Об осцилляционных свойствах линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

П р е д и с л о в и е

Глава I. Теорема Валле-Пуссена и оценка промежутка неосцилляции для уравнения нейтрального типа

§ 1.1. Теорема Валле-Пуссена для уравнения нейтрального типа. II

§ 1.2. Условия неосцилляции для линейного уравнения нейтрального типа

Глава 2. Теорема Штурма для уравнений с запаздывающим аргументом.

§ 2.1. Теорема Штурма для уравнений нейтрального типа.

§ 2.2. О справедливости теоремы Штурма для уравнения,разрешенного относительно старшей производной

§ 2.3. О периодической краевой задаче для уравнения с запаздывающим аргументом

Глава 3. Асимптотические свойства решений уравнения с запаздывающим аргументом

§ 3.1. О неограниченности решений уравнения с запаздыванием

§ 3.2. Асимптотические свойства уравнений с периодическими коэффициентами

Л и т е р а т у р а

ПРЕДИСЛОВИЕ

В диссертации изучается линейное функционально-диффе« ренциальное уравнение п -го порядка с последействием

UbZ № , (0.1) i в [0,со) , = 6<0.

Здесь функции R ( R+=[0»°°)> R5 00> ) е R+ измеримы, • R+ R при почти всех п.в.) t е R+ имеют ограниченное изменение, t

Zi(t,'): R+, R+-*~R суммируемы в степени lép^oo на каждом конечном промежутке из R+, t=0,., п.-i , Функции g »cj, • R R измеримы* с^ ограничена в существенном, g удовлетворяет неравенству cj(l)¿t для п.в. i € R+ , кроме того ^ , у удовлетворяют условию (0.2):{VeсR+.) mes(e)=0 => rn.es£0;

38>0) meó(Cú¿) = О или

VBeR+) as irta¿sup |océ)|<l, (Q г) i íecje r 4 * ' г тез т

Я -/пен^ ] * ее СО.&Л

Под решением уравнения (0.1) будем понимать функцию К с абсолютно непрерывной производной (причем зс(п) суммируема в степени р<°° на любом конечном промежутке из R-ь ), удовлетворяющую уравнению

0.1) для п. в. ь €

Как известно [2;б] » в сделанных предположениях общее решение х уравнения (0.1) имеет вид г-1 *

Здесь СС"Ь,й) - функция Коши уравнения (0.1) С2, 8] Вронскиан (л-1) фундаментальной системы х2 , такого уравнения обладает свойством: 0)Ф0 [2,

Очертим круг вопросов, изучаемых в диссертации. I. О справедливости теоремы Чаплыгина

Говорят, что для краевой задачи вСО.Ь], , ¿-1. & , ¿=1,.,/* - линейные, линейно независимые функционалы, 3 ) справедлива теорема Чаплыгина, если из равенств = , "¿=1,.,/г и функционально~диффе~ ренциального неравенства Ш) на £0, &] следует, что ос £ 2. (или х. ), где з: - решение краевой задачи (0.3),

Отметим, что в случае обыкновенного дифференциального вопросу об условиях справедливости теоремы Чаплыгина уделялось много внимания различными авторами [3,3,32,42,48,49,56,57,76].

Решение краевой задачи при условии ее однозначной разрешимости) можно, согласно [8] представить в виде: Ь

61*}') : -^[0,6]- функция Грина этой задачи.Из представления решения следует, что знакопостоянство функции Грина необходимо и достаточно для справедливости теоремы Чаплыгина.

Для уравнений с последействием условиям знакопостоян-ства функции Грина посвящены диссертации Зубко Ю.И. [2 6] 9 Кобякова И.И. Лабовского С.М. [40] , где рассматривались уравнения, разрешенные относительно старшей производной. Развивая эти исследования, мы б

§ 1.1 получили условия знакопостоянства функции Грина двухточечных краевых задач для уравнения нейтрального типа. Результаты сформулированы в виде теорем о дифференциальных и интегральных неравенствах. Предложены эффективные признаки.

2. Задача об оценке промежутка нео сцилляции возникает в связи с изучением многих вопросов (см.,например,[1,25, 41,52,76] ).

Напомним, что промежуток называют промежутком неосцилляции уравнения о£ 0 , если любое нетривиальное решение этого уравнения имеет не более п.- 1 нуля с учетом их кратностей на

Особую роль б диссертации играет эта оценка для установления "границ применяемости" [42] теоремы Чаплыгина.

