Начально - краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005002087

Ахмерова Ирина Геннадьевна

НАЧАЛЬНО - КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 НОЯ 2011

Красноярск 2011

005002087

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ФГБОУ ВПО "Алтайский государственный университет "(г. Барнаул).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Родионов Александр Алексеевич;

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

нии диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, Красноярск, ул. Киренского, 26, ИКИТ СФУ, ауд. 115 (УЛК).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.ф.-м.н., доцент , К.А. Кириллов

профессор Папин Александр Алексеевич.

кандидат физико-математических наук Прокудин Дмитрий Алексеевич.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Актуальность теоретического исследования моделей механики многофазных сред основывается на их широком применении к решению важных практических задач. К числу многофазных моделей, интересных как с математической точки зрения, так и с точки зрения приложений, относится модель описывающая движение смеси, состоящей из двух вязких жидкостей. В основе этой математической модели лежат уравнения сохранения массы, импульса каждой фазы и уравнение сохранения энергии смеси в целом:

др1д (ди, ЭуЛ да{

+ = 0, рг ^- + = — +

м дх^11' ' 1дх дх

2

Е

о ,дв дв. Э . дв,

Здесь Уг - скорость соответствующей фазы; р; - приведенная плотность, связанная с истинной плотностью р° и объемной концентрацией соотношением рг- = йгр-1; в - абсолютная температура среды (#1 = = в). Условие + = 1 является следствием определения Для тензора напряжений фазы а г принимается аналог гипотезы Стокса: а г = —вгР{ + где р{ -

давление г -ой фазы, - коэффициент динамической вязкости фазы, с$ -теплоемкость г-ой фазы при постоянном объеме. Постулируется, что силы Я имеют вид: ^ = р^ + щ + рд, где <рх = К(и2 - их), <р2 = К - коэффициент взаимодействия фаз, д - ускорение силы тяжести, х ~ коэффициент теплопроводности смеси. Данная модель широко используется в приложениях (см., например, Р.И. Нигматулин Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987., В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов, Г.А. Зотов Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. 336 е.), она является обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопросы разрешимости таких моделей исследованы в гораздо меньшей степени по сравнению с классическими моделями фильтрации или вязкого газа. Это связано с существенным усложнением моделей, в частности, введением концентраций фаз. Первые результаты о разрешимости многокомпонентной одномерной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, понятие концентрации фазы не используется) получены в работах А.В. Кажихова, А.Н. Петрова, Г.Г. Доронина, Н.А. Ларькина, А.Н. Крайко. Для многомерных баротропных смесей (понятие концентрации не используется) вопросы разрешимости рассматривались в работах:

Ж. Фрезе, С. Гой и Ж. Малека (для систем Стокса без конвективных членов); Ж. Фрезе и В. Вайганта (для квази-стационарной систем); H.A. Кучера, Д.А. Прокудина (для уравнений баротропных течений смесей вязких сжимаемых жидкостей). В работах О.В. Воинова, В.В. Пухначева и А.Г. Петровой для уравнений движения эмульсии (используется понятие конценрации) в поле микроускорений и термокапиллярных сил получены результаты о локальной разрешимости.

Диссертация посвящена математическому исследованию проблемы разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений движений двухфазных жидкостей (газов).

Цель работы. Математическое исследование разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений двухфазных смесей жидкостей (газов) в различных функциональных пространствах.

Методы исследования. При выводе результатов работы используются идеи и методы теории функций, функционального анализа, дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций достигается: использованием общих методов решения эволюционных краевых задач, изложенных, например, в монографиях О. А. Ладыженской, Ж. - JI. Лионса, С. Н. Антонцева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова; при доказательстве теорем существования основные усилия сосредоточены на получении априорных оценок, на основе которых, с помощью известных теорем из анализа либо методом Бубнова-Галеркина, показывается разрешимость задач; формулировка результатов работы в виде математических теорем, которые сопровождаются строгими доказательствами.

