Линейные интегральные операторы и уравнения с периодическими и почти периодическими ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1. ИТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ

§1.1. Линейные операторы в пространстве ограниченных функций и условия их интегрального представления

§1.2. Алгебра локально компактных операторов и условия локальной компактности операторов

ГЛАВА 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА

§2.1. Алгебра периодических локально компактных операторов и их интегральное представление

§2.2. Аппроксимационная теорема для периодических операторов

§2.3. Структура ядра Кег(1 — Р) в случае периодического оператора Р

ГЛАВА 3. ОБРАТИМОСТЬ И НЕТЕРОВОСТЬ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ОГРАНИЧЕННЫХ НА ОСИ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПОДПРОСТРАНСТВАХ

§3.1. Условия обратимости оператора I — Р в случае, когда Р - периодический оператор

§3.2. Вопросы тг-нормальности и ¿/-нормальности оператора I — Р в случае, когда

Р - периодический оператор

§3.3. Почти периодические операторы и условия обратимости оператора I — Р в случае, когда

Р - почти периодический оператор

Диссертация посвящена изучению линейных непрерывных локально компактных периодических и почти периодических операторов, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций ВСп{В}). Класс таких операторов включает в себя интегральные операторы с ядром, зависящим от разности аргументов

00 кх{г)= I ¿ф-фМ^, (1)

-оо а также операторы

00

Аф)= I А^я^^ск (2)

-00 с ядрами, удовлетворяющими условию 5+а;) = я) (см. работы

В.Р. Винокурова [23] - [25], В.Ф. Пуляева [91] - [101], Т.А. Вш^оп'а [117] - [119], В.В. Кузнецова [65] и др.)

Для операторов вида (1) и (2) построена содержательная теория, включающая, в частности, результаты, касающиеся обратимости, тг-нормальнос-ти и ¿-нормальности операторов I — А, где / - единичный оператор, дано описание структуры ядра Кег(1 — А) таких операторов.

Анализ полученных результатов показал, что основными свойствами, обеспечившими их справедливость, являются перестановочность< операторов (1) и (2) с группой операторов сдвига Тах = ж+ а), а 6 Л1, и ее подгруппой Т^^х = х{Ь + кш), к 6 ¿у, соответственно, а также непрерывность относительно локальной сходимости и локальная компактность операторов (1), (2). Естественно возникла задача изучения класса всех непрерывных относительно локальной сходимости и локально компактных периодических операторов, действующих в пространстве ВСп(Я1), и построения для них соответствующей теории. Эта задача и решается в настоящей работе. Кроме того, в диссертации на основе периодических операторов построена банахова алгебра почти периодических операторов Р, включающая введенные ранее почти периодические операторы, и исследуются свойства обратимости операторов I — Р в пространстве ВСп(Я1).

Вопросы, изучаемые в диссертации, рассматривались в случае других операторов с периодическими и почти периодическими коэффициентами или, что то же самое, уравнений, этими операторами порождаемых. Глубокие результаты, касающиеся обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с последействием, интегро-дифференциальных уравнений получены в работах Н.В. Азбелева [2], А.Г. Баскакова [5] - [14], Ю.Г. Борисовича [15], В.Ш. Бурда, Ю.С. Колесова и М.А. Красносельского [16], [17], В.В. Жикова и Б.М. Левитана

40] - [45], [78], А.М. Зверкина [46], [47], В.Г. Курбатова [66] - [68], Э. Му-хамадиева [85], [87], А.Д. Мышкиса [88], В.Е. Слюсарчука [106], [107] и др. Интегральные уравнения на оси и полуоси с ядрами, зависящими от . разности аргументов, изучались в работах И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна [32], [33], [63], Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко [50] - [52], И.Б. Симоненко [103], [104], З.Б. Цалюка, В.А. Дербенева [38], [108] - [110] и др.

