Краевые задачи для квазиголоморфного вектора тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Раенко Елена Александровна

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИГОЛОМОРФНОГО

ВЕКТОРА

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Горно-Алтайск, Новосибирск — 2006

Работа, выполнена в организациях: Горно-Алтайский государственный университет, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Семенко Е.В.

Научный консультант: академик Монахов В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сычев А.В, доктор физико-математических наук, профессор Сопла М.С.

Ведущая организация: Кемеровский

государственный университет

Защита состоится11 _2006 года в ¿^Г часов на засе-

дании Диссертационного Совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан 2006 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

доктор физико-математических наук Н.И. Макаренко

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Процессы тепломассопереноса гидродинамическими потоками жидкости описываются системами эллиптических уравнений, представленных в комплексной форме. Для таких систем достроена теория краевых задач, наиболее изученной из которых, является задача Дирихле для линейного уравнения второго порядка, коэффициенты которого зависят только от х, у.

В работах К. Миранда (1957), М. И. Вишнка (1961), А. Н. Вольперта (1961), А. В. Бицадзе (1966) основным подходом к исследованию этой задачи Дирихле является представление ее решений с помощью какого - либо потенциала и сведение к уравнению с вполне непрерывным оператором. При атом безусловная разрешимость задачи Дирихле доказывается при очень жестких ограничениях на коэффициенты оператора (вплоть до их постоянства) или на размеры области. В работе O.A. Ладыженской и H.H. Уральцевой (1973) предложен метод разрешимости задачи Дирихле на основе априорных оценок ее решений применительно к квазилинейному уравнению с векторным оператором в главной части. В. Н. Монаховым (1977) была исследована разрешимость задачи Гильберта для квазианалитического вектора с помощью интегральных операторов Ги5 = dT/dz.

При обтекании тел потоками жидкости с достаточно большими скоростями движения возникают струйные течения, когда погож отрывается с поверхности тела и в результате за телом образуется область постоянного давления (каверна), ограниченная неизвестными поверхностями (струями).

В.М. Щурыгин (1966) для описания топологически сложных гидродинамических течений предложил моделировать дополнительные потоки жидкости (с заданными или искомыми границами) помещением каждого из таких потоков на свой лист рцмановой поверхности (так называемые схемы Шурыгияа). В.Н. Монаховым (1977) для искомого решения системы уравнений, отвечающей схеме Шурыгина, доказаны априорные оценки, обеспечивающие его локальную единственность.

В гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теории фильтрации имеют приложения краевые задачи Векуа на римановых поверхностях. Линейная задача Векуа широко изучалась ранее (А. И. Бахчантаев (1937), Juri L. Rodin (1987)). Ими была установлена нетеровость задача и вычислен ее индекс.

В.Н. Монаховым а Е.В. Семенко (2003) была предложена корректная постановка линейной краевой задачи сопряжения аналитической функции и доказана ее однозначная разрешимость.

Цель работы. В диссертации доказывается однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами Q1,«?3 близкими к диагональным и треугольным. Доказывается существование и единственность

струйных течение, отвечающих схеме Шурыгина, а также разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановоЯ поверхности.

Методы исследования. Основным методом исследования однозначной разрепга-мостн лилейной задачи Дирихле является построение априорной оценки ее решения в предположении, что коэффициенты уравнения принадлежат пространству £р , р > 2. В квазилинейном случае разрешимость доказывается путем построения вполне непрерывного оператора задачи, к которому применим принцип Шаудера, а единственность - наложением условий слабой связанности уравнений системы.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Теоретическая ж практическая значимость. В основном работа носит теоретически характер, ее результаты могут быть использованы при численном решения задач тепломассопереноса.

Публикации в апробации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных н российских конференциях: "Математические проблемы механики сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000, 2001 гг. ), "Математические методы в механике природных сред и экологии" (г. Барнаул 2002 г.).

Результаты диссертации доложены также на семинарах: института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" иод руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2006), лаборатории теории функции института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством д.ф.-м.н, профессора Асеева В. В. к д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006), кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики" под руководством д.ф.-М-Я. профессора Блохина А. М. (2006).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы и списка литературы.

Общий объем диссертации 98 страниц машинописного текста, библиография содержит 36 наименований, в основном монографического характера.

Содержание работы

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы.

Глава I. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора.

Первая часть главы (§1, §2) посвящена изложению известных результатов я краткому обзору работ, В параграфе 3 приводится описание квазилинейной модели потоков жидкости и гидродинамическая интерпретация ее коэффициентов. В параграфе 4 доказаны однозначная разрешимость и устойчивость линейной задачи; параграф 5 посвящен доказательству разрешимости и единственности квазилинейной задачи Дирихле с диагональными матрицами коэффициентов, а в параграфе 6 научается задача Дирихле дли уравнений с квазидааговалыщ ми матрицами. Завершает главу гидродинамическая интерпретация результатов (§7).

Вспомогательные сведения (§1). В атом параграфе приводятся некоторые нооб-' ходимые сведения из функционального анализа.

Уравнения диффузии (§2). В параграфе приведен краткие обзор работ; посвященных построению математических моделей процесса тепломассопереноса и теории граничной задачи Гильберта.

Квазилинейная модель (|3).

