Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Мудракова Ольга Александровна

Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа

Специальность 01.01.02. - "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Военном университете радиационной, химической и биологической защиты.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Орлик Любовь Константиновна.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Лифанов Иван Кузьмич; доктор физико-математических наук, профессор Глушак Александр Васильевич.

Ведущая организация - Московская академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова.

часов

Защита состоится " ¿>0 " СЛИиЛ^Л в

на заседании диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2 учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент '/•'/*.

В.М. Говоров

Ж У 393

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих практических задачах механики, теории автоматического регулирования, экологии, биологии, теории связи необходимо рассмотрение экспоненциально возрастающих процессов, поэтому естественно возникает вопрос об оценке порядка экспоненциального роста решений.

Диссертация посвящена исследованию так называемой экспоненциальной устойчивости решений линейных дифференциальных и линейных интегральных уравнений.

Теория устойчивости является одним из актуальных, интенсивно развивающихся разделов качественной теории дифференциальных уравнений. В настоящей работе рассматриваются, наряду с дифференциальными и дифференциально-разностными уравнениями, также линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения Вольтерра второго рода.

Вопросы такого рода, восходящие своими истоками к работам А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, О. Перрона, получили дальнейшее развитие в исследованиях

М.Г. Крейна, Ю.Л. Далецкого, М.А. Рутмана, З.И. Рехлицкого, Л.К. Орлик.

М.А. Рутман в середине 50-х годов впервые ввел понятие экспоненциальной характеристики, в терминах которой исследуются экспоненциальные свойства решений уравнений.

Это основное понятие рассматривается для линейного дифференциального уравнения с ограниченными, вообще говоря, непериодическими коэффициентами и впервые для интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром экспоненциального типа.

Результаты, полученные для интегральных операторов Вольтерра, позволяют исследовать линейные дифференциальные уравнения с частными производными гиперболического типа, а также простейшие дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

Тема диссертации входит в раздел "Исследование устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений, краевых задач с не-

прерывными коэффициентами" плана научной работы НВ РХБЗ ВС РФ по спецтеме, регистрационный номер 0407484.

Цель работы. Получить вид экспоненциальной характеристики ряда преобразований определяемых линейными эволюционными уравнениями -дифференциальными и интегральными. А именно: построить экспоненциальную характеристику линейного дифференциального уравнения I порядка с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве с ограниченными на полуоси семействами операторных коэффициентов, интегральных операторов и уравнений Вольтерра второго рода с ядрами экспоненциального типа, в том числе, с матричным ядром, с ядром типа функции Коши и с периодическим ядром, зависящим от 2п переменных, а также некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с п независимыми переменными, например, для уравнений гиперболического типа, когда коэффициенты соответствующих уравнений являются вещественными или комплексными ограниченными функциями.

Общие методы исследования. Использованы методы классического и линейного функционального анализа Важную роль в исследованиях играет классическая теорема Банаха о замкнутом операторе.

Научная новизна. Для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядрами экспоненциального типа, в том числе с матричным ядром, с ядром типа функции Коши, для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве с, вообще говоря, непериодическими и ограниченными операторными коэффициентами экспоненциальные характеристики исследованы впервые.

Доказана теорема о связи между экспоненциальными характеристиками оператора Вольтерра с матричным ядром АГ(/,5) = (аГ;, (/,5))". и ска-

/,у—1

лярным ядром |ЯТ(г,,у)|. Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.

В работе приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2и переменных.

Результаты, относящиеся к обыкновенному дифференциальному уравнению п -го порядка, рассматриваем как определенную пропедевтику, дающую возможность в сравнительно простой ситуации проиллюстрировать применяемый нами метод.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит характер теоретического исследования. Ее можно рассматривать как определенный раздел теории экспоненциальной устойчивости. С практической точки зрения результаты, полученные в работе, могут оказаться полезными в теории линейных механических и электрических систем, в задачах дифракции электромагнитных волн, в вопросах теории управления, в некоторых разделах биологии (проблемы устойчивости биологических сообществ, распространение эпидемий), при моделировании динамической системы океан - атмосфера, в том числе запаздывающих воздействий в этой системе.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались ежегодно на военно-научных отчетных конференциях профессорско-преподавательского состава Военного университета РХБ защиты (1999 - 2004), на научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Московской академии тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова (2002); на Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2004); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004); на конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005); на семинаре "Интегральные уравнения и их применение" под руководством проф. Захарова Е.В., Лифанова И.К. (МГУ, ВМиК, 2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в десяти печатных работах. В статьях [1], [2], [3], [4], выполненных в соавторстве, научному руководителю принадлежит постановка, диссертантке - решение и анализ задачи.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 170 страниц машинописного текста и состоит из введения, семи параграфов, объединенных в две главы, и списка литературы, включающего 69 наименований.

(1)

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, характеризуется состояние проблемы и задачи исследования, приводится обзор литературы по теме диссертации, а также кратко описываются результаты, полученные диссертантом.

В основной части работы рассматриваются следующие начальные и краевые задачи. В [1.1]:

\Цу) = № (05/<~) [у(0)=у0,/(0)=у1.....у("-Чо)=уп-х.

