Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§ I. Линейная краевая задача.

§2. Квазилинейная краевая задача.

§ 3. Некоторые модификации метода построения решений краевых задач.

Глава II. ДВУХТОЧЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ СО СЛАБО ВЫРСЖДЕННЫМИ

КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

§ I. Построение решений в случае связанных краевых условий.

§ 2. Построение решений вырожденных краевых задач с несвязанными краевыми условиями

§ 3. Вырожденные краевые задачи для слабо нелинейных дифференциальных уравнений.

Глава III. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Итерационная схема построения периодических решений

§ 2. Метод преобразований в задаче о периодических решениях дифференциальных уравнений

§ 3. Построение периодических решений матричного уравнения типа Риккати.

В последнее десятилетие теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений стала особенно интенсивно развиваться. Интерес к изучению краевых задач обусловлен, прежде всего, их многочисленными приложениями в различных областях науки и техники / теория управления, квантовая механика, электротехника, химическая технология и т. д. /. В связи с исследованием колебательных процессов периодического типа весьма актуальным является изучение периодической краевой задачи.

К настоящему времени в этой области получено большое число разнообразных результатов. Многие результаты нашли отражение в монографиях [l5,22,27,37,50,66,87,94,103,104^а также в обзорных статьях [35,53,108J . Основное внимание уделяется исследованию разрешимости краевых задач, априорным оценкам, непрерывной зависимости решений от исходных данных.

В литературе известны разнообразные методы изучения краевых задач. Здесь, помимо классических работ А. М. Ляпунова [бз] , Ж, Д. Биркгофа [Юб], В. А. Стеклова [88], С. Н. Бернштейна И, Е. Л. Буницкого [Zl], М. В. Келдыша [43], следует упомянуть работы таких математиков как Ж. А. Блисс [Юб], М. А. Красносельский[бб, 5т], М. И. Наймарк [бб], А, И. Перов [71-74], М. ^гкухара [iioj, К. Аврамеску [l02], А. Лясота, 3. Опяль [из], Г. Эфезер [юэ].

Теория дифференциальных неравенств, основанная С. А. Чаплыгиным [98],получила значительное развитие в исследованиях Н. В. Аз-белева [4,5,б], его учеников []9,10,70,1003 и других математиков. Применительно к краевым задачам метод Чаплыгина развит в работах Н. В. Азбелева [7], А. И. Перова [73], Ю. В. Покорного [78] ,

Ю. В. Комленко [55], Н. С. Курпеля [58^, D. А. Клокова [52] , И. Н. Иноземцевой [39] и других ученых.

Идеи метода Чаплыгина [98] и \)(/- метода Азбелева [в ] широко использовались в работах [29,14,38,96] . В этих работах исследована разрешимость и свойства функций Грина некоторых классов двухточечных краевых задач.

Значительный вклад в развитие теории сингулярных краевых задач сделан И. Т. Кигурадзе и его учениками /см. [50,40] /.

Значительно меньше работ посвящено исследованию многоточечных и функциональных задач. При этом основное внимание уделяется вопросам разрешимости и априорным оценкам решений [23,34,36,51, 62,67,75,78,107] .

Несмотря на обилие работ по краевым задачам, все же заметим, что вопросы существования и построения решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в общей постановке слабо изучены даже в линейном случае. В связи с этими вопросами следует упомянуть работы [37,76,81,84,90] .Примущественное развитие получили численные методы решения [l6,42,80,91,112] . Особенно различные варианты метода прогонки, основанные на переносе граничных условий и сведении таким способом линейных и нелинейных краевых задач к задачам Коши [2,42,6б] и т. д. .

С появлением вычислительной математики и вычислительной техники значение аналитических методов не уменьшилось, поскольку численные решения все же не могут заменить аналитические, которые в ряде случаев предпочтительней с точки зрения качественного и количественного анализа и даже вычислений так же, как аналитически заданные функции предпочтительней по сравнению с таблично заданными функциями.

