Периодические решения систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Казанский государственный унив^^гег

17 то

на правах рукописи

КОЛОМИНА МАРИНА ВЛАДИМИРОВНА

УДК 517 925

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕ11 ЦП АЛЬ Hbf X УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

(01,01.02 дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фичико-матеметнческих наук

К'цзаш.-2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета.

Наушый руководтгель: доктор физико-математических наук,

профессор ТЕРЕХИН М.Т.

Официальные оппоненгы: доктор физико-математических

наук, профессор Малышев Ю.В. кандидат физико-математических наук, доцент Деревенский В.П.

Ведущая органгоация - Мордовский государственный

ушгеерситет

Защита состоится 29 ноября 2000 года в 17 часов 30 минут на заседании диссертационного совета К 053.29.27 Казанского государственного университета по адресу: 420008 г. Казань, ул. Университетская, д. 17, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке . Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук, профессор —= ; Плещинский Н.Б.

&-/6-Г ¿/^ С }

Обтай характеристика работы

Актуальность темы. В настоящей работе рассмагривает-ся неавтономная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Предполагается, что матрица коэффициентов представлена в виде частичной суммы ряда «1»урье.

Исследование данной проблемы имеет важное знамение, как дня качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей в фишке, химии, астрономии и других науках.

Проблемой существования периодических решений систем дифференциальных уравнений занимались Латинский H.H., Соболевский U.E., Бояринцеп Ю.Е., Даревский В.М. Существенный вклад в развитие ной теории внесли Андронов А.А , Малкин И.Г., Красносельский Mil., Бойчук A.A., Демидович Б П. и многие другие математики.

В силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем дифференциальных уравнений общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Представляет интерес исследование неавтономных систем в случае, когда матрица линейного приближения критическая и требуется знать свойства .нелинейной части системы. В связи с этим, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений как линейных, так и нелинейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является весьма актуальной.

Цель работы состоит в получении условий сущссгвоваг ния ненулевых 2/г -периодических решений для линейной и нелинейной систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Методика исследовании. 'Задача поиска ненулевых 2/г-периодичЪскнх решений для линейной и нелинейной систем дифференциальных уравнений сводится к поиску коэффициентов ряда Фурье, /(ля решения этой задачи в линейной системе используется метод сравнения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, а так же метод неподвижной точки. Для нелинейной системы дифференциальных уравнений эта проблема решается с номощыо разбиения основного пространства на прямую сумму нескольких подпространств. Задача определения условий существования 2л- периодического решения сволитр» к

задаче о нахождении методом неподвижной точки некоторого тригонометрического многочлена и параметра.

Научная нйннзнц. В диссертации найдены новые дрста-точные условия существования ненулевого периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Утверждения сформулированы с привлечением свойств, как матрицы линейного приближения, так и свойств членов высших приближений нелинейной части системы. Интерес представляют способы разбиения пространства, в котором отыскивается решение.

Практическим ценность работы заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных дифференциальных уравнений, являющихся моделями процессов, происходящих во всевозможных природных и социальных системах.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях тучно-исследовательского семинара, по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Четвертой и Пятой Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в г. Рязани, на Четвертрй Российской унийерситётско-акздемнческой научно-практической конференции в г. Ижевске, на 1-егноналмюй студенческой научной конференции "Современные подходы в формировании будущих специалистоц но физическим и математическим дисциплинам" в г. Уфе, на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и ич приложения к математической экономике" в г. Тамбове.

По теме д^'.ccq)raц^^и опубликованы работы [1-12].

Структура н объем. работы. Дирсерпишя состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы, включающего наименований, и изложена на 119 страницах машинописного текста.

. Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы дис-

сертации, обзор результатов по ее тематике, краткое описант методики исследования й содержания работы.

В главе 1 рассматривается линейная система дифференциальных уравнений пища

x = A(t)x.+y, (I

где А(() - 2 л- -периодическая матрица, определяемая равенством

.Л(/) = Л0 + coskt + fík sin*/), (2)

AQ,Ak, fík - постоянные rt х п-матрицы, je е R",

y-Á'h «•() .+ tkk cos kl +({k sin*/), (3)

c0, ck, dk € H" ^известные векторы, (c0, с,, с/,, ...)e m„, где mn-пространство ограниченных последовательностей п-мерных векторов. Если г = (г,\ г, G ft", :е/я„, то |г| = sup{]r,|}, где

г, = max . . ...

. isysw '1 • '

Рассмотрим[множество Ф всех тригонометрических ря-

" ' т(■ i i у

дов вида <z0 -f ~так coskt+—bk sin ki с.коэффициентами из k=i\ к ,к /

пространства тп. Под нулем множества Ф понимаем. ряд 0 = 0+ X(0cosÁ7 + 0sinkt). На множестве Ф определены операции сложения, умножения, дифференцирования. Система (I) представлена в виде

у = 0. •

Решение уравнения (J). будем отыскивать в виде тригонометрического ряда . . ,

л(/) = «(, + У - —cosA/'+ —sin*/1, (4)

А=1ч к . •■ к- )

где eft", (<r„, а,. Л,.... )ет„.

Определение 1Л. Под 2п-период . юским решением уравнения (1) оулсм понимать а кой элемент .г;1еФ, когор: Г»

удовлетворяет равенству fi(f, х(), у) = 0.

В §1 устанавливаются условия существования решения цифференциального уравнения (1) в виде (4) с помощью метода сравнения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. С этой целью элемент л(г)еФ подставим в систему (1). Учитывая равенства (2), (3) и приравнивая коэффициенты рядов при соответствующих cosк(, sin kt, к~(), 1,... получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов тригонометрического ряда:

Ч, = 1.СлЧк+Р, {i = 12,...), (5)

где q = (</,, q2, </;,,...)= (а0, tí, ,/>„ ...), qk g R", p = (php2, /»,, ...) = = (c„, c/j, f|,...), pk e Rn, Clk - их л-матрица-коэффициент, при этом существует такое число к0 е N, что выполняется неравен-:тво

оо

•IÜQ||<v (i = 2A:0+2,2*0+3,...), (6)

А = I .

где V - заданное число, 0< v < 1, |Г'lk ]] = max £ су J, C,k - {c'j¡ ).

Определение U. Бесконечная система (5), в которой :умма норм коэффициентов удовлетворяет . неравенству w 1

X U II ^ — (/ = 1, 2,...), где п - размерность матрицы Cjk, назы-

п

шется вполне pei-улярной.

Обозначим через p¡ = (р,|, Рц\ Рт) вектор, компо-

оо п

1С1гты которого определяются по формулам р,. = 1 - V Z ||С(* ||

a-=I/=I

[/• = 1, ..., п, /.= 1, 2, ...), р,1 =р„, /,Л = 1,...,п.

Теорема 1.1. Если I) система (5) вполне ре!улярная, то :сть неравенство (6) выполняется и для i = 1,..., 2к{) +1 при

i -- —, 2) выполняется неравенство \plt\<Kp- (/— 1,'..., п, п '

í — 1, 2, ...), где К - постоянное число. А.'>0, то система (1)

имеет единственное 2я-периодическое решение в виде тригонометрического ряда (4).

В §2 определены условия существования м отсутствия 2я -периодических решений для системы дифференциальных уравнений (1) случае, когда снсгема алгебраических уравнеш1Й (5) является квазирегулярной.

Определение 1.4. Система (3) называется квазнрегуляр-ной, если существуют числа I > 0 и Н > 0 такие, что

<г = 1 1

где п - размернреть матрицы Сл,

со

1М<« (/=1,2,..„4

Из неравенства (6), где V-—, следует, что I. 2А„ +1,

п

пусть Н - К, тогда система (5) является квазнрегуларпоЯ.

Рассматривается следующая вполне регулярная сисгр«а уравнений

"„♦Г ^ . .

