Разрешимость вырождающихся уравнений магнитной газовой динамики и температурной модели неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ

МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.

§1.1. ЗАДАЧА КОШИ С РАЗНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ НА

БЕСКОНЕЧНОСТИ.

§ 1.2. ЗАДАЧА КОШИ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СРЕДЫ.

§1.3. ЗАДАЧА КОШИ С ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ПЛОТНОСТЬЮ.

§ 1.4. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ

ПЛОТНОСТЬЮ.

§1.5. ЗАДАЧА ОБ ИСТЕЧЕНИИ ГАЗА В ВАКУУМ В

ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

§ 1.6. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ПОРШНЯ В ВЯЗКОМ ГАЗЕ.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 2. КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ

РЕАГИРУЮЩЕЙ СМЕСИ ГАЗОВ.

§ 2.1. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§ 2.2. ЗАДАЧА КОШИ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§ 2.3. ДВИЖЕНИЕ С КОНТАКТНЫМ РАЗРЫВОМ.

§ 2.4. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ ПЛОТНОСТЬЮ.

§ 2.5. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 3. КОРРЕКТНОСТЬ ТЕМПЕРАТУРНОЙ МОДЕЛИ

НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ ДИССИПАЦИИ

ЭНЕРГИИ.

§3.1. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ.

§3.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ.

ВЫВОДЫ.

Актуальность проблемы. Актуальность теоретического исследования моделей механики сплошной среды и, в частности, гидродинамики, ^ газодинамики, обусловлена их широким применением в решении важных практических задач. Например, различные технологические процессы химической, нефтяной, газодобывающей и пищевой промышленности, а также ряд природных процессов связаны с течением жидкости. Математическое описание процессов, происходящих в движущихся жидкостях, приводит к решению уравнений Навье-Стокса да. Р dt dp ^ д дх, ;=1 дх ■ М

Г ди: ди Л

L + —L дх j дх V J 1 J Pfi,

0.1) div и = 0, i = 1,2,3, где х = , х2, х3) - координаты точек области течения, t - время, u{x,t)=(u},u2,U2)- поле скоростей, p{xj) - давление, p(x,t) - плотность, ju(x,t)~ вязкость жидкости.

Эти уравнения нелинейные, поэтому наиболее приемлемым способом их решения, в настоящее время, являются численные методы. Разработка численных методов для уравнений Навье-Стокса имеет большую прикладную и теоретическую ценность. Построение эффективных численных алгоритмов невозможно без проведения достаточно подробных теоретических ч исследований. Поэтому, прежде всего, возникает необходимость провести строгий математический анализ разрешимости краевых задач, поставленных для системы уравнений (0.1) (по крайней мере, для модели вязкого газа, модели неоднородной жидкости) в гидродинамике и газодинамике.

Кроме того, решение математических задач, возникающих при изучении проблем механики, представляет самостоятельный научный интерес, который стимулируется дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений.

Объект и предмет исследования. Для количественного описания происходящих в природе процессов с успехом применяются методы математического моделирования. В диссертации исследуются различные модели, описывающие нестационарное, одномерное движение вязкого теплопроводного газа и двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция (с учетом и без учета магнитного поля, в пористой и непористой среде, для вырождающихся и не вырождающихся уравнений), а также течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Математические исследования рассматриваемых моделей составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных. Объект диссертации составляют уравнения неклассического типа. Исследуемые модели механики сплошной среды характерны тем, что наряду с уравнениями движения приходится рассматривать дополнительные определения «параметров неоднородности» (плотность, температура, концентрация, напряженность магнитного поля). В результате возникают нестандартные системы уравнений, не относящиеся ни к одному из классических типов. Математическая особенность всех изучаемых систем уравнений, помимо их нелинейности, связана с тем, что это системы составного типа. Данное обстоятельство диктует необходимость разрабатывать для каждой конкретной системы соответствующую методику исследования, так как общая теория уравнений составного типа, даже линейных, развита еще недостаточно полно. Своеобразие отдельных моделей проявляется при получении априорных оценок для решения краевых задач.

