Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами

Авсянкин, Олег Геннадиевич

Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Авсянкин, Олег Геннадиевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами»

Автореферат диссертации на тему "Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами"

На правах рукописи

АВСЯНКИН Олег Геннадиевич

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ОДНОРОДНЫМИ И БИОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ростов- на-Дон у 0034 2009

003476404

Работа выполнена на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Симоненко Игорь Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гольдман Михаил Львович; доктор физико-математических наук, профессор Пилиди Владимир Ставрович; доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 6 октября 2009 г. в 15:40 на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Мильчакова, 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан

2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.29

В. Д. Кряквин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследования по теории интегральных операторов являются важной составной частью современного анализа.

Данная работа посвящена многомерным интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами, которые рассматриваются в пространствах суммируемых функций. Наши исследования с одной стороны примыкают к классической теории интегральных операторов, а с другой — тесно связаны с общей теорией банаховых алгебр, спектральной теорией и теорией проекционных методов.

В одномерном случае интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами, по-видимому, впервые рассматривались Г. Харди и Дж. Литт-лвудом. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трудах Л. Г. Михайлова, Н.К. Карапетянца, С. Г. Самко, А. П. Солдатова, А. А. Килбаса, Б. И. Голубова, Р. В. Дудучавы, А. В. Гиля, М. В. Цалюк, М. А. Бетилгириева, Я. Б. Рутицкого. Однако, действующие в £,р-прост-ранствах одномерные операторы с однородными ядрами непосредственно сводятся к операторам типа свертки с помощью экспоненциальной замены. Это позволяет перенести результаты, которые имеют место для операторов типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами.

Многомерная ситуация принципиально сложнее и требует совершенно иных подходов. В конце 60-х — начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами, при дополнительном предположении инвариантности ядер относительно всех вращений в К" х К". Ими были получены достаточные условия ограниченности таких операторов в различных пространствах функций, предложена схема исследования нетеровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достаточные условия компактности.

ких операторов. Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах. Кроме того, в работах Н. К. Карапе-тянда рассматривались операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации и частично нашли отражение в монографии Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко1.

Вышеуказанные результаты отражают лишь некоторые аспекты теории многомерных интегральных операторов с однородными ядрами. Общая теория, подобная той, которая имеется для операторов типа свертки или для сингулярных интегральных операторов, отсутствует.

Именно поэтому представляется весьма актуальным построение общей теории многомерных интегральных операторов, ядра которых однородны степени (—п) и инвариантны относительно группы вращений SO(n) (операторы с такими ядрами мы будем называть каноническими), включающей также исследование близких операторов, в частности, с биоднород-ными ядрами. Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство нете-ровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер. В связи с этим нами уделяется большое внимание банаховым алгебрам, в частности, С*-алгебрам, порожденным различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.

Другой причиной, стимулирующей интерес к многомерным интегральным операторам с однородными ядрами, является тесная связь этих операторов с дифференциальными уравнениями в частных производных. Как известно, такие операторы естественным образом возникают, если применять метод потенциалов к эллиптическим дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами в области, содержащей точку х = О, (например, к уравнению Шрёдингера).

Наконец, необходимость изучения интегральных операторов с однородными ядрами диктуется многочисленными приложениями, которые такие

lKarapetiants N., Samko S. Equations with involutive operators. Boston, Basel, Berlin: Birkhiiuser. 2001. 427 p.

операторы находят в механике (Р. В. Дудучава), в краевых задачах теории аналитических функций (А. П. Солдатов), в теории операторов, коммутирующих с растяжениями (И. Б. Симоненко), при исследовании мультипликативных дискретных сверток (Я. М. Ерусалимский), в дифференциальной геометрии (З.Д. Усманов).

Цель работы. Разработка теории и методов исследования многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Развитие методов исследования банаховых алгебр, в частности, С*-алгебр, порожденных такими операторами. Получение необходимых и достаточных условий нете-ровости и (пли) обратимости операторов из этих алгебр. Развитие теории проекционных методов применительно к интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами и исследование предельного поведения спектральных характеристик усеченных операторов. Модификация методов изучения обратимости и нетеровостн для случая интегральных операторов, имеющих ядра более общего вида.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.

1) Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также С*-алгебры, порожденной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчисление, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нетеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетеровых операторов.

2) Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на коэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости (а в некоторых случаях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными осциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.

3) Разработана теория проекционных методов для канонических инте-

тральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, е-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.

4) Изучена С*-алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнознач-ное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами, и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.

5) Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами, и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Методы и результаты работы позволяют построить достаточно полную теорию многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами, инвариантными относительно группы вращений. Методы, разработанные в диссертации, могут быть эффективно применены для изучения других классов интегральных операторов. Полученные в работе результаты можно использовать для изучения различных математических моделей, описываемых уравнениями с однородными, биоднородными и квазиоднородными ядрами.

Методологическая основа исследования. В диссертационной работе широко используются методы функционального анализа, теории банаховых алгебр, в частности, С*-алгебр, и гармонического анализа на сфере. Кроме того, для исследования многомерных интегральных операторов с однородными ядрами применяются специальные методы, разработанные автором.

Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на международной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление», посвященной памяти Ф.Д. Гахова (Минск, 1996 г.); на международной школе по геометрии и анализу, посвященной

памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.); на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвященной 70-летию В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, 2004 г.); на 3-й и 4-й международных конференциях «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2003 и 2006 гг.); на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.); на XIV и XVI международных конференциях «Математика. Образование. Экономика.» (Новороссийск, 2006 и 2008 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XIX» (Воронеж, 2008 г.); на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинаре академика РАН В. А. Ильина в Московском госуниверситете (2008 г.); на семинаре проф. А.П. Солдатова и проф. A.M. Мейрманова в Белгородском госуниверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математического общества (2008 и 2009 гг., руководитель — проф. А. В. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета — Южного федерального университета (руководители — проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетянц, проф. А. И. Задорожный).

Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддержке следующих грантов:

— «Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости» (РФФИ, проект 98-01-00261-а);

— «Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с ними» (РФФИ, проект 00-01-00046-а);

— «Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ, проект 06-01-00297-а);

— «Псевдодифференциальные операторы и их приложения» (Внутренний грант Южного федерального университета, проект К-07-Т-143/8).

Публикации. Все основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [1|-[22|, из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертациям. Результаты, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомогательного характера, которые включены в работу для полноты изложения и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя. Объем работы — 277 страниц машинописного текста. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 126 и 22 наименований соответственно.

Во введении дается общая характеристика работы, излагается история вопроса, а также приводится подробный обзор результатов диссертации по главам и параграфам.