Связь между неосцилляцией и знакопостоянством функции Грина определяют в ряде случаев аналоги известной теоремы Вал-ле-Пуссена [ 75 ] * полученные в главе I. На основе этих утверждений изучаются осцилляционные и асимптотические свойства решений уравнения (0.1) в

главах 2 и 3.

3. Распределение нулей решений однородного уравнения второго порядка т. ос С 5 ) = О, если 4 * О р£ измеримые функции, рг - суммируемы в степени на каждом конечном промежутке из для п.в. , ¿= 1,,.,лъ ) изучалось в работах Азбелева Н.В. [ I ] , Домшлака Ю.И. [21] , Копла-тадзе Р.Г. [37] * Лабовского С.М. [36] » Митропольского Ю.А. [43] , Мышкиса А.Д. [44] , Норкина С.Б. [4£] , Чанту-рии

Т.А. [37] , Шевело В.Н. [59] и других авторов. Одним из центральных в этой тематике является вопрос об оценке расстояния между смежными нулями решений. Это расстояние оценивалось снизу в работах [1,40,44] и сверху в работе [21].

В главе 2 для уравнения р^О^О, МО,**)

ХС6)= ¿¿(6)=0, 5<о получены те и другие оценки.

Подчеркнем следующий момент. В диссертации мы применили сочетание нижних и верхних оценок промежутка неосцилляции. Это позволило: в

§ 2.3 получить новые (ср. Г4,34] ) признаки однозначной разрешимости периодической краевой задачи для уравнения (0.4), в

§ 3.2 - ряд фактов об асимпоти-ческом поведении решений уравнения (0.5) с периодическими коэффициентами.

4. Основной вопрос главы 2 - теорема Штурм а для уравнения (0.5).

Говорят, что для уравнения второго порядка справедлива терема Штурма о разделении нулей, если между смежными нулями любого решения лежит один и только один нуль любого другого нетривиального решения.

Из работ 11,443 известно, что для уравнений с запаздыванием теорема Штурма, вообще говоря, места не имеет. Впервые достаточные условия справедливости теоремы Штурма для уравнения (0.4) были найдены в работе [I ] . На этих условиях и их сравнении с полученными в главе 2 результатами мы подробно остановимся во введении к главе 2 (С. 31-34 ).

Отметим, что при изучении осцилляционных свойств решений мы используем известный подход [ I ] , суть которого состоит в том, что изучается поведение вронскиана фундаментальной системы. Необращение же вронскиана в нуль эквивалентно справедливости теоремы Штурма о разделении нулей.

5. Вопрос о неограниченности решений уравнения (0.4) изучается нами в главе 3.

Первые, известные автору, результаты по этому вопросу принадлежат А.Д.Мышкису [44, 303 ] •

В основе результатов главы 3 лежит установленная нами связь между возрастанием вронскиана фундаментальной системы и существованием неограниченных решений уравнения (0.4). Для иллюстрации полученных здесь результатов рассмотрим следующие уравнения (см.

§ 3.1): 0 Ы-гр+2>07 оС-рФ-1); х({)1-еЬхС{-£) = 0> £

При В>0 у каждого из этих уравнений существуют неограниченные решения. В то же время при 8=0 все решения этих уравнений ограничены, а у первых трех даже стремятся к нулю при Ь сю

В связи с результатами

§3.1 отметим следующее. Достаточные условия ограниченности решений уравнений второго порядка изучались И.Т.Кигурадзе [28,31] и Д.В.Изюмовой [27,2ЯЗ. Объединяя результаты

§ 3.1 и работы [27 1 * в ряде случаев получаем критерии ограниченности всех решений уравнения (0.4).

Проиллюстрируем сказанное на примере уравнения ее Ш + Р сЬ ЭСС = о.

Пусть коэффициент р не убывает и ограничен.Тогда для ограниченности решений этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы

J теш-ь * см. замечание 3.1.3, )

Материалы диссертации докладывались на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (1979-1984 гг.),на межвузовских конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям(Пермь,1979--1983 гг.»Магнитогорск,1984 г.),на секции обыкновенных дифференциальных уравнений конференции Латвийского государственного университета им.П.Стучки (Рига,1984г.), на научном семинаре Института прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (Тбилиси, 1983 г.)