Цель и задачи диссертации. Использование уравнений Навье-Стокса для количественного описания динамических явлений, происходящих в жидкой среде, целесообразно начать с ответа на вопрос: имеют ли они единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям? Изучение этих вопросов и является основной целью диссертации. Главное внимание уделено доказательству теорем существования и единственности (для выбранных классов Соболева) обобщенных и сильных решений. Вопрос же существования классического решения, т.е. исследование зависимости гладкости решения от гладкости данных задачи, представляется менее важным и принципиальным для гидромехаников и, как правило, является следствием сильного решения.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

- Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в магнитном поле и без учета магнитного поля в разных модельных ситуациях. Исследованы вырождающиеся уравнения магнитной газовой динамики в ограниченной и неограниченной областях, движение поршня в вязком газе, движение вязкого газа в пористой среде с разными пределами искомых функций на бесконечности.

- Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задач, описывающих одномерное течение двухкомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция, в магнитном поле и без учета магнитного поля. Исследованы вырождающиеся уравнения, движение с контактным разрывом, смешанные краевые задачи в ограниченных и неограниченных областях.

- Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени задачи, описывающей течение неоднородной по плотности и температуре вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в двумерной области. Исследуемые уравнения сильно нелинейные.

Все эти результаты являются новыми.

Значение для науки и практики. Работа носит теоретический характер. Изучены задачи, которые возникают непосредственно из приложений. Дана постановка и исследованы важные задачи механики сплошной среды, приводящие к новым широким классам систем дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, доказана разрешимость ряда задач для -вырождающихся уравнений газовой динамики, давно сформулированных в виде проблемных [2]. Разрешимость краевых задач указывает на совместность, непротиворечивость уравнений газодинамики, гидродинамики и тем самым на возможность их использования для исследований. Результаты диссертации могут найти применение в теории краевых задач для нелинейных уравнений, в том числе для уравнений газовой динамики и гидродинамики, а также могут быть использованы при исследовании качественных свойств решений уравнений газовой динамики и гидродинамики. Полученные оценки могут быть полезны в дальнейшем при построении численных методов. Интерес к модели ^ неоднородной жидкости обусловлен ее важностью для прикладных разделов гидродинамики, океанологии и гидрологии.

Методика исследования связана с получением глобальных и локальных априорных оценок и применение на их основе общих методов решения нелинейных краевых задач, в частности, метода Галеркина и метода продолжения по параметру.

В диссертации используются обозначения, введенные в [2, 79, 83].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, тринадцати параграфов, заключения, списка литературы, содержащего 136v наименований, и приложения.

ВЫВОДЫ

В третьей главе диссертации исследована одна температурная модель вязкой несжимаемой неоднородной (по температуре и плотности) жидкости с учетом диссипации энергии. Вязкость предполагается постоянной, а коэффициент теплопроводности зависит от температуры. Система уравнений является нелинейной и имеет составной вид. Доказано существование и единственность сильного решения начально-краевой задачи при выполнении условий (3.1.6), (3.1.7). Это означает, что диссипативный член имеет слабое влияние, если коэффициент теплопроводности Я(в) растет быстрее своего аргумента. Установленная теоремой 3.1.1 зависимость дифференциальных свойств решений от гладких начальных данных является точной, т.е. любое ухудшение гладкости и0(х), в0(х), р0(х) приводит к ослаблению дифференциальных свойств решений. Дальнейшее улучшение свойств начальных данных приводит к улучшению свойств решений. Доказательство разрешимости «в целом» по времени начально-краевой задачи проведено методом продолжения по параметру на основе глобальных априорных оценок.

Результаты данной главы являются новыми и имеют прикладное значение. Приведен вывод априорных оценок. Следует отметить, что учет неоднородности и диссипации привносит в исследования ряд особенностей, связанных с дополнительной нелинейностью уравнений в старших членах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе исследованы нелинейные уравнения газовой динамики и гидродинамики. Изучен вопрос однозначной разрешимости различных модельных задач.

В первой главе рассмотрены вырождающиеся уравнения магнитной газовой динамики в ограниченной и неограниченной областях, задачи Коши для уравнений магнитной газовой динамики в пористой среде с разными^ пределами на бесконечности, задача о движении поршня в вязком теплопроводном газе в магнитном поле. Доказано существование и единственность обобщенного решения «в целом» по времени. Выведены глобальные априорные оценки, позволяющие продолжить локальное решение на весь промежуток времени (0, Т), 0 < Т < со.

