений двухфазных смесей жидкостей (газов) в различных функциональных пространствах.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются ори-

гинальными как в теоретическом, так и в практическом аспектах. Впервые доказаны теоремы существования сильных и классических решений "в целом" по времени и входным данным для регулярных уравнений многомерной фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей (модель Маскета - Леверетта). Рассмотрены приближенные методы решения задач фильтрации и даны оценки скорости их сходимости. В рамках модели Маскета - Леверетта исследована автомодельная задача с фазовым переходом.

Впервые предпринято систематическое изучение уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений. Проведен анализ разрешимости начально - краевых задач и доказаны теоремы существования решений в различных функциональных пространствах.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:

— доказана глобальная разрешимость пространственной нестационарной регулярной задачи двухфазной изотермической фильтрации (модель Маскета - Леверетта) в классах СЛ. Соболева и Гельдера; рассмотрены приближенные методы решения нестационарной регулярной задачи изотермической двухфазной фильтрации и установлены оценки скорости их сходимости;

— доказана устойчивость и единственность решений пространственной нестационарной вырождающейся задачи двухфазной изотермической фильтрации; рассмотрен приближенный метод решения нестационарной вырождающейся задачи изотермической двухфазной фильтрации и дана оценка скорости его сходимости;

— доказано существование автомодельного решения задачи о движении консервативной примеси в тающем снеге; установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения возмущений;

— доказана локальная по времени однозначная разрешимость в классе сильных и классических решений задачи о нестационарном неизотермическом одномерном движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей; доказана разрешимость "в малом" по начальным данным задачи о нестационарном изотермическом одномерном движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей; рассмотрен пример о разрешимости "в целом";

— доказана разрешимость в классе обобщенных решений задачи о неста-

ционарном неизотермическом одномерном движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей;

- доказана локальная по времени теорема существования классического решения нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого идеального газа; в случае постоянной температуры среды доказана разрешимость в классе сильных решений "в целом";

- полученные в диссертации результаты носят теоретический характер, они могут служить обоснованием численных методов решения начально -краевых задач для уравнений движения двухфазных смесей.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были доложены

на:

- Всесоюзной школе-семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики (Кемерово, 1986; Барнаул, 1989);

- сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995);

- сибирской школе - семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред"(Новосибирск, 1997);

- сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98", (Новосибирск, 1998);

- Всероссийской конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002);

- Всероссийской конференции "Задачи со свободными границами; теория, эксперимент, приложения" (Бийск, 2005, 2008);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа (Новосибирск, 2007);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения академика С. Л. Соболева (Новосибирск, 2008);

- Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С. К. Годунова (Новосибирск, 2009);

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред", приуроченной к 70-летию академика В. А. Левина (Владивосток, 2009);

- региональных конференциях "Математика Алтайского края" (Барнаул, 1998 - 2010);

- семинаре Белгородского госуниверситета (Белгород, 2009) под руководством профессора А. М. Мейрманова;

- семинаре ИВМ СО РАН (Красноярск, 2010) под руководством профессора В. К. Андреева;

- семинаре ИГ СО РАН (Новосибирск, 20010) под руководством профессора В. В. Шелухина;

- семинаре Кемеровского госуниверситета (Кемерово, 2010) под руководством профессора Н. А. Кучера.

Публикации. Основные результаты диссертации получены автором и опубликованы в 22 работах. Из них 10 работ - в журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских диссертаций. В главу 2 вошли результаты, полученные в соавторстве с С. Н. Антонцевым. Из содержимого остальных совместных публикаций в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие автору.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на 23 параграфа, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы - 255 страниц, библиография - 304 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение диссертации.

В главе 1 приводятся некоторые известные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений, которые используются в процессе исследований.

Глава 2 посвящена исследованию корректности начально-краевых задач для трехмерных уравнений фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей (плотности р\ постоянны) при постоянной температуре в потоке и в отсутствие фазовых переходов (модель Маскетаг Леверетта).

В основе математической модели лежат уравнения сохранения массы каждой фазы

+ = i = 1,2, (1)

81+82 = 1, 0<S°i<Si<l-S°j<l, {ф j, (2)

и обобщенный закон Дарси

€& = -#„—(Sm + PÍ9), ¿ = 1,2. (3)

Hi

Здесь Pi, щ, Si - соответственно искомые давления, скорости фильтрат ции (связанные со скоростями щ движения частиц жидкостей формулой щ = mSjUj) и насыщенности в каждой фазе; Ш - пористость, Ко - тензор фильтрации, км - относительные фазовые проницаемости, Hi - коэффициенты динамической вязкости, s¿ - значения остаточных насыщенностей, при достижении которых движение фазы прекращается (&o¿(s¿) = 0)- Фазовые давления p¿ различаются на величину капиллярного скачка рс{х, si), являющегося убывающей функцией si

P2~Pi=Pc(x,si), (4)

OS 1

Известны различные постановки задачи о фильтрации двухфазной жидкости. Дугласом, Писменом и Рэкфордом в качестве искомых брались потенциалы Фг = Pi + pigh, (д = gV/i). Теми же авторами использовались переменные Р = (Фх+Ф2)/2 и R = (Ф1-Ф2)/2. В плоском случае А. Н. Коновалову принадлежит постановка задачи в переменных si и ■ф (ф - функция тока суммарного течения). Наиболее эффективным при качественном исследовании системы (1) - (4) оказалось использование С. Н. Антонце-вым и В. Н. Монаховым в качестве искомых функций насыщенности s и "приведенного" давления р:

s = (sl-s°l)А, А = (1 - в? - eg)"1, 5 6 [0,1], i

, [ дрс ко2 о ,

S

При такой замене система (1) - (4) сводится к следующей эквивалентной системе для s и р\ ds

ш— = div(K0aVs + KiVp + /0) = -divvi(s,p), (5)

div(KVp + f) = —divv = 0. (6)

Коэффициенты последней выражаются через функциональные параметры исходной системы, причем

—\ ^ г» dpck0ik02 IS TS 1 1 Î,I ; k0i

m — mX > 0, о = ---—, К = К0к, к = fc0i + к02, «ta = —•

О S гС fJiî

Тензор фильтрации Kq(x) предполагается симметричным и положительно определенным. Фазовые проницаемости к<ц неотрицательны и их сумма к положительна.Поэтому а(х, s) > 0 при s G (0,1) и а(х, 0) = а(х, 1) = 0, т.е. система (5), (6) состоит из равномерно эллиптического уравнения для р и вырождающегося при 5 = 0 и s = 1 параболического уравнения для s.

В качестве основной краевой задачи для исследования взята следующая физическая постановка: фильтрация неоднородной жидкости происходит в конечной многосвязной области П переменного х = (х1,Я2,хз), граница S которой состоит из нескольких достаточно гладких и несвязных компонент, а (0 ,Т) - произвольный конечный интервал изменения времени и Qt = Î2 х (0, Т), St = S х (0, Г). Уравнения (5), (6) дополняются граничными и начальными условиями:

р = ро(х, t), s = so(x, t), (x, t) € S2T, (7)

v -n = Q(x,t), vi -n = b(s)Q(x,t), (x,t) G Sit, (8)

s(x,0) = s0(x,0), xeiï. (9)

Здесь Si U S2 = S, b(s) = &01&-1, a n - внешняя нормаль к границе S. В том случае, когда S = S\, закон сохранения смеси в области П приводит к следующему необходимому условию

jp(x,t)dx = JQ(x,t)d-y = 0, te [0,Т]. (10)

n s

Отметим, что в задачах о вытеснении нефти водой, участок S границы Si соответствует эксплуатационным и нагнетательным скважинам с известным расходом смеси Q, а также участкам непротекания So С Si (т.е. в (8) следует считать, что Q = 0 на So). Участок S2 отвечает заданным границам с неоднородной неподвижной жидкостью (например, с воздухом на кровле нефтяного пласта или с грунтовыми водами на его подошве).

В случае, если 0 < в (ж, £) < 1 и, следовательно, а(ж,в) > 0, задача (5) - (10) называется регулярной. Если же в(х, £) может достигать знаг чений в = 0, в = 1, то задача называется вырождающейся (эти свойства обеспечиваются принципом максимума, установленным в ранних работах С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова).

Основным результатом главы 2 является доказательство существования сильного и классического решений и обоснование приближенных методов решения регулярной задачи. В случае вырождения для обобщенного решения установлена устойчивость по начальным данным, единственность и обоснован приближенный метод решения.

В п. 2.1 дается постановка основной краевой задачи фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и формулируются используемые в дальнейшем известные результаты для регулярных и вырождаг ющихся задач фильтрации, установленные в работах С. Н. Антонцева и

B. Н. Монахова, С. Н. Кружкова и С. М. Сукорянского, а также формулируются основные результаты главы. Теорема 2.1.1 содержит результат

C. Н. Антонцева и В. Н. Монахова о существовании обобщенных решений пространственной задачи фильтрации.

В п. 2.2 изучается сформулированная в п. 2.1 задача при заданном распределении насыщенности. Теоремы 2.2.1 и 2.2.2 содержат результаты С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова о диффреренциальных свойствах "приведенного" давления р(х, ¿) и, в частности, свойство гельдеровской непрерывности р по пространственным переменным. Используя непрерывность р, устанавливается справедливость ряда лемм подготовительного характера. Полученные здесь априорные оценки для "приведенного" давления используются в дальнейшем при рассмотрении совместной задачи.

В пункте 2.3 доказано существование сильного решения "в целом" (теорема 2.1.2), что является обобщением соответствующего результата работы С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова, в которой аналогичное решение получено "в малом". Следует также отметить, что предлагаемый способ получения сильного решения, в отличии от работы С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова, не использует непрерывность насыщенности.

В п. 2.4 доказывается теорема существования классического решения пространственной регулярной задачи фильтрации и исследуется его дальнейшая гладкость (теоремы 2.1.3, 2.1.4). Основой доказательства этой теоремы является получение оценки постоянной Гельдера насыщенности "в це-

лом" по времени. В двумерном случае эта оценка, ввиду свойств "приведенного" давления, следует из известных результатов для квазилинейных пат раболических уравнений (см. например, монографию О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой). В трехмерном же случае непосредственно воспользоваться указанными результатами уже не представляется возможным, ввиду сильной нелинейной связи уравнений. Поэтому предлаг гается иной способ получения оценки ||з||с«(дг), основанный на использовании непрерывности р и совместном рассмотрении уравнений для ей р. Указанный способ позволяет получить оценку |И|са(<эг) ПРИ любом числе пространственных переменных, а также для эллиптико-параболических систем более общего вида.

В п. 2.5 доказана теорема существования слабого решения линейной задачи фильтрации (теорема 2.1.5) и показано, что дальнейшая его гладкость определяется лишь гладкостью коэффициентов системы, а также гладкостью границы и граничных условий (теоремы 2.1.6, 2.1.7). На основе этой теоремы рассмотрены два приближенных метода решения пространственных регулярных задач и оценена их скорость сходимости. В каждом из методов на промежуточном шаге решается линейная дифференциальная задача, которая может быть аппроксимирована разностной. Для решений разностных схем также установлены оценки скорости их сходимости к решению исходных нелинейных уравнений (теорема 2.1.8).

В п. 2.6 изучается "слабо" вырождающаяся задача, а именно рассматривается случай, когда априори известно, что коэффициент а(х, в) в параболическом уравнении (5) в начальный момент времени суммируем с некоторой отрицательной степенью —д. Тогда оказывается, что при определенных условиях на коэффициенты вырождающегося параболического уравнения при всех конечных t > 0 функция [а(х, ¿)]-1 принадлежит (теорема

2.1.9). На основе этой оценки доказываются теоремы об устойчивости по начальным данным и единственность обобщенных решений (теорема 2.1.10), а также устанавливается оценка скорости сходимости решений £ - регу-ляризованной задачи к обобщенному решению исходной (теорема 2.1.11). Рассмотрен приближенный метод решения вырождающейся задачи и оценена его скорость сходимости (теорема 2.1.12). При получении этих результатов используются полученные автором глобальные априорные оценки старших производных решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений.

В третьей главе на основе модели Маскета-Леверетта рассматривается задача о распространении загрязнений в тающем снеге. Снег рассматриваг ется как пористая среда, твердый каркас которой составляют неподвижные частички льда. В процессе таяния в пористой среде происходит совместное движение воды и воздуха, т.е. снег является трехфазной средой, состоящей из воды (г = 1), воздуха (i — 2) и льда (г = 3). Доказана теорема существования автомодельного решения типа простой волны (теорема 3.1.1.). Устаг новлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения возмущений. Важность подобных исследований отмечал профессор В. И. Юдович в работе "Одиннадцать великих проблем математической гидродинамики" - проблема G1: построить математические модели сплошных сред, включающие фазовые переходы (кипящая вода, сегнетоэлектри-ки, которые могут превращаться в диэлектрики, жидкие кристаллы).

