Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Обозначения и определения.

Глава I. Исследование взаимосвязи нетеровости непрерывных линейных операторов и их сужений.

§1.1. Взаимосвязь п-нормальности и (й-нормальности непрерывных линейных операторов и их сужений.

§1.2. О допустимости пар пространств для линейных интегральных операторов.

§1.3. Взаимосвязь нетеровости оператора 1-К и его сужений.

Глава И.Линейные интегральные уравнения с периодическшш ядраш : ограниченные и почти периодические решения.

§2.1. Периодические ядра. Алгебры интегральных операторов и операторнозначных функций.

§2.2. Однородные интегральные уравнения ( структура решений ).

§2.3. Неоднородные интегральные уравнения ( регулярный случай ).

§2.4. Неоднородные интегральные уравнения (нерегулярный случай) . Интегро-дифференциальные уравнения.

Глава III.Степенные и экспоненциальные решения линейных интегральных уравнений с периодическими ядраш

§3.1.Степенные решения однородных линейных интегральных уравнений.

§3.2.Степенные решения неоднородных линейных интегральных уравнений.

§3.3. Экспоненциальные решения линейных интегральных уравнений.

Глава IV. Линейные интегральные и интегро-дифферешшальные уравнения с почти периодическими ядрами

§4.1. Интегральные операторы с почти периодическими ядрами и условия обратимости оператора 1-К.

§4.2. Эквивалентность пС (АА>-нормальности и обратимости оператора 1-К.

§4.3. Линейные интегральные уравнения с почти периодическими ядрами на полуоси. Интегро-дифференциальные уравнения.

Глава V. Взаимосвязь устойчивости и допустимости для линейных уравнений типа Вольтерра.

§5.1. Устойчивость и допустимость для вольтерровых уравнений.

§5.2. Устойчивость линейных интегральных уравнений

Вольтерра.

§5.3. Устойчивость линейных интегральных уравнений

Вольтерра с периодическими ядрами.

§5.4. Устойчивость линейных интегро-дифференциальных уравнений с периодическими матрицами.

Диссертационная работа посвящена разработке основ теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти перио-ческими ядрами.

Рассматриваются следующие вопросы: разрешимость в пространстве ограниченных функций и его различных подпространствах, а также в пространствах функций степенного и экспоненциального роста; анализ взаимосвязи я-нормальности и й-нормальности при переходе от пространства к подпространству, и наоборот; структура решений однородного уравнения и интегральное представление решений неоднородного; устойчивость и асимптотическое поведение решений.

Полученные при этом результаты в ряде случаев приводят к новьм результатам даже применительно к почти периодическим системам линейных дифференциальных уравнений и интегральным уравнениям с ядрами, зависящими от разности.

Необходимость изучения интегральных уравнений с периодическими ядрами вызвана следующими причинами.

Указанные ядра являются естественным обобщением ядер, зависящих от разности аргументов, а переход от интегральных уравнений с разностными ядрами к уравнениям с периодическими и почти периодическими ядрами соответствует аналогичному переходу от линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными матрицами к системам с периодическими и почти периодическими матрицами. Как известно, последние обладают многочисленными глубокими свойствами и составляют один из содержательных разделов в теории дифференциальных уравнений. Поэтому интерес представляет изучение со-отствующей иерархии и в случае интегральных уравнений.

С другой стороны, функция Грина периодических и почти периодических систем дифференциальных уравнений является периодическим, соответственно, почти периодическим ядром. Поэтому интегральные уравнения с такими ядрами возникают при изучении свойств решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений методом интегральных уравнений. Кроме того, имеется также ряд моделей в механике и биологии, которые непосредственно приводят к интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям с периодическими ядрами.

Интегральные уравнения Вольтерра с периодическими ядрами рассматривались в работах В.Р.Винокурова [32-34,36,37] и Ю.Н.Смолина [156] . Их исследование опиралось на результаты, полученные при изучении интегральных уравнений с общими ядрами, но при этом существенно использовалась специфика периодических ядер. В работе [35] рассматривались линейные однородные интегральные уравнения на оси с периодическими ядрами, для которых изучалось существование решений типа Флоке.

В работах [214,215,2303 изучались интегральные уравнения Вольтерра с периодическими ядрами в банаховом пространстве. Там также указаны возможные приложения результатов к математическим моделям в эпидемиологии и задачам математической физики.

Глубокая связь между интегральными уравнениями с периодическими ядрами и дискретными уравнениями типа свертки обеспечила идейную близость в методике их исследования. Дискретные и интегральные уравнения типа свертки рассматривались во многих работах : [см.напр,38,39,42,48,57,70-76,84,ИЗ,114,121,122,145,146, 157, 160, 171, 172] .

Укажем на фундаментальные работы М.Г.Крейна и И.Ц.Гохберга [88,4 6], в которых были получены основополагающие результаты для интегральных.уравнений на полуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов. Некоторые результаты этих работ распространены в диссертационном исследовании на интегральные уразнения с периоди-дическими и почти периодическими ядрами.

Имеются также работы, посвященные нелинейным интегральным уравнениям с периодическими и почти периодическими ядрами [см. напр.185,18 6,188,234,236], интерес к которым объясняется нелинейностью ряда математических моделей.

Б последние годы изучались свойства широких классов периодических операторов, включающих и интегральные. Отметим здесь работы [19, 91 ,235] .

Вопросы, рассматриваемые в диссертационном исследовании, изучались ранее в случае других уравнений. Укажем здесь авторов и работы, с которыми идейно близки методы и результаты данного исследования.

В первую очередь это уравнения, в которые наряду с оператором дифференцирования входит вольтерров оператор.Эти уравнения включают в себя обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с последействием.Глубокие результаты получены здесь в работах Н.В.Азбелева и его учеников [2-6, 147]; А.Г.Баскакова [15.16,18],Ю.Г.Борисовича [21-23]; В.Ш.Бурда, Ю.С. Колесова и М.А.Красносельского [24,25, 80, 81, 86, 87] ; В.В.Жикова и Б. М.Левитана [58-63, 112]; В.Г.Курбатова [92-100]; В.М.Миллионщи-кова [117,118]; Э.Мухамадиева [12 6, 127, 129]; А.Д.Мышкиса [130] ; Б.А.Плисса [140];Б.Н.Садовского и его учеников [10,11] ; В.Е.Слю-сарчука[ 150-155] ; 3. Б. Цалюка[ 162.164-167] ; В. А. Якубовича[ 17 9] и др.

Многочисленные публикации относятся к периодическим уравнениям с последействием [8, 51, 64, 65, 82, 83, 104, 115, 123, 124, 136, 137, 168,169].

В последние десятилетия интенсивно развивалась теория уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. Содержательные результаты получены П. А. Кучментом [66, 102, 103, 10 51083, а также в работах [28,29,119,120,131,1323.

Уравнения в частных производных с почти периодическими коэффициентами и псевдодифференциальные операторы изучались в работах Э.Мухамадиева [1283, A.A.Панкова [ 1393, М.А.Шубина [174-1773, Б.В.Ланге и В.С.Рабиновича [109-111,1423, А.Б.Антоновича [73.

Первая глава диссертационного исследования посвящена изучению свойств абстрактных линейных операторов и линейных интегральных уравнений с ядрами, удовлетворяющими достаточно общим условиям . Здесь подготавливаются результаты, которые используются и уточняются в дальнейшем для уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами.

В §1.1 исследуется проблема наследования свойств п-нормаль-ности, d-нормальности и нетеровости для линейных непрерывных операторов . Проблема заключается в следующем. Пусть непрерывный линейный оператор действует в банаховом пространстве и имеет инвариантное замкнутое подпространство. Известно, что, если оператор является а-нормальным или d-нормальным,то его сужение на подпространство этими свойствами может не обладать. Требуется описать такие классы операторов и подпространств, для которых свойства я-нормальности или d-нормальности, в частности, нетеровости оператора, сохраняются для его сужения, и наоборот. При этом естественно возникает вопрос о связи между дефектными числами оператора и его сужения.

Анализ конкретных классов операторов показал, что в ряде случаев наличие указанной связи между оператором и его сужением объясняется, с одной стороны - свойствами самих подпространств, а с другой свойствами оператора. Эти свойства могут быть выражены в терминах некоторой, вообще говоря, более слабой сходимос-сти, определенной в пространстве наряду со сходимостью по норме: подпространство всюду плотно, а оператор непрерывен относительно этой сходимости.

Основываясь на этом наблюдении в §1.1, получены результаты, в которых приведены условия, гарантирующие я-нормальность или d-нормальность оператора и его сужения. При этом установлены неравенства, а в ряде случаев равенства, между их дефектными числами. Отметим в связи с рассматриваемой задачей работы [45, 57 , 68,101,1483.Результаты этого параграфа используются в дальнейшем при исследовании интегральных операторов и уравнений. Известно, что если интегральный оператор

КСх) =J KCtyS)xCs)ds (0.0.1) Т переводит в себя пространство в Л п , то его ядро удовлетворяет условию sup J \\KCtyS)\\ds = < си . (0.0.2)

Отсюда, в частности, следует непрерывность оператора К .Таким же свойством обладают и некоторые подпространства X из ВСЛСТ), например, cqcd. ясно, что если пара СХуВСлСТ)) допустима для оператора К и выполнено условие (0.0.2), то оператор К продолжается на все пространство ВСЛСТ) ( или LAT) ) при помощи формулы (0.0.1), т.е. с сохранением всех свойств, присущих интегральным операторам.Возможность такого продолжения важна в ряде задач для интегральных уравнений. Например, если К - оператор Вольтерра,а

V,

R(t,s) - резольвента уравнения х= Кх+/ , то условие sup Г \\RCtyS)\\ds < 0Q равносильно допустимости пары СВСлТ)уВСлСТ)) для этого уравнения, а, следовательно, и его устойчивости [162] .