Значительное развитие получили приближенные аналитические методы отыскания периодических решений. Наряду с классическими методами Ляпунова [бз], Пуанкаре [79] следует упомянуть прежде всего асимптотические методы нелинейной механики, созданные в трудах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, D. А. Митропольского, А. М. Самойленко [l9,20] . Общие методы построения периодических решений систем дифференциальных уравнений предложены и разрабо -таны И. Г. Малкиным [б4], Н. П. Еругиным [зз], С. Н. Шимановым jlOl], Е. А. Гребениковым, Ю. А. Рябовым [2б], А, М. Самойленко [84 , М. А. Красносельским £57] f А. И. Перовым [72*], Л. Чезари [99], Дж. Хейлом [9б], М. Урабе [9з] .

В связи с задачами теории колебаний в нелинейных системах разработка новых эффективных методов построения периодических решений также является весьма актуальной.

Основная цель данной работы —разработка и исследование аналитических методов конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования базируются:

- на разработанном В.Н. Лаптинским [б9,6о] подходе к исследованию систем дифференциальных уравнений, основанном на варьировании параметра и учете аналитической структуры соответствующей матрицы Грина / гл. I, II / ;

- на предложенном А. М. Самойленко [бз] методе сведения дифференциальных уравнений к интегро-функциональным уравнениям /гл.III/,

Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:

- на основе указанного выше подхода [б9,бо] получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны общие алгоритмы построения решений многоточечных и функциональных задач как для линейных, так и для квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Эти алгоритмы позволяют учитывать некоторые функциональные и алгебраические свойства матрицы коэффициентов линейной системы, что в ряде случаев дает возможность эффективно строить решение;

- на основе того же подхода получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны практически удобные алгоритмы построения решений двухточечных и многоточечных краевых задач с вырожденными краевыми условиями. Указанные алгоритмы позволяют учитывать некоторые структурные свойства решений рассматриваемых задач; решения построены в виде равномерно сходящихся рядов вектор-функций, удовлетворяющих заданным краевым условием;

- на основе метода А.М.Самойленко развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных периодической краевой задаче для нелинейных дифференциальных систем общего вида. Установлена связь этого метода с методом усреднения Крылова - Боголюбова -Митропольского, с методом Еругина решения проблемы Флоке; в сочетании с идеей метода преобразований получен приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений. Разработанная методика применена к изучению периодических решений матричного уравнения типа Риккати: предложены итерационные алгоритмы построения периодических решений, изучены вопросы сходимости приближенных периодических решений к точному решению.

Теоретическая и практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что полученные результаты обобщают и дополняют соответствующие исследования по краевым задачам. Развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных рассмотренным краевым задачам. Результаты, относящиеся к краевым задачам с вырожденными краевыми условиями, обобщают соответствующие результаты по периодической краевой задаче. Разработанная в работе методика изучения периодической краевой задачи может быть перенесена на системы уравнений высших порядков. Предложенные алгоритмы могут быть использованы при решении ряда задач механики, физики.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

В первой главе рассматривается краевая задача

JjF = /№ , /0.1/ tf Mi St ft)

С / где X , у суть мерные векторы, , - вещественные квадратные матрицы порядка /£; yi/. = COrtSt.

Вводится вспомогательная краевая задача J

5 -в . где f= яЛV) + %т(i,2) , т-о,

471 сI» Ja

J i

Р0 (i) =J ^rVr, Рм (4) =p(cj, Pt (r)]dr,

Z —0, i.%}. , матрица MJil^J, ^ ^ E » является интегральной для уравнения /0.3/ и определяется как решение задачи

- 8

К Г 1 здесь Я б И 1 Р = 2Zj % (l(i) » Г.». J - знак коммутатора матриц.

В предположении, что дня некоторого целого fit ^ 0 выполнено условие dot Нт О >

V I получено эквивалентное задаче /ОЛ/,/0.2/ интегральное уравнение xtth-ufiDHlTL+я>та), /ол/

I "—/ /. ч где ^

С помощью принципа сжатых отображений, примененного к уравнению /0.4/, в §1 получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости задачи /0.1/,/0.2/, а также априорные оценки решения. Разработан и исследован алгоритм построения решения, приведены модификации алгоритма, удобные для практического применения, выделены некоторые классы задач, допускающих представления решений в конечном виде.

