Корректность начально-краевых задач для уравнений гидродинамики многокомпонентных жидкостей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е

Глава I. Краевые задачи в теории многоскоростного пограничного слоя .•

§ I. Модель Рахматулина. Существование и единственность сильного решения

1°. Постановка задачи и основные результаты. 2°. Вспомогательные задачи. 3°. Оценки, равномерные по £ .4°. Существование сильного решения основной задачи. 5°. Единственность.

§ 2. Тепловой пограничный слой в многокомпонентном потоке. ( Многоскоростная и многотемпературная модель.)

1°. Краевые задачи. 2°. Регуляризирующее семейство краевых задач. 3°. Интегральные оценки, равномерные по 6 .4°. Существование слабого решения основной задачи. 5°. Доказательство теоремы 2.2. 6°. Теорема единственности.

Глава II. Начально-краевые задачи одномерного нестационарного течения многокомпонентной смеси

§ I. Корректность постановки задач для многоскоростной модели баротропных жидкостей

I? Постановка задачи.2°. Априорные оценки. 3°. Оценки сверху и снизу «Я/ . 4°. Оценки производных решения и гельдеровские оценки. 5°. Неоднородная краевая задача. 6°. О задаче Коши.

§ 2. Основные краевые задачи взаимопроникающего движения совершенных газов

Io. Постановка смешанных краевых задач. 2°. Первые энергетические оценки. 3°. Оценка сверху и снизу P¿ , T¿ .4°. Оценки производных решения. 5°. Другие граничные задачи. 6°. Оценки норм Гельдера решения. 7°. Задача Коши. 8°. О локальной разрешимости задач. Единственность решений.

Современное состояние механики многокомпонентных (многофазных) систем характеризуется интенсивным развитием теоретических и экспериментальных исследований. Большое разнообразие и сложность структуры движения различных смесей отражается в многочисленности созданных математических моделей. Среди них модели, описывающие движение многоскоростных континуумов, которым посвящено множество работ как отечественных, так и зарубежных авторов: Х.А.Рахматулин [25] , К.Трусделл [55] , С.Coy [31] , Р.И.Нигматулин [19] и многие другие. В монографиях [31] , [19] содержится подробный обзор и обширная библиография работ.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы корректности постановок краевых задач для некоторых частных моделей гидродинамики смесей, а именно а) модели стационарного плоскопараллельного движения в пограничном слое двухкомпонентной несжимаемой жидкости (модели Рахматулина), б) многоскоростной и многотемпературной модели, обобщающей первую, в) моделей одномерного нестационарного взаимопроникающего движения газовых сред.

Исследование первых двух моделей примыкает к математическим задачам теории пограничного слоя, основопологающими уравнениями которой явились уравнения, предложенные Л.Прандтлем в 1904 г. Вопросами существования, единственности, устойчивости и дифференциальных свойств решений для системыуравнений Прандтля занимались Г.Вейль, Н.С.Пискунов, Дж.Серрин, К.Никель, О.А.Олейник , Т.Д.Джураев, Н.Д.Введенская, Н.В.Хуснутдинова и др. Система уравнений стационарного плоскопаралельного пограничного слоя, как известно, в результате преобразования Мизеса приводится к одному, вырождающемуся на границе течения, параболическому уравнению. Существование решения этого уравнения, имеющего непрерывные производные во внутренних точках области течения, было доказано Н.С.Пискуновым в 1943 г. [23] . Наиболее полные результаты о существовании и единственности решений краевых задач для уравнений Прандтля получены О.А.Олейник в 1963 г. [20] . Ею же в последствии была исследована система Прандтля с использованием преобразования Крокко, причем как для стационарных, так и нестационарных течений [21] . Корректность краевых задач для полной системы уравнений стационарного сжимаемого теплового пограничного слоя рассмотрена Н.В.Хуснутдиновой [37-40] . В [37,39] также была исследована диффузионная модель погранслойного течения многокомпонентной смеси, в которой уравнения переноса масс компонент записываются на основе закона диффузии Фика. Более общий случай представления диффузионных потоков тепла и масс компонент был рассмотрен М.С.Сопла [28-30] . В этих работах использовался переход к переменным Дородницина (аналога переменных Мизеса для сжимаемого случая).