Первая глава посвящена изучению условий нетеровости и обратимости канонических многомерных интегральных операторов с однородными ядрами, обобщающих их парных операторов, а также описанию банаховых алгебр, порожденных такими операторами. Одним из основных объектов является оператор К, который определяется в пространстве £,р(Кп), 1 ^ р ^ оо, формулой

где функция к{х, у) определена на Мп х М" (здесь и далее предполагается, что п ^ 2) и удовлетворяет следующим условиям: 1° однородность степени (— п), т.е.

Содержание работы

(1)

к(ах,ау) = а пк(х,у), Уа> 0;

2° инвариантность относительно группы вращений SO(n), т.е.

к(и>{х),и{у)) = к{х,у), Vw 6 SO(n);

3е суммируемость, т. е.

/с = J\k(euy)\\y\-n^dy<^ ex = (1,0_____ О).2

к"

Изучение операторов вида (1) и их обобщений приводит к задаче исследования соответствующих банаховых алгебр. Именно алгебрам, порожденным различными классами интегральных операторов с однородными ядрами, уделяется основное внимание в данной главе.

Подчеркнем, что исследование операторных алгебр является предметом внимания многих математиков на. протяжении нескольких последних десятилетий. Не претендуя на полноту изложения, упомянем таких известных авторов как И. М. Гельфанд, М.Г. Крейн, И. Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник, И.Б. Симоненко, A.B. Антоневич, Б.А. Пламеневский, А.Я. Хелемский, Н. К. Никольский. В настоящее время многие операторные алгебры полностью описаны. Однако, алгебры, порожденные многомерными интегральными операторами с однородными ядрами, ранее не рассматривались.

В §1.1 собраны необходимые обозначения, предварительные сведения, а также вспомогательные результаты, касающиеся одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами.

§ 1.2 посвящен многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами, т. е. операторам вида

А = XI - КгР - K2Q, (2)

где А € С, Ki и Кг — операторы вида (1), а Р и Q — операторы умножения на характеристические функции внутренности и внешности единичного шара соответственно. Для оператора А вида (2) получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для вычисления дефектных чисел и индекса. Для решения этой задачи используется специальный метод, основанный на. теории сферических гармоник, который позволяет

2Функция k{x,y) = — где 0 < а < п, является примером функции,

удовлетворяющей условиям 1°, 2° и 3° при 1 < р < п/а.

осуществить редукцию многомерного интегрального уравнения, соответствующего оператору А, к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод является одним из основополагающих в теории операторов с ядрами, удовлетворяющими условиям Г-3°, и неоднократно применяется в дальнейшем. В качестве следствия основной теоремы получен критерий обратимости и нетеровости оператора XI — К.

Еще одним важным результатом данного параграфа является теорема о плотности множества нетеровых парных операторов вида (2) во множестве всех операторов вида (2).

В § 1.3 исследуется банахова алгебра 21, которая определяется как наименьшая замкнутая подалгебра банаховой алгебры £(Ьр(Кп)), 1 ^ р ^ оо, содержащая все операторы вида А + Т, где А — оператор вида (2), а Т — компактный в Ьр(Шп) оператор. Для алгебры 21 построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору А € 21 поставлен в соответствие его символ — некоторая вектор-функция (ст^т, £), 02,4(771, £)), непрерывная на компакте Х+хК. (здесь и далее — компактификация локально-

компактного пространства х К одной бесконечно удаленной точкой) и такая, что <7^4(00) = 02,4(00). В частности, компоненты символа оператора А вида (2) имеют вид

= А - У ^•(е1,у)Рт(е1 • уЪГ/р+* ¿У, 3 = 1,2, (3) к»

где у) — ядро оператора К,-, ■ у1 — скалярное произведение векторов е\ и у' = у/\у\, Рт(Ь) — многочлены Лежандра. При этом по непрерывности мы полагаем, что 0-1,4(00) = 02,4(00) = А.

Для нахождения необходимых и достаточных условий нетеровости операторов из алгебры 21, нами исследуется фактор-алгебра 21/Т(1,!,(К")), где Т(£,р(Кп)) — множество всех компактных операторов в ЬР(КП). Показано, что пространство максимальных идеалов алгебры 21/Т(Ьр(Ш.п)), снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту ЯЛ, который представляет собой множество, образованное двумя экземплярами компакта Z+xR путем отождествления бесконечно удаленных точек. На основе этого исследования получена

Теорема 1. Пусть А 6 21. Для того чтобы оператор А был петеровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

^КО^О, У(т,,£) 3 = 1,2.

Если эти условия выполнены, то индекс оператора А вычисляется по формуле

ЫЛ-Ё^МЫ,^. (4)

где — индекс функции /{т,£) при фиксированном т.

Здесь через дп(т) обозначена размерность пространства сферических гармоник порядка т.

Подчеркнем, что поскольку ¡пё{((Т21л(т,^)/(Т11л("г,0) ~ 0 начиная с некоторого номера то, то правая часть в формуле (4) фактически представляет собой конечную сумму.

В заключительной части этого параграфа исследован матричный ана^ лог алгебры 21.

В §1.4 рассматривается банахова алгебра 2), представляющая собой наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры £(1/р(Кп)), содержащую все операторы вида XI — К. Очевидно, что 2) является замкнутой подалгеброй алгебры 21. Поэтому символическое исчисление, построенное в предыдущем параграфе для алгебры 21, переносится на 23. Однако, для алгебры 2) оно «упрощается» в том смысле, что каждому оператору Б 6 2) ставится в соответствие только одна функция (пара равных между собой функций) — символ оператора £). Доказывается, что алгебра 2) коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту 2+хМ. Для операторов из этой алгебры получен критерий обратимости и нетеровости, а именно:

Теорема 2. Пусть В € 2). Тогда следующие три условия равносильны:

1) оператор £> обратим в Ьр(Ип);

2) оператор Б нетеров в Ьр(Шп);

3) символ оператора О удовлетворяет условию

<71>(т,0 ^0, V(т,£)еЖ+хШ.

алгебру операторов с однородными ядрами посредством присоединения операторов мультипликативного сдвига. Эта задача решается в § 1.5, где изучается С*-алгебра €, порожденная всеми операторами К вида (1) и всеми операторами мультипликативного сдвига Us вида

{USip)(x) = 6~п^ф/5), <5 > 0.

(в этом параграфе предполагается, что операторы действуют в Ьг(Кп)). Описана структура С-алгебры т. е. показано, что

е: = Ч5фЭ00, (5)

где ф — С*-алгебра, порожденная всеми операторами Us, а Эоо — С*-алгебра, порожденная всеми операторами К. На основе равенства (5) для алгебры С построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору А £ £ поставлена в соответствие определенная функция а(т, £) вида

где а(т, £) е Co(Z+ х R), а — равномерно почти периодическая функция на К. Особый интерес представляет описание пространства максимальных идеалов алгебры <£.