В аналогичном плане рассматривается задача для уравнения /0.1/ с функциональным условием с1Ф(Г)]яМ =0 , /0.5/ 0 где Cp(i) - вещественная (ft X Jt) - матрица, элементы которой суть функции ограниченной вар иации.

В §2 разработанный в работе [59] подход применен к изучению указанных выше вопросов для квазилинейной системы с условиями /0.2/,/0.5/.

В §3 изучается краевая задача /0.1/,/0.2/ при дополнительном

В этом случае получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости задачи /0.1/,/0.2/. Эти результаты обобщают известные соответствующие результаты для периодической краевой задачи.

Во второй главе изучается двухточечная краевая задача с вырожденными краевыми условиями. Развита методика построения эквивалентных интегральных уравнений. В §1 выведено интегральное уравнение, для случая, когда выполняется условие

Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости и априорные оценки решений рассматриваемой задачи в этой и в других аналогичных случаях.

Краевая задача для векторной дифференциальной системы условии, что для матриц Д^ к выполняется условие с1Ы (/И^Мл^Мл6(со)) fo где

0.6/ с несвязанными краевыми условиями вида

О) — % (cO)t Mfy(0) у(сд) = О /о. 7/ рассматривается в §2.

Конструктивный анализ решений задачи /0.6/,/0,7/ проводится с помощью метода малого параметра.Выведено соответствующее эквивалентное интегральное уравнение. Решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости и оценки решения задачи, а также оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритма. Изучены некоторые структурные свойства решения.

В §3 рассматривается краевая задача для векторной квазилинейной системы с краевыми условиями /0.7/.

Разработан итерационный алгоритм построения решения. С помощью этого алгоритма решение строится в виде равномерно сходящейся последовательности вектор-функций, удовлетворяющих краевым условиям /0.7/. Получены достаточные коэффициентные условия однозначной разрешимости, оценки решения, а также оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритма. Для иллюстрации разработанной методики рассмотрена линейная краевая задача теории автоматического управления.

Третья глава посвящена периодической краевой задаче для системы нелинейных дифференциальных уравнений.

В §1 развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных задаче Коши, периодической краевой задаче для систем нелинейных дифференциальных уравнений общего вида. Показано, что в линейном случае эта методика позволяет получить формулу Коши общего решения линейной неоднородной дифференциальной системы, формулу для единственного решения периодической краевой задачи.

В §2 установлена связь разработанного метода с методом усреднения Крылова - Боголюбова - Митропольского, с методом Е^угина построения показательной матрицы в теории Флоке; в отличие от указанных методов здесь строится преобразование новых пространственных переменных через старые. Приведен приближенный метод интегрирования, объединяющий в себе идеи метода A.M.Самойленко и метод преобразований.

В §3 развитая методика применена к исследованию однозначной разрешимости и разработке алгоритмов построения периодической краевой задачи для матричного уравнения типа Риккати

Jjr = ШГ + ХЬ 0) +ХИ}(1)Х t F(t) .

В этом параграфе центральное внимание уделяется конструированию вычислительных аналитических алгоритмов, вопросам сходимости и оценкам. Все оценки доведены до коэффициентного уровня.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по теории нелинейных колебаний и математической физике Института математики АН УССР - руководитель академик АН УССР Ю.А.Митрополь-ский, на семинаре по теории дифференциальных и интегральных уравнений при Киевском государственном университете - руководитель член-корр. АН УССР A.M.Самойленко, на семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям при Пермском политехническом институте - руководитель профессор Н.В.Азбелев, на семинаре по краевым задачам при Тбилисском государственном университете - руководитель член-корр. АН ГССР И.Т.Кигурадзе, на Всесоюзной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения" /Магнитогорск, 1984/, Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" /Киев, 1983/,опубликованы в сборнике тезисов X международной конференции по нелинейным колебаниям, г. Варна, 1984, с.171; в сборнике тезисов уЩ Республиканской конференции по математике и механике,г. Апма - Ата , 1984, с.90 и в работах [44 - 49, 77,85,8б] .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю члену-корреспонденту АН УССР А. М. Самойленко, а также кандидату физико-математических наук, доценту В. Н. Яап-тинскому за постоянное внимание, ценные советы и полезные обсуждения.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие новые результаты:

- новые коэффициентные критерии однозначной разрешимости краевой задачи с неразделенными краевыми условиями и разработаны общие алгоритмы построения решений многоточечных и функциональных задач как для линейных, так и для квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Эти алгоритмы позволяют учитывать некоторые функциональные и алгебраические свойства матрицы коэффициентов линейной системы, что в ряде случаев дает возможность эффективно строить решение;

- получены эффективные достаточные условия однозначной разрешимости и разработаны практически удобные алгоритмы построения решений двухточечных и многоточечных краевых задач с вырожденными краевыми условиями; оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов, доведены до коэффициентного уровня;

- развита методика построения интегральных уравнений, эквивалентных двухточечным и многоточечным краевым задачам с вырожденными краевыми условиями;

- на основе метода сведения дифференциальных уравнений к интегро-функциональным уравнениям, предложенного А.М.Самойленко, развита методика получения интегральных уравнений, эквивалентных периодической краевой задаче для нелинейных систем дифференциальных уравнений общего вида. При помощи этой методики получены уравнения первого и второго приближений в методе усреднения Крылова - Боголюбова -Митропольского;

- получен приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений, объединяющий в себе идеи метода А.М.Самойленко и метод преобразований;

- разработанная методика применена к изучению периодических решений матричного уравнения типа Риккати: изучены вопросы сходимости приближенных периодических решений к точному.

1. Абдикасова П.А., Валеев К.Г. Построение интегрального многообразия системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в банаховом пространстве.- В сб.: Математическая физика, 1976, вып. 9, б, с. 3-10.

2. Абрамов А.А. О переносе граничных условий для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений /вариант метода прогонки/.- Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, т. I, №3, с. 542-545.

3. Аграчев А.А., Вахрамеев С.А. Хронологические ряды и теорема Коши-Ковалевской,- Итоги науки и техники. Сер. Математика. Проблемы геометрии /ВИНИТИ, 1981, 12, с. 165-189.

4. Азбелев Н.В. О границах применимости теоремы С.А.Чаплыгина.-ДАН СССР, 89, Р 4, 1953, с. 589-591.

5. Азбелев Н.В. Об одном достаточном условии применимости метода Чаплыгина к уравнениям высших порядков.- ДАН СССР, 99, Р 4, 1954, с. 493-494.

6. Азбелев Н.В. К вопросу о распространении метода Чаплыгина за границы применимости теоремы о дифференциальных неравенствах.-ДАН СССР, 102, Р 3, 1955, с. 429-430.

7. Азбелев Н.В. О задаче Чаплыгина. /Об одном методе оценок/: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук.- Ижевск, 1962.- 8 с.

8. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.§., Терентьев А.Г. -метод в исследовании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- В кн.: Тр. Тамбовск. ин-та хим. машиностр., 1970, Р 4, с. 60-63.

9. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф., Цалюк З.В. О распространении решения задачи Чаплыгина за границу применимости теоремы одифференциальных неравенствах.- НДВШ физ.- мат. науки, 1958, Р 2, с. 3-5.

10. Азбелев Н.В., Хохряков А.Я., Цалюк З.В. Теоремы о дифференциальном неравенстве для краевых задач.- Матем. сборник, 1962, т. 59/101/, с. 125-144.

11. Айне ЕЛ. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- X.: ГОНИТИ, 1939.- 719 с.

12. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1971.- 240 с.

13. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.- М.: Наука, 1981.- 568 с.

14. Архипов Б.М. Периодическая краевая задача для уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.-Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Минск, 1969,- Ю с.

15. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи.- М.: Мир, 1968.- 749 с.

16. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1969.- 368 с.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.: Наука, 1969,- 368 с.

18. Вернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З.- М.: Изд-во АН СССР, I960.- 439 с.

19. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974.- 504 с.

20. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике.- Киев: Наукова думка, 1969.- 247 с.

21. Буницкий ЕЛ. К теории функций Грина обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.- Одесса, 1913.

22. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений.- Рига: Зинатне, 1978.189 с.

23. Вашакмадзе Т.О. О многоточечных линейных краевых задачах.-Сообщения АН ГССР, 35, № I, 1964, с. 29-36.

24. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.- М.: Изд-во МГУ, 1971.- 508 с.

25. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967.- 576 с.

26. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.- М.: Наука, 1979,- 432 с.

27. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Рига: Зинатне, 1973.- 135 с.

28. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.-М.: Наука, 1967.- 472 с.

29. Жевлаков Г.Н. Некоторые вопросы теории краевых задач для дифференциальных уравнений. Автореф. дис. . канд. физ.- мат. наук.- Пермь, 1968.- 12 с.

30. Шестков С.В. Об одном конструктивном алгоритме решения задачи Коши для линейных уравнений в частных производных первого порядка.- Весц1 АН БССР. Сер. ф1з.- мат. навук, 1980, № 6,с. 49-51.

31. Жестков С.В., Лаптинский В.Н. О некоторых оценках решения задачи Коши для систем линейных уравнений в частных производных. Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.- мат. навук, 1983, № 4, с. 105-107.

32. Еругин Н.П. Линейные системы обкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами." Минск, йзд-во АН БССР, 1963.- 272 с.

33. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1979,- 744 с.

34. Ешуков Л.Н. Об одной функциональной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Успехи матем. наук, 1958, т. 13, вып, 3/81/, с. I9I-I96.

35. Ещуков Л.Н., Веков А.А., Степанов А.Н. Проблемы и библиография теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений,- Труды РТИ, Рязань, 1972, вып. 42, с. 164-192.

36. Зайцева Г.С. О многоточечной краевой задаче,- ДАН СССР, 1967, т. 176, № 4, с. 763-765.

37. Зубов В.И. Лекции по теории управления,- М.: Наука, 1975.-496 с.

38. Зубов В.М. О разрешимости и матрице Грина двухточечной краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений,- Автореф. дис. . канд. физ,- мат. наук,- Минск, 1971,- 10 с.

39. Иноземцева И.Н. Об условиях разрешимости и дифференциальных неравенствах для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями.- Дис. . канд. физ,- мат. наук,-Тамбов, 1967,- 122 с.

40. Какабадзе М.А. Об одной сингулярной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,- Сообщения АН ГССР, 1973, т. 71, № 2, с. 313-316,

41. Канторович Л.В., Акилов Г,П. Функциональный анализ,- М.: Наука, 1977,- 744 с.

42. Касти Дж,, Калаба Р. Методы погружения в прикладной математике.» М.: Мир, 1976.- 224 с.

43. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.- Доклады АН СССР, 1951, т. 77, Р I, с. 11-14.

44. Кенжебаев К, Об одном методе решения линейных двухточечных краевых задач,- В кн,: Интегральные уравнения в прикладном моделировании. Республ. научно-техн. конференция. Тезисы докладов. Киев, 1983, с. 154-155.

45. Кенжебаев К. О решении одной периодической краевой задачи.

46. В кн.: Приближенные методы исследования нелинейных колебаний.-Киев, 1983, с. 76-79,

47. Кенжебаев К. К вопросу о решениях вырожденных краевых задач. -Изв. АН Каз. ССР, серия физ.матем., 1984, №5, с. 73-77.

48. Кенжебаев К. 0 существовании, единственности и оценках решения многоточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- Киев, 1984.- 12 е.- Рукопись депонирована в УкрНШТЙ 29 апреля 1984 г. № 780Ук-84.

49. Кенжебаев К. Об одной оценке решения двухточечной краевой задачи.- В кн.: УШ Республ.конференция по математике и механике. Тезисы докладов. Алма-Ата, 1984, с. 90.

50. Кенжебаев К. К вопросу о решениях квазилинейных краевых задач с несвязанными краевыми условиями.- Укр. матем. журн., 1984, т. 36, № 6,. с. 774-776.

51. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Тбилиси, Изд-во Тбил. ун-та, 1975.- 352 с.

52. Климов B.C. К теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.-Воронеж, 1969.- 9 с.

53. Клоков Ю.А. Некоторые краевые задачи для обыкновенных-дифференциальных уравнений.- Автореф. дис. . докт. физ.-мат.наук.-Л.; 1970.- 15 с.

54. Клоков Ю.А. Развитие теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений в Советской Латвии.- Изв. АН Латв.ССР, 1978, № 2 /367/, с. 12-19.

55. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.- 544 с.