где {¡)у - линейный дифференциальный

оператор с непрерывными коэффициентами, ограниченными на полуоси |Рк (/)| <Рк<^,(к = 1, л); у((), /(/) - непрерывные функции. В [1.2]:

где А(() - семейство линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X; у(1),/(/) - непрерывные функции со значениями в этом

пространстве. В [1.3]:

¿2

^ф- -а((и(2)у = /(М2), (0 < (ь/2 < о»)

(3)

где а(/1;г2)> 0 - непрерывный ограниченный коэффициент; у(( 1 • гг)' /(г\'{2) ~ непрерывные функции в области 0<^,?2 <°°-В [2.2]:

(4)

^-Е^М'-*,•)=/('). (о<*<

где О < ах <... < ап (ду е л); Aj (?) - ограниченные на полуоси 0 < / < °°

семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X; ),/(/) - непрерьганые функции со значениями в этом пространстве, и

Ь(у) - I л, Ы' - «у )= /(0. (о < / < +<*>)

У=1

Ы0=о Но),

(5)

где ву = иуй»(/ = 1,я), я»у е ЛГ; ¿(у) = + (г)/"-1) +... + Рту;

Р{ (< + йу) = // (/) (/ = 1, ш) и + (/ = 1,«) - ограниченные на

полуоси 0<К°° семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X; )>/(') - непрерывные функции со значениями в

этом пространстве В [2.4]:

д"у

Э/,3/2

Э/2...Э/„

■У

.....'и)

.У

Гб)

Э"~21

—--вц..»^.....1П)У = А'1.....'„)

.....

где ау ,..., /„),..., й] 2. .„ , • • •. 1„) - непрерывные ограниченные периодические коэффициенты в области О^,...,^ <«=; ?„),/(/,,...,/„) -непрерывные функции в этой области.

Рассматриваются интегральные операторы:

в [2.1]

о

где 5) - непрерывное ядро, удовлетворяющее условиям

О<М1 <1к(1Д<М2; |]к;||< МЦЛ'М!; И существует

50 такое, что АГ(г,з0) не является финитной функцией; /(/), у{{) - функции, непрерывные на полуоси 0 < (< °° со значениями в банаховом пространстве X. В [2.4]:

(АГ/Х/1, ...,/„) =

о о

где /и ;$],..., 5„) - непрерывное периодическое ядро при

О<s¡<ti<°° (/ = 1,и); /(/],...,/„)- непрерывна в области 0 <*],..., <°°. В [2.3]:

(*/Х0 = = ЛО, (9)

о

где = (к(j(t,s)У!матричное ядро; - непрерывны при

0<^</<~; = /(/) = со/ои[/,(/),...,/„(/)1 - не-

прерывны в области 0 < <оо.

Рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра второго рода: в [2.1]

I

(ю)

о

где К^,з) - непрерывное ядро при 0 < .у </ < /(/),<¡¡(1) - непрерывны на полуоси 0 < / < оо . В [2.4]

<p{tx,...,tn)= '' 4 (li)

= /(*!,...,/„)+ J... \K(t\,...,tn\s\,...,s„)q{sb...,sn)ds\ ...dsn 0 0

где K(ti,...,t„;sl,...,s„) - непрерывное ядро при 0<<t, <°° (г = 1,я); f(t\,...,tn),<p(t},...,tn) - непрерывны в области 0 <t\,...,tn <°°.

Во всех параграфах, кроме [2.4], для задач (1) - (4), (7), (9), (10) предполагается, что коэффициенты дифференциальных уравнений являются ограниченными, вообще говоря, непериодическими функциями; ядра интегральных операторов и интегральных уравнений предполагаются функциями экспоненциального типа также непериодическими. Для задач (5), (6), (8), (11) предполагается периодичность коэффициентов дифференциальных уравнений и ядер интегральных операторов.

Вводится понятие экспоненциальной характеристики данной краевой (начальной) задачи или интегрального уравнения (оператора). Это понятие строится следующим образом.

В [1.1] предполагается, что /(/) - функция экспоненциального типа на полуоси 0 < t < °° с экспоненциальным показателем а:

а = lim (.Г1 ln\f(t) |)

(в [1.2], [2.1] а = 1м{с1Щ/(1%х)).

Множество функций с экспоненциальным показателем, не превосходящим а, является линейным пространством

(в [1.2], [2.1] Еа = \f{t): lim (г1 Щ\Щ\Х )< or}).

Совокупность соответствующих y{t) (<p{t)) из (1), (2), (7) ((10)) покрывается пространством Ер при достаточно больших р. Нижнюю грань таких р обозначим через as(a):

10

т/ 0=х(а).

Неубывающую функцию аг(аг) назовем экспоненциальной характеристикой (1), или (2), или (7), или ((10)).

В [2.4] предполагается, что /(¿1, • • •, ) ~ функция экспоненциального типа в области 0<°=> с экспоненциальным показателем не превышающим а. Множество таких функций является линейным пространством

Совокупность соответствующих >>(?],...,/„) (р^,...,/,,)) из (3), (6), (8), ((11)) покрывается пространством Ер при достаточно больших р. Нижнюю грань таких обозначим зг(а):

Неубывающую функцию а:(а) назовем экспоненциальной характеристикой (3) или (6), или (8), ((11)).