В п. 3.1 дается постановка задачи о движении воды и воздуха в тающем снеге. В основу математической модели положены уравнения сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых переходов

«9 3 3

+ div(piUi) = Iji, г = 1,2,3, Iji = -Iijt ]Г] 7ц = О,

j=1 ij=1 уравнения двухфазной фильтрации Маскета-Леверетта для воды и воздуха

к ■ А

щ = -К0—(Vpi + pjg), г = 1,2, р2 - pi = pc(si,0), 2_,Sj = l, & ¿=i

и уравнение теплового баланса снега (в пренебрежении сублимацией и обменом массами между водой и воздухом):

(I+ = dw{ AcV0) +«/

i= 1 ¿=1

Здесь Iji - интенсивность перехода массы из j-й в г-ю составляющую в единице объема в единицу времени; pi — (ац = msi, «г = ms2 <*з = 1 — m); т - пористость снега; si, - насыщенности воды и воздуха; в -температура среды (0г- = в, г = 1,2,3); с* = const > 0 - теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме; v = const > 0 - удельная теплота плавления льда; Ас - теплопроводность снега.

Эта система дополняется гипотезами йз = О (частицы льда неподвижны, структура льда как сплошной среды не уточняется), Дг = 0, /2з = О,

hi = hi(0),P°i=P°i(0),i = 1-2,3.

После определения s*, в, р^ и щ можно рассмотреть задачу о движении консервативной примеси, обусловленном переносом водной фазой и диффузией. Этот процесс описывается уравнением конвективной диффузии:

Q

S + —(mSiff) + div(avi - DW) = 0.

Ci

Здесь a - концентрация примеси, щ - скорость фильтрации воды, S - источник, учитывающий возможное отложение (поступление) примеси. Для D и 5 используются следующие зависимости: D = т?+Ao|£i|, V = const > 0 - коэффициент молекулярной диффузии, Ао = const > 0 - параметр дисперсии; S = -rsi(<7* — сг), Г = const > 0, сг* = const € [0,1].

В п. 3.2 изучается сформулированная в пункте 3.1 задача в автомодельной постановке. Для скоростей фильтрации воды и воздуха получены конечные формулы, для температуры и давлений - представления. Насыщенность воды находится из решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с вырождением на решении. Особенностью исходной постановки задачи является необходимость обоснования для насыщенности воды еще и условия на бесконечности (si(—оо) = 0). Для преодоления этих трудностей используется метод е - регуляризации и устанавливается свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Сначала рассматривается вспомогательная задача. При каждом е > 0 локальная разрешимость задачи Коши следует из теоремы Пи-кара. В силу доказанного в лемме 3.2.2 физического принципа максимума для насыщенности локальное решение может быть продолжено на любой конечный интервал. Кроме того, имея равномерные по е оценки, на основе теоремы Арцела можно осуществить предельный переход при е —> 0. Затем свойства решения задачи для насыщенности уточняются для такого интервала, на котором структура правой части уравнения для насыщенности позволяет установить свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Последнее позволяет получить результат теоремы 3.1.1.

В п. 3.3 доказано существование автомодельного решения задачи о движении динамически нейтральной примеси в тающем снеге. Установлен физический принцип максимума для концентрации (теорема 3.1.2.).

В четвертой главе для одномерной начально-краевой задачи о движении двухфазной теплопроводной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказывается существование и единственность сильного и классического решений "в малом" по времени. В случае постоянной температуры среды устанавливается разрешимость "в малом" по начальным данным и рассматривается пример разрешимости "в целом".

В п. 4.1 даются постановки задач и формулируются основные результат ты, а также излагается схема доказательства утверждений.

Модель одномерного неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых фаз в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений имеет вид

+ А^ад) = о, г = 1,2, (11)

0 fdvi дуЛ д ( dvi\ 9ft , „ . .

PiSi (ж+* в* J" & rj = ++PiSi°> (12)

Si+S2 = l, <P1=K(V2-V1), tp2 = -<pi, P2-Pl=Pc(si,6), (13)

Л о м двч а, ав.

<14>

г=1

Здесь (x, t) - эйлеровы координаты, x G fi = {ж | 0 < x < 1}, t€l = {t\0<t<T = const > 0}; v,-, Sj, p* - соответственно скорость, объемная концентрация и давление г-й фазы; в - абсолютная температура среды (0i = в2 = в); g - внешняя сила; постоянные р1- > 0, /ц > 0, Ci > 0 - соответственно истинная плотность, коэффициент динамической вязкости и теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме; коэффициент взаимодействия фаз K(s{), коэффициент теплопроводности смеси x(si) и разность давлений pc(si,d) - заданные функции. Искомыми являются ФУНКЦИИ (Sj (Х, t), Vi (х, t), pi (ж, t), в(х, t)).

Следует отметить, что аналогичная система уравнений возникает при моделировании совместного движения несмешивающихся жидкостей в пористой среде и, следовательно, является обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. При использовании системы (11) - (14) для описания процесса фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в недеформируемой пористой

среде нужно предполагать, что насыщенная двухфазной жидкостью пористая среда является трехфазной системой, состоящей из пористой недефор-мируемой матрицы, объемная концентрация которой равна вз = 1 — т (т, - пористость, г^з = 0) и двух взаимопроникающих жидкостей с объемными концентрациями ^ = Мв и з2 = Ш(1 — э), где 5 - фазовая насыщенность первой жидкостью порового пространства ( s^ = 1)-

Для системы (11) - (14) рассматриваются следующие начальные условия

г>«(М)|г=0= вх(®, ¿)|4=0= Л«).

в(х,Щг=0=в°(х), х 6 [0,1]. На границах х = 0, х = 1 заданы тепловой режим и скорости

(16)

«и=о, ФЛ^О, г е [о,т].

Дополнительное условие для однозначного определения р\ (х, ¿) берется в виде

1

Jp1(x,t)dx = 0. (17)

о

Относительно функций в°(а;), в°(х) предполагается выполнение неравенств следующего вида:

0 < то < в°(х) < М0 < 1,

, П (18)

0 < к^1 < в°{х) < ^ < оо

для всех х 6 [0,1] и при фиксированных постоянных то, А/о, к\.

При исследовании (11) - (17) большую роль играет вспомогательная задача, которая строится следующим образом. Поделив уравнения неразрывности на постоянные р? и сложив полученные равенства, приходим к соотношению й^х, £) + Ь)ь2(х, £) = 0. Исключая в уравнениях (12) производные давлений, получим

А ф + «*£) - ^ - *(«* - ъ) - р\9 =

= Р8 + - - 5(«1 - Ъ) - Р°2д + ^.

Складывая уравнения (12) и используя (И), выводим

dpi А, д dvi 0 2 д . о 4,01 dpc{sue) ¿=l

Поэтому в качестве искомых можно взять, например, функции Si, t>i, pi, в, удовлетворяющие уравнению (11) при i — 1 и уравнениям (14), (19), (20). Учитывая вид уравнения (19) и условия (15), вместо v\ удобно ввести функцию u(x,t) = 0iVi(x,t) - foV2(x,t), Pi = m/ii, i = 1,2, ¡1 = Hi + Ц2-Тогда

vi(x,t) - -—v2(x,t) = u(x,t),

M5) op(s)

s(x,t) = si(x,t), s2(x,t) = 1 - s(x,t), aM(s) = /?i(l - s) + /32s.

Подставляя v\ и г^ в уравнения (11), (14), (19), (20) и в условия (15),(16), приходим к следующей задаче для функций s(x, t), и(х, t), Pi(x, t), Q{x, t) :

ds д , , . . . . s(l — s)

- + -(a(s)u) = 0, = (21)

f - ++= = -<*(*)«£ + - - (22)

-(P? - P8)!(«tou) + A,We - (1 - s)^1-

, ,80 , . <90 <9 . , Xo(s)g-t+coa{s)u- = -(X(s)-), (24)

u(x,t)L=0= u(z,t)L=1= 0, «|x=1= 0,

(23)

Pi(x,t)dx = 0, t G [0,T],

{=0= A*) = - 02i#(aO, s|t=0= 0|t=o=0°(x), я 6 [0,1]. 18

(25)

Здесь использованы следующие обозначения:

V = ß/p\ Pü = pUpI »I = vßiß2, b0(s) =

ap\s)

p9

ap(s) = oti{l - s) + a2s, a¿ = ß, i = 1,2;

. Q!i(l — s)2 — ai2s2 ,, v dai 01(S) =-?-'

Z4

a2(s) = b0(s)a1(s)+a(s)^|,

a3(s) = + a'(s)^|, cfo = («i - a2)ff,

Xo(s) = ci/0?s -f c2/?2(l ~ s), co = cip\ - c2p02.

Следует отметить, что при s 6 [0,1] все эти функции являются ограниченными.

Основная трудность при доказательстве разрешимости задачи (21) -(25) связана с сильной нелинейностью уравнений (21), (22). Поэтому возникает необходимость привлечения дополнительного уравнения для производной Для получения дополнительного уравнения производные выразим из уравнений (11) и подставим в уравнения (12). Получим (= p¿s¿)

д д д

— (SÍRÍ) + — {SÍVíRÍ) = Si~ 4- 4>i + Pi9, (26)

где

г> О , № • 1 п

Ri = PíVí + —г = 1,2. Введем функцию R(x,t), положив

t) = Дг (х, Í) - Щх, t) = + b(s)u, b(s) = р°Х

a(s) ох dp

Исключая в (26) давления pi и р2, приходим к следующему уравнению для R(x,t):

f + U(s, u)fx = -±a"(s)a(s)uR (R - fc(a)ti) - ^и-

-í^« (i + ^^«(й - + Ао +

Здесь II(з, и) = а'(з)и, а"(в) = -2^, 6 = {л2р° - Ц\р\. Кроме того

+ <28>

Система уравнений (21) - (24) является системой составного типа, состоящей из гиперболического уравнения для в(х, Ь) и параболических уравнений для и(х,Ь) и в(х, £). После нахождения функций з,и,в давление р\ определяется из равенства (23).

Данная система близка по структуре системе уравнений вязкого газа в случае зависимости вязкости от плотности, но в большей степени нелинейна из-за наличия квадрата производной концентрации в уравнении для и и а (в) - в уравнении неразрывности. Другое отличие, усложняющее исследование задачи, состоит в знаконеопределенности давлений р\ и р2 (или р

- в схеме с общим давлением).

Выводу вспомогательной системы (21) - (24) и уравнения для производной насыщенности (27) посвящен п. 4.2.

В п. 4.3 излагается доказательство локальной теоремы существования сильного классического решений вспомогательной задачи. Доказательство использует метод Галеркина и проводится в таких классах, в которых возможен переход к исходной задаче. В итоге приходим к результату теоремы 4.1.1. о локальной по времени разрешимости задачи (11) - (17) в классе сильных и классических решений.

В п. 4.4 содержится доказательство теоремы единственности обобщенного решения. Доказательство опирается на вспомогательную задачу (21)

- (25), (27), (28).

В п. 4.5 рассматривается изотермическое движение смеси двух вязких несжимаемых жидкостей с общим давлением (схема X. А. Рахматулина), которое описывается системой (11) - (17) при условиях: рс(в\,в) = О, Р\ = Р2 — Р- Начальные и граничные условия для в*, г>, имеют вид (15), (16). Для этой задачи доказывается существование решения "в целом" по времени, но при малых начальных данных (теорема 4.1.2). В основе доказательства теоремы 4.1.2. лежат априорные оценки, независящие от промежутка существования локального решения. При этом наиболее важным этапом является доказательство того факта, что норма |\и{х, Ь) ||с(с?т) мала, если малы соответствующие начальные данные.

В п. 4.6 для системы (11) - (13) при условиях

Pi = Р2 = Р, Рс = 0, в = const, д = 0,К = const > О,

Hi = а, а = const > 0, ^ = const > О

рассматривается автомодельное решение типа бегущей волны, т.е. предполагается, что Si = Sj(^), Vi = Vi(^),p = p(£), £ = x-ct, с = const, £ e (0, oo), причем (¿ = 1,2)

На основе теоремы Шаудера доказана глобальная классическая разрешимость начально-краевой задачи изотермического движения двухфазной смеси в автомодельной постановке (теорема 4.1.3).

В пятой главе рассматривается параболическая регуляризация задачи одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых теплопроводных жидкостей. На основе равномерных по параметру регуляризации оценок устанавливается существование обобщенного решения на любом конечном интервале времени. Исследования в этой главе в основном следуют идеям главы 4, однако получение равномерных по параметру регуляризации оценок является принципиальным отличием от исследований, проведенных в главе 4.

В пункте 5.1 дается постановка задачи и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 5.1.1. содержит результат о существовании обобщенного решения на любом конечном интервале времени. Доказательство этой теоремы опирается на вспомогательную е - регуляризованную задачу (аналог задачи (21) - (25)):

i*(0) = vl ei(0) = s°, lim = u+, lim si(0 = s+.

