Двухточечная краевая периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

Свирилина Татьяна Викторовна

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ПЕРМЬ 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного университета им. С.А. Есенина

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Терехин Михаил Тихонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Симонов Петр Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Усачев Юрий Владимирович

Ведущая организация:

Тульский государственный университет

Защита состоится "25" апреля 2006 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Пермского государственного технического университета

Автореферат разослан "{О " марта 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

В.А. Соколов

T7W

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В данной работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящая от параметра. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Н.В. Азбелев, А.Д. Мышкис, П.М. Симонов, Л.Ю. Эльсгольц, В.П. Рубаник, С.Б. Норкин, Ю.А. Митропольский и многие другие. Вопросам существования периодических решений, разрешимости двухточечных краевых периодических задач систем с отклонением посвящены работы А. Халаная, Г.А. Каменского, А.Н. Румянцева, Ю.А. Рябова и других, в том числе зарубежных математиков.

Процессы, происходящие в динамических системах с запаздыванием, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, которые, как правило, являются нелинейными. Проблема исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Общего подхода к решению этой проблемы не существует. Попытки приспособить, например, классические приемы теории устойчивости для изучения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не всегда достигали цепи. Несмотря на значительные успехи, не полностью изучен вопрос, связанный с разрешимостью двухточечных краевых периодических задач систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, имеющим произвольную структуру. Поэтому весьма актуальны задачи поиска необходимых и достаточных условий существования решений двухточечных краевых периодических задач указанных систем.

Цель работы состоит в получении условий существования ненулевых решений в достаточно малюй окрестности нулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида

x{t) = A{t)x(t) + B(t,X)x(h(t)) + f(t,x(t)MKt)),X), (0.1)

в котором A(t), B{t,A.) - непрерывные (ихя)-матрицы, f(t,x,y,A) - n-мерная вектор-функция, h(t) - отклонение.

Методика исследования. Проблема существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. С этой целью, конечномерное векторное пространство разбивается на прямую сумму трех подпространств с помощью собственных элементов вспомогательного линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов. Исследо-

i рос. национальная)

г библиотека i

| _

вание операторного уравнения проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Научная новизна. В диссертации найдены новые необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы при исследовании конкретных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, являющихся моделями реальных процессов, протекающих в природе и социуме.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Структура решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

2. Разбиение конечномерного векторного пространства на прямую сумму подпространств. Сведение вопроса о существовании ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) к проблеме разрешимости операторного уравнения.

3. Необходимые и достаточные условия существования ненулевых решений операторных уравнений.

4. Решение двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) методом линейного преобразования.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" в Казани, на Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов "Проблемы и перспективы российских реформ" в Рязанском государственном педагогическом университете им. С.А. Есенина, на международных научных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" в Туле, на X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на научной конференции "Герценовские чтения - 2005" в Санкт-Петербурге, на X междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир" в Нижний Новгороде, на IV Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2005" в Казани.

Публикации. Основные результаты работы отражены в семнадцати публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 109 наименований. Общий объем диссертации - 125 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, краткое описание методики исследования и содержания работы.

В главе 1 исследуется структура решений системы дифференциальных уравнений с отклонением, содержащих параметр.

§ 1 главы 1 содержит основные определения и постановку задачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

x(t) = F{t,x(t),x{h(t)U), (1.1)

где х е D(S0) = {дг: х е ^ S0}> параметр Ае А(д0) = {Л: Ае Е„,\А\< <У0}, S0 -некоторое число, 80 >0, F(t,x,y,A) - непрерывная по совокупности всех переменных на множестве IV(S0) = [0,®] х D(S0)х D(S0)х Л(<50) »-мерная вектор-функция, F(t,0,0,A) = 0, h(l) - функция, определенная и непрерывная на сегменте [0,ю]. Если h(t) < 0, то x(h(t)) = (jj(t), при /', удовлетворяющем равенству h(t) = 0, <?(/*) = *(0). Если h(t)>m, то x(h(t)) = ¡/7(t), при t , удовлетворяющем равенству h(t) = со, х(со), где (p{t), W(0 - некоторые вектор-функции, оп-

ределенные и непрерывные на сегменте [0,а>], |^>(/)|<<50, < <50 при любом /е[0,а].

Введем обозначения: |ы| = тах|м,|}, ||дг(-))|( = sup|x(s)|, ЦА'(-))! = sup|A4s)||,

vctO,/] *е{0,1]

¡-^(s)! = тах|Х(.5)и|, где и - п -мерный вектор, jc(i) - и-мерная вектор-функция,

- матрица, зависящая от s, (a-b) - скалярное произведение векторов а и Ь.

Определение 1.1. Вектор-функцию x = x(t), определенную и непрерывную на сегменте [0,т], назовем решением системы (1.1) при некотором /lo е Л(<50), если вектор-функция х = x(t) при Л = Ад и любом г е [0,«у] удовлетворяет системе (1.1) за исключением может быть конечного числа точек.

Решение системы (1.1) x = x(t) с начальным условием л(0) = а и такое, что х(() е D(S0) для любых / € [0,ео], Л в A(S0), будем обозначать х = x(t,a, Л).

Определение 1.2. Будем говорить, что функция h(l) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,ео], если существуют промежутки f'n.'i2Ь • ••> ['„i.'rt2] и [tp-\tp-2] такие, что при любом /е[/,„/,2]

h(t) й 0, при любом / е [f,1j2] h(l) > со, / = 1, р,, j = 1, р2.

Двухточечная краевая периодическая задача системы дифференциальных уравнений (1.1) заключается в нахождении начального значения ¿re D(S0) и па-

раметра X еЛ(<50) таких, что система (1.1) при Л = Л имеет ненулевое решение хи,а,л), определенное на сегменте [0,й>] и удовлетворяющее краевым условиям х(о,а,Х)= х{рз,а,л).

Ставится задача - найти условия существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения.

В § 2 главы 1 доказывается нелокальная теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных и параметра решения системы (1.1), принадлежащего окрестности некоторого известного решения.

Теорема 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) вектор-функция F(t,x,y,A~) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К > 0 по переменным х, у на множестве fV(S0):

при любых Л,,

2) функция h{t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0 ,а],

3) вектор-функции 1р{1), ц/{!) определены и непрерывны на сегменте [0,й>], при любом t € {t е : h(t) = 0} <p{t) = a, S S0, \tj/{t^ < S0,

4) система (1.1) при Я=0 имеет определенное на сегменте [О,со] решение х = i//(t) такое, что iy(h(t)) = <p(t) при h{t)< 0, iy(h(t)) = W(t) при h{t)>0, и

Тогда существует 5 > 0, что для любой точки (а,Л), удовлетворяющей неравенствам \а-ц/{0^<5, ¡Я| < S система (1.1) имеет единственное решение х = и(/,а,Л) с начальным условием и(0,а,Л) = а, определенное, непрерывное на множестве {(t,a,A): t е [0,a>],|ar - ^(0)| < S,\A\ < б}, и такое, что u(h(t),a,A) = p(t) при h(t) < 0, u(h(t),a,A) = Jj7(t) при h(t) >®,и \u(t,a,A)\ <

Следствие 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) вектор-функция F(t,x,y,A) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица с постоянной К > 0 по переменным х, у на множестве Щ<50),

2) функция h(t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,а],

3) система (1.1) имеет решение (¿/(/,0,0) такое, что при любом t е [0,®], при котором А(/)е(0,ю), iy(t,0,0) = 0, i//(h(t),0,0) = а при h(t)< 0, tf/(h(t),0,0) = а при h(t)>co.

Тогда существует S > О, что для любой точки (а,Л), удовлетворяющей неравенствам |аг| < <5, |А|<<5, система (1.1) имеет единственное решение х = u(t,a,A) с начальным условием и(0,а,А) -а, определенное и непрерывное на множестве {(/,аг,А):/е[0,й>],|аг|<£,|Л|<<5} такое, что u(h(t),a,A) = а при h(t)<0, u(h(t),a,A) = a при h(t)>a>, и \иЦ,а,Ц<50.