Таким образом, возникает задача описания всех подпространств X из ВСЛТ), для которых допустимость пары СХ.ВСЛСТ)) относительно любого оператора К вида (0.0.1) , влечет выполнение условия (0.0.2) . Для уравнений Вольтерра эта задача равносильна описанию всех таких подпространств X из ВСЛТ), для которых из допустимости пары СХуВСАТУ относительно уравнения следует устойчивость этого уравнения.

В §1.2 указанная задача полностью решена для случая ТАЯА и ТАкА . Соответствующее подпространство X должно быть замкнутым и обладать следующим свойством; единичный шар подпространства X всюду плотен в некотором шаре пространства ВСАТ) относительно сходимости, определяемой системой полунорм рЛЛСх; = / \\х(5)\\сЬ (М = 1,2,.) .

Заметим, что интегральные операторы К вида (0.0.1) непрерывны и относительно этой сходимости, что позволяет получить для нормы ч> оператора ||К|| „ оценку снизу через ||К|| из (0.0.2) . Х-ЛВСЛ

В этом же параграфе аналогичные результаты получены для случая пространства 1ЛТ).

Для вольтеровых операторов и Г=АА соответствующие результаты получены совместно с З.Б.Цалюком в работе [220] . в §1.3 изучаются свойства операторов 1-К , где К — интегральные операторы вида (0.0.1), и соответствующие им интегральные уравнения хСО =Х КС1,5Ж5)1Л5 + /СО. (0.0.3) Г

Рассматриваются вопросы взаимосвязи нетеровости оператора 1-К в пространстве ВСЛП и его подпространствах С'ЛСТ), АЛСТ) и ВСЛСТ). Показано, что нетеровость оператора 1-К в одном из указанных подпространств влечет нетеровость и совпадение дефектных чисел в остальных. Кроме того, установлено, что в случае нетеровости уравнения (0.0.3) существует матрица КСЬ.з), обладающая теми же свойствами, что и КС1>з), для которой формула

Х(1) = /СО +J КС1уЗ)/С5)й5 Т при каждом /€J??l(I-K) определяет одно из решений уравнения (0.0.3) . Если при этом / принадлежит какому-либо из указанных выше подпространств,то это решение также принадлежит этому подпространству .

Решение последней задачи тесно связано с проблемой интегрального представления линейных непрерывных операторов [2 6,273.

Здесь выясняется принципиальная роль подпространства СЛТ): оно всюду плотно в пространстве ВСЛТ) относительно ограниченной поточечной сходимости; эта сходимость совпадает со слабой сходимостью в СЛТ) и интегральные операторы непрерывны относительно нее. Именно эти свойства обеспечивают установленную в §1.3 взаимосвязь между операторами 1-К и его сужениями. Они же играют важную роль и при изучении в последующих главах интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами.

Во второй части §1.3 аналогичные результаты для интегральных уравнений получены в случае пространства 1ЛТ) и его подпространств СЛСТ) и АЛСТ) , а также для дискретных уравнений вида

00

Е а,. = /,• , (1=1,2, . . .)

1 Л л где aAJ - СпхЮ-матрицы, а и принадлежат с"".

Во второй главе изучаются интегральные операторы и порождамые ими уравнения с периодическими ядрами. Рассматриваются следующие вопросы: структура пространства решений однородного уравнения и существование в нем оазисных решений типа Флоке; условия однозначной всюду разрешимости неоднородного уравнения в различных пространствах и интегральное представление решений - регулярный случай и свойства уравнения в нерегулярном случае.Полученные здесь результаты, в основном, не выходят за рамки классических,а соответствующие условия реализованы в виде условий на операторный аналог преобразования Фурье, который определяется для интегральных операторов с периодическими ядрами.

В §2.1 определяются периодические ядра и соответствующие им банаховы алгебры интегральных операторов и операторнозначных функций - преобразований Фурье. Периодические ядра являются пределами по норме (0.0.2) последовательностей ядер вида ехр (2П1Са, t J) ) •

•bCt-s), где векторы а = (а-|,а2.оА) принадлежат аддитивной подгруппе из к'\ порожденной векторами вида -{ссу'е,}- , где

О = (сс^,сс2.шА) - фиксированный положительный вектор, а ш ie л - стандартный базис из R .

Преобразование Фурье представляет собой операторный ряд, равномерно сходящийся на единичном т.-мерном полидиске, вообще говоря, не абсолютно. Тем не менее произведение таких рядов представляет собой равномерно сходящийся ряд, определяемый произведением соответствующих им операторов. Это позволяет сводить исследование интегральных уравнений с периодическими ядрами к дискретньм операторным уравнениям типа свертки. Однако отсутствие абсолютной сходимости затрудняет использование стандартной методики, поэтому в этой главе исследование интегральных уравнений с периодическими ядрами проводится на основе результатов первой главы. В последующем, в главе III, при изучении уравнения в пространстве функций экспоненциального роста, реализуется и другой подход,

В §2.2 изучается структура пространства ограниченных решений уравнения хСО = J KCtyS)xCs)ds . (0.0.4)

Периодичность ядра/(Ct,sJ> ( с со=(1,11)еА"А ) обеспечивает перестановочность оператора К с операторами сдвига PjX = xit+ej) ( j'=l,2,.??i ), а следовательно, и инвариантность для операторов Pj пространства решений. Поэтому указанная задача оказывается тесно связанной с проблемой спектрального анализа - синтеза [134, 135,141,191] . Это обстоятельство, а также локальная компактность п> оператора К , позволяют применить для исследования уравнения (0.0.4) методы гармонического анализа.

Как выяснилось, спектр Берлинга [19,54] ограниченных решений можно выразить через собственные значения операторнозначной функции К(0 - преобразования Фурье. В совокупности со спектральными условиями почти периодичности [2 05] это позволило описать пространство X ограниченных решений уравнения (0.0.4) : если множество собственных значений рСЮА(д и не более, чем счетно, то X состоит из почти периодических по Бору функций.

При этом каждое собственное значение функции К(?) порождает решения вида ехрАКв, t)3A(t), где (p(t+ej) = pit) (j'=1,2. . . . ш), замыкание линейной оболочки которых совпадает с X. Если же р (К) =0 , то уравнение (0.0.4) имеет в только нулевое решение.

Если множество р{К) несчетно, то уравнение (0.0.4) может иметь решения, не являющиеся почти периодическими. В этом случае установлено, что пространство всех почти периодических по Бору решений также совпадает с замыканием линейной оболочки решений типа Флоке. Можно ли получить все ограниченные решения уравнения (0.0.4) как предел в каком-либо стопе решений типа Флоке, нам неизвестно.

В §2.3 изучаются свойства неоднородного уравнения хСО = Х КСЬуЗЖзлоЬ + /СО (0.0.5)

Хотя оператор К не является вполне непрерывным в ВСАкАУ, тем не менее справедливо следующее утверждение: если однородное уравнение (0.0.4) имеет в в Л Л только нулевое решение, то неоднородное уравнение (0.0.5) при любом / е В Л Л имеет решение хбВЛЛ . При этом существует такая периодическая матрица

КС 1,3), что формула хСО = /СО + л КС1,з)/Сз)с1з при каждом /еВСАКА) определяет решение х е В Л Л уравнения (0.0.5) .

Отсюда, в частности, вытекает, что из допустимости пары ( В Л Л , в Л Л ) для уравнения (0.0.5) следует допустимость каждой пары (Х,Х), где X обозначает одно из следующих пространств: 1ЛСЛ, ВСлСЛ, СлСЛ, ЛР"-СЛ, аР"-(со), аАР"л. Далее, опираясь на результаты главы I, показано, что верно и обратное : допустимость для уравнения (0.0.5) одной из пар (Х,Х) влечет допустимость всех остальных.

Результаты этого параграфа были известны для интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности аргументов [89]. В случае п = т = 1 они вытекают из известной теоремы Винера [30,

31,41]: если КСОеЬлСРл) и 1-КСХ>0 (ХеР?-), то существует такая функция РСОе 1\сРА), что РСХ) = КСХ)/0- КСХ)).

Эту теорему, теорему Винера об абсолютно сходящихся рядах и их матричные аналоги [1, 13, 48] можно получить из результатов этого параграфа.

В §2.4 изучаются свойства уравнения (0.0.5) в нерегулярном случае. Показано, что если множество характеристических значений р(К) 0 и не более чем счетно, то уравнение (0.0.5) не является нормально разрешимым ни в одном из указанных выше пространств X. Если же множество р(К) несчетно, то уравнение (0.0.5) может быть и нормально разрешимым.Однако ни в одном из пространств X оно не может быть нетеровым, исключая случай однозначной всюду разрешимости. Более того, показано, что даже ослабленная форма d-норма-льности в любом из подпространств X приводит к однозначной всюду разрешимости уравнения.