56. Комленко Ю.В. Метод интегральных неравенств в теории задачи Штурма- Лиувилля.- ДУ, 1980, т. 16, № 4, с. 758-759.

57. Красносельский М.А. Об одной краевой задаче.- Изв. АН СССР, сер. математическая, 1956, т. 20, № 2, с. 241-252.- по

58. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений,- М.: Наука, 1966,- 332 с.

59. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двухсторонние операторные неравенства и их применения.- Киев: Наукова думка, 1980.- 267 с.

60. Лаптинский В.Н. Коэффициентные признаки устойчивости линейных периодических систем,- Доклады АН БССР, 1978, т. 22, W 9,с. 773-775.

61. Лаптинский В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений,- Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 8, с. 1335-1343.

62. Ларин В.Б. Управление шагающими аппаратами,- Киев: Наукова думка, 1980,- 168 с.

63. Левин АЛО, 0 многоточечной краевой задаче,- Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Л, 1961.

64. Ляпунов A.M. Собрание сочинений,- М.-Л.: йзд-во АН СССР, 1956, т. 2,- 473 с.

65. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.- М.: Гостехиздат, 1956.- 491 с.

66. Монастырный П.Н. О методе прогонки для системы уравнений второго порядка,- Журнал вычислительной математики и математичесР кой .физики, 1971, т. II, Р 4, с. 925-933,

67. Наймарк М.И. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969.- 526 с.

68. Найшуль А.Б. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными данными не типа Коим,- ДАН СССР, 67, 1949, с. 969-972,

69. Немыцкий В.В., Степанов В,В. Качественная теория дифференциальных уравнений,- М.-Л.: Гостехиздат, 1947.- 450 с.

70. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.-М.: Мир, 1977,- 232 с.

71. Остроумов В.В. О дифференциальном неравенстве для краевой задачи,- Дифференц. уравнения, 1965, т. I, № 5, с. 625-630.

72. Перов А.И. О краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений.- ДАН СССР, 1962, т. 144, Р 3, с. 493-496.

73. Перов А.И. Периодические колебания.- Воронеж: йзд-во Ин-та математики ВГУ, 1973.- 48 с.

74. Перов А.И. Об интегральных неравенствах. 'J-'p. семинара по функциональному анализу.- Воронеж, 1957, вып. 5, с. 87-97.

75. Перов А.И., Кибенко А.В. Об одном общем методе исследования краевых задач.- Изв. АН СССР. Сер. математическая, 30 /1966/, №2, с. 249-264.

76. Плехотин А.П. Теорема существования и единственности решения краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.- ДАН СССР, 1958, т. 123, № 4, с. 613-615.

77. Подолян С.В. Некоторые алгоритмы построения решений двухточечных краевых задач для линейных дифференциальных систем.- Авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Минск, 1981.- 13 с.

78. Подолян С.В., Пугин В.В., Кенжебаев К. О построении периодических решений неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.- В кн.: X международная конференция по нелинейным колебаниям. Тезисы докладов. Варна, 1984f с.171.

79. Покорный Ю.В. Вопросы качественной теории задачи Валле-Пуссе-на.- Автореф. дис. . докт. физ.- мат. наук.- Л., 1980.-26 с,

80. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

81. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.- М.: Мир, 1972.- 418 с.

82. Ронто В.А. Построение решений двухточечных краевых задач.-Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1982.- 18 с.

83. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление.- М.: Наука, 1978,552 с.

84. Самойленко A.M. Об одном случае непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра.- Укр. матем.журн., 1962, т. 14, № 3, с. 289-298.

85. Самойленко A.M., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений.- Киев: Вища школа, 1976,179 с.

86. Самойленко A.M., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. Об одном методе построения решений многоточечных краевых задач.- Доклады АН УССР. Сер. "А", 1983, № 9, с. 10-13.

87. Самойленко A.M., Кенжебаев К., Лаптинский В.Н. О некоторых итерационных методах отыскания периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений.- Укр. матем. журн., 1984, т. 36, с. 346-352.

88. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: ИЛ, т. I, 1953.- 347 с.

89. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики, ч. I.-Петроград, 1922.- 285 с.

90. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: ГИТТЛ, 1952.- 468 с.

91. Собкович Р.И. Численно-аналитический метод исследования краевых задач с управлениями.- Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1983,- 17 с.

92. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./ Дж.К.Батгер, Дж.Л.Лэмберт, А.Протеро и др./; Ред. Дж.Холл, Дж.Уайт; Под ред. А.Д.Горбунова.- М.: Мир, 1979. 312 с.

93. Трикоми Ф. дифференциальные уравнения.- М.: Изд-во ИЛ, 1962.352 с.

94. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. Механика, 1966, т. 97, № 3, с. 3-34.

95. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Мир, 1970.- 720 с.

96. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах,- М.: Мир, 1966.230 с.

97. Хохряков А.Я. О матрице Грина периодической краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений,- Дифференц. уравнения, 1966, т. 2, №3, с. 371-381.

98. Хохряков А.Я., Зубов В.М. Оценка матрицы Грина и ее интеграла линейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.- Доклады АН БССР, 1968, т.12, № 9, с. 761-764.

99. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений.- М,- Л.: Гостехиздат, 1950.- 102 с.

100. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Мир,1964.-480 с.

101. Чичкин Е.С. Теорема о дифференциальном неравенстве для многоточечных краевых задач. Изв. вузов, матем., № 2/27/, 1962, с. 170-179.

102. Шиманов С,Н. К теории колебаний квазилинейных систем.- ПММ, т. 18, вып. 2, 1954, с. 155-162.

103. Avramescu С. Asurpa unci probleme la limita. Studil si cer-cetari mat. Acad.RSR., 1968 , 20, No.9, p. 1287-1 292.

104. Bailey P., Shampine L., ¥altman P. Nonlinear two point boundary value problems.- New York: Academic Press,1968.-171 p.

105. Bevnfeld S., Lakshmikantham V. An introduction to a boundary value problems.- New York & London : Academic Press Inc.,1974.-303 p.

106. Birkhoff G.D.Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations.- Trans.Amer.Math.Soc., 1908,9,p.373-395.

107. Bliss (x.A. A boundary value problem for a system of ordinary linear differential equations of the first order.-Trans . Amer. Math. Soc., 1926 , 28 , p. 561-584.

108. Conti R. Equazioni differenziali ordinarie quasilineari con cordizioni lineari.- Annali di Matematica Рига e Applicata,1962,57,p.49-61.

109. Conti R. Recent trends in the theory of boundary value problems for ordinary differential equations.- Boll. Unione Mat. Ital. 1967,22,N 2, p. 135-178.

110. EPhezer H. Uber die Existence der Losurgen von Rand-wertafen mit gewohnlichen nichtlincaren Differential-gleichungen zweiter Ordnung . Math . Zeitschr., 1955, B.61, No.4,S. p.435-454.

111. Hukuhara M. Families kneseriennes et le probleme aux limites pour 1'equation differentielle ordinaire du second ordre.- Pubis. Res.Inst. Math. Sci.,1967,A3, No.2,243-270.

112. Kami nogo T. Boundary value problems for ordinary differential equations.- Tohoku Math.Journ., 1977 , V .29, p. 449-461.

113. Keller H.B. Numerical methods for two-point boundary value problems.-Blaisdell,waltham, 1968 , p. 14-18, 54-61,91-105.

114. Lasota A., Opial Z. Sur la de'pendance continue des solutions des Equations differentielles ordinaires de leurs seconds members et des conditions aux limites . Ann. Polon.Math. 1967,19,No.1 ,p,;13-36.

115. Mawhin J. Topological degree methods in non linear boundary value problems.-Providence Rhode Island: Pubis . Amer. Math. Soc.,1979-122 p.

116. Reig W.T. Solutions of a Riccati Matrix Differential Equations as Functions о Initial values,J.Math, and Mech. 8 ( 1У59 ) , 221-230.

117. Voshizawa 1'. Stability theory by Liapunoy's second method.- Tokyo:Pubis. Math. Soc. Japan,1У66.-223 p.

118. Waltman P. Existence and uniqueness of solutions of boundary value problems for two dimensional systems of nonlinear differential equations. Trans. Amer. Math. Soc. , 1971,153,Jan.,223-234.