Решение многоточечных краевых задач методом переноса функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ имени П. И. ЛЕБЕДЕВА-ПОЛЯНСКОГО

ШАПОШНИКОВ Валерий Леонидович

РЕШЕНИЕ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ПЕРЕНОСА ФУНКЦИЙ

01.01.02 —дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Владимир — 1991

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательском институте «Геодезия».

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. А. Винокуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. Покорный, кандидат физико-математических наук, доцент К. В. Валиков.

Ведущая организация — Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет.

Зашита диссертации состоится «.^Гл » 1991 г.

в 16 часов на заседании специализированного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом институте имени П. И. Лебедева-Полянского по адресу: 600024, г. Владимир, пр-т Строителей, д. И, аудитория 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогическога института.

Автореферат разослан /т бССОоФ_1991 г.

Ученый секретарь Специализированного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом институте, доцент С. Е. Степанов

Общая характеристика работа.

Актуальность темы. Изучение многих задач.возникающих в экспериментальной баллистике,идентификации систем управления,теории многослойных конструкций.приводит к необходимости решения многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.Решение таких задач позволяет определить характеристики изучаемых физических процессов по результатам наблюдений.Характерной чертой многоточечных краевых задач является наличие краевых условий в нескольких точках интервала исследования.Во многих случаях,представляющих практический интерес,имеют место многоточечные краевые задачи с неизвестными параметрами.Кроме того,в процессе проведения экспериментов часто число выполненных измерений,а,следовательно.число заданных краевых условий больше числа неизвестных.Поэтому возникает необходимость решения переопределенных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Исследованию многоточечных краевых задач посвящено большое число работ отечественных и зарубежных математиков:А.А.Самарского,

A.В.Бицадзе,Ю.В.Покорного,В.А.Винокурова,Н.В.Азбелева,С.А.Ломова,

B.ЯГ.Скоробогатько,А.Ю.Лучки,Р.Беллмана,Р.Калабы,Р.Агарвалла и других.

Цель работы. Решение многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом переноса функций. Получение оценок сходимости предлагаемого метода при решении многоточечных краевых задач,краевых задач с неизвестными параметрами,а также задач,когда число краевых условий больше числа неизвестных.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации впервые разработан метод решения линейных и нелинейных многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на идее переноса линеаризованных граничных' условий по траекториям системы.Выполнено обобщение метода на решение многоточечных краевых задач с неизвестными параметрами, получены оценки сходимости предлагаемого метода .исследовано влияние возмущений краевых условий на решение задачи.Разработанный метод позволяет эффективно решать новые задачи идентификации систем управления рабочими процессами в энергетических силовых установках,осуществлять контроль их функционирования при подготовке и проведении наземных стендовых испытаний.Результаты диссертации использованы при выполнении исследований по спецтеме 18 X - 34259,утвержденной Министерством оборонной промышленности СССР,а также при проведении обработки результатов испытаний изделий в Московском институте теплотехники.

Ашгробадия. Результаты диссертации докладывались на Н1 совместной сессии семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества в 1989 г.,на Межреспубликанской конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям в г.Фрунзе в 1989г., на межотраслевой конференции по методам полунатурного моделирования в г.Москве в 1989 г.,на семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям в Воронежской зимней математической школе в 1991 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора.список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 89 страниц машинописного текста.Она состоит жз введения,трех глав и списка литературы,включающего 91 название.

Краткое содержание работы.

Во введении дан краткий обзор работ,посвященных исследованию многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений,излагаются основные результаты диссертации и показана взаимосвязь данной работы с работами других авторов.

Глава I посвящена изучению многоточечной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть А - матрица размера ( К * п,) ,а В - матрица Сгс* га4) ,тогда определена матрица произведения А В размера (К./ т\ .Матрицы отождествляются с соответствующими операторами и через IА1 обозначается норма оператора А .Вектор отождествляется с (п * - матрицей,функционал - с матрицей . Функция ^(эс) - есть га. -мерная вектор-функция от п. -мерного

вектора х ,а - матрица (т.» п.).