Доказательство соответствующих утверждений основано на тщательном исследовании образов оператора I-K и их ортогональных дополнений. Существенную роль при этом играют свойства пространства указанные ранее.

В главе III интегральные уравнения с периодическими ядрами изучаются в пространствах функций степенного и экспоненциального роста. В отличии от предыдущей главы рассматривается случай т=1:

00 xCt) = J KCtyS)x(s)ds + fCt) UeR?-} (0.0.6)

-00

Исследуются те же вопросы: структура пространства решений однородного уравнения, однозначная всюду разрешимость и нетеровость уравнения.

Вопрос о структуре решений однородного уравнения, как отмечалось, тесно связан с проблемой спектрального анализа-синтеза. Если в случае пространства ограниченных функций он был решен при помощи основной теоремы о почти периодических векторах [12 5 3, то для пространства функций степенного роста его удалось свести к задаче о строении особых точек резольвенты оператора сдвига Тлх = x (t +1) , определенного на пространстве решений однородного уравнения,а в случае пространства функций экспоненциального роста использовать для решения указанной проблемы теорию аналити-тических вектор-функций [1313.

Для пространства функций степенного роста результаты не сильно меняются по сравнению с пространством ограниченных Функций: обратимость оператора 1-К равносильна отсутствию собственных чисел функции Щ) на единичной окружности 5А, а его п-нор-мальность и (й-нормальность эквивалентны обратимости.

В случае пространства функций экспоненциального роста 12АА'' '.А5А) ситуация принципиально иная. Оказалось, что в этом пространстве уравнение (0.0.6) может быть нетеровым, а наличие структуры гильбертова пространства в ;(рАА) позволило исследовать уравнение в этом пространстве при различных соотношениях между а и Ь и получить во многом логически завершенные результаты. Кроме того, сходимость в достаточно широкий области ряда, определяющего / ( (?) , позволило непосредственно свести интегральное уравнение (0.0.6) к операторному уравнению свертки и исследовать последнее при помощи теории аналитических вектор-функций.

Перейдем к рассмотрению результатов третьей главы. В §3.1 вводятся пространства ВС'АКА -,/0 функций степенного роста и алгебры интегральных операторов, действующих в этих пространствах. Как и в случае пространства ограниченных функций определяется "преобразование Фурье" Щ), которое является в этой ситуации дифференцируемой функцией, что позволяет определить для К(?) цепочки присоединенных векторов [77,78,144] и построить по каждой цепочке длины кН систему решений типа Флоке: Х7СО=ехраШ)А1<РдЖОИ<рАЖО+. +1А<рАА<0) (0.0.7)

0Л,. ,Ю, где ppJ{t+A)= ррАЦ), При этом было установлено, что спектр оператора сдвига ТАх = л^+А), определенного на пространстве решений однородного уравнения, состоит из собственных чисел и каждое изолированное собственное число является полюсом резольвенты {Х1-ТА)~А , порядок которого не превосходит к+1. Это позволило показать, что в случае, когда множество р(К) собственных чисел конечно, пространство всех решений однородного уравнения конечномерно и совпадает с линейной оболочкой указанных выше решений типа Флоке.

В §3.2 доказано, что условие р(К)=0 необходимо и достаточно для обратимости оператора 1-К в пространстве ВСАк) :Ю. При этом (1-К) =1+Е , где интегральный оператор Н принадлежит той же алгебре операторов, что и оператор К. Здесь же показано, что п-нормальность и сА-нормальность оператора 1-К возможны лишь в случае его обратимости.

В §3.3 уравнение (0.0.6) изучается в пространстве функций экспоненциального роста - -.рААА). Условия, которым удовлетворяет ядро КС 1,3), позволяют установить эквивалентность интегрального уравнения (0.0.6) в пространстве 1 Jp'';A¿Jд) операторному уравнению свертки х»1=Д/«1-р>Лр.Л/а СллгЬ (0.0.8)

В пространстве функциональных последовательностей 12<л2л;ь,а), где Кр. 1 л ( 0, 1) 1 л ( 0, 1) и

КрХ = / КС1,5-рЖз) (15 , ре! а. О

Здесь становится понятной и роль функции к{а) : она является операторным аналогом дискретного преобразования Фурье (0.0.7) . Структура решений однородного уравнения из пространства [1А?} ;Л5д) существенно зависит от соотношений между а и £? : еели а<Ь и множество собственных чисел функции К (О в кольце ехр{а)<\А\<ехр(Ь) конечно, то пространство решений однородного уравнения конечномерно и является линейной оболочкой решений типа Флоке. Если же а>Ь , то однородное уравнение имеет только нулевое решение.

Для неоднородного уравнения при а<Ь получены следующие результаты: для того, чтобы уравнение (0.0.6) было однозначно всюду разрешимо в пространстве L'ARA;QЛЛ), необходимо и достаточно чтобы функция /С (С) не имела собственных чисел в кольце ехр(а) < < \и л ехрЛ).

Если функция /С (С) не имеет собственных чисел на окружностях \А\=ехр{а) и |£|=€хр(£?) и к - размерность пространства решений однородного уравнения, то уравнение (0.0.6) при каждой функции /€¿2AA'';ЛЛJQ) имеет /А-параметрическое семейство решений. В этом случае существует матрица ЯС^) , близкая по своим свойствам к матрице/cet,s:>, такая, что при каждой функции JQLЛR} формула А хСО = /СО + J RCtyS)fCs)ds

-со определяет одно из решений уравнения (0.0.6) .

При а<Ь и отсутствии собственных чисел функции /((£) на окружностях |£|=ехр(а) и |С|=ехр(Ь) для разрешимости уравнения (0.0.6) при данном /е1АЯА ~.дАА) необходимо и достаточно, в об щем случае, выполнение конечного числа условий ортогональности для /.

Таким образом, расширение шкалы роста решений приводит к пространствам, в которых интегральное уравнение с периодическим ядром меняет свои свойства и, в частности, может быть нетеровым.

В главе IV изучаются свойства линейных интегральных уравнений с почти периодическими ядрами. Полученные здесь результаты охватывают ряд известных из теории линейных интегральных уравнений с ядрами,зависящими от разности аргументов и линейных систем дифференциальных уравнений с почти периодическими матрицами.

В §4.1 этой главы строится банахова алгебра интегральных операторов с почти периодическими ядрами. При определении почти периодических ядер, как и в случае почти периодических по Бору [112] функций, мы исходим из понятия е-почти периода : вектор т€АА называется г-почти периодом матрицы КСЬ.з), если для всех ЬеКл выполнено неравенство

Х \\Ки-¥т,5+т)-Ка,5)\\й5 < £

Матрица КС 1,3) называется почти периодической, если для любого £>0 она имеет относительно плотное множество £:-почти периодов и при каждом

1ш j \\К{Ш,з)-КС1,з)\\йз = О .

Условия,которым удовлетворяет почти периодическая матрица КС 1,3), позволяют рассматривать матрицу Ка,1-з) как почти периодическую по Бору функцию со значениями в 1А'''АсЛ. Отсюда, в силу теоремы аппроксимации [112,с.22], сразу следует, что почти периодические матрицы являются пределами линейных комбинаций матриц вида ехр(1Са,1))ЬС1-з), и что множество сдвигов -{KCt+hАs+W}-, НеА, относительно компактно. Таким образом ядра, зависящие от разности, и периодические ядра являются почти периодическими, а определяемые последними интегральные операторы образуют замкнутую подалгебру банаховой алгебры всех линейных непрерывных операторов, действующих в Б Л Л .

Отметим, что если А(1) - почти периодическая по Бору матрица и уравнение

1х = х'+ АСОх = / при любой ограниченной функции /ЛВСЛСГ}) имеет решение хеВСНр}), то функция Грина ТС 1,5) этого уравнения является почти периодическим ядром [863.

В 197 0 г. Э.Мухамадиев показал [12 63, что обратимость дифференциального оператора 1: ВСЛ' лСкЪ —¥ ВС'лСкл) равносильна отсутствию у соответствующих присоединенных однородных систем ненулевых ограниченных на всей оси решений. В дальнейшем этот результат был распространен им же [1283 и М.А.Шубиным [1763 на некоторые классы уравнений в частных производных. В основе этих результатов лежит некоторая специальная аппроксимация коэффициентов уравнения. Мы показываем, что требуемая аппроксимация может быть построена и для почти периодических ядер (лемма 4.1.3) и на ее основе находим условия обратимости оператора 1-К : для обратимости оператора 1-К в пространстве ограниченных функций необходимо и достаточно, чтобы все присоединенные однородные уравнения

00 хСО = А РС1,5)х(5)й5 ( Р€ИСК) ) (0.0.9)

-00 имели в ВСАЛ только нулевое решение.

При помощи результатов главы I здесь же показано, что в случае обратимости оператора 1-К его обратный имеет вид I+R , где Н - интегральный оператор с почти периодическим ядром.Отсюда следует, что если КС 1,5) - почти периодическое ядро и уравнение хСО = Х КС1,5)хС5) (Л5 + /СО однозначно всюду разрешимо в пространстве ВС'УЛ, то при /€Е, где Е обозначает одно из следующих пространств: ВС'АрА), АРАСА), аАРАСРА) и САсЛ-решение х этого уравнения также принадлежит Е.

