О некоторых качественных свойствах решений дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Дифференциальные уравнения первого и второго порядков.

§ 1. Линейные и нелинейные уравнения первого и второго порядков.

§2. Осцилляционное свойство уравнения типа Эмдена - Фаулера.

§3. О собственных функциях эллиптического операторного пучка.

§4. Уравнения эллиптического типа.

§5. Уравнения параболического типа.

§ 6. Дифференциальные уравнения с опережающим аргументом.

Глава II. Уравнения высокого порядка.

§ 7. Нелинейные уравнения произвольного порядка.

Актуальность темы исследования. Необходимость настоящего исследования была обусловлена внутренней логикой развития качественной теории дифференциальных уравнений и попыткой внести свою лепту в развитие математики, дабы поддержать процесс познания без замедления.

Раздел качественной теории дифференциально - функциональных уравнений, в общем, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, а в частности, как сейчас принято называть, теорией осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стал активно развиваться с конца сороковых годов (докторская диссертация А. Д. Мышкиса). Прогресс в этой области был весьма быстрым. К сегодняшнему дню число публикаций в этой области насчитывает несколько тысяч. Причиной этого, несомненно, является все большее значение, которое придается дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в создании математических моделей реальных процессов с последействием. Важной стороной исследования этих уравнений является выяснение осцилляционных свойств их решений. Приведем здесь лишь некоторые из возможных вопросов, в которых они нужны: оценки промежутков времени между моментами прохождения равновесия системой с последействием, выяснение условий неограниченного существования или же,наоборот, - «обреченности» биологической популяции; а эволюция популяции является основным объектом экологии, которая изучает взаимоотношение человека и вообще живых организмов с окружающей средой и тому подобные вопросы.

Из изложенного следует, что область теории дифференциально - функциональных уравнений, которой посвящена диссертационная работа, является актуальной.

Цель исследования. Основная цель работы состоит в получении новых критериев колеблемости и неколеблемости решений дифференциальных уравнений и уточнению ранее полученных теорем, относящихся к этой проблеме.

Общая методика исследований. Первые работы, посвященные теории осцилляции дифференциальных уравнений без запаздывания получены Ж. Штурмом [22]. В дальнейшем этот вопрос исследовался в течении длительного времени разными авторами, которые создали эффективную методику исследования вопроса колеблемости в этом случае. В диссертацинной работе эти методики, были модифицированы, развиты и применены для исследования новых классов дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В работе приводятся новые результаты по осцилляционным свойствам решений дифференциальных уравнений. Для широкого класса таких уравнений (как линейных, так и нелинейных ) получены условия колеблемости и неколеблемости решений.

Изучены общие качественные свойства решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, доказаны теоремы о колеблемости решений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы представляют математический интерес. Они могут найти широкое применение при исследовании регулируемых систем с последействием и могут иметь важное применение в теории автоматического регулирования, математической биологии, математической физики, медецине, различных разделах механики сплошных сред, теории управления, экологии, экономике и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, конференциях (республиканских и международных) и симпозиумах:

• Fourth Conference on Differential Equations and Applications CDE' IV. Rousse' 89, Bulgaria,(August, Rousse, 1989, Bulgaria); FIRST COLLOQUIUM on Differential Equations, (august, Plovdiv, 1990, Bulgaria);

• Семинар - совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, (сентябрь,Баку, 1990г.);

• Всесоюзная конференция "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление", (октябрь, Ашхабад, 1990г.);

• Северо - Кавказская региональная конференция по функционально -дифференциальным уравнениям и их приложениям, (сентябрь, Махачкала, 1991г.);

• Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции", (май, Самара, 1992г.);

• Научно - практическая конференция Кабардино - Балкарской государственной сельскохозяйственной академии, (апрель, Нальчик, 1994г., 1995г.);

• Международный семинар "Дифференциальные уравнения и их приложения", (июнь, Самара, 1995г.);

• Международная конференция "Современные проблемы математики и механики ", посвященная к 175 - летаю со дня рождения П.Л. Чебышева ММФ, МГУ им. М.В. Ломоносова, (май, Москва, 1996г.);

