О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и

Ганиев Муродбек Шамсивиеч

О РАЗРЕШИМОСТИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

\ б ФЕВ Ш

Автореферат

диссертации и соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2012

005011645

Работа, выполнена в Институте математики Академии паук Республики

Таджикистан

Научный руководитель: доктор фюикс^матсматичсских. наук.

Исхоков Сулаймон Лбунасрович

Официальные оппоненты: доктор фтпшхо математических наук,

лоцетгт Гядоев Махмадрахгш Гафуровип

доктор физико-матоматичсоких наук, доцент Сафаров Джумабой

Ведущая организация: Худжапдский государственный университет

иль академика Б. Гафуроьа

Защита состоится " февраля 2012 г. в часов 0-0 мин, на насе-дании Диссертационного совета ДМ 017. 007.01 при Институте математики Академии паук Республики Таджикистан по адресу: 734063. г.Душанбе, ул. Ашш 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан.

Автореферат разослан /" января 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного соиета

Халилои Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений.

Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газом!! динамике и других разделах механики. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.

Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркнна, X. Трибеля, Л. Д. Кудрявцева, А. Куфнера, C.B. Успенского, Н.В. Мирошина, Ю.Д.Салманова, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др.

Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и но сравнению с ними рассматриваются новые классы нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением.

Цель работы

1. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнении в полупространстве R+ = {z = (xi, ..., х„) е /?« : х„ > 0} с нестепенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при ха —> ос.

2. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве .

3. Исследование разрешимости вариационной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях размерности m : 0 < m < п — 1, удовлетворяющих условию

'Кудрявцев Л. Д. Пряные н обратные теоремы вложения. Приложения к решению иарнащго»-шдм методом эллиптических уравнений // Труди Математического института им. В.А. Стеклопа АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.

конуса.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах функционального анализа и теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквиваленПкые нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы р плотности гладких функций и Т-Д-)

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Доказана теорема об однозначно!? разрешимости вариационной задали Дирихле с однородными фацнчнымн условиями для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве с нестепенным вырождением на гиперплоскости = 0 и при .т„ — ос.

2. Доказаны ннтегрйлыше неравенства разных метрик со степенными носами для функции, определенных в полупространстве 11+ н их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирпхло с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференЦнальных уранне! шп в полупространстве Я^.

3. Доказаны интегральные неравенства разных метрик со степенными весами для функций, определенных в области П = Д" \ 9Я, где неограниченноб -многообразие размерности т < п, удовлетворяющее условию конуса, н их применением исследована разрешимость вариационных задач Дирихле с однородным^ и неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в П со степенным вырождением на многообразии №.

Теоретическая и практическая ценность, результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальиейпнре теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных Задач механики и других разделов физики.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции "Современные проблемы

математического анализа н их приложений", посвященной бО-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. (г. Душанбе, 25-24 июня 2010 г.), на международной научной конференции "Современные проблемы математки и ее приложения", посвященной 70-летшо академика АН РТ Мухамадииза Э.М (г. Душанбе, 28-29 нюня 2011 г.), на научно-исследовательских семинарах отдела теории функции н функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан (руководители: доктор физ.-мат. наук, академик АН РТ, профессор Шабозов М.Ш. и доктор фнз.-маг. наук, профессор Исхоков С.А.) в 2006 - 2011 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор фих-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, нрос|>ессор Рахыонов 3-Х.) в 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шь ти научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Три из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.А. Исхоковьш. которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена иа 105 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 54 наименования.

Содержание диссертации

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по рассматриваемой проблеме, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В диссертации использована двойная нумерация параграфов, причем первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа в главе.

Первая глава состоит из двух параграфов и посвящена исследовгшшо разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными гранпчш.ь мн условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространство с нестеиенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при хп —• оо:

В первом параграфе первой главы введено весовое пространство V* (И£) и изучены его основные свойства.

Пусть <р(хп)~ положительная непрерывная функция, определенная на полуоси (0, ос). Пусть г - натуральное число и р > 1. Символом обозначим пространство функций и(х), определенных в полупространстве имеющих все обобщенные производные г) до порядка г включительно, с конечной нормой

1/р

щи= / ((фп)х^\и(х)\у<1х\

.^=гл„+ яг

(1)

Основным результатом первого параграфа первой главы является следующая теорема вложения разных метрик для пространств . Теорема 1.1.2. Пусть г-натуральное число, $ е [0, г]-целое число,

1 < р < оо и выполняется услов\1е

< Хп е (О, + оо). (2)

Тогда если

71 П

Р<41 < +ос, г - в--+ — > О, (3)

V 91

то справедливо вложение

- (4)

где

<Р,(хп) = Фп)- Хп ' ' (5)

Во втором параграфе первой главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения, решение которой является элементом пространства Так как С<Ж) плотно в пространстве то граничные условия в этой задаче являются однородными.

Каждому мультпиндексу к такому, что \к\ < г, сопоставим число р^ >

2 й рассмотрим дифференциальное уравнение

(.р. _2 \ № ак(х) и<*>(*) «<*>(*)) хеК. (6)

/

Очевидно, это уравнение является нелинейным, если р;с ф 2 хотя бы для одного мультшшдекса к.

Определение 1.2.1. Функция 11(х) называется обобщенный решением уравнения (С), если дм всех ъ'(х) € выполняется тождество

/

R*

pk~ 2

£ ak{x) ЦЮ(х) Uw(x)v^(x)

\k\<r

dx =< F, D >,

где < F, v > означает значение функционала F на функции v(x), если oice F - обычная функция, то < F,v > - сксияриое произведение, функций F(x) и v(x) a L2(Ii£).

При \к\ = 0, \к\ = г положим = Р-

Задача Dq. Для заданного функционала F € (^^Д/?*)) требуется найти обобщенное решение уравнения (6), принадлежащее пространству!

то есть функцию U(x) € удовлетворяющую тож-

деству (7).

Предполагается, что коэффициенты ojt(a;) уравнения (С) удовлетворяют условию

<

С\ (<р(хп) • х/1-)'* • < ak{x) <

с2 (фп) ■ x/\~r)"k ■ (хп~1+"к1'РУ (|fc| < г, * € Щ) ,

(8)

где положительные числа сх,с2 не зависят от х. Также, как в §1.1 считается, что <р(хп) - положительная функция из класса С! (/?]'), удовлетворяющая условию (2). Относительно чисел р>,- предполагается выполнение следующих услошШ:

рк = р при |А| = О, |А:| = г;

г - |£| - - + — > 0, 2 < р < рк < +00 при 0 < |Л-| < г. ^ Р Рк

Прежде чем доказать существование решения задачи Д], более подробно изучаются свойства функционалов, связанных с уравнением (6)

е-/<»*(*) k'w

Ph

dx.

Ци) = Е(и)- < F, и >, где F - заданный элемент из пространства

\

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия (8) - (9). Тогда для любого заданного функционала F € (Ъ^ДЛ*))* существует единственная функция 11 (ж) € (/?,[) такая что

infФ(и) = Ф(1/) = E(U)~ <F,U>,

(10)

где инфимум берется по всем u € (Й+).

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда функция U(х) из этой теоремы является единственным решением задачи Dq и справедлива оценка

\\Щ < M II F; (V^(K)T\\q, (И)

где число M > 0 не зависит от F.

Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве Она состоит из двух параграфов и в первом параграфе определено пространство (Д+), изучены его основные свойства и

доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенство.

Пусть функция a(t) е C°°(Rf) такая, что 0 < a(t) < 1 для любого t в 1] и <r(i) = 0, когда t > 1, cr(t) — 1 для любого t е (0; . Для любых двух вещественных чисел а, ß определим функцию

<Paß{t) = a(t) Га + (1 - a{t)) tß (t > 0).

Пусть p 6 (1; +эс) и г - некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы функций, заданных в полупространстве

Rt:

|*|=г

1/Р

< +ОС

ЩаЛу(^) =

{«(*) : ||и;И^1вД7(Д+)|| = {||u; Lrp.aß{R^)\\p + ||u; Х^Я^ )||p}l/p < +*>} .

Пространство VJ.JR+) при ip(xn) = г») обозначим через V£aiJ(.R+).

о

Кели I)- некоторое весовое пространство функций на Н.^ , то черен D обозначим пополнение класса С^ (R„) в метрике пространства D.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия —а + ^ ф {1,2,...,г}; р + j ф {1,2,...,г}. /3 — г > 7 • Тогда с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство

Теорема 2.1.3. Пусть р > 1 и числа а, /3,7 удовлетворяют условиям теоремы 2.1.1. Пусть также

111 1 -r+-<a<—, r + ->P, r-p + -< su + l,

Р РР Р1 ,19,

1 1 Р - г > 7, 7 + so < —, 7 + s0 f —, V Р

где р/ — р/(р— 1) и So - целое число, удовлетворяющее неравенствам

r + a-1/p<so<r + a'-- + l.

Р

Тогда д.:

%Н 6С6Х функций и €L p.a j(R£) справедливо неравенство

J (£a:>(x„)|it(:r)|)pd:r « ^ J (13)

К

Теорема 2.1.4. Пусть целое число я ё (0, г) и пусть

11 1

ao - a < 1" — s Н----, «о < —, 1<р<<7о<эо,

(]а Р <Jo

в-Ро>г-я + — -~. Д) + Г— s — 1< ——.

<?о Р' qo

(И)

Тогда для всех функций и € ,а<Я^) справедливо неравенство

(15)

Обозначим черен множество бесконечно дифференцируемых

функций финитных сверху, то есть обращающихся в нуль при больших значениях х„. Символом 3 „(Д+) обозначив: замыкания множества в метрике пространства И^'. .

Теорема 2.1.5. Пусть 1 < р < да < оо и целое число з такое, что 1 < я < г — 1. Пусть выполнены условия

1 1 1

«о-а1 <г-вН----, ао < —,

ю р до ,1йч

1 1 1 (16) во = в-г + а - - + Р + -£{1.2,..., г - з}. Ф> Р р 1

Тогда для всех функций и 6 (Л+) справедливо неравенство

11«; «. (1?) Во втором параграфе пторой глапы доказаны теоремы об однозначной разрешимости задачи Дирихле с общими неоднородными граничными условиями и задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости хп - 0. Эти теоремы также содержат оценки норм решения з соответствующих функциональных пространствах.

Задача О. Для заданного функционала Р € 3:1{Яп))* и задан-

ной функции 4>(х) € требуется найти обобщенное решение

и{х) уравнения (б), принадлежащее пространству к удо-

влетворяющее условию

и(х)-Щх)ецг;.а>(3п(1гп). (IX)

Замечание 2.2.1. Услоиие (18) означает, что функция И(х) имеет одни и те же следы что и функция Ф(х) на гиперплоскости хп 0 и при

х„ со.

Далее для удобства записи для заданной функции € а 3 7№+) символом обозначим множество всех функций и 6 \УТ1га в

таких, что

«(I) - Ф(аО еш гка,рп{К)-

Разрешимость задачи Б изучается при следующих ограничениях на коэффициенты аь(х) уравнения (6):

I) Рк = Р > 2 при =0, |А;| = г и существуют положительные числа С1, С2 такие, что

С1 < ак(х) < с2 <р*п(хп) (х е Е~) при \к\ = 0,

^рМ < «*(*) < с2 л(хп) (х е 11+) при \Ц г;

Н) 2 < р < ри < оо при 1 < \к < г - 1 и существуют положительные числа Сз, С4 такие, что

СЗ < ак{х) < с4 д(*„) (х € К),

где

а/;<г + а-|*1 + -"-. Рк<Р-г + \к\-- + ~. (19) Рк Р Рк Р

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия 1),И) и пусть

ак < —, Рк < -— - г + \к\ + 1 (20)

Рк Рк

для всех мулътииндексов к, удовлетворяющих условию 1 < \к\ < г — 1.

Тогда для любого заданного функционала Г <= 3 и лю-

бой заданной функции Ф(я) 6 существует единственная

функция 11(х) из класса 1УФ(.Я+) такая, что

Ы Ф(и) - Ф([7) = Е(11)- < Р, 17 >, (21)

еде инфимум берется по всем и £

Теорема 2.2.3. В условиях теоремы 2.2.2 решение 1/(х) вариационной задачи (21) будет единственным решением задачи £? и удовлетворяет следующей оценке

и<|*|<г-1 J

Более того. ес.си рк <р+ 1 при 1 < |/с| < г - 1, то решение II(х) задачи О удовлетворяет оценке

{¡и-лу^хкж «И (п^лЮЛК + Ии^гаг ,

(23)

где щ = тах{р, р/(р + 1 если ||Ф;УУгр.а 3 7(Д+)|| >1 и щ = р

если ||Ф;И^;.в11?17(Д+)|| <1.

Далее рассматривается случай задачи Б, когда решение дифференциального уравнения (()) удовлетворяет неоднородным граничным условиям на гиперплоскости хп — 0 и однородным условиям при хп —> сю. Решение в этом случае ищется в пространстве И'^ 3 (Д~).

Задача 01, Для заданного функционала ^ б ^ и за'

данной функции Ф(ж) £ требуется найти обобщенное ре-

шение II (х) уравнения (С), принадлежащее пространству 3

и удовлетворяющее условию

и{х)-Щх)€^Тка,р,уЮ- №

Замечание 2.2.2. Условие (24) означает, что функция и(х) имеет одни и те же следы на гиперплоскости хп = 0, что и функция Ф(х).