ГЛАВА I.

ТЕОРЕМА ВАЛЛЕ-ПУССЕНА И ОЦЕНКА ПРОМЕЖУТКА НЕОСЦИЛЛЯЦИИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

В диссертациях В.А.Дейфта СП] и С.М.Лабовского [40] изучались осцилляционные свойства уравнения (O.I) при ^=0 (уравнение, разрешенное относительно старшей производной).

Результаты систематического изучения оператора внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций (см. работы [5,22-24]) позволили нам получить условия неосцилляции и сохранения знака функции Грина для уравнений нейтрального типа. Этим исследованиям посвящена

глава I.

§ 1.1. Теорема Валле-Пуссена для уравнения нейтрального типа

Рассмотрим следующее уравнение ^ хс1) г эсСп>Ш хсп\ дф)<5 Г4 Г. 7 (1.1.1)

-С-1) = где не убывает.

Частным случаем уравнения (1.1.1) является уравнение * сп)Ы) - д&х^ц Ш) - (г1)к£ р, а) ос сЛ,- Ш)* Ш), , (1.1.2) СА)=Ч)Ксб)) если к = где р£ ъ О, с^ь О

Как показано в С 8 1 без ограничения общности можно по~ пожить Фк-0 ( ), что мы и будем делать ниже.

Пусть гг-кук г = I,., /2 , (1.1.3) где Я е (т), 6]

Зафиксируем ке { I,., /г} . Следуя [40] через (у^ (.¿>4) обозначим функцию Грина краевой задачи 0, £{ зс = О, г = I,., а

-I г~

Известно, что М)к ^ сЬ, 5) > О при М^С-т),^). Введем операторы

Т^ц'С^^з -¿рс^з > рс-),^ рПт),^з ^

С и - пространства непрерывных и суммируемых в степени р<©о на [т), |и] ) равенствами й ^ У) СО = ^С*)У Сд с*))<з а 9 с*»,

С^ =(-100^ а л) са-^)" т ±

1.Х.4) : единичный оператор (существование ограниченного оператора следует из условия (0,2) в силу работы Г8 ] ).

Через Л.,)^ обозначим наименьшее положительное характеристическое число оператора , а через ^рс-^ ~ пространство функций х : , таких что зсСа~и абсолютно непрерывна, ос сг°е ¿рс-^уи] •

Теорема 1.1.1. Следующие утверждения эквивалентны:

2) существует функция тте&рц^з , что усЬ>0 для а/О, фЙ)вС-1)К«^1Г< для п.в.

1, г! = I,., л г—1 -»)

3) существует функция Грина б-СЛб) задачи (1.1.3),(1.1.1) причем (-1 )к&(£>3)>0 при t , ( ^ , |и. ).

Прежде» чем доказать теорему 1.1.1, напомним некоторые известные факты.

Замечание 1.1.1. Из условия (0.2), как уже отмечалось, следует существование обратного оператора к

Применив оператор Р к обеим частям уравнения (1.1.1), получим эквивалентное уравнение

Л (п\ь - (-1) ксРТ^ эсЖ) = СР*)(*) . (X.1.5)

Можно убедиться, что краевая задача (1.1.5), (1.1.3) эквивалентна уравнению

1.1.6)

У - решение краевой задачи уеГк,к»л

Замечание 1.1.2. Известно (см. [30],стр. 317 ). что любой а-ограниченный оператор Т : С^ ^ имеет представление

Этот факт будет использоваться нами на протяжении всей диссертации. В частности, при доказательстве теоремы 1.1.1 этот факт позволяет нам воспользоваться схемой С.М.Лабов-ского [40] > рассматривавшего уравнение (1.1.1) при 0. Доказательство проведем по схеме; I =» 3 => 2 I . Докажем импликацию I =>

Пусть Л.^>1 . Тогда последовательные приближения {х^Ь} , где х0 = ^ , » Для уравнения

1.1.6) сходятся, и из того, что а&О , следует эс^ . Если $ суммируема, (-1) для ^Ст),^ и зссЪ») а- к, к то ч ^ = 0 и Г для ¿еВД в

Тогда ^ ^ и) - а СЬ = [ Сг а, 5) Ш) ¿6(Г1И СЬ,3) (?»(5) £¿6 = где Сг-^р СЬ, 6) - функция Грина краевой задачи а)сЬ - (V »""><« = IЧ), СУ,^], 1=1,., п.