Для модели Рахматулина, которую можно рассматривать как обобщение уравнений Прандтля на случай многоскоростного движения, теорема существования, аналогичная [39] , была доказана автором [57]. Вопрос единственности рассматривался ранее в работе К.Никеля [52]. Отметим, что при переходе к новым переменным, связанным с функциями тока компонент, получается система, каждое уравнение в которой записано в своих координатах, а в членах взаимодействия присутствует функциональная зависимость, определяемая формулами, связывающими различные переменные.

В указанных работах решения уравнений пограничного слоя строились в классах гладких функций. Исследованию обобщенных решений в кассах Соболева была посвящена работа О.А.Олейник [22] , в которой для уравнений погранслоя, записанных в переменных Крокко, доказаны существование и единственность решения, обладающего производными из пространства . В системе теплового пограничного слоя, когда число Прандтля принимается равным единице, глобальное существование обобщенного решения установлено Н.В.Хуснутдиновой [40] . В данной работе исследование многоскоростных моделей пограничного слоя также проводится в пространствах Соболева.

Наряду с моделями пограничного слоя в диссертации рассматриваются модели одномерного нестационарного взаимопроникающего движения вязких сред. Они относятся к простейшим моделям, в которых уравнения для компонент составляются по аналогии с однородными жидкостями. Взаимодействие компонент учитывается членами, пропорциональными относительным скоростям и разности температур. Замкнутые системы уравнений многоскоростного течения вязких жидкостей без учета теплопроводности компонент приведены в монографиях Д.Ф.Файзуллаева [33, 34] . Замыкание модели взаимопроникающего движения смеси совершенных газов с привлечением уравнений энергии предложено В.И.Мароном и В.А.Медведевым [18]. Полученные ими уравнения представляют собой сложные системы, обобщающие уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости на случай многоскоростного движения.

Краевые задачи для системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости изучались Дж.Серриным, Дж.Нэшем, В.А.Солонниковым, А. Тани, Н.Итая, А.И.Вольпертом и С.И.Худяевым, Я.И.Канелем, А.Ма-цумурой и Т.Нишидой, А.В.Кажиховым и др., Обзор их исследований приведен в монографии [I] . Теоремы существования и единственноети для трехмерных движений доказаны в локальной постановке (на малом промежутке времени или при малых: начальных данных, [51, 27, 481 ). В случае одномерного движения установлена глобальная разрешимость как задачи Коши, так и смешанных краевых задач. В работах [47,54] рассмотрена модель Бюргерса (когда давление считается постоянным), в [10] модель баротропной жидкости (когда давление зависит от плотности). Для полной системы одномерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости (с учетом теплопроводности) корректность начально-краевых задач исследовал А.В.Кажи-хов [3-7] .

В предположении постоянства плртностей и концентраций для многоскоростных моделей "типа Навье-Стокса" теоремы существования и единственности сформулированы в работах Й.Ферсте [44] , [45] . Надо заметить, что в общем случае движения средние плотности компонент, которые фигурируют в уравнениях многоскоростного континуума (см., например, [19] ), переменны даже тогда, когда составляющие смеси несжимаемы (т.е. их истинные плотности постоянны). В настоящей работе рассмотрены одномерные модели для сжимаемой смеси баротропных жидкостей и смеси вязких совершенных газов. Для них доказаны нелокальные теоремы, аналогичные [3, 9], 16] .

Приведем основные результаты диссертации.

Диссертационная работа состоит из двух глав и приложения. В приложении приведены изучаемые модели гидродинамики многокомпонентных жидкостей и основные допущения при которых эти модели рассматриваются. Здесь же выписаны формулы преобразования Мизе-са и Лагранжа для случая многокомпонентных систем, которые используются при решении задач.

1. АНТОНЦЕВ С.Н., КАЖИХОВ A.B., МОНАХОВ В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск: Наука, 1983 . 319 с.

2. ГОЛЬДШТИК М.А. Некоторые проблемы теории газожидкостных систем. В сб.: Гидродинамика и теплообмен в двухфазных средах. (Материалы II Всесоюзной школы по теплофизике, декабрь 1981 г.), Новосибирск, 1981, с. 31-41.

3. КАЖИХОВ A.B. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа. В сб.: Течение жидкости со свободными границами,(Динамика сплошной среды, в.21), Новосибирск, 1975, с. 18-47.