Теорема 2.2.4. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.2 кроме уыовии р < 1 /У. Пусть также

Тогда дм любого заданного функционала Р е и лю-

бой заданной функции Ф(ж) £ ^ 7(Л£) существует единствен-

ная функция и(х) из класса которая является решением

вариационной задачи (21) и задачи Ох и для нее справедливы неравенства (22), (23); в которых норма ||,Г; ^ заменена нормой

Далее рассмотривастся более конкретный случай задачи , когда граничные услозш: на гиперплоскости хп — 0 выписываются в явном виде. Справедлива следующая лемма

Лемма 2.2.1. Пусть 1 < р < оо. — г + - < а < -. Тогда для любого

— Г р р

набора функций

4ц € (Лг.-1), 3 0,1,.. 1, (25)

где Вр(Пп |) - классы Бесова функций, определенных на |, ва - целое число удовлетворяющее неравенствам

1 1 ,

г \ а--< ,н0 < г I а--1,

Р Р

существует функция Ф € Ь'р;_а(Л~) такая, что: Ф(*) = 0 на Д^\П1/2;

<УФ

дх'п

= 1>№),} = 0,1,... ,60-1; (26)

*„=0

|Ф; « 5;+а^-1/р(йп-1)|| • (27)

з=о

Задача Б?. Для заданного функционала Р е ^^^а,,7()^ и за~ данного набора граничных функций (25) требуется найти обобщенное решение и(х) уравнения (б), прииадлеэюащее пространству Иуп 7(/?,7) и удовлетворяющее граничишь условиям

&и(х)

Ох>п

= ФАЛ 3= 0,1,...,50-1. (28)

х„=0

Теорема 2.2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.4 и пусть числа а, /3, 7 удовлетворяют условиям

-г + - < а < -, г + > /3, г - (3 + 1/р' < ¿¡о, р р р

7 + во < 1/р', 7 + бо^-1/Р, Р + - $ {!,•••,г}.

Р

Тогда для любого заданного фупкционсиш Р € и любо-

го заданного набора граничных функций (25) существует единственное решение 11(х) задачи £)г и для него имеют место оценки (22), (23), в которых норма

II^(И^сдДОГИ заменена нормой (Н£;о.д,(Я;Г))'|| « Ф(х) -функция из леммы 2.2.1, которая определяется граничными функциями (25).

Третья глава диссертационной работы посвящена изучению разрешимости вариационной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях размерности т : 0 < т < п — 1, удовлетворяющих условию конуса. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе введены определения основных функциональных пространств и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства.

Пусть Я" — п-мерное евклидово пространство. Пусть Л > 0 и т-натуралыюе число меньше п. Положим

= {х : х = (хи х2,... ,хп) € И";Х1 = х2 = ■ ■ ■ = хт = 0; х• < /I2},

<=т+1

п-1

Кн = {х : х - (хи х2,... ,х„) е Дп;0 < хп < /г; ^ж? < а2х2п}.

1=1

Через где £ е /?" и |£| = к, обозначим конус, который получа-

ется путем поворота конуса К/, вокруг начала координат так, что при этом точка (0,0,..., 0, /г) переходит в точку Объединение всех конусов Кп{0, когда £ пробегает дБ^ обозначим через У^.

Определение 3.1.1. Будем говорить, что неограниченное С°-многообразие 9Л С Л" размерности т удовлетворяет условию конуса если существует линейное преобразование А : ЯР —* IV1, осуществляющее! поворот вокруг начала координат, такое, что

х + А УЛ(т) сЛ"\!Й, Ук > 0, Ух 6

Далее предполагаем, что -неограниченное С0-многообразие размер-ност|1 т < п, удовлетворяющее условию конуса, П = Ш1 \ Ш и р(х) = <Из1{х,9Л} для всех х е П.

Пусть функция ) € С%(0, +ос) такая же, как в первой главе. Для двух вещественных чисел а, ¡3 определим функцию ¥>а,/з(я) = а(р(х))р-а(х) + (1-<т(р(х))У(х) (хеП).

Пусть р € (1,+эо) н пусть г- Целое неотрицательное число. Аналогично пространствам Ьтр.а в{Е^), определяются пространства Ьгр.,{р(и), и7рг;л 4л(П) функций, определенных в области П. В первом параграфе третьей главы продолжены изучения свойств пространств о

IV р:ад7(П), И^д^О). В частности, Найдены достаточные условия, при выполнении которых на функциях и е Со°(П) полунорма эквивалента норме пространства (П) (теорема 3.1.3), а также до-

казаны вспомогательные интегральные неравенства вида (теоремы 3.1.4 й 3.1.5)

||«;Ь;:а.1А(П)||«||и;И^а1Д7(П)||, (29)

где в - целое число из интервала (0, г) ц числа ав, Д, определяются через а, ¡3, у, г, в, р, qQ.

Во втором параграфе третьей главы исследуется разрешимость вариационной задача Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения вырождающегося на неограниченном многообразии размерности щ < п — 1. Здесь также, как в §3.1 считается, что О = Л"\Ш, где ЭЛ - неограниченное С0 - многообразие размерности т < п — 1, удовлетворяющее условию конуса и р(х) = ^¿{.т,ШТ} для всех х € П. Решение рассматриваемой задачи

о

ищется в пространстве \У Г,.а,(зл(П) ц как элемент этого пространства удовлетворяет однородным граничным условиям на многообразии ЯЛ.

Задача D0. Для заданного функционала F € (\V p.Q ^ 7(ft)^ требуется найти обобщенное решение уравнения

Рк — 2

х) Mw(x) хеП, {30}

|*|<г

о

Принадлежащее Пространству W

Разрешимость задачи Da изучается при следующих ограничениях на коэффициенты йк(х) дифференциального уравнения (30): 1) pk = р > 2 при = 0, |/г| — г и существуют положительные числа c'l, С2 такие, что

ci - ак(х) ^ cuvl^ix) (х е П) при |Л| = 0,

ci ^ а«=(х) ^ с2 ^./з^) (х € П) при \к\ = г,

где <¿>„,,4(ж) такая Же функция как в §3.1;

И) 2 < р < рк < сю при 1 < \к\ < г — 1 и существуют положительные Числа сз, С4 такие, что

С2^к(х)<ак(х)<сА^и3к(х) (хеП),

где

Qit = а + г - |fc| - (- - — | (п - m), \Р РкJ

0k = P-r+\k\-(---){n-m).

\Р Рк)

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть

+ 11>2>->гЬ 0 + .....г}, р-г> 7.

Тогда для любого заданного функционала F € ^U'' p-0i/3>7{ft)^ суще-

о

ствует единственная функция U(х) из пространства W ;ГГ(1(3/>(П), которая является решением вариационной задачи

inf Ф(и) = Ф(t/) = E{U)~ < F, U >,

О

где ипфимум берется по всем и EW и

Е{и) = Т- j afc(x)|«W(z)

,f 7? Рь J 1

\k\<rr" и

Рь

dx.

Багее того, функция U(а:) является единственным решением задачи Dq и при этом справедлива следующая оценка

где число М > 0 не зависит от F.

Далее рассматривается более конкретный случай задачи Do, когда ее рефенпе принадлежит классу L р,о 3(П).

Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1 и пусть

и — т , , п — т , : п — т

а —ь--1-1 ф S0) r _ 0 _ So-----h 1 т= Ü, r~ß--< «0)

р Р V

п~т п — гп , ,„,.

7 +-7 + —--Ь.90 < 1, (31)

Р V

где во - целое число, которое удовлетворяет неравенствам

п — т тг~ т

г + а--- < з0 < г + и —-- + 1.

Р Р

Тогда решение [/(х) задачи Д> удовлетворяет следующим однородным граничным условиям,

d'U(x)

Ölß

= 0, ^ = 0,1,... — 1> (32)

хеШ

где £ - единичный вектор нормали к многообразию ЭЯ в точке х.

Последний параграф третьей главы посвящен исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном многообразии Ж размерности т. < п — 1, удовлетво ряющее условию конуса.

