Краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Садчиков Павел Валерьевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-2 ЛЕН 2010

Воронеж -2010

004614888

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Баев Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич

доктор физико-математических наук, доцент Блатов Игорь Анатольевич

Ведущая организация: Южный Федеральный университет

Защита состоится 14 декабря 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: г. Воронеж, Университетская пл., дом 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 12 ноября 2010 г.

Ученый секретарь / Л?-/-""

диссертационного совета Д 212.038.22 [к^А^л! /

доктор физико-математических наук, V К^У

профессор Ю.Е. Гликлих

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Важным разделом современной теории дифференциальных уравнений является теория дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Одним из объектов исследования этой теории являются вырождающиеся уравнения. Теория вырождающихся эллиптических уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в этой теории, связана с влиянием младших членов уравнения на постановку краевых задач и их разрешимость.

Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М.В. Келдыша, Ф. Трикоми и A.B. Бицадзе. Дальнейшее развитие эта теория получила для уравнений второго порядка в работах O.A. Олейник, С.Г. Михлина, М.И. Вишика, Дж. Кона, JI. Ниренберга, В.А, Рукавишникова, А.Г. Ереклинцева, С.Н. Антонцева, С.И. Шмарева. Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка в случае степенного характера вырождения было начато в работах М.И. Вишика и В.В. Грушина. Затем ряд фундаментальных результатов для некоторых вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен С.З. Левендорским, С.А. Исхоковым. В работах В.П. Глушко была установлена коэрцитивная разрешимость краевых задач для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений в специальных весовых пространствах C.JI. Соболева, норма в которых определяется с помощью специального интегрального преобразования Fa, введенного В.П. Глушко. В работах А.Д. Баева были введены и исследованы весовые псевдодифференциальные операторы, построенные по преобразованию Fa, что позволило доказать коэрцитивную разрешимость и установить коэрцитивные априорные оценки решений общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости граничных задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих новый

класс весовых псевдодифференциальных операторов и производную —.

dt

Частным случаем таких уравнений является новый класс вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка.

Диссертационная работа представляет собой дальнейшее развитие того направления, которое было начато в работах В.П. Глушко и А.Д. Баева.

Исследование краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений является актуальным не только с теоретической, но и с практической точки зрения, так как такие задачи используются при моделировании многих стационарных процессов с вырождением.

Цель работы и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы является решение следующих задач:

1) доказательство теоремы об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из нового класса Б^, 3 е[0;1) в весовых пространствах СЛ. Соболева;

2) доказательство теоремы о композиции весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса Б^;

3) исследование свойств коммутатора весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса и

д'

операторов —- (/ = 1, 2,...).

4) исследование предельных при / +0 и / —> -и» свойств весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса Б°а#;

5) доказательство аналога неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса Б°в~,

6) доказательство коэрцитивных априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из

ост ^

класса 5 . и производную —;

Зг

7) доказательство теорем существования решений и построение регуляризаторов граничных задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса Б°г и

8

производную —.

Методы исследования. Результаты диссертации получены новыми или усовершенствованными известными методами теории

псевдодифференциальных операторов, теории вырождающихся эллиптических уравнений, теории интегральных уравнений. В диссертационной работе систематически используются специальное интегральное преобразование Ра и весовые псевдодифференциальные операторы, метод продолжения по параметру.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Построен новый класс ¿>е[0;1) весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом.

2. Доказана теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса в весовых пространствах С. Л. Соболева.

3. Доказана теорема о композиции весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса Б*

4. Установлены формулы представления и оценки коммутаторов весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса и

В'

операторов — (/ = 1,2,...).

5. Доказаны теоремы о предельных при /—>+0 и /->+оо значениях весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса .

6. Установлена связь между весовым псевдодифференциальным оператором с символом из класса 6 и некоторым классом интегральных операторов. Построен и исследован сопряженный оператор для весового псевдодифференциального оператора с символом из класса .

7. Доказан аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов из класса

8. Доказаны коэрцитивные априорные оценки в весовых пространствах С. Л. Соболева решений краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса и

д

производную —.

9. Доказаны теоремы существования решений и построены регуляризаторы краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса В"й и

д

производную —.

Теоретическая и практическая значимость результатов.

Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, являются весомым вкладом в развитие теории вырождающихся эллиптических уравнений. Эти результаты могут быть использованы для исследования более общих классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка. Результаты диссертации могут быть использованы при решении ряда конкретных задач математической физики и исследовании математических моделей процессов с вырождением. Такие краевые задачи используются при исследовании стационарных процессов конвекции - диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. К таким уравнениям приводит моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, процессов фильтрации двухфазных жидкостей, процессов вытеснения нефти из пористой среды.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на 3-й международной научной конференции «Современные

5

проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2009 г.), на международных конференциях «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж, 2009 - 2010 гг.), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна» (г. Воронеж, 2010 г.).

Основные публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [18], список которых приведен в автореферате. В совместных работах [1] - [6] и [11] - [13] соавтору принадлежит постановка задач. Работы [6], [11], [12], [13] соответствуют списку ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Объем диссертации составляет 113 страниц. Список используемой литературы включает 67 наименований.