V о Х1 '

Предполагается,что X -вектор, у -ковектор, Л. действительный параметр,поле чисел - действительное и на ¡аффиксирована норма.

Рассматривается дифференциальное уравнение

(!)

где хе К* ,-Ы£о/т] ( .На интервале Г<\Т]

выделено к- точек: ^ "Т, Ыл .На фазо-

вом пространстве П^Л заданы функции ^ ... ^(эс)

к^ ? У

групп,состоящих из - л. ) функций с номерами ■. ., ,где - натураль-

ные числа,такие,что О^о*«^"^ = п. .Пусть 1(1) функция,определенная при ?= , „ а, .принимающая значения 1....> ^ и заданная формулой 1(1) =1 .когда

Краевые условия заданы на концах интервала [о,тЗ и в сечениях "Ь; :

В § I главы I рассматривается задача (.1} , ( 2 ) и строится алгоритм численного решения этой задачи,когда количество уравнений равно количеству неизвестных.Для гладкой функции опреде-

лено дифференцируемое отображение д (Н:^ }ос) .которое переводит одно множество фазового пространства в другое 1д , 2 , з]и доказаны вспомогательные утверждения.

В § 2 главы I дается обоснование непрерывного варианта предложенного итерационного процесса.А именно,справедлива следующая теорема.Обозначим

Теорема. Пусть задача (,1} , (2) имеет решение,причем ХСо^а , ссХт) - % .Предположим,что в некотором шаре |зс-<х|*£ Функция Ф0(а) дифференцируема и выполнены условия:

1 Ыъ) - Ф.С3^ - Ф'а * А2 I ОС,- Хг1}

а в шаре - условия:

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.Наука, 1975.

2. Винокуров В.А..Введенская Е.В. Перенос многообразия фазовым потоком обыкновенного дифференциального уравнения. //ДАН СССР, 1987,Т.295,№3,с.524-528.

3. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.М.Наука,1966.

I «^(эсО-Ф-г (Х4) - «¿(ое^^ -Х^ ива^^зе^ Кроме того,пусть оператор сдвига удовлетворяет условиям Липшица:

I § С, о, х^ - 3 а^, о, хо и ЗСIосх - зу,

где (1-1,...; к. .Тогда,при начальном приближении хЧ о) .лежащем в шаре радиуса £0 с центром а ,где

31 л *

С = В X*) .решение задачи (1),(2) единственно

и итерационный процесс сходится с оценкой погрешности

В § 3 главы I проводится анализ области сходимости предлагаемого метода в зависимости от выбора начального приближения.

При численной реализации предлагаемого метода область его сходимости может уменьшаться,если систет линейных уравнений

я-»*-1-

где £=1,... л •

' (3)

где £ =

^ - решение задачи Кош для уравнения,сопряженного уравнению в вариациях,плохо обусловлена.

В этом случае применяется.согласно методики регуляризации А.Н.Тихонова [4} , С 53 , С в] , С 71 ,регуляризация этой систвмн.Слвдуя этой методики,систему заменяем на регуляризованную

где параметр аС выбирается в зависимости от номера итерации и величины невязки.Таким образом.идея регуляризации сводится к поиску такого оператора,который действуя на правую часть системы (Д) приводит к решению,которое не слишком сильно отливается от точного решения.

В § 4 главы I обсуждается задача дискретизации предложенного алгоритма решения задачи (I) , 12) .Для дискретного варианта итерационного процесса можно утвердцать.что начиная с некоторого номера все итерации лежат в некоторой окрестности точного решения. На функции , а наложим следующие усло-

вия.