(29)

¥ - vUb0{s')%) + n^fofffl' + =

= + +

-Ъ'^Жf - + b0(s')90 +

du'

at

(30)

ш=zun^n - mw+фшу

-ш*) - ш+ш - (1 ■-

+ «í§) = éwof), « = (32)

г=1

1

f|Sr=0, f|5r=0, Jp\(x,t)dx = 0, (33)

|t=0= u°(x), sE |í=0= s°(x), ве |t=0= в°(х).

Здесь £ > 0 - фиксированное число.

В пункте 5.2 кратко излагается доказательство локальной теоремы 5.1.2 существования сильного и классического решений задачи (29) - (33).

В пункте 5.3 содержится подробный вывод первого энергетического неравенства для решений вспомогательной задачи, а также оценки сверху и снизу для концентрации и температуры, не зависящие от параметра регуляризации е и величины [0, ¿о] •

В пункте 5.4 осуществляется процедура доказательства оценок для старших производных, входящих в систему уравнений вспомогательной задачи. При этом наиболее важным этапом является вывод равномерных по г и Ц оценок для вторых производных функции fí\v{(x,t) — ii2V2(x,t). На основе этих оценок локальное решение вспомогательной задачи продолжается на любой конечный интервал времени [0,Т].

В пункте 5.5 излагаются результаты о компактности решений вспомогательной задачи. При этом важным этапом является лемма 5.5.1., в которой установлена равномерная сходимость последовательностей se, и6,9е и сильная сходимость в L2 некоторых производных.

В приложении для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ - твердые частицы) в случае непостоянной истинной плотности газа (/9° = р\{р2,9)) доказана локальная разрешимость начально - краевой задачи (теорема 1). В случае постоянства истинных плотностей фаз установлена разрешимость "в целом" по времени (теорема 2).

Заключение содержит краткий перечень основных результатов, полученных в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для нестационарной регулярной пространственной задачи двухфазной изотермической фильтрации (модель Маскета-Леверетта) доказаны теоремы существования решений "в целом" в пространствах С.Л. Соболева и Гельдера; рассмотрены приближенные методы решения нестационарной регулярной задачи изотермической двухфазной фильтрации и установлены оценки скорости их сходимости.

2. Изучены дифференциальные свойства обобщенного решения нестационарной изотермической вырождающейся задачи двухфазной фильтрации, сформулированы условия устойчивости и единственности обобщенного решения; предложен приближенный метод решения и дана оценка его скорости сходимости.

3. Введено понятие обобщенного решения и доказана теорема его существования в автомодельной задаче о движении консервативной примеси в тающем снеге. Установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения возмущений.

4. Впервые проведено систематическое исследование начально - краевых задач для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей. Доказана локальная по времени разрешимость в классе сильных и классических решений. Сформулированы условия единственности обобщенного решения. В случае постоянной температуры среды установлена разрешимость "в малом" по начальным данным в классе сильных решений. Рассмотрен пример о классической разрешимости "в целом".

5. На основе параболической регуляризации для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказано существование обобщенного решения на любом конечном интервале времени.

6. Для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа доказана теорема существования классического решения "в малом" по времени. В случае постоянной температуре среды установлена разрешимость "в целом" в классе сильных решений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ (публикации в журналах из списка ВАК)

1. Антонцев С.Н., Папин А.А. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации // Докл. АН СССР- 1979.-Т. 247, № 3.-С. 521-524.

2. Папин А.А., Мажирин А.П. Пример точного решения задачи о распределении ионизованной примеси в приповерхностной области полупроводника // ПМТФ. - 1998. - Т. 39, № 4. - С. 17-24.

3. Папин А.А. Существование решения "в целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 1.Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сиб.журн.индустр.математики. -2006. - Т. 9, № 2 (26).- С. 116-136.

4. Папин А.А. Существование решения "в целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 2.Результаты о разрешимости // Сиб.журн.индустр.математики. - 2006. - Т. 9, № 3 (27).-С. 111-123.

5. Папин А.А. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в таг ющем снеге// ПМТФ. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 13-23.

6. Папин А.А. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтрации // Сиб. журн. индустр. математики.- 2009. - Т. 12, № 1 (37)- С. 114-126.

7. Папин А.А. Разрешимость краевой задачи фильтрации двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей в пористой среде // Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика- 2009-Т.9, Вып.2 - С. 80-87.

8. Papin А.А., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. - 2010. - Vol. 87, № 2. - P. 230-243.

9. Papin A.A. On the uniqueness of the solutions of an initial boundary-value problem for the system of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes - 2010.- Vol. 87, № 4. -P. 594-598.

10. Папин A.A., Токарева М.А. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе // Известия АлтГУ. - 2010.

- Вып. 1 (65).- С. 35-37.

Прочие публикации

11. Антонцев С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения регулярных и вырождающихся задач двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. - Новосибирск. - 1982, Вып. 54. - С. 15-48.

12. Галкина Е.Г., Папин A.A. Автомодельное решение уравнений фильтрации двух жидкостей с учетом зависимости их вязкостей от градиентов скорости // Сб. научн. трудов "Математические модели фильтрации и их приложения". Изд-во СО РАН, -Новосибирск. - 1999. -С. 71-77.

13. Папин А. А . Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. - Новосибирск. - 1999, Вып. 114.

- С. 64 -70.

14. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. - Новосибирск. -2000, Вып. 116. - С. 73 -81.

15. Папин A.A., Аносова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения // Известия АлтГУ. - 2002. - Спец. выпуск - С. 40-46.

16. Папин A.A. Автомодельное решение задачи солепереноса в тающем снеге // Известия АлтГУ. - 2006. - Вып. 1 (49).- С. 39-47.

17. Папин A.A. Разрешимость "в целом" уравнений одномерного движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. - 2007. - Вып. 1 (53).-С. 34-38.

18. Папин A.A. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси. - Барнаул: изд-во АлтГУ, 2007. - 126 с.

19. Papin A. A. Existence of a solution "in the large" to the equations of one-dimensional nonisothermic motion of a two-phase mixture. 1. Statement of the problem and auxiliary assertions // Journal of Applied and Industrial Mathematics. - 2008. - Vol. 2, № 2.- P. 231 - 251.

20. Papin A.A. Existence of a solution "in the large" to the equations of one-dimensional nonisothermic motion of a two-phase mixture. 2. Statement of the problem and auxiliary assertions // Journal of Applied and Industrial Mathematics. - 2008. - Vol. 2, № 3.- P. 301 - 321.

21. Папин A.A. Локальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений одномерного неизотермического движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. - 2008. - Вып. 1 (57).- С. 29-34.

22. Папин А.А. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации (монография). - Барнаул: изд-во АлтГУ, 2009. -220 с.

Подписано в печать 7.09.2010. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.п.л. 1,63. Тираж 120 экз. Заказ 2010 - 433

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 36-84-61

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Функциональные пространства.

1.2 Специальные неравенства и теоремы вложения.

2 Глобальная разрешимость пространственных регулярных задач изотермической двухфазной фильтрации, обоснование приближенных методов решения регулярных и вырождающихся задач

2.1 Постановка задачи и основные результаты.

2.2 Свойства "приведенного" давления.

2.3 Оценка решений регулярной задачи в И^'ЧФт)

2.4 Классическая разрешимость пространственных регулярных задач.

2.5 Приближенные методы решения регулярных задач двухфазной фильтрации.

2.6 Вырождающаяся задача. Устойчивость, единственность, обоснование приближенного метода.

3 Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге

3.1 Постановка задачи и основные результаты.

3.2 Автомодельное решение задачи тепломассопереноса в тающем снеге.

3.3 Перенос динамически нейтральной примеси.

4 Разрешимость "в малом" краевых задач для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых жидкостей

4.1 Постановка задачи и основные результаты.

4.2 Вспомогательные уравнения

4.3 Разрешимость "в малом" по времени

4.4 Доказательство теоремы единственности.

4.5 Разрешимость "в малом" по начальным данным.

4.6 Пример глобальной разрешимости.

5 Существование решения "в целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси

5.1 Постановка задачи и основные результаты.

5.2 Локальная разрешимость вспомогательной задачи.

5.3 Априорные оценки первых производных решений вспомогательной задачи. Оценки сверху и снизу для концентрации и температуры.

5.4 Априорные оценки старших производных решений вспомогательной задачи. Разрешимость "в целом ".

5.5 Компактность решений вспомогательной задачи.

5.6 Предельный переход.

Уравнения механики сплошной среды привлекают внимание многообразием постановок задач, сложностью их решения, а также разнообразием методов исследования. В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности. Многофазные течения существенны для широкого круга задач: поведение зерновой и угольной пыли, газированной нефти, капель и аэрозолей; горение топлива; образование кокса, сажи и дыма; движение суспензий и пузырьков в жидкостях; движение жидкостей и газов в пористых средах; процессы растворения и осаждения [152], [153], [64], [159], [47], [32], [244], [253], [255], [256], [259], [260], [261], [265], [272], [273], [279], [293], [295], [300]-[304]. Во всех этих задачах имеются отличительные характеристики, которые делают невозможным единый подход к многофазному моделированию. Поэтому в настоящее время существует много различных моделей многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретической точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач.

Рассмотрим основные моменты построения замкнутой системы уравнений взаимопроникающего движения жидкостей.

1. Уравнения механики сплошных гетерогенных сред

Описание методами механики сплошной среды различного рода смесей, как гомогенных (однородных), так и гетерогенных, связано с введением понятия многоскоростного континуума и определением взаимопроникающего движения составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой точке объема можно ввести приведенную плотность рг (масса ьй составляющей в единице объема среды), скорость щ, температуру Т* (г = 1,., ЛГ) и другие кинематические и динамические параметры, относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будут определены N плотностей рг, N скоростей щ и т.д.

Феноменологический подход к описанию многофазных систем связан с представлением средних величин щ, 2$ и др.) как непрерывно распределенных в занимаемом объеме V (ограниченная область трехмерного евклидова пространства Л3), ограниченном поверхностью в с единичной внешней нормалью п. Тогда законы сохранения массы, импульса и энергии можно записать в виде [152], [288]:

Г Г м дрЧУ дь „ „ v 5 v лад ■ п)^ + I а+ I + I Е v 5 зу v i ¿v = - i рге{(уг • п)сг5 + j с; • пс^ + ^ • п)сги+

V 5 в v / I] ПС/5.

Здесь ¿ - время, характеризует интенсивность перехода массы из ^й в ью составляющую (или наоборот, из 1-й в ]-ю, тогда < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращениях (формально полагая Зц = 0) имеем = —Зц. Аналогично Р^ и Е^ - соответственно интенсивность обмена импульсом и энергией между 1-й и ^й составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Рзг = Е^ — —Е^ (Рц — 0 и Ец ~ 0).

В уравнениях сохранения импульса <т" - вектор поверхностных сил, определяемый тензором di (erf = Oi(n)), gi ~ вектор внешних сил. В уравнениях сохранения энергии используются обозначения: Е{ = иг + 1/2| щ |2, щ -удельные внутренние энергии составляющих смеси, • п - характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае ci • п — сг? • щ), дивектор потока тепла через поверхность S.

В области непрерывного движения от этой системы интегральных уравнений после применения формулы Гаусса-Остроградского переходим к дифференциальным уравнениям неразрывности, импульса, энергии для каждой составляющей: г = 1,.,А0 (1) з=1 + = V4 + Pi9i + Е Pji, (2) з=i г) F N

Щр + = V • (сг - Й + + (3)

J=1

Здесь Vfc = а: = (ж1,.Т2,жз) декартова система координат в R3, V = ЫЬ вк) ~ оператор градиента, $ • V = ^Vfc = ELi ^V • Vj = XwL111 по повторяющемуся индексу используется "немое" суммирование.

В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси (Vi + Vi + . -f Удг = V). В связи с этим возникает необходимость введения концентраций 5г- > 0, (г = 1,., JV), характеризующих доли объема смеси, занимаемые каждой фазой (si + s^ + . + sn = 1), и, таким образом, помимо приведенных плотностей Pi определяются истинные плотности веществ фаз р® = Pi/si (масса i-й фазы в единице объема i-й фазы).

Используя уравнения неразрывности (1) и обозначение ^ = -щ + щ • V, уравнения (2) и (3) можно представить в виде [152], [234]: - n

Рг-~ = Wf + + Y^iPji - JjiVi), (4) j=i diE■ N pi~~w = v' ~ ®+' ^+Ю-^* ~ JßEi)- (5)

J'=1

Система уравнений (1), (4), (5) является недоопределенной. Для ее замыкания необходимо конкретизировать величины, описывающие внутрифаз-ные (силовое аг, энергетическое сг и дг) и межфазные (массовое Jß, силовое Pß, энергетическое Е]г) взаимодействия.