Задача О. Для заданного функционала Р е (И^^.ДП))* н заданной функции е 1У;:аЛ7(П) требуется найти обобщенное решение 11(х) уравнения (30), принадлежащее пространству 7(П) «удовле-

творяющее условию

Щх) ~ Ф(яг) гр:оЛ7(П). (33)

Разрешимость задачи О изучается при боле« жестких ограничениях на коэффициенты ак(х), (|Аг| < г), чем в §3.2. Здесь предполагается, что

(34)

коэффициенты (¡¿(.т) уравнения (30) удовлетворяют условиям:

1) Рк — Р > 2 при \к\ = 0, \к\ ~ г н существуют положительные числа

С;, Сг такие, что

С1<р1^)<ак{х)<С21рра^(х) (хеП) при |А-| = 0,

С1 - - ^ (х 6 "Р" N ~ г'

где <ра.р(х) - весовая функция, определенная в §3.1;

И) 2 < р < р^. < ос' при 1 < < г — 1 и существуют положителмьш

числа сз, сд такие, что

СЗ д(*) 5 ак(х) < (х € Р),

где ак} - вещественные числа, удовлетворяющие условиям

а* < г + а - -(-- — ) (п - гп), \Р Рк/

рк <0-г+\к\ (п-т).

\Р Рк/

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть

п-т 3 ... п-т

ак < —-—, & + г - £ - 1 <----

Рк Рк

Оля всех мулътииидсксов к, удовлетворяющих условию 1 < |/с| < г — 1.

Тогда для любого заданного функционала Р € ^7(Л))* и лю-

бой заданной функции Ф(ж) • 6 7(П) существует единственная

функция [/(х) е И7 такая, что

М ф(ц) = ЩЩ = Е{У)~ < р, V >,. (35)

,:дс.

Ё(и) = £ / \к\£гРк п

и инф1шум берется по всем и в 1\'гр.а ;31(^}).

Более того, эта функция П(х) является единственным решением задачи П и yдoвJlemвopяëm оценке

1^1ч<г-1 ; (зб)

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору С.А. Исхокову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Публикации по теме диссертации

1. Исхоков С.А., Гаииев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полущюстранстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2009, т. 52, №4, с. 255-260.

2. Ганиев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения с нестепенным вырождением // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика К.Х.Бойматова, Душанбе, июнь, 2010г., с.29-30

3. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №2, с. 97-104.

4. Исхоков С.А., Ганиев М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики и ее приложения", посвященной 70-летию профессора Мухамадисва Э.М., Душанбе, июнь 2011г., с. 52-54.

5. Ганиев М.Ш. Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №5, стр. 353-358.

Введение

1 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

1.1 Теоремы вложения разных метрик для весовых функциональных пространств

1.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями.

2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

2.1 Пространство (Д+) и его свойства.

2.2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости хп =

3 Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных т-мерных многообразиях

3.1 Функциональные 'пространства и вспомогательные интегральные неравенства.

3.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями.

3.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями.

Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений. Применяется метод, основанный на элементах теории весовых пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.). Этот метод впервые был применен Л.Д. Кудрявцевым в работе [20], где исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка со степенным вырождением. Дальнейшим усовершенствованием этого метода занимались С.М. Никольский, П.И. Лизоркин, Н.В. Мирошин, X. Трибель, Б.Л. Байдель-динов, Ю.Д. Салманов, К.Х. Бойматов, С.А. Исхоков и др.

В работах С.М. Никольского [34], П.И.Лизоркина и С.М. Никольского [24, 25, 26], П.И. Лизоркина [27], П.И. Лизоркина и Н.В. Мирошина [28], Н.В. Мирошина [29, 30, 31] изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой коэффициенты которой имеют форму произведения ограниченной функции и степени регуляризованного расстояния до границы ограниченной области.

В работах С.А. Исхокова [12, 13] получена априорная оценка решений общего эллиптического уравнения высокого порядка в произвольной области с нестепенным вырождением и применением этой оценки изучена гладкость решения вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями в полупространстве = {х = (х\, Х2, хп) = (а/, хп) £ Ял : хп > 0}. Случай вырождающихся эллиптических уравнений, заданных во внешности ограниченной области, рассмотрен в работах

Н.В. Мирошина [32, 33], С.А. Исхокова и Г.И. Сивцевой [14].

В работе Ю.Д. Салманова [39] изучена разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в ограниченной области, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности меньше размерности пространства. Случай эллиптических уравнений, вырождающихся в неограниченных многообразиях различных измерений, рассмотрен в работах Г.И. Тарасовой [41, 42] и С.А. Исхокова, Г.И. Тарасовой [и].

Существование обобщенного решения некоторых классов вырождающихся дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений изучено также в работах А.Д.Баева [1, 3], А.Д.Баева и П.В.Садчикова [7, 8], П.В.Садчикова [36]. В этих работах используется метод, основанный на специальном классе так называемых весовых псевдодифференциальных операторов. Эти операторы построены по специальному интегральному преобразованию Га, которое было введено в работе [5]. Псевдодифференциальные операторы, построенные по этому преобразованию, были рассмотрены в работах [4, 6].

Заметим, что все отмеченные выше работы относятся к случаю линейных эллиптических уравнений с вырождением. Нелинейные дифференциальные уравнения с вырождением рассмотрены в работах Н.В.Крылова [17] - [19], Ю.Д. Салманова [37, 38, 49], С.А. Исхокова [47, 48, 15, 16]. В работах [17] - [19] изучена первая краевая задача в классической постановке для некоторых специальных классов вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. В работе [37] изучены нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения высокого порядка, а в работе [38] рассмотрены нелинейные уравнения в частных производных высокого порядка в ограниченной области п-мерного евклидова пространства. Задачи, рассмотренные в работах [37, 38], могут иметь неоднородные граничные условия.

В работах [15, 16] изучены общие эллиптические уравнения в произвольной (ограниченной или неограниченной) области с нестепенным вырождением. Решения этих уравнений ищутся в функциональных пространствах, в которых класс финитных функций плотен. Поэтому краевые задачи, рассмотренные в этих работах, относятся к случаю однородных граничных условий. Краевая задача с неоднородными граничными условиями для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка рассмотрена только в случае ограниченной области [38, 48]. Таким образом, тема диссертационной работы, целью которой является исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных вырождающихся дифференциальных уравнений в неограниченных областях, является актуальной.

Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номеров главы, второй указывает на номер параграфа, а третий - на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формул в данном параграфе.

Первая глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве И* = {х = (х\, Х2, . •., хп) 6 Ип хп > 0} с нестепенным вырождением на гиперплоскости хп = 0 и при хп —> оо. Используется метод, основанный на элементах теории нормированных пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных. Поэтому предварительно введены соответствующие функциональные пространства и установлены вспомогательные интегральные неравенства, которые являются аналогами теорем вложения разных метрик для весовых функциональных пространств.

Пусть Г2 - произвольная область в пространстве Яп. Символом Сд°(0) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в функций. Если В - нормированное пространство с нормой ||гг; В\\, которое содержит о

Со°(0), то символом В обозначим замыкание класса Со°(П) в пространстве В.

Если В\, .£?2 - нормированные пространства с нормами ||-; Вх||, Ц-; Б2Ц соответственно, то вложение В\ —> Вч означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства В2 и, кроме того, ||и;.£?2|| < С\\щ В\\\ для любого и 6 В\ с положительной константой С, не зависящей от и.