Во второй главе исследована обобщенная система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение многокомпонентной смеси газов, между которыми протекает химическая реакция. Изучены уравнения нестационарного одномерного течения двухкомпонентной смеси газов, между которыми ^ протекает химическая реакция, в магнитном поле и без учета магнитного поля. Изучено поведение решений в разных модельных ситуациях. Доказана однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевой задачи в магнитном поле, задачи Коши с разными пределами на бесконечности, задачи о движении с контактным разрывом, задачи с вырождающимися уравнениями.

В третьей главе доказана сильная разрешимость «в целом» по времени двумерной модели неоднородной по температуре и плотности вязкой несжимаемой жидкости с учетом диссипации энергии в соболевских пространствах. Доказательство проведено методом продолжения по параметру^ и выводом глобальных априорных оценок.

1. Антонцев С.Н., Кажихов А.В. Математические вопросы динамики неоднородных жидкостей. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 1973. - 121с.

2. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 319с.

3. Бай Ши и. Магнитная газодинамика и динамика плазмы. - М.: Мир, 1964. -301с.

4. Белов С.Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. —\ 1982.-Вып. 56.-С. 21^13.

5. Белов Ю.Я. Об аппроксимации некоторых не эволюционных систем уравнений эволюционными // Численные методы механики сплошной среды. 1970. - Т. 1, № 6. - С.3-17.

6. Белов Ю.Я. Об одной квазилинейной стационарной задаче динамики океана // Там же. 1978. - Т.9, № 5. - С.13-27.

7. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существований глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, № 6. - С. 1283-1316.

8. Вайсман A.M., Гольдштак М.А. Динамическая модель движения жидкости в пористой среде//Изв.АН СССР. Сер. мех. жидкости и газа. 1978. № 6, С.89-95.

9. Владимиров Н.Н., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости // Некоторые вопросы вычисл. и прикл. математики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1966. С. 29-35.

10. Ю.Вольперт А.И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем^ нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. — 1972. Т. 87, № 4. -С. 504-528.

11. П.Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ. - 1961. - 263с. ^

12. Джаикбаев A.M. О разрешимости и аппроксимации некоторых уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости: Дис.канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.-Новосибирск: ИГУ, 1988. 100с.

13. Джаикбаев A.M. О корректности одной модели движения вязкой несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. 1987. - Вып.83. - С. 72-87.

14. Дурмагамбетов А.А. Разрешимость некоторых нелинейных задач газовой динамики: Дис.канд.физ.-мат.наук: 01.01.02. Алматы, 1987. - 75с.

15. Есекеев К.Б., Есекеева М.Ж., Искендерова Д.А. О стабилизации решений^ начально-краевой задачи для уравнений нестационарного течения реагирующей смеси газов // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 1996. - № 4. - С. 49-55.

16. Есекеев К.Б., Есекеева М.Ж., Искендерова Д.А. О задаче Коши для уравнений нестационарного течения реагирующей смеси газов // Там же. -1997. № 7. - С.178-180.

17. Искендерова Д.А. Разрешимость некоторых нелинейных задач механики сплошной среды: Дис.канд.физ.-мат.наук: 01.01.02-Алматы, 1990. — 108с.

18. Искендерова Д.А., Смагулов Ш.С. Движение с контактным разрывом в неограниченной области // Abst. of Invaited Lect. and Short Communications Delivered at the Second International Colloquium on Different. Equations. -Plovdiv, 1991.-C. 109.

19. Искендерова Д.А., Смагулов Ш.С. Задача Коши для уравнений вязкого теплопроводного газа с вырождающейся плотностью // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. -Т.ЗЗ, № 8. - С.1251-1259.

20. Искендерова Д.А. Движение с контактным разрывом в реагирующей смеси газов // Докл. Мин. Науки Акад. наук Республики Казахстан. - 1998. — № 1.- С.49-54.

21. Искендерова Д.А. Разностные методы для модели реагирующей смеси газов // Там же. 1998. - № 2. - С.3-7.

22. Искендерова Д.А. Задача о движении поршня в вязком газе с учетом магнитного поля // Там же. 1998. - № 5. - С.8-18.

23. Искендерова Д.А. Задача о движении вязкого теплопроводного газа в пористой среде // Вестн. Мин. Науки Акад. наук Республики Казахстан. -1998. — № 6. — С.46—52.