Основное содержание работы Во введении излагается общая характеристика работы, дается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы вводится новый класс весовых псевдодифференциальных операторов и исследуются свойства этих операторов. В этой главе доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах C.JI. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутаторов весовых

8'

псевдодифференциальных операторов с производными -^j (1 = 1,2,...) и

теоремы о предельных при t —» +0 и / -> +со значениях весовых псевдодифференциальных операторов. В этой главе устанавливается также связь весового псевдодифференциального оператора с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим следующее интегральное преобразование +® à 1 ,

FM<)m= fM(0exp("7 f—тт)-г===, (1)

0J ,a(p) yja(t)

которое определено первоначально на функциях u(t)eC^(R\). Здесь функция a(t), teRl, такая, что выполняются условия: «(+0) = «'(+0) = 0, a(t)>0 при / >0, a(r)=const для t>d при некотором d >0. С0°°(Л|) - пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, носитель которых принадлежит R\. Преобразование (1) и преобразование Фурье

-ПК

|м(г)ехр(/>/г)с/г, T]eR]

-СО

связаны следующим соотношением

адок^^мг)], (2)

где иа{т) = Ла(1)и(Щ , I = <р[(т) - функция, обратная к функции

'(г)

Г«»)

Для преобразования Ги справедлив аналог равенства Парсеваля

1К[»К7)||м/г,)=^|И1(л!)- (3)

что дает возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств £2(Л') и Ь2 (/?)), а также определить преобразование 17а на некоторых классах обобщенных функций. Для расширенного таким образом преобразования Ра сохраним старое обозначение. Обозначим через Ра1 обратное к Га преобразование. Это преобразование можно записать в виде

у]а(0

, где Г - обратное преобразование Фурье.

о

■X: / 771 ч

Легко показать, что на функциях и(1) е С0"(Л+) справедливы равенства

= где д.^т, Э,=|-. таким

г с/

образом, преобразование Fa переводит оператор весового дифференцирования Па, в оператор умножения на двойственную переменную ц.

Определим пространства (Л"), о ДЛ") следующим образом. Определение 1. Пространство Н1а(Я") (s - действительное число) состоит из всех функций для которых конечна норма

1С = № + Н2 + )' Л&т,. (4)

Л"

Определение 2. Пространство Н1 (Я") (л- > 0, д > 1) состоит из всех функций \{х,1) е Н,. а(Я"), для которых конечна норма

^ II2 1

1МЦмж^Ло+И 2 (5)

'=»11 Им*;,

Здесь [—] - целая часть числа —.

Я Ч

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1. Существует число Vе(0,1 ] такое, что |а'(0<аг ' (')|-с<со ПР" всех / £[0,-ню). Кроме того, а(/) е С'^О.-н») для некоторого > 2М-|сг|, где

» 3

+ ~ I

JV>max{2p, +-—+1, er+l, er + —},/ = 1,2..., <т - некоторое

0<й£/ V 2

действительное число.

Можно показать, что указанное выше число v существует, если

а(+0) = а'(+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье = _ i определим весовой псевдодифференциальный

оператор по формуле K'°}(t,Dx,Dal)v(x,t) = F^F^JAU^siW^F^xj)}}. (6)

Определение 3. Будем говорить, что символ Mt,%,rj) весового псевдодифференциального оператора K((J>(t,Dx,Dal) принадлежит классу символов где ficij, сг е R',0< <У< 1, если функция A(t,^,t]) является

бесконечно дифференцируемой функцией по переменной I е£1 и по переменной ?jeR] . Причем, при всех j = 0,1,2,..., / = 0,1,2,... справедливы оценки

| (а( oa,)j С,{ 1+ Щ + |/7|Г'^ (7)

с константами су, > 0, не зависящими от е R"'\ tje R', t еК, где К czQ -

произвольный отрезок.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть P(t,Dx,Da,) и Q{t,Dx,Dal) - весовые псевдодифференциальные операторы с символами p(t,§,tf), q(t,^,rj), принадлежащими классам S (Q), S™23 (Q) (ml,т2- действительные числа), 0 < S < 1. Тогда для любого N > 0 существует jV, > 0 и такой символ TN (t,%,Tj) е S~j(Q), что справедливо равенство

Pit,D,,DaJ)Q{t,Dx,Dat) -De,) = T,, (t,Ц.,Da (), (8)

№

где TN(t,Dx,DaJ) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом TNi(t,%,rj), a Rj(i,Dx,Dat) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом

rjiUW • (а№Уя№,*1) • (9)

Теорема 2. Пусть p(t,<!;,r])<=S™s(Cl), т - действительное число, £е[0,1). Тогда весовой псевдодифференциальный оператор P(t,Dx,DaJ) для любого действительного s есть ограниченный оператор из Hstmo(R") в

ns,AK).

Теорема 3. Пусть символ весового

псевдодифференциального оператора К'"](t,Dx,Dat) принадлежит классу S^Cl), Q<zRlaeR\S^[ 0,1). Пусть <1,/)бЯ,М8(Л;), d\v(x,t) е //1ло(й"), / = 1,2,.... Пусть выполнено условие 1 (с заменой сг на s + cг). Тогда для оператора

м1„ = д',км(1,о1,ов,)-к<'%ох,оа,)д1, (10)

справедлива оценка

Ki. ^¿INL,, +2|М1+„+Л,(11)

с константой с > 0, не зависящей от v.

Теорема 4. Пусть q > 1, i > 0 - действительные числа,

v(x,t)eHsHM)qaq(R"+). Пусть символ весового

псевдодифференциального оператора KilT)(t,Dx,DaJ) принадлежит классу

Sls(Q), Пусть выполнено условие 1 при сг = s + q. Тогда для

оператора М, , определенного в (10) при u = q, справедлива оценка

КД^ММЦ^,, (12)

с постоянной с > 0, не зависящей от v.

Теорема 5. Пусть q>\, а - действительные числа, v(x,t)еН а 4(R"). Пусть символ Ä(t,^,rj) весового псевдодифференциального оператора принадлежит классу SJiS(Q), ОсД), er е 7?',ö е [0,1). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство limKla)(t,D ,D )v(x,t) = lim Kw(0,ö ,0)v(.r,t) =

= lim/Д, [A(0, £ 0 )F„{ [v(*, /)]].

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1 и символ весового

псевдодифференциального оператора KM(t,Dx,Dal) принадлежит классу S°s(Q), Qcсге е[0,1). Пусть функция v(x,t) такова, что функция D",v(x,t) при всех х е R" 1 принадлежит, как функция переменной t пространству £2(Л') при некотором N e[max{cr + l,l};i,], где определено в условии 1. Пусть limZ)j,v(A:,i) = 0 при всех xeR"~\ y' = 0,l,2,...,jV-l. Тогда

при всех х € RnA справедливо равенство limK<a'(t,Dx,Dal)v(xj) = 0.