Замечание 1.1. Пусть выполнены условия следствия 1.1. Тогда Нти(/,а,А) = 0 и lim u(h(t),a,A) = Q равномерно относительно

а-*0 а-*О

(/,Л)е[0,®]хЛ(<У).

В § 3 главы 1 доказываются теоремы о структуре решения системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида

x(t) = A{t)x(t)+ B(t,A)x(h(t)) + f(t,x(t),x(h(t)),A), (1.3)

где xeD(S0), параметр А е A(S0), A(t), B(t,A) - непрерывные соответственно на множествах [0,о>] и [0,<у]хЛ(<У0) (их и)-матрицы, f(t,x,y,A) - непрерывная на множестве W(S0) п-мерная вектор-функция, h(t) - функция, определенная на сегменте [0,со]. Если й(/)£0, то x{h(t)) = при /*, удовлетворяющем равенству А(/) = 0, ¡p(t')= х(0). Если h{t)>a, то x{h(t)) = при t , удовлетворяющем равенству h(t)-a>, х(а>), вектор-функции <p(t), ц/{!) определены и непрерывны на сегменте [0,0], \(pU)\ < S0, \W(t)\ ^ S0 при любом / е [0,а].

Теорема 1.2. Пусть для системы (1.3) выполнены следующие условия:

Условие А: AI) |Л(-)|ва> <1 или А2) lim^^p——^ = 0 равномерно относительно (t,y, Д)е [0, ü>]xD(<?0)xA(<?0), ß(t,A) = 0 на множестве [0,л>]х Л(<?0),

1) lim B(t,A) = 0 равномерно относительно t е [0,а>],

2) функция h(t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,а],

3) /(/,ОДЛ)еО, = О равномерно относительно

1-Я |z|

(/,Я)е[0,ö]хЛ(<50), где z = (x,y),

4) на множестве W(S0) вектор-функция f{t,x,y,A) представима равенством f(t,x,y,A)= Fl(t,x,y,A)x+ F2(t,x,y,A)y, где f](l,x,y,A), F2(t,x,y,A) - непрерывные на W(S„) (яхи)-матрицы, limF,(t,x,y,A) = 0 и limF-,(t,x,y,A) = 0 равномерно относительно А е Л(<50),

5) при любом t е [0,ю] = WU) = а.

Тогда решение x(t,a,A), х(0,а,А) = а, системы (1.3) представимо в виде

где X(t) - фундаментальная матрица решений системы х = A(t)x, у = (а, X).

Теорема 1.3. Пусть для системы (1.3) выполнены следующие условия:

Условие А: А1) ||Д-)|шй><1 или А2) =0 равномерно относи-

тельно (t, у, А) е [0, ю] х D(S0) х А(50), В(1,Л) = 0 на множестве [0,й>]х Л(<?0),

1) lim B(t,A) = 0 равномерно относительно t е [0,<э],

Х-*0

2) функция h(t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,<о],

3) /(/Д0,Д)-0, вектор-функция f(t,x,y,A) удовлетворяет условию Липшица по переменным х, у с постоянной К >0 на множестве W(S0).

Тогда решение системы (1.3) имеет вид

х((,а,Л) = Ф(г,А)а + <p(t,a,A),

где

-HJO

Ф(1,Л) = £ФГ(/,Л) - непрерывная (ях и)- матрица,

г=0

Ф0(и)=т,

Фг(/,Л) = X{t) ¡Х-1 (д)В(д, Л)ФГ] (А(^), A)dg, (г = 1,2,...), о

+00

<p(t,a,A) = - непрерывная и-мерная вектор-функция,

/■=0

/

?„(*,<*,Л) = J^ (q)f{g, Я), *(*($■), ar, A), A)dq, о

о

X(f) - фундаментальная матрица решений системы х =

Теорема 1.5. Если в системе (1.3) выполнены следующие условия:

Условие А: А1) |Л(-)||щгу < 1 или А2) lim^^j^—= 0 равномерно относительно (/, у, Л) е [0,ю] х D(S0) х Л(<?0), В(1,Л) = 0 на множестве [0,й>]х А(<50),

1) B(t,A) = #(/)(/,Л) + о|л|'j, B(/)(f,A) - матрица, элементы которой формы порядка / по Л,

2) f(t,x,y,X)=fW{i,s) + o\s\p\ а = {х,у,Л), fW(f,s) - вектор-форма порядка р ПО S,

3) вектор-функция f(t,x,y,A) удовлетворяет на множестве fV(ô0) условию Липшица по переменным х, у с постоянной К (г) > 0, 0 <t<S0 - некоторое

г п число, lim-г = О,

г-*0 хр

4) функция h{t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,<у],

то решение х = x(t,a,A) системы (1.3) представимо в виде x(t,a, А) = + Ф(Г, А))а + ç>(t,a,A),

где

Ф(Г, А) = Х(() ¡X (ç)BU) (ç, A)X(h(ç))dç + о{а |' ), о

9(1,а,Л) = X(t)\X'\ç)f{p\ç,x(ç,aA\x(h(ç),a,AU)dç+o\r\p\ у = (а,А), о

и

\v(ty,A)-ç(t,a\A)\<K(T)mM\x(t,a\A)-x(t,a2,A][, \x(h{t),cc\A)-x{h(t),a2для любых а\а2 е D(S0).

При I -со получим

х(а>,а,А) = {Х(а) + B(A))z + F (а, А) + о|я|' )х + о| у\"), где В (А) - матрица, элементы которой формы порядка / по A, F(а, А) - вектор-форма порядка р по у, у = (а, А).

Теорема 1.7. Пусть в системе (1.3) вектор-функция f(t,x,y,A) удовлетворяет условию Липшица по переменным х, у с постоянной К > 0, на множестве W(S0), функция h(t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [О,©], |й(/)|</я/, т> 0 - некоторая постоянная, А(0) = 0, тогда вектор-функции х(t,a,A), x(h(t),a,A) удовлетворяют условию Липшица по переменной а.

Одновременно с исследованием структуры решений системы (1.3) рассматривается вопрос о структуре решений и системы дифференциальных уравнений с отклонением вида

m = A(t, A)x(t) + B(i, Ä)x(h(l)) + f{t,x(t\x(m\ л), (1.7)

в котором A(t,A) = A(l) + А(/,А), A(t), A(r,A) - непрерывные соответственно на множествах [0,ео] и [0,ü>]xA(Jo) (их и)-матрицы.

В главе 2 находятся условия существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.

В § 1 главы 2 двухточечная краевая периодическая задача решается методом разбиения пространства на прямую сумму подпространств.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

x(t) = A(t)x(t) + B(t, Л)х(И(1)) + f(t, x(t), x(h(t)), Л), (2.1)

в которой Л) = й(/)(/,Л) +f{t,x,y,X) = f(p\t,s) + o\^[p), s = (x,y,A), B(l)(t,A) - матрица, элементы которой формы порядка / по Я, fip)(t,s) - вектор-форма порядка р по s, вектор-функция f(t,x, у, Л) удовлетворяет на множестве W(S0) условию Липшица по переменным х, у, функция h{t) допускает только конечное число выходов за пределы сегмента [0,о]. Кроме того, выполнено условие А.

Из условия х(а>) = х(0) = а получим операторное уравнение

(Х(а>) -Е+ В(Л))а + F (а, Л) + о\л\ )х + о\у\р )= 0, (2.2)

где Е - единичная матрица соответствующего порядка.

Обозначим В = Х(а>) - Е.