Для задач (1), (2), (3), (4), (7) и (10) с ограниченными (непериодическими) коэффициентами и ядрами экспоненциального типа (непериодическими) экспоненциальная характеристика имеет так называемый квазиканонический вид:

существуют (- <) < - Уо (< +00) такие, что

В промежутке (а0, у0) аг(а) - неубывающая функция.

Здесь До ~ показатель экспоненциального роста по /; у0 — показатель экспоненциального роста по обеим переменным ядра Коши, через которое представляются решения начальных или краевых задач для дифференциальных уравнений: обыкновенных (1), (2), в частных производных (3), дифференциального с запаздывающим аргументом (4), или - ядра типа функции Коши интегрального оператора Вольтерра (7).

(В [1.3]« = 2).

1п/ /9=ве(а).

ае(ог) = Д, при а < а0; зе(а) = а при а>у0.

Для задач (5), (6), (8), (11) с периодическими коэффициентами и ядрами «о = А) = То и экспоненциальная характеристика принимает канонический вид ге(а) = тах(а,а0).

Для (6), (8) и (11) а0 определяется предельными свойствами матрицы

1 1

(01.....вп)=[..\к{т,

о о

(О<в, <\,m^N,i=Vn)

В [2.3] доказана теорема о совпадении экспоненциальных характеристик интегральных операторов Вольтерра (9) и (7) соответственно с матричным ядром K(l, s) = (k¡j (/, и скалярным ядром ¡ÁT(/,s|.

В случае матричного ядра экспоненциального типа

при 0<s<°°, М>0, Pi^fii,

если K(t, s) = e^t+ßlS <p(t,s) и 3 lim J [ф, s)ds=t> 0, то

*(a)~lßl' a<-ß2-lni,

v [а + ßx+ ß2+lnt, a>-ß1-lnt

экспоненциальная характеристика имеет вид, сходный с каноническим.

Основное содержание первой главы - построение экспоненциальной характеристики для линейного дифференциального уравнения 1 -го порядка в банаховом пространстве с ограниченным, вообще говоря, непериодическим, операторным коэффициентом [1.2]. В начале главы, [1.1], изложено построение экспоненциальной характеристики для обыкновенного линейного дифференциального уравнения и-го порядка с ограниченными коэффициентами. Параграф [1.3] показывает, что методы, развитые в [1.1] и [1.2], могут быть применены для исследования экспоненциального роста решений некоторых простейших линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

В [1.1] доказывается

Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения Ь(у) = /(?) являются непрерывными функциями, ограниченными на полуоси (0</<<*>): (/)| < М, (/ = 1 ,п). Тогда существуют а0 ,у50 , у0,

-<»<«о ^ А) - Уо < + °° такие, что аг(а) = /?0 при ае(я) = а при а > 70, (в промежутке («0 , у0)ге(«)- неубывающая функция).

Здесь Д) - старший показатель, /о - генеральный показатель однородного уравнения ¿(_у) = 0, соответствующего неоднородному уравнению.

Рассматривается поведение интегрального оператора

у{<)={к№=)к{1,5)/{*)с1з О

в линейном пространстве Еа и банаховом пространстве

Ba=\f{t): lim \f{t)\e-at <~ с нормой \f(t)\ = sup |/(/)|e"c'.

Используется классическая теорема Банаха о замкнутом операторе.

Доказательство теоремы опирается на

Лемму 1. Пусть <p(t) (0 <;/<<»)- п раз непрерывно дифференцируемая функция. Если при всех i выполняется неравенство

\<р("Щ < с(И/) I + И')| +... + |«>(и-1)(/)| ), С > 0 - const, то (а значит - и <p^"\t)) - функции экспоненциаль-

ного типа.

В конце [1.1] приведен, пример, иллюстрирующий теорему 1.

Рассмотрим неоднородное уравнение Перрона.

= (sin In t + cos In t)y + /(/);

at

здесь ßo=\, ro=V2, «о = -2. Таким образом, аг(а) = 1 при «<-2; эе(а) = а при а> л/2; ге(гг) - неубывающая функция в промежутке

(-2/V2).

В [1.2] доказьшается следующая

Теорема 2. Пусть оператор-функция A(t) уравнения ^j- - A(t)y = /(/)

at

в банаховом пространстве X ограничена: ||/ф)|| < М (<«»). Существуют < )«0 < ß0< у $ (< +оо) такие, что x(a)=ß0 при а<а0\ х(а) = а при а > у0. (В промежутке («о, у0) зе(а) - неубывающая функция).

Здесь число ß0 - показатель экспоненциального роста по t эволюционного оператора K(t,s) данного уравнения. То есть для любого е >0 имеют место соотношения:

и при некотором j0

\K{t„,s0l=Mn е^^К t„->~, М„ —>оо. Число у0 ~ показатель экспоненциального роста K{t,s) по обеим переменным. Это точная нижняя грань тех у, при которых

над

SUP Tits') < •

о</<~ еп' s>

Таким образом, для любого £ > 0 имеют место соотношения: \K{t,s)\<Ce е{у«+£)(,-5\ \\K{tn,sn)\ = M„ е^о-Фп-'»), М„ tn t„-sn Очевидно, ß0<y0.