В первом параграфе первой главы введено весовое пространство Ур-^К^) и изучены его основные свойства.

Пусть (р(хп)- положительная непрерывная функция, определенная на полуоси (0, оо). Пусть г - натуральное число и р > 1. Символом Ур^В^) обозначим пространство функций и(х), определенных в полупространстве Я*, имеющих все обобщенные производные и^ (х) до порядка г включительно, с конечной нормой | Е / (<РЫ\и(к\х)\)Р<1х + I (фп)х-г\и(х)\)р<1х I . (0.0.1)

Это пространство является частным случаем пространства ¿х, <5), введенным К.Х.Бойматовым.

Из результатов К.Х.Бойматова, в частности, следует следующий результат

Теорема 1.1.1. Если функция (р(хп) дифференцируема и удовлетворяет условию р{хп)\ < М<р(хп)х~\ хп Е (0, +оо), (0.0.2) то при всех натуральных г и всех р > 1 множество Сд°(Д+) плотно в пространстве У^^О,) и норма (0.0.1) эквивалентна следующей норме Е / (*>(х.)«Г+|Ч1»(*)(«)|)'<Ь \ • (0-0-3)

Если в качестве основной нормы пространства Ур]1р(Яп) берём норму (0.0.3), то для любого целого в Е [0,г] имеет место вложение та^), (о.о.4) где <р8{хп)~ любая положительная функция, удовлетворяющая условию р3(хп) < М^р(хп)х~8, хп Е (0, оо). (0.0.5)

Основным результатом первого параграфа первой главы является следующая теорема, которая обобщает вложение (0.0.4) на случай разных метрик.

Теорема 1.1.2. Пусть г - натуральное число, целое число в Е [0, г], 1 < р < оо и выполняется условие (0.0.2). Тогда если п п ,

Р<41 < +оо, г-в---1--> 0, (0.0.6)

Р Ш то справедливо вложение где

Рз{хп) = <р(хп). хп р 91. (0.0.8)

Во втором параграфе первой главы исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для нелинейного дифференциального уравнения, решение которой является элементом пространства У£;<р(В£). Так как Со°(В,п) плотно в пространстве Т^Д-К*), то граничные условия в этой задаче являются однородными.

Каждому мультииндексу к такому, что \к\ < г, сопоставим число рь > 2 и рассмотрим дифференциальное уравнение к\<г ^ ' к) Р, жед+. (0.0.9)

Очевидно, это уравнение является нелинейным, если рк Ф 2 хотя бы для одного мультииндекса к.

Определение 1.2.1. Функция и(х) называется обобщенным решением уравнения (0.0.9), если для всех и(х) £ С™ (11%) выполняется тождество

Рк~2 к\<г с1х =< Р, V >,

0.0.10) где < Р, V > означает значение функционала Р на функции у(х) , если же Р - обычная функция, то < Р,у > - скалярное произведение функций Р(#) и у(х) в Ь2(Яп) ■

При \к\ = 0, \к\ = г положим рк = р.

Задача Д). Для заданного функционала Р £ требуется найти обобщенное решение уравнения (0.0.9), принадлежащее пространству , то есть функцию 1/(х) £ , удовлетворяющую тождеству (0.0.10).

Предполагается, что коэффициенты а^х) уравнения (0.0.9) удовлетворят условию

С1 (фп) • • (хп-1+*1*)П < ак(х) < С2 (<р(хп) ■ ХпМ-Г)Рк . (хп-1+»''У (\к\ < Г, * 6 Д+) ,

0.0.11) где положительные числа ci,C2 не зависят от х. Так же, как в §1.1, считается, что <р(хп) - положительная функция из класса , удовлетворяющая условию

ИО| < Мфп)х~\ хп е (0, +оо). (0.0.12)

Относительно чисел рк предполагается выполнение следующих условий:

Рк=Р при \к\ = 0, \к\ = г-, г-\к\~- + —>0, 2<р<рк<+оо при 0 < Ш < г. (°-0-13) Р Рк

Прежде чем доказать существование решения задачи Dq , более подробно изучаются свойства связанных с уравнением (0.0.9) функционалов

Е(и) = ~ [ ак(х) и^к\х) Рк йх,

Ф(и) = Е(и)~ < Р,и>, где Р - заданный элемент из пространства (Ур-(р(^))* •

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия (0.0.11) - (0.0.13). Тогда для любого заданного функционала Р 6 ()) существует единственная функция и{х) Е Ур](р{^п) такая, что

ЫФ(и) = Ф(И) = Е(и)- <Р,и>, (0.0.14) где инфимум берется по всем и е Ур-^Яп)

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1 Тогда функция и(х) из теоремы 1.2.1 является единственным решением задачи Д) и справедлива оценка у;,„(Ю1Г ^ м . (0.0.15) где число М > 0 не зависит от Р.

Вторая глава диссертационной работы посвящена изучению разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве. Она состоит из двух параграфов, и в первом параграфе определено пространство , изучены его основные свойства и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства.

Пусть функция a(t) G C00(i?i') такая, что 0 < a(t) < 1 для любого t G 1] и a(t) = 0, когда t > 1, cr(t) = 1 для любого t G (О; |]. Для любых двух вещественных чисел а, (3 определим функцию ipafi® = <T(t) Га + (1 - <7(t)) i? (t > 0).

Пусть р G (1; +оо) иг - некоторое целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы функций, заданных в полупространстве

К' (<PadXn) U{k\x)^jPdx

1*1=4

1/р +оо {и(х) : ||и; И^;оД7(^)|| = \\щЬ1^{К)\\*>}11р < +оо}

Пространство У*л(р{В+) при <р(хп) = ц>а,р(хп) обозначим через о

Если И- некоторое весовое пространство функций на щ , то через О обозначим пополнение класса С™ (П>п) в метрике пространства И.

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия — а + ^ ^ {1,2,.,г}; (3 + - ф {1,2, .,г}, (3 — г > 7 . Тогда с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство

Теорема 2.1.3. Пусть р > 1 и числа а, /3,7 удовлетворяют условиям теоремы 2.1.1 Пусть так£нсе

1 ^ 1 —г + - < а < —, V V

Г + r-/?+i<e0 + l, р' р

1 , 1

3~г> 7, 7 + 5о < —, 7 + —,

V V

0.0.16) где р' = р/(р— 1) и so - целое число, удовлетворяющее неравенствам г + а — 1/р <so<r + o; — - + 1. V о

Тогда для всех функций и'ЕЬ р-ар(Яп) справедливо неравенство

У / (<РаАхп)\и{к){х)\У (IX. (0.0.17) я* Щ=ГШ1

Следствие 2.1.1. В условиях теоремы 2.1.3 полунорма в пространо стве Ьгр.а/3(Нп) эквивалентна на функциях и еу/ норме в

Теорема 2.1.4. Пусть целое число б Е (0,г) и пусть

11 1 о - а <г — ----, «о < —, 1 < р < до < г Яо (0.0.18)

Р~Ро > ---, /Зо + г-в-К--. яо р до

Тогда для всех функций и € справедливо неравенство

Обозначим через множество бесконечно дифференцируемых функций, финитных сверху, то есть обращающихся в нуль при больших значениях хп. Символом \У£.а^^{Яп) обозначим замыкание множества

С§°№) в метрике пространства

Теорема 2.1.5. Пусть 1 < р < до < о° и целое число в такое, что 1 < 5 < г — 1. Пусть выполнены условия

11 1 а0 — а < г — 5 Н----, а$ < —, г г г % Р % (0.0.20)

Ро = Р-г + в--+ -, Р + - £ {1,2,., г-в}.