Научная новизна. Основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:

— установлена однозначная разрешимость в классе сильных и классических решений "в малом" по времени для задачи о нестационарном неизотермическом одномерном движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с неоднородными граничными условиями;

— для фильтрационного приближения (ускорение и коэффициент вязкости второй фазы, пренебрежимо малы) доказана разрешимость "в целом" и установлен факт стабилизации решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи;

- доказана локальная по времени теорема существования обобщенного решения нестационарной неизотермической одномерной начально-краевой задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа (истинная плотность второй фазы - функция температуры и давления) с непостоянной вязкостью фаз;

- доказана разрешимость "в целом" по времени в классе сильных решений нестационарной неизотермической одномерной начально-краевой задачи о движении смеси твердых частиц и несжимаемого газа с непостоянной вязкостью фаз, а так же установлена сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи с постоянной вязкостью к решению стационарной.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были доложены

на:

- региональной конференции по математическому образованию на Алтае "МОНА 2006" (Барнаул, 2006);

- ХЬУ международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2007);

- XIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007);

- Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова (Новосибирск, 2009);

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред", приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2009);

- региональной конференции "Математика Алтайского края" (Барнаул, 2003, 2007, 2009, 2010);

- городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики" (Барнаул, 2009, 2010, 2011);

- семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета (Барнаул);

- Всероссийской конференции "Задачи со свободными границами; теория, эксперимент, приложения" (Бийск, 2011);

- семинаре ИВМ СО РАН (Красноярск, 2011) под руководством профессора В.К. Андреева;

- семинаре Кемеровского госуниверситета (Кемерово, 2011) под руководством профессора НА. Кучера.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7], список которых приведен в конце автореферата. Доля авторского участия в совместных публикациях составляет 50-70%, причем доказательство основных научных положений принадлежит диссертанту лично.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 96 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы из 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение включает в себя обзор литературы по теме диссертации, краткое описание рассматриваемых в работе задач и полученных результатов.

В главе 1 рассматривается задача о неизотермическом движении двухфазной смеси с неоднородными граничными условиями и постоянной истинной плотностью. В основе математической модели лежат уравнения сохранения массы, импульса каждой фазы и уравнение сохранения энергии смеси в целом:

!+в(ад) = 0, ¡ = 1,2, (1)

п (dvi дьЛ д ( дуЛ dpi n

p*Si U + to J ~ to Si to) = to + ^ + PiSi9> (2)

Si + S2 = l, 4>1 = K(v2-vi), <p2 = -ipi, Pl~P2 = Pc(Sl,0), (3)

i=1

Здесь /ij, Cj - заданные положительные постоянные, K(s\), x(si)i pc(s\,0)~ заданные функции. Условие p® = const приводит к замкнутой системе уравнений для Sj(x, i), Vi(x,t), 6(x,t) и Pi(x,t) в области QT = {х | 0 < х < 1} х (0,Т).

Система (1) - (4) дополняется начально-краевыми условиями:

Vi U=o= a»(i), Vi |x=i= bi(t), Vi U=o= у°(х), si |f=0= s?(x),

(t), 0\t=o=e°(x). (5)

В диссертации для системы (1) - (4) рассматривается два варианта граничных условий: a,i(t) = ¿¿(f) = a(t) и v\ |х=о= ai(£), vi |x=i= bi(t), V2 |x=o,x=i= 0. Заметим, что из уравнений (1) с учетом равенства

+ = 1 вытекает соотношение + 52^2 = справедливое для произвольной функции 4 е [О, Т]. В первом варианте граничных условий функция /г(£) = а(£), т.е. предполагается известной, а во втором варианте - Л(£) = в(0, £)а1(й) и является неизвестной функцией.

Дополнительное условие для однозначного определения р\(х,Ь) берется в виде

1

Ур1(М)с^ = 0. (6)

о

Относительно функций в?(ж), 6а{х) предполагается выполнение неравенств следующего вида:

О < т0 < в? (ж) < М0 < 1,

, п (7)

О < < в°(х) <кх<оо

для всех х 6 [0,1] и при фиксированных постоянных т0, М0, к\.

Определение 1.1.1. Обобщенным решением задачи (1)-(6) называется совокупность функций («¿(ж,£), Уг{х,Ь), рг(х,£), в(х,Ь)), г = 1,2 из пространств

(9ч-

(Щ,в) е Ь^Т-ШЦП)) п ь2(0,т-,\у2(П)), Рг е ь^т-^Цп)),

(ди дО д \

Ж'&'Д) еЬ2(дг)' " = Ят = Пх(0,Т),

удовлетворяющих уравнениям (1)-(4) и неравенствам 0 < з(х,Ь) < 1, 0 < в(х, £) < оо почти всюду в С}т и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.