[1.3] носит иллюстративный характер: мы показали, что методы, развитые в [1.1] и [1.2], могут быть использованы при исследовании экспоненциального роста решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Конкретно рассматривается простейшее (двучленное) гиперболическое уравнение второго порядка с неперио-

дическим ограниченным неотрицательным коэффициентом (3). Экспоненциальная характеристика этого уравнения имеет квазиканонический вид.

В начале второй главы в [2.1] строится экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром типа функции Коши. В качестве приложения этого результата в [2.2] рассматривается дифференциальное уравнение 1-го порядка с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве с ограниченным на полуоси семейством операторных коэффициентов. Эта экспоненциальная характеристика имеет квазиканонический вид. В [2.3] интегральный оператор Вольтерра с матричным ядром экспоненциального типа имеет экспоненциальную характеристику, близкую к канонической, с одной точкой излома. В [2.4] выясняется, что для интегрального оператора с периодическим ядром, зависящим от 2п переменных, экспоненциальная характеристика канонического вида. Аналогичный результат устанавливается и для соответствующего интегрального уравнения Вольтерра.

В качестве приложения этого результата рассматривается краевая задача для линейного дифференциального уравнения я-го порядка гиперболического типа со старшим членом с периодическими коэффициентами при граничных условиях Гурса. Для такой краевой задачи экспоненциальная характеристика имеет канонический вид.

В [2.1] доказывается

Теорема 4. Если ядро оператора (7) удовлетворяет условиям О < М, < |К(/,/1 < М2; |к;ц < М\\К{1,; || < М\к{и ; и существует ¿•0 такое, что АГ(/,50) не является финитной функцией; /(/), >'(/) - функции, непрерывные на полуоси 0 < * < °° со значениями в банаховом пространстве, то существуют а0 у0: (-°°<) а0 </90 < у0 (<+°°) такие,

что ж (а)-/?0 при а < а0; аг (а)=а при а > у0. (В промежутке (а0,70) аг (а) - неубывающая функция).

Доказательство теоремы опирается на следующую

Лемму 2. Пусть <р (/) (0 < / < - дифференцируемая вектор-функция со значениями в банаховом пространстве. Если при каждом

л-|кз'(г|<С|Ь?(/| С>0-сот(, то <р(0 имеет конечный порядок экспоненциального роста.

В [2.1] приводится пример линейного устройства, работа которого описывается интегральным уравнением Вольтерра.

Теорема 4 о квазиканоническим виде экспоненциальной характеристики интегрального оператора с ядром типа функции Коши, распространяется на скалярное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, поскольку имеют место следующие две леммы.

Лемма 3. Экспоненциальные характеристики линейных операторов

(Г/Х0=/гМД*У5 и совпадают,

о о

Лемма 4. Линейный оператор (I/ХО = (1/ + Г/X') имеет такую же экспоненциальную характеристику, что и оператор (ТУХО-В [2.2] доказывается

Терема 5.1. Пусть Aj{t) - ограниченные на полуоси 0< с< семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X, тогда для начальной задачи

. 777- Е А3 0)у(г- а} )=/(') (о 2 { < со),

у(() = 0 (/<0),

где 0<ах<...<ап (оу еЯ), существуют а0,/?0 у0: (-«><) «о <Р0 < у0 (<-ь») такие, что ае (а) = /?0 при а<,а0; ее (а)-а при а>уо. (В промежутке (а0,у0) аз (а) - неубьгеающаяфункция).

Решение этой задачи задается интегральным оператором (7), ядро которого удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению

КЦ^^^А^К^-а;^) (/£*); (12)

7=1

и условию

К(з.*) = 1. (13)

Задача (12) - (13) эквивалентна интегро-разностному уравнению

7-1 5+а,

Доказательство теоремы опирается на

Лемму 5. Пусть 0<г<°°) - дифференцируемая вектор-функция со значениями в банаховом пространстве. Если 0 <, щ < а2 <■■■< а„ < 00 и при каждом ¡>а„ :

то (pit) имеет конечный порядок экспоненциального роста: <С]ва', где С\,а зависят от С,a,-, max ¡(К?! = М.

0<tian

Из теоремы 1 и теоремы 5.1. следует

Pj (t + со) = Pj(/). Тогда экспоненциальная характеристика (5) является канонической: существует а0 такое, что 2а{а)~тах{а,а()).

В [2.3] устанавливается вид экспоненциальной характеристики интегрального оператора (9) с матричным ядром экспоненциального типа, имеющим различный порядок роста по двум переменным.

Пусть ядро оператора (9) K(t,s) удовлетворяет условию

Тогда имеют место следующие теоремы:

Теорема 6.1. Экспоненциальные характеристики интегрального оператора Вольтерра (9) с матричным ядром и интегрального оператора Вольтерра со скалярным ядром |АТ(? совпадают.