А + I СлЧк (/ = 2*0 + 2, 2А0 +3,...). (7)

^ *-2*а-2л>+2. ) Система (7) имеет решение

где г- решение системы = £ О = 2А0 — 2«! +

к-2ки+2

+ 2,.,., 2А0+1, / = 2£0+2, 2&0+3,...), </' - решение систем1. «

И = I + р, (/ = 2*0 + 2, 2*0 + 3,...). 1=21«, *2

иО

Подставим решение (8) в уравнение . ^ ~ £ С)д </4 + р

Ы

(/ = 1,2;..., 2*0 +1), в результате получим систему

Ч, = 2.Слдк + к-2к0+2

Cq = P, (9)

содержащую (2/c0+l)/i уравнений с (2k0 + 1)ai неизвестными.

Тсорша 1.2. Если 1) для i. ом по нет1 свободных членов системы (5) выполняется неравенство

'\pv\i KPlJ (/ = 1,2.....и,/=2А:0+2, 2*0+Э,,..), (10)

2) rangC = (2k о +l)n, то система дифференциальных уравнений (1) имеет единственное решение в виде тригонометрического ряДа (4).

Теорема 13. Если 1) для компонент свободных членов системы (5) выполняется неравенство (10), 2) система (9) совместна н rangC* < (lk{) + 1)л, то система дифференциальных уравнений (1) имеет бесконечное множество решений в виде тригонометрического ряда (4). .

Теорема 1.4. Если. 1)для кЬмпоненг свободных членов системы (5) выполняется неравенство (10), 2) система (9) несовместна, то система дифференциальных уравнений (1) не имеет решений в виде/тригонометрического ряда (4).-

Во второй главе продолжается-изучение проблемы существования 2/г-периодического решения линейной системы дифференциальных уравнений (1) с матрицей .вида .(2). Последовательность коэффициентов ряда (4) рассматривается в пространст-г ве ¡1 сходящихся последовательностей /»-мерных векторов, рассматривается множество Ф всех тригонометрических рядов вида 00

ао + r-COsAr/.+ '^jt sin*/), • aQ, ak, bk e R" . Кроме того, pac-

сматривается множество ф тригонометрических рядов .с.коэффициентами .<u[nak,bk е.Л", (о0,а,,б,,...)е/|, ФсФ. На

множествах Ф й Ф определены операции сложения,Умножения, дифференцирования.

Оператор В определим равенством .. Вх~х-Л({)х, . тогда систему (1) запишем в виде Щ1, х, у) = 0, где CI (t,x,y)=Hx-y, ■ '

Периодическое решение системы (1) будем отыскивать в

8 . • ' '•

виде ряда Фурье

сс

(Н)

к=\

где а0,ак,Ьк е Н", (а0,аиЬ,,...)е1}, х(|)еФ.

Определение 2.1. Под 2п -периодически!! решением уравнения (I) будем понимать элемент х0 е Ф, который удовлетворяет равенству , х0, у) = 0.

Обозначим Г = шах||44 |®| - норма иатр!Я|р.

Теорема 2.1. Если 1) А^ - неособенная матрица, 2) для всех к = 1,2,...До выполняете? неравенство О<1, гдэ

А, =Г,^2й)+||, Г, = то система диф-

ференциальных уравнений (1) имеет единственное 2/г-периодическое решение ввиде ряда (11). .

Теорема 2.2. Решение. аг(/) системы (1) непрерывно ц его рад Фурье можно почленно интегрировать.

Уравнение Вх = у эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурьз

где

I =

1Л о

(12)

О

о ¿в

О к Ч о о

1Л - (2*0 + 1)

п х (2*о +1) п -матрица, I- - (2 А0 + |)м х 2й/ п • матрица, ¿з - 2<илх(2*ц:+1)лниатрнца, ¿4,Ц, ~ 2шпх2соп-матрицы, . 110 - бесконечная матрица. Пусть Г) = rangЦ, г, < (2*0 + })п . Тогда получим матрицу

д =

Ц

о о о о

о о

к о о

о

¿2

о о

и и

I« о

12 ц

о о о

ъ ^10.

где ¿1 - ^ х^-матрица, - г,)х2соп-матрица, ¿3 -

2а» л * ((2*0 + 1)м - г, )-матрица, Ц, Ц, Ь,, Ту -2сопх2й)п -матрицы, Л10 - бесконечная матрица. Положим г2 = гаи£/.2, г3 — гапцЬ^. Рассмотрим случай, когда г2 = г3 = шт{2й>п, (2*о +1>1 - г,}. Вводится обозначение 2о> + 1

Л} = ЯзГз+-

-Г, //3 - число строк, содержащих мат-

Ао+^/2 + 1

рицы и^, У^, и'и1т, Г/+1(П полученные в результате элементарных преобразований из матриц , Вк, Г, - тах{|(/Ц ¡(/;+|,т||, ||^+1,,я||!-

Теорема 2.4. Если 1) гап^-1 <(2А'0 + 1)н, 2) гап%Ьг = = гснщ1из = шт{2й>и, (2£0 + 1)п - Г|}, 3) выполняется неравенство

0£Дз<1, (13)

то система дифференциальных уравнении (1) имеет единственное непрерывное решение в ввде рйда Фурье (11).

Пусть г2 - г, < ппп{2«7/),(2Л-() -I-1)/* - /¡}. Тогда система (12)

экпивалс1гтна системе 1Л- у, которая распадается на системы

02Х2 = У2,

(14)

С,=

/.,0 0 0 О 0 ¿41 0. 0 0 0

0

¿42 0

.0 . о

о

о о

Сп =

0 0 0 /•2 0 0 0

0 0 0 Д..Я ¿44' ¿52' 0'

0 0 0 V ¿7 5

0 0 0 ; 0 0 ц Ао

матрицы /., получены из матриц с помощью элементарных

переобразований. Обозначим Д4=^4Г4 +————Г, //4 -

Агц+/;4/2 + 1

число строк, содержащих матрицы и\т, ,

У'мКу'+1п1, полученные в ходе элементарных преобразований из матриц А0,Ак,Вк, Г4 =

И41К4

^'г, +1,т |

V 1 ' 2к0щ + 2,т\ > V ' 2/с0+г)+2,т

Теорема 2.5. Если 1) гап^Ц < (2А0 + \)п, 2) лиде^ = -гап^Т^ < т\п{2ат,{2кп + \)п-гх), 3) система(14) совместна, 4) выполняется неравенство

0<Л4<1, . (15.

то система дифференциальны^ уравнений (I) имеет бесконечно« множество непрерывных решений х{/) в виде ряда (11).

Теорема 2.6. Если 1) гап%1л <(2А0 + 1)л, 2) гип^ = = гап%1гу <, тт{2®я, (2Л„ + 1)л-Г|), 3) система (14) несовместш то система дифференциальных уравнений (1) не имеет решений виде ряда Фурье (11).

В §2 второй главы изучается вопрос существования 2я периодического решения при условии, что .V, 1 < л < 2со +1, пер вых матриц в равенстве (2) особенные, и случай, когда все мат рицы А0, Ак, Вк ,к = 1,...,гу, особешп>1с. Получены достаточны условия существования бесконечного множества непрерывны решений в виде ряда Фурье для линейной системы дифферешд альных уравнений (1). В §3 исследован вопрос существовали непрерывного 2л -периодического решения ооладающег |г, н'>2, непрерывными производными.'

В третьей главе исследуется проблема существовани 2л -периодического решения нелинейной системы дифференш альных уравнений.

х = А(1)х + /(1, Х,А), . (1С

где А(() - 2 я -периодическая матрица, определяемая равенство

П.

(2), х ё Нп, ХеНр, вектор-функция f(t, х, Я) непрерывна по д: и по Л, 2 /г -периодическая по / и /'(/, О, Я) - О при всех Я е Rp,

lim-=—¡—^ = 0 равномерно относительно / и Я, допускает

И .