Примерами такой конкретизации служат работы Н.Е. Жуковского [75], связанные с выводом уравнений фильтрации ; Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица [136] по гидродинамике жидкого гелия; С.С. Кутателадзе, М.А. Стырикови-ча [129], М.Е. Дейча и Г.А. Филиппова [64] по газох<идкостным системам; H.H. Яненко, Р.И. Солоухина [234] по сверхзвуковым двухфазным течениям; Я.И. Френкеля, В.Н. Николаевского [154] по деформированию водона-сыщенных грунтов; В.Н. Доровского [66] - [70] по моделям континуальной теории фильтрации, не использующим закон Дарси; С.К. Годунова [57] -[60] по термодинамически согласованным моделям многофазных сред; К. Wilmanski [300] - [304] по моделированию процессов сорбции в деформируемой пористой среде. Обширная библиография имеется в работах [152], [153], [290], [159].

Так как цель данной работы - изучение взаимопроникающего движения жидкостей, то вопросы замыкания системы (1), (4), (5) рассматриваются для течений двух вязких жидкостей.

Следуя [152, с. 28], положим

Pji = —Pij = Rß + JßVß, (6) где Rß - межфазная сила, J3lVß - обмен импульсом из-за фазовых превращений, Vß - скорость вещества i-й фазы на границе с j-й (для гетерогенных смесей вязких жидкостей Vß = щ [152, с. 28] и, следовательно, Rß = ~R%j).

Для тензора напряжений <т?- и вектора fíj¿ используется схема X. А. Рахма-тулина силового взаимодействия и совместного деформирования фаз ([193], [194]). В этой схеме тензор a i представляется в симметричном виде [152, с. 31]: о? = -siVi5kl + rf, slPi = -iaf, тгы = rf, rf = 0. (7)

В широком классе задач используется схема с общим давлением фаз: pi(p5,7i) = р2(р%Т2) = . = Pn(p%,Tn) = р, а для вязких компонент rf тензора напряжений и суммарной силы межфазного взаимодействия принимаются зависимости [213], [152, с. 31]:

Tkl — С.Г ?// jnmskl , о. Л1\ Jtl — 1 (®Vi , ®Vi ч , ч

ЛГ iV

Fái = ~Fih (9) где <JAi

- символ Кронекера, ¡ii - коэффициент вязкости, pVs¿ - сила, возникающая из-за "расширения трубки тока фазы" [152, с. 57], Fjt - сила сопроi» тивления. Для Fji обычно используется соотношение F^ = Kji('Üj — щ) [152], [213], [296].

Несовпадение давлений в фазах может иметь место, в частности, из-за капиллярных эффектов. Так, в классических моделях двухфазной фильтрации ([32], [279], [189], [190], [111]) предполагается, что давления в фазах отличаются на величину капиллярного скачка рс = P2~Pi- Такой же подход принят в работах [48], [76], [77], [260].

Зависимости вида (7), (8), (9) используются и в других моделях взаимопроникающего движения двух вязких жидкостей (жидкости и газа) [64], [294], [260]. Соотношения (7), (8) можно рассматривать как обобщение закона Навье-Стокса. В модели с одним давлением уравнение сохранения импульса (4) с учетом (6)-(9) приводится к виду [152, с. 33]:

Pi-~ = SiVp + VV + pwí + Y,íF3i + Mvji - **))■ (10)

3=1

Обобщение на случай разных давлений (с заменой р в уравнении (10) на р^) дается в [152, с. 57].

Другой способ построения тензора напряжений смеси двух вязких жидкостей изложен, например, в [290], [240].

Используя уравнение (4) и гипотезу (6), уравнение энергии (5) представим в следующем виде: V • - - ^ ■

11) ¿ЦЫ + 2^|2) ~ Яр ' % ~ ^г) ' Щ)

Интенсивность обмена энергией между ьй и ^й фазами может быть представлена в виде

Еэг = -Е1} — \\iji + <2л + ^-¿(иу + 1/2| щ |2).

Здесь первые два слагаемых обозначают приток энергии в ью фазу за счет работы межфазных сил (трения, давления, сцепления и т.п.) и теплопередачи на границе между ьй и ]-й фазами. Третье слагаемое представляет собой перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из .]-й в 1-ю фазу, где и^ - удельная внутренняя энергия массы, претерпевающей переход з —> г и находящейся в ьй фазе. Аналогично скорости у^ величина и^ может рассматриваться как удельная внутренняя энергия ьй фазы на границе с >й фазой. Но в отличие от скоростей у^ внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, т.е. и^ ф иц.

При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы и, кроме того, о том, что фазы представляют собой двухпараметрические среды, т.е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности р® и температуры Т{ или давления р{ и температуры 7]). Таким образом, щ = и^р®, 7}), Рг — Рг{рЬ энтропия = и для каждой фазы справедливо соотношение Гиббса [152]

12) замкнута, но является весьма сложной.

В широком классе задач для описания процессов теплопереноса в многофазной среде используется упрощенный подход [76], [77], [260], [51], [289]. Вместо уравнений сохранения энергии для каждой фазы применяется уравнение сохранения энергии смеси в целом. Вывод этого уравнения основан на следующих гипотезах: фазовые температуры в каждой точке сплошной среды совпадают (Тх = истинные плотности фаз р® постоянны, щ = ав, - теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме, ф = — Хг коэффициент теплопроводности г-й фазы, фазовые переходы отсутствуют {Зц = игз — щ = 0), суммарная работа внутренних сил мала по сравнению с суммарным притоком тепла.

Суммируя уравнения (11) по г от 1 до ./V и отбрасывая в правой части получившегося равенства все слагаемые кроме получим [260], [289] где х ~ коэффициент теплопроводности смеси.

В диссертации рассматриваются следующие модели взаимопроникающего движения двух вязких жидкостей:

1. Модель одномерного изотермического движения двухфазной смеси несжимаемых фаз с общим давлением и в отсутствие фазовых переходов: Т„ = в),

Рг <£>г + Р19

Si + s2 = 1, <¿>1 = K(v2 - Vi), lfl2 = —ipi, Pi = const.

2. Модель одномерного неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых фаз в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений:

В приложениях [189], [192], [153, с. 295] широко используются упрощенные модели гетерогенных сред, в которых, в частности, пренебрегают инерционными силами из-за ускорений материальных частиц (с^ДЙ = 0). Как правило, это имеет место при медленных течениях, т.е. при малых числах Рейнольдса, например, при оседании мелких частиц или капель, при фильтрации газов и жидкостей через пористые среды.

Следуя [279], [32], [192], рассмотрим математическую модель процесса фильтрации двух несмешивающихся жидкостей (например, воды и нефти) через пористую среду.

2. Модель Маскета-Леверетта фильтрации двух несмешивающихся

При описании движения двухфазной несжимаемой жидкости (плотности Pi,P2 постоянны) в неоднородном анизотропном грунте имеется ряд особенностей по сравнению с приведенными выше моделями. Во-первых, вводится понятие пористости среды, в которой происходит течение. Пористость га есть доля объема среды, приходящаяся на пустоты (поры). Учет пористости среды приводит к тому, что в теории фильтрации уравнения неразрывности (1) принимают вид [111], [32], [192]:

Pi 4>i + Pi9,

14)

15)

16)

13) несжимаемых оюидкостей. n где щ ~ скорость фильтрации, связанная со скоростью йг движения частиц жидкости формулой щ = mSiUi. Другое отличие связано с тем, что вместо уравнений сохранения импульса (2) в теории двухфазной фильтрации используется обобщенный закон Дарси [279]: уг = -K0^(yPi + fig), г = 1,2, (18) где kq - тензор фильтрации, ксц - относительные фазовые проницаемости, ¡лг - коэффициенты динамической вязкости, pi - давления фаз, g - вектор ускорения силы тяжести. При этом кщ должны зависеть от насыщенности Si, поскольку часть порового пространства занята другой жидкостью [111].

По определению, насыщенности Si меняются в пределах 0 < s® < S{ < 1 — s® < 1, г ф j, si + S2 = 1, и при достижении значений Si = движение i -й компоненты прекращается, что обеспечивается выполнением условий

Ы4)= 0, г = 1,2.

Учет капиллярных сил означает, что фазовые давления pi различаются на величину капиллярного скачка: si - s°

Р2-Р1 =Pc(x,s), s = --о " о' 0<S<1. (19)

1 Sj — s2

Капиллярное давление pc определяется кривизной границы раздела двух несмешивающихся жидкостей, насыщенностью смачивающей жидкости, характеристиками пористой среды и жидкостей и выражается формулой Лапласа [192] pc{x,s) =]Tc(x)j{s), %{х) = a(j—^y/2cose, (20) где а - коэффициент межфазного натяжения, j(s) - функция Леверетта, \К0\ - детерминант матрицы (если {/^о} - симметричный тензор фильтрации), в - контактный угол [32].

Система уравнений (17)—(19) относительно характеристик^, и s = (si— si)/(l—5i—s2) несмешивающихся жидкостей, движущихся в пористой среде, в изотермическом случае (температура в потоке постоянная) замыкается предположением о несжимаемости жидкостей, т.е. = const.

Полученную математическую модель называют моделью Маскета-Леверетта [9], [76], [77]. Следует отметить, что в более позднем цикле работ В.Н. Монахова [150], О.Б. Бочарова и В.Н. Монахова [28]-[31] результаты о корректности основных начально-краевых задач для изотермической модели« Маскета-Леверетта были обобщены на случай неизотермического движения. При, этом к уравнениям (17)—(19) добавляется уравнение энергии вида (16), а капиллярный скачок рс и остаточные насыщенности s? становятся функциями, зависящими от температуры. Другое обобщение модели Маскета-Леверетта состоит в учете сжимаемости жидкостей. Вместо условия р® = const задаются'уравнения состояния жидкостей р® = pi(pi) [258]. Учету дополнительных факторов в задачах двухфазной фильтрации посвящены работы [106], [65].

Функциональные параметры т, Ко и j модели Маскета-Леверетта предполагаются заданными функциями соответствующих переменных.т или s, а все числовые параметры [ц^ рs? и другие)- фиксированными. При этом фазовые проницаемости koi(s) = —ког обладают свойствами koi(s) > 0, s € (0,1), fcoi(0) = fc02(l) =

Исследование вопросов корректности модели Маскета-Леверетта было начато в работах С.Н. Антонцева В.Н. Монахова и А.Н. Коновалова.

В работах [5]-[15], [115], [149] даны постановки основных краевых задач как в областях с заданными, так и со свободными границами.

Г.В. Алексеев и Н.В. Хуснутдинова [1] рассмотрели одномерную задачу, приводящуюся к одному вырождающемуся уравнению для насыщенности. Для исследования этой задачи применялся математический аппарат, разработанный в [195], [196], и. было в частности показано, что решения первой краевой задачи и задачи Коши, понимаемые в смысле теории распределений, являются непрерывными функциями.

С.Н. Антонцев [8] для плоской задачи методами е-регуляризации и Га-леркина доказал существование обобщенного решения, а также установил обобщенный принцип максимума, позволивший априори классифицировать все задачи на вырождающиеся с возможным достижением насыщенностями остаточных значений и регулярные. Позднее, в работах [12], [13], [14] эти результаты были обобщены на трехмерный нестационарный и стационарный случаи, а также изучены дифференциальные свойства обобщенного решения двумерной регулярной задачи.

Исследованию плоской регулярной задачи в случае однородного грунта также посвящены работы С.Н. Кружкова и С.М. Сукорянского [127], [128], в которых доказаны теоремы существования и устойчивости классического решения.

В [13] установлена единственность решений регулярной и вырождающейся задач. В последнем случае предполагалось, что суммарная скорость фильтрации является заданной ограниченной функцией. Частные случаи, при которых имеет место единственность решения вырождающейся задачи, изложены в работе [248].

В работе [6] доказана конечная скорость распространения возмущений в задачах двухфазной фильтрации.

Следует отметить, что если в двумерном регулярном случае результаты о разрешимости основных краевых задач имели вполне завершенный характер [12], [13], а именно, было показано, что дальнейшая гладкость нестационарных и стационарных решений определяется гладкостью коэффициентов системы (17)—(19) и гладкостью границы и граничных условий, то в трехмерном регулярном случае аналогичная ситуация имела место лишь в "малом" по времени, либо при всех конечных ¿, но при условии малости некоторых функциональных параметров системы (17)—(19) [12], [13], [127]. Позднее, в работе С.Н. Антонцева и A.A. Папина [16] был предложен способ, позволивший исследовать дифференциальные свойства обобщенного решения трехмерной задачи без предположений о "малости".

В связи с большой практической важностью задач о фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, имеется значительное число работ, посвященных численному решению этих задач [23], [113], [114], [116], [159]. Однако в большинстве из них вопросы обоснования и сходимости используемых численных методов не рассматриваются. Впервые теоретическое обоснование приближенного метода решения плоской регулярной задачи и оценка его скорости сходимости была дана в работах [127], [128].

В главе 2 диссертации обоснованы приближенные методы решения пространственных регулярных, а при определенных предположениях на1 данные, и вырождающихся задач двухфазной фильтрации.