Теореме 6.2. Если непрерывное ядро интегрального оператора (9) удовлетворяет условию

IсрЩ < С£|р(/ - aj )|, С > 0 - const,

Теорема5.2. Пусть а} - rrijO), [j - \,п), rrij е N, А} (t + to) = Aj (/);

[K(t,s^<Me0li+fi2' при Oi s</<+oo.

поненциальная характеристика ае(а) оператора (9) имеет вид

. . ГА при а<-р2-Ы,

&(а)=< UA)

[or +Pi +Р2 +lni при а >-рг ~lni-

Теорема 6.3. Если непрерывное матричное ядро

K(t ,s) = {Kijif j интегрального оператора (9), где

m^coioAfyitim...../„(о], y{t) = colon\yx{t),y2{t).....У nit)} ,

удовлетворяет условиям = p(t,s) и

lim "I j<р (и, s) d s = l > 0, то аг (а) оператора (9) имеет вид (14). Ь-1

Экспоненциальная характеристика интегрального оператора (9) с матричным ядром имеет вид, сходный с каноническим, критическая точка а0 =-рг - 1п£.

В [2.4] доказывается Теорема 7.1. Пусть

'1 >п

y(h'--.tn)= \-\Kih.....t„;s{,...,s„)f(sx.....s„)dsx...dsn=(Kftt{.....tn)

о о

интегральный оператор (8) с непрерывным периодическим ядром

K{tx +mlcol,...,t„ +m„o)„;s\ +mlcox,...,sn + m„o)n) = K(tl,...,t„;s],...,sn)

(о<5/ </, SO; m, e N,i = \,n\

экспоненциального типа:

I.....00,-oc<y<-K*>.

Существует вещественное a0 такое, что ге(сс) = а0 при а<а0; яг(а) = а при а>а0.

Здесь характеристическая точка а0 - точная нижняя грань всех вещественных а > О, для которых

lim

j... \K{tx,...,tn;sx.....s„)dsx...dsn

Vo о

Из теоремы 7.1 непосредственно следует Теорема 7.2. Пусть коэффициенты уравнения

д"у т , , э"-у

Ъф2...Ъп ......Ц ...Э/у_1д/у+1 ...д(п

3 "~2у

.....1п)д1х...ЫнЫ^...ЫкАЫк+х...дгп~

-■■■-ап..Л<\.....*п)у = АЬ.....'Д 05^2...../„<оо 7- = (2Д...,И).

у(о.'2,---,(п)=у(а .0.....(„)=... = у((],/2.....(п-1 ,о)=о,

являются периодическими функциями

(/!+ /и, , /2 + т2а>1 ,...,1„+ тп ео„ ) = а у (<1( /2 ),

«12.. .я ('1 + ■ЩЩ. '2 +•■■■• Л +"»„б>„ )■= ап...п ('1..<2, ■ ■ • > ¡п )■

Если а0 - старший (генеральный) показатель соответствующего однородного уравнения, то ж(а)=тах(а, а0).

Аналогичный результат имеем и для многомерного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с периодическим ядром экспоненциального типа, зависящим от 2п переменных (11).

Экспоненциальная характеристика этого уравнения также имеет канонический вид.

В конце [2.4] приведена одна физическая иллюстрация к теореме о каноническом виде экспоненциальной характеристики гиперболического уравнения второго порядка, приведенного к характеристикам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

Установлена функциональная зависимость зг(а) от а:

- для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядром типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа;

- для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими операторными коэффициентами.

Установлена связь между экспоненциальными характеристиками оператора Вольтерра с матричным ядром K{t, s) = {Ку (/, и скалярным

ядром Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по

двум переменным.

Приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2п переменных.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Мудракова O.A., Орлик JI.K. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения с сосредоточенными запаздываниями. //Сб. Математические методы решения инженерных задач 2002, МО РФ, - М.: - С. 35-40.

2. Мудракова O.A., Орлик JI.K. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от двух племенных, и соответствующего интегрального уравнения. //Сб. Математические методы решения инженерных задач. 2003, МО РФ, - М.: -С. 37-44.

3. Мудракова O.A., Орлик JI.K. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных: Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. - Суздаль, 2004. - С. 143-147.

4. Мудракова O.A., Орлик JI.K. Экспоненциальная характеристика дифференциального уравнения 1 порядка и интегрального уравнения Вольтерра 2 рода: Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. - Суздаль, 2004. - С. 143-147.

5. Мудракова О.А .Устойчивость некоторых интегральных моделей с весовой функцией экспоненциального типа //Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. Вып. №30, 2004. - С. 187-190.

6. Мудракова O.A. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из переменных. //НТС №3(38), -М.: ВУРХБЗ, 2004. - С. 176-181.

7. Мудракова O.A. О порядке экспоненциального роста решения двучленного гиперболического уравнения 2-го порядка с ограниченным коэффициентом. //НТС №2(37), - М.: ВУРХБЗ, 2004. - С. 205-211.

8. Мудракова O.A. Примеры, уточняющие построение экспоненциальной характеристики некоторых эволюционных уравнений. //Ученые записки. Выпуск 11, декабрь. - М.: МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2004. - С. 56-64.

9. Мудракова O.A. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами. //Вестник МГТУ им. Н. Баумана №1(16), - М.: МАРТ, 2005, - С. 30-40.