Квазианалитические векторы описывают диффузионные процессы тепломассопере-носа потокам в жидкости. В параграфе строитсякваэилинейяая модель диффузионного процесса в предположении, что матрица диффузии диатональна:

+ (Ик^Ы + + + +Рк=0, к = Т«; (1)

вир 0 т 1 +1 && I) = < 1. (2)

где уг»; = ■фк + »уь — комплексный потенциал течения, — функции тока, (к = 1,п — 1) — компоненты примесеО, р» — температура, г = х + {у. Условие (2) отражает. факт эллиптичности уравнения (1) для "»¿(г). Для системы уравнений (1), (2) в круге П :| * |< Г получена следующая задача Дирихле:

1тчг*(е4,) = 0, 7 е [0,2*]; Не 0, 17"- (3)

Линейная задача (£4).

Приводится постановка линейной задачи Дирихле (1°), т.е. когда вектор коэффициентов Qk = (ми,, А*, В*, Рь) уравнения (1) является функцией Беременной х-(<?* = Дополнительно к условию (2) эллиптичности уравнения (1) предполага-

ется, что (Ак, Вк, Рк) е Ь„(П), р > 2, (к = 1~п).

Получена априорная оценка (2°) решения иг* = к = 1,п линейной задачи

(1) • (3), которая обеспечивает справедливость теорем существования и единственности решений задачи (1) - (3). Доказано утверждение:

Теорема 1 (об однозначной разрешимости). Пусть (Ац(г), В,€ р > 2, Тогда задача (1) - (3) однозна-чно разрешима « для ее решениям ™ (»1(2),..

справедливы оценки:

' II »» М II Л (и, 2<Я(*»Р)<Р>

еде М (Л,В) ||Ла) = свпзЬ < то, А = (Л,..., Д,). В = (Л,...,В„).

Теорема устойчивости (3°). В пункте рассматривается семейство задач (1*) — (З1) с вектором коэффициентов <3*(£) = Як(г, Й) 5= <?*(л) + Як(х, &) £ р> 2,

01(2} = 0 при 6 = 0.

Получена априорная оценка решения к •= 1,п уравнения (1) для разности

(5)

А > 2, к = 1,п, связывающая нормы вариаций решений задачи (1*) — (3*) с ва-

риациями ■= ^к(г^) 0) векторов коэффициентов (1(), нз которой следует

устойчивость в №¿(0), q>2 решений задачи (1) - (3) относительно в&риапри векторов (2к{в,6) коэффициентов уравнения (1). Доказано утверждение:

Теорема 2 (устойчивости). Решения »(г, 3) =• (чги____ задачи (1) - (3) устойчивы е И^(П), ? > 2 относительно вариации векторов коэффициентов уравнения (1) в пространстве ВТ(П), при атом для вариаций ^(г) = ^(г, 6) — у^^О) справедливы оценки (5) через вариации — £} — 0) векторов коэффициентов (1).

Разрешимость в единственность решений квазилинейной задаче (§5). В параграфе рассматривается общий случай квазилинейного уравнения (I), в котором векторы <2* = (ри, Цък, Лк,Вк, Рк) коэффициентов (1) являются функциями переменных ге!1и* = (ИГ(.....wn) е л1", = (З^г,иг) :

+ п)™** + (Ък&чг) + + + = О,

8ир(| | + ( ^(г,*) |) = < 1.

При этом на коэффициенты ^ накладывается условие невозможности роста но чу. Предположения:

(О V) = чу), е > 0 искомый параметр, С*— матрица (пхл).

(11) векторы непрерывны но V при г 6 П и для любого тяг € Л5"

8ир|[(А,£*,С*,£>*) ||р,я< Ло < оо, р>2.

(.V

Рассматривается линеаризованная задача (1*)~(3*), полученная путем подстановки в коэффициенты задачи (1) - (3) произвольно фиксированной вектор

- функции -»'(г) 6 С(П). Используя вложение №£(П) С и условия (¡),(й) при

достаточно малом е > 0 находятся оценка, решения * (г) линеаризованной задачи (1*)— (3*). При этом решение V =* (■№),задачи (1*) — (3*) определяет оператор над вектор - функцией то"(г) 6 С(П) : та1 | г), Л — (Л1,..Л»), Л : С(П) —*

^'(П), 9 > 2, к которому применим принцип Шаудера. Доказана утверждение.

Теорема 3 (существования). При выполнении условий (¿), (") яры достаточно малом £ > 0 задача (1) - (3) имеет по крайней мере одно решение 'пт(г) € П ЩП),Ч>2.

Теорема единственности (2°). Рассматривается уравнение

+ +Л еир(| т I + I) = Л < 1. (6)

для.разности ш(г) — -ит(г) — ы = € Л2", где (чг(г), *•(«)) е

ТУ,1 (П), д > 2— два различны* ограниченных решения задачи (1) - (3), Д = «^Д^ + ДГ*. Здесь = <?* = к = Т^п.

Используя специальный вид формулы конечных приращений для функции многих переменных ДФ^) = £ фф(п<) ■ Диг(, где = Д(Ф(ш)/Д,иг(1 Д<*г( = VI — ту*,

í=I

условия

У) 6 ¿„(П), Р>2У^|<ТО, А =

Ш) I |< е X при к ФI = 17«.

I |< Р = соп$1 < со, к = 1,п, (г, IV) е П х Я2",

и вложение С д > 2 доказывается, что || ш 0, & это значит; что

лиг — ъг', т.е. задача (1) - (3) имеет не более одного решения. Доказано утверждение:

Теорема 4 (единственности). При выпал немки условий ()), 00) « достаточно малом е > 0 в Ом) задача (1) - (3) имеет не &мее одного решения.

Однозначная разрешимость ки ал и линейной задачи Дирихле с квазидиа-говальвимн матрицами коэффициентов ({6}.