Теорема 2.1. Если detS * 0, то уравнение (2.2) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности точки {а, Л) = (0,0), а система дифференциальных уравнений (2.1) не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Поэтому далее предполагаем, что detВ = 0. Без ограничения общности будем считать, что матрица В имеет жорданову нормальную форму. Все пространство Е„ представим в виде прямой суммы: Еп = Е0 © Е Ф Е, где подпространство Е0 - инвариантно относительно преобразования В, Е = ker В, любой ненулевой элемент у е Е удовлетворяет условию у~ё Е0® Е, Пусть пространство Е содержит к линейно независимых векторов huh2,...,hk, составляющих базис пространства Е, векторы g,-базис пространства Е. Поскольку матрица В имеет жорданову нормальную форму, то векторы h^,h2,...,hk, gl,g2,...,gq попарно ортогональны и ортогональны пространству Е0.

Введем линейные функционалы

ç,(а) = (<*•/»,), i = l,k, <jj(a) = (a-gj), j-\,q.

Будем полагать, что базисные векторы нормированы.

Обозначим левую часть операторного уравнения (2.2) через F(a,X). Тогда уравнение (2.2) примет вид

F(a,A) = 0. (2.4)

Любой элемент as Е„ можно представить в виде

а = Por++ ,

i

где Р - оператор ортогонального проектирования на инвариантное подпространство Е0. Можно убедиться, что равенство ВРа = РВа выполняется для любого элемента а е Е0, ЦрЦ = 1.

Тогда задача определения условий существования элемента ае Еп, удовлетворяющего равенству F(a,A) = 0, равносильна задаче определения условий существования элемента а е Еп, удовлетворяющего равенствам

P(F(a,A)) = 0, (2.5)

g,(F(a,A)) = 0, (2.6)

<r,(F(a,¿)) = 0, (2.7)

при любых i = \,к, j = 1,<7.

Теорема 2.2. Оператор 5 в инвариантном подпространстве Е0 пространства Еп имеет обратный оператор В'\ который является ограниченным и линейным.

Пусть Г^&) = ка,Л):аеЕ„,\а\<3,ЛеЕт,\Л\<9}, 0<S<So - некоторое число.

Теорема 2.3. Во множестве Yx (9) справедливы неравенства

<И'МИ0

<qW-а21,

(2.8)

где <70 >0 - некоторое число, Нт= 0, у' у2 =(а2,д).

Решение уравнения (2.4) будем искать в виде а = + + , где

и =(и^...,ик), у = ) - постоянные искомые векторы. Тогда уравнение (2.5)

примет вид

\

Pa + j^u.h.+tvjgj +о(//,Г)=0,

/=i i где цх = (i/,v, Л). Отсюда

Ра = -В~

^(л/лг + ХяД+ЗХ*,

Ч '=• ))

- Р(Р(а,А))+р(о{я\')х

/=1 м )) Пусть у = /'«.Оператор 5(и,у,Д) определим равенством

/> . \

ад у+1>л + р(/-(йгд))+/>(0(л|')х

¡=1 .И ^

Б{и,\,Л)у = -В V '=' >1

Введем множества А,(.9) = {и :|н| < з), А2(5) = {у :|у| < ¿»}, Л(5) = {А:Щ < 5},

Теорема 2.4. Существует число 9Х> О такое, что при любых .9 е (0,], и е Л, (.9), уеА2(19), Я е Л(.9) оператор 5(м,у,Д) на множестве Т{9) имеет единственную неподвижную точку.

Теорема 2.5. Неподвижная точка оператора 5(м,у,Л) удовлетворяет условию Липшица по переменной Д =(и,у).

Перейдем к рассмотрению системы уравнений (2.6)

Учитывая, что а = Ра + ^иД + ^|vJgJ, получим

(-1 М

ВРа + + + В(А)Ра + В(Я) ¿кД

;=1 ^/=1 7=1

\ра + X », А, + X ^ ]] + (/•■(«, А))+ <г, (р^' ))= 0, I V м )=1 ;;

/=и•

Заметим, что ?,(&><*) = О,

= 0,

V 7=1 / У=1

{в(А)Ра)= 4^1'"), где Л = (и,V,Л), / > / +1,

я,

В(Л)

1«л+tvjgj = IX1 (¿к ,

J=1 )) г=1 j-\

lim<£(4)»0, Шпс"(Я) = 0,

Я,

о{Арсс + £>Д + = о(я|')к, где Д = («,v),

l \ '=" 1=1 /у

(F(ar,Я)) = Си,)+), где п)С",) — форма порядка р по рх = (и,у,Я),

Пусть р = min{р,1} ■ Введем следующие обозначения: Мп = (с01,с'), где С01 - (*х*)-кулевая матрица, С1 =(c[j)-(kxq)-матрица, /, е{к,к- 1,-4},

Щ (Я) = (С11 (Я), С02), где С1 1 (Я) = (с''(Я)) ~(kxk ^матрица, С02 - (kxq)-нулевая матрица, е{£,£-1,...,1},

М12(Я) = (С03,С,2(Я)); где С03 - {кхк)-нулевая матрица, С|2(Я) = (с,,2(Я)) -(kxq )-матрица, ij е{к,к-1,...,1}, М11(Я) = Л711(А) + М12(Я),

Л^,,(ü,) - вектор-форма порядка р по //, = (и,у,Я), состоящая из форм И/, (А). »1

Тогда система (2.6) равносильна следующей системе

Mußl+Mu(A)ßi+Nu{ßl)+o\^l)ßx+o\nl\p)=Q. (2.9)

Аналогичные рассуждения можно провести и для системы (2.7), в этом случае получим систему

Muß, + М12(Я)Д + NM+ ф|')/?, + 0(//1|")= 0. (2.10)

Учитывая равенства (2.9) и (2.10), получим операторное уравнение

М1А+А71(Я)А+^10/1)+о(Я|')51+О^1|/,)=0, (2.11)

где матрицы М1 и М,(Я) - квадратные матрицы порядка k + q и lim Л/, (Я) = 0,

Д-»0

^(//j) - вектор-форма порядка р по //,, lim ^'^'- = 0, lim

мерно относительно Я е Л(5) (5 е (0,5, ]).

0 равно-

А-о Щ ■ А-»о Ш

Теорема 2.6. Если (1е1М, * 0, то уравнение (2.11) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности точки (и,у,Л) = (0,0,0), а система дифференциальных уравнений (2.1) не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Если же det АУ, = 0, то, применяя метод сведения задачи о разрешимости уравнения (2.11) к задаче о разрешимости операторного уравнения типа (2.2), построенного для уравнения (2.11), получим операторное уравнение

M2ß2 + M2(A)ß2 +Ni(Mi)+M% +о(^Г)=0. (2-14)

в котором матрицы М2 и М2(Л) - квадратные матрицы порядка меньшего, чем k + q, /и2 = (ß2,X), limM2(Ä) = О, N2{u2) - вектор-форма порядка р по

Д-»0

/Л = (Д,Л), lim = о, lim ^ = 0 равномерно относительно Л е А<9)

^ h А-о \ß2\ \ß2\

(5е(0„92], 9г<9,).

Если detM2 ф 0, то уравнение (2.14) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Если же detМ2 = 0, то, снова применяем метод сведения задачи о разрешимости уравнения (2.14) к задаче о разрешимости операторного уравнения типа (2.2), построенного для уравнения (2.14), и так далее. Так как число уравнений в системе (2.11) конечно, то существует число s > О такое, что будет получено операторное уравнение

л/,А + А7,(Л)А + ЛГ, 00+4*1'+4<>Г)=0> (2-15)

в котором либо detMs*0, либо Л/, - нулевая матрица, lim-^~ = 0,

\ßs\

к ,,)

jirn^ ^ — 0 равномерно относительно Л е К(9) (9 е (0,5,]), = (ßs,X).

Если det А/, * 0, то уравнение (2.15) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Если М s - нулевая матрица, то уравнение (2.15) примет вид

где МАЛ) - квадратная матрица некоторого порядка г, lim MS(A) = 0, ) -

Л

вектор-форма порядка р по .

В частном случае может оказаться, что система (2.16) состоит только из одного уравнения.

Таким образом, проблема существования решения двухточечной краевой периодической задачи системы (2.1) свелась к проблеме разрешимости операторного уравнения (2.16).