В §4.2 главы IV рассматривается случай т. = 1 и изучаются свойства оператора 1-К в предположении, что пространство всех ограниченных решений по крайней мере одного присоединенного однородного уравнения (0.0.9) нетривиально и конечномерно. Если ядро КС 1,5) периодическое, то это условие равносильно наличию у преобразования Фурье КСА) на единичной окружности конечного числа собственных значений. Показано, что в этом случае образ оператора 1-К не замкнут ни в ВСАСКА), ни в одном из указанные выше пространств Е. Здесь же устанавливается, что как и в случае периодических ядер, из п-нормальности и с—нормальности оператора 1-К в одном из пространств Е следует его обратимость в Е. ТаКИМ образом, для оператора 1-К имеет место одна из следующих возможностей: а) образ Ж1-1Л) незамкнут в Е ; б) образ МС1-Ю замкнут, а кегС1-К) и СокегС1-Ю одновременно либо нулевые, либо бесконечномерный

Из этих результатов, в частности, следует, что спектр оператора К в пространстве ВСАКА) совпадает со спектром сужения на пространство почти периодических по Бору функций. Из предыдущего следует существенность спектра оператора К в Е. Подобные результаты для псевдодифференциальных почти периодических операторов, пространств 1АА) и ВАСКА) - почти периодических по Безикови-чу функций - быти получены М.А.Шубиным в [17 53.

В §4.3 главы IV изучается уравнение с почти периодическим ядром на полуоси хСЬ) = Х КС1,5)хС5)с15 + /СО, ^0 (0.0.10) О в пространствах ЕЛ: 1АКА). ВСА.кА), аАРАСКА) и САСРА). Основной результат этого параграфа следующий:

Теорема 4. 3. 1. Пусть каждое из присоединенных однородных уравнений (0.0.9) не имеет в В Л Р Ъ ненулевык решений. Тогда уравнение (0.0.10) будет нетеровым во всех пространствах Е, и при этом дефектные числа этого уравнения во всех пространствах «Аудут одинаковы.

Обратно, если уравнение (0.0.Í0) нетерово в одном из пространств ЕА, то каждое из присоединенных уравнений (0.0.9) не имеет в BCARA) ненулевых решений.

При доказательстве этой теоремы используется прием, позволяющий сводить уравнение на оси к системе уравнений на полуоси [ 903. Заметим, что он естественным образом связан с подходом,при помощи которого интегральные уравнения с периодическими ядрами сводились к системе операторных уравнений типа свертки. Оба они базируются на общей идее и тесно связаны с методом матричного представления операторов, разрабатываемьм в работах А.Г.Баскакова и его учеников [Í3,Í4,Í7,19,1,913.

Заметим, что для почти периодических ядер нет аналогов преобразования Фурье и поэтому изучение уравнений с такими ядрами представляет собой самостоятельную задачу, решать которую приходится с учетом свойств конкретного пространства. Это обстоятельство и потребовало создания специальной методики, которая частично была разработана в главе I и использована при исследовании уравнений с почти периодическими ядрами.

Результаты, полученные в главе IV для интегральных уравнений, позволяют исследовать аналогичные свойства интегро-диффере-нциальных уравнений вида

00 хСО = ACOxCt) + J K(t,s)xCsMs + fCO, (0.0.Í1 )

-00 00 x'ct) - ACt)x(t)+ J K(t,s)xCs)ds + fCO, t>Ü , (0.0. Í2) O где матрицы ACO VI KCtyS) почти периодические. Изучение таких уравнений производится сведением их к соответствующим интегральным уравнениям с почти периодическими ядрами. На этой основе получены условия однозначной всюду разрешимости уравнения (0.0.И) в паре пространств СВСл'\кЪ ,ВСАСкЪ). В случае однозначной всюду разрешимости решение уравнения (0.0.11) может быть представлено в виде

ХСО = л ТС1,5) /С5)С[5 ,

-со где К 1,5) - почти периодическая матрица.

Для уравнения (0.0.12) получены условия нетеровости и показано совпадение дефектных чисел в соответствующих пространствах.

В главе V изучаются вольтерровы уравнения. Уравнения с общим вольтерровым оператором введены в известной работе А.Н.Тихонова [158] ив последующем интенсивно изучались многими математиками. В этой главе решается задача о взаимосвязи устойчивости уравнения и допустимости для него различных пар пространств. Эта задача является частью проблемы, исследуемой в главе I, однако специфика вольтерровых уравнений позволяет расширить некоторые результаты о допустимости, полученные в главе I для интегральных уравнений, и доказать новые.

В §5.1 рассматривается уравнение

X = Кх + / (0.0.13) с вольтерровым оператором V , сужения которого на пространства СА[0,Ь] имеют спектральный радиус меньше единицы. Здесь описывается класс подпространств X из ААКА), включающий САСКЧ) и ААСКА), для которых из устойчивости уравнения (0.0.13) и допустимости пары СХ,Х) для оператора К следует допустимость этой пары для уравнения. Доказательство соответствующего утверждения существенно использует вольтерровость уравнения.

Для уравнений, в которых оператор V положительный и устойчивый, или мажорируется положительным устойчивым оператором, доказано более сильное утверждение: если X - замкнутое подпростраиотъо ВСАР!1). ТО пара СХ,Х) допустима для уравнения (0.0.13) тогда и только тогда, когда эта пара допустима для оператора V.

В §5.2 для интегрального уравнения Вольтерра указан класс подпространств X из ВСлСАй, для которых из допустимости пары СХ,ВСАр!рй для уравнения следует его устойчивость. Здесь же показано, что аналогичная задача в случае асимптотической устойчивости имеет положительное решение лишь для Х= САк!А).

В §5.3 изучаются интегральные уравнения хсо = х каf 5Ж5:>бз + fco, ш\ (о. о. 14) о с периодическим ядром КС1,5А>. Наличие преобразования Фурье К (О-которое в данном случае определено в единичном круге | ? | < 1, позволило получить ряд завершенных результатов о разрешимости уравнения и асимптотике решений. Основной здесь является теорема 5.3.3 о структуре резольвенты. Из нее, в частности, получаются необходише и достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости уравнения (0,0.14) .

Результаты этого параграфа позволили исследовать устойчивость следующей задачи для интегро-дифференциального уравнения 1

X С1>АаЖ1:)+1 КС1,5Жз)(Лв ; ха><рСО, ¿€[0,1л3 (0.0.15) О с периодическими АС О и /СС1,5А). Полученные здесь результаты включают ряд известных.

Вопросы, рассматриваемые в §§5.2-5.3,изучались в случае интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра с ядрами, зависящими от разности аргументов, и постоянной матрицей А. Имеется большое число работ, посвященных этой тематике.Среди них укажем работы З.Б.Цалюка и В.А.Дербенева [56,166,1673, в которых получены во многом окончательные результаты о структуре резольвенты и асимптотике решений, а также работы зарубежных авторов

24

180,181,183,184,187,190,192,197,200,201,203,207-209,211].

Отметим также, что из результатов §5.3 получаются некоторые известные утверждения для интегральных уравнений Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, например, из них вытекает известная теорема Винера об устойчивости [31].

Обозначения и определения

N - множество натуральных чисел; 1Л= Z - множество целых чисел;

Л = .X - решетка целочисленных т-мерных векторов р= (Р1.Р2 . . . Рщ}' !Р1=1Р1 1+1Р21-• • + 1Рт1; р''= Р - поле вещественных чисел; 1

С = С - поле комплексных чисел;

С/') - пространство вещественных (комплексных) пг-мерных векторов X = (х.| ,Х2,. >хА) с нормой ||х|| = шхА |хА |; ргАх = хА (хеСл) - координатные операторы проектирования;

Л = I Х€РЛ: ргАх > 0; 1=1 ,2. . . ш у. е2. • • - стандартный базис в Ял: ргАеА = АА1у" символ Кронекера) ; х| = (|х а | .|Х21.| ха|) ( х € Л ; т т х.у) = Е х.-у.- (х,у 6 С ) - скалярное произведение; 1=1 л л

X < V (х, у € Л : хА< (1=1 »2.(71) ;

X < у (х,у € Л : ха< уА (1=1 >2.пг);

1а,Ь] = •{ хеЯЛ: а< х <Ь \;

А=(аЛ]) (1=1,2.п; ;]'= 1,2. . . . ш) - матрица размера пш; гп

А\\ = шх Е \<л\ \\ - норма матрицы А; 1<1<п 1=1

ЕА- единичная матрица размера пкп;

00= •{ иЯЛ: 0<рф<) ; ]=л ,2.гп \;

ПСП = I ЫТ : т<г у. 1 1

5 = •{ ЛеС : j?j=1 }• - единичная окружность ;

0А= А ?€СА \Л\<1 У,

ГА= 5\—5л - остов т.-мерного полидиска; 5ЛЛ= I ЛеСЛ: ехр(а) <|л|< ехрф) I

Функциональные пространства

Далее приняты обозначения : К - компакт, Г - неограниченная замкнутая область и М - измеримое по Лебегу подмножество из FA.