Уравнения в частных производных с периодическими и почти периодическими коэффициентами рассматривались П. А. Кучментом [70] - [76], А.И. Милославским [80], [81], Э. Мухамадиевым [86], [87], М.А. Шубиным [111] - [115] и др. Отметим также работу В.В. Кузнецова [65], где рассматривались периодические операторы, действующие в пространствах функций, определенных на локально компактных абелевых группах. Основными целями диссертации являются:

- изучение свойств непрерывных относительно локальной сходимости локально компактных периодических операторов, действующих в В Сп [Я1) (всюду ниже такие операторы будем называть периодическими) и возможности их интегрального представления;

- изучение условий обратимости операторов / — Р, где Р - периодический оператор, в пространстве' ВСп(Я1) и наиболее интересных его подпространствах; описание вида обратного оператора (/ — Р)-1;

- изучение условий п-нормальности и ¿-нормальности оператора I — Р в пространстве ВСп(Я1) и его подпространствах;

- описание структуры ядра оператора I — Р в пространстве ВСп{Я1)]

- изучение условий обратимости операторов / — Р, где Р - почти периодический оператор, переводящий пространство ВСп(Я1) в себя.

В диссертационном исследовании используются методы теории линейных непрерывных операторов, гармонического анализа. Существенным моментом является использование дискретного преобразования Фурье. В качестве основных результатов можно выделить следующие:

- получено интегральное представление непрерывного относительно локальной сходимости локально компактного периодического оператора, действующего в пространстве ВСп(Я

- найдены необходимые и достаточные условия обратимости операторов I — Р, где Р - периодический оператор, в пространстве ВСп(Я1) и различных его подпространствах; показано, что (/ — Р)-1 = I + Я, где Я -периодический оператор;

- показано, что как п-нормальность так и ¿-нормальность оператора I — Р влекут его обратимость;

- описана структура ядра Кег{1 — Р), где Р - периодический оператор;

- получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора

I — Р, где Р - почти периодический оператор, в пространстве ВСп(Я1). Все основные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для исследования интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

- научная конференция "Вопросы функционального анализа". Баку, 1999;

- Весенние Воронежские математические школы " Понтрягинские чтения X, XII". Воронеж, 1999, 2001;

- Международная научная конференция "Математика. Экономика. Экология. Образование." Ростов-на-Дону, 1999;

- Воронежская зимняя математическая школа " Современный анализ и его приложения". Воронеж, 2000, 2002;

- Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Воронеж, 2000;

- Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики". Казань, 2000;

- V Казанская международная школа-конференция "Теория функций и смежные вопросы". Казань, 2001; на семинаре кафедры ММИО Воронежского государственного университета (руководитель проф. А.Г. Баскаков), а также неоднократно на семинаре по дифференциальным и интегральным уравнениям проф. З.Б. Цалюка в Кубанском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [122] - [137]. В работах [122], [123], выполненных совместно с научным руководителем В.Ф. Пуляевым, научному руководителю принадлежит постановка задачи. Выбор методов исследования и проведение доказательств принадлежат автору диссертации. В работе [126] В.Ф. Пуляеву принадлежат постановка задачи и выбор методов исследования.

Перейдем к обзору результатов диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Азарнова T.B. Оценка элементов обратных матриц и спектральная теория линейных операторов. Канд. диссертация. - Воронеж, 1996.

2. Антоневич А.Б. Условия обратимости операторов с выпуклой рационально независимой системой сдвигов. // Докл. АН СССР. 1981. -Т.256, № 1. - С. 11 - 14.

3. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. Структура экспоненциальных решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами. // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. - 25с. - Деп. в ВИНИТИ 6.05.00, № 329-В00.

4. Баскаков А.Г. Теорема Винера и асимптотические оценки элементов обратных матриц. // Функц. анализ и его прил. 1990. - Т.24, № 3. -С. 64 - 65.

5. Баскаков А.Г. Абстрактный гармонический анализ и асимптотические оценки элементов обратных матриц. // Матем. заметки. 1992. - Т.52, №2.-0.17-25.

6. Баскаков А.Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов. // Докл. РАН. сер. матем. 1993. -Т.ЗЗЗ, №3.-С. 282 - 284.

7. Баскаков А.Г., Черньйнев М.К. Некоторые условия обратимости дифференциальных операторов второго порядка. // Укр. матем. ж. -1995. Т.47, №3. - С. 411 - 413.

8. Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов. // Изв. РАН. сер. матем. 1997. - Т.61, №6. - С. 3 - 26.

9. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов. Ц Матем. сборник. 1999. - Т. 190, №3. - С. 3 - 28.

10. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов. Воронеж: изд. ВГУ, 1987. - 164 с.

