Двухточечная краевая периодическая задача для дифференциальных уравнений с максимумами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КИРЮШКИН ВАСИЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАКСИМУМАМИ

О 1.0 1,02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003064585

ПЕРМЬ 2007

Работа выполнена в Рязанском государственном университете им. С,Д. Есенина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Терсхин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Симонов Петр Михайлович

кандидат физико-математических наук, профессор Ермолаев Михаил Борисович

Ведущая организация

Мордовский государственный университет

Защита состоится 10 октября 2007 г. в !5 часов на заседании диссертационного сонета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете но адресу: 614990, Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 4236, гл. корпус

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан августа 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

В,А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом одними из основных является вопрос нахождения условий существования периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) в окрестности известного решения Периодическим решениям в практических задачах соответствуют различные циклические процессы, значение которых в многообразии сфер деятельности человечества трудно переоценить

Особый интерес вызывают уравнения с отклонением, значение которого априори неизвестно К таким уравнениям относятся дифференциальные уравнения с максимумами, в которых отклонение аргумента зависит от искомой функции

В последнее время уравнения с максимумами все чаще возникают при решении различных прикладных задач Наиболее широкое применение подобные уравнения нашли в теории автоматического регулирования и экономике

Результаты исследований, посвященных дифференциальным уравнениям с обычным отклонением нельзя автоматически перенести на уравнения с максимумами, поскольку правые части подобных уравнений являются функционалами или операторами, не обладающими свойствами линейности, даже в случае линейных уравнений

Существенный вклад в становление и развитие теоретических аспектов дифференциальных уравнений с максимумами внесли Н В Азбелев, Л Ф Рахма-туллина, П М Симонов, В П Максимов, М Б Ермолаев, А Р Магомедов, Ю А Рябов, В Р Петухов, С А Вавилов, Д Д Байнов, П Гонсалес, М Пинто

Одной из проблем, имеющей важнейшее значение как для теории дифференциальных уравнений с максимумами, так и для ее приложений, является проблема определения условий существования решений двухточечной краевой периодической задачи Исследованию этой проблемы и посвящена диссертационная работа

В теории дифференциальных уравнений с отклонением исследуются проблемы существования решений в различных классах функций, в том числе в клас-

сах кусочно-непрерывных и абсолютно непрерывных функций В диссертационной работе вследствие того, что правая часть уравнения с максимумами непрерывна по совокупности переменных, и необходимости решения задач прикладного характера, исследуется проблема существования решения двухточечной периодической задачи уравнения с максимумами в классе непрерывно дифференцируемых функций

В настоящее время достаточно глубоко разработана теория устойчивости уравнений с максимумами, но слабо изученным остается вопрос, касающийся нахождения периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) для таких уравнений Используемые для исследования данной проблемы методы имеют ограниченное применение и не позволяют решать широкий спектр задач

Таким образом, как для теории дифференциальных уравнений с максимумами, так и для решения задач прикладного характера актуальной является проблема определения условий существования на заранее заданном промежутке решений двухточечных краевых периодических задач

Цель работы. Определить условия существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи для дифференциального уравнения с максимумами

х(0 = А(0х(0 + В(е,Л) тах х(т) + /(г,х(0> тах х(г),Л), (0 1)

тф(0,<1 тф(/), I]

х(£) = а, если £е[<а0,0], где х - искомая непрерывно дифференцируемая функция, вей" - начальное значение, X е - параметр, А и В — непрерывные матрицы, й - непрерывная скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента, /(/,0,0,-1) = 0

Методика исследования. С помощью методов общей теории дифференциальных уравнений проблема определения условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи сводится к проблеме разрешимости системы уравнений относительно начального значения и параметра

Доказательство существования решения системы уравнений проводится методом неподвижной точки с использованием предложенного в диссертационной работе способе линеаризации по параметру главной части системы уравнений,

линейной по начальному значению, разложения в степенной ряд нелинейной как по начальному значению, так и по параметру главной части системы уравнений

Научная новизна. В работе доказана нелокальная теорема о существовании непрерывно дифференцируемого решения, получена структура решения и найдены условия отсутствия и существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи дифференциальных уравнений с максимумами в достаточно малой окрестности нулевого решения Предложена методика исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора, методика построения множества, содержащего неподвижную точку оператора с положительными координатами

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер Полученные результаты представляют собой развитие методов качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, расширен класс уравнений с максимумами для которых найдены условия существования решения двухточечных краевых периодических задач, предложены методы исследования проблемы разрешимости различных типов операторных уравнений Результаты исследований могут быть использованы для решения задач прикладного характера

На защиту выносятся следующие положения:

1) нелокальная теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения с максимумами от начальных данных и параметра,

2) структура решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами (0 1),

3) схема исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора,

4) признаки существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0 1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, сводящиеся к использованию свойств линейной составляющей правой части уравнения (0 1)

5) условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0 1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, полученные с привлечением нелинейных членов правой части уравнения (0 1)

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им С А Есенина, на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Проблемы и перспективы российских реформ" в Рязанском государственном педагогическом университете им С А Есенина, на международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" в г Тула, на X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на научной конференции "Герценовские чтения -2005" в г Санкт-Петербург

Публикации. Основные результаты работы отражены в одиннадцати публикациях, список которых приведен в автореферате

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 97 наименований Общий объем диссертации - 111 страниц машинописного текста

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы

Первая глава посвящена изучению свойств решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами, содержащего параметр Центральным

направлением исследований является получение структуры решений данного уравнения

В § 1.1 вводятся основные определения и обозначения и формулируется задача исследования