В § 2 главы 2 находятся условия существования ненулевых решений операторного уравнения (2.16).

1. Пусть матрица MS(X) - линейная по А. Рассмотрим следующие случаи: a) dimA = г; б) dim А > г.

Рассмотрим первый случай: a) dimЛ = г.

В этом случае вектор-функцию Ms(X)fis можно представить в виде М5(A)/3S= Ms'(Д )А. Введем замену /?3 = ре, e = (ei,e2,...,er). Тогда уравнение (2.16) можно записать

Ms\e)A + + 0(А|'> + Мо, (2.17)

где Д, = (ре,Л).

Матрицу Мs (е) представим в виде

( г г N

_, '=i

Ms{e)= .........

Г Г

detM/(e) = X'«^2, ле*е?..*+'

где e = (Cj,e2,...,er), и, - целое неотрицательное число, и, +и2 +...+ лг =г, т. „ „ - постоянная величина.

Лемма 2.2. Пусть числа nvn2,...,nr такие, что т л ф 0. Тогда существует вектор е , |е*| = 1, удовлетворяющий неравенству detЛ-//(<?')* 0.

Теорема 2.9. Пусть вектор е~е , |е*| = 1, такой, что матрица Ms (е ) - неособенная, тогда уравнение (2.17) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Рассмотрим второй случай: б) dim А > г.

В этом случае вектор-функцию Ms{X)ps можно представить в виде МДА)& =M,xiJ3s)X + Ms2{p„x), где А =(Я1,...,ЛГ), А =(А,+1,...,Ат). Введем замену Ps = ре, е = (е1,е2,...,ег). Тогда уравнение (2.16) можно записать

М»А

(2.18)

где ns =(ре,Л).

Теорема 2.10. Пусть вектор е = е', |е*| = 1, такой, что матрица - не-

особенная, тогда уравнение (2.18) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности нулевого решения.

2. Пусть в уравнении (2.16) Ms(X)ßs + AfiC"I)= N{ps)+o\jjs\p), где р = тт{р,р}, р - порядок вектор-функции Ms(X)ßs по =(ßs,X), N{ps) -вектор-форма порядка р по вектор /is - г +/и-мерный.

Операторное уравнение (2.16) примет вид

*00+о|///)=0. (2.19)

Введем замену = (0г,Л)=ре, e = (et,e2,...,er+m). Тогда последнее уравнение можно записать

N{e) + 0(p\e|)=0, (2.20)

где lim о(р|е|)= 0 равномерно относительно е (je| < Q,Q > l). р—*0

Теорема 2.11. Если существует вектор е0, такой, что N(e0)* 0, то в любой окрестности точки jus =0 существует множество, в котором уравнение (2.19) не имеет решений.

Теорема 2.12. Если при любом векторе е, |е| = 1, N(e)*0, то уравнение (2.19) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности нулевого.

Предположим, что существует вектор е = {е',е2',...,ег+т'), ¡е' |=1, такой, что jv(e*) = 0.

Значению е дадим приращение tse - (Де,,...,Aer+m), которое выберем таким образом, чтобы |Де| < <т , где а > 0. Применяя формулу Тейлора, уравнение (2.20) запишем так

л(/)дг + £с,(е\Де)+о(рН)=0, (2-21)

/=2

где я(е') - значение матрицы Якоби вектор-функции N(e) при е = е , С,{е*, Де) - вектор-форма /-го порядка относительно Де.

Теорема 2.13. Если rang/?(e')= г, то уравнение (2.21) имеет решение, и уравнение (2.19) имеет ненулевое решение.

I. Пусть в уравнении (2.21) rangle') = d, 0<d<r, Де= pxv, р, >0. Тогда элементарными преобразованиями уравнение (2.21) можно свести к системе

jp, Z и+с{рх |и|)+ о(р|е|) = 0, (2 23)

в которой L - известная dx(r + m)-матрица, Ср(е',и) - вектор-форма наименьшего порядка р, 2< р < р, относительно и, 0, НтО(р|е|)= О равномерно относительно е (j<?| < Q,Q > l). Вектор и будем рассматривать удовлетворяющим неравенству |и| < А, к > 1 - некоторое число. Тогда lim -q и

■ "(WH) t ,, -1

im——г-1—/ = 0 равномерно относительно о на множестве р:|и| <к]. Пусть

lim л-»о р f

L (е*, и) = colot^L v,Cp (е*, и)), o(pl, /ф|) = colon

(оЩ оШ)

Р\ ' РГ

Заметим, что

о(АН) Нр) , ч /Л

- = —= где шп<др,)=0 равномерно относительно о на

а а' л~>0

множестве (и: |и| < Тогда систему (2.23) можно записать в виде

1{е\о)+0(р,)+д{ри(\<§= 0.

Теорема 2.14. Если для любого и, удовлетворяющего равенству |о| = 1,

0, то в любой окрестности точки = 0 имеется множество, в котором нет решений уравнения (2.19).

Теорема 2.15. Если существует вектор о0 такой, что 0, то в лю-

бой окрестности точки =0 существует множество, в котором уравнение (2.19) не имеет решений.

Таким образом, необходимым условием существования решения операторного уравнения (2.19) является существование вектора о, Щ = 1, при котором

Г(е*,и)=0.

Пусть существует вектор о*, |и*| = 1, такой, что 1(е*,и*)= 0. Значению и' дадим приращение Ли, которое выберем таким образом, чтобы |Ди| < <т, а > 0.

Тогда, разлагая векгор-функцию ¿(е*,и) в ряд Тейлора в окрестности точки и*, систему (2.23) приведем к виду

~ Рх , Л (2.24)

1=2 Р\

где о(е',и) - значение матрицы Якоби вектор-функции Ср(е*,и) в точке и = и, Ql(f',V ,Ди) - вектор-форма /-го порядка относительно Ли.

Пусть №(е\и')=

( 1 '

Теорема 2.16. Если гагч№(е',и*)= г, то система (2.24) имеет решение, и уравнение (2.19) имеет ненулевое решение.

Если 0 < rangfv{e* ,и*)< г, то проводим рассуждения, аналогичные пункту

I. Продолжая этот процесс далее, либо получим на некотором шаге теоремы, аналогичные теоремам 2.14, 2.15, 2.16, либо этот процесс будет бесконечен. Если rangW^f',и')= О, то проводим рассуждения, аналогичные следующему пункту

II.

II. Рассмотрим случай, когда в уравнении (2.21) rangR(e')=0. Уравнение (2.21) примет вид

¿С^'.Д^+фНЬо. (2.25)

1=2

Пусть С(е*,Ле) (2 < рг< р)- вектор-форма относительно Ле наименьшего порядка р2, не равная тождественно нулю. Тогда уравнение (2.25) запишем так Сй {е\Ле)+ о\Ае\р>)+ о(р|е|)= 0. (2.26)

Теорема 2.17. Если для любого вектора Де, |Де|=1, С (е\ Де)* 0, то в любой окрестности точки = 0 имеется множество, в котором нет решений уравнения (2.19).

Теорема 2.18. Если существует вектор Де0 такой, что Ср (е',Де0)* 0, то в любой окрестности точки = 0 существует множество, в котором уравнение (2.19) не имеет решений.

Пусть существует вектор Ае = и, |«*| = 1,такой, что Ср2(е',&е)=0, и пусть

Л/(е',и*) - значение матрицы Якоби вектор-функции С,^ (е*, Де) в точке Ае = и .

Теорема 2.19. Если гагщм{р',и')= г, то уравнение (2.26) имеет решение, и уравнение (2.19) имеет ненулевое решение.

Если же 0<rangM\f',u*)<r, то исследование проблемы существования решения уравнения (2.26) и, следовательно, проблемы существования ненулевого решения уравнения (2.19) проводится методом, изложенным в этом параграфе.

В главе 3 рассматриваются случай, когда решение двухточечной краевой периодической задачи зависит от линейной части, и приложения теории, разработанной в предыдущих главах.