10. Мудракова O.A. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром типа функции Коши. //Тез. докл. Воронежской зимней математической шк. - Воронеж, ЯНВАРЬ, 2005. -С. 123-124.

Формат 60 х 90 '/16 Объем 1,31 п.л.

Тираж 80 экз. Заказ 765

Отпечатано с готовых оригинал-макетов в типографии Издательства «Учеба» МИСиС, 117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 ЛР №01151 от 11.07.01

»15447

РНБ Русский фонд

2006-4 11592

Введение.

Глава 1. Построение экспоненциальной характеристики линейных дифференциальных уравнений.

1.1. Экспоненциальная характеристика обыкновенного линейного дифференциального уравнения и-го порядка.

1.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального

4 уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве.

1.3. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения в частных производных.

Глава 2. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра. Применение. q 2.1. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром типа функции Коши.

2.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения.

2.3. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по

5 каждой из двух переменных.

2.4. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных. Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа.

Актуальность темы. Диссертация относится к области качественной теории дифференциальных уравнений. В ней исследуется поведение на бесконечности решений некоторых эволюционных уравнений. Наряду с дифференциальными (обыкновенными, с частными производными, с запаздывающим аргументом) рассматриваются также линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения Вольтерра второго рода.

Как известно, одна из основных задач теории устойчивости по Ляпунову состоит в выяснении условий, при которых системы дифференциальных уравнений (линейных или "близких" к линейным) с аргументом, изменяющимся на полуоси, имеют ограниченные решения при всяких ограниченных правых частях.

Во многих задачах механики, теории автоматического регулирования, теории связи, биологии изучаемые процессы, вообще говоря, не остаются ограниченными во времени, в этих случаях не следует требовать, чтобы отклонения от предвычисленных значений были непременно малы или ограниченны. Они (отклонения) могут возрастать с течением времени, но скорость этого возрастания должна быть меньше или не превышать скорости возрастания самого процесса. Поэтому наряду с исследованиями ограниченности решений запросы практики приводят к исследованию экспоненциального роста решений в зависимости от соответствующего поведения правых частей модельного уравнения. Вопросы такого рода, восходящие своими истоками к работам А. Пуанкаре [1], П. Боля [2], A.M. Ляпунова [3], О. Перрона [4], получили дальнейшее развитие в исследованиях М.Г. Крейна [5, 6, 7], Ю.Л. Далецкого [8, 9], М.А. Рутмана [10-13], З.И. Рехлицкого [14, 15].

М.А. Рутман [10] в 1956 году впервые ввел понятие, которое следуя Л.К. Орлик [16, 17] будем называть экспоненциальной характеристикой линейного дифференциального уравнения.

Это основное понятие, связанное с изложенными в диссертации задачами. Рассмотрим линейное пространство Еа функций, показатели экспоненциального роста которых не превышают а. Пусть это пространство подвергается некоторому преобразованию V и as — нижняя грань тех показателей /?, для которых V :Еа ->Ер. Зависимость ae(V;a) называем экспоненциальной характеристикой преобразования V.

В настоящей работе рассматриваются преобразования, порожденные решением задачи Коши линейных дифференциальных уравнений и преобразования, определяемые интегральными операторами Вольтерра. Результаты, полученные для интегральных операторов Вольтерра, позволяют исследовать линейные дифференциальные уравнения с частными производными гиперболического типа, а также дифференциально-разностные уравнения.

Тема диссертации входит в раздел "Исследование устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений, краевых задач с непрерывными коэффициентами" плана научной работы НВ РХБЗ ВС РФ по спецтеме, регистрационный номер 0407484.

Основная цель диссертации - получить вид экспоненциальной характеристики ряда преобразований определяемых линейными эволюционными уравнениями - дифференциальными и интегральными. А именно: построить экспоненциальную характеристику линейного дифференциально-разностного уравнения I порядка в банаховом пространстве с ограниченными на полуоси семействами операторных коэффициентов, интегральных операторов и уравнений Вольтерра второго рода с ядрами типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа, с ядром, зависящим от 2п переменных, а также некоторых дифференциальных уравнений в частных производных с двумя и п независимыми переменными, когда коэффициенты уравнений являются вещественными или комплексными ограниченными функциями.

Общие методы исследования. Использованы методы классического и линейного функционального анализа; в частности рассматривается понятие полуупорядоченности [18], полуупорядоченность осуществляется с помощью элементов экспоненциального типа, а также геометрический аспект теории полуупорядоченных пространств - теория конусов Крейна [19-22]. Важную роль в этих исследованиях играет классическая теорема Банаха о замкнутом операторе

Научная новизна. Для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядрами экспоненциального типа, в том числе с матричным ядром; с ядром типа функции Коши, для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими ядрами и операторными коэффициентами экспоненциальные характеристики исследованы впервые.

Доказана теорема о связи между экспоненциальными характеристиками ядром ||/C(f,s)[|. Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.

В работе приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2п переменных.