' Рассматривается квазилинейная задача Дирихле в случае, когда матрицы А В), к = 1,2 коэффициентов являются квазидиагональвыми в смысле:

(У) бир|су| =£-« 1, С = {су} = ОЛ А, В},

которая для к—го уравнения системы (1) имеет вид:

Ш* + р&ьЯк* + А^к! + Аккъ-к + ВккЪк + Л, + £к] (щг^ + + т^ + ЪгЛ = 0, (7)

ВДР (К*| + |и!*|) = Ш < 1. (8)

1т -к/е^) = 0, 7 € [0,2тг], Ие »*(!.) = О, А; = ТТп.. (9)

Однозначная разрешимость задачи (7) - (9) доказана полностью аналогично §5.

Теорема 5 (существование). Задача (7) - (9) имеет по крайней мере одно решение 5 >2.

Теорема в (единственности). При выполнении условий 0), Щ) и достаточно малом е>0 « {}}) параграфа 5 задача (7) • (9) имеет не более одного решения.

Гидродинамическая интерпретация результатов (§7).

В параграфе приводятся некоторые прикладные задачи теории фильтрации, к которым могут быть применены полученные н описанные в предыдущих параграфах результаты.

Глава II. Однозначная разрешимость задачи Дирихле для уравнений с матрицами коэффициентов.

В §1, §2 главы рассматривается квазилинейная задача Дирихле в случае, когда коэффициенты (/Д.А*), А = 1,2 являются заданными треугольными матрицами (п X я). Путем линеаризации к ваз ал инейной задачи Дирихле и покомпонентного решения системы уравнений получена априорная оценка решений, которая обеспечивает раз ре- «-шимостъ поставленной задачи. Для этого используется представление решения с помощью потенциального оператора, которое позволяет построить вполне непрерывный оператор задачи. Единственность решений задача Дирихле для квазилинейной системы уравнений доказывается аналогично главе I в предположение слабой связанности уравнений системы, В §3 изучается задача Дирихле для уравнений с кваэитреуголь-нымя матрицами, а в §4 дня неоднородных уравнений с ограниченной правой частью. §5 посвящен построению алгоритма численного решения задачи Дирихле в случае, когда матрицы коэффициентов {цк,Ак), к 1,2 близки к диагональным. Результаты, приведенные в главе, изложены в работе автора [3].

Постановка задачи. Обзор результатов (31). В параграфе рассматривается постановка задачи Дирихле для комплекса означной вектор-функции 'пг(.г) = (лиг),..., ■»„) = <рь +2 = г + ¿у) в круге < 1:

- ^(2, уг)уг„ - (¿{г, - Р0(г,,«г) з А1-*? + Л2йт + Р (10)

1т угк(1) =. О, Ле1У*(1) = 0, к = Т~п, ||{ « 1. (11)

Здесь Л*), Л = 1,2 — заданные квадратные матрицы (л х. п), Е = ,,., Р„) — вектор - функция. Также приводится обзор результатов, полученных ранее.

Сравнения с треугольными матрицами (§2). В параграфе доказывается разрешимость поставленной задачи для треугольных матриц коэффициентов системы. Этот результат получен в работе автора (3).

Доказано утверждение:

в

Теорема 7 (существования). Пусть элементы матриц j44) и компоненты вектора F непрерывны по w при почти всех г € К, матрицы цк дополнительно удовлетворяют условию sup(|/íjj) + = í¿o < 1, J/iyl < Mo < сю ti вышмнлется предположение sup||j4fc(z,w), FifzjW)!^ = М < оо, р> 2. Тог&1 задача (10), (11) имеет

W

по кройней juepe одно решение w(z), удовлетворяющее неравенству

IH|(1'<JV<oo, 2<g<p: (12)

Теорема единственности (2°). Единственность решения задачи (10), (11) доказывается аналогично главе I, используя при этом специальный вид формулы конечных

т*

приращений: A$(w) = А[ф(ш), условия 0)> (Jj) $5 главы I и условие (») векторы Qi,i¡(z,w) непрерывны по w при z е П и для V w € R2"

siipHUiUí'í.wJ.A^^. wJ.FfctU.w))!!^^ Яо <s», р>2,

В предположении, что система имеет два различных ограниченных решения, рассматривается уравнение дня их разности, к решению которого применяется оценка, полученная в главе I.

Теорема S (единственности). Пусть для элементов матриц А*) и компонент вектора F выполняются условия (j), {jj) §5 главы I и условие {£). Тогда додача (10), (11) имеет не более одного решения.

"Уравнения с квазитреугольными матрицами (|3). Однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с квазитреугольными матрицами коэффициентов

(О =Í<1, Л*), й-1,2, U = V¡Í

*<i

доказывается полностью аналогично §2:

Теорема 9 (существования). Пусть элементы матриц и компоненты век-

тора F непрерывны по w при почти всех z € Kt матрицы ft*, Л* удовлетворяют условиям (I), матрицы цк дополнительно удовлетворяют условиям + |ju^f) =

^о < I) l^fjl Й Л/0 < оо и выполняется предположение sup w), F*(z, w)))^

M < оо, p > 2. Тогда задача (10), (11) имеет по крайней мере одно решение w, удовлетворяющее неравенству

|М|™<2С^>2. (13)

Теорема 10 (единственности). Пусть для элементов матриц (pk,Ak) и компонент вектора F выполняются условия (J), (jj) §5 главы I и условие (t) §2, Тогда задача (10), (11) имеет не. более одного решения.