В § 1 главы 3 для системы (1.3) получены достаточные условия существования и отсутствия ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения методом линейного преобразования.

Рассмотрим операторное уравнение (2.2)

{Х(0) -Е+ 5(A))or + F (а, Л) + о\л\' )* + <\у\р)=0.

Будем предполагать, что rang{X(a)-É)-d<п, m>d. Пусть а\ а2, ..., a"~ä - линейно независимые решения системы (Х(а>) - Е)а = 0. Составим их(п-d)-матрицу L = (р1 ,a2,...,a"~d). С помощью замены а=1ц, р ~ (n-d)-мерный вектор, уравнение (2.2) приведем к виду

В(Л)ц +FOi, Л) + о, (л|>+ o(f I" )= 0, в котором В(Л) = В(Л)Ь, ¥(/u,A) = F(Lß,A), o,|a|')=o|a|')z,, y = (v,A) -(и + m - </)-мерный вектор.

Форму z(f) порядка / = min{/ + 1,р} по у определим равенством

+ Л),если р = 1 +1,

\В(Л)/л, если/?>/ + 1.

Тогда предыдущее уравнение примет вид

z(f)=o\y|7). (3.2)

Пусть у = ре, е - (п + m -d)-мерный вектор, р = \у\>0, тогда уравнение (3.2) можно записать

z(e)=o(p\e\). (3.3)

Лемма 3.1. Пусть для любого вектора е, |е| = 1, z(e) *■ 0. Тогда уравнение (3.2) не имеет ненулевых решений в достаточно малой окрестности нуля, а система дифференциальных уравнений (1.3) не имеет ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Теорема 3.1. Если существует такой (n + m-d)-мерный вектор е , Щ = 1, что z(e) = О и rangV(è)= п, где У(е) - матрица Якоби вектор-функции z(e) в точке е = е, то уравнение (3.2) имеет ненулевое решение в достаточно малой окрестности нуля, а система дифференциальных уравнений (1.3) имеет ненулевое решение двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Пусть существует такой (п+т~-мерный вектор е , |е| = 1, что г(<?) = 0 и О<rangУ(e)=dl <п, + Рассмотрим уравнение

1=2

в котором Ае = е-е, 21{е,Ае) - вектор-форма /-го порядка относительно Ае.

Введем замену Ае = УАё, где Ае - (n + m-d-d¡)-мерный вектор, У-(n+m-d)x(n+m-d-d¡)-матрица, составленная из (n+m-d-dl) линейно независимых решений системы к(е)Де = 0. Тогда последнее уравнение примет вид

оШ-

1=2

' '' ~ ' наименьшего

Пусть ^(е,Ае) = (Ае) + о| Ае |с), Хс{^е) ~ вектор-форма

1=2

порядка с, 2 <с<1, положим Дё=рт], г\ - (и +/и-мерный вектор, ~р - ¡Дё| > 0, |т| = 1. Тогда предыдущее уравнение можно привести к виду

+ (3-4)

Р

Лемма 3.2. Пусть для любого вектора 7, |т| = 1, Хс (7) * 0. Тогда в любой окрестности точки у-О существует множество, в котором уравнение (3.2) не имеет ненулевых решений.

Теорема 3.2. Если существует такой (я + т-^-с^)-мерный вектор 7, 1^1 = 1, что ^ (77)= 0 и rangU(тj) = я, где ¿/(/7) - матрица Якоби вектор-функции хЛп) в точке 7 = 7, то в любой окрестности точки у = 0 существует множество, содержащее точку (а*,Я*), а * 0, такую, что дс = дг(/,ог*,Д*) - решение двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений

(1.3).

Если гащ11{Л)<п, то процедура получения условий существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи может быть продолжена до тех пор, пока размерность m>d + d]+... + dk (к - номер процедуры). Если m<d + d^ + ... + dk^, то далее этим методом получить условия существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи будет невозможно, и процедура остановится.

Полученные результаты применены для исследования численных примеров и следующих математических моделей: модель динамики валового внутреннего продукта, модель гликолитической системы, основанной на превращениях фос-фофруктокиназы.

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М.Т. Терехийу за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Свирилина Т.В. К вопросу о циклических изменениях в экономике // Проблемы и перспективы российских реформ. Тезисы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов (Рязань, 12-13 мая 2004 г.). - Рязань: Изд-во РГПУ, 2004. - С. 39-40.

2. Свирилина Т.В. К вопросу о структуре решений системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной научной конференции (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.). -Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2004. - Т. 25. - С. 237238.

3. Свирилина Т.В. Двухточечная задача для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов международной научной конференции (Тула, 1719 ноября 2004 г.). - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 34-35.

4. Свирилина Т.В. К вопросу об исследовании систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов международной научной конференции (Тула, 1719 ноября 2004 г.). - Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. - С. 35-36.

5. Свирилина Т.В. Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием // Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2005. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.2005, № 148 - В2005.

6. Свирилина Т.В. Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.2005, № 149 - В2005.

7. Свирилина Т.В. Исследование математической модели химического процесса в гликолизе // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Материалы научной конференции "Герценовские чтения - 2005" (Санкт-Петербург, 18-22 апреля 2005 г.). - С.-Петербург: Изд-во Библиотека Академии наук, 2005. - С. 95-98.

8. Свирилина Т.В. Математическая модель динамики валового внутреннего продукта // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании НИТ-2005. Тезисы докладов X Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 20-22 апреля 2005 г.). - Рязань: Изд-во РГРТА, 2005. - С. 21-22.

9. Свирилина Т.В. Об одной задаче системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Научный журнал. Аспирантский вестник РГПУ им. С. А. Есенина. - Рязань, 2005. - № 5. - С. 130-133.

Ю.Свирилина Т.В. Математическая модель гликолитической системы // Нелинейный мир. Тезисы докладов X междисциплинарной научной конференции (Нижний Новгород, 27 июня - 2 июля 2005 г.). - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2005. - С. 120-121.

11 .Свирилина Т.В. Теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2005. - № 9. - С. 70-75.

12.Свирилина Т.В. Исследование структуры решений системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2005. - № 9. - С. 76-82.

13.Свирилина Т.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой периодической задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2005. - № 9. - С. 83-88.

14.Свирилина Т.В. Условия разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для системы дифференциальных уравнений с отклонением в одном случае // Научный журнал. Аспирантский вестник РГУ им. С. А. Есенина. -Рязань, 2005. - № 6. - С. 112-120.

15. Свирилина Т.В. Нелинейная модель динамики валового внутреннего продукта // Известия ТулГУ. - Тула, 2005. - Вып. 1. - С. 250-260.

16.Свирилина Т.В. О разрешимости двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов международной научной конференции (Тула, 22-26 ноября 2005 г.). - Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. - С. 137-138.

17.Свирилина Т.В. Об одной модели экономического развития // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Материалы четвертой всероссийской молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения - 2005" (Казань, 16-18 декабря 2005 г.). - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2005. - Т. 31. - С. 142-143.

Свирилина Татьяна Викторовна

ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

Специальность 01 01 02 - Дифференциальные уравнения

Подписано к печати 6.03.2006. Формат бумаги 60x84 1/16. Печать ризографическая. Объем 1,0 п.л. Заказ № № Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «Интермета» 390000, г. Рязань, ул. Каляева, д.5

jo&éA-

i-5141

Введение.

Глава I. Структура решений системы дифференциальных уравнений с отклонением.

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметра.

§1.3. Исследование структуры решений.

Глава II. Двухточечная краевая периодическая задача системы дифференциальных уравнений с отклонением.

§2.1. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом разбиения пространства на прямую сумму подпространств.

§2.2. Существование ненулевых решений операторного уравнения

2.16).

Глава III. Решение двухточечной краевой периодической задачи методом линейного преобразования.

§3.1. Исследование системы (1.3) в случае, когда решение двухточечной краевой периодической задачи зависит от линейной части.

§3.2. Модель динамики валового внутреннего продукта.