24. Искендерова Д.А. Задача Коши для уравнений течения реагирующей смеси газов // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 1998.- № 9. С.77—92.

25. Искендерова Д.А. Корректность задачи течения реагирующей смеси газов в магнитном поле // Там же. 1998. - № 11. - С.40-52.

26. Искендерова Д.А., Сагиндыков Б.Ж. s обобщенное решение одной модели неоднородной жидкости // Там же. - 1998. - № 11. - С.53-65.

27. Искендерова Д.А., Сагиндыков Б.Ж. Сходимость s обобщенного решения одной температурной модели неоднородной жидкости // Там же. — 1998. — № 12. — С.34—44. )

28. Искендерова Д.А., Сагиндыков Б.Ж. К теории е обобщенного решения модели неоднородной жидкости // Тр. конф. по матем., поев, памяти А.Д.Тайманова. - Алматы, 1998. - С.15-23.

29. Искендерова Д.А. Краевая задача для одной температурной модели неоднородной жидкости // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 1998.-№ 14.-С.71-78.

30. Искендерова Д.А. Об одной модели неоднородной жидкости с диссипацией энергии // Мат-лы II Казахстанско-Российской науч.-практ. конф. «Мат. моделирование науч.-технол. и экологических пробл. В нефтегазодобывающей промышленности». Алматы, 1998. - С. 105.

31. Искендерова Д.А. Движение вязкого газа с вырождающейся плотностью в магнитном поле // Вестн. Мин. науки и высш. образования, НАН Республики Казахстан. 1999. - № 2. - С.61-67.

32. ИскендероваД.А. Задача Коши для вырождающихся уравнений газовой динамики // Пробл. вычисл. математики и информац. технологий: Мат-лы Междунар. науч.-практ. конф. Алматы, 1999. - С.221.

33. Искендерова Д.А. Задача о течении реагирующей смеси газов с вырождающейся плотностью // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 1999. -№ 1(15). - С. 17-23.

34. Искендерова Д.А. Разрешимость уравнений движения неоднородной жидкости с учетом диссипации энергии // Там же. 1999. - № 2(16). — С.65-76.

35. Искендерова Д.А. Корректность одной модели неоднородной жидкости с учетом диссипации энергии // Докл. Мин. науки и высш. образования, НАН Республики Казахстан. 1999.- № 6. - С.43-49.

36. Искендерова ДА., Байтуленов Ж.Б. Параболическая аппроксимация диффузионной модели неоднородной жидкости // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 1999. -№ 2(16). - С.77-85.

37. Искендерова Д.А., Байтуленов Ж.Б. Сильная разрешимость е задачи диффузионной модели неоднородной жидкости // Там же. - 1999. - № 3(17). - С.61-65. у

38. Искендерова Д.А. Априорные оценки для регуляризованной модели неоднородной жидкости // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. — Бишкек: Илим, 1999. Вып.28. - С.329-334.

39. Искендерова Д.А. Существование сильного решения регуляризованноймодели неоднородной жидкости // Там же. 1999. - Вып.28. - С.335-340.

40. Искендерова Д.А. Сходимость сильного решения регуляризованной модели неоднородной жидкости // Там же. 1999. - Вып.28. - С.341-346.

41. Искендерова Д.А. Локальные априорные оценки для регуляризованной модели неоднородной жидкости // Там же. 2000. - Вып.29. - С.390-395.

42. Искендерова Д.А. Существование сильного решения регуляризованной модели неоднородной жидкости «в малом» по времени // Там же. 2000. -Вып.29.-С.396-401.

43. Искендерова Д.А. Начально-краевая задача для уравнений магнитной ^ газовой динамики с вырождающейся плотностью // Дифференц. уравнения. 2000. Т.36, № 6. - С.765-773.

44. Искендерова Д.А. Задача Коши для уравнений двухкомпонентной смеси газов // Пробл. математики и информатики в XXI веке: Тр. Междунар. науч. конф. / Вестн. Кыргызск. гос. нац. ун-та. Сер.З. Естественно-техн.науки. — 2000. Вып.4. - С.200-205.