Яо Р Р

Тогда для всех функций и £ Исправедливо неравенство

11«; ^„„аЮН «11«; • (0.0.21)

Во втором параграфе второй главы доказаны теоремы об однозначной разрешимости задачи Дирихле с общими неоднородными граничными условиями и задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости хп = 0. Эти теоремы также содержат оценки норм решения в соответствующих функциональных пространствах. Для наглядности сначала сформулируем результаты §1.2 в случае

Если выполняются условия теоремы 2.1.3, то полунорма в пространо стве I/ эквивалента на функциях и 7(Я+) норме

Ур.а• Более того, если выполняются условия теоремы 2.1.1, то с точностью до эквивалентности норм имеет место равенство

У;-,аАЕп) (0.0.22) и поэтому полунорма в пространстве Ьг эквивалента на функциях и е V* норме пространства Угр.а р(11+). В силу этого факта из результатов П.И. Лизоркина [23] следует, что в этом случае условие и{х) € задачи По можно заменить на эквивалентное ему условие и —у =0, в = 0,1,.,5о-1. (0.0.23) иХТ1 хп=и

Теперь, применяя теоремы 1.2.1 и 1.2.2, получаем следующий результат. Теорема 2.2.1. Пусть выполнены все условия теорем 2.1.1, 2.1.3 .

Тогда для любого заданного функционала Р 6 р;а,/?,7(-^п)) существует единственная функция и(х) € удовлетворяющая граничным условиям (0.0.23) такая, что

ЫФ(и) = Ф{Ц) = Е(и)— < и >, (0.0.24) о где инфимум берется по всем и р-а^^^п) ■

Более того, функция 1/(х) является единственным обобщенным решением дифференциального уравнения (0.0.9) из пространства , удовлетворяющее однородным граничным условиям (0.0.23), и при этом справедлива следующая оценка

0.0.25) где число М > 0 не зависит от Р.

Далее рассматривается' однозначная разрешимость обобщенной граничной задачи в с неоднородными граничными условиями вида (0.0.23). Сначала рассматривается вариационная задача с неоднородным граничным условием общего вида.

Задача Б. Для заданного функционала Р 6 О^р-а.^С^п))* и заданной функции Ф(я) £ р ^В^) требуется найти обобщенное решение и(х) уравнения (0.0.9), принадлежащее пространству ИТр.а р 7(-й„) и удовлетворяющее условию

0.0.26)

Замечание 2.2.1. Условие (0.0.26) означает, что функция 11(х) имеет одни и те же следы, что и функция Ф(#) на гиперплоскости хп = 0 и при хп —оо.

Далее, для удобства записи, для заданной функции Ф(ж) Е ^¿«.^(-^п) символом (-Я+) обозначим множество всех функций и Е УУгр.ар таких, что

-Ф(гг) ей 7№).

Разрешимость задачи И изучается при следующих ограничениях на коэффициенты ак{х) уравнения (0.0.9):

I) Рк = Р > 2 при \к\ = 0, \к\ = г и существуют положительные числа С1, С2 такие, что

С1 ^а)7Ы < < С2 6 Еп) ПРИ 1&1 = °>

С14%с,р(хп) < ад.(ж) < с2 <^(0 (ж 6 #+) при |&| = г;

II) 2 < р < Рк <оо при 1 < < г — 1 и существуют положительные числа сз, С4 такие, что

С3 АЫ ^ ^ е ДЙ» где а* < г + а - \к\ + — - Рк < Р-г+\к\ -—+ -. (0.0.27)

Рк Р Рк Р

Теорема 2.2.2. Пусть выполнены условия 1),Н) и пусть ак<~, Рк<~— -г+\к\ + 1 (0.0.28)

Рк Рк для всех мультииндексов к, удовлетворяющих условию 1 < < г — 1.

Тогда для любого заданного функционала Р Е и лю~ бой заданной функции Ф(ж) Е а ^ 7(.К+) существует единственная функция и{х) из класса Ш^(Я^) такая, что т{Ф(и) = Ф (Ц) = Е{и)— <Р,и>, (0.0.29) где инфимум берется по всем и Е И/ф(Л^').

Теорема 2.2.3. В условиях теоремы 2.2.2 решение и(х) вариационной задачи (0.0.29) будет единственным решением задачи И и удовлетворяет следующую оценку

I Е И^ка.м^ПГ-11 х +

1<|А;|<г-1 J

И 1Г' + • (°-о-зо)

Более того, если рк < р +1 при 1 < < г — 1, то решение и(х) задачи I? удовлетворяет оценку

0.0.31) где щ = тах{р, р/(р+1~рк)}, если ||Ф; > 1, и щ=р, если ||Ф;^в|/?|7(Л+)||<1.

Далее рассматривается случай задачи Б, когда решение дифференциального уравнения (0.0.9) удовлетворяет неоднородным граничным условиям на гиперплоскости хп = 0 и однородным условиям при хп —> оо. Решение в этом случае ищется в пространстве УУТр.а р 7(#п) •

Задача Для заданного функционала Р 6 и заданной функции Ф(ж) £ требуется найти обобщенное решение и(х) уравнения (0.0.9), принадлежащее пространству ^р-а р,-у№п) и удовлетворяющее условию и(х)~ Ф(*) еИ^в|А7(Д+). (0.0.32)

Замечание 2.2.2. Условие (0.0.32) означает, что функция и{х) имеет одни и те же следы на гиперплоскости хп = 0, что и функция Ф(ж).

Теорема 2.2.4. Пустъ выполнены все условия теоремы 2.2.2, кроме условия ¡3 < 1 /р'. Пустъ также

0 + 1 ¿{1,2 ,.,г}. р

Тогда для любого заданного функционала Р £ (^р; а,/3,7(^71")) и лю~ бой заданной функции Ф(я) £ И^" ^ (.Й+) существует единственная функция и(х) из класса Ш^(Я^), которая является решением вариационной задачи (0.0.29) и задачи , и для нее справедливы неравенства (0.0.30), (0.0.31), в которых норма ||.Р; (Я*)) || заменена нормой

Далее рассмотрим более конкретный случай задачи , когда граничные условия на гиперплоскости хп = 0 вписываются в явном виде. Справедлива следующая лемма Лемма 2.2.1 набора функций

Лемма 2.2.1. Пусть 1 < р < оо, — г + ^ < а < Тогда для любого у Л-(у—1 — 1

Ф, е вр р \Rn-i), з = о, 1,., 50 -1, (о.о.зз) где Вр(Яп-\) - классы Бесова функций, определенных на Яп—\, 5о - целое число, удовлетворяющее неравенствам

1 1 , г + си--< 5о < г + а;---Н 1,

Р Р существует функция Ф £ Ьгр. а{Я*) такая, что:

Ф(*) = 0 на В+\П1/2; дх3п

3 =0,1,.,50- 1; я„=0 яо-1

0.0.34)

0.0.35) j=o

Задача Дг» Для заданного функционала Р £ (и^а.^С^п)) и заданного набора граничных функций (0.0.33) требуется найти обобщенное решение и(х) уравнения (0.0.9), принадлежащее пространству И£в р и удовлетворяющее граничным условиям дЩ(х) дх1 п Ф](х'), 3=Ъ, 1,.,50-1.