Результаты, относящиеся к обыкновенному дифференциальному уравнению п -го порядка, также не следуют непосредственно из имеющихся результатов. Однако мы рассматриваем их как определенную пропедевтику, дающую возможность в сравнительно простой ситуации проиллюстрировать применяемый нами метод.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит характер теоретического исследования. Ее можно рассматривать как определенный раздел теории устойчивости по Ляпунову. Само понятие устойчивости получает здесь некоторое естественное расширение. С практической точки зрения результаты, полученные в работе, могут оказаться полезными в теории линейных механических и электрических систем, в задачах дифракции электромагнитных волн, в вопросах теории управления (задача оптимальной линейной фильтрации, опре

23]. оператора Вольтерра с матричным ядром скалярным деление импульсной функции линейной системы), в некоторых разделах биологии (проблемы устойчивости биологических сообществ), при моделировании динамической системы океан-атмосфера, в том числе запаздывающих воздействий в этой системе.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на военно-научных отчетных конференциях профессорско-преподавательского состава Военного Университета радиационной, химической и биологической защиты (1999 - 2004гг.), - на научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Московской академии тонкой химической технологии им.

М.В. Ломоносова, - на кафедре математики Военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, - на кафедре математики Военно-инженерной академии, - на Всероссийской математической конференции, 2004 г. (г. Самара), - на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, 2004 г. (г. Суздаль) (два доклада), -на конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в Воронежском государственном университете, 2005 г; на семинаре "Интегральные уравнения и их применение" под руководством проф. Захарова Е.В., Лифанова И.К. (МГУ, ВМиК, 2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в печатных работах [60-69].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 173 страницы машинописного текста и состоит из введения, семи параграфов, объединенных в две главы, и списка литературы, включающего 69 наименований.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты.

Построены экспоненциальные характеристики:

- для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядром типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа;

- для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими операторными коэффициентами.

Установлена связь между экспоненциальными характеристиками оператора Вольтерра с матричным ядром s) = (к^-(f,s))" и скалярным ядром

Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.

Приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2п переменных.

1. А. Пуанкаре О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -M.-JI.: Гостехиздат, 1947. -392 с.

2. Боль П. Избр. тр. -Рига: Изд. АН Латв. ССР, 1961. -23 8 с.

3. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. -М.-Л: ОИТИ, 1935. -386 с.

4. Perron О. Die Stabilitarsfrage bei Differentialgleichungen II Mathem. Zeitschrift. 1930. Bd.32, H.5, s. 703-728.

5. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, вып. 3(25). -С. 166— 169.

6. Крейн М.Г. Обобщение некоторых исследований A.M. Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами //Докл. АН СССР. 1950. Т.73, № 3. -С. 445-448.

7. Крейн М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные и дополненные Ю.Л. Далецким). Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1964, - С. 186.

8. Далецкий Ю.Л. Об асимптотическом решении одного векторного дифференциального уравнения // Докл. АН СССР. 1953. Т.92. С. 881-884.

9. Далецкий Ю.Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, вып. 5(107). — С. 3-115.

10. Рутман М.А. Об устойчивости решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами //Докл. АН СССР. 1956. Т.108, №5.-С. 770.

11. Рутман М.А. Исследование роста и признаки ограниченности решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными. Тр. III матем. съезда, 1956, т.И, С. 118-119

12. Рутман М.А. О порядке экспоненциального роста решений некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124, №4. С. 764.

13. Рутман М.А. Спектральные признаки устойчивости по Ляпунову для некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Докл. АН СССР. 1955. Т.101, №6. С. 993-996.

14. Рехлицкий З.И. Спектральные признаки устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, №2. С. 260-263.

15. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений системы линейных дифференциально-разностных уравнений треугольного вида // Диференц. уравнения. 1969. Т.5, №11.- С. 2062-2067.

16. Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике линейного дифференциального уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве. -Киев, Укр. ма-тем.ж., 1989, 41, №9,-С. 1288-1289.

17. Орлик Л.К. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с периодическим ядром, зависящим от четырех переменных. //Дифференциальныеуравнения,т.25, №10, 1989,-С. 1819-1821.

18. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. —548 с.

19. Ахнезер Н. и Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов. -Харьков: НКТП, 1938,-254 с.

20. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, составляющие инвариантный конус в пространстве Банаха. // Успехи мат. наук. 1948. Т.З, вып.1(23). -С. 3-95.

21. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. -М.: Наука, 1965,-448 с.

22. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. -М.: Наука, 1967. -508 с.

23. Персидский К.П. Об устойчивости движения по первому приближению. Математ. сб. 40, 3, 1933. -284-292 с.

24. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1936-1937. 4.1. Т.8, сер.З.-С. 47-85.

25. Персидский К.П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений // Изв. физ.-мат. о-ва при Казанском ун-те. 1938. 4.2. Т.2, сер.З.-С. 29-45.

26. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. -М.: Наука, 1966. -576 с.

27. Малкин И.Г. Об устойчивости движения по первому приближению // Докл. АН СССР, 1938. Т. 18. С. 159-161.

28. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1966. -530 с.

29. Четаев Н.Г. О наименьшем характеристическом числе // Прикл. мат. и мех. 1945. Т.9, вып.З. С. 193-196.

30. Четаев Н.Г. О знаке наименьшего характеристического числа // Прикл. мат. и мех. 1948. Т. 12, вып.1.-С. 101-102.