представление /(<, л\ Я) = (?(*, jc, Я)+/)(', -х» Я), где вектор-функция С(/, jc, Я) - форма степени i > 1 относительно переменных х и Я , вектор-функция 1)((,х,Я) - конечная сумма форм степени выше, чем s по х и riq Я. ß § I третье ji главы, изучаются свойства пространств связанных с решением системы (16). Дано определение 1я -периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. На множестве тригонометрических рядов рассмотрены свойства оператору В- Рассмотрим уравнение

//(*, .V, Л) = О, (17)

где hi(t, х,Л)щВх~C(t, х, Я)-/)(.', х,Л). Периодическое решение системы (16) будем отыскивать в виде ряда Фурье (11).

Определение 3.1. Под 2л"-периодическим решением сравнения (16) .будем понимать такой элемент: А'0 е Ф, который /довлетворяетравенству (17). ' . ,

Определение 3.2, Ненулевой' элемент х(/)еФ назреем »бствеиным элементом оператрра В, соответствующим собст-енному значению г оператора В, если Их-ix являете*! нуле-ым элементом множества Ф. .

Теорема 3.3, Если 1) rj < (2к0 +1)п, 2) г2 = г3 -= min{2eon, (2k0 +t)«-r,}, 3) выполняется' неравенство (13), то оль не.является собственным значением оператора В.

Теорема 3.4. Есливыполняютсяусловия теоремы 3.3, то

ператор В имеет обратный оператор В~1 на множестве Ф.

Рассмотрим множество /:/^)^^:^/)^^!^ </у|, где

Теорема 3.5. Если опера top В не имеет нуле вого собст-

. i о

венного Значения, то существует такое р > О, что уравнение (И имеет только нулевое решение на множестве и{р).

Теорема 3.6. Если 1) гх < (2к0 + \)п, 2) гг = г у < пип{2ает + 3) выполняется неравенство (15), то оператор I

имеет собственные элементы, соответствующие нулевому собст венному значению.

В §2 третьей главы основное пространство Ф разбиваете на прямую сумму двух подпространств,, одно из которых содер жнт конечную часть ¡ряда (11), а другое Ф0 - бесконечную, Рас суждения проводятся в предположении, что выполняются услс вия теоремы 3.6, то есть оператор В имеет т собственных элс ментов Ц, /г2,..., ^. соответствующих нулепому, собствешюм

значению. Каждый, элемент лгеФ можно единственным образо представить в в; ще '. ■

т ' г ■ \

х = , ■ О*

" '«I . ' ' •

где Р и с,, / = 1,2,..., т определяются следующим образом:

1) для любого леФ Рх таково, что при разложении Рх в рл Фурье последовательности» коэффициентов Фурье имеет вид пр г4 - нечетном • '

/ . ■ •

(*оу' 1 > •••» аЯ4+1 ; •••• Р>. %+>,/> ••

--— ,1 • ----Мл

\ ■ 2 2

где 7 = 1,2,....,//, г4 удовлетворяет равенству г4 = , г;

г4. = г, +г3 и при г4 - четном

/ • • ■ ■

%г «г, Л, ..., ь?4 , о,...,о,...

х =

у - 1, 2где ^ = 6'2 - матрицы элементарнь

преобразований;

' ' 1

2) £,(.х-)=(.х,- | )/;,<// для . любого дс.еФ и лу / = 1,2,...,/»-. . '

Выбранные /' и (л), / — 1,2,..., т обладшот свойствами: . 1)^(А|) = (А<>/|,)=1 для любого / = 1,2,...,/м; 2) €l{hJ)={hi, hj) = Q для любого / = 1,2,.... т , ^ = I, 2,/и, 3)^(х)=(дг, = 0' для всех *еФ0, ¿ = 1,2,...,»;; 4) Рх - х для всех хе Ф0; 5) Рдсе ф0 для всех д е 6 ; 6)

РВх ~ ВРх для всех х е<Р.

Теорема 3.7. В пространстве Ф0 у оператора В существует обратный ограниченный оператор В~х.

С учетом равенства (18), получим, что уравнение (17) равносильно системе

Р(Н0,х,Л))= 0, , (19.0)

£,(Я(/,х,Я)) = 0, (19.1)

4„т,х,Л)) = 0. (19.41)

Решение уравнения (19.0) отыскивается в виде

т

ха = )>ха +1>Д ,

¡=1

де а - сЫоп(<Х\,а2,...,«ш) - произвольный вектор. Jравнение (19.0) примет вид

. ya=Z(í,ya,a,A). (20)

це, Z{t, уа, а, Л) = /rV|t.j/, уа + £аД, уа + я}},

>=Рх

и 4 ла '

Теорема 3.9. Существует число р> 0 такое, что уравне-иб (20) определяет на множестве U(p) единственную функцию •и = i¡/(/, а, Л) непрерывную но а и по Я.

Исследованы свойства функции уи - а, Я). Положим ^ = сЫоп(£\, ¿¡2>••• 14т )> roí да систему (19.1)-у.т) можно представить в виде

¿(c(/.a.A))+í(D(*,a,A))= 0,

IH

C(a.A) + D(a,A) = 0, (21)

гле С.(а, = %{('(t,a, А)), 1){а, А) = ¿¡(lj(t,a. А)), причем размерность вектор-функций С(а, Я), Г)(а, Я) равна т.

Итак, задача нахождения периодического решения уравнения (17) сводится к вопросу о разрешимости нелинейного уравнения (21).

В §3 третьей главы исследование нелинейного векторного уравнения (21) проводится с помощью разложения некоторых форм по формуле Тейлора и применения метода неподвижной точки. Уравнение (21) запишем в виде ,

Ш+4-!ГМ (22)

где функция ('(а, Л) - форма л -го порядка по z, z = coloMpt, Я).

Теорема 3.12. Если О для любого z е Нт*р тако-

го. что j|?| -1, то найдется такое число р> О, что при всех

||Я|| < р, jjaj < — система (16) имеет только нулевое решение.

Теорема 3.13. Если 1) существует вектор z = coloiJp, я), ||z||= 1 такой, что c(z)=0, где aefi", a*0, XeRp, 2)

rang А - т, где Л =-J

А

, то система (16) имеет 2я-

1 = 2

периодическое непрерывное решение в виде (II).

Далее рассмотрен случай, когда не выполняется условие 2) георемы 3.13. Решение уравнения (22) отыскивается в виде z - ¿¡(I + Az), при этом уравнение (22) принимает вид

ЛЛг + о(||Лг||)+ о(С, 2 + Аз) = 0. (23)

В случае, когда гап£.\ - к < т, для определенности

~Л1 л2"

_Л3 Л4

где Л, - к х к -матрица. Тогда уравнение (23) можно записать в виде системы

Л =

Л.Лг.+Лг^^оМ+О^,), (24)

Л3Дг, + Л4Дг2 =о'(||Лг||)+0(С,), (25)

где Лг| - вектор содержащий к первых компонент вектора Аг, Лг2 . состоит. из остальных т+р-к компонент, 0{С1)-0{С,г + Дг), 0(<Г,)-Ю при 0 равномерно относительно Дг. Из уравнения (24) находим

ЛГ,=Л1,(-А2^+0(||ЛГ||)+О(С,)). (26)

После подставки выражения (26) в уравнение (25), получим систему

Л1Д21ЧЛ2Дг2=о(М)+0(^)1 _

где а'(|АГ|[)= Л3Д1Ц[Дг|)-о'(||Дг|)У Пусть '

где Р(А:) - форма порядка по Аг, у, > 1. Учитывая (26), приведем систему (27) к виду

где /г(Дг2)'-форма порядка ¿,.пд А:2, которая получается из /^(Аг) заменой Дг = Л^'Л2 Дг2 ,• Дг2

Теорема 3.14. Если 1) существует вектор г = со1ог^а, я), |!?|| = 1 такой, что С{7) = 0, где а е Кт, а * 0, Я е Яр,

2) гоп^П, = к<т, ..12,

3) существует вектор

¿Ь

Д?2 с такой, чторсистеме(28) ЩAz2)=;0,

, то сйстема (16)

4) rmty^l1 -- т - к , где Q2 =

• ' Л

■ . Л;; -,\i2

имеет 2тс -периодическое непрерывное решение в виде (11).