0.0.36) хп=0

Теорема 2.2.5. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.4 и пусть числа а, (3, 7 удовлетворяют условиям г 4- - < а < г + ->(3, г- /3 + 1 /р' < 50, р р р 1

7 + 50 < 1 /р', 7 + «о ф —1/р, Р + ,., г}. Р

Тогда для любого заданного функционала Р 6 и любого заданного набора граничных функций (0.0.33) существует единственное решение и(х) задачи 2?2 и для него имеют место оценки (0.0.30), (0.0.31), в которых норма заменена нормой (Й^в|/?|7Ж))*|| « ~ функция из леммы 2.2.1, которая определяется граничными функциями (0.0.33).

Далее заметим, что применение неравенства (0.0.35) позволяет улучшить оценки (0.0.30), (0.0.31) для решения II(х) задачи Например, если рк < р + 1 при 1 < < г — 1 и

8 0-1 ■

Ывгр+а-1-1/р(Яп-х)

3=0

1, то решение II (х) задачи £?2 удовлетворяет оценку

I 7=0

Третья глава диссертационной работы посвящена изучению разрешимости вариационной задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях размерности 0 < т < п — 1, удовлетворяющих условию конуса. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе введены определения основных функциональных пространств и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства.

Пусть Яп — п-мерное евклидово пространство. Пусть Н > 0 и га-натуральное число меньше п. Положим п {х : х = (®1, х2,. •., хп) е Яп] XI = Х2 = • • ■ = хт = 0; ^ х\ < /г2}, г=т+1

71—1

Кн = {х : х = (жх, Ж2, •. •, хп) £ Яп; 0 < хп < к; ^ х\ < а2х2п}. 1

Через .Кл(£), где £ Е Яп и |£| = к, обозначим конус, который получается путем поворота конуса Кь вокруг начала координат так, что при этом точка (0, 0,., О, К) переходит в точку Объединение всех конусов когда £ пробегает обозначим через

Определение 3.1.1. Будем говорить, что неограниченное С0 - многообразие ШТ С Rn размерности га удовлетворяет условию конуса, если существует линейное преобразование А : Rn —> Rn, осуществляющее поворот вокруг начала координат, такое, что x + AV^'C Rn\m, Vh> 0, УхеШ.

Далее предполагаем, что Ш - неограниченное С0-многообразие размерности га < п, удовлетворяющее условию конуса, Г2 = Rn \ Ш и р(х) = dist{x,ffl} для всех х £ Г2.

Пусть функция a(t) 6 С°°(0,+оо) такая, что 0 < a(t) < 1 для всех t € 1], cr(t) = 0 при t > 1 и a(t) = 1 для всех t £ (0; Для двух вещественных чисел а, ß определим функцию (paß{x) = сг(р(х))р~а(х) + (1-сг(р(х)))рР(х) (хеп).

Пусть р £ (1, +оо) и пусть г- целое неотрицательное число. Определим следующие весовые классы функций, определенных в области Г2: l*l=r Ü {и{х) : ||fi;W^A7(n)|| = v;]aM = {<*)-Л\чК,а№\\ = {||«;^(П)ИР + HLla+r^mp}l'P < +«>}.

Некоторые свойства этих пространств ранее изучались в работе С.А.Исхокова и Г.И.Тарасовой [11]. В частности, в этой работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.1.1. Пусть г - целое неотрицательное, ос, ß- вещественные числа. Тогда множество Cq°(Q) плотно в пространстве Vp.aß{Q). Для любого натурального числа s справедливо вложение

Теорема 3.1.2. Пусть выполняются условия п — т , п Л п — т , , ^ , ос +-^ {1,2,.,г}; /?+-£{1,2,.,г}; /? - г > Т.

Р Р

Тогда с точностью до эквивалентности норм выполняется равенство

В первом параграфе третьей главы продолжены изучения свойств про-0 странств IV р|ад7(^), У^ра р ^О) и доказаны некоторые вспомогательные интегральные неравенства, которые применяются в следующих параграфах. Основные результаты этого параграфа сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 3.1.3. Пусть выполнены условия п — т „ . п — тп , п — т а---Ь 1 ф во, т сх. ---Ь 1 О, г ~ Р--< ^о?

Р Р Р

П — ТП 71 — ТП

Р~г> 7, 7 +-+ 507^0, 7 +-+ во<1, (0.0.37)

Р Р где йо - целое число, которое удовлетворяет неравенствам п — т 71 — т . г + а--< во < г + а--+ 1. (0.0.38)

Р Р

Тогда на функциях и Е Сд°(Г2) полунорма \\щ 1/р.ар{0)\\ эквивалента норме пространства р (О,).

Теорема 3.1.4. Пусть целое число в Е (0, г) и пусть выполнены условия

1 1\ / \ п — т а3 — а<г — в + I---I (п — га), а3 <-, 1 < р < д0 < оо,

Р) до

Р - Рв > г - з + (- - - ) (п - т), р8 + Г - 5 - 1 < (0.0.39)

Ч9о р)

Тогда для всех функций и Е Шр^ р ^О) справедливо неравенство

11«; Цо;а.,е,(Щ\ « 11«; и£а,А7(п)11 • (0.0.40)

Теорема 3.1.5. Пусть целое число в такое, что 1 < з < г — 1, и пусть выполнены условия п — т , ,. .

1<P<90<00, -сН--£ {1,2,г - 5|, п-т Р (°-0-41)

3-г >7. о

Тогда <?лл есея? функций и справедливо неравенство где

Л Л/ а5 = а-|-г — 5—---I (п — га),

X ?< (0-0.43) = + ---(п-т).

00/

Во втором параграфе третьей главы исследуется разрешимость вариационной задача Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном многообразии размерности т < п — 1. Здесь так же, как в §3.1, считается, что £2 = где Ш - неограниченное С0 - многообразие размерности га.< п — 1, удовлетворяющее условию конуса и р{х) = Ш] для всех xE.il. Решение рассматриваемой задачи

О • ищется в пространстве IV р;а,р,у№) и как элемент этого пространства удовлетворяет однородным граничным условиям на многообразии ШТ.

Задача Во. Для заданного функционала Г е ^И^ требуется найти обобщенное решение уравнения — 2 \ № Ьи = ^(-1)|А;| ( ак(х) иЮ(х) " = ^ (0.0.44) к\<г ^ ' о принадлежащее пространству ]У

Разрешимость задачи £>о изучается при следующих ограничениях на коэффициенты ак(х) дифференциального уравнения (0.0.44): I) Рк — Р > 2 при |Лг| = 0, \к\ = г и существуют положительные числа сх, С2 такие, что

С1 (р^(х) < ак(х) < с2 фрап{х) (х 6 П) при = 0, с1 Л,р(Х) ^ ак(Х) < °2 (Х е ПРИ 1^1 = где (ра,р(х) такая же функция, как в §3.1;

II) 2 < р < рк < оо при 1<|&|<г — 1и существуют положительные числа С3, С4 такие, что сзКкк,13к(х)-< ак(х) < с4срра1рк(х) {х е где ак = а + г - \к\ - (- - — ] (п - т),

Р Рк)

Рк = Р-г+\к\-(--—) 0п-т).