Неоднородные системы с ограниченными матрицами (|4). В параграфе 2 доказана однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с треугольными матрицами (д^Л*), к *» 1,2 коэффициентов. Здесь рассмотренные выше результаты, распространяются ва случай квадратных (п х п) матриц р*, ¿=1,2 коэффициентов уравнении при условии ограниченности правой части уравнения. Материалы параграфа соответствуют работе автора [3].

Теорема 11 (существования). Пусть матрицы и вектор Е непрерывны по \г при почти всех [¿| < 1 и выполняются условия вир(|рЬ| + = цо < 1, £ Мо < со, бир||Р0(г, w)|¡p>^¡• = ЛГ < оо, р > 2. Тогда существует по крайией мере одно решение аойочи (10), (11), удовлетворяющее оценке (12)-

Численвая аппроксимация (§5). В параграфе, аналогично работе Атыралыева Ч., Монахова Б. Н-, построен алгоритм численного решения краевой задачи (10), (11) в случае, когда матрицы (цк, Ак), к » 1,2 близки к диагональным. Рассматривается интегральное уравнение (3й)

(14)

Итерационный алгоритм нахождения его решения I строится в квадрате О = {ж, < < <5}, в котором производятся два разбиения с шагом Л = где {Ы + 1)а — число узлов. Узлы, соответственно, первого и второго разбиений определяются формулами:

= -<К» + 1)/2 + (к- 1)Л + (т - 1)«, = + (¿4- 1)Л/2,1,т = 1,Л>1,

€ П1, € Па, где П1 и П1 —сетки, соответствующие разбиениям. Расчетные формулы итерационного алгоритма для решения уравнения (14) имеют вид: ■ .

Ь,т=1

4п+"-^ МФ £ /¿:+ч ■ я*(»&)+^ - ттж (16)

где

<¡(1),,. 1 - г)(гк+1,т+1 ~ с(1) , , 1 ,_ Г(4т ~ ¿М^-ы.т+т ~ г?1

" * ™ 111 " - >)\'

п —■ номер итерации. Нормы сеточных функций в пространстве ¿з(Пд) определяются

ЛГ

следующим образом: Н/Ньод = £ 1Л,т|а-Ла.

(1,т>1

Итерационный алгоритм (15), (16) был реализован на ЭВМ с помощью алгоритмического языка Рог^гап РЭ 4.0, В качестве тестового примера использовался следующий вариант: N = 10, точное решение = г, /иа = О,

^ = ф) =

0,4, |г| < 0,3; 0,8, 0,3 < |г| < 0,6;

о,в, о,б<и<1,

^ ^ им + +

В нижеприведенной таблице показано, на какой итерации достигается заданная точность, дана среднеквадратичная погрешность вычисления функции / между итерациями [(/£' — » — номер итерации и при приближении к точному решению

Точность Номер итерации Погрешность н/^-УГ'И Погрешность \VP-fJU

ю-1 3 3.296511 • 10"3 1.457851-Ю"4

10"3 4 1.840367- 10~4 1.101224-Ю"6

10-® 9 3.040707- 10"" 1.758556 ■ Ю-10

Ю-12 13 2.35296 • 3.123372 ■ 10"14

Для сравнения был использован полностью аналогичный пример, приведенный в работе Ашыралыева Ч., Монахова В. Н., реализованный на ЭВМ ЕС 1061 с помощью пакета стандартных программ РАЫЛЫА. Там заданная точность, равная Ю-2 достигается на 4 итерации за 5 секунд, В расчетах автора эта же точность достигается на 3 итерации за 0,062 секунда. Разница между данными, приведенными в указанной работе и расчетами автора для И/!' — /л+1'|| составляет 2,18 • 1{Г®, а для Ц/С — — 6,72-10-«.

Описанный выше тестовый пример был реализован также для случаев N = 50 н N = 100. Примеры тестовых расчетов показывают быструю сходимость алгоритма в пространстве ¡з(Па).

Глава 1П. Гидродинамика тел со струями (схемы Шурыгина).

Введение (§1). В параграфе приводится обзор результатов по так называемым струйным течениям, в частности, до кавитацнонной схеме Шурыгина, которая приводит к построению конформных отображений неоднолистных областей течения на канонические области (верхнюю полуплоскость, круг и т.д.)

Многолистные многоугольники (§2). В параграфе приводится постановка задачи (пункт 1°) в случае п - листной области. Рассматривается комплексный потенциал

течения w = {г = x + iy, w = <p + iifr) вп- листвой области D, где D* = w(D) —

n

образ области D в плоскости переменного w, Р* = 3D*— образ полигона Р = (J Рк, состоящий вз линий тока ф = const. Здесь полигоны Р* предполагаются простыми:

(О 0<i <а* <2, [lnlfl <6~1, i = T7nû> = %n.

В области D имеются (n—1) я (3—n) на P точек В* разветвления потока, в которых комплексная скорость течения обращается в нуль dv/dz(Bh) — 0.

Производные конформных отображений z : К —* Dtw : К D' внешности единичного круга К : > 1 на области PhD* представляются в виде;

J n tnit

g = Woi-^n Пес - ^ М.П(С), (17) » k-л t=o

$ = "1С-3 П <C " ПК -4) '° /«)■ (18)

Формулы (17), (18) при n » 1 отвечают обтеканию конечного полигона Р, а при n •= 2 — течению по схеме Эфроса с заданной формой струй. Отучай гг > 3 отвечает собственно схеме Шурыгина и при принятых предположениях на полигоне Р, либо отсутствуют точка разветвления и схода потока, либо они находятся в вершинах полигона Рк.