САСЮ - банахово пространство непрерывных функций х: /С —> Р"" (СА) с ||х|| = max \\хСО\\ ;

С\Т) - пространство непрерывных функций х: Т ССА) с топологией равномерной сходимости на компактах;

ВСАСТ) - банахово пространство ограниченных непрерывных функций х: Т ССЪ с ||х|| = sup \\хСО\\ ; bc[jcd - подпространство ВСАСТ) функций, равномерно непрерывных на Г;

САСП = i х е В Л г; : 1ш хСО = О }•;

ААСП = САСП Ф RA ( САСП ® ); pAioi-,!.A) = Р"-(со) - подпространство В Л Л периодических функций с периодом ш ; x(t-ko) = x(t);

AFACíA) = I4F'A - подпространство ВСАСАу почти периодических по Бору функций; aPAC(j):) = С л с Л ш faccoj» - подпространство BCA(RA) асимптотически ш-периодических функций; аАР"А = СлСЛ Ф ЛР'А- подпространство BCACfA) асимптотически почти периодических функций;

Пространства сужений на P'J функций из P\wJ) , АРА аРАСш) и аЛР'А обозначаются также;

В Л Р '' ;Ю - банахово пространство непрерывных функций x:Raa

Ra ССЪ о нормой llxjl = Ijxll = sup (1 +|t|)—л||xCi:>|| „< oo a teR

M = 0,1 ,2,.);

ВСА'\РЪ - банахово пространство ограниченных функций х:РА—> с Л , имеющих непрерывную и ограниченную первую производную с нормой ||х|| = sup \\хС1У\\ + sup ||х CtJ) 11;

URA URA

BCA"A(R\) - пространство сужений функций из BCA'ARA) на РА;

LACM) - банахово пространство измеримых по Лебегу и существенно ограниченных функций х: Af —+ с нормой ||х|| = vraisup | |xCtJ>|i; teM vrailimxCt:) - существенный предел функции xCt) при t, t—^ стремящемся к а .

С'АСП = i ХбЛП ; УгаШш хСО = О a ; ° НИК» иАСМ) - гильбертово пространство функций х:М квадрат нормы которых суммируем на Af , со скалярным произведением х,у) = J Е xACOyirUdt;

LACM) - банахово пространство суммируемых на И функций х: М RA ССА) с нормой л п х,у> = г Е x.CDy.Ctydt ( при условии существования инте-«1 = 1 А грала в правой части );

1АА'АСМ) - пространство Пкп - матриц с элементами из \СМ); наласка;01) (с. 95) - пространство ш-периодических матриц;

SAA/Rh, nAAACRh (с. 126) - подпространства ПА.дСкЬ;

RAAACRA;o)) (с. 97) - алгебра интегральных операторов, порожденных w-периодическими матрицами;

ППАААСРА (с.212) - пространство почти периодических матриц;

- мера Лебега в Rл; supp f - носитель функции / : замыкание множества всех точек из области определения, в которых / не обращается в нуль;

Сх; - преобразование Фурье функции fALлCRb (/е1![А"\Л;. Х]А-А X - последовательность ixлл} ограничена и сходится к X равномерно на каждом компакте ( локально сходится );

Х/л—у X - последовательность а^а}- ограничена и сходится к X по мере на каждом компакте ( локально сходится по мере ) ;

Пространства последовательностей Ш - банахово пространство ограниченных последовательностей X = Сх£,Х2. . . . хАА,.) из RA (или (/-) с ||х|| = \\хА\\; -i АЛАт • существует 1ш Хг. сЛ \.

А к—*оо

Операторы и уравнения Пусть X и X банаховы пространства. А: Х-+Х - непрерывный линейный оператор.

ШШ = sup Р х 11 /11 х 11 ; 1И11 = 1И11 ;

X-+/ ХлО Х-^Х X кегА - ядро оператора А : множество всех решений уравнения Ах = О ;

JmA - образ оператора А: множество -{уеУ: у=Ах, хеХ}; UmA)-A = i (р€У*: <pUmA) =0 }•, У* - пространство, сопряжен ное к У;

А* - оператор, сопряженный к А ; СокегА - прямое дополнение к М ( в У ) ; dimE - размерность линейного пространства Е; I - единичный оператор.

Уравнение Ах=у называется в паре (Х,Х) ( или в X , если Х=У ) [8 93 : нормально разрешимым, если одраз JmA замкнут в X; корректно разрешимым, если рх|| > т\\х\\ для некоторого т>о и всех Х€Х; плотно разрешимым, если замыкание образа А совпадает с X; однозначно разрешимым, если оно при каждом yeJmA имеет только одно решение; всюду разрешимым, если М = X; п-нормальным, если оно нормально разрешимо и dmkerA <со; d-нормальным, если оно нормально разрешимо и dmCokerA <со; нетеровым, если оно одновременно п-нормально и d-нормально. a{A)=dmkerA, fi{A)=dmCokerA - дефектные числа оператора А; dimfiokerA - dimkerA = тйА - индекс оператора А. Оператор А называется п-нормальным, d-нормальным, нетеровым, если таковым является уравнение Ах=у .

Пусть Е и Г - подпространства X и X, соответственно. Пара называется допустимой для оператора А, если

АСЕ) с F.

Пара называется допустимой для уравнения Ах=у (уравнение однозначно всюду разрешимо в паре (Б,Е), или в Е, если Е=Г ),если это уравнение при каждом уеГ имеет и притом единственное решение хеЕ.

1. Азарнова T.B. Оценка элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов. Канд.диссертация.- Воронеж. 1996.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом/ /Дифференц.уравнения.1982.Т.28,М 2 .С.2027-2050.

3. Азбелев Н.В. О некоторых тенденциях в обобщениях дифференциального уравнения//Дифференц. уравнения. 1985.Т.21, Jfö.С. 1291-1304.

4. Азбелев Н.В.Березанский Л.М.Симонов П.М.Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием I (И;111)// Дифференц. уравнения.1987 . Т. 23, Jf5. С. 745-754 (ДУ. 1991. Т. 27, М. С. 555-562; ДУ. 1991. Т. 27. МО . С. 165 9-1668) .

5. Азбелев Н.В.Максимов В.П.Рахматудлина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений.-М. :Наука. 1991.-280 с.

6. Азбелев Н.В. .Рахматудлина Л.Ф. Об оценке спектрального радиуса линейного оператора в пространстве непрерывных функций //Изв.вузов.Математика.I996.Ж1.С.322-328.

7. Антонович А.Б. Эллиптические поевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов //Изв.АН СССР,сер.матем. 1973. Т. 37, №3.0.663-675.

8. Антонович А.Б.,Рывкин В.Б. О нормальной разрешимости задачи о периодических решениях линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом//Дифференц.уравнения.1974. Т.10, )Ю.С.1347-1353.

9. Баскаков А.Г. Теорема Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц//Функц.анализ и его прил.1990.Т.24,№3. С.64-65.

10. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц//Матем. заметки.1992. Т. 52, Ji2. С. 17-25.

11. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов//Докл,РАН,сер.матем, 1993. Т. 333, ЖЗ. С. 282-284 .

12. Баскаков А.Г.,Чернышев М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка//Укр.матем.ж. 1995.Т.47,ЖЗ.С.411-413.

13. Баскаков А. Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов//Изв.РАН,сер.матем.1997.Т.61, Jf6.C.3-26.

14. Баскаков А. Г. О корректности линейных дифференциальных операторов //Матем. сб. 1999. Т. 190, Ш. С. 3-28 .

15. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов.- Воронеж : из д . ВГУ . 1 987.-164с.

16. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Асимптотические методы втеории нелинейных колебаний.-М.:Наука.1974.-504с.

17. Борисович Ю.ГЛурбабин А.С. К задаче Коши для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом //Докл. АН СССР. 1969.Т. 185, М. С. 741-744.

18. Борисович Ю.Г.,Шерман П. Б. Нелинейные Фредгольмовы отображения и периодические решения дифференциально-разностных уравнений/ /Тр. матем.фак.ВГУ.Воронеж.1973.Вып.10.С.12-25.

19. Бурд В.Ш.,Колосов Ю.С.,Красносельский М.А. Исследование функции Грина дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами //Изв. АН СССР, сер.матем. 1969. Т.33, 5.С. 1089-1119.

20. Бурд В.Ш.,Колесов Ю.С. О дихотомии решений функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффици-ентами//Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, Л6. С. 1259-1262.

21. Бухвалов А.В. Об интегральном представлении линейных операторов //Зап. науч. семинаров Ленингр.отд.Математ.ин-та АН СССР. 1974. М7 . С. 5-14.

22. Бухвалов А.В. Критерий интегральной представимости линейных операторов //Функц.анализ и его прил.1975.Т.9,М.С. 51.

23. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.- М.:Изд. физ.-мат.лит.1963.-256с.

24. Винер Н.,Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.Наука.1964.-267с.

25. Винокуров В.Р. Об устойчивости решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода //Изв.вузов.Математика. 1959.3Л1 (8) .С.23-24.

26. Винокуров В.Р.Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей//Уч.зап.Уральского ун-та. 1960. Вып. 23, .Л2. С. 3-9.