45. Искендерова Д.А. Задача Коши для уравнений магнитной газовой динамики в пористой среде // Вестн. Мин. образования и науки, НАН Республики Казахстан. 2000. - № 2. - С.42-48. ^

46. Искендерова Д.А. Задача Коши для вырождающихся уравнений реагирующей смеси газов // Там же. 2001. - № 2. - С.46-54.

47. Искендерова Д.А. Задача об истечении газа в вакуум в пористой среде // Вестн. Кыргызск. гос. нац. ун-та. Сер.З. Естественно-техн.науки. 2001. -Вып.5. - С.193-197.

48. Искендерова Д.А. Об одной модели двухкомпонентной смеси газов с вырождающейся плотностью // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. Сер. мат., мех., информатики. 2001. - № 2(25). - С.80-85.

49. Искендерова Д.А. Локальная разрешимость краевой задачи для уравнений \ магнитной газовой динамики // Там же. 2001. -№ 3(26) - С.56-61.

50. Искендерова Д.А. Локальная разрешимость задачи Коши для уравнений магнитной газовой динамики // Там же. 2001. - № 3(26) - С.62-67.

51. Искендерова Д.А. Локальная разрешимость вырождающихся уравнений магнитной газовой динамики // Изв. НАН Кыргызской Республики. — 2001. — ^ № 1-2.-С. 11-17.

52. Искендерова Д.А. Разрешимость задачи о течении с контактным разрывом // Тр. Междунар. науч. конф. «Современные проблемы механики». Алматы, 2001. - Часть I: Мех. Жидкости и газа. - С. 123-125.

53. Искендерова Д.А. О задаче Коши для одной модели магнитной газовой динамики // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек: Илим, 2001. - Вып.ЗО. - С.226-231.

54. Искендерова Д.А. Априорные оценки для вырождающихся уравнений магнитной газовой динамики // Там же. 2001. - Вып.ЗО. - С.232-238. \

55. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц.уравнения. 1968. - Т.4, № 4. - С. 721-734.

56. Канель Я.И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. - Т.20, № 2. - С. 293-306.

57. Кажихов А.В. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для\ модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. -1975. — Вып.21. С.18-47.

58. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Там же. 1976. - Вып.24. — С. 45-61.

59. Кажихов А.В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в области с подвижными границами // Там же. 1976. - Вып.26. — С. 60-76.

60. Кажихов А.В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Там же. 1979. - Вып.38. - С. 33-47.

61. Кажихов А.В. О стабилизации решений начально краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. - 1979. —\ Т. 15, № 4. - С.662-667.

62. Кажихов А.В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1981. - Вып.50. - С. 37-62.

63. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. -1982.-Т. 23, № 1.-С. 60-64.

64. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость в целом повремени начально краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа //.

65. Прикл. математика и механика 1977. - Т. 41, Вып. 2. - С. 282-291. '

66. Кажихов.А.В., Петров А.Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. 1978. - Вып. 35. - С. 61-73.

67. Кажихов А.В., Смагулов Ш.С. Корректность и приближенные методы для модели магнитной газовой динамики // Изв. АН КазССР. Сер. физ. мат. -1986.-№6.-С. 82-84.

68. Кажихов А.В. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений движения неоднородной вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР.• ' 1974.-Т.216,№5.-С.1008-1010. *

69. Кажихов А.В., Смагулов Ш.С. О корректности краевых задач в одной диффузионной модели неоднородной жидкости // Численные методы сплошной среды. 1976. - Т.7, № 4. - С.75-93.

70. Кажихов А.В., Смагулов Ш.С. О корректности краевых задач в одной \ диффузионной модели неоднородной жидкости // Докл. АН СССР. — 1976. — Т.234, № 2. — С.330-332.

71. Кажихов А.В., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости // Динамика сплошной среды. 1979. - Вып.40. - С. 127-133.

72. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Метод верификационной компактности // Актуальные проблемы математики. 1996. - № 2. - С. 1-11.

73. Каушилайте О.П. О решении одной нелинейной задачи гидродинамики // Докл. АН СССР. 1971. - Т.198, №3. - С.555-558.

74. Кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье-Стокса // Там же. — ^ 1978. Т.243, № 4. - С.843-846.

75. Конысбаев Ж.Е. О корректности начально-краевой задачи магнитной газодинамики с вырождающейся плотностью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат. 1988. - № 1. - С.63-68.

76. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О скорости сходимости решений одной системы уравнений с малым параметром к решениям уравнений Навье-Стокса // Мат. модели течений жидкости.- Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР, 1978. С. 158-175.

77. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О разностных схемах с малым параметром,^ аппроксимирующих уравнения Навье-Стокса // V Всесоюз. семинар по численным методам механики вязкой жидкости: Тр. сем. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. С.109-122.

78. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288с.

79. Ладыженская О.А., Ривкинд В .Я. О сходящихся разностных схемах для уравнений Навье-Стокса // Численные методы механики сплошной среды. -1971. — Т.2, №1. С. 55-73.

80. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородныхжидкостей // Записки науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т им. В.А.Стеклова. Ленингр.отд-ние. 1975. - Т.8. - С.79-103.

81. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения элиптического типа. М.: Наука, 1964. - 538с. ^

82. Ладыженская О. А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные иквазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. — 736с.

83. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587с.

84. Малевский А.В. Численная модель астеносферного дипапризма // Физика земли. 1986. -№ 9. - С.37-44.

85. Петров А.Н. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов // Динамика сплошной среды. 1982. - Вып. 56. - С.105-121.

86. Петров А.Н. Краевые задачи для уравнений одномерного нестационарного течения реагирующей смеси газов // Там же. 1993. - Вып.107. - С.112-123.

87. Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР.т 1973. — Т.25. — С.173-186.

88. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Система квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. — М.: Наука, 1978. 667с.

89. Рысбаев Б.Р., Смагулов Ш.С. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Докл.АН СССР. 1988. - Т.287, № 3. - С. 558-559.

90. Седов JI.И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1973. - Т.1. -536с.

91. Слеттери Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах.-М.: Энергия, 1978.-448с.

92. Смагулов Ш.С. О корректности некоторых задач для уравнений магнитной гидродинамики // Мат. модели течений жидкости. Новосибирск: Ин-т теор. и прикл. механики СО АН СССР, 1978. - С.257-266.

93. Смагулов Ш.С., Утегенов К.У. Асимптотическое поведение при t —> oo в одной модели неоднородной жидкости // Изв. АН КазССР. Сер. физ.- мат. — 1978. № 6. — С.8-13.

94. Смагулов Ш. Об одном варианте аппроксимации уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения в частных производных. Новосибирск: Наука, 1980. — С.57—62.

95. Смагулов Ш.С. Корректность краевой задачи для уравнения свободной конвекции с диссипацией // Неклассические уравнения мат. физики. — ^ Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. С. 134-139.

96. Смагулов Ш.С., Конысбаев Ж.Е. О корректности начально-краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа с вырождающейся плотностью // Динамика сплошной среды. 1989. - Вып. 93, 94. - С. 119-130.

97. Смагулов Ш.С., Джаикбаев A.M. Методические указания к чтению лекций «Разрешимость и аппроксимация для уравнений свободной конвекции». -Алматы: Изд-во КазГУ, 1989. 36с.

98. Смагулов Ш.С., Жумагулов Б.Т., Искендерова Д.А. Движение с контактным разрывом в неограниченной области. Алматы, 1992. — 27с. — \ (Препринт / Инж. Акад. Республики Казахстан; № 2).

99. Смагулов Ш.С., Дурмагамбетов А.А., Искендерова Д.А. Задачи Коши для уравнений магнитной газовой динамики // Дифференц. уравнения. 1993. -Т.29, № 2. - С.337-348.

100. Смагулов Ш. Малые параметры некоторой модели гидродинамики // Вестн. Казахск. гос. нац. ун-та. 1996. — № 4. — С. 171-177.

101. Смагулов Ш.С., Искендерова Д.А. Математические вопросы модели магнитной газовой динамики. — Алматы: Гылым, 1997. — 166с.

102. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.:Наука, 1988. - 333с.

103. Соболевский П.Е., Васильев В.В. Об одной е аппроксимации уравнений Навье-Стокса. - Новосибирск, 1997. - 20с. - (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики; № 055(02).5). \

104. Соболевский П.Е., Васильев В.В. Об одной в аппроксимации уравнений Навье-Стокса // Численные методы механики сплошной среды. - 1978. - Т.9, № 5. - С.115-139.