Значительный интерес представляет исследование дальнейшей гладкости обобщенного решения вырождающейся двумерной и трехмерной задач. Основные трудности здесь связаны с получением достаточно хороших априорных оценок ограниченного решения квазилинейного вырождающегося параболического уравнения вида ut = div(a(t, х, u)Vu) + /(¿, х, и, их), (21) где a(t,x,u) > 0, а функция f(t,x,u,ux) связана с a(t,x,u) некоторыми условиями типа подчиненности. Уравнения вида (21) описывают процесс фильтрации жидкости и газа, а также процесс теплопередачи в среде с теплопроводностью, зависящей от температуры. В связи с этим, частные решения различных уравнений вида (21) строились в ряде прикладных работ, например, в [24], [190], [191],'[199], [144], [143].

Первые результаты о глобальной разрешимости задачи Коши и краевых задач для вырождающегося уравнения щ = [<р{и)}хх, v>(0) = 0 (22) были получены O.A. Олейник, A.C. Калашниковым и Чжоу-Юй-Линем в работе [157]. При соответствующих предположениях относительно данных задачи доказано существование и единственность неотрицательного непрерывного обобщенного решения, ограниченного вместе с обобщенной производной [<-р(и)]х. Установлено, что в точках, где обобщенное решение положительно, оно удовлетворяет уравнению (22) в обычном смысле. В точках, где обобщенное решение обращается в нуль, оно может быть негладким.

Однозначная разрешимость задачи Коши для уравнения

Щ = К)л.-х + Ъ{их)х + си?, (23) где ß > 1, А > 1, и > 0, с > 0 и & € (—00,00) - постоянные, доказана A.C. Калашниковым [105]. Дифференциальные свойства обобщенного решения уравнения вида (23) исследовали D.G. Aronson [243], A.C. Калашников [104], С.Н. Кружков [122]—[125]. В работе Е.С. Сабининой [197] была доказана теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Коши для многомерного уравнения (22) в предположении, что функция ф) е С2+а.

В работах Ю.Н. Благовещенского [27], O.A. Олейник [282] и М.Г. Фатеевой [214] рассматривались вопросы существования и единственности решения задачи Коши и краевых задач в "малом" для многомерного вырождающегося параболического уравнения, не содержащего квадратов первых производных. В работе М.И. Фрейдлина [216] указаны условия, обеспечивающие существование и единственность классического решения для такого уравнения в "целом". Следует отметить, что в работах [27], [216] применялись вероятностные методы. В работе [107] для многомерного уравнения вида (23) при некоторых предположениях относительно данных, основным из которых является условие близости ß к единице, доказано существование и единственность непрерывного в смысле Гельдера обобщенного решения задачи Коши и первой краевой задачи. К аналогичному кругу вопросов относятся также работы [104], [105], [125], [74], [80], [52], [237], [238], [249], [250].

В работе [160] методом ^-регуляризации устанавливаются априорные оценки старших производных ограниченного решения уравнения (21). При определенных предположениях на порядок вырождения, главным из которых является условие выпуклости вверх функции a(t,x,u) по и (заметим, что при a(t, х, и) = •и1"-1 это эквивалентно условию, использованному в работе [107]) получены априорные оценки старших производных и дается оценка модуля непрерывности u(t, 2;) по переменной х. Согласно работам С.Н. Кружкова [122] - [125], из этого факта следует аналогичное свойство и по

Наиболее сильный результат, в том числе и оценка постоянной Гельдера решения уравнения (17) при а = и1+£°, где е0 > 0 достаточно малое число, получен в случае двух пространственных переменных. На основе этих оценок в главе 2 обоснован приближенный метод решения вырождающейся задачи фильтрации.

В последнее время все большее применение находят различные модели снежного покрова. Они используются при решении задач о движении снежных лавин [245], [280], вкладе снежного покрова в формировании стока на речном водосборе [130], [241], [242]; распространении загрязнений в тающем снеге [257], [291].

При построении математической модели снежного покрова в период снеготаяния используются общие принципы динамики многофазной среды [152]. Особенностью этих моделей, является обязательный учет фазовых переходов и использование фильтрационного приближения, поэтому основными уравнениями модели являются законы сохранения масс и энергии, а также закон Дарси для подвижных фаз [130], [257]. Данный подход применяется при исследовании тепловой двухфазной фильтрации [76], [77], диссоциации гидратов, соседствующих со льдом в природных пластах ([219] - [221]), а также в работах по тепломассопереносу в промерзающих и протаивающих грунтах [47]. Рассматриваемая в главе 3 задача тепломассопереноса в тающем снеге актуальна в связи с оценкой водного стока на водосборе, а также при оценке переноса загрязняющих веществ.

3. Уравнения одномерного неизотермического двиоюения двухфазной смеси вязких несэкимаемых жидкостей

Система (13)—(16) является весьма сложной нелинейной системой. Входящее в нее уравнение (16) для в является параболическим, уравнения (13) являются уравнениями первого порядка относительно концентраций а из уравнений (14) и равенства Р2 — р\ = рс в (15) определяются скорости уг и давления рг, так что вся совокупность уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем (систем составного типа) развита еще недостаточно полно.

В связи с большой практической важностью задач о взаимопроникающем движении жидкостей имеется значительное число работ, посвященных построению частных решений, а также численному решению этих задач [64], [152], [159]. Проблема строгого обоснования модели (13)—(16) до последнего времени оставалась открытой.

Система уравнений (13)—(16) может быть преобразована к системе (см. пункт 4.1.1), близкой по структуре системе уравнений вязкого газа в случае зависимости вязкости от плотности, но в большей степени нелинейной. Другое отличие, усложняющее исследование задач для системы (13)—(16), состоит в знаконеопределенности давлений р\ и Р2 (или р - в схеме с общим давлением). Система (13)—(16) также возникает при моделировании совместного движения несмешивающихся жидкостей в пористой среде [48], т.е. является обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей [32]. Следует отметить, что при использовании системы (13)—(16) для описания процесса фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в недеформируемой пористой среде предполагается, что насыщенная двухфазной жидкостью пористая среда является трехфазной системой, состоящей из пористой недеформируемой матрицы, объемная концентрация которой равна S3 = 1 — т (т - пористость, v^ = 0) и двух взаимопроникающих жидкостей с объемными концентрациями s% = ms и s2 = m( 1 — s), где s - фазовая насыщенность первой жидкостью порового пространства (]Cj=i sj = [48])

При исследовании корректности модели (13)—(16) используются многие идеи и подходы, успешно примененные к модели сжимаемого вязкого газа. Целостная теория глобальной разрешимости основных краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова и его учеников [S3]—[100], [33]—[43], [222]—[231], а также в большом числе других исследований и, в частности, в [2], [145], [266], [267], [297].

Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью вязкого газа. Это связано с большим разнообразием моделей многофазных сред и с существенным усложнением объекта исследования. Однако имеется ряд моделей многофазных сред (классические модели двухфазной фильтрации на основе закона Дарси здесь не рассматриваются), для которых установлены результаты о разрешимости.

Система уравнений одномерного движения многокомпонентной баротроп-ной смеси при постоянной температуре имеет вид [86] dvi dva do, ~pi + /¿¿-^j, pi = pi(pi), fi = y~] kji(vj ~ vi)1

Результаты о глобальной разрешимости начально-краевых задач для этой системы были получены А.В. Кажиховым и А.Н. Петровым [87]. Обобщение на случай неизотермического движения дано в работе [188]. Результат о стабилизации решения получен в [78]. В цикле работ [137], [138], [119], [70]—[73] исследована задача Коши при наличии вязкости в одной из фаз и без учета вязкости в фазах.

К числу многофазных моделей, интересных как с математической точки зрения, так и с точки зрения приложений относится модель движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил [51], [288], [4], [117]. Определяющие уравнения в этой модели близки по структуре к уравнениям системы (13)—(16):

Ife + = pi = pïSi' * = 1>2' (24) О де ч dt дх i дх дх V дх, г=1 4 7 4 ' i—1 vi - v2 = kg - si + 52 = 1, (к, L, p\) = const, (26)

Результаты о локальной по времени классической разрешимости начально-краевых задач с однородными граничными условиями для одномерных уравнений (24)-(27) получены в работах [287], [288]. Разрешимость "в малом" по времени начально-краевых задач с другими краевыми условиями установлена в работах [185]—[187].

Если в уравнениях (13)—(16) формально положить р\ — 0, = 0, то получим аналог системы (24)-(27). Такие системы уравнений-используются для моделирования течения газожидкостной смеси (газ, твердые частицы) [108], [119], [252], [264], [260], [261]. В работе [262] сведением системы уравнений газожидкостной смеси к системе уравнений однофазной вязкой сжимаемой жидкости доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи с периодическими граничными условиями. Один из первых результатов по обоснованию фильтрационной модели газожидкостной смеси получен в работе А.В: Кажихова, В.Н. Монахова и A.A. Олейник [82].'

4. Краткое описание содержания диссертации

Целью работы является математическое исследование проблемы разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений движений двухфазных смесей жидкостей (газов) в различных функциональных пространствах.

В главе 1 приводятся некоторые известные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений, которые используются в процессе исследований.

В главе 2 для трехмерной регулярной задачи о фильтрации двух несме-шивающихся несжимаемых жидкостей при постоянной температуре в потоке и в отсутствие фазовых переходов доказывается существование сильного и классического решений и рассматриваются приближенные методы решения этой задачи. Для вырождающейся задачи установлена устойчивость по начальным данным, единственность и обоснован приближенный метод решения.

В пункте 2.1 дается постановка основной краевой задачи фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и формулируются используемые в дальнейшем известные результаты для регулярных и вырождающихся задач фильтрации, установленные в работах [12], [13], [14], [5], [6], [7], [127], [128], а также и основные результаты главы. Теорема 2.1.1 содержит результат С.Н. Антонцева и В.Н. Монахова [12], [9] о существовании обобщенных решений пространственной задачи фильтрации. Основными результатами главы являются доказательство сильной (теорема 2.1.2) и классической (теорема 2.1.3, теорема 2.1.4) разрешимости "в целом" регулярной пространственной задачи. Теоремы 2.1.5 - 2! 1.8 содержат обоснование приближенных методов решения регулярной задачи. В теоремах 2.1.9 - 2.1.12 устанавливается устойчивость и единственность решения вырождающейся задачи и обосновывается приближенный метод ее решения.

В пункте 2.2 изучается сформулированная в пункте 2.1 задача при заданном распределении насыщенности. Теоремы 212.1 и 2.2.2 содержат результаты С.Н. Антонцева и В.Н. Монахова [12], [9] о диффреренциальных свойствах "приведенного" давления р(х, ¿) и, в частности, свойство гельдеровской непрерывности р по пространственным переменным. Используя непрерывность р, устанавливается справедливость ряда лемм подготовительного характера. Полученные здесь априорные оценки для "приведенного" давления используются в дальнейшем при рассмотрении совместной задачи.

В пункте 2.3 доказано существование сильного решения "в целом", что является обобщением соответствующего результата работы [13], в которой аналогичное решение получено "в малом". Следует также отметить, что предлагаемый способ получения сильного решения, в отличии от работы [13], не использует непрерывность насыщенности.

В пункте 2.4 доказывается теорема существования классического решения пространственной регулярной задачи фильтрации и исследуется его дальнейшая гладкость. Основой доказательства этой теоремы является получение оценки постоянной Гельдера насыщенности в целом по времени. В двумерном случае эта оценка , ввиду свойств "приведенного" давления, следует из известных результатов для квазилинейных параболических уравнений [131]. В трехмерном же случае непосредственно воспользоваться указанными результатами уже не представляется возможным, ввиду сильной нелинейной связи уравнений. Поэтому предлагается иной способ получения оценки |И|£7«((3Х), основанный на совместном рассмотрении уравнений для я и р, а именно: сначала, используя непрерывность р, устанавливается вспомогательная оценка для р в некотором шаре 0,р С П радиуса /э, а затем, выбирая р достаточно малым и рассматривая уравнение для й, приходим к известному случаю, изложенному в монографии [131]. Указанный способ позволяет получить оценку |И|сп(<2:г) ПРИ любом числе пространственных переменных, а также для эллиптико-параболических систем более общего вида.

В пункте 2.5 доказана теорема существования слабого решения линейной задачи фильтрации и показано, что дальнейшая его гладкость определяется лишь гладкостью коэффициентов системы, а также гладкостью границы и граничных условий. На основе этой теоремы рассмотрены два приближенных метода решения пространственных регулярных задач и оценена их скорость сходимости. В каждом из методов на промежуточном шаге решается линейная дифференциальная задача, которая может быть аппроксимирована разностной. Для решений разностных схем также установлены оценки скорости их сходимости к решению исходных нелинейных уравнений.