• Международная конференция по некоторым разделам математики Самарканд (Узбекистан), (октябрь, Самарканд, Узбекистан, 1996);

• XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов «Математика и ее прикладные аспекты», (май, Нальчик, 1997г.);

• Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии», (апрель, Кисловодск, 1997г.);

• Международная научно-техническая конференция и Российская научная школа молодых ученных и специалистов «Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий», посвященная 80-летию академика A.A. Самарского, (сентябрь, Москва-Сочи, 1998г.);

• Семинар по качественной теории дифференциальных уравнений, механико - математический факультет Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, (май, Москва, 2000г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в открытой печати (по теме диссертации ):

1. Трамова A.M., Трамов М.И. К вопросу качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. // Тез. докл. семинара - совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, Баку: 1990, С. 31.

2. Трамова A.M., Трамов М.И. К вопросу математического моделирования. // Тез. докл. всесоюз. конференц. « Дифференциальные уравнения и оптимальное управление», - Ашхабад, Ылым, 1990, С. 141.

3. Трамова A.M. О собственных функциях эллиптического операторного пучка. // Тез. докл. Международ, научн. конференц. «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции», - Самара: ПО «Сам-вел», 1992, С. 249.

4. Трамова A.M., Трамов М.И. Исследование автономных функционально - дифференциальных уравнений. // Тез. докл. Международного семинара « Дифференциальные уравнения и их приложения. » - Самара: СамГУ, 1995, С. 80.

5. Трамова A.M., Трамов М.И. К вопросу современных методов в теории краевых задач. // Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения.» - Самара: СамГУ, 1995, С. 81.

6. Трамова A.M., Трамов М.И. Об одном методе математического моделирования. // Материалы научно - практическ. конференц. КБГСХА, - Нальчик: Из-во, КБГСХА, 1995,С. 134-137.

7. Трамова A.M., Трамов М.И. К теории математического моделирования. // Материалы научно - практическ. конференц. КБГСХА, - Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 137-140.

8. Трамова A.M., Трамов М.И. К вопросу качественной теории дифференциальных уравнений. // Тез. докл. XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов «Математика и ее прикладные аспекты », - Нальчик, КБГУ, 1997, С. 25.

9. Трамова A.M., Трамов М.И., Трамов И.М. О методах математического моделирования. //Материалы Международ, конференц. и Российск. научн. школы « Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий», ч. 5, - Москва, НИИ «Автоэлектроника»,, 1998, С. 19.

Примечание.

В работах [1,2, 4 - 9] методика и реализация (кроме постановочной части) принадлежит автору диссертации.

В работах [1,2, 4 - 9] "постановочная часть" принадлежит М. И.Трамову.

В работе [9] идея "постановочной части" принадлежит И. М. Трамову.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие основные положения:

А. Развитие новых методов исследования вопроса колеблемости решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом;

3. Реализации этих методов при получении теорем колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядка;

И. Исследование колеблемости решений краевых задач для уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов с отклоняющимся аргументом ;

Я. Существование неколеблющихся собственных функций у дифференциального оператора второго порядка эллиптического типа и неколеблющихся решений уравнения параболического типа.

Содержание работы.

В работе исследуются некоторые качественные свойства решений дифференциальных уравнений (линейные и нелинейные) как обыкновенных, так и с частными производными.

Колеблющимся решением уравнения называется, как и принято, такое его решение, которое меняет знак при неограниченно возрастающих значениях переменной.

Теории осцилляции (колеблемости) решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных математиков. Уравнение второго порядка исследовались еще Ж. Штурмом [22] и А. Кнезером [7]. Законченные результаты уравнений произвольного порядка получены И. Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия [6]. В.Б. Файт [40] впервые установил интегральный признак колеблемости решения линейного обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка.

В настоящее время, благодаря работам [22,7,23, 20, 21,10,17, 9,12,11,6] теория колеблемости решений обыкновенных (без запаздывания) уравнений достигла высокой степени развития. Аналоги многих результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений установлены для уравнений с запаздывающим аргументом в [ 16,13,41], там же имеется библиография и ссылки на другие работы.