11. Баскаков А.Г. О критериях почти периодичности. // Тр. матем. факультета ВГУ. Воронеж, 1973. №8. - С. 1 - 8.

12. Баскаков А.Г. Некоторые задачи теории векторных почти периодических функций. // Автореферат диссертации на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1973.

13. Баскаков А.Г. Метод усреднения в теории возмущений линейных дифференциальных операторов. // Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 4. - С. 555 - 562.

14. Бурд В.Ш., Колесов Ю.С., Красносельский М.А. Исследование функции Грина дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1969. - Т.33, №5. -С. 1089 - 1119.

15. Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. О дихотомии решений функционально-дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. И Докл. АН СССР. 1970. - Т.195, №6. - С. 1259 - 1262.

16. Бухвалов A.B. Об интегральном представлении линейных операторов. // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР. -1974. № 47. - С. 5 - 14.

17. Бухвалов A.B. Критерий интегральной представимости линейных операторов. // Функц. анализ и его прил. 1975. - Т. 9, № 1. - С. 51.

18. Бухвалов A.B. Интегральные операторы и представление вполне линейных функционалов на пространствах со смешанной нормой. // Сиб. матем. ж. 1975. - Т. 16, № 3. - С. 483 - 493.

19. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Издат. физ.-мат. лит. 1963. - 256 с.

20. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.: Наука. 1964. 267 с.

21. Винокуров В.Р. Некоторые вопросы теории устойчивости интегральных уравнений Вольтерра III.// Изв. вузов. Математика. 1971. -№ 4(107). - С. 22 - 31.

22. Винокуров В.Р. Об ограниченности решения системы интегральных уравнений Вольтерра с периодической матрицей. // Уч. зап. Уральского ун-та. 1960. - Вып. 23. № 2. - С. 3 - 9.

23. Винокуров В.Р. Об интегральных уравнениях Вольтерра с бесконечным промежутком интегрирования. // Дифференц. уравнения. -1969. Т.5, № 10. - С. 1894 - 1898.

24. Винокуров В.Р., Смолин Ю.Н. Об асимптотике уравнений Вольтерра с почти периодическими ядрами и запаздываниями. // Докл. АН СССР. 1971. - Т.201, № 4. - С. 771 - 773.

25. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука.1978. 295 с.

26. Гельфанд М.И. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. // Докл. АН СССР. 1950. - Т.73. №6.-С. 1117-1120.

27. Гельфанд М.И., Райкрв Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. - 316 с.

28. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и экспоненциальный рост решений систем интегральных уравнений типа Вольтерра. // Матем. сборник. 1964. - Т.64, № 1. - С. 115 - 139.

29. Гольденгершель Э.И. Спектр вольтеррова оператора на полуоси и тауберовы теоремы типа Пэли Винера. // Сибирск. матем. ж.1979. Т.20, № 3. - С. 519 - 528.

30. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов. // Успехи мат. наук. 1957. - Т.12, Вып. 2. - С. 44 - 118.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. // Успехи мат. наук. 1958. - Т.13, Вып.2. - С.З - 72.

32. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука. 1971. - 352 с.

33. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т.1. М.: Мир, 1962. - 895 с.

34. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т.2- М.: Мир, 1966. 1063 с.

35. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

36. Дербенев В.А., Цалюк З.Б. Асимптотическое поведение резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов. // Матем. заметки. 1997. - Т.62, № 1. - С. 74 - 79.

37. Ерусалимский Я.М. Необходимые и достаточные условия нетерово-сти операторов мультипликативной дискретной свертки. // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия естеств. наук. 1973. -№ 4. - С. 105 - 107.

38. Жиков В.В. Почти периодические решения абстрактных уравнений в банаховом пространстве. // Докл. АН СССР. 1965. - Т.165, № 6. -С. 1227- 1231.

39. Жиков В.В. К вопросу о гармоническом анализе ограниченных решений. // Докл. АН СССР. 1966. - Т.169, № 6. - С. 1254 - 1258.

40. Жиков В.В. К теории допустимости пар функциональных пространств. // Докл. АН СССР. 1972. - Т.205, № 6. - С. 1281 - 1283.

41. Жиков В.В. О разрешимости линейных уравнений в классе почти периодических функций Бора и Безиковича. // Матем. заметки. 1975. -Т.18, № 4. - С. 553 - 560.