Рк)

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть п — т , . ^ , . п — т,, п -£* + —— £{1,2,.,г}, /? + —,.,г}, /?-г>7.

Тогда для любого заданного функционала Р 6 ^И^ 7^)) сУЩе~ о ствует единственная функция II(х) ш пространства гр.а р яоторая является решением вариационной задачи т£Ф(и) = Ф(С/) = £(£/")- < Р,и >, о где инфимум берётся по всем и Е\У и

Рк йх. ад = Е - [<х) и{к)м г Рк {

Более того, функция II(х) является единственным решением задачи Д) и при этом справедлива следующая оценка где число М > 0 не зависит от Р.

Далее рассматривается более конкретный случай задачи Д), когда её о решение принадлежит классу Ь гр->а,1з№)

Теорема 3.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.1 и пусть п — т ^ . п — т . п п — т а---Н 1 ф г-а- в0---Ы^О, г — р---— < 50, Р Р Р п — т п — т

7 + —+ ¿0^0, 7 + — + яо<1, (0.0.45) Р Р где 5о - целое число, которое удовлетворяет неравенствам п — т п — т г + а--< йо < г + а---1-1

V Р

Тогда решение С/(х) задачи Д) удовлетворяет следующим однородным граничным условиям д>и(х) дР 0, з = 0,1,., 50 - 1, (0.0.46) хет где Ь - единичный вектор нормали к многообразию 9Я в точке х.

Последний параграф третьей главы посвящён исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейного дифференциального уравнения, вырождающегося на неограниченном многообразии Ш размерности т < п — 1, удовлетворяющее условию конуса.

Задача И. Для заданного функционала Р £ (И^ и заданной функции Ф(ж) £ И^. а, /?, 7 (^п) требуется найти обобщённое решение и(х) уравнения 2 \ (к) Ьи=^(~/'(х) ' и^(х)) = хеП, (0.0.47) к\<г ^ ' принадлежащее пространству ^ и удовлетворяющее условию и(х)-Щх)е]¥гр.а,0п(П). (0.0.48)

Замечание 3.3.1. Условие (0.0.48) означает, что решение II(х) задачи Б и заданная функция Ф(#) имеют одни и те же следы на многообразии Ш1. Поэтому, если функция Ф(ж) имеет неоднородные следы на Ш, то решение С/(ж) удовлетворяет неоднородные граничные условия на многообразии ШТ.

Разрешимость задачи В изучается при более жёстких ограничениях на коэффициенты а^х), (|&| < г), чем в §3.2. Здесь предполагается, что коэффициенты ак(х) уравнения (0.0.47) удовлетворяют условиям: I) Рк = Р > 2 при = 0, \к\ = г и существуют положительные числа с\, С2 такие, что

С1 4>а,~/{х) ^ ак(Х) ^ С2 (х € П) при \к\ = 0, с1 Л,/з(Х) ^ ^ С2 6 ПРИ 1*1 = Г> где <ра,р(х) - весовая функция, определённая в §3.1;

II) 2 < р < рь < оо при 1 < \к\ < г — 1 и существуют положительные числа сз, с\ такие, что

5*0*0 ^ а*0*0 ^ ^2,^0*0 € где ак, /Зк - вещественны числа, удовлетворяющие условиям ак < г + а - \к\ - (- - — ) (п - га),

Рк)

Зк<р-г+\к\+(±-±) (п-т).

Р Рк)

Теорема 3.3.1. Пусть выполнены условия I), II) и пусть

0.0.49) п — т . ч п — т к<-, Рк + г-\к\- 1<-

Рк Рк для всех мультииндексов к, удовлетворяющих условию 1 < < г — 1.

Тогда для любого заданного функционала Г £ и любой заданной функции Ф(ж) 6 (£2) существует единственная функция и(х) £ (Г2) такая, что

ЫФМ = Ф(и) = £(£/)- <Р,и>, (0.0.50) где

Рк йх, Е г- [ «(Ч(*) и инфимум берётся по всем и €\¥р.а р 7(Г2).

Более того, эта функция и (ж) является единственным решением задачи В и удовлетворяет оценку

ГГ;И^а,А7(П)II" <{ ■ Е

1<[к\<г-1 рк~ 1 X X

0.0.51)

Следствие 3.3.1. 5 условиях теоремы 3.3.1 если рк < р + 1 при 1 < < 5— 1 у то решение II (х) задачи И удовлетворяет оценку

Иг;в,А1(П))*|| + ||Ф;И';о>А7(П)|р1 (0.0.52) где vq = max{p, p/(p + l-pk)}, если ||Ф; Wrp.a> 1, и щ = p, если ||Ф;^в)/,>7(П)||<1.

1. Баев А.Д. О разрешимости общих краевых задач в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Вестник СамГУ-Естественно-научная серия, 2008, №3(62), с. 40-51.

2. БАЕВ А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для сингулярно возмущенных уравнений конвекции-диффузии с вырождением // Системы управления и информационные технологии. 2008, №2.2(32), с. 212-216.

3. БАЕВ А.д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка // Доклады РАН. 2008, т. 422, №6, с. 727-728.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. - 480 с.10. бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах // Доклады АН СССР, 1989, т.307, №6, с. 1296 1299.

5. КРЫЛОВ Н.В. О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях I //Математический сборник, 1983, т. 120(162), №3, с. 311 -330.

6. КУДРЯВЦЕВ Jl. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.

7. КУФНЕР А., ХеЙНИГ Г.П. Неравенство Харди для производных высших порядков // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1990, т. 192, с. 105-113.22. куфнер А., фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988, 304 с.

8. ЛИЗОРКИН П.И. О замыкании множества финитных функций в весовом пространстве // Доклады АН СССР, 1978, т.239, №4, с. 789 792.

9. Солонников В.А., Уральцева H.H. Пространства Соболева. // В сб. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981, 200 с.

10. ТАРАСОВА Г.И. Вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора, вырождающегося на m-мерной гиперплоскости //IV Международная конференция по математическому моделированию: Тезисы докладов. Якутск: Изд-во ГУ РОНПО. 2004. с. 39-40.

11. ТРИБЕЛЬ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир.- 1980.- 664 с.

12. ADAMS R.A. Sobolev spaces, Academic Press, New York, 1975.

13. BRADLEY J.S. Hardy inequalities with mixed norms // Canad. Math. Bull. 1978, vol. 21, No. 1, pp. 405-408.

14. CLARKSON J.A. Uniformly convex spaces // Trans. Amer. Math. Soc. (1936), vol. 40, pp. 396-414.

15. ИСХОКОВ C.A., ГАНИЕВ М.Ш. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2009, т. 52, Ш, с. 255-260.

16. ИСХОКОВ С.А., ГАНИЕВ М.Ш. Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в .полупространстве // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №2, с. 97-104.

17. ГАНИЕВ М.Ш.Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных многообразиях // Доклады АН Республики Таджикистан, 2011, т. 54, №5, с. 353-358.