Автор иыражас! благодарность научному руководителю профессору Тсрсхиму Л1.Т. за постоянное'внимание к работе и всестороннюю поддержку.

1. (Соломина М.В. Периодическое решение линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / Ряз. гос. пед. ун-т." Рязань. 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 31.05.99. № 1750-В99. Реферат статьи опубликован в РЖ "Математика". 1999. Г. II. 11Н155 ДЕП.

2. Коломина М.В. Условия, существования периодических решений линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / Ряз. гос. пел ун-т. Рязань. 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 31 ;05.99. № 1751-В99.

3. Коломина М.В. Существование периодического решения системы дифференциальных уравнений в виде ряда Фурм (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Четвертая Всероссийская научно-техническая конференция студетггов, молодых ученых н специалистов. Тезисы докладов. Рязань.: Изд. РГРТА. 1999. С. 44-45.

4. Коломина М.В. Периодическое решение линейной системы с переменными коэффициентами (тезисы Докладов) // Четвертая Российская университе1;ско-академнчсскйя научно-практическая конференция. Тезисы докладов. Ижевск: Изд. У дм. ун-та. 1999. И. 6. С. 43.

5. Коломина М.В. О периодических решениях линейной системы дифференциальных уравнений7/ Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань.: Изд. РЕПУ. 1999. № 2. С.30-33.

6. Коломина М.В. О периодическом решении для линейной системы с переменными коэффициентами (тезисы докладов) // Современные подходы н формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам. Сборник тезисов региональной студенческой на^пюй конференции. Уфа. Им Ба.цГПИ 1999.' I С. 36.

7. Коломина М.В..'Применение теории бесконечных систем к решению линейной сииемы дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед ун-г Рязань 1999.' К) с. Деп. н ВИНИТИ 23.09.99. № 2914-В99. Реферат статьи опубликован в РЖ Математика 2000. Т. 4 00.04-13Ь. 224 ДЕ11.

8. . Коломина М.В. Исследование сиокств решений бесконечной сцсюмы лииечнмх уравнений / Ригос. пед.

ун-т. Рязань. 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 23.09.99. № 2915-В99.

9. коломина М.В. Определение условий существования только нулевого решения системы дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун^т. Рязань. 2000. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.2000. № 1058-В00.

10. Коломина М.В. Решение нелинейной системы дифференциальных уравнении, определенное в виде ряда Фурье (тезисы докладов) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Пятая Всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых н специалистов. Тезисы докладов. Рязань.: Изд. РГРТА. 2000. С. 21-24.

11. Коломина М.В. К вопросу о существовании периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. Изв. РАЕН Дифференциальные уравнения. Рязань.: Изд. РГПУ. 2000. № 3. С 34-39.

12. Коломина М.В, Некоторые условия существования решения в виде ряда Фурье для нелинейной системы дифференциальных уравнений П Вести. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и гехнич. науки. Тамбов, 2000. Т.5. Вып.4. с 463-464.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I Периодическое решение линейной системы дифференциальных уравнений, определенное с помощью теории бесконечных систем.

§ 1 Условия существования решения дифференциальных уравнений в виде тригонометрического ряда, установленные методом сравнения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

§2 Определение условий существования 2п -периодических решений у системы дифференциальных уравнений с помощью квазирегулярных систем.

ГЛАВА II Существование периодических решений линейной системы дифференциальных уравнений.

§1 Условия существования непрерывных периодических решений.

§2 Существование непрерывных периодических решений в случае, когда матрица системы линейного приближения содержит особенные матрицы.

§3 Существование непрерывного периодического решения, обладающего непрерывными производными.

ГЛАВА III Изучение проблемы существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с учетом нелинейных членов.

§ 1 Свойства линейной части системы дифференциальных уравнений.

§2 Разбиение пространства Ф на прямую сумму нескольких подпространств.

§3 Существование непрерывного периодического решения.

Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неавтономная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Предполагается, что матрица коэффициентов представлена в виде частичной суммы ряда Фурье. Изучены случаи линейной и нелинейной правой части системы. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых 2л -периодических решений.

Решение данной проблемы имеет важное значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для исследования различных математических моделей.•'Системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами моделируют биологические законы, которые приобретают количественную форму и поэтому становится возможным делать точные предсказания [48, 58-61]. В небесной механике и астродинамике с помощью дифференциальных уравнений описаны различные движения небесных сфер, решаются важнейшие задачи небесной механики [63]. Дифференциальные уравнения отражают возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, позволяют найти выходы из экономических кризисов [31]. Описание различных физических и химических явлений, связанных с динамикой течения процессов, осуществляется во многих случаях с помощью нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Ответы на многие вопросы в этих областях становится возможным получить с помощью математического аппарата, связанного с нелинейными дифференциальными уравнениями [2, 16].

Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно исследована проблема ненулевых периодических решений неавтономных систем, когда матрица линейного приближения критическая и требуется знать свойства нелинейной части. Исключительно сложными являются вопросы исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений. В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений как линейных, так и нелинейных систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является весьма актуальной.

Цель работы. В работе рассматривается линейная и нелинейная системы дифференциальных уравнений. Линейная система имеет вид х = А{[)х + у, (0.1) где х - «-мерный вектор, л(() - 2л--периодическая матрица представленная в виде частичной суммы ряда Фурье, у - 2п -периодическая по / функция. Нелинейная система дифференциальных уравнений представлена следующим образом: х = А{[)х + /(их,А), (0.2) л- и л(г) те же, А - р -мерный параметр, /(г, х, А) - вектор-функция непрерывная по х и по 2, 2/т -периодическая по (, допускает представление /(/, .г, А) = с(/, х, А)+ /)(/, х, /,), где С((, х, А) - форма степени $, 5 > 1 относительно переменных х и А, /)(/, х, А) - конечная сумма форм степени выше чем л по х и А. Цель работы состоит в получении условий существования ненулевых Ъс -периодических решений для систем (0.1), (0.2) в гильбертовом пространстве в виде ряда Фурье.

Методика исследования. Задача поиска ненулевых 2 к-периодических решений для систем (0.1), (0.2) сводится к поиску коэффициентов ряда Фурье. Для решения этой задачи в системе (0.1) используется метод сравнения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, а так же метод неподвижной точки. Для системы (0.2) эта проблема решается иначе. Основное пространство разбивается на прямую сумму двух подпространств. Задача определения условий существования 1п -периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений сводится к задаче о нахождении некоторого тригонометрического многочлена и параметра. Тригонометрический многочлен и параметр определяются как ненулевые решения нелинейного векторного уравнения. Исследование нелинейного векторного уравнения проводится с помощью разложения форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Проблемой существования периодических решений линейных систем дифференциальных уравнений занимались Лаптинский В.Н. [38, 39], Соболевский Г1.Е. [62], Зайцев А.И. [23], Бояринцев Ю.Е. [7], Крейн С.Г. [36] и многие другие авторы [14, 17, 18, 26, 49, 53, 56, 76].