Определение 1.1.2. Классическим решением задачи (1) - (6) называется совокупность функций (у1{х,1),31{х,Ь),Рг{х,Ь),в{х,1)), г = 1,2, если они обладают непрерывными производными, входящими в уравнения (1)-(4), и удовлетворяют уравнениям, начальным и граничным условиям и неравенствам 0 < в (ж, Ь) < 1, 0 < < оо как непрерывные в <2Г

функции.

Теорема 1.1.1. Пусть данные задачи (1)^(6) удовлетворяют условиям (7), а также условиям гладкости

(у1е°)е\У№), з°е\¥22(П), (вг,аиЬг) е И3(0, Г), д £ Ь2(0,Т;

и условиям согласования:

г?(0) = о<(0), ^(1) = 6г(1), г = 1,2,

Пусть K(si), pc(si,6), x(si) - достаточно гладкие функции своих аргументов, удовлетворяющие следующим условиям:

K(s\) = K0{si){sis2)4, 0 < кц1 < K0{si) <к0 = const, tfM* < x(si) < h{sis2)41, K'is^r-1 < < fcifosa)*-1,

as i do

где /i'i = const > 0, q, qi,..., Qn - фиксированные вещественные параметры, причем q3 >0,q5> 0, qt > 0, q9 > 0, qn > 0.

Если выполнены условия (7), то существует достаточно малое значение t0 > 0, i0 6 (0, Т) такое, что для всех t G (0, i0) существует единственное обобщенное решение (sj, v,, Pi, в) задачи (1)-(6). Если дополнительно:

g е С1+а>а'2Ш (5°, vlве

1$(0) = <ц(0), v?(l) = Ml). г — l, 2,

коэффициенты K(s{) и x(si) - дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, то в Qto существует единственное классическое решение задачи, удовлетворяющее условиям

причем найдутся числа 0 < m(2) < М(2) < 1, 0 < то'3) < М<3' < оо, такие, что

0<m(2)<si(x,i)<7li(2)<l,

О < m(3) < в{х, t) < М(3) < 00, (х, t) £ Qto.

Система уравнений (1) - (4) является обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей (Антонцев С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с. ). В предположении малости вязкости и ускорения второй фазы (в уравнении (2) для второй фазы соответствующие слагаемые отбрасываются) из системы (1) - (4) получаем фильтрационное приближение, описываемое следующей системой уравнений (Gard S.K. and Pritchett J.W. Dynamics of gas - fiuidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. N. 10. P. 4493-4500. ):

ж+ё(™)=0' i = 1'2' (8)

q ( dvi dv\ \ д f dv\ \ dpi 0

PiSl = + lfl + m (9)

+ V 2 = 0, (10)

Sl + S2 = l, <Pl = K{v2 - Ui), tp2 = -<pi, Pl~P2=Pc(Sl), (11) ^ „ M дв. д . дв.

¿=1

Здесь К = Кй{з{)з-\82)-Р-\ (3 > 1.

Система (8)- (12) дополняется начальными и граничными условиям:

Щ |х=0= О, VI |х=1= 0, 51 |г=0= Ч 1<=о= ^(х),

дв дй

^и=0, ¿|х=1=0, 01^0= (13)

Под сильным и классическим решением задачи (8)—(13) понимается решение в смысле определения 1.1.1. и определения 1.1.2.

Теорема 1.1.2. Пусть данные задачи (8) - (13) удовлетворяют условиям

О < т0 < 5°(ж) < М0 < 1, 0 < т'0 < в°(х) <М'й<оо

и обладают следующими свойствами гладкости:

КЯ^еиЭД, „?(о)=«?(1) = о

и дополнительно известно, что

I р'сэ, I— ттг^-гт> ¿< кг

Arf^siil - si))n < x < fci(si(l - si))n, n = const,

K = K0(sl)s-i}(l-s1)-P-\ (3> 1.

Тогда для всех конечных Т > 0 существует по крайней мере одно обобщенное решение задачи (8)—(13), причем в(х, t) и si(x, t) - строго положительные и ограниченные функции.

Если дополнительно а? е C1+Q(ft), (vj,0°) £ C2+a(Q),0 < а < 1 и начальные данные согласованы с граничными условиями, то решение является классическим.

Для модели изотермического движения в фильтрационном приближении помимо доказательства разрешимости "в целом" доказывается стабилизация решения.

Теорема 1.1.4. Решением задачи (8) - (11), (13) с д = 0,рс = 0,в = const стабилизируется к решению стационарной задачи, решением которой является набор постоянных v\ = 0,^2 = 0,s = Л = const 6 (0,1).