42. Жиков В.В., Тюрин В.М. Об обратимости оператора ^ + A(t) в пространстве ограниченных функций. // Матем. заметки. 1976. - Т. 19, № 1. - С. 201 - 207.

43. Жиков В.В., Левитан Б.М. Теория Фавара. // Успехи мат. наук. -1977. Т.32, Вып. 2(194). - С. 123 - 171.

44. Зверкин A.M. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами. // Докл. АН СССР. 1959. - Т.128, № 5. - С. 882 - 885.

45. Зверкин A.M. О полноте системы решений типа Флоке для уравнений с запаздыванием. // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 3. -С. 474 - 478.

46. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742 с.

47. Канторович JI.B. Об интегральных операторах. // Успехи мат. наук. 1956. - Т. 11, № 2. - С. 3 - 29.

48. Карапетянц Н.К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае. // Сибирск. матем. ж. 1970. - Т.11, № 1.-С. 80 - 90.

49. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных уравнениях Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами. // Докл. АН СССР. -1971. Т.200, № 1. - С.' 17 - 20.

50. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов. // Изв. АН Арм ССР. матем. 1973. - Т.8, № 1. - С. 26 - 40.

51. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов-на-Дону, издат РГУ. 1988. - 188с.

52. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов. // Изв. вузов. Математика. -1983. № 4. - С. 3 - 27.

53. Карлович Ю.И. С*-алгебры операторов типа свертки с дискретными группами сдвигов и осциллирующими коэффициентами. // Докл. АН СССР. 1988. - Т.302, № 3. - С. 535 - 540.

54. Келдыш М.В., Лидск^д В.Б. Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. В кн.: Избранные труды. Математика. - М.: Наука. 1985. - С. 332 - 354.

55. Колесников И.А. Некоторые условия обратимости разностных операторов. Канд. диссертация. Воронеж. 2000. - 106с.

56. Ко лесов Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием. // Вестн. Яросл. ун-та. 1973. - Вып. 5. - С. 28 - 62.

57. Колесов Ю.С. Экспоненциальная дихотомия решений абстрактных параболических уравнений с почти периодическими коэффициентами. // Вестн. Яросл. ун-та. 1973. - Вып.5. - С. 63 - 67.

58. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1989. - 624с.

59. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. -Ростов-на-Дону: Изд. РГУ. 1983. 156с.

60. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. М.: Наука. 1970. - 351с.

61. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. // Успехи матем. наук. 1958. - Т.13, Вып. 5. - С. 3 - 120.

62. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1971. - 104с.

63. Кузнецов В.В. Спектральный анализ периодических операторов. Канд. диссертация. Воронеж. 1996. - 121с.

64. Курбатов В.Г. Об обратимости почти периодических операторов. // Матем. сборник. 1989. - Т.180, № 7. -С. 913 - 923.

65. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений. // Сибирск. матем. ж. 1986. - Т.27, № 1. -С. 86 - 99.

66. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения.-Воронеж. изд. ВГУ. 1990. 168с.

67. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов. // Функц. анализ и при л. 1990. - Т. 24, № 2. - С. 98 - 99.

68. Кучмент П.А. О нетеровых операторах в паре банаховых пространств. // Тр научно-иссл. ин-та матем. ВГУ. Воронеж. 1971. -Вып. 3. - С. 61 - 77.

69. Кучмент П.А. Представление решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными и периодическими коэффициентами (обзор). В кн.: Теория операторных уравнений. -Воронеж: изд. ВГУ, 1979. - С. 62 - 69.

70. Кучмент П.А. О представлении Флоке решений линейных гипоэлли-птических систем дифференциальных уравнений в частных производных с периодическими коэффициентами. // Функц. анализ и его прил.1979. Т. 13, № 1. - С. 72.

71. Кучмент П.А. К теории Флоке для периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. // Успехи мат. наук. 1979. - Т. 34, № 3. - С. 201 - 202.

72. Кучмент П. А. Об отсутствии /^-решений у периодических дифференциальных уравнений в частных производных. // Успехи мат. наук.1980. Т. 35, № 2. - С. 211 - 212.

73. Кучмент П.А. О теории Флоке для параболических и эллиптических граничных задач в цилиндре. // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 258, № 2. - С. 269 - 299. '

74. Кучмент П.А. Представления решений периодических дифференциальных уравнений в частных производных. // Изв. АН СССР. сер. матем. 1982. - Т. 46, № 4. - С. 782 - 809.