Теорема 3. Множество M(mo,io)' состоящее из всех элементов алгебры символы которых обращаются в нуль в точке (та, £о) € Z+ х R, является максимальным идеалом алгебры £.

Множество Л4>р®Эоо; где Л4<р — любой максимальный идеал алгебры ip, также является максимальным идеалом алгебры

Идеалами этих двух типов исчерпываются все максимальные идеалы алгебры С.

На основе теоремы 3, с учетом свойств равномерно почти периодических функций, установлена

Теорема 4. Пусть Лб£. Тогда следующие три условия равносильны:

1) оператор А нетеров в L2(Rn);

2) оператор А обратим в Ь2(Шп);

3) символ а(т,£) оператора А удовлетворяет условию

inf |e(m,OI>0.

Заключительный параграф первой главы (§ 1.6) посвящен действующим в пространстве £Р(ВП), где 1 < р < оо, Вп — единичный шар в Е™, операторам вида

{К<р){х) = ! к{х,у)1р{у)йу, хеВ „, (6)

в„

где функция к(х, у) определена на К" хК" и удовлетворяет условиям 1°-3°. Здесь указаны необходимые и достаточные условия нетеровости оператора XI — К и формулы для вычисления его дефектных чисел и индекса. Также рассматривается банахова алгебра Я, порожденная всеми операторами вида XI — К + Т, где Т — компактный в £Р(В„) оператор. Показано, что фактор-алгебра, по идеалу компактных операторов Я/Т(ЬР(В„)) изоморфна алгебре 2) из § 1.4. Опираясь на этот факт, для алгебры Я построено символическое исчисление, и получен следующий критерий.

Теорема 5. Пусть А € Я. Для того чтобы оператор А был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы его символ удовлетворял условию

<тА{т,ОФ 0, У(т,0е2+Л (7)

Если условие (7) выполнено, то индекс вычисляется по формуле

тс! А = — ^ сЦт) тф; сгд(т,£). (8)

т=0

Отметим, что в формуле (8) лишь конечное число слагаемых отлично от нуля. Теорема 5 естественным образом обобщается на матричный случай.

В этом же параграфе впервые рассмотрены многомерные вольтерров-ские интегральные операторы с однородными ядрами, т. е. операторы вида

(У<р)(х) = J к{х, уЫу) йу, х е В„, 1иК|х|

где функция к(х, у) удовлетворяет условиям 1°-2° и кроме того

У \к{еи у)\\у\-^рйу<оо.

в„

Исследована банахова алгебра 2J, порожденная всеми операторами вида XI — V . Показано, что алгебра Ш коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту Z+xCL, где С_ = {z 6 С : Imz < 0}. На основе этого для операторов из алгебры 2J получен критерий обратимости.

Во второй главе изучаются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Хорошо известно, что поведение коэффициента может существенно влиять на свойства рассматриваемого оператора. По этой причине имеется немало работ, в которых исследуются операторы свертки, Винера-Хопфа, сингулярные интегральные операторы с теми или иными коэффициентами. Этими проблемами занимались A.B. Антоневич, Н.К. Карапетянц, И.Б. Симоненко, В.М. Деундяк, Б. Я. Штейнберг, Ю.И. Карлович, М. Bastos, Н. Cordess, F.-O. Speck и другие. В работах Н. К. Карапетянца рассматривались операторы с однородными ядрами и коэффициентами, которые в некотором смысле «стабилизируются» в нуле и на бесконечности. В данной главе вводится более широкий класс «стабилизирующихся» коэффициентов (§2.7), а также впервые рассматриваются интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими в нуле и на бесконечности (§§2.8-2.9). Мы также исследуем банаховы алгебры, порожденные такими операторами.

В §2.7 введен класс Л, состоящий из всех функций а е L00(E"), для каждой из которых существуют такие числа ао и а«,, что для любого компакта Q С Ж" выполняются условия

а также класс .До = {а 6 Л: ао = а^ = 0}. Доказано, что при 1 ^ р < оо справедливы утверждения:

1) если а £ Ао, то оператор МаК, где Ма — оператор умножения на функцию а, компактен в ¿р(К");

2) если а 6 Л, то

lim / \а(ах) — üq| dx = 0, ¡a(ax) — a^l dx = 0,

Ma К = a0K P + QooKQ + T, где T — компактный в LP(M") оператор.

На основе равенства (9) показано, что при 1 ^ р < оо банахова алгебра 21'(с £(.Бр(Кп))), порожденная всеми операторами вида XI + МаК + Т, совпадает с алгеброй 21 из § 1.3.

В §2.8 сначала вводится класс состоящий из всех функций

f(x) = /о(|а:|), х € К™, где /о(<) — ограниченная и непрерывная на К+ функция, слабо осциллирующая в нуле и на бесконечности, т. е. такая, что для любого компакта X С К+ выполняются условия

Функции из класса Пгаа(К") будем называть радиальными слабо осциллирующими функциями.

Затем рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами, имеющие коэффициенты из класса Г2гаа(Мп). Исследование таких операторов включает два принципиально важных момента. Во-первых, показано, что метод редукции многомерного случая к одномерному, развитый нами в § 1.2 для парных операторов, можно эффективно применять и для операторов с радиальными коэффициентами. Это позволило исследовать операторы вида

где Л 6 С, Мц — оператор умножения на функцию ц 6 К^ —

оператор вида (1), а Т — компактный в ¿Р(К") оператор.

Во-вторых, доказано, что коммутатор МаК — КМа, где а 6 Пгас1(Мп), является компактным оператором. Последнее позволило исследовать банахову алгебру, порожденную операторами с однородными ядрами и коэффициентами из класса £}гаа(®п)| которая представляет собой замыкание в равномерной операторной топологии множества, состоящего из всех операторов А вида (10). На основе исследования фактор-алгебры по идеалу компактных операторов, для исходной алгебры построено символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, а также формула для вычисления их индекса.

§2.9 посвящен исследованию С*-алгебры 23, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами

Шаир{\М$-МЩ:НеХ}=0, 1нп зир{|/0(г) - /0(лг)|: К 6 X) = 0.

(10)

умножения на осциллирующие функции вида \х

|ш(= ет\п]х)у Отметим,

что коэффициенты \х\га играют в теории операторов с однородными ядрами ту же роль, что и коэффициенты вида еш' в теории операторов свертки. Упомянутая алгебра Ъ существенно некоммутативна. У такой алгебры не существует скалярного символа и при ее исследовании возникают серьезные затруднения. Для их преодоления используется подход А. Б. Антоне-вича, основанный на теории С*-алгебр, порожденных динамическими системами. В рамках этого подхода для С*-алгебры 23 строится операторное символическое исчисление, т. е. строится »-изоморфизм

Т. 03 ©ь

где 03х — С*-подалгебра С*-алгебры х К)), порожденная всеми

операторами умножения на функции из пространства С(2+х К) и всеми операторами 11а вида (иа/)(т,£) = /(т,£ - а), а е К.