105. Солонников В.А. Об априорных оценках для некоторых краевых задач // Докл. АН СССР. 1961. - Т.138, № 4. - С.781-784.

106. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса // Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1964.-Т.1.-С. 213-317.

107. Солонников В.А. Оценки решений нестационарной системы Навье-Стокса^ // Там же. 1973. - Т.7. - С. 152-231.

108. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Записки науч. семинаров ЛОМИ / Мат. ин-т им. В.А.Стеклова. Ленингр.отд-ние. 1976. -Т.56. - С.128-142.

109. Терсенов А.С. Задача об истечении вязкого газа в вакуум // Динамика сплошной среды. 1985. - Вып. 69. - С. 82-95.

110. Тупчиев В.А. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений газовой динамики, описывающей баротропное пространственное \ течение // Журн. вычисл. математики и мат.физики 1996. - Т.36, № 7. — С. 161-173.

111. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970.-720с.

112. Шелухин В.В. Однозначная разрешимость задачи о движении поршня в^ вязком газе // Динамика сплошной среды. 1977. - Вып. 31. - С. 132-150.

113. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа // Там же. 1979. — Вып. 42. - С.80-102.

114. Шелухин В.В. Ограниченные, почти-периодические решения уравнений вязкого газа // Там же. 1980. - Вып. 44. - С.147-163.

115. Шелухин В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Там же. 1982. - Вып. 57. - С. 131-152.

116. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 225с.

117. Яненко Н.Н., Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. On the approximation of the Navier-Stocks Equation for an Incompressible Fluid Evolutionary Ture Equation. Numerical method in Fluid Dinamics. - M.: Mir, 1985. - 30p.

118. Hopf E. Ein allgemeiner Endlichkeitsatz der Hydrodynamic // Math. Ann. — 1941. Vol.117. -P.764-775.

119. Itaya N. The existence and uniqueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Jap. Acad. 1970. - Vol.46, N 4. - P.379-382.

120. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. math. Kyoto Univ. 1974. - Vol.14, N 1. - P. 129-177.

121. Iskenderova J.A., Smagulov Sh. The Cauchy problem for the equations of a viscous heat-conducting gas with degenerate density // Comput. Maths Math. Phys. Great Britain, 1993. - Vol.33, No. 8. - P.l 109-1117.

122. Lerey J. Etude de diverses equations, integrales non lineceire et de quelques problemes que posent l'Hydrodynamique // J. math, pures et appl. 1933. - T.35, N 12.-P.1-82.

123. Lerey J. Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espase // Acta math. 1934. - Vol.63.-P.l93-248.

124. Matsumura A., Nishida T. Ihe initial value problem for the eguations of motion of viscous and heat-conductive gases // J. math. Kyoto Univ. 1980. - Vol.20, ^ N 1. - P.67-104.w

125. Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problem for the equations of motion of compressible viscous fluids // Contemp. math. - 1983. - N 17. - P.109 -116.

126. Nash J. Ze problem de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. - T. 90, N 4. - P. 487-497.

127. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motions // Arch, ration, mech. and anal. 1959. - Vol.3, N 3. - P. 271-299.

128. Smagulov Sh., Durmagambetov A.A., Iskenderova J.A. The Cauchy problem \ for the equations of magneto-gas dynamics // Different. Equations. — New York, 1993. Vol.29, No. 2.-P.278-288.

129. Tani A. On the first initial boundary value problem of the generalized Burgersequation // Publ. Res. Inst. math. sci. 1974. - Vol.10, N 1. - P.209-233.

130. Tani A. On the first initial boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Ibid. - 1977. - Vol.l3, N 1. - P. 193-253.

131. Temam R. Une methode d'appraximation de la solution des equations de Navier-Stocks // Bull.Soc. Math. France. 1968. - T. 96. - С. 115-152.

132. Temam R. Sur l'appraximation de la solution des equations de Navier-Stocks par la methode des pas fractionaires. I // Arch, ration, mech. and anal. — 1969. -Vol.32, N 2.-C.135-153.

133. Temam R. Sur l'appraximation de la solution des equations de Navier-Stockspar la methode des pas fractionaires. II // Ibid. 1969. - Vol.33, N 5. - C.377-385.