§3.3. Моделирование в химических процессах.

Актуальность темы. В данной работе изучается нелинейная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящая от параметра. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в достаточно малой окрестности нулевого решения.

Впервые дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине XVIII в. (Кондорсе, 1771г.), но систематическое изучение уравнений с отклоняющимся аргументом началось лишь в XX в., особенно в конце 40-х годов, в связи с потребностями ряда прикладных наук. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом находят много приложений в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе.

Уравнения с отклоняющимся аргументом описывают многие процессы с последействием, такие уравнения появляются, например, всякий раз, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент, но и в некоторый момент, предшествующий данному.

Системы с последействием и запаздывающими связями, динамические процессы в которых описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, встречаются даже в таких науках, как биология, медицина (процессы размножения, распространения эпидемий и др.), экономическая статистика [78, 80-82, 84, 89].

При исследовании динамических систем с последействием и запаздывающими связями часто приходится встречаться с различными колебательными процессами [7, 9, 12]. Колебательные процессы в системах с запаздыванием, так же как и в обыкновенных динамических системах, могут быть в одних случаях полезными, необходимыми, в других же случаях -вредными, нежелательными. И в тех и в других случаях необходимо уметь устанавливать наличие или отсутствие колебаний, а если они есть - исследовать их характер и интенсивность. Поэтому исследованию колебательных процессов придается особенно важное значение во всех прикладных науках.

Среди дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом выделяют уравнения с сосредоточенным x(t) = ХяДО^-МОНДО, к > 1 1 и распределенным

S(t) x(t) = jp(t, ju)x(t + fit), 6{t) > 0 0 запаздыванием.

Естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом являются уравнения с вольтерровыми операторами или уравнения с последействием. Уравнения с последействием оказываются иногда очень близкими по своим свойствам к уравнениям дифференциальным. Это обстоятельство вызвало специальное направление в изучении уравнений с запаздывающим аргументом, посвященное поискам аналогий с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Процессы, происходящие в динамических системах с запаздыванием, в большинстве случаев описываются дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, которые, как правило, являются нелинейными. Проблема исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Общего подхода к решению этой проблемы не существует. Концепция дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом мало изменилась со времен Эйлера, и укоренившиеся здесь традиции стали мешать исследованиям. Попытки приспособить, например, классические приемы теории устойчивости для изучения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом не всегда достигали цели. На основании сказанного видно, что разработка теории систем нелинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в частности теории колебаний нелинейных систем с отклонением, имеет большое теоретическое и практическое значе-1 ние.

Цель работы состоит в получении условий существования ненулевых решений в достаточно малой окрестности нулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы дифференциальных урав-. нений с отклоняющимся аргументом вида x(t) = A{t)x{t) + B{t,X)x(h{t)) + f{t,x{t),x{h{t)),X), (0.1) в котором A(t), B(t,A) - непрерывные (пхп)-матрицы, f(t,x,y,A) - п— мерная вектор-функция, h{t) - отклонение.

Методика исследования. Проблема существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) сводится к проблеме разрешимости операторного уравнения. С этой целью, конечномерное векторное пространство разбивается на прямую сумму трех подпространств с помощью собственных элементов вспомогательного линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению, и некоторых базисных векторов. Исследование операторного уравнения проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Фундаментальные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом были впервые сформулированы А.Д. Мышкисом в работе "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом" (1949-1950). Основополагающий вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом внесли Н.В. Аз-белев [1-6], Л.Ю. Эльсгольц [74-76], В.П. Рубаник [48], Ю.А. Митрополь-ский [40] и многие другие.

Основными методами исследования большинства работ по изучению систем с отклоняющимся аргументом [1, 11, 19-20, 31, 51-52, 54-57, 59, 6169] являются методы малого параметра и усреднения, асимптотические методы, методы функций Грина.

В указанных выше работах при помощи асимптотического метода и« метода усреднения Ю.А. Митропольского [40] построены асимптотические решения для автономных и неавтономных дифференциальных урав-, нений с запаздыванием, рассмотрены резонансные и нерезонансные случаи для неавтономных систем, предложен метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных системах с запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод усреднения, позволяющий исследовать периодические решения таких систем.

Книга Л.Ю. Эльсгольца и С. Б. Норкина [76] охватывает все разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Особое внимание уделено теории периодических решений линейных и квазилинейных уравнений, а также изложению приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

В работе Н.В. Азбелева, В.П. Максимова [3] рассмотрено функционально-дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом x(t) = f(t,x{Kt)\x(g(t)),t<=[a,b], (0.2)

S) = <Pte)> х(д) = Ц/(д), если д<а. Для уравнения (0.2) и некоторых его обобщений с помощью интегральных неравенств Вольтерра построены априорные оценки решений. На основе этих оценок сформулированы признаки разрешимости задачи Коши и задачи с краевыми условиями вида ь х(а)~ JO(s,:x:(a),:x;(s))cfc = /3. а

В книге Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной [5] рассматриваются различные типы уравнений с последействием, излагается теория устойчивости систем с последействием. Особое внимание уделено проблеме разрешимости краевых задач и применению конструктивных методов для их исследования.

Методами символического исчисления Ю.В. Малышевым [39] получено решение задачи Коши в виде бесконечного ряда для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздывающим аргументом

1г=0 и уравнений нейтрального типа j=1r=0 где функция f(t) удовлетворяет условиям оригинала. Исследование проводится при следующих допущениях: 1) тг =гт (г - целое число), 2) характеристический квазиполином имеет вид А = Y\[p-cijh), в котором D

У=1

- дифференциальный оператор, h = е rD, а - = const (среди aj могут быть равные).

В работе А.И. Домошницкого [22] рассмотрено уравнение т x(t) - g(t)x(g(t)) + £ р{ (t)x(hi (/)) = ДО ,te[a,b], i=1 x(g) = if/{g), если g<a, g(t) <t, ht{t)<t, pt>0, и некоторые его обобщения. Для исследуемых уравнений получены условия, при которых справедлива теорема Штурма о распределении нулей, и условия сохранения знака функции Грина двухточечной краевой задачи и задачи Коши.

Проблема устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом изучается в работе В.В. Малыгиной [37]. Доказана теорема об эквивалентности равномерной асимптотической устойчивости и экспоненциальной оценки функции Коши. На основе этой теоремы получены признаки устойчивости решений уравнений с переменным коэффициентом и запаздыванием. В частности рассмотрено уравнение п x(t) + Yak(t)x{t-rk(t)) = 0, t>T, к=1 х(д) = 0, если д < г, где ак, гк - непрерывные ограниченные функции.

Работа Н.В. Азбелева, П.М. Симонова [6] посвящена изучению устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом. Рассматривается скалярное уравнение с запаздывающим аргументом x(t) - p{t)x(h(t)) = r(t), t > 0, x(g) = (p(g),Qcim h(g)<0, и возможность его представления в виде уравнения

Lx = f, (0.3) где оператор L - линейный и вольтерров. Для уравнения (0.3) получены признаки D -устойчивости, т.е. однозначной разрешимости задачи Коши Lx = f, х(0) = а, в пространстве D. Для установления факта D-устойчивости использована, в частности, схема fF-метода [5].

Среди прочих методов в теории функционально-дифференциальных уравнений особое место занимает конструктивный метод [35, 50]. Для определенного класса дифференциальных систем и уравнений конструктивный метод позволяет установить корректную разрешимость так называемой главной краевой задачи, а также позволяет построить приближенные решения таких задач с гарантированными границами погрешности. Основные идеи конструктивного метода исследования содержатся в работах зарубежных авторов [85-88]. Работы [85-86] посвящены построению конструктивных методов исследования обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. В [87] рассматриваются интервальные методы анализа операторных уравнений. В работе [88] предлагаются конструктивные методы исследования разрешимости нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Конструктивный метод использует в своих исследованиях А.Н. Румянцев [49-50]. В его работе [49] объектом исследования является задача Коши для дифференциального уравнения с произвольным отклонением аргумента = x(t) + p{t)x{h(t)) = ДО, / б [0, Т], (0.4) х(д) = 0, если д£[0,Т]; х(0) = а, где р, f - суммируемые функции; h - кусочно-непрерывная функция, точки разрыва которой фиксированы, их число конечно, допускаются только разрывы первого рода; a eR. Для задачи Коши (0.4) описана конструктивная схема исследования разрешимости, включающая следующие этапы: аппроксимация исходной задачи; решение полученного интегрального уравнения и построение резольвентного оператора; построение оценок норм операторов; проверка условия разрешимости.