Постоянные Ск> lOfcl > 1 (А = 2, я) и 7ï (i = 1,3 — п) считаются заданными, |Ло| = 1, а if (t = О, mi, к = 2, гг) — должны отыскиваться из соответствующей полигону Р системы уравнений прн произвольном выборе двух вещественных констант =

lu

lki = j |ПЮ|А L" /*(Т); i = 1,171* — 1, ктЩ (19)

= кш2Я С20)

Априорные оценки и лекальная единственность (2°). Здесь приводятся уже известные сведения о локальной единственности решения Т системы уравнений, отвечающей общей струйной задаче для простого полигона и об априорных оценках искомого решения Т системы (19), (20).

Лемма 1. Каждое решениеТ = системы, уравнений (19), (£0), соответ-

стеущей полигону Р*, удовлетворяющее условию (i), подчиняется неравенством

|if+1 - tf| > e(i) > 0, i = 0, m* - 1, k = (21)

Для производных (¡иг/^С к ¿г/¡К, конформных отображении мт :Е />*, г1. Е О верхней полуплоскости В : 1т С > 0 на области £> и £>* рассматриваются следующие представления:

^-ШС-пГ^-ХШ. (22)

(23)

(«0*^0 М>1 '-о

Для произвольно фиксированного в (22), (23) вектора Т = (¿5,..., ) е Я" неизвестных постоянных {Л = 2, п г = 0, т*) рассматривается система уравнений, которая представляется функциональным уравнением

1-8(4.0,), (24)

где решение и = (и},...,!^) 6 Д", = — (к = 2,п, * — X,т*) — вектор, через который однозначно определяется вектор Т = ... £ Л™.

Лемма 2. (о локальной единственности) Решения Т ■« ((£.....системы уравнений (24), отвечающие общей струйной задаче для простого полигона Р, локально единственны, т.е.

Смешанная краевая задача с параметрами (§3). Смешанная краевая задача возникает в гидродвнамихе при оянсанин потенциальных течений идеальной жидкости с несколькими свободными границами. В параграфе приводятся известные результаты об эквивалентности видоизмененной смешанной краевой задачи

Неш(() = /1((), £ еХ1; 1т -Л((,с), ( € £а, (26)

вариационной задаче:

АР) = уУ(^е*)-5(е*)-<г(Г)(27)

V

Лемма 3. 1. Если (и, с) — ограниченное решение задачи (Вб), то

- Яе и>(е*),

является решением вариационной задачи (£7).

&Ес.ли Р(, — решение вариационной задачи (27), то = ¿¡"(РУС) является решением аадачи (&6), причем юнстоншы с* определяются по формуле

Л

л

Схемы Шурыгина (§4).

Одна свободная гранича (Iе,). Рассматривается задача обтекания, изученная в параграфе 2, в которой одна аз струй является неизвестной. Доказывается единственность решения системы уравнений (19), (20).

В пункте 2 рассматривается схема Шурыгина с несколькими свободными границами и с помощью теоремы Лере - Шаудера о неподвижной точке доказывается существование но крайней мере одного решения системы (19), (20).

В пункте 3 сформулирована теорема существования и единственности струйных течений:

Теорема 12. При выполнении предположений ({) существует по крайней мере одно течение по схеме Шурыгина с несколькими свободными границами.

Если свободная гранича одна ими вообще отсутствует, то такое течение единственно.

Глава ГУ. О разрешимости краевых задач на римановых поверхностях.

Вспомогательные сведения (§1).

Первый параграф содержит вспомогательные сведения из теории римановых поверхностей (р.п.): о слоение топологические понятия теории р.п. (V*), дифференциальные форм-ы

О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелииеЛиого уравнения Веку а на риманоаой поверхности (|2). Пусть О — рикавова поверхность рода р > С, Ь С О - гладкий замкнутый ковтур на 1>, разбивающий ее на две части Рассмотрим задачу определения функции удовлетворяющей на компактной римановоЗ поверхности V рода р £ 0, велинейяому уравнению Векуа:

= чгА(г,лкг} + г € £>*, (28)

в на £ — краевому условию линейного сопряжения

- (I) = 9(1), ье ь. (29)

Задачи типа (23), (29) на римановоЗ поверхности имеют приложения в гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теория фильтрации.

Обычно, при исследовании разрешимости задачи сопряжения необходима корректная постановка задачи, т.е. введение в эту задачу дополнительных условий, обеспечивающих существование, единственность решения и его непрерывную зависимость от исходных данных (Л, В, а). Приводится корректная постановка краевой задачи сопряжения аналитических функций следующего вида:

ЪФ = О,

Ф+(() - ф-(0 = 3(1) - £ Скфк(ь), ( € Ц *=1 _"

Ф±(р,) =0, з = тх,

(30)

где

О, х < 0, М*) = ] + 1, 0 < х < 2р - 2, х-р + 1, х >2р — 1, = 10 — и + р — 1. С помощью введенных стандартным образом операторов

<£ = <500 = [к = ТГр,

доказывается эквивалентность краевой задачи сопряжения для линейного уравнения Векуа задаче для аналитических функций:

Теорем» 13, Задачи

{

« етЛ(г) + Р(х), х € *+(() - = д(Ь),' I 6 Ь,

ЭФ = 0, г 6

(31)

(32)

эквивалентны. Здесь

СМ « С(() ехр (-¿<£(Д>Й (О) .51(0 - «*Р (-^ЙЮ) - £ ЧнЫЧ, (33) с* = У 9 = (91.....№)=¥>№), ® = » Ф(С,).