В работе использованы следующие обозначения |х| = max|jc, |}, |[x()|| =

*=1,я а

= sup |х(<)[> max x(z) = ( max Х\(т), max х2(т), , max х„(т)), ||Л|| = sup|^|, /е[-ю0,а] те[а,Ь] тё[а,Ь] тб[а,6] re[e,i] |х[<л

|Д)||а = sup ||Л(0||, с"а,ь] ~ множество непрерывных на [а,Ь] и-мерных вектор-

функций, х - и-мерный вектор, A(t) - и * и -матрица aeR, bsR, D(S) = = {*:еЛ" \x\<s\, = \л\<#\, JV(S) = {cteR" V(S) = [0,a>]xD(8)x

*D(S)xA(S), H(S) = [-fflo,iu]x fV(S)xA(S), U(e*,S) = {гs Rs |e-e*|<<yj, где ¿>0, -too eo>0

Рассматривается дифференциальное уравнение с максимумами

x(t) = F{t,x(t), max х(г)Д), (1 1)

Mh(t),t]

*(#) = ¥ е C"-a,0fi]' еСЛИ ^ 6 [®0.°1 >

где xeR", XeRm - параметр, функция h непрерывна на сегменте [0,со] и удовлетворяет условию h{t)<t при любом tе[0,о], -щ= mm hit), вектор-функция F

1ф,а>]

непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К по 2 и 3 переменной на множестве V(S0) <50 >0, - а^ < 0, о > 0

Определение 1.1. Решением уравнения (1 1) будем называть непрерывно дифференцируемую на сегменте [0,<у] n-мерную вектор-функцию х, удовлетворяющую уравнению (1 1) при некотором ЯеЛ(<У0) всюду на сегменте [0,е>]

Вектор-функцию <р будем называть начальной вектор-функцией В случае, если в уравнении (1 1) <р(£) = а при £ s [-о^,0], то будем говорить, что задано начальное значение а

Двухточечная краевая периодическая задача для дифференциального уравнения (11) заключается в нахождении начального значения а е D(S()) и параметра Л* е Л (¿о) таких, что уравнение (11) при Щ4) = а*, £ е [-¿Ц),0] и Я = Я* имеет решение х, удовлетворяющее краевым условиям

х(0) = х(а>) = а*

Ставится задача - найти условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 1) в достаточно малой окрестности нулевого решения

В § 1.2 приводятся вспомогательные утверждения, необходимые для дальнейшего исследования рассматривается неравенство, касающееся максимумов, доказывается лемма о непрерывности максимума функции, зависящей от параметра

В § 1.3 доказывается нелокальная теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных и параметра решения уравнения (1 1)

Теорема 1.1. Если при Л = О уравнение (11) имеет решение х с начальной вектор-функцией реС" ^ ^ и ¡Зс( < ¿>0, то существует 6 >0, такое, что для

любой начальной вектор-функции <р е С" удовлетворяющей условию

\<р()-(р( )[|0 <8 и параметра Л е Л(<5), уравнение (11) имеет единственное решение х, непрерывно зависимое от начальной вектор-функции и параметра и

Доказательство теоремы производится методом последовательных приближений

В теореме 1 2 получена оценка разности двух решений уравнения (11) Теорема 1.2. Для любых двух решений уравнения (1 1) х1 и х2 с начальными вектор-функциями <р\ и ф2 при любом ге[0,а>] справедливо неравенство

\х1(1)-х2(0\ф10-1р201еКа>

В § 1.4 изучается структура решений дифференциального уравнения с максимумами вида

х(0 = А(1 )х(г) + В(/,Л) тах х(г) + /0,х(0, тах х(т),Л), (13)

«[ВДЛ МКФ]

х(£) = а, если £ е [®д,0],

где хей", Л е Я'" - параметр, функция А непрерывна на сегменте [0,а>] и удовлетворяет условию Ц() < г при любом /€[0,ео], -£»о= тт й(0, матрицы А и В - непрерывны на множествах [0,®] и [0,&>]хЛ(£0) соответственно, В0,0) = 0 при / е [0,®], вектор-функция / непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К по 2 и 3 переменной на множестве /(?,0,0Д) = 0 при

(1,Л) е [0,хЛ(<5д) и Ьт - о, и = (х,у) равномерно относительно г е [0,со],

и-> о |и|

ЛеА(30)

Установлено, что решение уравнения (13) выражается формулой

■к с15)

В(£Д) шах х(т,а,Л)+/(£,х(4,сс,Л), тах х(т,а,Л),Л)

=ДО рг1©

О

Свойства второго слагаемого правой части (15) рассмотрены в теореме 1 3 Теорема 1.3. Решение х уравнения (13) представимо в виде х(1,а,Л.) = Х{(]а + цг(1,а,Л), где у((,а,Л) = 1а1(уа(/,а,Л)+ул((,а,Л)), Ьт уга(1,а,А) = 0 рав-

а-+О

номерно относительно /е[0,<»], Л е к(8) и 1ип ^(<,а,Л) = 0 равномерно относительно /е[0,е>], а е 1¥(3)

Использование вида решения, полученного в теореме 1 3, совместно с формулой (1 5), позволяет свести проблему определения условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 3) к проблеме разрешимости относительно у = (о,Л) операторного уравнения

(Х(а) -Е)сс+Х(а) \х~1 (£)

тах х(г,а,Л) +

+ /(¿;,х(£,а,Л), тах х(т,а,Л),Л)

(16)

в котором х((,а,Л) = Х(()а+\уЦ,а,Л), уО,а,Л) = ¡а1(1//а(/,а,Л) + 1//л(/,а,Л)), Ит 1//а(1,а,А) = 0 равномерно относительно (<=[0,®], Л е Л(3), Ит рд(1,а,Л) = 0 рав-