В' пункте 2.6 изучается "слабо" вырождающаяся задача, а именно рассматривается случай, когда априори известно, что коэффициент а(х, з) в параболическом уравнении (2.1.1) в начальный момент времени суммируем с некоторой отрицательной степенью —д. Тогда оказывается, что при определенных условиях на коэффициенты вырождающегося параболического уравнения при всех конечных Ь > 0 функция [а(х, ¿)]-1 принадлежит На основе этой оценки доказываются теоремы об устойчивости по начальным данным и единственность обобщенных решений, а также устанавливается оценка скорости сходимости решений е - регуляризованнойё задачи к обобщенному решению исходной. Рассмотрен приближенный метод решения вырождающейся задачи и оценена его скорость сходимости. При получении этих результатов используются полученные в работе [160]; глобальные априорные оценки старших производных решений; вырождающихся квазилинейных параболических уравнений; .

В главе 3 на основе модели двухфазной фильтрации Маскетаг-Лёверетта . рассматривается-задача о распространении'загрязнений в тающем: снеге; Доказана теорема существованиям азвтомодельного? решения: и; исследована1 его структура. Установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения-возмущений., . ,

В пункте 3:1 дается постановка; задачи о движениш воды и воздуха в тающем снеге. В основу., математической - модели .положены уравнения* сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых: переходов, уравнения, двухфазной' фильтрации; Маскета-Леверетта для воды й воздуха; й.уравнение. теплового баланса снегам После нахождения насыщенности и скорости* водной фазы движение растворенной в воде соли определяется из уравнения конвективной диффузии.: Данная задача рассматривается- в автомодельной; постановке. Основным-результатом главы является доказательство теоремы, существования обобщенного решения (теоремы 3.1.1, 3.1.2).

В пункте 3.2 изучается сформулированная в пункте 3.1 задача в автомодельной постановке. Для; скоростей фильтрации воды и воздуха; получены конечные; формулы, для температуры, и давлений - представления: Насыщенность водьь находится из решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с вырождением на решении. Особенностью исходной постановки задачи является необходимость, обоснования для насыщенности еще и условияна бесконечности (в(—со); = 0). Для преодоления этих трудностей используется метод е - регуляризации и устанавливается свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Сначала рассматривается вспомогательная задача. При каждом

-23£ > 0 локальная разрешимость задачи Коши следует из теоремы Пикара. В силу доказанного в лемме 3.2.2 физического принципа максимума для насыщенности локальное решение может быть продолжено на любой конечный интервал. Кроме того, имея равномерные по е оценки, на основе теоремы Арцела можно осуществить предельный переход при е —» 0. Затем свойства решения задачи для насыщенности уточняются для такого интервала, на котором структура правой части уравнения для насыщенности позволяет установить свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Последнее позволяет получить результат теоремы 3.1.1.

В пункте 3.3 доказано существование автомодельного решения задачи о движении динамически нейтральной примеси в тающем снеге. "Установлен физический принцип максимума для концентрации.

В главе 4 для одномерной начально-краевой задачи о движении двухфазной теплопроводной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказывается существование и единственность сильного и классического решений "в малом" по времени. В случае постоянной температуры среды устанавливается разрешимость "в малом" по начальным данным и рассматривается пример разрешимости "в целом".

В пункте 4.1 даются постановки задач и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 4.1.1. содержит результат о локальной по времени однозначной разрешимости в классе сильных и классических решений. Факт существования сильного и классического решений изотермической задачи "в целом" по времени, но при малых начальных данных отражен в теореме 4.1.2. Теорема 4.1.3. содержит результат о глобальной однозначной разрешимости задачи изотермического движения двухфазной смеси в автомодельной постановке.

В пункте 4.2 излагается вывод вспомогательных систем дифференциальных уравнений, среди которых особое место занимает система (4.2.3)-(4.2.6) и уравнение (4.2.11) для производной насыщенности, не имеющее в своей форме записи вторых производных скоростей.

В пункте 4.3 излагается доказательство локальной теоремы существования сильного решения вспомогательной задачи (4,2.3)-(4.2.7), (4.2.11), (4.2.12). Доказательство использует метод Галеркина и проводится в таких классах, в которых возможен переход к исходной задаче. В итоге приходим к результату теоремы 4.1.1.

В пункте 4.4 содержится доказательство теоремы единственности обобщенного решения. Доказательство опирается на вспомогательную задачу (4.2.3)-(4.2.7), (4.2.11), (4.2.12).

В пункте 4.5 доказывается существование обобщенного решения "в целом'' по времени, но при малых начальных данных и при, постоянстве температуры среды. В основе доказательства теоремы 4.1.2. лежат априорные оценки, независящие от промежутка существования локального решения. При этом наиболее важным этапом является доказательство того факта, что норма Н/вд^,*) — /¿2^2(2?, ¿)||с(с?г) мала> если малы соответствующие начальные данные.

В пункте 4.6 излагается доказательство глобальной классической разрешимости начально-краевой задачи изотермического движения двухфазной смеси в автомодельной постановке.

В главе 5 рассматривается параболическая регуляризация задачи одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых теплопроводных жидкостей. На основе равномерных по параметру регуляризации оценок устанавливается существование слабого решения на любом конечном интервале времени. Исследования в этой главе в основном следуют идеям главы 4, однако получение равномерных по параметру регуляризации оценок является принципиальным отличием от исследований, проведенных в главе 4.

В5 пункте 5.1 дается постановка задачи и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 5.1.1. содержит результат о существовании обобщенного решения на любом конечном интервале времени. Доказательство этой теоремы опирается на вспомогательную г - регуляризованную задачу, сильная и классическая разрешимость которой устанавливается в теореме 5.1.2.

В пункте 5.2 кратко излагается доказательство локальной теоремы существования сильного и классического решений вспомогательной задачи.

В пункте 5.3 содержится подробный вывод первого энергетического неравенства для решений вспомогательной задачи, а также оценки сверху и снизу для концентрации и температуры, не зависящие от параметра регуляризации г и величины [0, ¿о] промежутка существования локального решения.

В пункте 5.4 осуществляется процедура доказательства оценок для старших производных, входящих в систему уравнений вспомогательной задачи. При этом наиболее важным этапом является вывод равномерных по £ и ¿о оценок для вторых производных функции /¿1^1 £) — На основе этих оценок локальное решение вспомогательной задачи продолжается на любой конечный интервал времени [0,7].

В пункте 5.5 излагаются результаты о компактности решений вспомогательной задачи. При этом важными этапами являются леммы 5.5.1. и-5.5.2.

В пункте 5.6 доказывается существование обобщенного решения исходной задачи. Это решение получается как предел прие —> +0 последовательности решений вспомогательной задачи.

В приложении для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ - твердые частицы) в случае непостоянной- истинной плотности газа доказана локальная разрешимость начально - краевой задачи. В'случае постоянства истинных плотностей фаз установлена разрешимость "в целом" по времени.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17],[20], [162]-[184], [284]—[287].

Автор искренне благодарен своему научному консультанту академику РАН, ныне покойному В.Н. Монахову за руководство и постоянное внимание.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для нестационарной регулярной задачи двухфазной изотермической фильтрации (модель Маскета-Леверетта) доказаны теоремы существования "в целом" сильного и классического решений; рассмотрены приближенные методы решения нестационарной регулярной задачи изотермической двухфазной фильтрации и установлены оценки скорости их сходимости; изучены дифференциальные свойства обобщенного решения нестационарной изотермической вырождающейся задачи, доказаны теоремы об устойчивости и единственности. Предложен приближенный метод решения и дана оценка его скорости сходимости.

2. Доказана теорема существования автомодельного решения задачи о движении консервативной примеси в тающем снеге. Установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения возмущений.

3. Для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказаны теоремы существования "в малом" по времени сильного и классического решений. В случае постоянной температуре среды установлена разрешимость "в малом" по начальным данным и рассмотрен пример о разрешимости "в целом".

4. На основе параболической регуляризации для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказано существование обобщенного решения на любом конечном интервале времени.

5. Для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа доказана теорема существования "в малом" классического решения. В случае постоянной температуре среды установлена разрешимость "в целом".

Всего в работе имеется 10 определений, 23 теоремы, 36 лемм, 1 следствие, 2 примера и 20 замечаний.

Заключение

1. Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи для уравнений одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. 1972. Т.203. N. 2. С. 310 - 312.

2. Амосов A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднепие // Диссертация докт. физ.-мат. наук. М. 1997. 307 с.

3. Аносова И.Г., Папин A.A. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей // Ред. "Сиб.мат.журн." Новосибирск. 2004. 34 с. Деп. ВИНИТИ № 37 В 2004.

4. Антановский JT.K., Копбосынов Б.К. Нестационарное движение капли в вязкой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1986. N.2. С. 59-64.

5. Антонцев С.Н. Стационарные задачи двухфазной фильтрации с неизвестными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 36. С. 3-10.

6. Антонцев С.Н. Конечная скорость распространения возмущений в многомерных задачах двухфазной фильтрации // Зап. научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. института. 1980. Т. 96. С. 3-12.

7. Антонцев С.Н. О характере возмущений, описываемых решениями многомерных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 40. С. 114-122.

8. Антонцев С.Н., Кажихов A.B. Математические вопросы динамики неоднородных жидкостей // Новосибирск. Изд во Новосиб. Госуниверситета. 1974. 120 с.

9. Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с.

10. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Об общей квазилинейной модели фильтрации несмешивающихся жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1969. Вып. 3. С. 5-18.

11. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1969. Вып. 2. С. 156-160.

12. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды // Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1977. Часть 2. 48 с.

13. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды // Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1977. Часть 3. 76 с.

14. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Пространственные задачи нестационарной двухфазной фильтрации в неоднородных анизотропных средах // Докл. АН СССР. 1978. Т.243. N. 3. С. 553-556.

15. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых нестационарных задачах с неизвестными границами //В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Наука. Ленинград. 1970. С. 75.

16. Антонцев С.Н., Папин A.A. О глобальной гладкости решений уравнений двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 35. С. 3-28.

17. Антонцев С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. N. 3. С. 521524.

18. Антонцев С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации //В кн.: Мат-лы Всесоюзного совещания-семинара "Краевые задачи теории фильтрации". Ровно 1979. С. 95.

19. Антонцев С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения регулярных и вырождающихся задач двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 54. С. 15-48.

20. Антонцев С.Н., Папин A.A. Локализация решений уравнений вязкого газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 86. С. 24-40.

21. Ахмерова PI.Г., Папин A.A. Разрешимость "в целом" уравнений одномерного движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. Барнаул. 2007. Вып. 1 (53). С. 34-38.

22. Баклоновская В.Ф., Гаипова А.Н. Об одной двумерной задаче нелинейной фильтрации // В сб.: Численные методы решения задач математической физики. М. 1966. С. 237-241.

23. Баренблат Г.И. Об одном классе точных решений плоской одномерной задачи нестационарной фильтрации газа в пористой среде // Прикл. математика и механика. 1953. Т. 17. N. 6. С. 739-742.

24. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980. 160 с.

25. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975. 402 с.

26. Благовещенский Ю.Н. Задача Коши для вырожденных квазилинейных параболических уравненияй // Теория вероятн. и ее примен. 1964. Т. 9. N. 2. С. 378-382.

27. Бочаров О.В., Монахов В.Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 86. С. 47-59.

28. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Неизотермическая фильтрация несмеши-вающихся жидкостей с переменными остаточными насыщениостями // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 88. С. 3-12.

29. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. О разрешимости краевых задач неизотермической фильтрации двух несмешивающихся неоднородных жидкостей в пористых средах // Докл. РАН. 1997. Т. 352. N.5. С. 583-586.

30. Бочаров О.Б., Монахов В.Н., Осокин А.Б. Численно-аналитические методы исследования задач тепловой двухфазной фильтрации // Математические модели фильтрации и их приложения. Новосибирск. 1999. С. 46-59.

31. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико математические основы фильтрации воды. М.: Мир. 1971. 452 с.

32. Вайгант В.А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье Стокса сжимаемых сплошных сред // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1998. 234 с.

33. Вайгант В.А. К вопросу о разрешимости "в целом" краевой задачи для уравнений Навье Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // В кн.: Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Новосиб.гос. ун-т. 1995. Т.1. С. 43-51.

34. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 3- 21.

35. Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом" по времени решения уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1993. Вып. 107. С. 39- 48.

36. Вайгант В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31-52.

37. Вайгант В.А. О задаче Коши для системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1992. Вып. 102. С. 3-10.

38. Вайгант В.А. Пример несуществования "в целом" по времени решений уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Докл. РАН. 1994. Т. 339. N. 2. С. 155-156.

39. Вайгант В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. Т. 357. N. 4. С. 445-448.

40. Вайгант В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N. 6. С. 1283-1316.

41. Вайгант В.А., Кажихов A.B. Разрешимость "в целом" начально-краевой задачи для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Докл. РАН. 1995. Т. 340. N. 4. С. 460-462.

42. Вайгаит В.А., Папин A.A. Глобальная разрешимость задачи Коши для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Ред. "Сиб. мат. журн." Новосибирск. 1989. 15 с. Деп. в ВИНИТИ. N. 8267.

43. Вайгант В.А., Папин A.A. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып. 79. С. 3 9.