Условие I. Пусть & ^ , где & - выпуклая область

а б & .во всех точках 6 б * [.О/Т^ функции $ , ^ имеют непрерывные частные производные и выполняются неравенства:

I

4. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач.// ДАН СССР,1963,т.153,Я1,с,49-52.

5. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации.// ДАН СССР,1963,т.151,№3,с.501-504.

6. Тихонов А.Н. О задачах с приближенно заданной информацией.// В кн."Некорректные задачи естествознания". М,1987,с.8-15.

7. Тихонов А.Н. Об устойчивости алгоритмов для решения вырожденных систем линейных алгебраических уравнений.// ЕВМ и МФ,1965,т.5, №4,с.718-722.

-V- и+

Нк^иМб-,

где С-^эсвпгЛ: ^-аи^м^},

Условие 2. Выбираем численный метод решения задач Коши,возникающих при решении задача Ш > С2) такой,что если в какой-либо точке '¿о£[0)Т]приближенное решение ¡¡¿а.^'^^^ »

1-1,, п »то дай всех точек 16Со,Т^ выполнено следующее условие

Тогда для дискретизации рассматриваемого процесса справедлива следующая

Теорема. Пусть задача СII , ( 2) имеет решение .причем

,ссСт^= 6 и выполнены условия I и 2 и (а) -невырожденная матрица.Тогда существуют числа В^УО , ¡?0>о , с, ШПоё М такие,что в шаре |зс-о.| решение единственно и,если |х£-а|<8А ,то при всех и"2 ^ о выполняется неравенст-

во

I _Лпр». +1 , _

Iх о

В § 5 главы I приводятся результаты решения линейной и нелинейной многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.полученные с помощью предлагаемого метода.

В главе 2 ( § I - § 5) проводится дальнейшее развитие алгоритма решения многоточечных краевых задач,основанного на идее переноса функций,на решение многоточечных краевых задач с неизвестными параметрами.Обсуждается постановка многоточечной краевой задачи с неизвестными параметрами,излагается метод решения многоточечной краевой .когда число краевых условий равно числу неизвестных и когда число краевых условий больше числа неизвестных,т.е. ги-1 и

.Дано обоснование непрерывного и дискретного вариантов предлагаемого алгоритма для вышеуказанных случаев.Приводятся результаты численного решения примеров многоточечных краевых задач о неизвестными параметрами.

В § I главы 2 рассматривается система' дифференциальных уравнений

где х=эсЙ) - функция,заданная наГо,Т] со значениямив К ,

- вектор параметров.Функция задана на б * Л * I 0,Т1 ,где & - открытое множество в , Д - открытое множество в К* ,и является непрерывно дифференцируемой по всем переменным.

На отрезке 1о,т1 задано к. точек: ••■■с-Ц ^Т

и на множестве 6 */[ определено й функций: Ч^ С3"..-А),

... ^.Кроме того,задана функция [(€•) .сопоставляющая каждому натуральному числу 1=1,..,, 5 натуральное число 1= 4.,.к. , причем функция НО монотонно не убывает и принимает все значения от 1 до к .

Решение уравнения (4) на интервале Со,Т] зависит от начальной

точки ОС & (йЛ .вектора параметров Л. и времени "Ь ,т.е. о

Х^СэСо.-ХД) .Для уравнения С1)) сформулированы граничные условия в виде

^(хСсс^+^/Д^о, М,СЯ

В § 2 главы 2 обобщается метод решения многоточечных краевых задач на решение многоточечных задач с неизвестными параметрами.

В предлагаемом алгоритме решения многоточечной краевой задачи (5) используется идея переноса функций 18] ,19] ,[1о1 . При переносе по траекториям системы обыкновенных дифференциальных уравнений^) используется не вйя перенесенная функция 'Рбс^Л) ,а только ее градиент.

Используя численные методы решения задач,возникающих в предложенном методе,мы вносим дополнительную погрешность,которая влияет на сходимость и конечную погрешность метода.На правом конце интервала исследования и,аналогично,на левом,реиается систс!.*а яшейных уравнений:

8» Владимиров B.C. Приближенное решение одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.//-Ж.Прикладная математика и механика.,1955,т.19,с.315-324.