а-+0 Я->0

_ ~ [Ш,1де г Ш) > 0, номерно относительно / е [0, го], а е ), А (0 = •{ ? е [0, ю]

[0,1де ^ Л(/)<0,

Во второй главе диссертации изучается проблема существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи для дифференциального уравнения с максимумами (1 3) в достаточно малой окрестности нулевого решения Рассматриваются условия отсутствия и существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 3) Устанавливаются признаки существования решений двухточечной краевой периодической задачи с положительными компонентами параметра Л Условия разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 3), полученные в рамках данной главы, определяются только линейными членами правой части уравнения (1 3) и не зависят от поведения нелинейной составляющей

В § 2.1 рассматривается условие отсутствия ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (13) и приводится пример уравнения с максимумами, обладающего этим свойством

Теорема 2.1. Если ¿е1(Х(&) - Е) * 0, то существует <Уе(0такое, что уравнение (13) при любом а е IV(3) и Я е Л(£) не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи

Дальнейшие исследования в работе проводятся в предположении выполнения условия ёе^Л^а;) - Е) = О

В § 2.2 изучается особый класс систем алгебраических уравнений, исследование которых тесно связано с вопросом разрешимости двухточечной краевой периодической задачи

Рассматриваются системы вида

4 4 4 4 ikl „ Я/ =сь к2 Г/ =с2, (2 1)

.4 4 4Г = с'<!"

Я^>0,с = (с1, ,cq), с, >0, k'j е{0,1, /}, i = l,qr, j - I,г

Уравнения системы (2 1), приводятся логарифмированием к линейным относительно 1п(Яj), j = I,г По аналогии с матрицей линейной системы для систем

(2 1) вводится в рассмотрение понятие «степенной» матрицы

Определение 2.1. Степенной матрицей системы (2 1) назовем qxr матрицу £2 = (ту) f [, элементы которой определяются равенством ту = klj

Устанавливается, что условие разрешимости системы (2 1) определяется соотношением rank(Q) = q

Основным результатом параграфа является теорема о непрерывной зависимости решения Л(с) = (Л1(с),Л2(с), Д<?(с)Д9+|(с), ДДс)) от столбца свободных членов с

В § 2.3 доказываются теоремы об условиях существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 3)

Согласно результатам первой главы, решаемая задача сводится к определению условий существовании вектора // = (а,Я), а*0 являющегося решением уравнения (16)

Для изучения вопроса, связанного с разрешимостью уравнения (1 6) в рассмотрение вводится понятие определяющего вектора матрицы, являющегося вектор-функцией Я

Определение 2.3. Пусть W{ — uxv матрица, каждый элемент которой представлен в виде Wy(t,X) = ^ст^МЛ/ > г<3е Uy (t) # 0 - непрерывные функции от t,

V

k? kv iv m Л^ = Л,1 Л^ , kq 6 {од, /} для любого qe{1,2, m} и^кд=1 Определяю-

q= 1

щим вектором матрицы Wj будем называть вектор Л , построенный следующим образом

1) выпишем все различные Л^ (повторяющиеся ЛЦ следует учесть один раз) и расположим их в порядке убывания степеней сначала Л\, затем Л2, Л3 и так далее, до Лт,

2) из получившейся последовательности составим вектор Л так, что I -тая компонента вектора Л является i -тым элементом построенной последовательности

Определяющий вектор Я матрицы позволяет осуществить ее линеаризацию относительно Л

Для матрицы В, дифференцируемой по компонентам вектора Л, справедливо представление й(/Д) = Bt{t,X)+B{t,X), где компоненты матрицы В; - формы по-

pif* ц \

рядка / по Л, lim ' = 0 равномерно относительно t е [0, ео]

Щ

Предполагается, что ¿?(/Д) = |д|й(гД), вектор Л размерности р>п - определяющий вектор матрицы ВД/Д), lim B(t,X) = 0 равномерно относительно t е [0, а>]

В частности B(t,X) = |Х|в(?Д) в следующих случаях 1) 5(/Д) = 0, 2) 1 = 1, 3) Я=(Я{Д2, ,Л1т)

С помощью равносильных преобразований уравнение (16) приводится к

виду

й)

(.Х{со)-Е)а + Х{а>) \х~1 max (X(z)a)dÇ +

+ И ¡1|^|(«Д) + НЙ(аД) = 0, (2 6)

где hm у}, (а,Л) = 0, lim (а,Л) = 0 а->0 Л->0

Последовательность замен

1) a-Rp, R - п*.(п- s) -матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения уравнения (Х(а>) - Е)а = 0,

2) Р = р е, H = 1, р = И<р|, приводит уравнение (2 6) к виду

m _

X(.0>)\X-\Ç)B,(Ç,X) max {X(r)Re)dÇ + \pf\ (p,e,X) + ïj/p(p,e,X) = Q, (2 8)

_-i _^

где hm 0г?(р,е,Л) = О, lim i//i(p,e,À) = 0 Д-»0 p-+0

Использование свойств определяющего вектора Я матрицы В[ позволяет

представить первое слагаемого левой части уравнения (2 8) в виде С(е)Л , где G(e)

- п хр -матрица

Уравнение (2 8) примет вид

G(e)I+\I\wl(p,e,X) + Wl(p^X) = О (2 9)

Предположив существование вектора е |е*| = 1 такого, что rankG(e*) = n,

получим уравнение

Я' = Я,Я" + |1|^Л(рД)+^(рД), (2 10)

где tfj =-G1(e*)"1G2(e*), G(e*)J= G,(e*)X' + G2(e*)X", G, О*) - их« матрица, составленная из и линейно-независимых столбцов матрицы G(e*), G2(e*) _ лх(р-п) матрица, составленная из оставшихся столбцов матрицы G(e*), X' - (Л/, ,Л!,) и Л" = (Я," - вектора, являющиеся частями вектора Я, соответствующие