Ог^иН-1) >0 при (л),]11-), то, ввиду произвольности £ , имеем

Покажем, что цСМ)С-1) >0 для

Действительно,

5 6^,5) (ЦД + (¿^ХО +■••]6= где (г^ - ядро интегрального оператора Отсюда очевидно, что

Так как операторы (-1) (Цц - положительны, то вС-У./О, ¿ = 1>2. а из того, что (г^С^бК-О >0 будет следовать

Импликация 1=^3 доказана.

МХ-! г>о

Для доказательства импликации 3 => 2 достаточно взять которая удовлетворяет всем условиям пункта 2 теоремы 1.1.1.

Докажем импликацию 2 => I . Для этого нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1.1.1. Пусть непрерывная на С^р-] функция V в открытом интервале удовлетворяет неравенствам ггсЬ) > 0 , УСЬ)>{?1рУ)(Ь) . Тогда

Для доказательства леммы 1.1.1 достаточно воспользоваться леммой 10 [40] и замечанием 1.1.2 (см. также С29]).

Лемма 1.1.2. ( С403 , стр. 30). Пусть эс - такое с*) л решение уравнения х = и, что п-к,к рп~к>к

ОС>>0, 1-1,. 2 С.^ ЭС>0.

Тогда в

Функция V удовлетворяет уравнению (1.1.6), причем в силу условий, наложенных на V , положительности (-1) С-^С^б) и леммы 1.1.2 имеем: дс-Ь>0 в (^ ,р). Ссылка на лемму 1.1.1 завершает доказательство. Теорема 1.1.1 доказана.

Замечание 1.1.3. Пусть С (£,2> ) - функция Коши уравнения (1.1.4) (см. [2,8 ] ). В работе [6] установлена эквивалентность условия I теоремы 1.1.1 и условия: 4)С(Ь,5)>0, ), Ь>

Пусть ) - функция Коши уравнения

Так как к 1 ссижл+^+з* +--о«С4Ыб, гдэ - положительный оператор, то из условия 4 следует, что СО,б)> о,

Для уравнения (1.1.2) из теоремы 1.1.1 получим Следствие Х.1.1. Если

Для доказательства достаточно в условии 2 теоремы Х.1.1 положить ггс£) = (¿-л))* к (уи-£)к.

Если л = 2, к = X, г^с^гО , , то из следствия

Х.1.1 получается известный (см. [531 , стр. 122) признак разрешимости двухточечной краевой задачи то краевая задача однозначно разрешима при любой

Отметим, что условие (0.2) связано не только с методикой доказательства: оно существенно, как показывает

Пример 1.1.1. Рассмотрим краевую задачу

ОС и) + = х СЛ>) = эсЫ) - [осСО)

Функция ас = Н1-£) является собственной функцией этой задачи. В то же время, = удовлетворяет условию 2 теоремы 1.1.1. Причина противоречия в том, что не выполняется условие (0.2).

Получим еще один признак справедливости неравенства

Теорема 1.1.2. %сть существует функция ^рс^,^] * причем и > 0 , и функция V & > причем 1Г>0 внутри Пусть далее выполнены неравенства: и а) иЖ)*(Т.^

1 (1Д.7)

11 ^ а,б)исб)с1б|< у-ш, ис^р) •

Тогда Л^>

Доказательство. Применив к обеим частям неравенства (1.1.7) положительный оператор ) \ подучим

Ссылка на лемму 1.1. завершает доказательство*

Следствие 1.1.2. Пусть существует функция , Ц?0 такая, что па(к-Х)!

Тогда •

Для доказательства следствия достаточно положить в условии теоремы 1.1.2 функцию V равной I и воспользоваться оценкой ЧМ* (НИ ' учитывая, что таос (¿-V)"'

Если в уравнении (1.1.2) Я = 2, к= I, =

4 , то условия следствия 1,1.2 сводятся к известному неравенству Ляпунова , * I р,с*>

1. Азбелев Н.В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. -Дифференц. уравнения, 1971, т. 7, № 7, с.1147-1157.

2. Азбелев Н.В. Матрица Коши. В кн.: Краевые задачи, Пермь, 1981, с. 67-71.