/-»+00

Определение 4. Пусть Пс/?+' - открытое множество. Будем говорить, что функция a{t,y,%,rj) принадлежит классу SmaS(Q), те R\Se [0,1), если a(t,y,^,T]) является бесконечно дифференцируемой по переменным

7еП,уе£1,/75Я1 и на компактных подмножествах множества ПхО имеет место при всех = 0,1,2,... оценка

| (аСОЭ.^аМд^Чаа,^) £ ^ +1*1 + МГ'+г,'+л

с константами с м > 0, не зависящими от ¿,3/,77 и £ е Л"-1. Рассмотрим оператор вида

¿н(*,0 = (14)

где ^ ) - прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее у в

Г}(Т/В().

Доказана следующая теорема.

Теорема 7. Пусть А - оператор вида (14), причем а(1,у,^,г}) е5та'д(£1),

£2 с/?', те е [0,1). Тогда найдется такой символ е (£2), что

Л = P(/,D;c,^)a^), где Р(1,йх,йа/) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом /7). Причем

77) = ^«(О ехрО'77• Д I \ ч ехР(~"7

, «(А> ^а(у) ]а(р)

При этом справедливо соотношение Р0.4.П)-^Щ-^У^уУК^'У'Шу, е при любых N = 1,2,....

Теорема 7 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому псевдодифференциальному оператору Р(1,Ох,Оа^ назовем оператор

Р'О.Д,,/)^,), удовлетворяющий равенству

двд)и(х,/),к*,= («(*,

для всех у(х,0 е Ь2(Я"), и(х,!) е 12(Д") таких, что Р(/,£)^,1)а ,)г/(х,/) е 12(Я"). Здесь - скалярное произведение в Ь2(Я") .

Доказана следующая теорема.

Теорема 8. Пусть Пс те Л1, ^е [0,1). Тогда

оператор Р'((,Ох,Оа1), сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору Р(1,Бх,Оа1) с символом является весовым

псевдодифференциальным оператором с символом Причём

справедливо соотношение

/0,<Г,77) - е "СДО)

для любых N = 1,2,....

С использованием теорем 7 и 8 доказано неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Теорема 9. Пусть P{t,Dx,DaJ) - весовой псевдодифференциальный

оператор с символом p(t,^,t])eS"s(D.), Пей', meR1 ,Sе[0,1). Пусть Re p(t,^,tf) > с(1 +1^1 + |т7|)т для всех ^e/T'^eR'./eKcfi, где К -произвольное компактное множество. Тогда для любого je/?1 и любой функции u(x,t) е CÖ(R"~' х К) справедливо неравенство

Re{P(t,Dx,DaJ)u(x,t),u{x,t)) äc0|H|™ Я -c,||i|o

2'

с некоторыми константами с0 > 0 и с, > 0.

Во второй главе диссертации устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений краевых задач в R" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений специального вида, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом из класса S (Q) и производную д,. Априорные оценки решений этих краевых задач доказаны в специальных весовых пространствах типа пространств С. JI. Соболева. Рассмотрим в R" следующие задачи: Dx,Da,Mx,t) -ö,v(*,0 = F(x,t) I v(.r,/)l = G(x), lim v{x,t) = 0, (15)

\k{? (t,Dx,Dal)v(x,t)~8,v(x, t) = F(x,t)

I lim v(x,t) = 0. (16)

I. /->+00

Наряду с задачами (15), (16) рассмотрим задачи, зависящие от параметра г > 0. \K{J\t,Ds,DaJ)v{x,t) - d,v{x,t) - rv(x,t) = Fix J)

v(x,0U = GW, lim v{x,t) = 0, (17)

iK(:\t,Dx,Dal) v(x,t) - 8,v(x,t) + rv(x,t) = F(x,t)

I lim v{x,t) = 0. (18)

L t->-КЮ

Условие 2. Функции ı(t,%,?]) принадлежат классу S^j(Q), q>\ -действительное число, Qс Rl, S е[0,1). Причём с некоторой константой с> О, не зависящей от teil, g е R"~\ t] е R' справедливы оценки

±ReA±(/,<f,77)>c(l+H + M)'

при всех teil, % eRn'\?jeR\

Условие Г. Выполнено условие 1 при <r = s + q, 1 = 1,2,...,[—], где <7>1,

Я

s > О - действительные числа.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 10. Пусть я>0, <7>1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция ф удовлетворяет условию 2. Тогда для

любого решения у(х,1)е ПГ1Г/ „ДЛ") задачи (15) справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от V, F, Б.

Теорема 11. Пусть з>0,д>1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция удовлетворяет условию 2. Тогда для

любого решения у(х,0 е Н (Я") задачи (16) справедлива априорная оценка

Ии^^ми.+Ик^,)'' (20)

с постоянной с > 0, не зависящей от V, Г.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, г >гг Тогда при достаточно большом г, >0 для любого решения у(х,()€ЯИ)Д)(й*) задачи (17) справедлива априорная оценка

1ми,«,г +ни?)

с постоянной с > 0, не зависящей от V,(?.

Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 11. Тогда при г > г,, где а;>0 - достаточно большое число, для любого решения еИачач(К")

задачи (18) справедлива априорная оценка

с постоянной с > 0, не зависящей от V, F.

В третьей главе диссертационной работы исследуется разрешимость краевых задач (15)-(18). Для задач (15), (16) доказано существование регуляризатора, а для задач (17), (18) доказаны теоремы о существовании и единственности решений.

А именно, доказаны следующие утверждения.

Теорема 14. При выполнении условий теоремы 10 существует правый регуляризатор задачи (15), то есть такой оператор

что = + где Д - оператор, порождённый задачей (15)

(то есть = (Р ,0)), а - ограниченный оператор из Н1а (Я")хН , (Л"-1)

. /Л-1).

При выполнении априорной оценки (19) правый регуляризатор является и левым регуляризатором.