матрицам Gj(e*) и G2(e*>, составляющие в совокупности всех своих компонент

вектор Я , lim ij/) (p,X) = 0, hm ц/„(р,Л) = 0 Л-> о ¿>->0

Таким образом, задача определения условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи свелась к проблеме разрешимости уравнения (2 10)

Теорема 2.4. Если Х = (л!1,а!2, ,Л1т), I- нечетное число и существует вектор е |е*| = 1 такой, что rankG(e*) = n, то для любого S>0 существуют a* eW(â), а* * 0 и Л* eA(S) такие, что уравнение (13) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи при а = а* и Я = Я* В частности справедливо утверждение

Следствие 2.2. Если существует вектор е je*j = 1 такой, что rankG(e*) = п, B[(t,Z) = B\(t,X) (компоненты матрицы В](г,Я) — формы первого порядка по Л), то для любого <У> 0 существуют a*eW(S), а**0 и Я*еЛ(£) такие, что уравнение (13) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи при а = а* и Л = Я*

Доказательство теоремы проведено методом неподвижной точки оператора

Условия теоремы 2 4 обеспечивают однозначное непрерывное соответствие X X в окрестности нуля, что позволяет с помощью принципа Брауэра установить существование неподвижной точки из этого множества для оператора, построенного по правой части (2 10) Если в окрестности нуля указанная зависимость отсутствует (например, при Л=(Л{,Л12, I - четное число, данное соответствие справедливо только для полуокрестности нуля), то использование принципа Брауэра на множестве содержащем нуль становится невозможным

Дальнейшие исследования главы посвящены ситуации, когда в окрестности нуля вектора А и Я не связаны однозначной непрерывной зависимостью

От оператора Н1 х у - н^х потребуется наличие дополнительных свойств Определение 2.4. Будем говорить, что оператор Н у = Нх, н - иху матрица, сохраняет знак в точке х*=(х*,х2, если х*>0, г = 1,у и

У* = (У*,У2> ,у*и) = Нх*> у*>о, ; =

Согласно определению вектора X , каждое X,, < = 1 ,р представляется в виде

_ ¡¡I к1 ,1 _ т _

X, =Х,> Л22 4й,где {0,1, 1},ч = \,т и 2Х=/, 1 = 1,р

4=1

Введем в рассмотрение систему уравнений

[ /2 Лк1т - С1

1 л2 лт ~ С1 >

. $ Лк} 4» =с2, кР кР

1 1 3 2 зКт — „

л\ л2 лт ~ ср >

(2 11)

т _ _

где с, >0, к'} 6{ОД, /}, ^кд = /, 1 = 1,р, у = 1,т, а левые части уравнений системы представляют собой компоненты вектора X

Пусть О - степенная матрица системы (2 11)

Теорема 2.5. Если существуют вектор е |е*| = 1 и точка х* такие, что гапкО(е*) = п, гапкС1 = р и оператор Н\ х у = Н^х сохраняет знак в точке х*, то для любого 8>0 существуют а'еЩЗ), а* *0 и X* е А(3), такие что уравнение

(1 3) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи при * -

а = а и Х = л

Доказательство теоремы использует принцип Брауэра, применяемый к оператору Г, построенному по правой части (2 10) Сохранение знака оператора Нх в

точке х* позволяет выбрать отделенное от нуля, замкнутое, выпуклое множество Д, расположенное в первом квадранте, такое что оператор Г отображает это множество в себя Условие гапЮ. = р определяет существование непрерывного отображения X -» X на множестве Д, что обеспечивает непрерывность оператора Г на Д

Теорема 2 5 устанавливает условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи с положительными значениями компонент параметра X

В конце главы рассмотрены три примера уравнений с максимумами, для которых устанавливается существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи

В третьей главе диссертации рассматривается другой способ решения поставленной задачи В отличие от подхода второй главы, здесь для определения условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи привлекаются нелинейные члены правой части уравнения (13)

В § 3.1 доказаны теоремы об условиях отсутствия и теорема существования

ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи уравнения (1 3) Уравнение (16) рассматривается в предположении, что матрица в и вектор / представлены следующим образом В(г,Х) = В(/Д), компоненты

матрицы В! - формы порядка I, I > 1 по X, Ьт = о равномерно относительно Щ

но ге [0,а\, /{1,х,у,Х) = /к(1,х,у,Я) + /(_1,х,у,Х), компоненты вектора /к - формы порядка к, к>2 по и = (х,у,Х), Ьт = о Указанные представления всегда

и->° | и\к

можно осуществить, если В имеет частные производные I -го порядка по компонентам вектора X, а / частные производные к -го порядка по компонентам вектора и

С помощью цепочки преобразований уравнение (13) приводится к виду

(.Х(ю)-Е)а+ё(а,Х) + \м\ч¥^сс,Х) = 0, (3 4)

где ц = (а,Х), я = тт(/ +1 ,к), Ьт ц7ьи(а,Х) = 0, а вектор-функция обладает свойством

//->0 И

g(c|u) = cqg(f^) для любого о О Последовательность замен

1) а = кр, Л - пх(п-я)-матрица, столбцами которой являются линейно независимые решения уравнения (Х(т) - Е)а = 0,

2) /2 = (Р,Х), £ = р = Щ,е = (ер,ех), \е\<с1, с1> 1 приводит уравнение (3 4) к виду

£(е) + ур(ре) = 0, (3 6)

ГДе g(e) = g(Re0,eл), Ът^/р(ре) = 0

Таким образом, задача определения условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи свелась к проблеме разрешимости уравнения (3 6)