75. Ланге Б.В., Рабинович B.C. Критерий нетеровости псевдодифференциальных операторов на Rn с символами класса C°°(Rn х Rn). // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 6. - С. 1317 - 1320.

76. Левитан Б.М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. - 205 с.

77. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Мир. 1970. 450 с.

78. Милославский А.И. К теории Флоке для параболических уравнений. // Функц. анализ. 1976. - Т.10, № 2. - С. 80 - 81.

79. Милославский А.И. Теория Флоке для абстрактных параболических уравнений с периодическими коэффициентами. Канд. диссертация. -Ростов-на Дону. 1976.

80. Миролюбов A.A. Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения.- М.: Наука. 1981. 208 с.

81. Миролюбов A.A. Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения.- М.: Наука. 1986. 127 с.

82. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 570 с.

83. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций. // Матем. заметки. 1972. -Т.11, Вып.З. - С. 269 - 274.

84. Мухамадиев Э. Об обратимости дифференциальных операторов в частных производных.' // Докл. АН СССР. 1972. - Т.205, № 6. -С. 1292 - 1295.

85. Мухамадиев Э. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений. // Матем. заметки. -1981. Т.ЗО, Вып. 3. - С. 443 - 460.

86. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972. - 352 с.

87. Никольский Н.К. Современное состояние проблемы спектрального анализа-синтеза. I. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. - Новосибирск. Наука. 1977. - С. 240 - 282.

88. Никольский Н.К. Лекции об операторах сдвига. М.: Наука. 1980. -384 с.

89. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически ы-периодических решений у интегральных уравнений Вольтерра. // Изв. Сев.-Кавк. научн. центра высш. школы. Серия естеств. наук. 1973. - № 4. - С. 75 - 78.

90. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотически ¿¿-периодических решениях у интегральных уравнений Вольтерра. // Дифференц. уравнения. 1974.-Т.10, №6. - С. 1103 - 1110.

91. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра. // Дифференц. уравнения. 1983. - Т.19, № 4. - С. 684 - 692.

92. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений. // Изв. вузов. Математика. 1988. - № 6. - С. 75 - 78.

93. Пуляев В.Ф. Степенные решения интегральных уравнений. // Изв. Сев.-Кав. научн. ц. высш. школы. Естеств. науки. 1988. - № 1. -С. 46 - 52.

94. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I. // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25, № 10. - С. 1787 - 1798.

95. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II. // Дифференц. уравнения. 1990. - Т.26, № 8. - С. 1423 - 1432.

96. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. III. // Ред. ж. "Дифференц. уравнения." -Минск. 1989. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.08.89. № 5416-В89.

97. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений. //В межвуз. сб. "Интегральные и дифференциальные уравнения". -Краснодар. 1992. С. 58 - 75.

98. Пуляев В.Ф., Сокол Г.Ф. О структуре решений линейных однородных интегральных уравнений с периодическими ядрами. // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2001. - Спецвып. - С. 131 - 132.

99. Пуляев В.Ф. Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими коэффициентами. Докт. диссертация. Краснодар. 2001. - 313с.

100. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. - 587 с.

101. Симоненко И. Б. О многомерных дискретных свертках. // Матем. исслед. Кишинев. 1968. - Т.З, № 1(7). - С. 108 - 122.

102. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных и интегральных уравнений 1(11). // Изв. АН СССР, сер. матем. 1965. - Вып.З. - С. 567 - 586. (1965. - Вып.З. - С. 775 - 782.)

103. Симонов П.М., Чистяков A.B. О разрешимости периодических уравнений. // Вестник Пермского ГТУ. Матем. и прикл матем. 1994. -№ 1. - С. 61 - 71.

104. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических с-непрерывных операторов. // Матем. сборник. 1981. - Т.116(158), № 4. - С. 483 -501.

105. Слюсарчук В.Е. К теории обратимости почти периодических операторов. // Матем. сборник. 1987. - Т.42, № 2. - С. 262 - 267.

106. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4, № 4. - С. 1967 - 1979.

107. Цалюк З.Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра. // Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13, № 11. - С. 2096 - 2098.

108. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. // Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ / ВИНИТИ-М. 1977. - Т. 15, - С. 131 -198.