Особо следует отметить классическую монографию А. Д. Мышкиса [18], где выделен класс линейных уравнений первого и второго порядков с запаздывающим аргументом, все решения которых осциллируют, а также работы [42] (см. в них же библиографию).

В настоящий момент наиболее полно изучено уравнение четного порядка вида: х(и)(0 + А',*(г(0)) = 0, т(t)<t.

Менее изученным оказались уравнения вида: х0?) (/) + а(0/(х(г(0» = 0, а(0>0, при нечетном п > 1 и уравнения вида : х(,,) (0 + 2 а, (0х(/) (0 + а(х)х(т(0) = 0 о

В современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений важное место занимает уравнение с отклоняющимся аргументом. Такие задачи встречаются в ряде прикладных вопросов [18, 8].

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных математиков, посвященных вопросам качественной теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Среди этих работ большое место занимают работы, посвященные исследованию колеблемости и неколеблемости решений таких уравнений. Достаточно полная библиография по этому циклу работ содержатся в монографиях [42,18,13,41, 8].

В работах Ю. И. Домшлака, Г. А. Каменского, И. Т. Кигурадзе, Р. Г. Коплатад-зе, Т. Кусано, С. Б. Норкина, X. Оносе, Т. А. Чантурия и других были получены необходимые и достаточные условия колеблемости для уравнений с отклоняющимся аргументом. В большинстве этих работ исследовались либо уравнения четного порядка, либо уравнения не содержащие членов с промежуточными производными. Отметим, что вопрос о колеблемости решений при отсутствии запаздывания находится в завершенном состоянии. Здесь уместно упомянуть работу [15], где в терминах функций типа Ляпунова сформулированы признаки неколеблемости производных (п-1) и (п-2) порядков решений уравнения у(п) =/(Ч у, у',у(п'!)). Наличие же запаздывания приводит к новым явлениям по отношению к случаю классических уравнений

32], где исследуются осцилляциониые свойства решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с запаздыванием первого и второго порядков и предложено также достаточное условие колеблемости решений нелинейного параболического уравнения нейтрального типа.

Первая глава посвящена уравнениям первого и второго порядков. В первом параграфе первой главы изучаются обыкновенные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом первого и второго порядков как линейные, так и нелинейные. Например, приведены условия, при выполнении которых все решения некоторого класса линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом колеблющиеся на оо[, то есть имеют бесконечное число нулей. Рассматриваются уравнения : х'® + + А2(1)х(1-т(1)) =0, т(1)>0 (1.1) и х" (1) + А, (1) X (0 + А2 (I) X (I - т(0) = 0, т(1) >0, (1.2) где ,4] {(), А2(0 и т (0 - непрерывные функции. Спаведливы:

Теорема 1.1. Если А; (1) >а], А2 (0>а2> 0, > т0> О, 11П1 р - =оо, причем 1п та2 + г<2/ + 1 > 0, то все решения уравнения (1.1) колеб —>со лющиеся.

Теорема 1.2. Если оо

А1(0 + А2(фаЖ = +<х>,сс<1,а1 >0,а2 > О, г(0 <Т(1), Пт[*-.ТЦ)] = со, 00

Т'(0<у<\, то все решения уравнения (1.2) колеблются.

Указанные теоремы допускают обобщения на случай нелинейных уравнений, уравнений более высокого порядка и некоторых функциональных уравнений вида: г+сг x{k\t) + \x(t)d(M{t)) = Q. t-a

Для нелинейного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом первого порядка вида: х'(()+ а(0 \х (0)\аЯ1§п(х (т(1))) = 0, (1.22) где а> 1, а (г) >а0> 0, 1ипг(0 =■ (1-23) t—

Доказана

Теорема 1.7. Если выполнены условия (1.23) и аР=1 , то все решения уравнения (1.22) колеблются на [t0, оо [.