Рассмотрены две теоремы, позволяющие установить существование множеств начального значения и параметра, определяющих отсутствие ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (1 3)

Теорема 3.1. Если существует вектор е* = (ер |е*| = 1 такой, что £(е*)*0, то для любого 5> 0 существуют множества № с IV(3) и Лс:Л(<У) такие, что уравнение (13) при любых (а,Л)е!¥ хА не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи

Теорема 3.2. Если * 0 для любого вектора е |е| = 1, то существует 5 е (0,<5] такое, что уравнение (13) при любых (а,А)е1¥(3)х а = Н/З,

Р е не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи

Условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (13) сформулированы в теореме 3 3

Теорема 3.3. Если существуют вектор е* = {е*р,е\), |е*| = 1 и число

5>0 такие, что £(е*) = 0, функция £(е) дифференцируема на множестве и(е* ,3)

и гапИЛе*)) = п, где J(e*) = — I * — матрица Якоби, то для любого 8> О суще-

де \е=е

ствуют а* е №(3), а* фО и Л* е Л(<5) такие, что уравнение (13) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи при а = а* и Л = А*

Доказательство теоремы основано на применении формулы Тейлора к вектор-функции g в окрестности точки е = е* и последующем использовании метода

неподвижной точки оператора

Значимым требованием теоремы является дифференцируемость вектор-функции g в окрестности некоторой точки е = е* Существование частных произ-

водных вектор-функции g зависит от дифференцируемости вектор-функции Мл тах [Х(т)Кер) ПО параметру ер В окрестности точки ер = е*р

В § 3.2 доказываются теоремы о достаточных условиях дифференцируемости по параметру функции М-ц и изучаются случаи, когда такое дифференцирование невозможно

Результаты главы применены для исследования численных примеров

В заключении сформулированы основные результаты работы, полученные в ходе диссертационного исследования

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) доказана нелокальная теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения с максимумами от начальных данных и параметра,

2) получена структура решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами (0 1),

3) предложена новая схема исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора,

4) на основе разработанного подхода получены эффективные признаки существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0 1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, сводящиеся к анализу величин, определяемых линейной составляющей правой части уравнения (0 1)

5) установлены новые условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0 1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, полученные с привлечением нелинейных членов правой части уравнения (0 1)

В работе рассмотрено 7 различных численных примеров

В заключении подводятся общие итоги проведенной работы

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1 Кирюшкин В В Теорема существования и единственности решений систем дифференциальных уравнений с максимумами // Современные проблемы математики, механики, информатики Тезисы докладов Международной научной конференции - Тула Изд-во ТулГУ, 2004 - С 22-24

2 Кирюшкин В В Структура решений дифференциальных уравнений с максимумами // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования Материалы научной конференции «Герценов-ские чтения - 2005» - С -Петербург Изд-во Библиотека Академии наук, 2005 -С 55-59

3 Кирюшкин В В Свойства решений системы дифференциальных уравнений с максимумами // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании НИТ-2005 Тезисы докладов X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов -Рязань Изд-во РГРТА, 2005 -С 20-21

4 Кирюшкин В В Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения, 2005 -№9 -С 11-18

5 Кирюшкин В В О представлении решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН Дифференциальные уравнения, 2005 -№9 - С 19-23

6 Кирюшкин В В Системы алгебраических уравнений специального вида // Информатика и прикладная математика Межвуз Сб науч Тр, Ряз гос пед ун-т - Рязань Изд-воРГПУ -2005 -С 135-139

7 Кирюшкин В В Условия существования решения двухточечной краевой задачи системы дифференциальных уравнений с максимумами // Современные проблемы математики, механики, информатики Тезисы докладов Международной научной конференции -Тула Изд-во ТулГУ, 2005 - С 105106

8 Кирюшкин В В О непрерывной дифференцируемости функции тах у(т,/3)

ге[0,г]

по параметру // Известия Тульского Государственного Университета Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи - Тула Изд-во ТулГУ,2005 -С 40-45

9 Кирюшкин В В Решение двухточечной краевой задачи по виду линейной части для систем дифференциальных уравнений с максимумами // Математика Компьютер Образование Тезисы докладов XIII Международной конференции - М - Ижевск Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2006 -Вып 13-С 30

10 Кирюшкин В В Двухточечная краевая задача системы дифференциальных уравнений с максимумами // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании НИТ-2005 Тезисы докладов XI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов - Рязань Изд-во РГРТА, 2006 - С 8-9

11 Кирюшкин В В Проблема решения двухточечных краевых задач систем дифференциальных уравнений с максимумами // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании НИТ-2005 Тезисы докладов XI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов -Рязань Изд-во РГРТА, 2006 - С 9-10

Введение.

Глава I. Структура решений дифференциальных уравнений с максимумами

§ 1.1. Постановка задачи.

§ 1.2. Свойства максимума.

§ 1.3. Существование, единственность и непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметра.

§ 1.4. Структура решений.

Глава II. Решение двухточечной краевой периодической задачи по виду линейной части.

§ 2.1. Необходимое условие существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи.

§ 2.2. Исследование специального класса систем алгебраических уравнений.

§ 2.3. Определение условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи методом линеаризации главной части оператора.

Глава III. Исследование проблемы разрешимости двухточечной краевой периодической задачи, полученные с использованием нелинейности.

§ 3.1. Условия отсутствия и существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи.

§ 3.2. Дифференцируемость по параметру максимума функции.

Актуальность темы. При исследовании динамических систем с отклонением большое значение уделяется различным колебательным процессам [9, 10, 12, 16], поскольку подобные процессы могут в одних случаях оказаться полезными и необходимыми, а в других случаях - вредными и нежелательными. Поэтому проблеме нахождения и определения параметров колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках. Центральным направлением теории колебаний является поиск периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач с известным промежутком периодичности). Таким решениям в практических задачах соответствуют различные циклические процессы, значение которых в многообразии сфер деятельности человечества трудно переоценить.