44. Ван Вейнгарден JI. Некоторые проблемы составления уравнений для газожидкостных течений //В кн. Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV международного конгресса IUTAM. М.: Мир. 1979. С. 528-552.

45. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломас-соперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. 1997. 224 с.

46. Ведерников В.В., Николаевский В. Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. N. 5. С. 165-169.

47. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. 1959. 628 с.

48. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 544 с.

49. Воинов О.В., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси // Прикладная механика и техническая физика. 1980. N. 5. С. 38-45.

50. Вольперт А.И., Худяев А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87. N. 4. С. 504-528.

51. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 320 с.

52. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука. 1978. 304 с.

53. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

54. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Простейшие галилеево-инвариантные и термодинамически согласованные законы сохранения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. N. 1. С. 3-16.

55. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Усложненные структуры законов сохранения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. N. 2. Новосибирск. С. 3-21.

56. Годунов С.К. Галилеево-инвариантная и термодинамически согласованная модель составной изотропной среды // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. N. 5. С. 3-12.

57. Годунов С.К. Новый вариант термодинамически согласованной модели максвелловской вязкости // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. N. 6. С. 3-12.

58. Головкин К.К. К теоремам вложения // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. С. 19-22.

59. Данфорд Д., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть I. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 455 с.

60. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1966. 456 с.

61. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат. 1981. 422 с.

62. Доманский A.B. Фильтрация в смешанно-смачиваемых пористых средах и проблема повышения нефтеотдачи // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2002. 181 с.

63. Доровский В.Н. Уравнения континуальной теории фильтрации // Геология и геофизика. Новосибирск. 1987. 9 С.(Препр. / Ин-т геол и геофизики СО АН СССР; №9).

64. Доровский В.Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. Новосибирск. 1989. N. 7. С. 39-45.

65. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Реология фильтрационных систем // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Новосибирск. 1989. С. 86-99.

66. Доровский В.Н. Фильтрация в трещиновато-пористых средах. Новосибирск. 1990. 8 с. (Препр. / Ин-т геол и геофизики СО АН СССР; №15).

67. Доровский В.Н., Перепечко Ю.В. Феноменологическое описание двух-скоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями // Прикладная механика и техническая физика. 1992. N. 3. С. 56-62.

68. Доронин Г.Г. Корректность задачи Коши для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Новосибирск. 1991. 8 с. (Препр. / ИТПМ СО РАН; №10-91).

69. Доронин Г.Г. Начально-краевые задачи в неограниченных областях для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1992. Вып. 105. С. 162-166.

70. Доронин Г.Г. Корректность задачи Коши для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Моделирование в механике. Новосибирск. 1992. Т.6 (23). N. 2. С. 58-70.

71. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Мат. сб. 1965. Т. 67. (109) N. 4. С. 609643.

72. Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинений. Т. 7. М.: Гостехиздат. 1950. С. 296-332.

73. Жумагулов Б.Т., Зубов Н.В., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче. Алматы: Гылым. 1996. 167 е.

74. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: КазгосИНТИ. 2001'. 336 с.

75. Злотник A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси// Матем. заметки. 1995. Т. 58. N. 2. С. 307-312.

76. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир. 1984. 453 с.

77. Иванов A.B. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Труды Матем. института им. В.А. Стеклова АН СССР. Т. 160. JI. Наука. 1982. 286 с.

78. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 493 с.

79. Кажихов A.B., Монахов В.Н., Олейник A.A. Об одной фильтрационной модели движения газа с частицами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1971. Вып. 3. С. 27-33.

80. Кажихов A.B. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1975. Вып. 21. С. 18-47.

81. Кажихов A.B. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 26. С. 60-76.

82. Кажихов A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

83. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл.матем. и механика. 1977. Т. 41. N. 2. С. 282-291.

84. Кажихов A.B., Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 35. С. 61-73.

85. Кажихов A.B. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 38. С. 33-47.

86. Кажихов A.B., Николаев В.Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т. 10. N. 2. С. 7784.

87. Кажихов A.B., Николаев В.Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. N. 5. С. 1045-1047.

88. Кажихов A.B. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. N. 4. С. 662-667.

89. Кажихов A.B. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 37-62.

90. Кажихов A.B. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. N. 1. С. 60-64.

91. Кажихов A.B. Априорные оценки решений уравнений магнитной газовой динамики // В сб.: Краевые задачи уравнений математической физики. Красноярск. 1987. С. 84-94.

92. Кажихов A.B. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N. 3. С. 70-80.

93. Кажихов A.B., Шелухин В.В. Метод верификационной компактности // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск. Новосиб. госуниверситет. 1996. Т.2. С. 51-60.

94. Кажихов A.B., Мамонтов А.Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39. N. 4. С. 831-850.

95. Кажихов A.B. К теории компенсированной компактности // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Математика и механика сплошной среды. Спецвыпуск. 2004. С. 131-136.

96. Кажихов A.B. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Изд-во Ип-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2008. 420 с.

97. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифферен. уравнения. 1968. Т.4. N. 4. С. 721-734.

98. Канель Я.И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20. N. 2. С. 293-306.

99. Калашников A.C. О возникновении особенностей у решений уравнений нестационарной фильтрации // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1967. Т.7. N. 2. С. 440-444.

100. Калашников A.C. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью.распространения возмущений // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. механика. 1972. N. 6. С.'45-49.

101. Калашников A.C. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. механика. 1974. N. 1. С. 62-68.

102. Кашеваров A.A. Математическое моделирование массопереноса в задачах взаимосвязи подземных и поверхностных вод // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2001. 223 с.

103. Кершнер P.O. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений // Acta Mathematika academiae scientiarum Hangaricae. 1978. Vol. 32. N. 3-4. P. 301-331.

104. Клигель Дж., Никерсон Г. Течение смеси газа и твердых частиц в осе-симметрическом сопле// Детонация и двухфазное течение. М.: Мир. 1966. С. 183-201.

105. Ковеня В.М., Тарнавский Г.А., Черный С.Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. 1990. 243 с.

106. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы. 1958. 286 с.

107. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964. 310 с.

108. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542 с.

109. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1972. 128 с.

110. Коновалов А.Н. О некоторых вопросах, возникающих при численном решении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Труды МИ АН СССР. 1973. Т. 122. С. 2-23.

111. Коновалов А.Н., Монахов В.Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 27. С. 51-58.

112. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука. 1988. 166 с.

113. Копбосынов Б.К. Одномерное термокапиллярное движение в газожидкостной смеси // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 74. С. 25-37.

114. Кошелев А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. 240 с.

115. Крайко А.Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течения смеси газа с частицами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. N.3. С. 420-428.

116. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат. 1956. 268 с.

117. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз. 1958. 272 с.

118. Кружков С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Труды Моск. мат. общ-ва. 1967. Т. 16. С. 329354.

119. Кружков С.Н. Об основной априорной оценке для решения квазилинейного параболического уравнения // Изв. АН Уз ССР. 1972. Т. 16. Серия физ.-мат. наук. N. 3. С. 16-20.

120. Кружков С.Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения // Матем. заметки. 1969. Т. 6. N. 1. С. 97-108.

121. Кружков С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1968. Т. 77. (119) N. 3. С. 299334.

122. Кружков С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 217-272.

123. Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений двухфазной фильтрации, постановка задачи, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов // Матем. сб. 1977. Т. 104. (146): 1 (9). С. 69-88.

124. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газожидкостных систем. М.: Энергия. 1976. 296 с.

125. Кучмент JI.С., Демидов В.Н., Мотовилов Ю.Г. Формирование речного стока. Физико-математические модели. М.: Наука. 1983. 214 с.

126. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

127. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.

128. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973. 732 с.

129. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.

130. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей // Зап. научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. института. 1975. Т. 52. С.52 109.

131. Ландау Л.Д., Лившиц В. М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736 с.

132. Ларькин H.A. Об одной модельной системе механики гетерогенных сред // Числ. методы механ. сплош. среды. Новосибирск. 1978. Т.9. N. 7. С. 60-66.

133. Ларькин H.A. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений, " описывающей течение двухфазной смеси //В кн.: Механика жидкостей и газа. Ташкент. Фан. 1980. С. 35-40.

134. Ларькин H.A., Новиков В.А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука. 1983. 308 с.

135. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 478 с.

136. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

137. Ляпидевский В.Ю. Моделирование двухфазных течений на основе законов сохранения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 76. С. 111-120.

138. Мартинсон Л.К. Исследование математической модели процесса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением // В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука. 1986. 312 с.

139. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 352 с.

140. Маслов В.П., Мосолов П.П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука. 1990. 216 с.

141. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир. 1977. 504 с.

142. Мейрманов A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука. 1986. 240 с.

143. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 341 с.

144. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск : Наука. 1977. 420 с.

145. Монахов В.Н. Автомодельные решения тепловой двухфазной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 9-17.

146. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1976. 218 с.

147. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 464 с.

148. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 360 с.

149. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. 336 с.

150. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969. 456 с.

151. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981. 368 с.

152. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй - Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. 1958. Серия матем. Т. 22. N. 5. С. 667-704.

153. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа //Матем. сб. 1957. Т. 41(83). N. 1. С. 105-128.

154. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир. 1990. 660 с.

155. Папин A.A. Априорные оценки решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 46. С. 107-121.

156. Папин A.A. Корректность начально-краевых задач для уравнений двухфазной фильтрации. Диссерт. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1980. 112 с.

157. Папин A.A. О разрешимости задач солепереноса в системе грунтовых вод //В кн.: Тезисы докладов 7 Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики.Барнаул. 1989. С. 51.

158. Папин A.A., Даев Ю.М., Образцова Т.О. Численное решение профильной задачи о выносе солей из берегов водохранилища // В сб.: "Управление, матем. моделирование и оптимизация на базе ПЭВМ". Барнаул. 1993. С. 91-100.

159. Папин A.A., Мажирин А.П. Пример точного решения задачи о распределении ионизованной примеси в приповерхностной области полупроводника // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. N. 4. С. 17-24.

160. Папин A.A., Первова Н.С. Автомодельное решение уравнений двухфазной среды (модель Х.А. Рахматулина) // Известия АлтГУ. Барнаул. 1998. Вып.1 (6). С. 9-11.

161. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64-70.

162. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 2000. Вып. 116. С. 73-81.

163. Папин A.A., Аносова И. Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения // Известия АлтГУ. Барнаул. 2002. Спец. выпуск. С. 40-46.

164. Папин A.A. Разрешимость начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси //В кн.: Материалы Всерос. конф. "Задачи со свободными границами; теория, эксперимент, приложения". Бийск. 2005. С. 60.

165. Папин A.A. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 1.Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сиб.журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 2(26). С. 116-136.

166. Папин A.A. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 2. Результаты о разрешимости // Сиб. журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 3 (27). С. 111-123.

167. Папин A.A. Автомодельное решение задачи солепереноса в тающем снеге // Известия АлтГУ. Барнаул. 2006. Вып. 1 (49). С. 39-47.

168. Папин A.A. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2007. 126 с.

169. Папин A.A. Разрешимость начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси // В кн.: Материалы Межд.конф."Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения". Новосибирск. 2007. С. 612.

170. Папин A.A. Автомодельное решение задачи о движении консервативной примеси в тающем снеге // Материалы Всерос. конф. "Задачи со свободными границами; теория, эксперимент, приложения". Бийск. 2008. С. 83.

171. Папин A.A. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. N. 4. С. 13-23.

172. Папин A.A. Локальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений одномерного неизотермического движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. Барнаул. 2008. Вып. 1 (57). С. 29-34.

173. Папин A.A. О разрешимости краевых задач неизотермической фильтрации двух взаимопроникающих жидкостей в пористых средах // Материалы Межд.конф. "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений". Новосибирск. 2008. С. 620.

174. Папин A.A. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтрации // Сиб.журн.индустр. математики. Новосибирск.2009.Т.12 , N.1(37). С. 114-126.

175. Папин A.A. Разрешимость краевой задачи фильтрации двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей в пористых средах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. Новосибирск. 2009. Т. 9, Вып. 2. С. 80-87.

176. Папин A.A. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2009. 220 с.

177. Папин A.A., Токарева М.А. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе // Известия АлтГУ. Барнаул.2010. Вып. 1 (65). С. 35-37.

178. Петрова А.Г., Пухначев В.В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 128-136.

179. Петрова А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. N. 5. С. 61-70.

180. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // Сиб.журн.индустр. математики. 2007. Т. 10. N. 3(31). С. 128-137.

181. Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 56. С. 105-121.

182. Полубаринова Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод.М.: Наука. 1977. 664 с.

183. Полубаринова Кочина П.Я. Гидродинамика и теория фильтрации.М.: Наука. 1991. 351 с.

184. Рабинович В.А., Хавин З.Я. Краткий химический справочник. М.: Изд-во Химия. 1978. 392 с.

185. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука. 1977. 545 с.

186. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т.20. Вып. 2. С. 183-195.

187. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика.М.: Изд-во МГУ. 1983. 200 с.

188. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 656 с.