В главе 2 рассматривается разрешимость начально-краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси в случае непостоянной истинной плотности одной из фаз. Система уравнений имеет вид

aw | адпл)=0 э(Р°2(1-5)) | дт-8)щ)__

dt дх ' dt дх ds

F = B(s)(v2-i;i)+p2—, р1-рз=ре(з,в), P2 = RP°20, (17)

„ (дв дв\ П/1 Л (дв дв\ д . , ,дв. ,10.

и решается в области Qt = fi х (0, Т), О, = (0,1), при краевых и начальных условиях (г = 1,2)

щ |г=о,х=1= о, || |х=о,х=1= о, Vi |г=о= v?{x),

Vi |t=o= Р°{х), в\1=ь=в°{х), s\t=0=s°(x).

Здесь (X, t) - эйлеровы координаты; p?, ъ\ - соответственно истинная плотность и скорость г - ой фазы (г = 1 - твердые частицы, г = 2 - газ), s - объемная концентрация твердых частиц, в - абсолютная температура смеси, pi - эффективное давление твердых частиц, р2 - внутреннее давление газа, g - плотность массовых сил, c¿ = const > 0 - теплоемкость при постоянном объеме, R = const > 0 - универсальная газовая постоянная; кроме того, ßi(s) - вязкости фаз, В (s) - коэффициент взаимодействия фаз, x(s) - коэффициент теплопроводности смеси, pc(s, в) - разность давлений (заданные функции). Истинная плотность твердых частиц р\ принимается

постоянной. ИСКОМЫМИ являются веЛИЧИНЫ S, в, р2, Vi, Pi, i — 1,2.

Определение 2.1.1. Обобщенным решением задачи (14) - (19) называется, совокупность функций (s(x,t),p2(x,t),vi(x,t),pi(x,t),9(x,t)), ¿ = 1,2 из пространств

яч я „о

(s,P¡,P2) е Ы0,Т; И^П)), g L2(Qt),

(Vi,в) 6 LooíO.T-.WKíl)) Ш2(0,Т;1У22(П)), Pi 6 Lœ(0,T-,W}(n)),

{wft^)eLÁQT)' Q = (0'1}' QT = nx(0,T),

удовлетворяющие уравнениям (14) - (18) и неравенствам 0 < s < 1,0 < 9, Р2 < 00 почти всюду в Qt и принимающих заданные граничные и начальные значения в смысле следов функций из указанных классов.

Теорема 2.1.1. Пусть данные задачи (14) - (19) обладают следующими условиями гладкости:

K,0°,S°,p») G W¡{Q), g G L2(0,T-,W¡(Ü)) и подчиняются условиям согласования

Ol _dö\ i

vi |ж=о,х=1— U=o,x=i— -j— |i=o,i=i= 0) i — 1>2.

Пусть функции jUi(s), p2(s), B(s), Peiß, 9), x(s) и их производные до второго порядка непрерывны для s G (0,1) и удовлетворяют условиям:

- s< ßl(s) < 1 - s)"*, |M*M < kos«s( 1 - s)®,

fcf ^(1 - < p2(s) < kos*( 1 - s)««, \(p2(s))'s\ < kos^i 1 - s)*», ¿0 V13(l - s)«4|0|ÎI5 < Pc{s,9) < k0sqi6( 1 - s)5l7|0|î18, \(Pc(s,e))'s\ <k0s^(l-s^\er\

fc0-V22( 1 - s)923 < x(s) < k0s^{ 1 - 8)925, |(x(s))sl < - s)927,

A^V^l - s)929 < B(s) < k0s43°( 1 - s)931,

где fc0 = const > 0, gi,..., <?3i - фиксированные вещественные параметры. Если выполнены условия

0 < m0 < s°(x) < М0 < 1, 0 < mj < р°(х),0°(х) < Мх < 00, х е П, (20)

где тщ, М0, mi, Mi - известные положительные постоянные, то найдется достаточно малое значение ¿о > 0, to е (0, Т), такое что для всех t < to существует сильное решение (s(x,t),p\{x,t),Vi{x,t),pi{x,t),Q{x,t)) задачи (14) - (19).