31. Якубович В.А. Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1951. Т.28(70). С. 217-240.

32. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М.: Наука, 1972. -720 с.

33. Демидович Б.П. Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова для правильных систем // Матем. сб. 1965. Т.66(108), №3. С. 344-353.

34. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. -472 с.

35. Крейн М.Г., Красносельский М.А., Мильман Д.П. О дефектных числах линейных операторов в банаховом пространстве и о некоторых геометрических вопросах // Сб. трудов ин-та мат. АН УССР. -Киев, 1948. T.l 1. С. 97112.

36. Далецкий Ю.Л., Крейн С.Г. О дифференциальных уравнениях в Гильбертовом пространстве // Успехи мат. наук. 1950. Т.2, №4. С. 71-91.

37. Далецкий Ю.Л. Об устойчивости интегральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Успехи мат. наук. 1968. Т.20, №3. С. 376-381.

38. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970. -534 с.

39. Кучер Д.Л. О некоторых критериях ограниченности решений системы дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1949. Т.69, №5. С. 603-606.

40. Рутман М.А. Операторные уравнения в полуупорядоченных пространствах и некоторые качественные теоремы для линейных дифференциальных уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 1(73).-С. 234-238.

41. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1956. Т.З, №1. С. 29-32.

42. Рехлицкий З.И. Признаки ограниченности решений дифференциальных уравнений с непрерывным запаздыванием аргумента в банаховом пространстве // Успехи мат. наук. 1960. Т.15, вып. 1(91). С. 237-239.

43. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. -М.: Мир, 1970. -456 с.

44. Рутман М.А. О некоторых операторных уравнениях в полуупорядоченном пространстве, имеющих применение в теории устойчивости по Ляпунову. ДАН СССР, 1955, т. 101. №2, С. 212-220.

45. Рутман М.А. Критерий ограниченности решений для линейных дифференциальных уравнений с частными производными, обладающих старшим членом // Докл. АН СССР. 1962. Т.147. С. 789-792.

46. Рехлицкий З.И., Рудакова З.Г. Зависимость показателя роста решений дифференциально-разностных уравнений от показателя роста правых частей //Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, №8. С. 1452-1456.

47. Орлик JI.K., Рутман М.А. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1982. №6. С. 80-81.

48. Орлик JI.K. Об экспоненциальном росте решений линейного интегрального уравнения Вольтерра II рода с периодическим ядром. -Одесса, 1985. —21 с. Деп. в УкрНИИНТИ 16.12.85, №2767-Ук85.

49. Орлик JI.K. О порядке экспонециального роста решений одного линейного дифференциального уравнения в частных производных. -Киев, 1981.-15 с. Деп. в ВИНИТИ 15.10.81,4808-81 Д.

50. Esc Langon Е., C.R. 160,4751915.

51. Любич Ю.И. О принадлежности степеней оператора по данным вектором к некоторому линейному классу. — ДАИ., №5, 1955.

52. Рутман М.А. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений (Сборник "Исследования по современным проблемам конструктивной теории функции"), Физматгит. -М.: 1961.-294 с.

53. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1967. 464 с.

54. Владимиров О.А. Запаздывающие воздействия в системе океан-атмосфера и их моделирование. М.: 1981. Метрология и гидрология, №4. — С. 77-83.

55. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, - 231 с.

56. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. М.-Л.: ГТГИ, 1934, -330 с. (Линейные уравнения Вольтерра; т.1).

57. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.-М., 1972.

58. Рутман М.А. Об одном результате Н. Боголюбова и С. Крейна. Сб. трудов ин-та математики АНУССР, №12, 1849, С. 119-126.

59. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный анализ. — М.: Наука, 1969, С. 475.

60. Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2п переменных: Тез. докл. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004. - С. 143-147.

61. Мудракова О.А. Об экспоненциальной характеристике интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из переменных. //НТС №3(38), -М.: ВУРХБЗ, 2004. С. 176-181.

62. Мудракова О.А., Орлик Л.К. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения с сосредоточенными запаздываниями. //Сб. Математические методы решения инженерных задач 2002, МО РФ, М.: - С. 35-40.

63. Мудракова О.А. Об экспоненциальных показателях решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами. //Вестник МГТУ им. Н. Баумана №1(16), М.: 2005, - С. 30-40.

64. Мудракова О.А.Устойчивость некоторых интегральных моделей с весовой функцией экспоненциального типа //Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. Вып. №30,2004.-С. 187-190.

65. Мудракова О.А. О порядке экспоненциального роста решения двучленного гиперболического уравнения 2-го порядка с ограниченным коэффициентом. //НТС №2(37), М.: ВУРХБЗ, 2004. - С. 205-211.

66. Мудракова О.А. Примеры, уточняющие построение экспоненциальной характеристики некоторых эволюционных уравнений. //Ученые записки. Выпуск 11, декабрь. М.: МАТХТ им. М.В. Ломоносова, 2004. - С. 56-64.

67. Мудракова О.А. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром типа функции Коши. //Тез. докл. Воронежской зимней математической шк. Воронеж, 2005. - С. 123-124.