Исследование корректности начально-краевых задач в теории двухфазного течения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ол

/ш г

На правах рукописи УДК 517.958

Доронин Глеб Германович

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕКТНОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ТЕОРИИ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 1994

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

доцент Ларькин H.A. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кажихов A.B.; доктор физико-математических наук, доцент Кожанов А.И. Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН

Защита состоится " 'А ^ "_^yt^-ruX-_ 1994 г. в _часов на заседании Специализированного совета К 063.98.04 в Новосибирском государственном университете по адресу: Россия, 630090, Новосибирск-90, ул. Пи-рогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского госуниверситета.

Автореферат разослан <L 1994 Г

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

Б.В. Капитонов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность исследования начально- краевых задач для уравнений двухфазного течения обусловлена необходимостью создания научных основ безопасности энергетических установок и анализа вопросов предотвращения и устранения возможных посчедний экологических катастроф, аварийных взрывов в запыленных средах и т.п. Создание ряда устройств новой техники, функционирование которых связано с использованием газовых смесей с твердыми частицами также требует понимания закономерностей динамических процессов в двухфазных средах.

Система дифференциальных уравнений, описывающая взаимопроникающее движение двухфазной среды была предложена в 1956 году Х.А. Рахма-тулиным и затем развита и конкретизирована в работах А.Н. Крайко, Л.Е. Стернина, Р.И. Нигматулинаи др. Основная особенность этой системы заключается ъ том, что при дозвуковой относительной скорости фаз она имеет два комплексных характеристических значения и, следовательно, не является гиперболической. Это обстоятельство ставит под сомнение корректность задачи Коши и усложняет численные расчеты.

Аналогичная ситуация возникает и в упрощенном модели, описывающей двухфазное течение типа "газ-твердые частицы" и получающейся из общих уравнений двухфазного течения если пренебречь объемом, занимаемым дисперсной фазой. Система дифференциальных уравнений в этом случае имеет только вещественные характеристические значения, но не является гиперболической. Известно, что малые коротковолновые возмущения постоянных начальных данных приводят к неограниченному росту решения задачи Коши для этих уравнений. Однако вопросы, касающиеся существования решений и определения классов корректности двухфазных моделей не исследовались.

Цель работы. Целью данной работы является исследование корректно-:ти начально-краевых задач для уравнений двухфазного течения как в невязком случае, так и в случае учета вязкостных сил.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

— доказана теорема об отсутствии решении из классов произвольной конечной гладкости задачи Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений первого порядка составного типа с кратными характеристиками, описывающей двухфазное течение типа "газ-твердые частицы";

— установлена однозначная разрешимость задачи Коши для многомерных уравнений двухфазного течения, модифицированных с учетом вязкости несущей фазы;

— доказана теорема об устойчивости состояния покоя вязкой модели в одномерном случае при условии существования глобального по времени решения.

Все результаты являются новыми.

Методика исследования. Доказательство теоремы несуществования в классах конечной гладкости решения задачи Коши для нелинейных уравнений двухфазного течения проводится методом "от противного", опираясь на формализм метода характеристик.

Однозначная разрешимость задачи Коши для многомерных уравнений двухфазного течения с учетом вязкости в газовой фазе доказывается методом последовательных приближений. При этом используются оценки уравнений вязкого баротропного газа, полученные В.А. Солонниковым.

Теорема об устойчивости состояния покоя в одномерном случае устанавливается с помощью идей и методов, разработанных A.B. Кажиховым, А.Н. Петровым и Я.И. Канелем.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения задач механики двухфазных сред.

Апробация работы. Диссертация выполнена в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН. Результаты ее докладывались по частям на Всесоюзных семинарах:

— "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" (1992 г., Екатеринбург);

— "Акустика неоднородных сред" (1992 г., Новосибирск);

— на семинаре под руководством акад. Л.В. Овсянникова (1993 г., Ин-т гидродинамики им. М.А. Лаврентьева, Новосибирск); и в целом в 1994 году на семинарах под руководством

— проф. В.М. Фомина (ИТПМ СО РАН)

— проф. В.Н. Врагова (ИМ СО РАН)

— проф. В.М. Ковени (ИВТ СО РАН)

— чп.-корр. РАН, проф. В.Н. Монахова (ИГиЛ СО РАН)

— проф. Т.Н. Зеленяка (ИМ СО РАН)

— проф. A.M. Блохина (ИМ СО РАН)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 46 наименований, и изложена на 73 страницах машинописного текста.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Отражено: актуальность математического исследования двухфазных течений; история вопроса; новизна; основные результаты; встречающиеся трудности и методы их устранения. Объясняются причины некорректности в примерах Стюарта-Вендроффа и Нигматулина.