В случае несжимаемых сред уравнение состояния рг = Р2(р\,в) не- используется и давление Р2 является искомой функцией. Введем безразмерные переменные

x' = x/L, t' = t/tu Рс = Рс/Р, в'= в/в ь

Vi = Vi/U, Pi=Pi/P, г = 1,2,

и положим

5 = рУрЧ, pi = p-p^s), х = X0X(s). Мг = const >0, xo = const > 0,

Pi(s), x(s) - заданные функции. Кроме того, положим

L = Ut\, v = p\jp\, P = Lp°l\g\,

Xo — ULp\c\, В = BU/p1\g\, n = g/\g\, Вместо системы (14) - (18) получим (штрихи опущены):

ÖS d((l-s)) д((1-ф2)

dt+ дх ' dt + дх

+ß(s)(vi - v2) + (1 - s)Sn,

(дв дв\ С2 Joe дв\ д.. хдв.

При 5 — v = 0 уравнение сохранения импульса второй фазы и уравнение сохранения энергии принимают вид

др2 B(s). , /дв дв\ д , . .дв. , .

Система уравнений (14), (15), (17), (21) дополняется начальными и граничными условиями:

Vi |х=0,х=1= 0, If |х=0,х—1= 0, Vi |i=0= ^(ж),

(22)

P2\t=0=P°{x), в\^о=вР(х), S |t=o= S°(x).

Здесь истинная плотность твердых частиц р\ принимается постоянной, pc(s) - разность давлений (заданная функция насыщенности). Искомыми являются величины s,0,Vi,pi. Система уравнений (14), (15), (17), (21) замыкается предположением о несжимаемости газа (р\ = const > 0).

Под обобщенным решением задачи (14), (15), (17), (21), (22) понимается решение в смысле определения 2.1.1.

Теорема 2.1.2.Пусть р\ = const > 0 и данные подчиняются следующим условиям:

1. функции Hi(s), B(s), pc(s), x(s) и их производные непрерывны для s 6 (0,1) и удовлетворяют условиям:

p(s) = /ii s;

g

B(s) = Bo—-Bo = const >0, ¡3 = const > 2;

(1-sf

Pc{s) - pg _ p°c = const >0, 0 < 7 — const < P;

X{s) = x°(s)s9l7(l - s)"18, 0 < k^1 <X°<ko = const,

где qu,qis ~ фиксированные вещественные параметры;

2. функция g и начальные функции s°, 0°, vf удовлетворяют следующим

условиям гладкости: g е L2(0,T-,W%(Q)), (s°,u9,00) <5 условиям

согласования: vf |x=0,x=i= |i=o,x=i= 0 и дополнительно к (20) выполнено 1

условие Jp2{x,t)dx = 0. Тогда для всех t е [0,Т], Т < оо существует о

единственное обобщенное решение задачи (14), (15), (17), (21), (22).

Теорема 2.1.3. Решением задачи (14), (15), (17), (21), (22) с g = 0,рс = 0 стабилизируется к решению стационарной задачи, решением которой является набор постоянных и = 0, в = b = const > 0, s = с = canst € (0,1),

то есть установлено, что

Iii 1

J u2dx + J u2xdx + J {6- bfdx + J 6\dx+ 0 0 0 0 1 1 + J(s — cfdx + J s2xdx —> 0 при t —> oo. о о

Заключение содержит краткий перечень основных результатов, полученных в диссертации.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору A.A. Папину за постоянное внимание к работе и многочисленные обсуждения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с неоднородными граничными условиями доказана локальная по времени разрешимость начально - краевой задачи в пространствах C.JI. Соболева и Гельдера.

2. Установлена глобальная разрешимость в пространствах C.JI. Соболева начально-краевой задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей в случае малости ускорения и коэффициента вязкости второй фазы; установлен факт стабилизации решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи.

3. Обосновано существование "в малом" по времени обобщенного решения нестационарной неизотермической одномерной начально-краевой задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа (истинная плотность второй фазы - функция температуры и давления) с непостоянной вязкостью фаз.

4. Установлена разрешимость "в целом" по времени в классе сильных решений нестационарной неизотермической одномерной начально-краевой задачи о движении смеси твердых частиц и несжимаемого газа с непостоянной вязкостью фаз, а так же доказана сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи с постоянной вязкостью к решению стационарной.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. //Известия АлтГУ. - Барнаул, 2002.Спец.выпуск,- С.40-46.

2. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей. // Ред. Сиб.мат.журн. Сиб.отд.АН РФ. - Новосибирск, 2004. Деп. ВИНИТИ. - № 37. - 34 с.