189. Сабинина Е.С. О задаче Коши для уравнений нестационарной фильтрации газа со многими пространственными переменными // Докл. АН СССР. 1961. Т. 136. N. 5. С. 1034-1037.

190. Сабинина Е.С. Об одном классе вырождающихся нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. N. 4. С. 794-797.

191. Сакс С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1949. 272 с.

192. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболический уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 480 с.

193. Самарский A.A. Об одном экономическом методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1962. Т.2. N. 5. С. 787-811.

194. Соболев С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука. 1989. 270 с.

195. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд. СО АН СССР. 1988. 333 с.

196. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Матем. инта им. В.А. Стеклова АН СССР. 1965. Т.83. С. 3-162.

197. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости //В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т.56).

198. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973. 340 с.

199. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 494 с.

200. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980. 664 с.

201. Трофимова Е.Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды //В кн.: Тр. IV всесоюзн. гидролог, съезда. 1976. Т. 6. С. 317-323.

202. Трофимова Е.Б. Математическое описание тающего снежного покрова // В кн.: Труды САРНИГМИ. 1977. Вып. 52 (133) С. 122-127.

203. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир. 1972. 440 с.

204. Файзуллаев Д.Ф., Умаров А.И., Шакиров A.A. Гидродинамика одно -и двухфазных сред и ее практическое приложение.Ташкент: Фан. 1980. 167 с.

205. Фатеева Г.М. О краевых задачах для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Матем. сб. 1968. Т. 76(119). N. 3. С. 535565.

206. Филиппов A.M. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 293 с.

207. Фрейдлин М.И. О существовании в "целом" гладких решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений // Матем. сб. 1969. Т. 78(120). N. 3. С. 332-348.

208. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир. 1968. 260 с.

209. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.: Мир. 1970. 720 с.

210. Цыпкин Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в пластах // ДАН РАН. 2001. Т.381. N. 1. С. 56-59.

211. Цыпкин Г.Г. О возникновении двух подвижных границ фазовых переходов при диссоциации газовых гидратов в пластах // ДАН СССР. 1992. Т.323. N. 1. С. 52-57.

212. Цыпкин Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в природных пластах // Изв. РАН МЖГ. 1993. N. 2. С. 84-92.

213. Шелухин В.В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 33. С. 134-146.

214. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т.43. Вып. 6. С. 992-997.

215. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 42. С. 80-102.

216. Шелухин В.В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа // Числ. методы механики сплошн. среды (Матем. моделиров.) Новосибирск. Ин-т теор. и прикл. мех-ки. 1979. Т.10. N. 5. С. 111-126.

217. Шелухин В.В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 44. С. 147-163.

218. Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 57. С. 131-152.

219. Шелухин В.В. Эволюция контактного разрыва в баротропном течении вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 870-872.

220. Шелухин В.В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политроиного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 912-920.

221. Шелухин В.В. Распространение начальных возмущений в вязком газе // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28. N. 2. С. 211-216.

222. Шелухин В.В. Об одном классе сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости // Прикл. мех-ка и техн. физика. 1996. Т. 37. N. 4. С. 50-56.

223. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.

224. Юдович В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1962. Т.59-доп. С. 229-241.

225. Яненко Н.Н., Солоухин Р.И., Папырин А.Н., Фомин В. М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск: Наука. 1980. 160 с.

226. Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press. New York. 1975. 278 P.• 236. Albers B. On adsorption and diffusion in porous media // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 10. P. 683-690.

227. Alt H.W., Di Benedetto E. Regularity of the saturation in the flow of two immiscible fluids through a porous medium // Australian National University. Research Report: CMA-R21-85. 1985. 51 P.

228. Alt H.W., Di Benedetto E. Nonsteady flow of water and oil through porous medium //Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1985. Vol. 12. P. 335-392.

229. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23. P. 1482-1518.

230. Ambrossi D. Infiltration through deformable porous media // Z. Angew. Math. Mech. 2002. Vol. 82. N. 2. P. 115-124.

231. Anderson EA. Hydro-17 Snow Model. NWSRFS Users Manual. Part II.2. National Weather Service. NOAA. DOC. Silver Spring. MD. 1996.

232. Anderson E.A. Development and testing of snow pack energy balance equations // Water Resources Research. Vol. 4. N. 1. 1968. P. 19-37.

233. Aronson D.G. Regularity properties of flows through1 porous media // SJAM J. Appl. Math. 1969. Vol. 17. N. 2. P. 461-467.

234. Broniarz-Press L., Agacinski P. and Rozanski J. Shear-thinning fluids flow in fixed and fluidised beds // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 6. P. 675-689.

235. Blagovechshenskiy V., Eglit M. and Naaim M. The calibration of avalanche mathematical model using field data // Natural Hazards. 2002. N. 2. P. 203209.

236. Bresch D., Kazhikhov A.V., Lemoine J. On the two-dimentional hydrostatic Navier-Stokes equations // SIAM Journ. Math Anal. 2004. Vol. 36. N. 3. P. 796-814.

237. Cagliardo E. Ulterori proprieta' di alcune classi di funzioni in piu' variabili // Ric. Math. 1959. Vol. 8. P. 24-51.

238. Chavent G. A new formulation of diphaic incompressible flows in porous media // Lecture notes in Mathematics. Applications of method of functinal analisis to problem in mecanics. 1976. Vol. 503. P. 268-270.

239. Chen Z. Degenerate two-phase incompressible flow I: existence, uniqueness and regularity of a weak solution // J.Differential Equations. 2001. Vol. 171. P. 203-232.

240. Chen Z. Degenerate two-phase incompressible flow II: regularity, stability and stabilization // J.Differential Equations. 2002. Vol. 186. P. 345-376.

241. Constantin P., Gallavotti G., Kazhikhov A.V., Meyer Y. and Ukai S. Mathematical foundation of turbulent viscous flows. Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Netherlands. 2006. 252 P.

242. Crooke P.S. On grown properties of solutions of the Saffman dusty gas model // ZAMP. 1972. Vol. 23. P. 182-200.

243. Cui H. and Grace J.R. Flow of pulp fibre suspension and slurries: a review // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 9. P. 921-934.

244. Douglas J. Jr., Peaceman D. W. Rachford Jr. A method for calculation multi dimentional immiscible displacemant // Frans. AJME. 1959. V. 17. N. 2. P. 461-467.

245. De Boer R. and Didwania A.K. Two-phase flow and the capillarity phenomenon in porous solids a continuum themomechanical approach // Transport in porous media. 2004. Vol. 56. P. 137-170.

246. De Wilde J., Constales D., Heynderickx G.J. and Marin G.B. Assessment of filtered gas-solid momentum transfer models via a linear wave propagation speed test // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 6. P. 616-637.

247. Fowler A.C. An introduction to mathematical modeling. Mathematical Institude. Oxford University. 2002. 94 P.

248. Galusinski C., Saad M. On a degenerate parabolic system for compressible, immiscible, two-phase flows in porous media // Advances in Differential Equations. 2004. Vol.9. N. 11-12. P. 1235-1278

249. Garcia F., Garcia J.M., Garcia R. and Joseph D.D. Friction factor improved correlations for laminar and turbulent gas-liquid flow in horizontal pipelines // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1320-1336.

250. Gard S.K. and Pritchett J.W. Dynamics of gas fluidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. N. 10. P. 4493-4500.

251. Garg R., Narayanan C. and Subramaniam S. Accurate numerical estimation of interphase momentum transfer in Lagrangian-Eulerian simulations of dispersed two-phase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1337-1364.

252. Gôz M. Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed equations // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 1991. Vol. 71. N. 6. P. 750-751.

253. Gronwall T.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the • solutions of a system of differential equations // Ann. Math. 1919. Vol.20.1. P. 292-296.

254. Hicks D.L. Well-posedness of the two-phase flow problem. Part 2: Stability analyses and microstructural models // Sandia National Laboratories. SAND-80-1276.

255. Hadziabdie M.C. and Oliemans R.V.A. Parametric study of a model for determining the liquid flow-rates from the pressure drop and water hold-up in oil-water flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Iissue 12. P. 1365-1394.

256. Ito K. Weak solutions to the one-dimentional non-isentropic gas dynamics by the vanishing viscosity method // Electronic journal of diff. equations (http://www.emis.de/journals/EJDE). 1996. Vol. 1996. N.4. P 1-17.

257. Kaliev I.A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas solid transition problem // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 1999. Vol. 1. N. 3. P. 282-308.

258. Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number // Acta. Math. Appl. 1994. Vol.37. N. 1. P. 77-81.

259. Kazhikhov A.V. Sur la solubilité globale des problèmes monodomensionnells aux valeurs initiales-limites pour les équations d'un gas visqueux et calorifere // C.R.Acad. Sci. Paris. Sér. A. 1977. Vol. 284. P. 317-320.

260. Kazhikhov A.V., Mamontov A.E. Transport equations and Orlicz spaces // Hyperbolic Problems: Theory, Numeries, Applications. Int. Ser. Numer. Math. 1999. Vol. 130. P. 535-544.

261. Kazhikhov A.V. Approximation of weak limits via method of averaging with applications to Navier-Stokes equations // The Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Methods. Lect. Notes Pure Appl. Math. 2002. Vol. 223. P. 197-204.

262. Kim H.D., Kim J. and Kim M.H. Experimantal studies on CHF characteristics of nano-fluids at pool boiling // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 7. P. 691-706.

263. Kollar L.E. and Farzaneh M. Modeling the evolution of droplet size distribution in two- phase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1255-1270.

264. Kufner A., John O. and Fucik S. Function Spaces. Prague; Groningen: Academia; NoordhofF. 1977. 325 P.

265. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 1. Incompressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1996. 237 P.

266. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998. 348 P.

267. Melander O. and Rasmuson A. A dispersion force approach to modelling the effect of lift forces on fibre dispersion // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 3. P. 333-346.

268. Morel C. On the surface equations in two-phase flows and reacting singlephase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 10. P. 10451073.

269. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. Edwards. Ann Arbor. 1937. 763 P.

270. Naaim M., Gurer I. Two-phase Numerical Model of Powder Avalanche Theory and Application. Natural Hazards. 1998. Vol. 117. P. 129-145.

271. Novotny A. and Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. Oxford University Press. Oxford. 2004. 506 P.

272. Oleynik O.A. Alcuni risultari sull equazioni lineari e quasi lineari elliptico paraboliche a derívate parziali del secondo ordine, eRnd // Acad. Naz. Lincei. 1966. Ser. 8. P. 775-784.

273. Panfilova I. and Panfilov M. Near- critical gas-liquid flow in porous media: monovariant model, analytical solution and convective mass exchange effects // Transport in porous media. 2004. Vol. 56. P. 61-85.

274. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. 2010. Vol. 87. N. 2. pp. 230-243.

275. Papin A.A. On the uniquenes of the solutions of an initial boundary-value problem for the system of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. 2010. Vol. 87. N. 4. pp. 594-598.

276. Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Termocapillary motion in an emulsion// Third NASA Conference "Fluid Physics in Microgravity". Cleveland. 1996. P. 337-342.

277. Rajagopal K.L. and Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing. 1995. 195 P.

278. Rankinen K., Karvonen T. and Butterfield D. A simple model for predicting soil temperature in snow-cover and seasonally forozen soil: model description and testing // Hydrology and Earth System Sci. 2004. N. 8(4). P. 706-716.

279. Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Springer-Verlag. New-York. 1980. 472 P.

280. Schmidt W. Interfacial drag of two-phase flow in porous media // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 6. P. 638-657.

281. Shelukhin V.V. Bingam viscoplastic as a limit of non-newtonian fluids // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 2004. Vol. 4. N. 3. P. 109-127.

282. Soo S.L. Development of Dynamics of Multiphase Flows // Int. J. Sci. Eng. 1984. Vol. 1. P. 13-29.

283. Steward H.B. and Wendroff B. Two-phase flows: models and methods // J. Comp. Phys.1984. Vol. 56. P. 363-409.

284. Valli A. Periodic and stationare solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1983. Vol. 10. N. 4. P. 607-647.

285. Weigant V.A. (Vaigant V.A.). An example of nonexistence globaly in time of a solution of the Navier-Stokes equations for a compressible viscous barotropic fluid // Russ. Acad. Sci. Dok. Math. 1995. Vol. 50. N. 3. P. 397399.

286. Wilmanski K. Lagrangean model of two-phase porous material // J. Non-Equilib.Thermodyn. 1995. Vol. 20. P. 50-77.

287. Wilmanski K. Porous media at finite strains. The new model with the balance equation for porosity // Arch. Mech. 1996. Vol. 48. N. 4. P. 591628.

288. Wilmanski K. A thermodynamic model of compressible porous materials with the balance of porosity // Transp. Porous Media. 1998. Vol. 32. N. 4. P. 21-47.

289. Wilmanski K. Note on the notion of incompressibility in thermodynamic theories of porous and granular materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 1. P. 37-42.

290. Wilmanski K. On a homogeneous adsorption in porous materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 2. P. 119-124.