Теорема 15. При выполнении условий теоремы 11 существует правый

12

регуляризатор задачи (16), то есть такой оператор

Кг-Н^Ю^Н^Ю, что ЛДF = F + :Г2F , где \ - оператор, порожденный задачей (16), а Т2 - ограниченный оператор из Я (й") в

При выполнении априорной оценки (20) правый регуляризатор является и левым регуляризатором.

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 10. Пусть F(дr,/)eЯJaЖ), в(х)еН , {К"''). Тогда при г>гр где /-,>0 - достаточно

большое число существует единственное решение задачи (17), принадлежащее пространству Я1+7 (г ?«).

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 11. Пусть F(лr,/)eЯ (Л"). Тогда при г>г^, где г, > 0 - достаточно большое число существует единственное решение задачи (18), принадлежащее пространству

Основные результаты работы

1. Построен новый класс весовых псевдодифференциальных операторов 8 е [0;1) с переменным по / символом. Доказаны теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева. Установлены формулы и оценки коммутатора весового

д'

псевдодифференциального оператора с производными —- (/ = 1,2,...) и

теоремы о предельных при / +0 и / -> -ко значениях весового псевдодифференциального оператора с символом из класса Исследован оператор, сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору, доказан аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса .

2. Доказаны коэрцитивные априорные оценки решений краевых задач в полупространстве Л" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса и только одну производную дг, в весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева.

3. Построены регуляризаторы и доказаны теоремы о существовании и единственности решений краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса и производную с,.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Баеву Александру Дмитриевичу за постановку задачи, ценные советы, всестороннюю помощь и постоянное внимание к данной работе, а также за доброжелательное отношение.

Основные публикации по теме диссертации

1. Садчиков П.В. Теорема о композиции весовых псевдодифференциальных операторов одного класса / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы 3-й международной научной конференции, Ч. 2. Воронеж 27 февраля 2009. - С. 43.

2. Садчиков П.В. Теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов одного класса / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XX». - Воронеж, 2009. - С. 18-19.

3. Садчиков П.В. Некоторые свойства одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Актуальные проблемы прикладной математики и механики: сборник трудов международной конференции, Воронеж, 22-24 июня 2009 г. - Воронеж, 2009 -Ч 1.-С. 46-49.

4. Садчиков П.В. Существование и единственность решения задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений специального вида / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2009, №3. - С. 43-50.

5. Садчиков П.В. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика - 2009, №2. - С. 16-20.

6. Садчиков П.В. Корректность некоторых краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки - 2009, №4(88). - С. 5056.

7. Садчиков П.В. Неравенство Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов нового класса / П.В. Садчиков П Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. - Воронеж, 2010. -С. 126.

8. Садчиков П.В. Свойство сопряженности нового класса весовых псевдодифференциальных операторов / П.В. Садчиков // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». — Воронеж, 2010. - С. 193-194.

9. Садчиков П.В. Об ограниченности одного класса весовых псевдодифференциальных операторов в пространстве С.Л. Соболева / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2010, №1.

-С. 95-103.

10. Садчиков П.В. Сопряженный оператор для весового псевдодифференциального оператора специального вида / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. - 2010, №1. - С. 104-113.

11. Садчиков П.В. Априорные оценки и существование решений краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика,- 2010, №1. - С. 162-168.

12. Садчиков П.В. О некоторых краевых задачах в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2010, том 10, №2(88). - С. 34-41.

13. Садчиков П.В. Об априорных оценках решений краевых задач, моделирующих некоторые стационарные процессы с вырождением / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Системы управления и информационные технологии -2009,№4(38).-С. 69-73.

14. Садчиков П.В. Граничные значения весового псевдодифференциального оператора в пространстве С.Л. Соболева / П.В. Садчиков // Современные методы теории краевых задач: сборник трудов Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». - Воронеж, 2010. - С. 93-100.

15. Садчиков П.В. О коммутации весовых псевдодифференциальных операторов в пространстве С.Л. Соболева / П.В. Садчиков // Современные методы теории краевых задач: сборник трудов Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». - Воронеж, 2010. - С. 101-112.

16. Садчиков П.В. Композиция и ограниченность весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса

П.В. Садчиков; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2010. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 555-В2010.

17. Садчиков П.В. Об оценке коммутатора весового псевдодифференциального оператора из класса и оператора дифференцирования / П.В. Садчиков; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2010. -18 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 556-В2010.

18. Садчиков П.В. О граничных значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса

/ П.В. Садчиков; Воронеж, гос. ун-т. - Воронеж, 2010. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 557-В2010.

Работы [6], [11], [12] и [13] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 10.11.10. Формат 60x84 '/«. Усл. печ. л. 0, Тираж 100 экз. Заказ 1416.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

ВВЕДЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ГЛАВА 1 .ВЕСОВЫЕ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА.

1.1 Формулы коммутации и вспомогательные оценки.

1.2 Композиция весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса 5™(<у.

1.3 Теорема об ограниченности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из класса

1.4 Оценки коммутатора весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса и операторов дифференцирования -^у.

1.5 Граничные значения весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса

1.6 Сопряженный оператор и неравенство Гординга для весовых псевдодифференцильных операторов с переменным символом из класса %.

ГЛАВА 2. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т.

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Доказательство априорных оценок решений задачи Дирихле для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений с переменным по г символом.

ГЛАВА 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПРОИЗВОДНУЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПО ПЕРЕМЕННОЙ Т.

Краевые задачи для вырождающихся уравнений относятся к «неклассическим» задачам математической физики. Основная трудность, возникающая в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических операторов) членов уравнения на постановку граничных задач и их коэрцитивную разрешимость.