Лаптинский В.Н. в работе [38] рассматривает систему — = a{î)x1 dt где a{î) - непрерывная на отрезке [о, b] п / п -матрица. Предлагается метод построения приближенного аналитического решения линейной системы дифференциальных уравнений. Этот метод основан на применении теоремы Лаппо-Данилевского И. А. и имеет тесную связь с классическим методом Пикара-Линделефа, при этом существенно используется тождество d{expB)/di = ехр(//В)Л ехр(- juB)dfi expB,B = ^Adr и метод мнимых dx квадратур. В статье [39] рассмотрена система — = A(t)x + f(t), где х - пdt мерный вектор, л(/) и /(/) непрерывны и w -периодичны. Периодическое решение отыскивается в виде x(t) = y(t)+c, где у(/) - w -периодическая w вектор-функция, удовлетворяющая условию \у{т)ск = О, с - постоянный о и-мерный вектор. Обобщением результатов работы [39] является представление периодического решения в виде x(t) = Tm{i)+y(t), где m

Tm (i ) = с + ^Г (ак cos kt + hk si n kt). y{t) - остаточный член ряда Фурье. к=\

Постоянные с,ак,Ьк и 2/г-периодическая функция y{t) находятся из конечной системы интегральных уравнений с учетом граничных условий, при этом используется принцип неподвижной точки.

Хохряков А.Я. [76] рассматривает задачу ~ + a(i)x = /(/), dt x{a)-x{fi), где х, fit) - п -мерные векторы, A{t) - непрерывная пхп-матрица. Он изучил вопрос существования и поведения матрицы Грина данной краевой задачи. На основе полученной информации о матрице Грина дается оценка и достаточное условие существования и единственности w -периодического решения системы.

Проникновение методов функционального анализа в область исследования обыкновенных дифференциальных уравнений в функциональных пространствах стало толчком в развитии теории этих уравнений. Так книга [36] посвящена теории линейных дифференциальных уравнений — = A{t).v, — = A(t)x + /(/) с неограниченными операторными dt dt коэффициентами в банаховом пространстве. Решение неоднородного t уравнения представляется в виде x{t, s)=u(t, ,<ï)x(s, s)+J"î/(/, r)/(r)t/r, где s u(t, s) - линейный оператор. Установлены условия существования решений неоднородного дифференциального уравнения, при этом рассматриваются только сильные решения. В случае, когда на A{t) наложен ряд условий, предложен конечно-разностный фактор-метод. Исследуются корректно поставленные задачи для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и некоторые асимптотические методы их решения.

Близка по содержанию к книге [36] книга Массера X., Шеффера X. [49]. В ней также изучаются линейные дифференциальные уравнения dx A{t)x=f(i) в банаховых пространствах. Исследуются случаи dt периодических и почти периодических коэффициентов. В ходе поиска решений используются модули, порожденные спекторами функций А, /(случай почти периодических функций). Предположение, что определенный модуль плотен, оказывается существенным для некоторых результатов. В случае периодических функций получены условия существования представления Флоке для матрицы A{t). Разработан метод, при котором не используется сведение уравнения dx A(t)x = /(/) к уравнению с постоянными коэффициентами, при этом dt решение удовлетворяет для каждого neZ равенству х{п+})=а]{хп)+Ф/, 1 где Ф/ = (/)/(/)dt, (f. ('[ - обратимозначные решения оперативного о уравнения й + A U = 0. Условием существования и единственности является сюрьективность и обратимость выражения I

Дифференциальные уравнения вида v(/)+ /|(ф(/) =/(/), 0 < / < Т, v(o) = vq в банаховом пространстве рассматривает Соболевский П.Е. [62]. Здесь A{t) - линейный оператор, имеющий постоянную область опреде

С\ l + ur I , Re Л, > О, ления и удовлетворяющий условию (а(^)+л1) 1 при некотором а из интервала (о, 1]. Дифференциальное уравнение исследуется в пространствах Гельдера с весом С»,г, и его разрешимость доказывается с помощью неравенств коэрцитивности для решений задачи с постоянным оператором A(t) = /¡(о).

Исламов Г.Г. [26] предлагает классы функционалов /;(х), i = на пространстве абсолютно непрерывных на отрезке [a,b] вектор-функций х(^), для которых получены эффективные критерии разрешимости системы дифференциальных уравнений x{t)+ A(t)x{t) = f(t), t е [а, б] с краевыми неравенствами /Дх)> pt, i = ],.,m. Общее абсолютно непрерывное решение x(t) системы дается формулой Коши t л'(/) = X(t )х(а ) + j c(t, s )f(s )ds, где x{t) - фундаментальное матричное a решение однородной задачи, c(t, s)= x(t)x '(,s) - матрица Коши.

Линейную систему дифференциальных уравнений вида dx B(t)x + f(t), 0 < / < 1, изучает Бояринцев Ю.Е. в работе [7]. Здесь dt

B(t\ f(t) принадлежат множеству суммируемых, непрерывных, непрерывно-дифференцируемых и абсолютно непрерывных на отрезке [о, l] функций. Ставится задача отыскания вектора х, удовлетворяющего сис1 теме дифференциальных уравнений и условию j[c/o-(s)]c(.v)x(.v)= a, C(s) о матрица с непрерывными на отрезке [о, l] элементами, о-(л) - матрица, элементы которой - функции ограниченной полной вариации на [о, 1], а

- постоянный вектор. Решение задачи проводится в пять этапов: 1) решаются матричные задачи Коши ^^У , в(/)х(().! х(о) = Е, 0 < t < 1, dt y(o) = e, 0<t<l, здесь r(/)= лг1(/); 2) определяется матdt

1 1 5 рица Г = J[¿/cr(.v)]r:(s)A:'(-v): 3) вычисляется вектор ^(o) = -J[i/cr(.s)]jc(.s)

О 0 0

• x{s)y(z)i{t)ciz; 4) решается алгебраическая система ly = а + ср{())\ 5) определяется решение задачи как решение задачи Коши = B{i)x(t)+f(t), dt

0 < t < l, v(0) = у .

В книге [14] изучена система дифференциальных уравнений u'(t)+G(i)u(t)= f{t) с начальным условием м(о) = а, с липшиц-непрерывными операторами. Доказана теорема о существовании и единственности решения в пространстве непрерывных и интегрируемых функций. Решение определяется с помощью применения метода неподвижной точки к интегральному оператору, при этом интеграл понимается в смысле Бохнера. Полученные результаты обощены на случай операторов Вольтерра (операторы, значение которых в момент времени t зависит от поведения в предшествующий период времени). Исследование операторов Вольтерра проводится в пространстве непрерывных функций и в пространстве квадратично интегрируемых по Бохнеру функций.

Даревский В.М. [18] излагает прямой метод решения дифференциального уравнения у' + а(х)у = А(х), где а(х\ л(х) - функции с ограниченным изменением в интервале [-я-,я-]. Производная неизвестной функции представляется тригонометрическим рядом с неизвестными коэффициентами. Путем почленного интегрирования этого ряда получается выражение для у. Это выражение и ряд для у', подставляется в решаемое дифференциальное уравнение. Далее результат умножается на каждую функцию полной тригонометрической системы и интегрируется в пределах от — ж до тс с делением на п. Таким образом, для неизвестных коэффициентов тригонометрического ряда, представляющего у' получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Эта система удовлетворяет условиям Коха и, следовательно, допускает редуцирование.

Поиском коэффициентов Фурье периодического решения линейного дифференциального уравнения вида i = Cz + D{t)z + /(/), рассматриваемого в банаховом пространстве, занимались Перов А.И., Никитин О.И. [53]. В дифференциальном уравнении С - постоянный оператор, операторная функция D и вектор-функция / непрерывны и w -периодичны, имеют разложение в ряд Фурье. При выполнении условий:

2 к

Я Ф O(modà-), для всех А е сг(с), jc = —, q = ||а:|| max |Z)(/| < 1, где К - некому 0</<vf торый интегральный оператор, рассматриваемое дифференциальное уравнение имеет единственное w-периодическое решение. Указаны формулы для вычисления коэффициентов Фурье. Эти формулы достаточно сложны, так как возникает необходимость вычисления и оценки нормы интегрального оператора К. Сформулирована теорема о существовании и единственности решения, где снимается условие ограниченности для q, но вводится условие коммутативности ('/)(/) = D{t)o(s) = d(s)d(/) для всех t,s е R. Предложены и более простые формулы для вычисления коэффициентов Фурье, которые зависят лишь от функции D(t).