3. Ахмерова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей. // Известия АлтГУ. - Барнаул, 2005. - №1. - С. 7-12.

4. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Разрешимость "в целом "уравнений одномерного движения газожидкостного слоя. // Известия АлтГУ. - Барнаул, 2007. - №1 (53). - С. 34 - 38.

5. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. - 2010. - Vol. 87. - № 2. -P. 230-243.

6. Ахмерова И.Г. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения двухфазной смеси // Сборник научных статей межрегиональной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае."Барнаул, 2010. - С.171-175.

7. Ахмерова И.Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной несжимаемой жидкости // Известия АлтГУ. - Барнаул, 2011. -JY® 1/2. - С. 7-14.

Подписано в печать 03.11.2011. Формат 60x84 1/16. Печать - цифровая. Усл.п.л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 2011 - 674

Отпечатано в типографии АлтГТУ, 656038, г. Барнаул, пр-т Ленина, 46 тел.: (8-3852) 29-09^18

Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД №28-35 от 15.07.97 г.

Введение

1 Разрешимость начально - краевых задач для уравнений движения двух несжимаемых взаимопроникающих вязких жидкостей

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.2 Разрешимость "в малом" по времени.

1.3 Глобальная разрешимость по времени модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей

1.4 Стабилизация решения задачи изотермического движения двухфазной смеси

2 Разрешимость начально-краевой задачи для одномерных уравнений движения двухфазной смеси с непостоянной истинной плотностью

2.1 Постановка задачи и основные результаты

2.2 Локальная разрешимость по времени начально-краевой задачи движения двухфазной смеси с непостоянной плотностью второй фазы

2.3 Разрешимость "в целом" по времени.

2.4 Стабилизация решения задачи неизотермического движения двухфазной смеси

В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности (газированная нефть, насыщенный парами воздух и т.д.)([1]-[4]). Имеется очень много различных моделей для описания многокомпонентных и многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретичекой точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем 17 С Rn (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1], [5], [6], [7]) уравнения неразрывности (баланса массы) д N VM - eilx [°'ГЬ * = з=i уравнения сохранения импульса В " N = v4fe + pS + P'ii> eOx [0,T], i = 1,.,iV,

3=1 уравнения сохранения энергии д E N з=i для составляющих смеси. Здесь = х = (жь^г^з) ~ декартова система координат в R3, V = щ) - оператор градиента, щ • V = vkVk = Y?k=ivi~&-ki v • г/i = Yfk=i ък и по повторяющемуся индексу используется "немое" суммирование; [О, Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi(x,t) - приведенная плотность, Vi(x,t) -вектор скорости, Jji характеризует интенсивность перехода массы из j-й в г-ю составляющую (или наоборот, из г-й в ¿-ю, тогда 3^ < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращений (формально полагая Зц = 0) имеем Зуъ — —Зц- Аналогично, Р^ и - соответственно интенсивность обмена импульса и энергией между ^'-й и г-й составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Р^ = —Рц, Е^ = —Е^ (Рц = 0, и Ец = 0).

В уравнениях импульса сг( - тензор поверхностных сил, д\ - вектор внешних сил. В уравнениях для полной энергии Е{ = щ + 1/2| щ | введены обозначения: щ - удельные внутренние энергии составляющих смеси, сг - характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае = сг^), ^ - приток тепла.

В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси {У\ + У^ + . + Уы = У). В связи с этим возникает необходимость введения величин а\,.ам, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой сх\ сх2 + . + сх-ы = 1) 0, и, таким образом, помимо приведенных плотностей рг, определяются истинные плотности веществ фаз (масса г-й фазы в единице объема г-й фазы) Р°г =

Кроме того, требуют конкретизации величины, описывающие внутрифазные (силовое <тг, энергетическое сг и и межфазные (массовое 3^, силовое —*

Рэнергетическое Е^) взаимодействия.

Из формальных балансовых соотношений [1] интенсивность обмена импульсом представляется в виде Р^ = —Рц = Я^ + З^у^, (г, ^ = 1,., ./V; г ф ]). Здесь Й^ - межфазная сила (отнесенная к единице объема смеси) из-за сил трения, давления, сцепления между фазами и т.д. Обмен импульсом происходит и за счет фазовых превращений. Например, переход ] —> г приводит к тому, что из фазы в г-ю уходит импульс Зу,^^, где Ур характеризует скорость или импульс массы, претерпевающий превращение ] —>• г и находящейся в г-й фазе. Поскольку фазовые превращения происходят на межфазновой границе, то v3l можно рассматривать как скорость всщсства г-й фазы на границе с j-й фазой Учитывая, что для гетерогенных смесей с вязкими жидкостями характерно отсутствие заметных скачков скорости на межфазных границах, предполагается, что v3l = v%3.