Большой цикл работ зарубежных авторов [77, 79, 83, 88, 90-92] посвящен проблеме разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений. В работе [92] с помощью метода нижних и верхних решений и техники монотонной итерации установлены достаточные условия для наличия минимальных и максимальных решений краевой задачи x(t) = f(t,x(t),хф-к]),Л), te[0,Т], x(-i) = д:(0) = х0 (/ = \,к), G{x{T),X) = 0, где X е R - параметр, x0 е R - постоянная, [•] - целая часть, к eN, еС([0,Г]хД3,я), GeC(RxR,R).

Для доказательства существования положительных решений краевых задач применяются метод неподвижной точки Красносельского в конусе [83, 91], метод, основанный на теореме минимизации в пространстве Соболева [90] и ряд других методов.

Проблемой существования периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается М.Т. Терехин и его ученики. В работе [54] для системы уравнений x{t) = f{t,x(t),x{t - A(t,x(t),x(t))),x(t - G{t))) (0.5) установлены существование и непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также условия существования периодического решения в предположении, что вектор-функции / и А удовлетворяют условиям Каратеодори, а вектор-функция G измерима. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. Для доказательств основных утверждений использован метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Поиску условий существования ненулевых периодических решений посвящена работа Г.С. Лукьяновой [33], в которой изучается система вида x(t) + Ax(t - f(s)) + Cx{t) + Dx(t - f(s)) = 0, (0.6) где x(t)eRm, А,С, D - (mxm)-матрицы, f(s) = Ls(E) + o^e\s)^Rm - непрерывная функция, £eR, Ls(s) - вектор-форма s-го порядка. Результаты получены путем представления решения системы (0.6) в виде тригонометрического многочлена и разбиения пространства решений на прямую сумму двух подпространств, инвариантных относительно дифференциального оператора Вх = (Е + А)х + (С + D)x.

В работе В.В. Теняева [53] рассмотрена система дифференциальных уравнений запаздывающего типа, имеющая векторный параметр и запаздывание специального вида i(0 = A(t, X)x(t) + B(t, X)T^x(t) + /(/, x(t\ TMx(t), Л), (0.7) в которой A(t,/1), B{t,/1) - непрерывные (nxri)-матрицы, f(t,x,y,X) - nмерная вектор-функция, // e {//:// e Rn,0 < //,. < 1,(/ = 1,«)}, 7'ц - оператор сдвига, /(/) = ([l-//,]/, [l-//2 ]/,., - вектор запаздывания. Для системы (0.7) получены достаточные условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи с использованием свойств нелинейных членов.

Содержание работы. В диссертации исследуется система (0.1) с целью определения условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи в достаточно малой окрестности тривиального решения. В отличие от работ [19, 31, 37] в диссертации рассматривается система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, имеющая векторный параметр и произвольное отклонение. Исследуемая система дифференциальных уравнений является нелинейной, чем отличается от линейных систем с последействием, рассмотренных в работах

2, 6, 38]. Отклонение носит такой характер, что начальные функции совпадают не с нулем [37, 49], а с начальным значением на всем начальном множестве.

Конструктивные методы, используемые авторами [24, 85-88] для исследования краевых задач, к решению поставленной проблемы неприменимы. Исследования с использованием конструктивных методов, при которых исходная задача аппроксимируется, т. е. основной промежуток разбивается на участки, на каждом из которых в соответствии с методом шагов система уравнений с отклонением аргумента заменяется системой уравнений без отклонений аргумента, являются локальными по времени. Рассматриваемая же в диссертации система имеет произвольное отклонение, т. е. в любой момент времени функция h(t) может выйти за пределы сегмента как влево, так и вправо. Поэтому применение метода шагов, как, например, в работе [24], а значит, и известных теорем существования и единственности решения основной начальной задачи, является невозможным. Доказанная в настоящей работе для системы функционально-дифференциальных уравнений теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных и параметра решения, принадлежащего окрестности некоторого известного решения, легла в основу исследований по определению условий разрешимости двухточечной краевой периодической задачи.

В работе не используется метод представления решения в виде тригонометрического многочлена [10, 33]. Предложенный в диссертации метод разрешимости операторного уравнения отличается от метода, используемого в работе [53], и заключается в представлении векторного пространства в виде прямой суммы трех подпространств, что позволяет решать более широкий спектр задач. В основе исследований лежит особым образом построенный вид решения системы (0.1), что позволило существенно привлечь свойства нелинейных частей системы для решения двухточечной краевой периодической задачи.

Диссертация состоит из введения, содержащего обоснование актуальности темы, цель работы, методику исследования, сжатый обзор результатов других авторов, краткое содержание работы, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка литературы, включающего 109 наименований.

Заключение

В работе рассматривалась система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом вида = A(t)x(t) + B{t,X)x{h{t)) + f(t,x{t),x{h{t)),X), (О Л) в котором A(t), B{t,X) - непрерывные {пхп)-матрицы, f{t,x,y,X) - 77-мерная вектор-функция, h(t) - отклонение.

Цель работы заключалась в определении условий существования ненулевых решений двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) в достаточно малой окрестности нулевого решения.

В результате исследований изучена структура решений системы (0.1). Проблема существования ненулевого решения двухточечной краевой периодической задачи системы (0.1) сведена к проблеме разрешимости операторного уравнения, в частности, к проблеме существования ненулевых решений уравнения Ms(A)j3s + N+°\lus\P)=®> в котором MS{X) - квадратная матрица некоторого порядка г, \\тМS(A) = 0,

А-+0

Ns(/js) - вектор-форма порядка р по ps = (jfs,X), вектор ps = (Д.,Л) -г + 777-мерный. Операторное уравнение исследовано с помощью разложения форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки. Рассмотрены частные случаи этого уравнения. В работе исследован случай, когда двухточечная краевая периодическая задача решается методом линейного преобразования.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

1. Азбелев Н.В. Краевая задача для одного класса квазилинейных уравнений // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. М., 1975. - Вып.64. - С. 52-54.

2. Азбелев Н.В., Березанский JI.M., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 5. - С. 745-754.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 10.-С. 1731-1747.

4. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 12. - С. 2027-2050.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.-280 с.

6. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 6. - С. 316.

7. Бенуа Е.Ю. Автоколебательные режимы в системах экстремального регулирования с запаздыванием // Ученые записи Ленинградского госпединститута им. Герцена. 1960. - Т. 218.

8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

9. Бовшеверов В.М. О некоторых колебательных задачах, приводящих к функциональным уравнениям // Журн. техн. физики. 1936. - Т. 6. - Вып. 9.

10. Ю.Богатова С.В. Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений с малым постоянным запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - № 4. - С. 14-21.

11. Бойчук А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев: Наук, думка, 1990. - 96 с.

12. Бычков С.И., Буренин Н.И., Сафаров Р.Т. Стабилизация частоты генераторов СВЧ // Изд. Сов. радио. 1962.

13. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 528 с.

14. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике. М.: Наука, 1991. - 255 с.

15. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. -М.: Наука, 1984.-320 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. - 492 с.

17. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.- 152 с.

18. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. -271 с.

19. Гребенщиков Б.Г. О почти периодических решениях одной нестационарной системы с линейным запаздыванием // Сиб. мат. журн. -1999. Т. 40. - № 3. - С. 531-537.