4. КАЖИХОВ A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа. В сб.: Динамика жидкости со свободными границами (Динамика сплошной среды в. 24), Новосибирск, 1976, с. 45-61.

5. КАЖИХОВ A.B. 0 задаче Коши для уравнений вязкого газа. Сиб. мат. журн., 1982, т. 23, № I, с. 60-64.

6. КАЖИХОВ A.B., ПЕТРОВ А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси. В сб.: Динамические задачи механики сплошных сред (Динамика сплошной среды в. 35), Новосибирск, 1978, с. 61-73.- 123

7. КАШХОВ A.B., ШЕЛУХИН B.B. Однозначная разрешимость в целом по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа. ПММ, 1977, т.41, № 2, с. 282-291.

8. КАНЕЛЬ Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа. Дифференциальные уравнения, 1968, т. 4, № 4,с. 721-734.

9. КРУЖКОВ С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными. Труды Московского матем. общества, 1967, т. 16, с. 329-346.

10. КРУЖКОВ С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя неизвестными переменивши. Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1979, в. 5, с. 217-272.

11. КУЗНЕЦОВ Б.Г. Об уравнениях гидродинамики многофазных систем. В сб.:: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1973, т. 4, № I.

12. ЛАДБКЕНСКАЯ O.A., С0Л0ННИК0В В.А., УРАЛЬЦЕВА H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, с. 736

13. ЛАНДАУ Л.Д., ЛШИИЦ Е.М. Механика сплошных сред. Гостех-издат, 1956.

14. ЛАРЬКИН H.A. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений, описывающей течение двухфазной смеси. В сб.: Механика жидкостей и газа, Ташкент,: Фан, 1980, с. 35-40.

15. ЛАРЬКИН H.A. Об одной модельной системе уравнений механики гетерогенных сред. В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, № 7, с. 60-66.

16. МАРОН В.И., МЕДВЕДЕВ В.А. К выводу уравнений энергии взаимопроникающих движений газовых сред. Вестник Моск. универ., серия I (Матем., мехаан.), 1963, № I.

17. НИГМАТУЛИН Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука 1978, с. 336.

18. ОЛЕЙНИК O.A. 0 системе уравнений теории пограничного слоя.- ЖВМ и МФ, 1963, т. 3, № 3, с. 489-507.

19. ОЛЕЙНИК O.A. Математические задачи теории пограничного слоя.- УМН, 1968, т. 23, в. 3, с. 3-68.

20. ПИСКУНОВ С.Н. Интегрирование уравнений теории пограничного слоя. ИВ. АН СССР, серия матем., 1943, т. 7, № I, с. 35-46.

21. Псевдоожижение (Под редакцией И.Ф. ДЭВИДСОНА и Д.ХАРРИСОНА).- М.: Химия, 1976, (пер. с англ.).

22. РАХМАТУЛИН Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. ПММ, 1956, т. 20, № 2, с. 184-195.

23. СИДОВ Л.И. Механика сплошной среды. T.I.-M.: Наука, 1973,493 с.

24. С0Л0ННИК0В В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. В сб.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. (Записки науч. семинаров ЛОМИ АН СССР, т. 56), Л.: Наука, 1976, с. 128-142.

25. СОПЛА М.С. О существовании многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы диффузии. В сб.: Динамические задачи механики сплошных сред. (Динамика сплошной среды в. 35), Новосибирск, 1978, с. 99-121.

26. СОПЛА М.С. О единственности многокомпонентного теплового пограничного слоя в случае общей матрицы дифузии. В сб.: Динамика жидкости со свободными границами (Динамики сплошной среды, в. 36.), Новосибирск, 1978, с. 120-129.- 125

27. СОППА М.С. Краевые задачи для уравнений многокомпонентного пограничного слоя с общей матрицей диффузии. В сб.: Динамика сплошной среды, в. 37, Новосибирск, 1978, с. 113-123.

28. СОУ С. Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1971 (пер. с англ.).

29. УОЛЛИС Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972.

30. ФАЙЗУЛЛАЕВ Д.Ф. Ламинарное движение многофазных сред в трубопроводах. Ташкент: Фан, 1966. - 220 с.

31. ФАЙЗУЛЛАЕВ Д.Ф. Гидродинамические модели движения смесей. Ташкент: Фан, 1972, - 200 с.