Основными методами решения проблемы существования периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, являются методы, используемые в теории бифуркаций. Основы этой теории заложены Пуанкаре А. [55] и Ляпуновым A.M. [42]. Важнейшие идеи качественного исследования отражены в книге Немыцкого В.В., Степанова В.В. [52]. Большой вклад в развитие методов качественной теории внесли Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. [3], Булгашв Б.В. [8], Малкин И.Г. [43, 44], Мандельштам Л.И. [47].

Вместе с появлением и развитием асимптотических методов нелинейной механики, разработанных Крыловым Н.М. и Боголюбовым H.H., метода Митроцольского Ю.А., метода точечных преобразований [9] и др., дальнейшее развитие получили методы, базирующиеся на работах Пуанкаре-Ляпунова (см., например, Вайнберг М.М., Треногин В.А. [И], Зубов В.И. [25], Каменков Г.В. [27]).

Так Вайнберг М.М., Треногин В.А. [11] рассматривают неавтоdx номную систему дифференциальных уравнений — = Ах+ /'(/)+jug(t, х, //), dt где А - постоянная пхп-матрица, /(/) - заданный вектор, непрерывный и w -периодичный по /, g(V, х, ¿и) - форма s -го порядка по х, Задача об особых периодических решениях некоторого вида сводится к задаче Пуанкаре, в результате решения которой получаются уравнения разветвления. Исследование уравнений разветвления приводит к выводам о числе решений рассматриваемой задачи и о виде каждого решения. Изучена задача Пуанкаре в банаховых пространствах.

Зубов В.И. [25] изучает неавтономную квазилинейную систему х = />(/).\' + ф(/)+ ¡uF(t, х, //). где правые части - непрерывные относительно t,x,ß функции и 2л -периодические по t для всех л- е Еп, // е [о, ], вектор-функция F(t,x,ju) непрерывно-дифференцируема по х, удовлетворяет условию Липшица. Указаны способы отыскания 2л -периодических решений в нерезонансном случае. Один из них - отыскание 2л-периодического решения системы дифференциальных уравнений как непрерывного решения системы интегральных уравнений, которая решается методом последовательных приближений.

Бойчук A.A. в соавторстве с Лыковой О.Б. в работе [40] на основании разработанного им метода изучает квазилинейную систему вида z = Az + ^t)^ ¡uZ(t, z, ¡л) в случае, когда уравнение для порождающих амплитуд имеет кратные корни. Периодическое решение отыскивается с периодом, близким к периоду решения порождающей системы.

Каменковым Г.В. [27] был развит метод исследования колебаний нелинейных систем с помощью функций Ляпунова. Он рассматривал системы как с одной, так и со многими степенями свободы, квазилинейные и нелинейные. Особенно эффективный метод построения периодических решений был предложен им при исследовании систем второго порядка. После перехода к полярным координатам г, в им была введена замена /- = V + ]Г//' (у™1 +.

1=1 где - некоторые полиномы от со$в. Этот метод, кроме ответа на вопрос о существовании периодических решений по членам с конечной степенью ц и исследования проблемы устойчивости, позволяет решить задачу об оценке той величины малого параметра, при которой и менее которой построенные периодические решения существуют. Методом функций Ляпунова решается задача о существовании периодических решений у нелинейных систем дифференциальных уравнений в статьях Воскресенского Е.В. [12, 13]. В ряде работ Малышева Ю.В., Захарова В.П. [45, 46] с помощью обобщенных функций Ляпунова исследован вопрос о существовании периодических решений систем второго порядка и предельных циклов.

Исследованием вопроса о существовании и свойствах ограниченных колебаний квазилинейных систем при наличии быстро меняющейся внешней силы занимался Демидович Б.П. в работах [19, 20]. Рассматривается система вида — = р(1)у + /(г,у,р,со) с переменной пх п -матрицей Л / - нелинейный член, // - малый параметр, со - большой параметр. В предположении, что решения однородной системы — = /'(/)>' обей ладают свойством дитохомии, были получены достаточные условия существования решения г] = ф, ц, со) неоднородной системы. Найденное решение ограничено на интервале (- да, да) и непрерывно по /л и о. Исследована устойчивость этого решения. Кроме того, если матрицы Р и f почти периодические по t, то решение ц также почти периодично по t.

Основной результат Далецкого Ю.Л., Крейна М.Г. [17] относиdx тельно уравнения — - л(/)х + Fit, х) с экспоненциально дитохомической dt главной линейной частью и достаточно малой нелинейной добавкой, удовлетворяющей условию Липшица, состоит в доказательстве существования решения x0(t) лежащего при всех t в малом шаре. Исследуются условия периодичности и почти периодичности этого решения. Доказывается существование в малом шаре двух начальных многообразий, каноническим образом гомеоморфных окрестностям инвариантных подпространств оператора А и обладающих тем свойством, что начинающиеся на них решения стремятся к x0(t) при / -> да.

В работах Красносельского М.А. [32-35] изложен метод направляющих функций при доказательстве существования периодических и ограниченных решений у систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Наиболее важную роль играет вращение векторного поля на границах некоторых областей. Окончательные теоремы о существовании периодических или ограниченных решений формулируются с использованием метода направляющих функций. Изложен ряд теорем о положительных периодических и ограниченных решениях, при этом используются идеи теории нелинейных операторов, оставляющих инвариантным конус в фазовом пространстве. Так в монографии [32] для системы —- = А(/)х + <р(/, х), где dt

Ait) - линейный непрерывный оператор, (pit., х) - непрерывная по t и по х функция, оператор сдвига непрерывен, поэтому применяется принцип неподвижной точки. В работе [33] при исследовании задачи о периодика^ ческих решениях системы — = + /?(/), где /?(/), /?(/) непрерывны, в фасЬ зовом пространстве находят конусы, которые инвариантны по отношению к сдвигам по траекториям системы, при этом используется матри-цант. Далее показывают, что при сдвиге, соответствующем изменению времени на величину периода правой части, есть неподвижная точка. Отсюда делают вывод о наличии периодического решения.

Аширов С. [4] прелагает метод Чаплыгина для задачи + = /(г, дг(г)) 5 х(о) = х0 в банаховом пространстве е, где /¡(/) Л неограниченный оператор. Нелинейный оператор /'(/, х(/)) удовлетворяет условию - ь(1:\х-у)< /((,х)- /'({, у) при х>у, I х, у е К, К - правильный конус в пространстве Е, 1{г) - неотрицательный линейный оператор.

Проблема существования периодических решений рассмотрена также в работах [50, 54, 69, 70, 81, 83].

В статьях [80, 82] для некоторого класса дифференциальных уравнений исследуется проблема существования, единственности и сходимости степенных рядов, определяющих решения. Доказано существование близких к нулю периодических орбит Для обратимых по времени систем. Используется предложенный авторами метод общей редукции и метод нормальных форм.

Теория бифуркаций применяется к исследованию различных задач в области химии, физики, социологии, экономики [77-79].

Терехиным МТ. [64-68] и его учениками [1, 10, 22, 24, 30, 57] также изучались вопросы существования периодических решений, бифуркаций и устойчивости систем дифференциальных уравнений. В работе [64] изложены некоторые проблемы теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих как от скалярного, так и от векторного параметра. В статье [65] получены условия существования бифуркационного значения параметра в случае, когда матрица линейного приближения имеет как нулевые, так и чисто мнимые собственные числа. В статье [30] рассматривается задача о локальном рождении периодических решений из особой точки системы трех дифференциальных уравнений вида х = а{Х)х +f{t,x,&), имеющей при бифуркационном значении параметра состояние равновесия с нулевыми корнями характеристического уравнения. Ретюнских Н.В. [57] изучен вопрос о существовании периодического решения системы x = (A(t)+ B(t,X)+ F(i, х,Я))х в случае когда матрица системы линейного приближения является треугольной при критическом значении параметра.