20. Гребенщиков Б.Г., Рожков В.И. Об асимптотических свойствах решения одной квазилинейной системы с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. -№ 9. - С. 1286-1288.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967.- 472 с.

22. Каменский Г.А. Краевая задача для нелинейных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высш. школы, физ-матем. науки. 1958. -№ 2. - С. 60-66.

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,1984.-572 с.

24. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998. -240 с.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. — 623 с.

26. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

27. Крейн С.Г. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. - 356 с.

28. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1963. - 432 с.

29. Кюн О.И. Краевая задача для системы нейтральных уравнений нейтрального типа // Труды МИХМа. Автоматизация химических производств на базе математического моделирования. Тезисы докладов. Под ред. Азбелева Н.В. М., 1975. - Вып. 64. - С. 8-11.

30. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 269 с.

31. Лукьянова Г.С. Периодические решения линейных систем функционально-дифференциальных уравнений с малым параметром // Ряз. гос. рад.-техн. акад. Рязань, 2003. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.11.2003, № 1901 -В2003.

32. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965.-510с.

33. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. 1993. -№ 5. - С. 56-71.

34. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. -532 с.

35. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1992. -Т. 28.-№ 10.-С. 1716-1723.

36. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. - № 5. - С. 72-85.

37. Малышев Ю.В. Символический метод решения линейных дифференциально-разностных уравнений (с запаздывающим аргументом и нейтрального типа) // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - № 5. - С. 96-104.

38. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979.-247 с.

39. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

40. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1950. - Вып. 5. - № 2 (36).-С. 148-154.

41. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. - 471 с.

42. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Гостехиздат, 1949. 550 с.

43. Перов А.И. Достаточные условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами в критических случаях // Автоматика и телемеханика. 2000. -№ 10. - С. 49-59.

44. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965.-332 с.

45. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. - 304 с.

46. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969.-288 с.

47. Румянцев А.Н. Конструктивное исследование дифференциальных уравнений с произвольным отклонением аргумента // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 6. - С. 25-31.

48. Рябов Ю.А. Применение метода малого параметра для построения решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДАН СССР. 1960. - Т. 133. - № 2. - С. 288-292.

49. Теняев В.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2001. - № 4. - С. 103-107.

50. Терехин М.Т. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19.-№4.-С. 597-603.

51. Терехин М.Т. О существовании неподвижной точки одного нелинейного оператора // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20. - № 9. - С. 1561-1565.

52. Терехин М.Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1999. - № 10 (449).-С. 37-42.

53. Терехин М.Т., Насыхова Л.Г. Существование бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр. мат. журн. 1997. - Т. 49. - № 6. - С. 799-805.

54. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

55. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев, 1981. - 432 с.

56. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1966. - Т. 2. - 608 с.

57. Фодчук В.И. О построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Укр. мат. журн. 1962. - Т. 14. - № 4. -С. 435-440.

58. Фодчук В.И. К вопросу обоснования принципа усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Konfer-enz uber nictlineare Schwingungen, Akademi Verlag. - Berlin, 1965. -C. 45-50.

59. Халанай А. Автономные системы с запаздывающим аргументом и с малым параметром // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1962. - T. 7. -№1.-C. 81-89.

60. Халанай А. Метод усреднения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1959. - T. 4. - № 3. c. 467-483.

61. Халанай А. Некоторые вопросы качественной теории систем с запаздыванием // Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Изд. АН УССР. Киев, 1961. - № 2. - С. 394-408.

62. Халанай А. О некоторых свойствах периодических и почти периодических систем с запаздыванием // Rev. Roumaine Math, pures et appl. -1964. T. 9. - № 7. - C. 667-675.

63. Халанай А. Периодические и почти периодические решения некоторых сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Rev. Math, pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 2. - C. 285-292.

64. Халанай А. Системы канонического типа с отклоняющимся аргументом и с периодическими коэффициентами // Rev. Math. pur. appl. Ac. RPR. 1963. - T. 8. - № 4. - C. 569-573.

65. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем (Под ред. РубаникаВ.П.).-М.: Мир, 1971.-313 с.

66. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.-720 с.

67. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. -230 с.

68. Хейл Дж. К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984.-421 с.

69. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Метод линеаризации нелинейных систем дифференциальных уравнений // Нелинейный динамическийанализ. Материалы II Международного конгресса. М.: Изд-во МАИ, 2002. - С. 204.

70. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. - 128 с.75,Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе. -М.: Гостехиздат, 1955. 300 с.

71. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

72. Agarwal R.P., O'Regan D., Rachunkova I., Stanek S. Two-point higher-order BVPs with singularities in phase variables // Comput and Math Appl. -2003. -V. 46. № 12. - P. 1799-1826.

73. Bartlett M.S. An introduction to stochastic processes. Cambridge, 1955.

74. Charapova J.V. Positive solutions of singular boundary value problems // Докл. Бълг. Ан. 2002. - V. 55. - № 10. - P. 5-8.

75. Coopmans T. Distribute lags in dynamic economics // Econometria. -1941.-V. 9. -№ 1.

76. Cunninghem W. A non-linear differential-difference equation of growth // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1954. - V. 40 (8).

77. Feller W. On the integral equation of reneval theory // Annal of Mathe-mat. Statistics. 1941.-V. 12.-№3.

78. He Xiaoming, Ge Weigao. Solutions for semipositone (n,p) boundary value problems // Port. Math. 2003. - V. 60. - № 3. - P. 253-262.

79. Kalecky M. Theory of economic dynamics // Georg. Allen Unvin Ltd. -London, 1954.

80. Kaucher E.W., Miranker W.L. Self-validating numerics for function space problems. New York: Academic Press, 1984.

81. Kaucher E.W., Miranker W.L. Validating computation in a function space // Reability in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 403425.

82. Moore R.E. Shen Zuhe interval methods for operator equations // Reabil-ity in computing. New York: Academic Press, 1988. - P. 379-389.

83. Plum M. Computer-assisted existence proofs for two-point boundary value problems // Computing. Springer-Verlag. 1991.

84. Rhodes E.C. Population mathematics // I. Journ. of the Royal Statist. -1940.-V. 103.-Pap. 1.

85. Yang Xiaojing. Two-point boundary value problem of 2mth order differential equations // Appl. Math, and Comput. 2003. - V. 138. - № 1. - P. 11-19.

86. Yao Qing-liu. On the positive solutions of Lidstone boundary value problems // Appl. Math, and Comput. 2003. - V. 137. - № 2-3. - P. 477485.

87. Zhang Fengqin, Ma Zhien, Yan Jurang. Boundary value problems for first order parametrize differential equations with piecewise constant arguments // Math. Inequal and Appl. 2003. - V. 6. - № 3. - P. 469^76.

88. Свирилина Т.В. Структура решений нелинейной системы функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием // Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2005. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.2005, № 148 -В2005.

89. Свирилина Т.В. Двухточечная краевая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2005. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.2005, № 149 - В2005.

90. Свирилина Т.В. Об одной задаче системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Научный журнал. Аспирантский вестник РГПУ им. С. А. Есенина. Рязань, 2005. - № 5. - С. 130-133.

91. Свирилина Т.В. Теорема о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметра системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - № 9. - С. 70-75.

92. Свирилина Т.В. Исследование структуры решений системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - № 9. - С. 76-82.

93. Свирилина Т.В. Условия существования и отсутствия решения двухточечной краевой периодической задачи нелинейной системы дифференциальных уравнений с отклонением // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. - № 9. - С. 83-88.

94. Свирилина Т.В. Условия разрешимости двухточечной краевой периодической задачи для системы дифференциальных уравнений с отклонением в одном случае // Научный журнал. Аспирантский вестник РГУ им. С. А. Есенина. Рязань, 2005. - № 6. - С. 112-120.

95. Свирилина Т.В. Нелинейная модель динамики валового внутреннего продукта // Известия ТулГУ. Тула, 2005. - Вып. 1. - С. 250-260.