Этот результат может быть применен при исследовании дифференциальных уравнений высокого нечетного и при исследовании некоторых нелинейных параболических уравнений с отклоняющимса аргументом.

Во втором параграфе первой главы рассматривается уравнение, осцилляционное свойство которого аналогично осцилляционным свойствам Эмдена - Фаулера.

Для уравнения вида fx'COf sgnx'(o) +a(t)x(T(t)) ~ 0, (2.1) где а = const > 1, ait) > О, a(t) е С'[/0, т(С) < t,

Г <0 л lim-^ > 0.

Справедлива

Теорема 2.1. Для колеблемости решений уравнения (2.1) необходимо и достаточно, чтобы со а(()с1( = +со. I

Аналогичная теорема известна для уравнения Эмдена - Фаулера при отсутствии запаздывания [1].

Заметим, что теорема 2.1 является новой и при отсутствии запаздывания, то есть, когда т(1) = 1.

Такое уравнение встречается в приложениях, например, в теории управления. Определенный интерес представляют случаи при а <0 и 0<а < 1.

В третьем параграфе данной главы рассматривается задача о собственных функциях эллиптического оператора второго порядка с краевым условием Дирихле на границе области, то есть а>, (*) +X (*) ~+ + £ л' Д (*))« = (3 •1)

10х, дх/ ,=] дхг /=о где аи (х), а, (х), Д (х) - ограниченные измеримые функции в ограниченной области Д оператор Ь - эллиптический, на границе области принимается краевое условие и|ш=0. (3.2)

Собственная функция, соответствующая некоторому собственному значению есть ненулевое обобщенное решение задачи (3.1), (3.2).

Собственное значение X* называется ведущим, если соответствующие ему собственные функции знакопостоянны в О.

Доказано, что существует по крайне мере одно собственное значение, для которого соответствующая собственная функция знакопостоянна. При доказательстве используется только ограниченность и измеримость коэффициентов дифференциального оператора, тогда как в известном доказательстве Красносельского М.А. [14], при к= 1 и в случае когда оператор L имеет вид

И Q 2 п Qy

LU = У]а,(х)--ьУаДх)- ,

J=i dxfixj /=i <3х, требуется их гладкость.

Можно привести многочисленные подтверждения этого результата. Например, круглая, закрепленная по краю, мембрана г < а имеет знакоопределенную собственную форму поперечных колебаний и = С/0 (у[Лг), соответствующую первому (минимальному) собственному значению X ~ (0.7655тс/а) , где С = const, J0 (z) - функция Бесселя нулевого порядка.

Теорема 3.1 используется в качественной теории эллиптических и параболических уравнений. Например, оно используется (при к = 1) для доказательства осцилляции решений параболических уравнений с запаздывающим аргументом.

В параграфе четыре первой главы применяемые методы приводят к условиям колеблемости и для других классов дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимся аргументом эллиптического типа.

Рассматривается уравнение п

Au + ^at (х)и(х - г(х)) = 0, (4.1) i=i где Д-оператор Лапласа,х = (х1.,х1г), т(х) = (т; (х),.,тп(х)), \т(х)\ <с/ |х/| + с2, \grad т (х)\ <сх где cj ,С2, с3 - постоянные .

Верна

Теорема 4.1. Существует а = const > 0 такая, что если £а,(х)!х|2>а, (4.2) с=1 то все решения уравнения (4.1) колеблются во внешности любой сферы.

Доказательство теоремы основано на рассмотрении уравнения (4.1) в полярных координатах (г, (р) в R" и замене переменной t = In г.

Заметим, что при п = 2 теорема допускает следующее уточнение: если в уравнении (4.1) п = 2 и выполнены все условия, наложенные на ai(x), г,- (х) кроме условия (4.2), а также

I 12 x)xln|x[ >а, i и а = const достаточно велико, то все решения колеблются во внешности любой сферы.

В процедуре доказательства интеграл по кольцевой области N< г < N+ 1, О < <р < 2л от r'!Ur 9n (г) преобразуется после интегрирования по частям в выражение

2я N+1 2 п JV+1

- fd<p \r~]U(r)0'N(r)dr+ \dcp fr~2U(r)0N(r)dr.