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования систем (0.1) и (0.2) с точки зрения существования ненулевых периодических решений. Большинство методов [6, 18, 43, 80, 82] в этом случае не позволяют установить существование периодических решений, и поэтому предложен новый способ решения дифференциальных уравнений.

Во введении содержится обоснование актуальности темы, цели работы, краткое изложение результатов других авторов, излагается методика исследования и краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав. В первой главе рассматривается линейная система дифференциальных уравнений (0.1) с 2л-периодической матрицей со

A(t) = AQ +YJ<Akcoskt + Bksmkt), (0.3) ь=i где A0,Ak,Bk - постоянные их «-матрицы. Исследуется проблема существования 2п -периодического решения линейной системы дифференциальных уравнений в виде тригонометрических рядов

00 x{t) = а0 + (ак cos kt + bk sin kt), (0.4) последовательность коэффициентов которых принадлежит пространству т„ ограниченных последовательностей «-мерных векторов. Вводится определение 2ж -периодического решения системы дифференциальных уравнений. Задача поиска ненулевого 2п -периодического решения в виде (0.4) линейной системы дифференциальных уравнений сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. В §1 первой главы рассмотрен случай вполне регулярной системы алгебраических уравнений, решение которой находится с помощью метода сравнения бесконечных систем. Получены условия существования единственного решения, бесконечного множества решений в виде тригонометрического ряда (0.4) для линейной системы дифференциальных уравнений, а также условия при которых система (0.1) не имеет 2к -периодических решений. В §2 первой главы определены условия существования и отсутствия 2л -периодического решения линейной системы дифференциальных уравнений в случае, когда система алгебраических уравнений является квазирегулярной. Приведен пример. В работе [18] предполагается, что функция a(t) имеет разложение в ряд Фурье, в данной диссертации a(i) -частичная сумма ряда Фурье и для решения x{t) коэффициенты aQ,ak,bk е R", В результате бесконечная система алгебраических уравнений не допускает редуцирования, предложен иной способ решения этой системы.

Во второй главе продолжается изучение проблемы существования 2к -периодического решения линейной системы дифференциальных уравнений (0.1) с 2л -периодической матрицей вида (0.3). Последовательность коэффициентов ряда (0.4) рассматривается в пространстве 1Х сходящихся последовательностей «-мерных векторов. В §1 второй главы с помощью разбиения линейной системы алгебраических уравнений на блоки и использования метода неподвижной точки подробно исследованы свойства линейной системы дифференциальных уравнений. Доказаны теоремы о существовании единственного непрерывного 2л-периодического решения, бесконечного множества непрерывных решений в виде ряда Фурье, рассмотрен случай отсутствия решений в виде (0.4) для линейной системы дифференциальных уравнений. В §2 второй главы изучен вопрос существования 2л -периодического решения при условии, что ^, 1 < ^ < 2а +1, первых матриц в равенстве (0.3) особенные, и случай, когда все матрицы а0,ак,вк,к-\,.,Ф, особенные. Получены достаточные условия существования бесконечного множества непрерывных решений в виде ряда Фурье для линейной системы дифференциальных уравнений. В §3 исследован вопрос существования непрерывного 2л-периодического решения обладающего ы, и>>2, непрерывными производными. Приведены примеры. В отличие от работы [39] последовательность коэффициентов решения (а0,а1,Ь1,.)е11 и для нее получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений, предложен способ ее решения. В монографиях [13, 26] предполагается наличие фундаментальной матрицы решений однородной задачи, в данной диссертации не используется фундаментальная матрица системы линейного приближения. Не требуется изучение матрицы Грина как в работе [76] для определения условий существования периодического решения.

В третьей главе изучается проблема существования 2л-периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. В §1 третьей главы изучены свойства пространств, связанных с решением системы (0.2). Дано определение 2п -периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. На множестве тригонометрических рядов рассмотрен оператор В, определяемый равенством В-х-А^)х. Получены достаточные условия существования собственных векторов, соответствующих нулевому собственному значению оператора В. Доказана теорема о существовании только нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. В §2 третьей главы основное пространство Ф разбивается на прямую сумму двух подпространств, одно из которых содержит конечную часть ряда (0.4), а другое Ф0 - бесконечную. Доказана теорема о существовании в пространстве Ф0 у оператора в обратного оператора в1. Получена поверхность точек уа 1= 1//((, а, Л) подозрительных на решение нелинейной системы дифференциальных уравнений, изучены ее свойства. Задача поиска 2п -периодического решения системы (0.2) сведена к задаче нахождения некоторого тригонометрического многочлена и параметра. Тригонометрический многочлен и параметр определяются как ненулевые решения конечной системы нелинейных алгебраических уравнений. В §3 третьей главы исследование нелинейного векторного уравнения проводится с помощью разложения некоторых форм в степенные ряды и применения метода неподвижной точки. Получены условия существования 2Ж" периодических непрерывных решений для нелинейной системы дифференциальных уравнений, в случае, когда задачу не удается решить по линейным членам системы. Кроме того, доказан признак отсутствия периодических решений. В отличие от работ [11, 25, 40], где малый действительный параметр является множителем нелинейной части, в настоящей работе на изучаемую систему не накладывается условие обращения нелинейной части в ноль при нулевом значении параметра. Кроме того, в данной диссертации параметр Л е кр, это отличает ее от работ [6, 43]. В предлагаемой диссертации изучается линейная и нелинейная неавтономные системы, в процессе иследований возникла необходимость находить решения алгебраических систем с бесконечной матрицей, такая проблема в работе [97], где рассмотрена автономная система дифференциальных уравнений, не возникала. В работах [96], [98] также изучаются автономные системы дифференциальных уравнений, авторы непосредственно используют свойства фундаментальной матрицы. В моей диссертации существенным является то, что не используется фундаментальной матрицы решений.

Необходимые сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений взяты из [21, 73, 75], по функциональному анализу - [28, 33, 41, 51, 72], по линейной алгебре - [15, 29, 37], по теории рядов Фурье - [5, 71, 74].

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на Четвертой и Пятой Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в г. Рязани, на Четвертой Российской университетско-академической научно-практической конференции в г. Ижевске, на Региональной студенческой научной конференции "Современные подходы в формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам" в г. Уфе, на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" в г. Тамбове.

Основные результаты опубликованы в работах [84-95].

заключение

Работа посвящена изучению неавтономной системы дифференциальных уравнений с 2л -периодической матрицей. Изучены случаи линейной и нелинейной правой части системы.

Цель работы состояла в получениии условий существования ненулевых 2л -периодических решений для линейной и нелинейной систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Задача поиска 2л -периодических решений сводилась к поиску коэффициентов ряда Фурье. Для решения этой задачи в линейной системе дифференциальных уравнений использовался метод сравнения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, а также метод неподвижной точки. Для нелинейной системы дифференциальных уравнений эта проблема решена с помощью разбиения основного пространства на прямую сумму нескольких подпространств. Задача определения условий существования 2л -периодических решений сводится к задаче о нахождении некоторого тригонометрического многочлена и параметра. Получены условия существования ненулевых 2л -периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений в предположении, что нелинейные члены являются конечными суммами форм относительно фазовых переменных и параметра.

1. Абрамов B.B. Существование и устойчивость по параметру малого периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 6. С. 855.

2. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. 1987. 160 с.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959. 915 с.

4. Аширов С. Об одном приближенном методе решения абстрактного параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 6. С. 1121-1124.

5. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз. 1961. 936 с.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Ассимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. 1955. 344 с.

7. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск.: Наука. 1980. 224 с.

8. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат. 1954. 891 с.

9. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1976. 384 с.