Вырождающиеся эллиптические уравнения второго порядка и граничные задачи для них достаточно хорошо изучены. Фундаментальные результаты в этом направлении принадлежат М. В. Келдышу [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались О. А. Олейник [2]. Обобщенные решения вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка впервые были рассмотрены в работах С. Г. Михлина [3] и М. И. Вишика [4]. Вслед за этим появился ряд работ, в которых методами, близкими к методу М. И. Вишика, изучались вырождающиеся уравнения второго порядка. Достаточно полную библиографию этих работ можно найти в книгах М. М. Смирнова [5], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [6]. Фундаментальные результаты по изучению асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем были получены В. А. Кондратьевым [7], [8], В. А. Кондратьевым, Е. М. Ландисом [9], Ю. В. Егоровым, В. А. Кондратьевым, О. А. Олейник [10]. Метод "эллиптической регуляризации" был применен О. А. Олейник [11], а затем Дж. Коном и Л. Ниренбергом [12] для изучения эллиптико - параболических уравнений второго порядка. В работах В. П. Глушко [13], [14] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева с весом. Задача Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклой области была исследована в работе В. А. Рукавишникова, А. Г. Ереклинцева [15], а с несогласованным вырождением - в работе В. А. Рукавишникова [16]. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с неоднородным анизотропным вырождением в области была рассмотрена в работе С. Н. Антонцева, С. И. Шмарева [17].

Исследование вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка (при "степенном" характере вырождения) было начато в работах М. И. Вишика и В. В. Грушина [18], [19]. Затем ряд результатов для некоторых классов вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка был получен В. П. Глушко [20], [21], X. Леопольдом [22], С. 3. Левендорским [23], С. А. Исхоковым [24].

В последние годы интерес к вырождающимся уравнениям возрос в связи с использованием таких уравнений для моделирования различных физических процессов, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнений, так и их порядок. Такие уравнения используются при исследовании стационарных процессов конвекции — диффузии в неоднородных анизотропных средах, характерных тем, что при приближении к границе коэффициент диффузии стремится к нулю. В частности, к таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде (см. [17]), процессов фильтрации двухфазных жидкостей (см. [25], [26]), в том числе, процессов вытеснения нефти водой из пористой среды [27]. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле (см. [28]), при исследовании . стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием (см. [29]), при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах (см. [30]). Такие уравнения являются также обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции - диффузии (см. [31]). Кроме того, известно, что нахождение решения краевой задачи для эллиптического уравнения эквивалентно минимизации некоторого функционала. В теории управления задача о минимуме некоторого функционала соответствует задаче об оптимальном управлении. Вырождающимся эллиптическим уравнениям соответствуют вырожденные или особые оптимальные управления (см. [32] - [33]).

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений.

В работе систематически используется специальное интегральное преобразование введенное в [20]. Преобразование ¥а позволяет ввести в рассмотрение специальный класс весовых псевдодифференциальных операторов. Весовые псевдодифференциальные операторы с постоянным по / символом были изучены в [34], в работе [35] были исследованы некоторые классы весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом.

В первой главе вводятся и исследуются весовые псевдодифференциальные операторы с переменным по / символом из класса 8 <е[0;1). Доказываются теоремы о композиции и ограниченности таких операторов в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева. Устанавливаются формулы и оценки коммутатора весового д1 псевдодифференциального оператора с производными —т (/ = 1,2,.) и дt теоремы о предельных при ^ -» +0 и / —»+со значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным по г символом. В этой * главе устанавливается связь весового псевдодифференциального оператора с некоторым интегральным оператором, строится сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору и доказывается аналог неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов. Весовые псевдодифференциальные операторы с символом из класса при т = 0 были изучены в [35]. Эти свойства весовых псевдодифференциальных операторов позволяют в дальнейшем изучить более широкие классы вырождающихся уравнений высокого порядка.

Во второй главе диссертационной работы доказываются коэрцитивные априорные оценки в весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева решений краевых задач типа задач Дирихле в полупространстве Я" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор и только одну производную —.

В третьей главе исследуется разрешимость в весовых пространствах С. Л. Соболева краевых задач, рассмотренных в главе 2. Построен регуляризатор для этих краевых задач. В этой главе доказаны также теоремы о существовании и единственности решения краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений, содержащих параметр.

Перейдем к более детальному описанию результатов диссертационной работы.

В первой главе диссертационной работы изучаются свойства весовых псевдодифференциальных операторов. Рассмотрим функцию а((), ? для которой выполняются условия: а(+0) = а'(+0) = 0, а(()>0 при / > 0, а(0=соп81 для (>с1 при некотором с1 >0.

Рассмотрим интегральное преобразование оо А 1 т, которое определено первоначально на функциях и(() е . Здесь пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, носитель которых принадлежит Преобразование (1) и преобразование Фурье

00

Рт-*Ли]= |м(г)ехР

-00 связаны следующим соотношением (2) где иа(т) = л]а(1)и^) , г = (р'\т) - функция, обратная к функции

-■ (г)

1р а а(р)

Для преобразования справедлив аналог равенства Парсеваля

Равенство (3) даёт возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств Ь2{В}) и Ь2(Я[+), а также рассмотреть преобразование на некоторых классах обобщенных функций. Для расширенного таким образом преобразования Ра сохраним старое обозначение. Обозначим через Р~1 обратное к преобразование. Это преобразование можно записать в виде

КЫШ)=-^К-ХЛНФ]

Можно показать, что для функции е С0°°(Д^) справедливы равенства т=<р( о

РМ^Ш^Л^аШл), У=1,2,., где £> д, =|-. г дt

Определим пространства Н5а(Я"); Нза д{К") следующим образом.

Определение 1. Пространство Нза(я - действительное число) состоит из всех функций, для которых конечна норма

1С = /с+И2+772 ^Г ^. (4)

Я"

Определение 2. Пространство Н (Я") (я>0, д>1) состоит из всех функций е Нз а(Я"), для которых конечна норма s,а,а ( 0 s, s-ql

F] Я

2 1

2. (5)

Здесь [—] - целая часть числа —. q q

Пусть выполнено следующее условие.

Условие 1. Существует число ке(0,1] такое, что a\t)av{t) <с<оо при всех t е [0,+оо). Кроме того, a(t) е CSl [0,+оо) для некоторого sl > 2N - |<т|, где 3 j

N > шах{2р, +-—+ 1, <7 + 1, сг + —}, 1 = 1, 2., сг - некоторое о ¿д</ |/ 2 действительное число.