32. ФИЛАТОВ А.Н., ШАРОВА Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М., изд-во Наука, 1976, с. 1-152.

33. ФРИДМАН А. Уравнения с частными производными параболического типа, М.: Мир, 1968, - 427 с.

34. ХУСНУТДИНОВА Н.В. Температурный пограничный слой в двухком-понентной сжимаемой среде. В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, в. 10, 1972, с. 149-157.

35. ХУСНУТДИНОВА Н.В. Краевая задача для системы уравнений температурного пограничного слоя. ДАН СССР, 1972, т. 206, № I, с. 64-67.

36. ХУСНУТДИНОВА Н.В. Об условиях глобальной разрешимости краевых задач для системы уравнений стационарного пограничного слоя жидкости. В сб.: Динамика жидкости со свободными границами (Динамика сплошной среды, в. 57), Новосибирск, 1982, с. 113-130.

37. FÖZSte J. Instationäie ¿tZÖmung eines Lnkompiessißten N-Phasen Mediums. MonatsßezLchte dt. Akadem. Wiss., Bezän 12, 1970, s. 347-357.

38. FblSte J. Vßez den Diuck in dei Kontinuumstheoiie <füz Mehiphasenstzömungen-Matematische Nachlichten, B.5S, H. 1-6,1975, S. 269-277.JshcL M. Thezmo-<fßuid dtnamic theozy of telophase fCour. iyzotßes, 22, 1975.

39. Itaya N. On the tempeiatCy gßoßaßpzoßßem of the yenezatiied Buzgezs equation. -J. Math. Kyoto Univ., V. N1, 1974, p. 129-172.

40. Matsumuza AN is hi dl a Т. The initiaßvatuepzoßtem voz the equations of motion of viscous and heatconductiwe gases. J. Math. Kyoto Uniir, V. 20, Ni, 1980, p. 67-104.

41. Muziay IT). On the mathematics of ftucduation. Paztl. Fundamentaß equations and wave pwpagaüonü. Fßuid Mechanic, v. 21, M3, 1965, p. 465-493.so. Mattet I. A thezmodinamic theoiy of mixtuies of fluids. -Aich. Ration. Mech. and Mat., V. 25, N1,1968.

42. Nasch 3. Le pzoßteme de Cauchy poui Ces equationsdiffeientittes d'un ftuide genezaC. Butt. Joe. Math. Fiance, 1962, t.90, /i/4,/?. 487-497.

43. Nichet K. Pazaßotic equations with apptications turo ßoundaty tayez theory. Paztiat diffeientiat iguations and continuum Mech., Madison, Wisconsin Ptess, 1961, 519-550.

44. Rachmatatin H. A. Grenzschicht Theozie del homogenen und zweikomponenten Flüssigkeit mit zwei iGeschwindigkeiten. -Symposium Fieißuzg. Bz. 26, ßis 29. August, 1957, Beitin -Gottingen-Heidetßeig;335.342.

45. TanL A. On the first initiat-Boundary vaCue pzoßCem of compzessießße viscous fluid motion. -Pußt Res. Inst. Math. Sei., V.13, ah, 1977, p 193-253.

46. Tiuesdett C. On the foundations of Mechanics and enezgetics. In.: The kationaC Mechanics of Mateziats (ed ßy C. Tiuesdett), New -yozk-London, Gordon and Breach Seience Pußtishez, 1965, p. 292-305.- 128

47. ПЕТРОВ А.Н. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов. В сб.: Динамика неоднородной жидкости (Динамика сплошной среды, в. 56), Новосибирск, 1982, с. 105-121.

48. ПЕТРОВ А.Н. Разрешимость краевой задачи стационарного двух-скоростного пограничного слоя. В сб.: Математические проблемы гидродинамики (Динамика сплошной среды, в. 59), Новосибирск, 1983, с. 164-172.

49. ПЕТРОВ А.Н. О корректности краевых задач двухскоростного пограничного слоя. В сб.: Динамика жидкости со свободными границами (Динамика сплошной среды, в. 60), Новосибирск, 1983, с. 106-124.

50. ПЕТРОВ А.Н. 0 задаче взаимопроникающего движения совершенных газов в пограничном слое. В сб.: Динамические задачи механики сплошной среды (Динамика сплошной среды, в 63), Новосибирск, 1983, с. 142-146.