ON ON

В силу того, что функция 6'N =4 (г- N)(r - N - l)(r -N -1/2) антисимметрична относительно точки г = N + 7/2, причем положительна на интервале, N < г < N + 1/2, первый интеграл в этом выражении будет знакоопределенным и конечным, если дополнительно к предположению U> 0 потребовать, чтобы при r—хю функция U возрастала не быстрее, чем г в первой степени. Второй положительно определенный интеграл, при этом же предположении относительно поведения £У, имеет порядок 0(1п (1 + 1/И)) и при достаточно большом N.

Дадим некоторые подробности оценки члена г~21/ , содержащего вторую производную и интеграл от которого при II > 0 может быть знакопеременным. В принятых предположениях, в том числе и указанном выше порядке возрастания II на бесконечности, интеграл от этого члена имеет порядок 0(1п (1 + 1/Ы)) и при достаточно большом N может быть сделан сколь угодно малым. Так что, несмотря на знакопе-ременность, этот интеграл не влияет на справедливость приведенного неравенства.

Интеграл от 1]гг вы (г), после двукратного интегрирования по частям, разбивается на три знакоопредененных интеграла по интервалам (Ы, N + е), (И + е № + 1 - е) и (Ы + 1 - е, N + 1) в соответствии со знаком в"н (г) (интеграла по внутреннему интервалу отрицателен и переносится в правую часть неравенства). Здесь, чтобы исключить л/3-1 недоразумения, укажем точное значение для е равное ——, также можно и для дру

2л/3 гих констант, входящих в оценки этих интегралов (б я т.д.).

Как следствие, приведенного результата, здесь для простоты сформулируем ее так: все решения рассматриваемого уравнения, возрастающие на бесконечности не быстрее О (г), колеблются во внешности любой сферы, либо, все решения исходного уравнения удовлетворяют указанному поведению на бесконечности.

Заметим, что в симметричном случае (£/не зависящем от (р) и п = 2 уравнение без отклонения аргумента £/,, + г'1 иг+ к2 и = 0 имеет общим решением функции и (г) = С1Н0(1) (кг) + С2Н0(2) (к г), где С] С2 - константы, а Н0(1,2) - функция Ханкеля.' Эти решения не только не возрастают при г—>оо, но являются убывающими порядка

0(f ) в силу асимптотических оценок для функций Ханкеля. Поэтому для обыкновенных дифференциальных уравнений теорема об осцилляции верна в формулировке данной в параграфе четыре первой главы теорема 4.2.

Результаты, относящиеся к дифференциальным уравнениям в частных производных с отклоняющимся аргументом, являются теоретически важными и принципиально значимыми для приложений.

Поэтому исследования, относящиеся к этой мало изученной области, представляют определенный математический интерес.

Исследования пятого параграфа первой главы посвящены нелинейным параболическим уравнениям вида:

Г-Цт-^-Ма--a(t,xy(ta,x) = 0, (5.1) ut ij=\UXi OX■ где x=(x!i,.,xn), ay (x,t) - ограниченные измеримые функции в области G = Q х [О, оо[, Q- ограниченная область с гладкой границей. Оператор в левой части (5.1) предполагается эллиптическим, то есть п

Y,aiM.i-a\x\2 I при всех вещественных Л, a(t, х) - тоже ограниченная, измеримая функция, причем a (t, х) > ао =. const > 0, а = const > 1, а = const > 0, очевидно, acr < 1.

Рассмотривается решение уравнения (5.1), удовлетворяющее однородным условиям Неймана на границе, то есть заданной нормальной производной п ды ( \

2Х-—cos(fl,x,)=0, (5.2)

7=1 OXi где п- вектор внешней нормали границы.

Теорема 5.1. Всякое обобщенное решение задачи (5.1), (5.2) меняет знак при г1 > Г, (х, () € С, Т- произвольная постаянная.

Обратим внимание, что теорема такого типа не может иметь место при отсутствии запаздывания.