Теорема 6. Пусть В £03. Тогда следующие три условия равносильны:

1) оператор В нетеров в ¿2(К");

2) оператор В обратим в 1/2 (Жп);

3) символ 7(В) оператора В обратим в х К).

Кроме того, выделены некоторые классы операторов, для которых указаны эффективные скалярные условия обратимости и (или) нетеровости. Например, показано, что необходимым и достаточным условием обратимости и нетеровости оператора

В = XI + К! + ма к2,

где Ма — оператор умножения на функцию |х|ю, является условие

а + <7К,КО#О, УКОег+х»,

где сгк,(т,^) — символ оператора Кх.

нографии И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана3. Впоследствии А. В. Коза-ком было установлено, что вопрос о применимости проекционного метода можно свести к исследованию обратимости элементов некоторой банаховой алгебры. Это дало новый импульс проекционным методам и близким аспектам теории операторов. Современное изложение теории проекционых методов имеется, например, в монографиях А. Böttcher, В. Silbermann4 и R. Hagen, S. Roch, В. Silbermann5. Отметим также работы ростовских математиков: И. Б. Симоненко, С. М. Грудского, А. В. Козака., В. С. Пилиди, Л. И. Сазонова.

В свою очередь, развитие теории проекционных методов приводит к проблеме сопоставления спектральных свойств »сходного и усеченного операторов. В настоящее время для операторов свертки, Винера-Хопфа и Теплица предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов изучено достаточно полно (И. Б. Симоненко, С. М. Грудский, Н. К. Никольский, P. Anselone и I. Sloan, A. Böttcher, В. Silbermann, S. Roch, H. Widom). Целью данной главы является разработка проекционных методов для интегральных операторов с однородными ядрами, а также исследование предельного поведения спектров, псевдоспектров и сингулярных значений усеченных операторов.

В §3.10 строится теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами в скалярном и матричном случаях. Основным результатом является критерий применимости проекционного метода к матричному парному интегральному оператору А, который задается в пространстве s-мерных вектор-функций ¿'(К"), 1 ^ р < оо, формулой

(Aip){x) = \tp(x) - jki{x,y)tp(y)dy - jk2{x,y)ip(y)dy, x 6 R", MO M>i

где ki(x,y) и ki{x,y) — матрицы-функции s-го порядка, элементы которых удовлетворяют условиям Г-3°. Определим в Lsp{К") проектор РТьп

3Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

'Böttcher А., Silbermann В. Analysis of Toeplitz operators. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. 1990. 512 p.

5Hagen R., Roch S., Silbermann В. Spectral theory of approximation methods for convolution equations. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1995. V. 74. 373 p.

(О < т\ < 1, 1 < Т2 < оо) равенством

(Р тит^)(х) =

у{х), тх < |а;| < т2, О, |а;| < п V \х\ > т2;

и обозначим через П{РГьТ2} класс линейных ограниченных операторов, к которым применим проекционный метод по системе проекторов {РП,Т2} при т\ —» 0, т2 —> оо. Пусть пара матриц-функций (61(771, £), &2{тп, £)), заданных на компакте 2+хК, является символом оператора А.

Теорема 7. Для того чтобы А £ П{РГ11Г2}, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

2) для любого фиксированного значения т 6 все правые индексы матрицы-функции 62(ш,£) и все левые индексы матрицы-функции 61(^,0 равны нулю;

3) для любого фиксированного значения т € !•+ все правые индексы матрицы-функции &21(тп, £)б1(т, £) равны нулю.

В качестве следствия этой теоремы получены необходимые и достаточные условия применимости проекционного метода к оператору А вида (2), а также к оператору XI — К, где К определяется равенством (1). В заключительной части параграфа из основной теоремы выводятся критерии применимости проекционного метода для оператора XI — К, где К — оператор вида (6), и его матричного аналога.

§3.11 носит промежуточный характер. Здесь рассматривается несколько различных и важных для дальнейшего вопросов. В качестве основных выделим следующие два результата. Во-первых, доказана теорема о композиции усеченных операторов вида Кт = РТКРТ, где К — оператор (6), а проектор Рт (0 < т < 1) определяется формулой

Во-вторых, изучено предельное поведение при т —> О нормы оператора

1) сЫ©лг(то,0 ф О, \/(ттг,£) 6 2+хК, ЛГ = 1,2,-

(И)

Ат = РТ(Х1 - К)РТ + РгТРт + ЯгЬКг, 18

где Т и L — компактные операторы, а оператор RT задается формулой

Решение этого вопроса требует весьма сложной и нестандартной техники. Результатом является

Теорема 8. Пусть АТ — оператор вида (12). Тогда предел Мт||Лт|| су-

т—> О

ществует, причем справедливо равенство

Подчеркнем, что данная теорема самым существенным образом используется в следующем параграфе.

В § 3.12 исследуется предельное поведение е-псевдоспектров усеченных операторов КТ при т —> 0. Напомним, что е-псевдоспектром оператора А е £(Х), где X — банахово пространство, называется множество

По-видимому, впервые псевдоспектры усеченных операторов Теплица и Винера-Хопфа рассматривал Н. Landau в контексте физических задач. Значительно позднее эти вопросы изучали L. Reichel и L. Trefethen, а также S. Reddy. Весьма активное изучение псевдоспектров началось после публикации в 1994 году работы А. Böttcher0. При этом почти всегда предполагалось, что операторы действуют в пространстве L2- Случай, когда операторы действуют в Lp при р ф 2, принципиально сложнее и рассматривался лишь в работе А. Böttcher, S. М. Grudsky, В. Silbermann7.

0 Böttcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators //J. Integral Equations Appl. 1994. V. 6, № 3. P. 267-301.

'Böttcher A., Grudsky S.M., Silbermann B. Norms of inverses, spectra, and pseudospectra of large truncated Wiener-Hopf operators and Toeplitz matrices // New York J. Math. 1997. V.3. P. 1-31.

r < |ar| < 1 |x| < r.

lim |ИТ|| = тах{||Л/ - К + Т||, ||Л/ - К Л- L||},

т~¡О

где оператор К определяется равенством

(13)

Sp£(A) = {Л G С : ЛеЭр(Л) или ||(Л - Л/)_1|| ^ 1/е}.

В §3.12 также предполагается, что операторы действуют в пространстве Lp{В„), где 1 < р < оо. Здесь важным моментом является нахождение предела норм операторов (Х1—К)~1 обратных к усеченным, т. е. получение равенства

lim II(XI - К);^ = тах{||(Л/ - К)-\ ||(Л/ - ^Щ}.

Опираясь на него, устанавливается основной результат этого параграфа, который приведен ниже.