Интенсивность обмена энергий между j-й и г-й фазами может быть представлена в виде

Езг = -EtJ = W3i + Q3% + Jji(uzj + 1/2¡ vt3 | ).

Здесь первые два слагаемых представляют приток энергии в г-ю фазу за счет работы Wjt межфазных сил (трения, давления, сцепления и т.п ) и теплопередачи Q3l на границе между j-й и г-й фазами Третье слагаемое представляет перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из j-ft в г-ю фазу, где и3% - удельная внутренняя энергия массы, претерпевающая переход j —> i и находящейся в г-й фазе. Аналогично скорости v3l величина изг может рассматриваться как удельная внутренняя энергия г-й фазы на границе с j-й фазой. Но в отличие от скоростей v3l внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, т е. и3% ф игз.

При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы. Кроме того, принимается гипотеза о том, что фазы представляют собой двухпараметрические среды, т.е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности Рг и температуры Тг или давления рг и температуры Тг). Таким образом, иг = Тг), рг = рг(рЧ, Тг), Sz = Sl{p°t, Тг), (Д = ¿ + Уг ' V) И ДЛЯ КЭЖДОЙ фазы справедливо соотношение Гиббса [1]

Тг Dtst = DtUi+ptDt(l/p4).

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели является следующая схема силового взаимодействия и совместного деф-формирования фаз [8]

T? = -atpt6kl + TF,(l/3oÍk = -a<pt, тгкк = 0, rkl = т1к) рМЛ) =р2(р°2,Т2) = .=рм(р°м,тм)=р n n ^ % р \7 + ^ ^ ^г

7=1 .7=1

Здесь а^Рг - шаровые составляющие в тензорах напряжений фаз; §к1 - символ Кронекера; р а^ - сила, возникающая из-за расширения трубки тока [8]; характеризует скоростную неравновестность между ^'-й и г-й фазами (^г увеличивается С увеличением У] — щ).

Данная работа посвящена разрешимости некоторых начально-краевых задач для уравнений одномерного движения двухфазной смеси.

Одна из первых моделей двухфазных смесей возникла в задачах вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды или специальных растворов. Вопросам корректности таких моделей посвящены работы ([9] - [11] и многие другие).

После работы Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия активизировались работы по созданию моделей, точнее учитывающих неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов (в том числе -моделей фильтрации, не использующих эмпирический закон Дарси).

В диссертации рассматривается модель неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений (Х.А. Рахматулин, Р.И. Нигматулин, В.Н. Николаевский [1], [2], [8], [12]), являющаяся обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении для таких моделей двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью Маскета-Леверетта или моделью вязкого газа. Это связано с существенным усложнением объекта исследования (модель усложняется, в частности, введением концентрации фазы, связывающей истинную и приведенную плотности). Однако имеется ряд моделей многофазных сред, для которых установлены результаты о разрешимости. Это модели многокомпонентной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, понятие концентрации фазы не используется). В работах A.B. Кажихова, А.Н. Петрова, Г.Г. Доронина, H.A. Ларькина, А.Н.Крайко для этой модели исследована разрешимость начально-краевых задач и задачи Коши. В работах О.В. Воинова В.В. Пухначева и А.Г. Петровой получены результаты о локальной разрешимости для уравнений движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 58 наименований. Нумерация формул, определений, лемм, теорем и констант обособленна внутри каждой из глав. Номер формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоит из двух чисел: первое - номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Введение также содержит в себе список основных обозначений, используемых в работе.

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Доказана локальная по времени разрешимость в пространствах С.Л. Соболева и Гельдера начально-краевой задачи для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с неоднородными граничными условиями.

2. Установлена разрешимость "в целом" по времени для фильтрационного приближения (ускорение и коэффициент вязкости второй фазы пренебрежимо малы) и установлен факт стабилизации решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи.

3. Обосновано существование "в малом" по времени обобщенного решения нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа (истинная плотность второй фазы -функция температуры и давления) с непостоянной вязкостью фаз.