3. Азбелев Н.В. О границах применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах. ДАН СССР, 1953, т. 89, № 4, с. 589-591.

4. Азбелев Н.В., Бердникова М.П., Тонков В.Л. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Труды/Тамбовск. ин-та хим. машиностроения, Тамбов, 1970, вып. 4, с. 66-67.

5. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа. Дифференц. уравнения, т. 13, № II, 1977, с. 19151925.

6. Азбелев Н.В., Зубко Ю.И., Лабовский С.М. К вопросу о дифференциальных неравенствах для уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, № II, с.1931-1936.

7. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом. Дифференц. уравнения, 1970, т. 6, № 4, с. 616-628.

8. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 5,с. 771-797,

9. Бабкин Б.Н. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом последовательных приближений на основе теоремы Чаплыгина С.А. о дифференциальных неравенствах. ДАН СССР, 1948, т. 59, № 3, с. 419-422.

10. Дейфт В.А. Условия неосцилляции для линейного однородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. -Дифференц. уравнения, 1974, т. 10, № II, с. 1957-1963.

11. Дейфт В.А. Условия неосцилляции решений линейных функционально-дифференциальных уравнений: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1977, 117 с.

12. Домошницкий А.И. О теореме Валле-Пуссена для уравнений нейтрального типа. В кн.: Краевые задачи, Пермь, 1980, с. 117-119.

13. Домошницкий А.И. О справедливости теоремы Чаплыгина для уравнений нейтрального типа. В кн.: Краевые задачи, Пермь, 1981, с. 121-125.

14. Домошницкий А.И. Об оценке промежутка неосцилляции для уравнения нейтрального типа. В кн.: Краевые задачи; Пермь, 1982, с. 39-42.

15. Домошницкий А.И. К вопросу о справедливости теоремы Штурма. Пермь, 1982. - 7 с. - Рукопись представлена Перм. политехи, ин-том. Деп. в ВИНИТИ 13 июля 1982, № 4146-82.

16. Домошницкий А.И. О периодической краевой задаче для уравнения второго порядка с запаздыванием. Пермь, 1983. -II е.- Рукопись представлена Перм. политехи, ин-том, Деп, в ВИНИТИ 15 апр. 1983, № 2249-83.

17. Домшлак Ю.И, Теоремы сравнения типа Штурма для дифференциальных уравнений первого и второго порядков со знакопеременными отклонениями аргумента. Укр. математический журнал,-1982, т. 4, № 2, с. 158-163.

18. Драхлин М.Е. К вопросу о действии оператора внутренней суперпозиции. В кн.: Краевые задачи, Пермь, 1977, с.131-136.

19. Драхлин М.Е. Условия действия одного произведения операторов. В кн.: Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики, Пермь, 1978, с. 135138.

20. Драхлин М.Е., Плышевская Т.К. К теории функционально -дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1978, т. 14, № 8, с. 1347-1361.25» Жуковский Н.Е. Поли.собр. соч., т.1. Общая механика.-М.-Л.: Главная редакция авиационной литературы, 1937,636 с.

21. Зубко Ю.й. О дифференциальных неравенствах для обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: Автореф. Дис. . канд.физ.-мат.наук.- Казань, 1972- 107 с,

22. Изюмова Д.В. Об ограниченности и устойчивости решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.- Сообщения АН ГССР, т. 100, № 2, 1980, с. 285 -288.

23. Изюмова Д.В., Кигурадзе И.Т. Некоторые замечания о решениях уравнения а"+ асЬ Ни) = 0 .-Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 4, с. 589 605.

24. Исламов Г.Г. Об оценке спектрального радиуса линейного положительного вполне непрерывного оператора. В кн.: Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики, Пермь, 1978, с. 119 - 123.

25. Канторович Л.В., Вулих Б.3., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.- М.: Гостехиз-дат, 1950.

26. Кигурадзе И.Т. Заметка об ограниченности решений дифференциальных уравнений.- Труды/Тбил. ун-т, 1965, т. 110,с. 103-108.

27. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.- Тбилиси, изд**во Тбил. ун-та, 1975 352 с.

28. Кобяков И.И. Об условиях знакоопределенности функции Гри» на для краевых задач с отклоняющимся аргументом.: Автореф. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1972- 119 с.- ш

29. Комленко Ю.В. Достаточные условия регулярности периодической краевой задачи для уравнения Хилла с отклоняющимся аргументом, В кн.: Математическая физика: Киев "Наукова думка", 1977, с. 5-12.