Теорема 9. Пусть К — оператор вида (6). Тогда для любого £ > О

limSpe(Är) = Spe(Ä") U Spe(#), (14)

т—» О

где К определяется формулой (13).

Здесь и далее предел по параметру семейства множеств понимается в смысле следующего определения.

Определение 1. Пусть {£V}>e(o,i) — семейство множеств ЕТ с С. Пределом множеств ЕТ при т —» 0 назовем множество Е, состоящее из всех А € С, для каждого из которых найдутся убывающая последовательность {тЛ с (0,1), такая что lim rs = 0, и последовательность

8-* 00

{Aä} с С, такая что Xs е ЕТ и lim As = А.

з—*оо

При р = 2 формула (14) преобразуется к равенству

limSp t(Kr) = Sp е(К).

7—* О

Теорема 9 обобщается на матричный случай. Показано также, что для спектров аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места.

В заключение изучено предельное поведение е-псевдоспектров усеченных операторов Кт, где К — оператор вида

(Kip)(x) = J k(x,y)ip(y) dy, а; 6 (-1,1),

ядро k(x, у) которого однородно степени (—1), но не является инвариантным относительно вращений.

В последнем параграфе третьей главы (§3.13) исследуется предельное поведение спектров и сингулярных значений усеченных операторов КТ, действующих в пространстве Pr(L2(Bn)). Доказана

Теорема 10. Пусть ядро к{х,у) оператора К вида (6) кроме условий Iе-3° удовлетворяет также условию

Щъ) = еак(еиу), (15)

где в — некоторое вещественное число. Тогда имеет место равенство

НтЭр^т) = вр(^) = е-^2[аьа2],

где числа ах и аг вычисляются с помощью символа сгк(т, £) оператора К по формулам

<ц = М (е^2ак(ш,0), а2 = зир (е^2ак(т,0)-

2+х® 2+хК

Далее, напомним, что множеством сингулярных значений оператора £> е £(#), где Н — гильбертово пространство, называется множество £(£>) = {я € [0, оо): в2 6 Бр(В*В)}. В данном параграфе показано, что без предположения (15) множество Е(К) аппроксимируется (в смысле определения 1) множествами Т,(КТ).

Основным объектом исследования четвертой главы являются многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами, т. е. операторы вида

{А(р)(х,у)=Хф,у) + У к1(х^)<р{г,у)сИ + в„,

где А 6 С, а функции (] = 1,2,3,4) удовлетворяют условиям 1°-

3°, причем степень однородности в условии 1° равна (—щ), если ] = 1,3 и (—пг), если ^ = 2,4. Такие операторы рассматриваются нами в пространстве £г(ВП1 х В„2). Рассматриваются также некоторые обобщения этих операторов, и исследуются порожденные ими С*-алгебры. Для операторов из этих алгебр выясняются условия нетеровости, и в топологических терминах вычисляется индекс. Кроме того, изучается вопрос о применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами и описывается предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.

Отметим, что исследования данной главы тесно примыкают к теории операторов Теплица и Винера-Хопфа в четверть-плоскости, а также к теории бисингулярных операторов. Пионерскими работами в этом направлении, по-видимому, следует считать работы R. Douglas, R. Howe8 и L. Coburn, R. Douglas, I. Singer9. Не претендуя на полноту изложения, упомянем исследования И. Б. Симоненко, В. М. Деундяка, Р. В. Дудучавы, В. А. Малышева, Э. А. Пасенчука, В. С. Пилиди, близкие к тематике этой главы. Технической основой четвертой главы является аппарат тензорных произведений С*-алгебр, развитый в работах Т. Turumaru, Е. Eflxos, Е. Lance, M. Takesaki и др.

Остановимся подробнее на результатах §4.14. В нем рассматривается С*-алгебра

где Mnj — наименьшая С*-подалгебра С*-алгебры £(¿2(¡ВЦ)), содержащая все операторы вида XI — К + Т, здесь К — оператор вида (6), а Г — компактный оператор. (В общем случае, т. е. когда 1 ^ р ^ оо, алгебра Яп(= Я) рассматривалась в § 1.6.)

Для С*-алгебры Ящ,п2 строится пара »-эпиморфизмов

<Г(1)Ящ.п, Si = C(Z+xК) ® Яп2,

<7(2) : Ягип2

-^52 = Äni®C( Z+xR), называемых частичными символами, а также »-эпиморфизм

<7(0)= Япи„2 -* S0 = C(Z+xR) ® С{Z+xR),

называемый слабым символом. Полным символом С*-алгебры Я,1и„2 называется *-эпиморфизм

<7(1,2) : Яг:,и2 -> s, (7(1,2)(Л) = (<7(1)(А), £7(2){А)),

где S — некоторая специальная С*-подалгебра С*-алгебры <Si © ¿>2-

Показано, что оператор В S Ятг,,п2 нетеров тогда и только тогда, когда его полный символ <7(i,2)(ß) обратим в алгебре S, т.е. каждый частичный

8Douglas R., Howe R. On the C*-algebra of Toeplitz operators on the quarter-plane // TVans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 158. № 1. P. 203-217.

'Coburn L.A., Douglas R. G., Singer I.M. On index theorem on the discrete quarter-plane // J. Diff. Geom. 1972. № 4. P. 587-593.

символ обратим в алгебре Sj, з = 1,2; если оператор В нетеров, то

его слабый символ обратим в алгебре 5о.

Слабый символ дает эффективные необходимые условия нетеровости оператора. Выделим класс операторов, для которых невырожденность слабого символа является также достаточным условием нетеровости. Рассмотрим оператор

В = Х{11®12) + {К1®К2),

слабый символ которого определяется равенством

(<7(0) (£>)) К £ ^. V) = А + ^Л", К £) О Кг (4 Г}). Теорема 11. Оператор £> нетеров тогда и только тогда, когда выполнены условия

ХфО, А + О, V (т, 0, »?) 6 2+ х К.

Наибольшую сложность представляет задача вычисления индекса операторов из алгебры Яли„2. Одним из ключевых моментов для решения этой задачи является построение мономорфизма подобия

ап-.Яп-^ УИГ),

где — С*-алгебра операторов Винера-Хопфа с компактными коэффициентами. Это позволяет построить мономорфизм

в силу которого для любого нетерового оператора В 6 Я7,ьП2 имеет место равенство

тс1(В) = та((аП)®аП2)(В)). На основе результатов для

С*-алгебры УУ(Г> ® УИГ), на группе компонент линейной связности ^(Сс?, I) определяется гомоморфизм топологического индекса

(здесь через обозначена группа обратимых элементов С*-алгебры £). Теорема 12. Пусть оператор В е Япи„2 нетеров. Тогда

где [с(1,2)(-В)] ~~ элемент группы 7Го((35,1), содержащий символ а^2)(В) оператора В.