27. Винокуров В.Р. Об ограниченных решениях и предельных циклах системы интегральных уравнений Вольтерра //Уч.зап.Орского пед.инст.1963.Вып.5.С.32-37.

28. Винокуров В.Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования//Дифференц.уравнения.1969. Т. 5, МО . С. 1894-1898 .

29. Винокуров В.Р.Смолин Ю.Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями//Докл.АН СССР. 1971.Т.201,М. С. 771-7 73.

30. Винокуров В. Р. Предельные циклы системы уравнений Вольтерра //Изв.вузов.Математика. 1974. .Ю.С.18-26.

31. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.-М. : Наука.1977.-б40с.

32. Гахов Ф. Д. .Черский Ю.И. Уравнения типа свертки.-М. :Наука. 1978.-295с.

33. Гельфанд М.И. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами //Докл. АН СССР. 1950. Т. 73, .*6.С .1117-1120.

34. Гель$анд М.И.,Райков Д.А. .Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца.-М.;Физматгиз.1960.-316с.

35. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей.-М.:Наука.1967.-375с.

36. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и экспоненциальный рост решений систем интегральных уравнений типа Больтерра//Матем. cd . 1964 . Т . 64 .М.С . 115-139 .

37. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и тауберовы теоремы типа Пэли-Винера //Сибирок.матем. ж. 1979. Т.20. ЖЗ.С.519-528.

38. Гохберг И.Ц.Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов //Успехи матем. н. 1957. Т. 12, вып. 2. С. 44-118.

39. Гохберг И.Ц.,Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов //Успехи матем.н.1958.Т.13,вып.2.С.3-72.

40. Гохберг И.Ц.,Крейн М.Г.Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения.-М.;Наука.1967.-508с.

41. Гохберг И.Ц.,Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.-М.:Наука.1971.-352с.

42. Гурьянова Н.Э.,Мышкис А. Д. Некоторые вопросы асимптотической эквивалентности и устойчивости абстрактных интегральных уравнений типа Больтерра //Московский ин-т инженеров жел. трансп. Москва. 1986. Деп. в ВИНИТИ 3.10.86. ^7206-В86. -20с.

43. Гурьянова Н.Э. Теория интегральных уравнений Больтерра в общей трактовке. Канд.диссертация.-Ростов-на-Дону.1991.

44. Данфорд Н.,Шварц Дж.Линейные операторы: Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.-М.: Мир.1966.Т.2.-1063с.

45. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.:Наука.1967.-472с.

46. Дербенев В.А. ,Цалюк 3.Б. Асимптотическое поведение резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов//Матем. заметки. 1997 . Т . 62,М. С . 74-7 9 .

47. Иванов Е.А. О критериях неизменности индекса нетерова оператора //Изв.Сев.-Кавк.научн. ц. высш.школы.Серия естеств.наук. 1973. М. С. 107-108.

48. Канторович Л.В.,Акилов Г,П. Функциональный анализ.-М.:Наука. 1977.-742с.

49. Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае //Сибирок.матем. ж., 1970. Т. И, М. С. 8 090.

50. Карапетянц Н.К.,Самко С,Г.Об одном классе интегральных уравнений типа свертки и его приложении //Изв.АН СССР,сер. матем. 1971.Т.35,Л6.С.714-726.

51. Карапетянц Н.К.,Самко С.Г. О дискретных операторах Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами //Докл.АН СССР.1971.Т. 200, Ж. С. 17-20.

52. Карапетянц Н.К.,Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов //Изв.АН Арм.ССР,матем.1972.Т.7,Ж.С.68-77.

53. Карапетянц Н.К. К вопросу о полной непрерывности операторов типа свертки //Изв.вузов.Математика.1980.М1.С.41-49.

54. Карапетянц Н.К. Полная непрерывность некоторых классов операторов типа свертки и с однородными ядрами //Изв.вузов.Ма-тематика . 1981. Ж I . С. 71 -74 .

55. Карапетянц Н.К.,Самко С.Г.Уравнения с инволютивными операторами и их приложения.-Ростов-на-Дону:изд.РГУ,1988.-188с.

56. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов.-В кн.:Избранные труды. Математика.-М.:Наука.1985.С.301-332.

57. Келдыш М.В.,Лидский В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов.-В кн.:Избранные труды.Математика.М.: Наука.1985.С.332-354.

58. Колесников И.А.Некоторые условия обратимости разностных операторов. Канд. диссертация.-Воронеж.2000.-106с.

59. Колосов Ю.С.Необходимые и достаточные условия экспоненциаль-ой дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием//Вести. Ярославского ун-та. 1973. Вып. 5. С. 2862.

60. Колесов Ю.С. Экспоненциальная дихотомия решений абстрактных параболических уравнений с почти периодическими коэффициентами/ /Вести. Ярославского ун-та. 1973 .Вып. 5 . С. 63-67 .

61. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах.-Ростов-на-Дону:изд.РГУ.1983.-155с.

62. Красносельский М. А., Забрейко П.П., Пустыльник Е .И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.-М.:Наука.1966.-499с.

63. Красносельский М.А.,Бурд В.Ш. .Колосов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания.-М.; Наука. 1970 .-351с.

64. Красносельский М.А.,Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.М.:Наука.1975.-511с.

65. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами , зависящими от разности аргументов//Успехи матем.н.1958.Т.13, Вып.5.С.3-120.

66. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.-М.:Наука.1967.-4 64с.

67. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве.-М.: Наука. 1971.-104с.

68. Кузнецов В. В. Спектральный анализ периодических операторов. Канд.диссертация.-Воронеж.1996.-121с.

69. Курбатов В.Г. Линейные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа и запаздывающий спектр//Сибирок.матем. ж. 1975.2.24, т.о. 538-550.

70. Курбатов В. Г. Об оценке спектральных радиусов запаздывающих операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций//Функц. анализ и его при л. 1975. Т. 9, ЖЗ. С, 56-60,

71. Курбатов В,Г, О спектре оператора с соизмеримыми отклонениями аргумента и постоянными коэффициентами //Дифференц,урав-нения , 1977, Т. 13,М О,С. 1770-1775,

72. Курбатов В, Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений//Дифференц,уравнения. 1981. Т. 17. С. 963-972.

73. Курбатов В.Г. О локальной фредгольмовости разностного оператора/ /Докл. АН СССР. 1984. Т. 274, Ш. С. 534-53 6.

74. Курбатов В. Г. Об обратимости почти периодических операторов //Матем. сб. 1989. Т. 180,1Л7. С. 913-923.

75. Курбатов В. Г. Об ограниченных решениях дифференциально -разностных уравнений//Сибирск. матем.ж. 1986.Т.27,М.С.86-99.

76. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов/ /Функц. анализ. и его при л. 1990. Т. 24, .Л2. С. 98-99.

77. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. -Воронеж:изд.ВГУ.1990.-168с.

78. Кучмент П.А. О нетеровых операторах в паре банаховых прост-ранств//Труды научно-иссл. ин-та матем.ВГУ.-Воронеж.1971.Вып.3.С.61-77.

79. Кучмент П.А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом//Успехи матем.н.197 9.Т.34. .С.201-202.

80. Левитан Б.М.,Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения.-Изд.Моек.ун-та.1978.-205с.ИЗ.Лепик Р. Об обратимости дискретного оператора Винера-Хопфа с операторными коэффициентами//Ученые зап.Тартус.ун-та.1979. М92/24.С.15-2 4.

81. Миллионщиков В.М. Рекуррентные и почти периодические траектории неавтономных систем дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР. 1965. Т. 161,Ж. С. 1004-1007.

82. Миллионщиков В.М.Рекуррентные и почти периодические предельные траектории неавтономных систем //Дифференц.уравнения. 1968.Т.4^9.1155-И59.

83. Милославский А. И. К теории Флоке для параболических уравнений/ / Функц. анализ. Í 97 6. Т. Í О, Ш.0,8 0-81.

84. Милославский А.И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами.Канд.диссер-тация .-Ростов-на-Дону, Í 97 6.

85. Миролюбов А.А.,Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения.-М.;Наука.1981.-208с.

86. Миролюбов А.А.Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения.-М.:Наука.1986.-127с.

87. Митропольский Ю.А. .Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.-Киев:Ви1ца школа. 1979.-247с.

88. Митропольский Ю.А. .Самойленко А.М. .Мартынюк Д.И.Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами.-Киев:Наукова думка.1984.-214с.

89. Морен К. Методы гильбертова пространства .М.; Мир. 1965 .-570с. 12 6. Мухамадиев Э. Об обратимости дифференциального оператора впространстве непрерывных ограниченных на всей оси Функций // Докл.АН СССР.1971.Т.196,М.С.47-49.

90. Мухамадиев Э.Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций //Матем.заметки. 1972. Т. И, вып. 3. С. 269-274 .

91. Назаров С.А. О нетеровости и асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами в цилиндре/ /Успехи матем.н. 1981.Т. 36. М.С. 217-218 .

92. Назаров С.А, Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре //Изв. АН СССР. 1981.Т.45,М.С. 101112.

93. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной.-М.: Наука. 1974 . -480с.