'9. Абрамов А.А.О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений(вариант метода прогонки). //тк и МФ, 1961, J53, с. 542-545.

Ю.Винокуров В.А. ,Решшков Н.Ф. Итерационный метод решения нелинейных краевых задач.//ЯВМ и 10,1981^4,т.21,с.897-906.

С^сх-х^^-^с^с^Дс-!.....-u

^. . со

f^^Kx-x^-1) --feC^Uc^í? "W1*,.. S.

Так как S> atl ,то при решении система (О в настоящей работе используется метод наименьших квадратов [il, 12 , 1зД .

В § 3 главы 2 сделано обоснование непрерывного варианта предлагаемого итерационного метода решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в случае,когда 1 .Сходимость непрерывного варианта предлагаемого метода доказывает следующая

Теорема. Пусть c^CX>{ vfe(^(t,ti(0)X))j ,где)М*А) , »задача (^(S) имеет решение и = 0 .Предпо-

ложим,что в некотором варе

I X-alí£ функция <?00 дифференцируема и выполнены условия:

lU^cx^œT^Ai, It^ooFHA*,

( tty ~ - C&blL-JJl -

а в шаре

tx-eus- - условия:

11. Линник Ю.В. Методы наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений.М.Наука,1962.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы.М.Наука,1975,

13. Березин И.С..Жидков Н.П. Методы вычислений.М.Наука;1962,т.2.

п

I схо- - < сх^-ад * вд1 х, -х/.

Кроме того,пусть оператор сдвига удовлетворяет условиям Липшица:

С ,т,Х> аС±и©,т,Э£>1 'X К*-

где С- к. »Тогда,при начальном приближении Х*(о) .лежащем в шаре радиуса

с центром <Х ,где

решение задачи (4 ),(5") единственно и итерационный процесс сходится с оценкой погрешности

IX (о)-ОЙС IX (о)-ар ^

здесь С - (Кл А, Аа.

Ввиду того,что решение Хв^ заранее неизвестно,то условия теорема следует рассматривать как критерии,дающие представление о факторах,управляющих сходимостью.

В § 4 главы 2 дано обоснование дискретного варианта предлагаемого метода решения многоточечных краевых задач с неизвестными па* раметрами в случав Б > Г^Ч. .Для дискретного варианта итерационного процесса,вообще говоря,нельзя утвервдать его сходимость,а можно утверждать лишь тот факт,что начиная с некоторого номера все итерации лежат в некоторой окрестности точного решения.Для предложенного в настоящей работе итерационного метода справедлива следующая

Теорема. Пусть задача (4),(5") имеет решение ,

выполнены условия I и 2, невырожденная матрица,и

= , JÍT)-g .Тогда существуют числа ,$0>о ,СВ>0 ,

rtl (А/ такие,что в шаре IX-Q-Hfii решение единственно ,и,если в т

| зС1 -а|<£1 ,то при всех m ?m0 и выполняется неравенство

В процессе численного решения задачи (4) (5) исследуется применение регуляризации по методу АЛ. Тихонова.Параметр регуляризации определяется функцией,зависящей от информации задаваемой исходной задачей.Регуляризация увеличивает объем вычислений,поэтому,как по»явоп процесс решения задачи00,(5") ,ее целесообразно включать только на тех итерациях,когда система уравнений относительно

х

(X*"*Crt С* -Х1т'Чт))feQ^-'C-UnV),

где ^ (t) - градиент функции ^(Х) в точке .является плохо обусловленной.

В § 5 главы 2 рассматривается численное решение примеров многоточечных краевых задач с неизвестными параметрами.Приведены таблицы результатов,полученных на ЭВМ с использованием предлагаемого итерационного метода,основанного на идее переноса линеаризованных граничных условий по траекториям системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 3 (§ I- § 2) рассматривается применение итерационного метода решения многоточечных краевых задач,изложенного в предыдущих главах,для решения прикладных многоточечных краевых задач.