Пусть уравнение имеет вид: ди д2и и a{x,t\ (5.3) di дх и граничные условия: о<*<1, = ^L, = 0. . (5.4) ох ох

Краевая задача (5.3), (5.4) имеет решение u = v(t), где v(t)~ решение обыкновенного дифференциального уравнения

1-й«. а решение такого уравнения кроме тривиального нулей не имеет.

Теорема, аналогичная теореме 5.1, имеет место для решения первой краевой задачи (Дирихле).

Решение следующей задачи

U,(x,t)- AU(x,t)+C(x,t,u) + P(x,t)íJ(x,t -т) = f{x,t), [f/(jt,í)=0, {x,t)eS, в цилиндрической области G = D х ]0, оо[, где D - ограниченная область в У?" с гладкой границей 3D, 8 - боковая поверхность цилиндра G, то есть 8= dD х ]0, ао[; краевая задача ( Неймана )(*) рассматривались и другими авторами: Байнов Д.Д., Домшлак Ю.И., Крейт К., Кусако Т., Мишев Д.П., Мышкис А.Д., Трамов М.И., Эльсгольц Л.Э. и др.

Тема уравнений с запаздыванием традиционно изучались в обыкновенных дифференциальных уравнениях: Домшлак Ю.И., Кигурадзе И.Т., Коплатадзе Р.Г., Мышкис А.Д., Трамов М.И., Чантурия Т.А., Шевело В.Н. и др.

Специалистам хорошо известно, что запаздывание приводит к таким эффектам, как появлению неустойчивости и осцилляции решений, например, все решения уравнения являются колеблющимися, если аЦ) > а^т (I) > т0, I- х(1) —> оо, а0 ц> Не.

В тоже время при т (X) = 0 уравнение не имеет решений , обращающих в нуль даже один раз, кроме тривиального. Такие же явления происходят при наличии запаздывания в уравнении теплопроводности, а именно: задача (*) при С (х, и) = О, т= 0, р(х, г) < 0, /(х, I) = 0 имеет нулевое решение устойчивое по Ляпунову, а при т >0 устойчивость пропадает. Точно так же при тех же предположениях уравнение (* ) имеет неосцилирующее решение, а при т > 0 имеют место осциляции всех его решений.

Параграф шесть настоящей главы посвящен дифференциальному уравнению с опережающим аргументом первого порядка вида: х'(0 + + т( 0) = 0 (6.1) при I > {().

Очевидно, что если =0, то все его решения сохраняют знак. В первом параграфе выделен класс уравнений вида (6.1) при < 0 (то есть уравнений с запаздывающим аргументом) все решения которых колеблются. Случай запаздывающего аргумента так же изучен в классической монографии А.Д. Мышкиса [18].

В случае уравнений с опережающим аргументом (то есть т (0 > 0) колеблемость будет всегда при отрицательных а ({), удовлетворяющих указанным ниже условиям.

Теорема 6.1. Если а (0 <а0 < 0, т (0 > т0 > О, /(Л) =Л+а0 еЛт° <0 при всех действительных Л, то каждое решение уравнения (6.1) обращается в нуль при t>N и любом N.

Предметом изучения второй главы является нелинейное дифференциальное уравнения с отклоняющимся аргументом произвольного порядка. Во многих работах [9 - 12] по обыкновенным дифференциальным уравнениям при отсутствии запаздывания подробное рассмотрение проводилось для случая двучленного уравнения

0 + 0(0x^=0.

Здесь рассматриваются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Уравнения с запаздыванием имеют существенные отличия от уравнений без запаздывания, состоящее в том, что уравнение нечетного порядка может быть таким, что все решения осциллируют. Известно [5], что если запаздывания нет, то такое уравнение обязано иметь неколеблющееся решение.

Случай нелинейного уравнения четного порядка рассматривался многими авторами: Т.Кусано, и X. Оноса, В.Н.Шевело и Н.В. Варех и др. Их критерий состоит в том, что если запаздывание не очень велико, то поведение решений уравнений с запаздыванием аналогично поведению решений обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания.