В заключительной части этого параграфа установлен аналог теоремы С. Ошера, т. е. указан один класс операторов с биоднородными ядрами, для которых нетеровость равносильна обратимости. Точнее, пусть

А = (Ai/i + К{) ® (А 2/2 + Кг) + h® (\12 + К), (16)

где операторы 1\ и К\ действуют в пространстве Ь2{ШЩ), а операторы 12, К2 и К действуют в I<2(Bn2).

Теорема 13. Оператор А вида (16) обратим тогда и только тогда, когда он нетеров.

В §4.15 изучается применимость проекционного метода к оператору

A = \(I1®I2) + (K1®I2) + (h®K2) + (K3®K4)! (17)

где А е <С, операторы К\, К3 действуют в пространстве Ь2(ВП1), а операторы I2, К2, действуют в Ь2(ШП2). Проекционный метод рассматривается по системе проекторов {PTl ®РТ2}> гДе (j =1,2) определяется в пространстве L2(Bnj) формулой (11).

Пусть 5 — множество всех семейств {BTi,r2} операторов ВТиП, действующих в (Рп ® PT2)(L2(Mщ х ВП2)), таких что

IKsn,r2}|| := sup ||STbT2|| < 00.

0<ti,t2<1

Относительно покомпонентно выполняемых операций и указанной нормы множество $ образует С*-алгебру. Поскольку множество

So = {{С™} 6 ff: Ит ||Cn>J = о}

является замкнутым двусторонним идеалом алгебры то фактор-алгебра if/Jo является С*-алгеброй. Обозначим через 23 наименьшую С*-подалгеб-ру С*-алгебры ЗУ#о> содержащую все элементы вида {АТиТ2} + 5о> где j4TjiT2 определяется формулой

Ал = (рп ®Рп)А (Рп ® РГ2), (18)

здесь А — оператор вида (17).

Основные усилия в данном параграфе направлены на изучение условий обратимости в алгебре 23. Каждому элементу {-ВтьтЛ + ЗЬ 6 ® определенным образом сопоставляются четыре предельных оператора: В, В\, В2, В\2 (соответствующие формулы мы опускаем ввиду ограниченности объема).

Теорема 14. Для того чтобы элемент {ВТиГ2} + Jo € 23 был обратим в С*-алгебре 23, необходимо и достаточно, чтобы операторы В, В\, В2 и В\2 были обратимы в Z(L2(ß>ni х В„2)).

В частности, для элемента {АГьГ2} + е 23 имеем:

Ai = A(/j ® I2) + (Ki ® h) + (h ® K2) + (Ks ® K4), A2 = А(^ ® h) + (Kx ® I2) + (h ® K2) + (Kz ® Kt),

где /Г,- определяется формулой (13) при p = 2. Из теоремы 14 вытекает

Теорема 15. Пусть А — оператор вида (17). Для того чтобы А € П{РТ1 ® РТ1}, необходимо и достаточно, чтобы операторы А и А\ (или А и А2) были обратимы в С(Ь2(ВП1 х ВП2)).

§4.16 посвящен исследованию предельного поведения спектров, псевдоспектров и множества сингулярных значений усеченных операторов АТиТ} вида (18). Доказывается

Теорема 16. Пусть А — оператор вида (17). Тогда для любого е > О справедливо равенство

lim SPe(Ar..7s) = Sp£(^4) U SPe(A0 = Sp£(A) U Sp£(A2).

T2~'0

Если оператор А является самосопряженным, то аналогичное равенство справедливо для спектров.

Для предела множества сингулярных значений Е(АГьТ2) установлено следующее соотношение

Е(А) U E(Aj) С lim Е(АТ1,Г2) с Е(А) U Е(А;) и {0},

т\—0

где г = 1 или г = 2. В частности, если число s = 0 является сингулярным значением оператора А, то предел множества E(ATl:T2) равен Е(А)иЕ(А*). В §4.17 изучается С*-алгебра

■^Tli ,П2 ~ ® J

где 2lnj — наименьшая С*-подалгебра С*-алгебры jC(X,2(M"j')), содержащая все парные операторы вида А + Т, здесь А — оператор вида (2), Т — компактный оператор (в общем случае, т.е. когда 1 ^ р ^ оо, алгебра

21 п(= 21) рассматривалась в § 1.3). Для алгебры 21„ьП2 в основном исследуются те же вопросы, что и для алгебры ЯпиГ12 в §4.14. А именно, для С*-алгебры 21 ПиП2 строится операторнозначное символическое исчисление, в терминах которого получены критерий нетеровости операторов и топологическая формула для вычисления их индекса.

Отметим, что ранее Н. К. Карапетянцем изучались интегральные операторы с ядрами, имеющими сложный характер однородности {(а,Ь)~однородность, квазиоднородность), причем без предположения типа 2°. Однако, его результаты касались только ограниченности этих операторов. Наши исследования главным образом направлены на выяснение условий нетеровости и обратимости рассматриваемых операторов.

В §5.18 изучаются многомерные интегральные операторы с квазиоднородными ядрами, т. е. интегральные операторы вида

где функция д[х, у) определена на К" X К" и при этом 1) ^-однородна (квазиоднородна) степени а (и > О, V ф 1, а 6 К), т. е.

в,

ц"у) = ^laq{x, у), V ц > 0;

2) инвариантна относительно группы вращений 30{п), т.е.

д(ш(а;),ш(у)) = д(х,у), V ы € 50(п);

3) удовлетворяет следующему условию суммируемости

К"

Исследование таких операторов осуществляется в контексте исследования операторов вида

А = XI - К - В,

где К — оператор вида (6). Оператор А рассматривается в пространстве £р"п/р(В„) с весом \х\Р-п1*.

Теорема 17. Для того чтобы оператор А был нетеров в пространстве Ьр П/Р(В„), необходимо и достаточно, чтобы для любого т £ Z+ выполнялись условия:

МО = Х~ I к(еиУ)Рт(в1 ■ у')\у\~0+*<1у ^ о, € К;

^1/р1Мо)| >

I ч{еиу)Рп(е1-1/)\у\-%

В этом случае индекс оператора А вычисляется по формуле

оо

тс1 А = - ^ сЦт) тс1 МО ■ (19)

т=О

Как и ранее, правая часть формулы (19) фактически является конечной суммой, так как шс1сгт(£) = 0 для всех т, начиная с некоторого тоВ заключение рассмотрены парные операторы, естественным образом обобщающие оператор А.

(А<р)(х,у)= ! J к{х,у,и,и)^р(щу)йийу, . (20)

К" Л"

где функция к(х, у, и, у) задана на Кп+т х Кп+т и при этом

1) однородна степени (—п) и инвариантна относительно группы вращений 50 (п) по переменным х, и;

2) покоординатно-однородна векторной степени (—1) по переменным у, V, т. е.