При зтам решения задач (31) и (32) связаны равенством

w(¿) =ф(г)eII>ÍJtlI^ + eIЬ(ЛWГаl(Fe-IiJÍ|г).

(34)

Tiutsce для лвнейвой задачи доказана теорема об однозначное разрешимости:

Теорема 14. Пусть функция Gi(í) имеет вид (S3). Тогда существует единственное решение задачи

3w = wA{z) + F(z), z e ' w+ (í) - G(t)w"(í) - s(0 - ¿ <*&((), t e L, (35)

kml

w±(pj) = 0, J-l,íe.

.fe &«) = i'k(i)¿t{m, * = = P=(p,l...lWll)=P<£?i).

Это решение представляется в виде

L

. ct = j + J sW^^'WO,

D L

Отобралсемая

w=U(AFtG,s) - х [C*(L)P - Wl{D±)nC(D%

С = (ci,... ,Ci,) =s C(A, F, G,3) : [¿„(P*))2 * [C°(L)]a - C1' леллются «епрерыэиыми. Яри зтам оператор У, '

ЩА, F) : -* а < р > 2

вполне непрерывен.

Доказана разрешимость нелинейной краевой задачи Векуа на римановой поверхности:

Теорема 15. Пусть отображения А, В, F(w) ; С —^ LpiD*), р > 2 непрерывны по w ti jl-á, В, F||j, < А/, Vw € С. ТогЛз существует решение

е СО**), U = £(а,р) > 0

задач« (28), (89).

Основные результаты диссертации:

• доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами коэффициентов Q1, Q1 близкими к диагональным, треугольным и квазидиагональным;

• доказано существование к единственность струйных течений, отвечающий схеме Шурыгияа;

• доказана разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на рим&новой поверхности;

• численно решена краевая задача Дирихле для диагональных матриц коэффициентов в случае, когда область решения является квадратом.

Автор выражает искреннюю признательность научному консультанту Валентину Николаевичу Монахову за его титаническое терпение, проявленное во время руководства выполнением работы, а также научному руководителю Семенко Евгению Вениаминовичу.

Список литературы

[1] Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений // Новосибирск: Наука, 1977, 420 с.

Публикации автора по теме диссертации

|2] Раерко Е.А. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С. 90-97.

[3] Раенко Е.А. Краевые задачи для квази-голоморфного вектора // Динамика сплош-. вой среды, 2001. Вып. 118.'С. 65-70.

[4] Монахов В.Н.,Раенко Е.А. Струйные течения по схемам Шурыгнна //Докл.АН. 2006. Т.407, IM. С. 1-3.

[5] Раенко Е.А.,Семенко Е.В. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на рим&новой поверхности //Докл.АН, 2006. Т. 409, №3. С. 316-319.

Подписано в печать 10.11.2006. Формат: 60x84/16. Усл. печ. л. — 1. Заказ № 104. Тираж 100 экз.

РИО Горно-Алтайского государственного университета, 649000, г. Горно-АятаВск, ул. Ленкина, д. 1,

О п: Омано галшрафнчесхнм (ггдолам Гаршо-Алх&йского государственного университета 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1.

Введение

Глава 1. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора.

§1. Вспомогательные сведения.

1°. Пространства типа Банаха, принцип неподвижной точки.

2°. Пространства С. Л. Соболева. Потенциальные и сингулярные операторы по области.

§2. Уравнения диффузии.

1°. Уравнения диффузии.

2°. Граничные задачи.

§3. Квазилинейная модель.

§4. Линейная задача.

1°. Постановка задачи.

2°. Однозначная разрешимость.

3°. Теорема устойчивости.

§5. Разрешимость и единственность решений квазилинейной задачи.

1°. Теорема существования.

2°. Теорема единственности.

§6. Однозначная разрешимость квазилинейной задачи Дирихле с квазидиагональными матрицами коэффициентов.

§7. Гидродинамическая интерпретация результатов.

1°. Перепое примесей фильтрационным потоком.

2°. Тепловая двухфазная фильтрация.

3°. Сжимаемая жидкость (газовая динамика).

4°. Нелинейная фильтрация.

Глава 2. Однозначная разрешимость задачи Дирихле с матрицами коэффициентов.

§1. Постановка задачи. Обзор результатов.

§2. Уравнения с треугольными матрицами.

1°. Разрешимость "треугольной " задачи.

2°. Теорема единственности.

§3. Уравнения с квазитреугольными матрицами.

§4. Неоднородные системы с ограниченными матрицами.

§5. Численная аппроксимация.

1°. Постановка задачи.

2°. Сеточные уравнения. Сходимость метода итераций.

3°. Численная реализация.

Глава 3. Гидродинамика тел со струями (схемы Щурыгина).

§1. Введение.

§2. Миоголистные многоугольники.

1°. Постановка задачи.

2°. Априорные оценки и локальная единственность решений.

§3. Смешанная краевая задача с параметрами.

§4. Схемы Шурыгина.

Г. Одна свободная граница.

2°. Несколько свободных границ.

3°. Теорема существования и единственности струйных течений.

Глава 4. О разрешимости краевых задач на римановых поверхностях.

§1. Вспомогательные сведения.

1°. Основные топологические понятия теории римановых поверхностей.

2°. Дифференциальные формы.