Ряд критериев колеблемости решений (кнезеровского типа) дифференциальных уравнений четного порядка с запаздыванием получены М.И. Трамовым [25].

Менее изученным являются уравнения нечетного порядка. В случае такого уравнения Трамов М.И. [26] выявил существенное значение наличия запаздывания.

Рассматривается нелинейное уравнение х(п) (t) + a (t) х а (т (t)) sgn (х (х(t)) )= 0 (7.1) при a(t) > 0, r(t) <tр, Ищг(0 - -к», а>1. (7.2)

I —>+со

Случай а/3 < 1 рассмотрен в [27].

Если запаздывание отсутствует, то у таких уравнений есть неосциллирующие решения. Более того, если п = 1, то все решения неосциллирующие. При наличии же запаздывания можно указать широкий класс условий, при выполнении которых все решения осциллируют когда t +оо. Такие факты для обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в классической монографии выдающегося отечественного математика А.Д. Мышкиса [18]. Например, все решения линейного дифференциального уравнения первого порядка при наличии запаздывания могут быть осциллирующим, и чего, конечно, не может быть для обычных линейных дифференциальных уравнений.

Доказана следующая

Теорема 7.1. Если выполнены условия Нщг(0 =+оо, о>1, a (t) >a0tr, а0> 0, у > 1 - п, г (t) <f30tP,Po>0, /3 >1, аР у + 1 то все решения уравнения (7.1) осциллируют при t -> + да.

22

Теорема 7.1 может быть распространена на краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными следующего типа: д2т+1и

- А и- ait, х)и° (ta ,х) = 0, (7.7) ot где х = ( xi,.,x„.) в области G = Q х [ 0, оо [, Q- ограниченная область с гладкой

СССТ границей, а> 1, a (t, х) >a0tr, а0> 0, у> -2т, -< 1 + у и решение задачи (7.7), удовлетворяющее однородным условиям Неймана на границе, то есть

1-0, (7.8) on где п - вктор внешней нормали границы, меняет знак при t > T, (t, х) е G ( Т - произвольная постоянная ).

Заметим, что если запаздывание отсутствует, эта задача имеет неосциллирующие решения. Более того, если т=0, то все решения задачи (7.7), (7.8) неосциллирующие.

23

1. Atkinson F. V. On sekond-order non-linear oscillations.-Pasif. J. Math., 1955,Vol.5, №1, p. 643-647.

2. Б e л л m a h P., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: ИЛ, 1954.-216 с.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально разностные уравнения. - М.: Мир, 1967.-548 с.

4. Д о м ш л а к Ю. И., Алиев А. И. О теоремах типа Мышкиса Трамова в исследовании осцилляционных свойств функционально - дифференциальных уравнений. Баку: Изд-во АН АзССР,1985. - 67 с.

5. К и г у р а д з е И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. -Тбилиси: Из-во Тбил. ун-та, 1975. 352 с.

6. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. -432 с.

7. Kneser A. Intersuhunge uber die reellen Nullstellen der Integrale linearer Differential gleichungen. Math. Ann., 1893, vol. 42, № 3, p. 409-435.

8. К о л м а н о в с к и й В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием -М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Кондратьев В. А. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядков, труды Моск. мат. об-ва, 1959, №8, С. 259-282.

10. Кондратьев В. А. О нулях решений уравнения у(п) + р(х) у = 0. ДАН СССР, 1957,т. 113, №4, С. 742-745.

11. Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д. Об облети положительности решений эллиптических уравнений. Математические заметки, 1971, т. 9, №1, С. 83-87.

12. Кондратьев В. А. О колеблемости решений уравнения у(11)+р(х)у=0. труды Моск. мат. об-ва, 1961, №10, С. 419-436.

13. К о п л а т а д з е Р. Г. , Чантурия Т. А. Об осциляционных свойствах дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Тбилиси: Изд-во Тбил. Гос. ун-та, 1977. - 116 с.

14. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного анализа. М.: ФМГ, 1962. - 395 с

15. Кудаев М. Б. Неколеблемость и монотонность решений дифференциального уравнения. ДАН СССР, 1991, т.20, №4, С. 789-791.