к(х, роу,и,Роу)= /?1-1/32"1 • • • р-гк(х,у,щу), V/? 6 к?,

здесь (3 О У = ЦЗ1У1, ..., РтУт), /3 О V = (/?!«!, . . . , РтУт); 3) удовлетворяет следующему условию суммируемости

К" Г<

где£ = 1,2,..., 2т;е; —вершина куба {х 6 Кт: \Х]\ ^ 1, ] = 1,2,... ,т}, причём £1 = (1,1,..., 1); Г^ — октант в Мт, содержащий точку ее; а

V = («!,..., Ут).

При вышеуказанных предположениях доказана ограниченность оператора А в пространстве Ьр(Кп+т), 1 < р ^ оо.

Далее, оператору XI — А ставится в соответствие последовательность матриц-функций сг„(£), V е следующего вида:

где Е — единичная матрица 2т-го порядка, а £ = (£ь ■ ■ • > £т+1)-

Теорема 18. Пусть А — оператор вида (20). Тогда следующие условия равносильны:

a) оператор XI — А нетеров в Ьр(Кп+т),

b) оператор XI — А обратим в Ьр(Мп+т),

c) выполняются условия

где Кт+1 — одноточечная компактификация пространства Кго+1.

Перейдем к § 5.20. Во всех предыдущих параграфах на ядро интегрального оператора накладывалось условие его инвариантности относительно группы вращений £>0(п). Это условие играет ключевую роль, так как позволяет осуществить редукцию многомерного случая к одномерному. В данном параграфе мы рассматриваем интегральные операторы с однородными степени (—2) ядрами на плоскости и при этом заменяем условие инвариантности относительно всех вращений более слабыми условиями. Новые условия, однако, также обеспечивают редукцию двумерного оператора к бесконечной последовательности матричных одномерных операторов. Для парных интегральных операторов с ядрами, удовлетворяющими

новым условиям, построен матричный символ, и получены критерий нете-ровости, формула для вычисления индекса, а также критерий применимости проекционного метода.

Список публикаций соискателя

[1] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени —п ядрами // Докл. РАН. 1999. Т. 368, №6. С. 727-729.

[2] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2001. № 1. С. 3-10.

[3] Авсянкин О. Г. О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 8. С. 3-7.

[4] Авсянкин О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 4. С. 483-493.

[5] Авсянкин О. Г., Деундяк В.М. О вычислении индекса многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Докл. РАН.

2003. Т. 391, №1. С. 7-9.

[6] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Псевдоспектры многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Докл. РАН. 2003. Т. 392, №1. С. 7-9.

[7] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени —п ядрами // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199-1216.

[8] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Проекционный метод в теории интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2004. Т. 75, вып. 2. С. 163-172.

[9] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н.К. Интегральные операторы с однородными ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки.

2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 17-24.

[10] Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Интегральные операторы с однородными ядрами на плоскости // Труды Института математики HAH Беларуси. Минск. 2004. Т. 12. №1. С. 5-12.

[11] Авсянкин О. Г. Об алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами Вольтерра с однородными степени (—п) ядрами // Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2005. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. С. 21-25.

[12] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. Об индексе многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами и переменными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2005. № 3. С. 3-12.

[13] Авсянкин О. Г. Проекционный метод для матричных многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами // Владикавказский мат. журн. 2006. Т. 8, вып. 1. С. 3-10.

[14] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами: проекционный метод и псевдоспектры // Сиб. мат. журн. 2006. Т. 47, №3. С. 501-513.

[15] Авсянкин О. Г. О сингулярных значениях усеченных многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами // Труды 4-й международной конференции, посвященной 100-летию Ф. Д. Гахова. Минск, 2006. В трех томах. Т. 2. С. 12-16.

[16] Авсянкин О. Г. О нетеровости многомерных интегральных операторов с однородными и квазиоднородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2006. № И. С. 3-10.

[17] Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с ядрами, имеющими смешанный характер однородности // Изв. вузов. Математика. 2007. №8. С. 66-69.

[18] Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородными 50(п)-инвариантными ядрами и ра-диально слабо осциллирующими коэффициентами // Мат. заметки. 2007. Т. 82, №2. С. 163-176.

[19] Авсяншн О. Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радиальными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, №9. С. 1193-1196.

[20] Авсянкин О. Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН. 2008. Т. 419, №6. С. 727-728.

[21] Авсянкин О. Г. О спектрах и сингулярных значениях многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Сиб. мат. журн. 2008. Т.49, №3. С.490-496.

[22] Авсянкин О. Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида \х\1а II Изв. вузов. Сев.-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2008. №5. С, 10-14.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,3 уч.-изд.-л. Заказ № 1339. Тираж 120 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Авсянкин, Олег Геннадиевич

Введение

Глава 1 Канонические многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и порождаемые ими алгебры

§1.1 Обозначения и предварительные сведения.

1.1.1 Обозначения

1.1.2 Нетеровы операторы и их свойства

1.1.3 Сферические гармоники.

1.1.4 Операторы с однородными степени (—1) ядрами

1.1.5 Операторы с однородными степени (—п) ядрами

§ 1.2 Нетеровость парных интегральных операторов с однородными ядрами.

1.2.1 Критерий нетеровости парных операторов

1.2.2 О плотности множества нетеровых операторов

1.2.3 Нетеровость и обратимость оператора XI — К

§ 1.3 Алгебра, порожденная парными интегральными операторами с однородными ядрами.

1.3.1 Композиции операторов с однородными ядрами

1.3.2 Алгебра 21 и фактор-алгебра 21 /Т(£Р(МП))

1.3.3 Критерий нетеровости в алгебре

1.3.4 О принадлежности классу операторов локального типа

1.3.5 Матричный случай

§ 1.4 Алгебра, порожденная операторами XI — К

§1.5 С*-алгебра, порожденная интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига

1.5.1 С*-алгебра, порожденная мультипликативными сдвигами

1.5.2 Вспомогательные утверждения.

1.5.3 С*-алгебра С и ее структура

1.5.4 Критерий обратимости и нетеровости в алгебре С

§1.6 Интегральные операторы с однородными ядрами в пространстве Ьр(Вп)

1.6.1 Критерий нетеровости оператора XI — К

1.6.2 Алгебра Я и ее матричный аналог

1.6.3 Вольтерровский случай.

Глава 2 Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами

§ 2.7 Интегральные операторы с однородными ядрами и стабилизирующимися коэффициентами.

2.7.1 Оценка для нормы.

2.7.2 Класс функций Ао и теоремы о компактности

2.7.3 Операторы с коэффициентами из класса А.

§ 2.8 Интегральные операторы с однородными ядрами и радиальными слабо осциллирующими коэффициентами

2.8.1 Класс радиальных слабо осциллирующих функций

2.8.2 Свертки со слабо осциллирующими коэффициентами

2.8.3 Нетеровость и индекс модельных операторов

2.8.4 Теорема о коммутаторе.