10. Ю.Бухенский К.В. К вопросу о существовании периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань.: Ряз. гос. пед. ун-т. 1998. № 1. С. 8-15.

11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. 1969. 528 с.

12. Воскресенский Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. №1. С. 11-14.

13. Воскресенский Е.В. Асимптотическое равновесие, периодические решения и прямой метод Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35. № 6. С. 729-732.

14. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 336 с.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1967. 576 с.

16. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир. 1986.

17. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970. 536 с.

18. Даревский В.М. О решении обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в тригонометрических рядах // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 12. С. 2163-2173.

19. Демидович Б.П. Вынужденные колебания квазилинейной системы при наличии быстро меняющемся внешней силы // ПММ. 196.1. Т. 25. №4. С. 705-715.

20. Демидович Б.П. Об ограниченных решениях некоторой квазилинейной системы //ДАН СССР. 1961. 138. № 6. С. 1273-1275.

21. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. 472 с.

22. Заикина Т.Н. О некоторых случаях зависимости решения системы дифференциальных уравнений от параметра. // Дифференциальные уравнения. Рязань. 1982. С. 47-56.

23. Зайцев А.И. Об аналитическом виде решений линейных систем дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3. № 2. С. 219225.

24. Зубкова О.Н. Существование ненулевого периодического решения систем дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения. Рязань. 1997. С. 36-38.

25. Зубов В.И. Теория колебаний. Учеб. пособие для университетов. М.: Высш. школа. 1979. 400 с.

26. Исламов Г.Г. О полиэдральной разрешимости системы линейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1999. №3 С. 31-37.

27. Каменков Г.В. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т. I. 214с.

28. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977. 744 с.

29. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: 1962.

30. Ковалев В.А. К задаче о си-периодических решениях нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань.: Ряз. гос. пед. ун-т. 1997. С. 39-42.

31. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ. 1998. 240 с.

32. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966. 332 с.

33. Красносельский М.А. Положительное решение операторных уравнений. М.: Наука. 1962. 457 с.

34. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. 1975. 511 с.

35. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука. 1970. 352 с.

36. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. 464 с.

37. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.; ГИФМЛ. 1963. 432с.

38. Лаптинский В.Н. Метод мнимых квадратур // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 12. С. 2269-2271.

39. Лаптинский В.Н. О построении периодических решений дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 3. С. 536-539.

40. Лыкова О.Б., Бойчук A.A. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т. 40. № 1. С. 62-69.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш. школа. 1982. 271с.

42. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950. 471 с.

43. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. 1956. 365 с.

44. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, М.: Наука. 1966. 532 с.

45. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 2. С. 212-216.

46. Малышев Ю.В., Захаров В.П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 4. С. 722-724.

47. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. 1972. 470 с.

48. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. 1983. 397 с.

49. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства М.: Мир. 1970. 456 с.

50. Медведев Н.В. Достаточные условия существования ограниченных решений системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. 3. № 7. С. 1088-1094.

51. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Изд. технико-теоретической литературы. 1957. 552 с.

52. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат. 1949. 550 с.

53. Перов А.И., Никитин О.И. О нахождении коэффициентов Фурье периодических решений // Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Межвуз. сборник. Куйбышев. 1979. № 5. С. 43-52.

54. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М,-Л.: Наука. 1964. 368 с.

55. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т.1. 771 с.

56. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука. 1964. 464 с.

57. Ретюнских Н.В. Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений специального вида // Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). Рязань.: Ряз. гос. пед. ун-т. 1998. № 1. С. 75-81.

58. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука. 1984. 304 с.

59. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Что такое биофизика. М.: Просвещение. 1971. 135 с.

60. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Наука. 1980. 150 с.

61. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1979. 352 с.

62. Соболевский П.Е. Об одном типе дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 12. С. 2278-2280.

63. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. ДубошинаГ.Н. М.: Наука. 1976. 864 с.

64. Терехин М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. 1989. 87 с.

65. Терехин М.Т. К теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. матем. журнал. 1984. Т. 36. № 5. С. 666-669.

66. Терехин М.Т. Периодические решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Меж-вуз.сборник научных трудов. Рязань: Ряз. пед. ин-т. 1984 С. 145151.

67. Терехин М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т. 1992. 88 с.

68. Терехин М.Т. О периодических решениях некоторой неавтономной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 11. № 6. С. 778-782.

69. Тихонова Э.А. Аналогия решений возмущенной и невозмущенной систем с полностью разделенной диагональнойматрицей // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 6. С. 1037-1054.

70. Тихонова Э.А. Аналогия решений возмущенной и невозмущенной систем с разделенно-диагональной матрицей // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 6. С. 962-974.

71. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М.: Физматгиз. 1960. 390 с.

72. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

73. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.-Л.: Изд. Техноко-теоретической литры. 1951. Т. 2. 864 с.

74. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. 1966. Т. 3. 656 с.

75. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720 с.

76. Хохряков А.Я. О матрице Грина периодической краевой задачи для системы линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1966. Т. 2. № 3. С. 371-381.

77. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Mathematic. Band 82. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. 1986. P. 8-13.

78. Budd C. J., Lee A. G. Double impact orbits of periodically forced impact oscillators // Proc. Roy. Soc. London. A. 1996. 452. № 1955. P. 2719-2750.

79. Hristove S. J., Bainov D. D. Periodic solutions of quasilinear non-autonomous systems with impulses // Bui. Austral Math. Soc. 31. № 2. 1985. P. 185-197.

80. Knobloch Jurgen. Vanderbawhede Andre. Hopf bifurcation at k-fold resonances in conservative systems // Nonlinear Dyn. Syst. and Chaos: Proc. Dyn. Syst. Conf., Groningen., Dec. 1995.- Basel etc., 1996. P. 155-170.

81. Lu Xiguan, Li Yong, Su Yi. Finding periodic solutions of ordinary differential equations via homotopy method // Math. Appl. and Comput. 1996. 78, № 1. P. 1-17.

82. Ren Ming-hui. Lin Liahg. Hopf bifurcation and power series solution // Hunan shuxue niankan-Hunan Ann. Math. 1997. 17. № 1. P. 65-68.

83. Zanolin F. Continuation theorems for the periodic problem via the translation operator // Rend. Semin. Mat. Univ. e Politecn. Torino. 1996. 54. № l. p. 1-23.

84. Коломина М.В. Условия существования периодических решений линейной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань. 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 31.05.99. № 1751-В99.

85. Коломина М.В. Периодическое решение линейной системы с Неременными коэффициентами (тезисы докладов) // Четвертая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция. Тезисы докладов. Ижевск: Изд. Удм. ун-та. 1999. Ч. 6. С. 43.

86. Коломина М.В. О периодических решениях линейной системы дифференциальных уравнений// Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань.: Изд. РГПУ. 1999. № 2. С. 30-33.

87. Коломина М.В. Исследование свойств решений бесконечной системы линейных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань. 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 23.09.99. № 2915-В99.

88. Коломина М.В. Определение условий существования только нулевого решения системы дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань. 2000. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.2000. № Ю58-В00.

89. Коломина М.В. К вопросу о существовании периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений. Изв. РАЕН. Дифференциальные уравнения. Рязань.: Изд. РГПУ. 2000. № 3. С. 34-39.

90. Коломина М.В. Некоторые условия существования решения в виде ряда Фурье для нелинейной системы дифференциальных уравнений. // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов. 2000. Т.5. Вып.4. с 463-464.

91. Абрамов В.В. Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, в критических случаях. Дис. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рязань. 1996. 105 с.

92. Лукьянова Г.С. Определение условий существования ненулевых периодических решений автономных систем дифференциальных уравнений с матрицей при производных. Дис. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рязань. 1999. 121 с.

93. Купцов М.И. Существование интегральных многообразий и периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дис. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рязань. 1996. 133 с.