94. Никольский Н.К. Современное состояние проблемы спектрального анализа-синтеза.I -В кн.:Теория операторов в функциональных пространствах.Новосибирск: Наука. 1977 .С.240-282 .

95. Никольский Н.К. Лекции об операторах сдвига.-М.: Наука. 198 0 . -384с.

96. Носов В.Р. Теорема Перрона для стационарных и периодических систем дифференциально-функциональных уравнений //Дифференц. уравнения с откл.аргументом /Ун-т Дружбы народов им.Патриса Лумумбы. -М. :1979.С.44-51.

97. Носов В.Р. Периодические решения систем линейных уравнений общего вида с отклоняющимся аргументом//Дифференц.уравнения. 1971.Т. 7, М. С. 639-650.

98. Паломодов В. П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. -М.: Наука .1967.-487с.

99. Панков А. А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных дифференциально операторных уравнений.-Киев.:Наукова думка. 1985.-181с.14 0. Плисе В.А. Интегральные множества периодических систем дифферещиальных уравнений. -М.: Наука. 1977. -303с.

100. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука.1970.-331с.

101. Рабинович B.C. Об алгебре,порожденной псевдодифференциальными операторами на Р'А, операторами умножения на почти периодические Функции и операторами сдвига //Докл.АН СССР.1982.Т.263, J*5. С. 1066-1070.

102. Симонов n.M. Устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием.Канд. диссертация.-Пермь. 1985.

103. Слюсарчук В.Е. Обратимость функционально-дифференциальных операторов/ /Докл. АН УССР, сер. А. 1980. Jf9. С. 29-32.

104. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических с-непрерыв-ных операторов//Матем.об. 1981. Т.116 (158) ,М.С. 483-501.

105. Слюсарчук В.Е. Интегральное представление с-непрерывных oneраторов//Докл.АН УССР,серия А. 1981. Лб.С.34-37.

106. Слюсарчук В.Е.Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов//Матем. об. 1986. Т. 130(172),М.С.8 6-104.

107. Слюсарчук В.Е. К обратимости почти периодических операторов //Матем.сб. 1987.Т.42,Ж . С. 50-59.

108. Слюсарчук В.Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-дифференциальных операторов / /Матем. заметки. 1987 . Т. 42, 1*2. С. 262-267 .

109. Смолин Ю.Н. О порядке роста резольвентных ядер системы интегральных уравнений Вольтерра с периодическими ядрами и запаздываниями/ /Дифференц. уравнения.1971.Т.7,Ж2.С.2246-2252.

110. СтуДеникин А.А. Причинная обратимость относительно конуса. Канд.диссертация.-Воронеж.1998.

111. Тихонов А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики//Бюлл. Моск.ун-та.Секция А.1938.Т.1,вып.8.С.1-25.

112. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах//Сибирок.матем. ж. 1991. Т. 32, Ш. С. 160-165.

113. Хайкин М.И. Однородное уравнение Винера-Хопфа в классе функций умеренного роста //Изв.вузов.Математика.1978.1Ю(195) .С. 91-98.

114. Хилле Э.,Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.-М.: Изд.ин.лит.1962.-829с.

115. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра //Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4,Ж1 . С. 1967-197 9.

116. Цалюк З.Б. Функциональные неравенства Вольтерра //Изв.вузов. Математика. 1969.Т.82, Jfб.С.86-95.

117. Цалюк З.Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра//Диф$еренц.урав-нения .1977.Т.13,М1.С.2096-2098.

118. Цалюк 3.Б.Интегральные уравнения Вольтерра //Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ /ВИНИТИ-М. 1977. Т. 15. С. 131 -198.

119. Цалюк З.Б. Асимптотичеокая структура резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром//Изв.вузов.Мате-матика . 2000.Т.455,М.С.50-55.

120. Цалюк З.Б. Структура резольвенты уравнения восстановления // Изв.вузов.Сев.-Кавк.регион. Естеств. науки. 2001. Спецвып. С. 131132.

121. Чаплыгин В.Ф. Экспоненциальная дихотомия решений линейного почти периодического уравнения с последействием с медленным временем //Вестник Ярославского ун-та.1975.Вып.13.С.159-167.

122. Шарковский А.Н. .Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Асимптотически периодические решения одного класса дифференциально-разностных уравнений //Докл.АН УССР,сер.А.1981.Т.7.С.27-31.

123. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений// Дифференц.уравнения.1965.Т. 1,М.С.102-116.

124. Штейнберг Б.Я, Об операторах типа свертки на локально компактных группах //Функц.анализ и его прил.1981.Т.15,вып.З.С. 95-96.

125. Штейнберг Б.Я. Операторы Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами //Дифференц.уравнения.1987.Т.23,Ш.С.1645-1647.

126. Шубин М.А. Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы в пространствах почти периодических функций//Матем.сб. 1974. Т. 95,М. С. 560-584 .

127. Шубин М.А. Теоремы о совпадении спектров псевдодифференциальных операторов в пространстве 1СЕА) и ВСкА) //Сибирок, матем. ж.1976.Т.17,Ж . С.200-215.

128. Шубин М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти периодическими коэффициентами//Успехи матем.н. 1979. Т. 34, #2. С. 95-135.

129. Шубин М.А. Локальная теория Фавара //Вести.Моск.ун-та.Сер.1. 1979. Jf2. С. 31-36.179.51кубович В.А. .Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.-М.: Наука.1972.-718с.

130. Becker Ь.С. .Burton Т.А. and Kriszin T.K.Floquet theory for a Vol terra equation / / J. London Math. Soc. 198 8. V. 2, Ш7 . P. 141 -147.

131. BerkeyD. An asymptotic Floquet theorem for linear almost periodic system//SIAM J.Math. Anal. 197 6. V. 7, J*6. P. 843-847 .

132. Bochner S.,Fillips R.S. Absolute convergent Fourier expension for non commutative normed ring/ /Ann . of Math. 1942 . V. 43, ЖЗ. P. 409-418 .

133. Bownds J.M.,Gushing J.M. Some stability theorems for system of Volterra integral equations//Appi.Anal.1975 .V. 5,Ж. P.6577.

134. Burton T.A.,Mahfcud W.E. Stabi1ity or iter ia for Volterra equations //J. Amer .Math. Soc. 1983. V. 27 9, Ж . P. 143-17 4.

135. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations// J .London Math.Soc. 1985.V.31, №3.P.537-548.

136. Burton T.A. Periodic solutions of iineare Volterra equationsFunkcial Ekvac. 1984. JA27. P. 229-253.

137. Corduneanu A. Uniform asymptotic stability for systems of Voiterra integral equations //Bui.Inst.Politehn.Iasi. 1 9 7 9. Sec.1 .V.25,iP3-4.P.27-34.

138. Gushing J.M. .Sirnmes S.D. Bifurcation of asymptotically periodic solutions of Voiterra integral equations//J. of Integr. Equations. 1980.M.P.339-361.

139. Doss R. On the almost periodic solutions of class of integ-rodifferential-difference equations//Ann. of Math. 1965 .V. 81, m .P.117-123.

140. Friedman A. Periodic behavior of solutions of Voiterra integral equations / / J . Anal. Math. 1965. M 5. P. 287-303.

141. Gilbert E. Spectral synthesis problems for invariant subspaces on groups. I //Amer. J.Math. 1966 .№88 . P. 626-635.

142. Gopalsamy K. Global asymptotic stability in a periodic integr odifferential system //Tohoku Math.J.1985.V.37, ifô.P.323-332.

143. Gripenberg G. On the convergence of solutions of Voiterra integral equations to almost-periodic functions//Quart.Appl. Math.1981.V.39,Ji3.P.363-373.

144. Grossman S.J.Miller R.K. Nonlinear Voiterra integrodifferen-tial systems with la- kernels //J. Different. Equat. 1973.M3.P. 551-566.

145. Grossman S.J. Périodicité finaiy des systèmes integrodiffe-rentiels de Volterra//Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1973. V. I8 . i«5. P. 665-671.

146. Jordan G.S.,Wheeler R.L. Linear integral equations with asymptotically almost periodic solutions //J.Math.Anal.and Appl. 1975.V.52, №3.P.454-464.

147. Jordan G.S.,Wheeler R.L. Asymptotic behavior of unbounded solutions of linear Volterra integral equations //J.Math. Anal.and Appi. 1976.V.55, №3.P.596-615.

148. Jordan G.S.,Wheeler R.L. A generalization of the Wiener-Levi theorem applicable to some Volterra equations //Proc.Amer. Math.See.1976. V.57,M .P.109-1U.

149. Jordan G.S.,Madych W.R.,Wheeler R.L. Linear convolution integral equations with asymptotically almost periodic solutions //Proc . Amer. Math. Sod 980. V. 78, i*3. P. 337-341.

150. Jordan G.S.,Wheeler R.L. Weighted LA- remainder theorems for resolvents of Volterra equations//SIAM J.Math. Anal. 1980. V.11 ,JA.P.885-900.

151. Jordan G.S.,Wheeler R.L. Structure of resolvents of Volterra integral and integrodif f erential systems//SIAM J.Math.Anal. 1980.V.11,Ml.P.119-132.