В последнее время особый интерес вызывают уравнения с отклонением, значение которого априори неизвестно. К таким типам уравнений относятся дифференциальные уравнения с максимумами, в которых отклонение аргумента зависит от искомой функции. Подобные уравнения все чаще возникают в теории автоматического регулирования, при решении экономических различных задач.

Основополагающий вклад в становление и развитие теории дифференциальных уравнений с максимумами внесли Н.В. Азбелев, Л.Ф. Рахма-туллина, П.М. Симонов, В.П. Максимов, М.Б. Ермолаев, А.Р. Магомедов, Ю.А. Рябов, В.Р. Петухов, С.А. Вавилов, Д.Д. Байнов, П. Гонсалес, М. Пинто.

На данный момент достаточно глубоко разработана теория устойчивости уравнений с максимумами, но слабо изученным остается вопрос, касающийся нахождения периодических решений (решений двухточечных краевых периодических задач) для таких уравнений. Используемые для исследования данной проблемы методы имеют ограниченное применение и не позволяют решать широкий спектр задач. Настоящая диссертационная работа посвящена определению условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для дифференциальных уравнений с максимумами.

В теории дифференциальных уравнений с отклонением исследуются проблемы существования решений в различных классах функций, в том числе в классах кусочно-непрерывных и абсолютно непрерывных функций. В работе вследствие того, что правая часть уравнения с максимумами непрерывна по совокупности переменных, и необходимости решения задач прикладного характера, исследуется проблема существования решения двухточечной периодической задачи уравнения с максимумами в классе непрерывно дифференцируемых функций.

Не изученным остается вопрос о существовании на заданном промежутке решений в классе непрерывно дифференцируемых функций, а, следовательно, не исследована проблема разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для нелинейных уравнений с максимумами. В частности, не изучен вопрос о существовании решения двухточечной краевой периодической задачи при условии, что матрица монодромии системы линейного приближения уравнения с максимумами имеет собственное значение равное единице, а правая часть уравнения зависит от векторного параметра.

Наиболее эффективным методом решения двухточечной краевой периодической задачи является метод построения операторного уравнения, условия существования которого определяют условия разрешимости краевой задачи.

Для построения операторного уравнения необходимо существование решений уравнения с максимумами, продолжимых на заранее заданный промежуток, определенная структура решений, дифференцируемость по параметру максимума функции.

Таким образом, как для теории двухточечных краевых периодических задач, так и для решения задач прикладного характера актуальным являются проблема определения условий существования на заранее заданном промежутке непрерывно дифференцируемых решений нелинейных уравнений с максимумами, разработка структуры решения уравнения с максимумами с целью построения операторного уравнения с известным (не обязательно линейным) первым приближением и получение нетривиальных условий его разрешимости.

Цель работы заключается в получении условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для дифференциальных уравнений с максимумами вида x{t) = A{t)x{t) + B{t,l) max х(т) + f(t,x(t), max х(т),А), (0.1) тФСМ тф(0,1] где А, В - (ихи)-матрицы, / - «-мерная вектор-функция, И - скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента.

Методика исследования.

С помощью методов общей теории дифференциальных уравнений проблема определения условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи сводится к проблеме разрешимости системы уравнений относительно начального значения и параметра.

Доказательство существования решения системы уравнений проводится методом неподвижной точки с использованием предложенного в диссертационной работе способе линеаризации по параметру главной части системы уравнений, линейной по начальному значению, разложения в степенной ряд нелинейной как по начальному значению, так и по параметру главной части системы уравнений.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Дифференциальные уравнения с максимумами относятся к классу дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Началом систематического исследования дифференциальных уравнений с отклонением, явилась работа А.Д. Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950). Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Н.В. Азбелев [1-7], Л.Ф. Рахматуллина [5], В.П. Максимов [3-5], П.М. Симонов [2, 6, 7, 8, 56], Л.Э. Эльсгольц [78-79], В.П. Рубаник [52], Ю.А. Митропольский [14,45] и многие другие.

Основными методами исследования большинства работ по изучению уравнений с отклоняющимся аргументом [1, 15, 21-22, 34, 53-55, 58-61, 63, 65-73] являются методы малого параметра и усреднения, асимптотические методы, методы функций Грина.

Результаты исследований, посвященных дифференциальным уравнениям с отклонением, нельзя автоматически перенести на дифференциальные уравнения с максимумами, поскольку правые части подобных уравнений являются функционалами или операторами, не обладающими свойствами линейности, даже в случае линейных уравнений.

Исследованием дифференциальных уравнений с максимумами занимались Н.В. Азбелев [7-8], П.М. Симонов [7-8, 56], М.Б. Ермолаев [8, 2426], А.Р. Магомедов [38-43, 55], Ю.А. Рябов [42-43, 55], В.Р. Петухов [49], С.А. Вавилов [86], Е. Степанов [86], П.Гонсалес [80-81], М.Пинто [80-81], Д.Д. Байнов [87], Г.Д. Вулов [87] и другие.

В работе В.Р. Петухова [48] доказана локальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с максимумами x(t) = F(t,x(t), max х(т), max х(*о) = *0и рассмотрены условия существования периодических решений.

Наиболее широко вопросы качественного исследования дифференциальных уравнений с максимумами рассмотрены азербайджанским математиком А.Р. Магомедовым. В частности в его совместной с Ю.А. Рябовым работе [42] изучается проблема существования периодических решений уравнения x(t) = F(t,x(t), max х(т)),

T€[t-h,l] где F(t,u,v) - аналитическая вектор-функция своих аргументов и 2п - периодическая по t. Методом итераций доказано существование единственного периодического решения при достаточно малом значении h и построен алгоритм нахождения этого решения.