30. Каплатадзе Р.Г. Заметка о колеблемости решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом, Mat.casop. , 1972, 22, № 3, с. ¿53-^61.

31. Коплатадзе Р.Г. О существовании колеблющихся решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом. ДАН СССР, 1973, т. 210, № 2,с, 260-262.

32. Коплатадзе Р.Г,, Чантурия Т,А. Об осцилляционных свойствах дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тбилиси; изд-во Тбил. ун-та, 1977 - 116 с.

33. Лабовский С.М. О свойствах фундаментальной системы решений дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аогументом. Труды/Тамбовек. ин-т химич. машиностроения, 1971, вып. 6, с. 49-52.

34. Лабовский С.М. Условие необращения в нуль вронскиана фун~ даментальной системы линейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения, 1974, т, Ю, № 3, с. 426-430.

35. Лабовский С.М. О линейных дифференциальных неравенствах. -Дис. . канд.физ-мат.наук. Тбилиси, 1975 - 102 с.

36. Левин А.Ю. Неосцилляция решений уравненияосса)ч-р1а)х1П'0+-" + р*ск)х = 0Успехи математических наук, 1969, т. 24, № 2,

37. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования акад.С.А, Чаплыгина. Успехи математических наук, 1951, т.6,6, с. 3-27.

38. Митропольский Ю.А., Шевело В.Н. О развитии теории осцилляции решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.^ Укр. матем. журнал, 1977, т. 29, № 3, с.313-323.

39. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972 - 351 с.

40. Норкин С.Б. Об осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Тез. докл. 4 Всесоюзн.конф. по теории и приложениям дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. К., 1975, с. 182-183.

41. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1965.

42. Одарим О.Н., Шевело В.Н. Критерии осцилляции (неосцилляции) решений дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом: Труды 5 Междунар.конф. по нелинейным колебаниям. К., 1970, т. 2, с. 377-382.

43. Петров Б.Н. Граница применимости теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах к линейным уравнениям с обыкновенными производными второго порядка.- ДАН СССР, 1946, т. 51, № 4, с. 251-253.

44. Петров Б.Н. Неприменимость теоремы о дифференциальных неравенствах С.А.Чаплыгина к некоторым нелинейным уравнениям с обыкновенными производными. ДАН СССР, 1946, т. 51, № 7, с. 495-498.

45. Рахматуллина Л.Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения Дис. . докт.физ.-мат. наук. - Киев, 1981 -278 с.

46. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, т.1.~М.: ИЛ, 1953.

47. Тонков В.Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию. « Дифференц. уравнения, 1973, т. 9, № 12, с. 2180-2X85.

48. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ,1962.

49. Чантурия Т.А, Некоторые замечания о колеблемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференц. уравнения, 1980, т. 16, № 2,с. 264-272.

50. Чантурия Т.А. О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков: Доклады на семинаре ИПМ им. Векуа. Тбилиси/изд-во Тбил. ун-та, 1982, с.16-73.

51. Чаплыгин G.A. Собр.соч., т. I.- М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

52. Чаплыгин С.А, Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

53. Шарковский А.Н., Шевело В.Н, 0 колеблемости и асимптотическом поведении одного класса дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- В кн.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний: К., 1977, с. 257-263.

54. Шевело В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. К.: Наукова думка, 1978 -154 с.

55. Beesatk Pau£R.O/i ihe (rzeen's Sanction of ал п.-point boundary iratue proSSemrPacif.JMath., 12,rt3,1362, p.80i-8f2.

56. BobUud X.8. Ostdtation. of Second ordez сШ*гел£са£ equations iviih zetazded argument.-J. m*th Anai. App£.} 1975, 43, Jvl, p.201-206.62. bvuUey ОМ*, ihecn^s io, a iecoadddta^ équation.—J. Di&eteniiat 8^uaiions, 1970, 8, rtS, p. 397-403.

57. Teufet И-Second. Orele? aâmosé &пеа.г ¿uactío/uié! ¿¿&еге/г-tLa.ß ec^uaécons- osci£iai¿on.- Ргос. Атег-Math.Soct$72,3S, Ni, ?.U7-U9.