§2. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения

Векуа на римановой поверхности.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Процесс распространения тепла и массопереноса примесей гидродинамическими потоками жидкости в открытых каналах или в пористых средах описывается системами эллиптических уравнений, представленных в комплексной форме. Для таких систем построена теория граничной задачи Гильберта, в значительной мерс подобная известной теории для голоморфного вектора.

Диффузионные процессы можно описать абстрактным дифференциальным уравнением второго порядка для вектора tp= (<pi,. ,<рт) концентраций компонент примесей ifik, к = 1,?п—1, и температуры ipm потока смеси на плоскости переменных х, у (х = Xi, у = х2) : 2

L(P=J2 (AkWxixk + АкЧ>хк) + А = О, l,k=i где Аы и Ак матрицы (т х т) диффузионного и конвективного переноса, А — вектор скоростей химических реакций. Без нарушения общности областью определения решений <р можно считать круг К : \z\ < R, z = x+iy, а соответствующие граничные условия однородными.

Наиболее изученной является задача Дирихле ф\9К = 0 для линейного абстрактного уравнения второго порядка Lip = 0, коэффициенты которого зависят только от х, у.

Основным подходом к исследованию этой задачи Дирихле является представление ее решений с помощью какого - либо потенциала и тем самым редукция задачи к уравнению с вполне непрерывным оператором — уравнению Фредгольма [7 - 10]. Безусловная разрешимость задачи Дирихле, как правило, доказывается при очень жестких-ограничениях на коэффициенты оператора L (вплоть до их постоянства) или на размеры области \г\ < i?. <С 1. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти у А. В. Бицадзе (1966) и К. Миранда (1957). Другой метод доказательства разрешимости задачи Дирихле на основе априорных оценок ее решений был предложен в работе О. А. Ладыженской и Ii. Н. Уральцевой (1973) применительно к квазилинейному уравнению с векторным оператором в главной части :

2 д2

Ьч>$ = У] Aik{x, у, <р) * + Ая(х, у, ip, <рх, 1ру) = 0, ,ч = Т~т, i,k=1 ÖXlC)Xk

Найдены условия безусловной разрешимое™ этой задачи. Аналогично случаю уравнения второго порядка Lu = 0 для вектора и = (и1., и2) = {и. ./ihm), где ufe = (tp\Xk, • • • j (Ртхк), к = 1, 2 векторы проекций потоков компонент i = 1,т на координатные оси, И. Н. Векуа (1988) была доказана фредгольмовская (нетеровская) разрешимость задачи Гильберта для линейных эллиптических систем уравнений первого порядка.

В. Н. Монаховым (1977) с помощью обобщенных потенциальных и сингулярных операторов Векуа была исследована разрешимость задачи Гильберта для квазианалитического вектора: iVw = w2- + Qlwz + Q2w2 = 0; Re[i,,kwfc(i)] - 0, |i| = 1, r/ll + IIQ2ll = «:o<i, полностью аналогично случаю голоморфного вектора (Qv = Q2 = 0), изученного И. Н. Векуа (1970), причем ее разрешимость установлена также для некоторой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами в граничном условии.

При обтекании тел потоками жидкости с достаточно большими скоростями движения возникают струйные течения, когда поток отрывается с поверхности тела и в результате за телом образуется область постоянного давления (каверна), ограниченная неизвестными поверхностями (струями). Самой простой схемой обтекания тел с отрывом струй является схема Кирхгофа, теоретическое обоснование которой проведено в работах Ж. Лерэ (1935), М. А. Лаврентьева (1938), В. Ii. Монахова (1961).

При очень слабых ограничениях на форму обтекаемых препятствий В. Н. Монаховым (1968) были доказаны теоремы существования струйных течений по схемам Кирхгофа, Рябушинского, Эфроса, Лаврентьева, и др., а для ряда схем им были установлены также и теоремы единственности (Кирхгофа — 1968, Рябушинского 2000, Эфроса — 2003).

Используя идею Д. А. Эфроса, В. М. Шурыгин (1966) для описания топологически сложных гидродинамических течений предложи.;! моделировать дополнительные потоки жидкости (с заданными или искомыми границами), создаваемые струйными и воздухозаборными устройствами летательных аппаратов, помещением каждого из таких потоков на свой лист римановой поверхности. Такой метод, называемый нами кавитациоиной схемой Шурыгина, приводит к построению конформных отображений неоднолистных областей течения на канонические области (верхнюю полуплоскость, круг и т.д.)

Для искомого решения системы уравнений, отвечающей схеме Шурыгина, В. Н. Монаховым (1977) доказаны априорные оценки, которые обеспечивают его локальную единственность.

При описании потенциальных течений идеальной жидкости с несколькими свободными границами возникает необходимость рассмотрения смешанной краевой задачи, являющейся частным случаем изученной Ф.Д. Гаховым задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для аналитической функции.

Впервые полное решение этой задачи независимо было построено М. В. Келдышем, Л.И. Седовым и А. Сеньорини. В. Н. Монаховым (1977) рассмотрена смешанная краевая задача с параметрами, доказаны ее однозначная разрешимость и эквивалентность задаче Дирихле для эллиптических уравнений (2001).

В гидродинамике (в частности, в так называемой схеме обтекания Эфроса) и теории фильтрации имеют приложения краевые задачи Векуа на римановьгх поверхностях. Линейная задача Векуа широко изучалась ранее (А. И. Викчантаев (1987), Juri L. Rodin (1987)). Ими была установлена нетеровость задачи и вычислен ее индекс.