109. Шубин М.А. Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы в пространствах почти периодических функций. // Матем. сборник. 1974. - Т.95, № 4. - С. 560 - 584.

110. Шубин М.А. Теоремы о совпадении спектров псевдодифференциальных операторов в пространстве L2(Rn) и B(Rn). // Сибирск. матем. ж. 1976. - Т.17, № 1. - С. 200 - 215.

111. Шубин М.А. Почти периодические функции и дифференциальные операторы с частными производными. // Успехи матем. наук. 1977. -Т.ЗЗ, № 2. - С. 3 - 47.

112. Шубин М.А. Спектральная теория и индекс эллиптических операторов с почти периодическими коэффициентами. // Успехи матем. наук. 1979. - Т.34, № 2. - С. 95 - 135.

113. Шубин М.А. Псевдодифференциальные почти периодические операторы и алгебры фон Неймана. // Труды Моск. матем. общества МГУ. -1976. Т.35. - С. 103 - 164.

114. Bochner S., Fillips R.S. Absolute convergent Fourier expansion for non commutative normed rings. // Ann. of Math. 1942. - V.43, № 3. -P. 104 - 118.

115. Burton T.A. Periodic solutions of linear Volterra equations. // Funkcial. Ekvac. 1984. - № 27. - P. 229 - 253.

116. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations. // J. Amer. Math. Soc. 1985. - V.31, № 3. - P. 537 - 548.

117. Burton T.A., Becker L.S., Kriszin Т.К. Floquet theory for a Volterra equation. // J. London Math. Soc. 1988. - V.2, № 37. - P. 141 - 147.

118. Gilbert E. Spectral synthesis problems for invariant subspaces of groups. I. // Amer. J. Math. 1966. - № 88. - P. 626 - 635.

119. Loomis L.H. The spectral characterization of a class of almost periodic functions. // Ann. of Math. 1960. - V.4, №4. - P. 362 - 368.

120. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. Об интегральных операторах с периодическими ядрами. // Материалы научн. конф. "Вопросы функц. анализа и мат. физики". Баку, 1999. - С. 402 - 406.

121. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. Об алгебре интегральных операторов с периодическими ядрами. // Тр. Рос. ассоц. "Женщины-математики". -2000. Т.7, № 1. - С. 50 - 53.

122. Савчиц Е.Ю. Об интегральном представлении операторов, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.03.00, № 813-В00.

123. Савчиц Е.Ю. О нетеровости интегральных периодических операторов. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001, - № 3. -С. 103 - 105.

124. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. О структуре ядра и обратимости линейных периодических операторов. // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2001. - 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.01, № 1657-В2001.

125. Савчиц Е.Ю. Об интегральном представлении линейных периодических операторов. // Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. - 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.01, 3\ь 1658-В2001.Участие в конференциях (тезисы докладов по темедиссертации)

126. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. Об интегральных операторах, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. //Современные методы в теории краевых задач " Понтрягинские чтения- X".: Тез. докл. Воронеж, 1999. - С. 201.

127. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. Об алгебре интегральных операторов с периодическими ядрами. // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование.": Тез.докл. Ростов-на-Дону, 1999. -С. 34.

128. Пуляев В.Ф., Савчиц'Е.Ю. О периодических и почти периодических операторах, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // Воронежская зимн. матем. шк. "Совр. анализ и его прил.": Тез. докл. Воронеж, 2000. - С. 144 - 145.

129. Савчиц Е.Ю. Об интегральном представлении периодических операторов. // Междунар. научн. конф. "Нелинейный функциональный анализ и функц.-дифф. уравнения", Воронеж, 2000. - С. 175.

130. Пуляев В.Ф., Савчиц Е.Ю. О почти периодических операторах, действующих в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. //I Всесибирский конгресс женщин-математиков.: Тез. докл. -Красноярск, 2000. С. 174.

131. Савчиц Е.Ю. О некоторых свойствах интегральных периодических операторов. // Материалы междунар. науч. конф. "Актуальные проблемы математики и механики".: Тез. докл. Казань, 2000. - С. 248.

132. Савчиц Е.Ю. Об интегральном представлении линейных операторов. // Материалы XVII междунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс": Математика. Часть II.:,Тез. докл. Новосибирск, 2000. - С. 79.