В § I главы 3 рассматривается решение задачи расчета трехслойной балки Г14^ .предлагаемым в настоящей работе методом.Трехслойная балка состоит из параллельных слоев различных материалов.Для такой балки,равномерно нагруженной по всей длине,в работе f 14^ дана полная теория,основанная на допущении о применимости гипотезы Бернулли для каждого слоя в отдельности,но не для балки в целом;установлено, что деформация сдвига описывается обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка,линейным¡сформулированы граничные условия. На примере этой задачи показана эффективность предлагаемого метода, проведено,сравнение полученных результатов -численного расчета о точным аналитическим решением,а также с методом прогонки [1бЗ , применяемым для решения многоточечных краевых задач.Приведены результаты численных расчетов.

В § 2 главы 3 рассматривается решение нелинейной четырехточечной краевой задачи идентификации систем управления энергетических установок [16 , 17З .

14. ICuOjCnOVicSi, ScUvAxiruiu ieiVm, cmcUtj^vi. //

X APPt Med, ml, v. 3 9 p. ??3 -118.

15. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. М.Мир,1982.

16. Бабкин А.И. и др. Основы теории автоматического управления ракетными двигательными установками. М.Машиностроение,1986.

17. Винишшй A.M. .Волков В.Т. .Волковицкий И.Г.,Холодилов C.B. Конструкция и отработка РДТТ.М.Машиностроение,1980.

В процессе решения задачи определены коэффициенты заданного уравнения объекта,исходя из заданных граничных условий.Определены все характеристики изучаемого процесса,которые необходимо знать. Граничными условиями являлись результаты измерений параметров объекта.Результаты решения указанной задачи,предлагаемым методом приведены в виде таблицы.При численном решении задачи использовался метод -регуляризации А.Н.Тихонова,параметр регуляризации «А выбирался в зависимости от ноиера итерации и величины невязки

Л = ]Ц. (ш) 1*1

В § 3 главы 3 рассматривается решение многоточечных краевых задач экспериментальной отработки энергетических установок.Измеренные параметры состояния установки в процессе эксперимента определяют граничные условия.Предлагаемый метод решения обеспечивает автоматизацию процесса обработки измерительной информации на ЭВМ.Количест-во и качество результатов измерений определяются техническими средствами, применяемыми в процессе проведения эксперимента.Решение задач Коши,имеющих место в предлагаемом методе,в рассматриваемом численном примере выполнялось методом Рунге-Кутты £,18 , 191 .

В заключении автор выражает благодарность научному руководителю профессору В.А.Винокурову за постоянное внимание к работе.

18. Крылов В.И.,Бобков В.В..Монастырский И.И. Вычислительные методы. М.Наука,1977.

19. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.Редакторы Дк.Холл,Дж.Уатт.М.Мир,1979.

Литература

I. Шапошников В.Л. 0<5 итерационном методе решения многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.// УМН,1989,т.44,вып.4 ( 286) ,с.230.

2» Винокуров В.А. .Шапошников ВД. Итерационный метод решения прикладных многоточечных задач.//Деп.ЦНИИТИ,1988,йДР-522.

3. Винокуров В.А..Шапошников В.Л. Итерационный метод решения многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неизвестными параметрами.// Сб."Дифференциальные уравнения и их приложения",г.Фрунзе,1989,с.8-9.

4. Винокуров В.А. .Шапошников В.Л. Метод численного решения многоточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.//IBM и МФ,1989,т.29,№8,с.1257-1259.

5. Шапошников В.Л..Леонов A.C. О выборе параметра регуляризации для решения некорректных задач.//Сб."Методы решения некорректных задач",АН СССР,1986,с.41-42.