4. Установлена разрешимость "в целом" по времени в классе сильных решений нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и несжимаемого газа с непостоянной вязкостью фаз, а также установлена сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи с постоянной вязкостью к решению стационарной задачи.

Всего в работе имеется 8 определений, 7 теоремы, 13 лемм и 2 замечания.

Заключение

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 360 с.

2. Дейч М.Е., Филлипов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат.,1981. 472 с.

3. Оран Э., Борис Д.Ж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990. 660 с.

4. Rajagopal K.L. and Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing. 1995. 195 P.

5. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с.

6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука. 1970. 492 с.

7. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т.20. Вып. 2. С. 183-195.

8. Антонцев С.Н. Стационарные задачи двухфазной фильтрации с неизвестными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 36. С. 3-10.

9. Ведерников В.В., Николаевский В. Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. N. 5. С. 165-169.

10. Монахов В.Н. Автомодельные решения тепловой двухфазной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 9-17.

11. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. 336 с

12. Папин А.А. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64-70.

13. Ахмерова И.Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной несжимаемой жидкости // Известия Алт-ГУ. Барнаул, 2011, №1/2, - С. 7-14.

14. Gard S.К. a.nd Pritchett J.W. Dynamics of gas fluidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. N. 10. P. 4493-4500.

15. Ахмерова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей. // Известия АлтГУ. Барнаул, 2005. М, с. 7-12.

16. Ахмерова И.Г., Папин А.А. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей

17. Известия АлтГУ. Барнаул, 2002. Спец.выпуск, с.40-46.

18. Gôz M. Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed équations // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 1991. Vol. 71. N. 6. P. 750-751.

19. Ахмерова И.Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси

20. Журнал СФУ. 20 - Vol. , № . - Р. . (в печати).

21. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture Mathematical Notes. 2010. - Vol. 87, № 2. - P. 230-243.

22. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 1. Incompressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1996. 237 P.

23. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998. 348 P.

24. Файзуллаев Д.Ф., Умаров A.M., Шакиров А.А. Гидродинамика одно -и двухфазных сред и ее практическое приложение.Ташкент: Фан. 1980. 167 с.

25. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

26. Папин А.А. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2009. 220 с.

27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 656 с.

28. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

29. Вайгант В. А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31-52.

30. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.

31. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико математические основы фильтрации воды. М.: Мир. 1971. 452 с.

32. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 544 с.

33. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука. 1978. 304 с.

34. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат. 1981. 422 с.

35. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: КазгосИНТИ. 2001. 336 с.

36. Злотник A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси// Матем. заметки. 1995. Т. 58. N. 2. С. 307-312.

37. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 493 с.

38. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы. 1958. 286 с.

39. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей //Ред. Сиб.мат.журн. Сиб.отд.АН РФ. Новосибирск, 2004.Деп. ВИНИТИ № 37. с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542 с.

41. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск.Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1972. 128 с.

42. Коновалов А.Н. О некоторых вопросах, возникающих при численном решении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Труды МИ АН СССР. 1973. Т. 122. С. 2-23.

43. Ахмерова И.Г. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения двухфазной смеси // Сборник научных статей межрегиональной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае"Барнаул, 2010. С. 171-175.

44. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Разрешимость "в целом "уравнений одномерного движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ, Барнаул, 2007. Вып. 1 (53), - С. 34 - 38.

45. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газожидкостных систем. М.: Энергия. 1976. 296 с.

46. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.

47. Ландау Л.Д., Лившиц В. М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736 с.

48. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

49. Ляпидевский В.Ю. Моделирование двухфазных течений на основе законов сохранения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 76. С. 111-120.

50. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64-70.

51. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 2000. Вып. 116. С. 73-81.

52. Папин А.А. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 1.Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сиб.журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 2(26). С. 116-136.

53. Папин А. А. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 2. Результаты о разрешимости // Сиб. журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 3 (27). С. 111-123.

54. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд. СО АН СССР. 1988. 333 с.

55. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.

56. Soo S.L. Development of Dynamics of Multiphase Flows // Int. J. Sci. Eng. 1984. Vol. 1. P. 13-29.

57. Steward H.B. and Wendroff B. Two-phase flows: models and methods // J. Сотр. Phys.1984. Vol. 56. P. 363-409.

58. Wilmanski K. On a homogeneous adsorption in porous materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 2. P. 119-124.