16. Kusano Y. And Onose H. Oscillation of Solutions ofNonlinear Differential Delay Equations of Arbitrary Order. -Hiroshima Math. J., 1972, №2, p. 1-13.

17. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. -М.: ИЛ, 1957, 256 с.

18. M ы ш к и с А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. (2-ое изд. перераб. и расш. К.: Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: ГТТИ, 1951. - 256 с.) - М.: Наука, 1972.-352 с.

19. Nirenberg L. A strong maximum prineiple for parabolic equatios, Comm. Pure and Appl. Math. 6, №2, 1953, p. 167-177.

20. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.-Л.: ГИТ - ТЛ , 1950.-304 с.

21. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1, 2, ИЛ, M.: 1953.-348 с.; 1954. -416 с.

22. Sturm G. Sur les tquations différentielles du sekond ordre: J. De Math., 1836, №1, p. 106-186.

23. Тихонов A. H. О функциональных уравнениях типа Volterra и их применениях к некоторым задачам математической физики. Бюллетень МГУ, серия А, т. 1, вып. 8, 1938. С. 1-25.

24. Т р а м о в М. И. Условия колеблемости решений дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом. Изв. вузов. Математика, 1975, №3, С. 92-96.

25. Т р а м о в М. И. Некоторые вопросы теории осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом,- Изв. вузов, Математика, 1979, №4, С. 46-52.

26. Трамов М. И. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. В сб.: Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. - Саранск: Из-во Мордовск. Гос. ун-та, 1979, С. 143-158.

27. Т р а м о в М. И. О нулях решений одного уравнения // Тез. докл. Второй Северо-Кавказск. регион, конференц. "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения." Махачкала: РИО ДГУ, 1989, С. 205.

28. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу математического моделирования. // Тез. докл. всесоюз. конференц. « Дифференциальные уравнения и оптимальное управление.» Ашхабад, Ылым, 1990, С. 141.

29. Т р а м о в а А. М., Трамов М. И. К вопросу качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. //Тез. докл. Семинара-совещания по дифференциальным уравнениям и математической физики, Баку: 1990, С.31.

30. Трамов М. И. Колеблемость решений одного класса функционально дифференциальных уравнений. Дифферениц. уравнения, 1991, т. 27, № 8, С. 14571458.

31. Т р а м о в М. И. Осцилляционные свойства линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. ДАН РФ, 1992, т. 327, №1, С. 25-31.

32. Трамова A.M. О собственных функциях эллиптического операторного пучка. // Тез. докл. Международ, научн. конференц. «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции.» Самара: ПО «Самвел», 1992, С. 249.

33. Трамова А. М., Трамов М. И. Об одном методе математического моделирования. // Материалы Научно практическ. конференц. КБГСХА, -Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 134-137.

34. Трамова A.M., Трамов М. И. К теории математического моделирования. // Материалы научно практическ. конференц. КБГСХА, - Нальчик: Из-во КБГСХА, 1995, С. 137-140.

35. Т р а м о в а А. М., Трамов М. И. Исследование автономных функционально дифференциальных уравнений. // Тез. докл. Международного семинараДифференциальные уравнения и их приложения.» Самара: СамГУ, 1995, С.80.

36. Трамова A.M., Трамов М. И. К вопросу современных методов в теории краевых задач. // Тез. докл. Международного семинара «Дифференциальные уравнения и их приложения.» Самара: СамГУ, 1995, С. 81.

37. Трамова А. М., Трамов М. И. К вопросу качественной теории дифференциальных уравнений. // Тез. докл. XXXVII (II) региональная научная конференция молодых ученых и студентов « Математика и ее прикладные аспекты », -Нальчек, КБГУД997, С. 25.

38. Fite W. В. Concerning the zeros of the solutions of certain differential equations. -Trens. Amer. Math. Soc., 1918, vol. 19, №4, p.341-352.

39. Шевело В. H. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1978. - 156 с.

40. Э л ь с г о л ь ц А. Э., H о р к и н С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.