152. Langenhop C.E. Periodic and almost periodic solutions of Volterra integrodifferential equations with infinite memory/ J. D i ffer ent. Eguat. 1985. V. 58, )P3. P. 391 -403.

153. Levin J.J.,Shea D.F. On the asymptotic behavior of the bounded solutions of some integral equations.I(II;III) //J.Math. Anal.and Appl.1972.V.37,J*1 .P.42-82 (1972 .V. 37,N2.P.288-326; 1972.V.37,N3.P.537-575).

154. Levinson N.A. A nonlinear Volterra equation arising in the theory of superfi ui dity //J. Math .Anal. and Appl. 1960.M. P.1-11.

155. Loomis L.H. The spectral characterization of a class of almost periodic functions//Ann.Math. 1960 .V.72,№2.P.362-368 .

156. Luca N. Admissibility and perturbations theory of some linear Volterra integral and integrodifferential systems //An.Sti.Univ.lasi. 1977.Sec. 1 a.V. 23, »2.?.333-345 .

157. Miller R.K.Linear Volterra integr odi f f er entiai equations as semigroups/ZFunkcial Ekvac. 1974 .V. 17,№1. P. 39-55.

158. Miller R.K. Structure of solutions of unstable linear Volterra integrodif f erentiai equation//J. Different. Eguat. 1974. V. 15,u1.P.129-157.

159. Miller R.K. Asymptotic stability properties of linear Volterra integrodif f erentiai equations//J. Different. Eguat. 1971. V.10,ifo. P. 485-506.

160. Raghavendra V.,Rao М.,Раша M. Integral equations of Volterra type and admissibility threory //Rev.Roum.Math.Pur.et Appl. 1973. V. 18,M. P.571 -580.

161. Shea D.F.,Weinger S.Variants of the Wiener-Levy theorem with applications to stability problems for some Volterra integral equations//Amer.J.Math. 1975.V.97, JA.P.312-343.

162. Staffans 0. On asymptotically almost periodic of a convolution equation //Helsinki Univ.Technol.Inst.Math.Rept.198 0 . Ml 61 .-31pp.

163. Stell C.A. Wiener-Levy theorem for nuclear integral operators //J. Anal .Math. 1977. Ш2.P.83-92.

164. Thieme H.R. Renewal theorems for linear Volterra integral equations//J.Integr.Eguat. 1984. V. 7, Ш.P.253-277.

165. Thieme H.R. Renewal theorems for some mathematical models in epidemiology / / J. I ntegr.Eguat.1985.v.8, Ю.P. 185-216.

166. Yoshizava T. Stability theory and the existence of periodic solutions. -Ber 1 in: Spr inger. 1975. -233pp.

167. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически со-периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра//Изв.Сев.-Кавк.научи . ц. высш. школы. Серия естеств . наук.1973.М.С.75-78.

168. Пуляев В.Ф.,Цалюк З.Б. Об асимптотически со-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра //Дифференц.уравне-ния. 1974. Т. 10, лл6. С. 1103-1110.

169. Пуляев В.Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра//Дифференц. уравнения.1984.Т.20,М О. С. 1800-1805.

170. Пуляев В.Ф. О спектре линейных непрерывных операторов //Изв. Сев. -Кавк. научн. ц. высш. школы. Естеств. науки. 1985. М. С. 4 6-52 .

171. Пуляев В.Ф. О спектре операторов Вольтерра //В межвуз.сб. "Интегральные операторы и уравнения".Краснодар.1987. С.29-37.

172. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений //Изв.вузов.Математика.1988. С.75-78.

173. Пуляев В.Ф.Цалюк З.Б. Об асимптотическом поведении решений интегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах// Изв.вузов.Математика.1991. Ж 2.С.47-55.

174. Дербенев В.А.Пуляев В.Ф.Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений //Изв. Сев. -Кавк. научн. ц. высш. школы. Естеств. науки. 19 92. Ж -2. С. 7-14.

175. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений //В межвуз.сб."Интегральные и дифференциальные уравнения". Краснодар.1992.С.58-75.

176. Пуляев В.Ф.Савчиц Е.Ю. Об интегральных операторах с периодическими ядрами//Материалы научн.конф."Вопросы функц.анали-за и мат.физики".Баку.1999.С.402-406.

177. Барсукова В.Ю.,Пуляев В.Ф. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений//Кубан.гос. ун-т.Краснодар.1998.17с.Библиогр. 4 назв.Деп.в ВИНИТИ607.98,0"*2098-Б98.

178. Барсукова В.Ю. .Пуляев В.Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами на оси//Кубан,гос.ун-т,Краснодар.2000.25с.Библи-огр. 4 назв.Деп.в ВИНИТИ 6.05.00,М329-В00.

179. Пуляев В.Ф. О взаимосвязи нетеровости линейных непрерывных операторов и их сужений //Тезисы докл.первой Сев.-Кавк.регион, конф. (функц.-дифференц. уравнения и их прил. ) . Махачкала.1989. с. 174.

180. Дербенев В.А.Пуляев В.Ф. Об асимптотике резольвенты интегральных уравнений Вольтерра //Тезисы докл.Сев.-Кавк.регион, конф.(ЛИН.операторы в функц.пространствах) .Грозный. 1989.С. 52.

181. Пуляев В.Ф.,Цалюк З.Б. Интегральные операторы и уравнения Вольтерра в банаховом пространстве //Тезисы докл. Сев.-Кавк. регион, конф. (ЛИН. операторы в функц. пространствах) . Грозный. 1989. С. 125.

182. Дербенев В.А.Пуляев В.Ф. Об устойчивости линейных периодических систем интегро-дифференциальных уравнений //Тезисы докл.третьей Сев.-Кавк.регион, конф. (функц.-дифференц.уравнения и их прил. ) .Махачкала. 1991.С.56.

183. Пуляев В.Ф. Линейные интегральные уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами //Тезисы докл.третьей Сев.-Кавк. регион, конф. (функц.-дифференц. уравнения и их прил.) . Махачкала. 1991.С .131.

184. Пуляев В.Ф. Линейные интегральные уравнения с почти периодическим ядром//Тезисы докл.междунар. научн. конф. (дифференц. иинтегр. уравнения) . Самара. 1992. С. 204.

185. Пуляев В.Ф. Об интегральных операторах с почти периодическими ядрами //Тезисы докл.конф.по функц.анализу и уравн.мат. физ.ВГУ.Воронеж. 1997. С. 40.

186. Пуляев В.Ф.О некоторых свойствах уравнений Вольтерра с периодическими ядрами//Тезисы докл.Воронеж.весен.матем.шк."Пон-трягинские чтения-Х" . Воронеж. 1999.С.200.

187. Пуляев В.Ф.,Савчиц Е.Ю. Об интегральных операторах.действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций/тезисы докл.Воронеж.весен.матем.шк."Понтрягинские чтения-Х" .Воронеж.1999.С.201.

188. Пуляев В.Ф.Зимина Н.А. Об ограниченных решениях нелинейных интегральных уравнений//Материалы научн. конф. "Вопросы функц. анализа и мат.физики".Баку.1999.

189. Барсукова В.Ю. .Пуляев В.Ф. Об экспоненциальных решениях линейных интегральных уравнений//Тезисы докл.УИ междунар.конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Ростов-на-Дону. 1999. С. 12-13.

190. Пуляев В.Ф.,Савчиц Е.Ю. Об алгебре интегральных операторных уравнений с периодическими ядрами//Тезисы докл.УИ междунар. конф."Математика.Экономика. Экология.Образование". Ростов-на -Дону.1999.С.34.

191. Пуляев В.Ф.Зимина Н.А. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений//Тезисы докл.Воронеж.зимн. матем.шк. "Современный анализ и его приложения".Воронеж.2000. С. 78-79.

192. Пуляев В.Ф.Савчиц Е.Ю. О периодических и почти периодических операторах,действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на ООН функций //Тезисы докл. Воронеж, зимн.матем. шк."Современный анализ и его приложения".Воронеж.2000.С.144-145.

193. Пуляев В.Ф. Линейные интегральные уравнения с почти периодическим ядром на полуоси//Труды матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 5. Актуальные проблемы математики. (материалы междунар .научн.конф.).Казань.2000.С.177-178.

194. Пуляев В.Ф.Савчиц Е.Ю. О почти периодических операторах, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси Функций//Тезисы докл.1 Всесибирск.конгресса женщин-математиков .Красноярск.2000.С.174,

195. Пуляев В.Ф.,Савчиц Е.Ю. Об обратимости интегральных периодических операторов//Тезисы докл. Воронеж, весен.матем. шк. "Понт-рягинскиечтения-Х11". Воронеж. 2001.С.126.

196. Пуляев В.Ф.Сокол Д.Г. О допустимости пары пространств асимптотически й) -периодических по мере функций для интегрального оператора Вольтерра//Тезисы докл. Воронеж.весен.матем.шк."Пон-трягинские чтения-ХП ". Воронеж. 2 001. С. 127.

197. Пуляев В.Ф.Савчиц Е.Ю. Об обратимости интегральных периоди313ческих операторов//Труды матем.центра им.Н.И. Лобачевского. Т. 8.Теория функций,ее приложения и смежные вопросы (материалы V Казанской междунар.шк.-конфер.),Казань.2001.С.190-191.