Глава 1. В первой главе изучается задача Коши для нелинейной системы первого порядка составного типа с кратными вещественными характеристиками, описывающей нестационарное течение смеси газа и твердых частиц:

В первом параграфе дается постановка задачи и определяется тип системы (1). Основным результатом этой главы является следующее утверждение:

Теорема 1. Для любого конечного числа I > 1 найдутся функции (р?>иУ)(х) £ С'(11) такие, что для любого Т > 0 в полосе Пг = {я € И, í 6 [0,Т]} не существует классического решения задачи (1), (2).

Доказательство проводится во втором и третьем параграфах в два этапа. Сначала, используя формализм метода характеристик, строится специальное представление решения нелинейной задачи. Затем, на основе этого представления, получаются оценки, приводящие к противоречию с предположением о существовании классического решения при I = 1. На следующем этапе описанная процедура используется для получения оценок, позволяющих доказать теорему для любого конечного / > 1.

Иллюстративный пример и некоторые комментарии, касающиеся численной реализации изучаемой модели, рассмотрены в четвертом параграфе. Наконец, в последнем, пятом параграфе рассмотрен многомерный аналог (1), (2) и доказана теорема об отсутствии классического решения задачи Коши при/ =1.

дг' 2дх"2 " Р = Р(Р1), р'> 0;

0)

(ли,)(*,0) = (/&«?)(*), хек.

(2)

Глава 2. Во второй главе доказана локальная разрешимость и единственность решения задачи Коши для многомерной модели двухфазного течения, в которой несущая фаза описывается уравнениями вязкого баротропного газа:

' pt + v(pu) = 0;

p(ut + (u • V)u) +Vp= mK(v - u) + íiAu + fi'V(V • u);

(3)

m, + V(mw) = 0; . vt + (v ■ V)v = K(u - v); p = p(p), P'> 0; /i, /i', /f = const > 0;

(/>, u, m, v)(x,0) = (po,«o, m0> v0)(a;), x £ R". (4)

В первом параграфе приводятся постановка задачи и формулируется основной результат:

Теорема 2. Для любых начальных данных (4), удовлетворяющих условиям

ро € Я°(1Г), Э < pô < Ро(х) < pt < оо, Vp0(z) G Lq{Rn); q > n > 2;

m0 (ж) e rn0 > 0;

«<>(*) € W;-3'*(Rn); v0(x) e tt?(Rn),

найдется T > 0 такое, ■что в полосе П— {x Ç R", < € [0,^Г]} существует единственное решение задачи (3), (4) из следующих классов:

р(г,<) е П), р > 0;

то(в><)б£оо(0,Г;И^(Кя)); пч(".*)€1со(0,Т;£в(Кп));

Во втором параграфе приведены необходимые сведения и доказаны предварительные леммы. Третий и четвертый параграфы посвящены доказательству теоремы 2. Для доказательства используется техника исследования уравнений вязкого сжимаемого газа, разработанная В.А. Солоннико-вым. Решение строится методом последовательных приближений. Приближения конструируются таким образом, что на каждой итерации, наряду с известными линейными задачами, решается нелинейная задача Коши для определения скорости частиц. Это позволяет получить необходимые оценки.

Глава 3. В третьей главе доказана устойчивость состояния покоя вязкой модели в одномерном случае при условии существования глобального решения.

Теорема 3. Пусть существует глобальное по бремени решение задачи (3), (4) в одномерном случае. Тогда для любого с > 0 найдется 8о > 0 такое, что если

т = +н^н^юх«)+(5)

сЕ(0), |Ы1и?(а), 11"о||и'1(к), |К1иа(11)) <¿<¿0,

то для любого < > 0

(Я(<), тахЫ*,*)!, ||«.||ьа(и)(<), Ык(н)(0) <

«ей.

где

р

(В этой главе предполагается, что р = р1, у > 1, р —- 1.) Основные оцен-

|»|-.00

ки получены во втором параграфе. Главная преодолеваемая трудность — неограниченность области течения и, следующая из этого, невозможность получить известным приемом оценки снизу и сверху на плотность газа. Эти ограничения получены методом "от противного" с использованием специальных функций типа (5).

Последний параграф посвящен исследованию начально-краевой задачи на полупрямой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Доронин Г.Г. Корректность задачи Кошн для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Препринт № 10-91, ИТПМ СО АН СССР, 1991.

2. Доронин Г.Г. Начально-краевые задачи в неограниченных областях для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // В сб.: Динамика сплошн. среды. — Новосибирск, 1992. — Вып. 105. — С. 162— 166.

3. Доронин Г.Г. Корректность задачи Коши для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // В сб.: Моделирование в механике. — Новосибирск, 1992. — Т. 6 (23). — № 2. — С. 58-70.

4. Доронин Г.Г., Ларькин H.A. О разрешимости задачи Коши для уравнений двухфазных сред // В сб.: Неклассические задачи математической физики и анализа. — Новосибирск, НГУ, 1994.