Чилийские математики П. Гонсалес и М. Пинто в работе [80] изучают класс дифференциальных уравнений с максимумами с точки зрения асимптотической устойчивости. Ими рассматривается уравнение x(t) = F(t, x(t), max x(u)), если t e [0, b),

U£[t-h,t] x(0 = (p(t), если t e [-h,0], где 6e[0,oo). Вводится определение асимптотически устойчивого уравнения данного класса и доказываются теоремы существования и представления решения для уравнений, обладающих данным свойством.

Проблема устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами изучается в работах Азбелева Н.В. [7, 8], П.М. Симонова [7, 8, 56] и М.Б. Ермолаева [8, 24-25]. Рассмотрена теория устойчивости для дифференциальных уравнений с максимумами, изучены различные типы устойчивости и получены признаки устойчивости некоторых классов таких уравнений.

Вопросами бифуркации дифференциальных уравнений с максимумами занимались С.А. Вавилов и Е. Степанов. В их совместной работе [86] с помощью метода линеаризации доказаны теоремы существования бифуркационных значений параметров для дифференциальных уравнений с максимумами частного вида и произведена их оценка.

Содержание работы. В настоящей диссертации изучается дифференциальное уравнение с максимумами (0.1) в классе непрерывно дифференцируемых функций. Целью исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения. Рассматриваемое в диссертации уравнение имеет векторный параметр, а влияющая на отклонение функция h имеет произвольный вид. Исследуемое дифференциальное уравнение отличается от линейных уравнений с максимумами, рассмотренных в работах [39, 41], наличием нелинейной составляющей.

Конструктивные методы, используемые авторами [27, 82-85] для исследования краевых задач, к решению поставленной проблемы неприменимы. Исследования, связанные с применением конструктивных методов, предполагают возможность разбиения основного промежутка на части, на каждой из которых в соответствии с методом шагов уравнение с отклонением аргумента заменяется уравнением без отклонений аргумента. В случае неизвестного поведения отклонения, что и имеет место для рассматриваемого уравнения, воспользоваться данным методом нельзя. Поэтому применение известных теорем существования и единственности решения задачи Коши, основанных на методе шагов, становится невозможным. Доказанная в настоящей работе теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра, послужила основой для исследований, посвященных определению условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи.

В работе не используется метод представления решения в виде тригонометрического многочлена [13, 36]. Предложены два независимых метода решения поставленной проблемы, что позволяет решать более широкий спектр задач. В основу исследований лег специальным образом построенный вид решения уравнения (0.1), что позволило существенным образом привлечь свойства нелинейных членов правой части уравнения для решения поставленной задачи.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 98 наименований.

Заключение

Работа посвящена изучению дифференциальных уравнений с максимумами вида x(t) = A{t)x{t) + B(t,X) max х(т) +f(t,x(t), max х(т),Л), (0.1) тф(ф] тф(ф] где А, В - («хп)-матрицы, / - «-мерная вектор-функция, h - скалярная функция, влияющая на отклонение аргумента.

Цель работы заключалась в определении условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения.

В работе получены следующие основные результаты:

1) доказана нелокальная теорема существования, единственности и непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения с максимумами от начальных данных и параметра;

2) получена структура решений нелинейного дифференциального уравнения с максимумами (0.1);

3) предложена новая схема исследования операторных уравнений, основанная на линеаризации главной части оператора;

4) на основе разработанного подхода получены эффективные признаки существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, сводящиеся к анализу величин, определяемых линейной составляющей правой части уравнения (0.1).

5) установлены новые условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи для уравнения (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения, полученные с привлечением нелинейных членов правой части уравнения (0.1).

В работе рассмотрено 7 различных численных примеров.

1. Азбелев Н.В. Краевая задача для одного класса квазилинейных уравнений // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. -М., 1975. - Вып.64. - С. 52-54.

2. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 5. - С. 745-754.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 10.-С. 1731-1747.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 12. - С. 2027-2050.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.-280 с.

6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 6. - С. 316.

7. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Функционально-дифференциальные уравнения и теория уравнений с последействием // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 2002. - С. 52-69.

8. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Симонов П.М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Известия высших учебных заведений. Математика. 1995.-№5.-С. 3-9.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. // Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.-915 с.

10. Бовшеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // Журн. техн. физики. 1936. - Т. 6. - Вып. 9.

11. Богатова С.В. Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - № 4. - С. 1421.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. // М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

13. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев: Наук, думка, 1990. - 96 с.

14. Бычков С.И., Буренин Н.И., Сафаров Р.Т. Стабилизация частоты генераторов СВЧ // Изд. Сов. радио. 1962.

15. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1984.-320 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. - 492 с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. -271 с.

19. Гребенщиков Б.Г. О почти периодических решениях одной нестационарной системы с линейным запаздыванием // Сиб. мат. журн. -1999. Т. 40. - № 3. - С. 531-537.

20. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - № 9. - С. 1286-1288.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967.- 472 с.

22. Ермолаев М.Б. О разрешимости задачи Коши для особого класса уравнений с отклонением, зависящим от неизвестной функции. // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 5. - С. 40 -42.

23. Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции // Изв. вузов. Математика. 1994. -№6.-С. 60-63.

24. Ермолаев М.Б. Экономико-математические модели анализа и прогнозирования реального пункта труда. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук. Иваново, 2005

25. Каменский Г.А. Краевая задача для нелинейных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высш. школы, физ-матем. науки.- 1958.-№2.-С. 60-66.

26. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.-572 с.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 с.

28. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

29. Красовский Н.Н. О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени. // Докл. АН СССР. 1957. - Т. 114.-№2.

30. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. - 356 с.

31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. - 432 с.

32. Кюн О.И. Краевая задача для системы нейтральных уравнений нейтрального типа // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. М., 1975. - Вып. 64. - С. 8-11.

33. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 269 с.

34. Лукьянова Г.С. Периодические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром // Ряз. гос. рад.-техн. акад. Рязань, 2003. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.11.2003, № 1901-В2003.

35. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-510 с.

36. Магомедов А.Р. Некоторые вопросы качественного поведения решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1972. - № 3. - С. 120 -125.

37. Магомедов А.Р. Теорема существования и единственности решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1979. - № 5. - С. 116 -118.

38. Магомедов А.Р. О некоторых вопросах дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1977. - Я» 1.-С. 104-108.

39. Магомедов А.Р. Исследование решений линейных дифференциальных уравнений с максимумами» // ДАН Азерб. ССР. 1980. - Т. 36. -№1.-С. 11-14.

40. Магомедов А.Р., Рябов Ю.А. Дифференциальные уравнения с максимумами. Баку: Институт космических исследований природных ресурсов Научно-производственного объединения АН Азербайджанской ССР.- 1964.-42 с.

41. Магомедов А.Р., Рябов Ю.А. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Изв. АН Азерб. ССР. Физ.-техн. и мат. науки. 1975. -№ 2. - С. 76 -83.

42. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -532 с.

43. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979.-247 с.

44. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

45. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1950. - Вып. 5. - № 2 (36).-С. 148-154.

46. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949. - 550 с.

47. Петухов В.Р. Вопросы качественного исследования решений уравнений с «максимумами» // Изв. вузов. Математика. 1964. - № 6. -С. 116-119.

48. Плисс В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 137. - №5. - С. 1060- 1073.

49. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

50. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969.-288 с.

51. Рябов Ю.А. Метод малого параметра в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Тр. сем. по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Ун-та дружбы народов им. П.Лумумбы. 1962. - № 1. - С. 103-113.

52. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. - Т. 133. - № 2. - С. 288-292.

53. Рябов Ю.А., Магомедов А.Р. О периодических решениях нелинейных дифференциальных уравнений с максимумами» // Мат. физика АН УССР. 1978. - № 23. - С. 3 -9.

54. Симонов П.М., Метод элементарных моделей в динамических системах с запаздыванием // Док. диссертация. 2002.

55. Теняев В.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. -№ 4. - С. 103-107.

56. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19.-№4.-С. 597-603.

57. Терехин М.Т. О существовании неподвижной точки одного нелинейного оператора // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20. - № 9. - С. 1561-1565.

58. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 10 (449).-С. 37-42.

59. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. 1997. - Т. 49. - № 6. - С. 799-805.

60. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

61. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.-Киев, 1981.-432 с.

62. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. - Т. 2. - 608 с.

63. Фодчук В.И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Укр. мат. журн. 1962. - Т. 14. - № 4. - С. 435-440.

64. Фодчук В.И. К вопросу обоснования принципа усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Коп-ferenz uber nictlineare Schwingungen, Akademi Verlag. - Berlin, 1965.- C. 45-50.

65. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. - T. 7. -№ l.-C. 81-89.

66. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR.- 1959. T. 4. - № 3. - C. 467-483.

67. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР. Киев, 1961. - № 2. - С. 394-408.

68. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. 1964. - T. 9. - № 7. - C. 667-675.

69. Халанай А. Периодические и почти периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math, pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 2. - C. 285-292.

70. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 4. c. 569-573.

71. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем (Под ред. Рубаника В.П.). М.: Мир, 1971.-313 с.

72. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

73. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984.-421 с.

74. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Метод линеаризации нелинейных систем дифференциальных уравнений // Нелинейный динамический анализ. Материалы II Международного конгресса. М.: Изд-во МАИ, 2002.-С. 204.

75. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. - 128 с.

76. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. -М.: Гостехиздат, 1955. 300 с.

77. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Наука, 1971.-296 с.

78. Gozalez P., Pinto М. Asymptotic equilibrium for certain type of differential equation with maximum. // J. Math. Anal. Appl. 2002. - № 1. - P. 9 -19.

79. Gozalez P., Pinto M. Stability properties of the asolutions of the nonlinear functional differential systems. // J. Math. Anal. Appl. 1994. - № 2. -P. 562-573.

80. Kaucher E.W., Miranker W.L. Self-validating numerics for function space problems. New York: Academic Press, 1984.

81. Kaucher E.W., Miranker W.L. Validating computation in a function space // Reability in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 403-425.

82. Moore R.E. Shen Zuhe interval methods for operator equations // Reability in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 379-389.

83. Plum M. Computer-assisted existence proofs for two-point boundary value problems // Computing. Springer-Verlag. -1991.

84. Stepanov E., Vavilov S.A. Bifurcation of nontrivial solutions for systems with «maxima»

85. Voulov H.D., Bainov D.D. On the asymptotic stability of differential equations with «maxima» // Tomo XL. Palermo:Rend. Circ. Mat., 1991. -Serie II.-P. 385-420.

86. Кирюшкин В.В. Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2005. №9. - С. 11-18.

87. Кирюшкин В.В. О представлении решения системы дифференциальных уравнений с максимумами // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения, 2005. №9. - С. 19-23.

88. Кирюшкин В.В. Системы алгебраических уравнений специального вида // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. - 2005. - С. 135-139.

89. Кирюшкин В.В. О непрерывной дифференцируемости функцииmax v(r,/?) по параметру // Известия Тульского Государственного «0,0

90. Университета. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 40-45.