Можно показать, что указанное - выше число v существует, если а(+0) = а'(+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье = FXi>çFXi>^.FXn^ t определим весовой псевдодифференциальный оператор по формуле К{а)(t,Dx,Da t)v(x,t) = F?F^W,Ç,ri)F^e[v{x9m ■ (6)

Определение 3. Будем говорить, что символ Mt,Ç,rf) весового псевдодифференциального оператора K{a)(t,Dx,Dai) принадлежит классу символов (Q), где Q ci cre R',0<£<1, если функция является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной t е Q и по переменной 77 eRl . Причем, при всех j = 0,1,2,., / = 0,1,2,. справедливы оценки (атУ^ЛЫл) |< с,( 1 ++ ДОГ7** (7) с константами > 0, не зависящими от ¿;еЯп~\ г} еЯ1, I еК, где К(иС1 произвольный отрезок.

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть .£>,,£>) и ,) — весовые псевдодифференциальные операторы с символами Т]), принадлежащими классам (тх,т2- действительные числа),

0<8< 1. Тогда для любого N>0 существует ТУ, > 0 и такой символ Тщ ¿г,;/) е ^ (О), что справедливо равенство

ЕЧ ('»-Ам) = ^ ), (8) где — весовой псевдодифференциальный оператор с символом

Ты (¿,£,77), а - весовой псевдодифференциальный оператор с символом г, (Г,#,77) =• (<*(03,У • (9) у!

Теорема 2. Пусть еЗ^ДО), т - действительное число, е[0,1). Тогда весовой псевдодифференциальный оператор Р(1,Ох,Оа1) для любого действительного 5 есть ограниченный оператор из Н (Я") в

Теорема 3. Пусть символ Я^,^,?]) весового псевдодифференциального оператора К{сТ)^,Ох,Оа1) принадлежит классу ^(П), ПаЩ, аеЯ1,5е[0,1). Пусть у^ОбЯ^^1), е Н1 = 1,2,. Пусть выполнено условие 1 (с заменой сг на 5 + сг). Тогда для оператора

Ю) справедлива оценка кии ^¿ни«(»> у=0 7=0 с константой с > 0, не зависящей от V. Теорема 4. Пусть #>1, я > 0 - действительные числа, у(х,0 Пусть символ весового псевдодифференциального оператора1 ^(<т)(/,1)х,1)а/) принадлежит классу

2), ОсЛ^ е[0,1). Пусть выполнено условие 1 при сг = з + д. Тогда для оператора М1д, определенного в (10) при <т = д, справедлива оценка

Mrv < с v , , (12) с постоянной с > 0, не зависящей от v.

Теорема 5. Пусть q> 1, er - действительные числа, v(x,t) е Hs+a а q (R"). Пусть символ Z{t^,rj) весового псевдодифференциального оператора принадлежит классу (Q), Q с= Rl+, cf<eR\Ö е[0,1). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство lim К{ет) (t, Dx,Dat )v(jc, t) = lim K(a\0,Dx, 0)v(x, t) =

->+0 ' <->+0 П-2Ч

Теорема 6. Пусть выполнено условие 1 и символ Ä(t,g,r/) весового псевдодифференциального оператора K{tT){t,Dx,Dal) принадлежит классу S°s(Q.), QczRj, <jeR\S е [0,1). Пусть функция v(x, t) такова, что функция D^,v(x,t) при всех х е Rn l принадлежит, как функция переменной t пространству L2(R\) при некотором N е [тах{сг +1,1}; ^ ], где определено в условии 1. Пусть lim£^,v(x,i) = 0 при всех xeRn~l, j = 0,l,2,.,iV-l. Тогда при всех х е R"'1 справедливо равенство limК{а)(t,Dx,Dat)v(x,t) = 0.

Определение 4. Пусть QcÄ^ - открытое множество. Будем говорить, что функция a(t,y,^,T]) принадлежит классу Sm,a's(Q), meR\öe[0,1), если a(t,y,^,rj) является бесконечно дифференцируемой по переменным teQ, yeQ, ^eR1 и на компактных подмножествах множества QxQ имеет место при всех j,k,l = 0,1,2,. оценка {a(t)dtY {a{y)dy)kdl11a{tiy^i1) |< cjkl{ 1 + Щ + с константами с а > 0, не зависящими от t, у, rj и £ е R"'1.

Рассмотрим оператор вида

Аи(х, 0 = F^F^F^M^^^M^lh (14) где ) - прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее у в

7/(т/ в О

Доказана следующая теорема.

Теорема 7. Пусть А - оператор вида (14), причем a(t, у, g, rj) е S"!'a,s (Q), mei?1,^ е[0Д). Тогда найдется такой символ p(t,^,rj)eS^s{ß), что

A- P(t,Dx,Dai), где P(t,Dx,Dal) - весовой псевдодифференциальный d , оператор с символом pit,Ç,rj). Причем pit, Ç, rj) = Ja(t) ехрО'77 Г——)•

Г а(Р)

-7=г ехр(-//7 f-^-)) •

При этом справедливо соотношение

Р^ш - £'Щ-(сс{у)дуУ € S:/(Q) j=1 J' при любых N = 1,2,.

Теорема 7 даёт возможность построить сопряженный оператор к весовому псевдодифференциальному оператору.

Определение 5. Сопряженным оператором к весовому псевдодифференциальному оператору P(t,Dx,Dat) назовем оператор

P\t,Dx,Dat), удовлетворяющий равенству для всех v(x,t) е L2(R"), u(x,t) е таких, что P(t,Dx,Da t)u(x,t) е I2(i?").

Здесь (•,•) - скалярное произведение в L2(R") . Доказана следующая теорема.

Теорема 8. Пусть p(t,£77)еS^(Q), ПсЩ, meR\Se[0,1). Тогда оператор P*{t,Dx,Dat), сопряженный к весовому псевдодифференциальному оператору P(t,Dx,Dat) с символом p{t,^,rj), является весовым псевдодифференциальным оператором с символом р* it,%,rj) е S™$(Q). Причём справедливо соотношение p\t&i7) - Yj^riaiy)d Уу dfat&ri) 6 7=1 Jдля любых iV = l,2,.