В.Н. Монаховым и Е.В. Семенко (2003) была предложена корректная постановка линейной краевой задачи сопряжения аналитической функции и доказана ее однозначная разрешимость.

Цель работы. В диссертации доказывается однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами Q\Q'2 близкими к диагональным, треугольным и квазидиагональным. Доказывается существование и единственность струйных течений, отвечающих схеме Шурыгина, а также разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности.

Построен алгоритм численного решения краевой задачи Дирихле в случае, когда матрицы коэффициентов квазилинейной системы эллиптических уравнений близки к диагональным.Алгоритм реализован для случая, когда область решения является квадратом.

Методы исследования. Основным методом исследования однозначной разрешимости линейной задачи Дирихле является построение априорной оценки ее решен ия в предположении, что коэффициенты уравнения принадлежат пространству Ьр, р > 2. В квазилинейном случае разрешимость доказывается путем построения вполне непрерывного оператора задачи, к которому применим принцип Шаудера. а единственность - наложением условий слабой связанности уравнений системы.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. В основном работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы при численном решении задач тепломассопереноса.

Публикации и апробации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: "Математические проблемы механики сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000, 2001 гг. ), "Математические методы в механике природных сред и экологии" (г. Барнаул 2002 г.).

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред" под руководством академика Монахова В. Н., чл.-корр. РАН Плотникова П. И. (2006), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В. В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева А. В. (2006), кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и вычислительные проблемы задач .математической физики" под руководством д.ф.-м.н. профессора Бло-хина А. М. (2006).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертации:

• доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических систем уравнений с матрицами коэффициентов (21, близкими к диагональным, треугольным и квазидиагоиальным;

• доказано существование и единственность струйных течений, отвечающих схеме Шурыгина;

• доказана разрешимость краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности;

• численно решена краевая задача Дирихле для диагональных матриц коэффициентов в случае, когда область решения является квадратом.

Заключение

1. Рахматулин Х.А., Сагомонян А.Я., Бунимович А.Н., Зверев H.H. Газовая динамика. М.: Высшая школа, 1965.

2. Нигматулии Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, '1987. T.I.

3. Гиршфельдер Дж., Кертис У., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.:Изд-во иностр.лит., 1961.

4. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

5. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора //Ann. Pol. Math. 1966. V. 16. P. 281-320

6. Векуа И.Ii. Обобщенные аналитические функции. М. Наука, 1988.7| Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

8. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений //Мат. сб. 29, "1961. Т.29, .№3. С.615-676.

9. Вольперт А.Н. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Труды Моск. мат. о-ва.1961. Т.10. С.41-87.

10. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

11. Антонцев C.Ii., Монахов В.Н. Краевые задачи с разрывными граничными условиями для квазилинейных эллиптических систем 2т (т > 1) уравнений первого порядка //Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1967. Т.8, №2. С.65-73.

12. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977.

13. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений, М.: Наука, 1970.

14. Раенко Е.А. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для квазианалитического вектора // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 116. С. 90-97.

15. Раенко Е.А. Краевые задачи для квази-голоморфиого вектора // Динамика сплошной среды. 2000. Вып. 118. С. 65-70.

16. Вере JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

17. Монахов B.Ii. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах при нелинейном законе сопротивления // Докл. АН СССР. 1983. Т.268, №5. С. 1098-1101.

18. Монахов В.Н. Отображения многосвязных областей решениями нелинейных L-эллиптических систем уравнений // Докл. АН СССР 1975. Т.220, .№3. С.520-523.

19. Монахов В.Н. О принципе квазиконформного склеивания для нелинейных уравнений сильно эллиптических по М.А.Лаврентьеву // Докл. АН СССР 1981. Т.260, №5. С. 1070-1074.

20. Кучер H.A. Краевая задача Римана-Гильберта для одного класса нелинейных эллиптических систем на плоскости // Динамика сплошной среды. 1974. Вып. 18. С.239-242.

21. Монахов В.Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сиб. мат. жури. 2000. Т.41, .№5. С.1106-1121.

22. Монахов В.Н. Нелинейные диффузионные процессы // Сиб. мат. журн. 2003. Т.44, .№5. С.1082-1097.

23. Монахов В.Н. Разрешимость стационарных задач тепловой двухфазной фильтрации //Мат. зам. ЯГУ. 1999. Т.6, вып. 1. С.46-53.

24. Монахов В.Н.,Губкина E.B. Корректность задачи о параметрах струйных течений идеальной жидкости //Докл.АН. 2003. Т.391, №5.С.595-597.

25. Шурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями.Москва:Машиностроение, 1997.

26. Roclin Juri L. Generelized analitic functions on Riemann surfaces //Lect. Notes Math. 1987. V. 1288. p. 1-128.

27. Бикчантаев А. И. Дифференциальные краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на римановых поверхностях // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23. Вып. 10, С. 1725-1735.

28. Монахов В.Н.,Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях, Физматлит, М., 2003, С. 415.

29. Монахов В.Н.,Раенко Е.А. Струйные течения по схемам Шурыгина //Докл.АН. 2006. Т.407, .№1. С. 1-3.

30. Раепко Е.А., Семенко Е.В. О разрешимости краевой задачи сопряжения для нелинейного уравнения Векуа на римановой поверхности //Докл.АН. 2006. Т. 409, .№3. С. 316-319.

31. Ашыралыев Ч., Монахов В.Н. Итерационный алгоритм решения двумерных сингулярных интегральных уравнений //Динамика сплошной среды. 1991. Вып. 101. С. 21-29.

32. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.