С использованием теорем 7 и 8 доказывается неравенство, являющееся аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Теорема 9. Пусть P(t,Dx,Dai) - весовой псевдодифференциальный оператор с символом p{t,£,,rf) <еS'£s(Q), meRl,Se[0,Y)- Пусть

Rep(t,£,77)>c(l ++ для всех £eRn~x^eR'^eKcQ,, где К произвольное компактное множество. Тогда для любого seR1 и любой функции u(x,t) е СДЯ"-1 х ^Г) справедливо неравенство

ReOPfc Dx, £>а, t), u(x, t)) > c0 ||w||m - cx ||и|£ a

2' с некоторыми константами c0 > 0 и с{ > 0.

Во второй главе работы устанавливаются коэрцитивные априорные оценки решений краевых задач в R" для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений специального вида, содержащих весовой псевдодифференциальный оператор с переменным символом из класса и первую производную dt. Априорные оценки решений этих краевых задач доказаны в специальных весовых пространствах типа пространств С. Л. Соболева.

Рассмотрим в i?" следующие задачи:

Dx,Dat)v{^t) - dtv(x,t) = F{x,t) v(x, 0! n = G(x), lim v(x,0 = 0, ^1

-U /->+00

K^\t,Dx,Dat)v{x,t) - dtv{x,t) = F(x,t) lim v(x,t) = 0.

->+00

Наряду с задачами (15), (16) рассмотрим задачи, зависящие от параметра г > 0.

К[9) (t, Dx ,Dat) v(x, t) - dtv(x,t) - rv{x,t) = F(x,t)

I (17) v(x,t) = G(x), lim v(*,0 = 0,

I/-U /->+00

K[q\t,Dx,Dat)v(x,t) - dtv{x,t) + rv(x,t) = F(x,t) lim v(x, t) = 0.

->+00

Здесь - весовые псевдодифференциальные операторы с символами . Предположим, что символы удовлетворяют условию.

Условие 2. Функции принадлежат классу 8ча5{0),ц> 1 действительное число, йс^, 8 е [ОД). Причём с некоторой константой с> О, не зависящей от * е О, £ е Г} еЯ1 справедливы оценки при всех (еС2, £ е Я"1 ,7] е. Я1.

Пусть выполнено следующее условие.

Условие Г. Выполнено условие 1 при = 5 + / = 1,2,.,[—], где q>\, Ч

5 > 0 - действительные числа. Справедливы следующие утверждения.

Теорема 10. Пусть 5 > 0, д > 1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция удовлетворяет условию 2. Тогда для любого решения у(х,() е Н {Щ) задачи (15) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от v, (7.

Теорема 11. Пусть 5>0, #>1 - действительные числа, выполнено условие Г. Пусть функция АД/,£,77) удовлетворяет условию 2. Тогда для любого решения у(л:,/) е а задачи (16) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от v, .Р.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, г>гх. Тогда при достаточно большом гх > 0 для любого решения е Н (Щ) задачи (17) справедлива априорная оценка с постоянной с > 0, не зависящей от у, С?.

Теорема 13. Пусть выполнены условия теоремы 11. Тогда при г>гх, где > 0 - достаточно. большое число, для любого решения задачи (18) справедлива априорная оценка

1М1 МН1 с постоянной с > 0, не зависящей от v,F.

В третьей главе диссертационной работы исследуется разрешимость краевых задач (15)-(18). Для задач (15), (16) доказано существование регуляризатора, а для задач (17), (18) доказаны теоремы о существовании и единственности решений.

А именно, доказаны следующие утверждения.

Теорема 14. При выполнении условий теоремы 10 существует правый регуляризатор задачи (15), то есть такой оператор

А: я,*, да* я ,

5+2*

АЛ Л что А{ЯХ (7) = (Т7, (7) + 7] (7), где Д - оператор, порождённый задачей (15)

Л . то есть Ду = ^,(7)), а Тх - ограниченный оператор из Нза (Я")хН 1 (Я ) вя^дахя , иг1).

Как известно (см. [24]) при выполнении априорной оценки (19) правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 15. При выполнении условий теоремы 11 существует правый регуляризатор задачи (16), то есть такой оператор что А2кгР = Р + Т2Р , где \ - оператор, порожденный задачей (16), а Т2 - ограниченный оператор из {Щ) в

На,С} (Ю

Так же как и выше замечаем, что правый регуляризатор является одновременно и левым регуляризатором.

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 10. Пусть

Р(х^)еН5а (Я"), (7(х) е Н 1 (Я"'1). Тогда при г > , где ^ > 0 - достаточно

2Ч большое число существует единственное решение задачи (17), принадлежащее пространству Н^^{Щ).

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 11. Пусть еНха1](Я"). Тогда при г > г\, где г\ > 0 - достаточно большое число существует единственное решение задачи (18), принадлежащее пространству Нз+ч,а,Я (Ю '

Полученные в диссертации результаты докладывались на 3-й международной научной конференции по современным проблемам прикладной математики и математического моделирования (г. Воронеж, 2009 г.), на международных конференциях «Понтрягинские чтения» (г. Воронеж, 2009 -2010 гг.), на международной конференции по актуальным проблемам прикладной математики и механики (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна (г. Воронеж, 2010 г.).

1. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. Академии наук. - 1951. -Т. 77, №2.-С. 181-183.

2. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / O.A. Олейник // Докл. Академии наук. 1952. -Т. 87, № 6. -С. 885-887.

3. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения / С.Г. Михлин // Вестн. Ленинградского гос. ун-та. 1954. - № 8. - С. 19-48.

4. Вишик М.И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области / М.И. Вишик // Математический сб. — 1954. Т. 35 (77), вып. 33. - С. 513-568.

5. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

6. Олейник O.A. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой / О.А.Олейник, Е.В. Радкевич // Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1971. - Вып. Математический анализ. - С. 5-93.

7. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности / В.А. Кондратьев // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34, № 2. - С. 246-255.

8. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях / В.А. Кондратьев // Труды конференции им. И.Г. Петровского. М., 2006. - Вып. 25. -С. 98-111.

9. Кондратьев В.А. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка / В.А. Кондратьев, Е.М. Ландис // Математический сб. 1988. - Т. 135 (177), № 3. - С. 346-360.

10. Егоров Ю.В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев, O.A. Олейник // Математический сб. 1998. - Т. 189, № 3. - С. 45-68.

11. Олейник O.A. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой / O.A. Олейник // Математический сб. 1966. - Т. 69 (111), вып. 1.-С. 111-140.

12. Кон Д. Некоэрцитивные краевые задачи / Д. Кон, JI. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

13. Глушко В.П. Коэрцитивность в Ь2 общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Глушко // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2, вып. 3. - С. 87-88.

14. Глушко В.П. Оценки в Ь2 и разрешимость общих граничных задач длявырождающихся эллиптических уравнений второго порядка / В.П. Глушко // Труды Московского математического общества. 1970. - Т. 23. - С. 113-178.

15. Рукавишников В.А. О коэрцитивности Rv обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников, А.Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, №12.-С. 1680-1689.

16. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных / В.А. Рукавишников // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 402408.

17. Антонцев С.Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С.Н. Антонцев, С.И. Шмарев // Сибирский математический журн. 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

18. Глушко?В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. - 47 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048 -79. ^

19. Леопольд Х.Г. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка с невырождающейся второй производной / Х.Г. Леопольд. Новосибирск, 1981. - 33 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.08.81, № 4269 -81.

20. Левендорский С.З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе / С.З. Левендорский // Математический сб. 1980. - Т. 111 (153), вып. 4.-С. 483-501.

21. Исхоков С.А. О Гладкости решения эллиптического уравнения с нестепенным вырождением / С.А. Исхоков // Докл. Академии наук. 2001. - Т. 378, № 3.-С. 306-309.

22. Бочаров О.Б. Численное исследование гидрофизических процессов прш сохранении различных неизотермических моделей фильтрации двухфазнойжидкости / О.Б. Бочаров, И.Г. Телегин // Теплофизика и аэромеханика. — 2005. -Т. ,12, № 4'. С. 457-467.

23. Баев А.Д. Вырождающиеся, эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д: Баев;// Докл. Академии наук.-1982: Т.265, №5; - С. 1044-1046.

24. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве; для; вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев // Докл. Академии наук. 2008. - Т.422, №6. - С. 727-728:

25. Лионе Ж. Неоднородные граничные задачи и. их приложения / Ж. Лионе, Э. Мадженес. -М.: Мир, 1971. 371с.

26. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров.1 4 е изд. -Mi : Наука, 1981. - 512 с.

27. Глушко В.П. Об одном критерии существования^ свертки- обобщенных функций^/ В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж', 1982. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.11.82, № 5721 -82.

28. Кон Д. Алгебра псевдодифференциальных операторов / Д. Кон, Л. Ниренберг // Пседодифференциальные операторы : сб. науч. тр. М., 1967. - С. 88-165.

29. Глушко В.П. Пространства типа С.Л. Соболева дробного порядка с весом и их свойства / В.П. Глушко, М.И. Богатов; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. -38 с.- Деп. в ВИНИТИ 10.09.79, № 3239-79.

30. Грушин В.В. Псевдодифференциальные операторы / В.В. Грушин. М. : Моск. ин-т электронного машиностроения, 1975. - 107 с.

31. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. М. : Мир, 1985.-469 с.

32. Глушанкова Л.Я. Об одном псевдодифференциальном уравнении, порожденном граничной задачей переменного порядка / Л.Я. Глушанкова, В.П. Глушко; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1980. -61 е.- Деп. в ВИНИТИ 4.11.80, № 4684-80.

33. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем / Л.Р. Волевич // Математическийхб. 1965. — Т. 68, вып. 3. - С. 373-416:

34. Волевич Л.Р. Энергетические оценки в смешанной' задаче для (2Ь+1) -гиперболических уравнений / Л.Р. Волевич, С.Г. Гиндикин; ин-т прикл. математики АН СССР. Препринт №> 137. - М., 1978. - 63 с.

35. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения / В.П. Глушко. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 1972. — 193 с.

36. Глушко В.П. Об одном неравенстве между нормами производных функций с весом / В.П. Глушко, Л.Я. Глушанкова; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1981. -27 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.10.81, № 4983-81.

37. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 736 с.Работы автора Статьи в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ

38. Садчиков П.В. Корректность некоторых краевых задач, моделирующих процессы с вырождением / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 2009, №4(88). - С. 5056.

39. Садчиков П.В. Априорные оценки и существование решений краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика 2010, №1. - С. 162-168.

40. Садчиков П.В. Существование и единственность решения задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических псевдодифференциальных уравнений специального вида / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. — 2009, №3. С. 43-50.

41. Садчиков П.В. Об4 ограниченности одного класса весовых псевдодифференциальных операторов в пространстве* С.Л. Соболева / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. 2010, №1. -С. 95-103.

42. Садчиков П.В. Сопряженный оператор для весового псевдодифференциального оператора специального вида / П.В. Садчиков // Актуальные проблемы математики и информатики. 2010, №1. - С. 104-113.

43. Садчиков П.В. Композиция и ограниченность весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом из классаП.В. Садчиков; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 14 с. - Деп. вВИНИТИ 29.10.2010, № 555-В2010.

44. Садчиков П.В. Об'оценке коммутатора весового псевдодифференциального оператора из класса и оператора дифференцирования / П.В. Садчиков;Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 556-В2010.

45. Садчиков П.В. О граничных значениях весового псевдодифференциального оператора с переменным символом из класса / П.В. Садчиков; Воронеж.гос. ун-т. Воронеж, 2010. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.10.2010, № 557-В2010.