2.8.5 Критерий нетеровости в алгебре

§2.9 С*-алгебра, порожденная интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида \х\га

2.9.1 С*-алгебры, порожденные динамическими системами

2.9.2 С*-алгебра 05 и ее структура.

2.9.3 Критерий обратимости и нетеровости в С*-алгебре

2.9.4 Некоторые частные случаи.

2.9.5 Нетеровость одного класса парных операторов

Глава 3 Проекционный метод и предельное поведение спектров и псевдоспектров

§3.10 Проекционный метод для интегральных операторов с однородными ядрами.

3.10.1 Определение проекционного метода.

3.10.2 Вспомогательные утверждения.

3.10.3 Критерий применимости проекционного метода к парным многомерным операторам

3.10.4 Проекционный метод для операторов из Lp(Bn)

§3.11 Усеченные интегральные операторы с однородными ядрами и их свойства.

3.11.1 Композиции усеченных операторов

3.11.2 Предел норм усеченных операторов

§3.12 Псевдоспектры многомерных интегральных операторов с однородными ядрами.

3.12.1 Алгебра 9Т и предел норм обратных операторов

3.12.2 Предел псевдоспектров усеченных операторов

3.12.3 Матричный случай

3.12.4 Дополнение к одномерному случаю

§3.13 Предельное поведение спектров и сингулярных значений усеченных операторов

3.13.1 Предел спектров усеченных операторов

3.13.2 Предел множества сингулярных значений

Глава 4 Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами.

§4.14 Нетеровость и индекс многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами

4.14.1 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами на полупрямой

4.14.2 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами в квадранте

4.14.3 Вложение С*-алгебры Яп в С*-алгебру W(r)

4.14.4 Критерий нетеровости.

4.14.5 Вычисление индекса.

4.14.6 Аналог теоремы С. Ошера

§4.15 Проекционный метод для интегральных операторов с биоднородными ядрами

§4.16 Псевдоспектры, спектры и сингулярные значения усеченных интегральных операторов с биоднородными ядрами

§4.17 Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами, порожденные парными операторами

4.17.1 Вспомогательные результаты

4.17.2 Вложение С*-алгебры Шп в С*-алгебру W(T)

4.17.3 Нетеровость и индекс

Глава 5 Многомерные интегральные операторы с квазиоднородными ядрами и некоторые другие обобщения

§5.18 Многомерные интегральные операторы с квазиоднородными ядрами

§5.19 Интегральные операторы с ядрами, имеющими смешанный характер однородности.

5.19.1 Теорема об ограниченности

5.19.2 Критерий обратимости и нетеровости

§5.20 Интегральные операторы с однородными ядрами на плоскости

5.20.1 Постановка задачи и теорема об ограниченности

5.20.2 Критерий нетеровости.

5.20.3 Проекционный метод.

Введение диссертация по математике, на тему "Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами"

Основным объектом исследования является действующий в пространстве Ьр(Шп(а)), 1 < р < оо, оператор

Каф)(х)= У к(х,у)ч>(у)<1у1 х £ Вп(а), (0.1)

В„(а) где Вп(а) = {ж £ Г: ^ а}, причем 0 < а ^ оо, а функция к(х,у) определена на 1" х 1п и удовлетворяет следующим условиям: 1° однородность степени (—п), т.е. к(ах, ау) = а~пк(х, у), \/а > 0; 2° инвариантность относительно группы вращений БО{п), т.е. к(ш(х),и>(у)) = к(х,у), е £0(п); 3° суммируемость, т. е. = I \к{еъу)\\у\~п/Р(1у = I \к(х,е1)\\х\-п/Р^х < оо,

К™ М" гдеех = (1,0,., 0).

Примерами функций, удовлетворяющих условиям 1°-3°, могут служить функции где х • у — скалярное произведение векторов х и у, и а'у)=И°<«<"> причем первая функция удовлетворяет условию 3° при 1 < р < оо, а вторая — при 1 < р < п/а.

Условия 1°-3° являются основополагающими и используются во всех главах, за исключением последней. Кроме того, мы будем всюду предполагать, что оператор Ка «многомерный», т. е. считать, что п ^ 2. Операторы вида (0.1) будем называть каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами.

Нетрудно видеть, что если 0 < а < оо, то оператор Ка подобен оператору К\. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только операторы К\ и Коо. При этом для того, чтобы упростить обозначения, мы будем писать К вместо К\ и К вместо К00.

В диссертации также рассматриваются многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами, т. е. операторы вида

Ааф)(х,у) = \ч>(х,у)+ J к1(х^)<р(11у)(И +

МП1(а) У ^2(2/1 ^ + У У кз(х, ¿)/г4(2/, г) ей йг, (0.2)

2(а) ВП1(а) к„2(а) где А £ С, а функции х,у) {] = 1,2,3,4) удовлетворяют условиям 1°-3°, причем степень однородности в условии 1° равна (—щ), если 2 — 1,3 и (—П2), если 2 — 2,4. Такие операторы рассматриваются нами в пространстве 1/2(ВП1(а) х ВП2(а)). При этом, как и ранее, по-существу выделяются два случая: а = 1 и а = оо.

Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство нетеровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер.

В данной работе строятся и описываются банаховы алгебры, в частности С*-алгебры, порожденные различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.

В заключительной главе изучаются интегральные операторы, ядра которых имеют более общий характер однородности, а именно, операторы с квазиоднородными ядрами и операторы с ядрами, имеющими смешанную структуру однородности.

История вопроса

Одномерные интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами рассматривались еще Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Им посвящена монография Л.Г. Михайлова [54]. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трудах Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко [41, 111, 112], Н.К. Карапетянца и A.B. Гиля [10, 40], А.П. Солдатова [81], С. Г. Самко и A.A. Килбаса [42], Р. В. Дудучавы [26], Б. И. Голубова [11], М. А. Бетил-гириева [5, 6], М.В. Цалюк [88, 89], Я. Б. Рутицкого [72]. Однако, действующие в Lp-пространствах одномерные операторы с однородными ядрами представляют собой по-существу тот же самый объект, что и операторы типа свертки, так как сводятся к последним с помощью экспоненциальной замены. Это позволяет перенести все результаты, справедливые для операторов типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами.

Многомерная ситуация принципиально сложнее, причем в отличие от многомерных сингулярных интегральных операторов у рассматриваемых нами операторов подвижные особенности всегда имеют порядок меньший, чем размерность пространства. (По этой причине операторы с однородными ядрами иногда называют операторами с неподвижными сингулярными особенностями.) В конце 60-х — начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами, при дополнительном предположении инвариантности ядер относительно всех вращений в К" х Мп. Ими были получены достаточные условия ограниченности таких операторов в различных пространствах функций, предложена схема исследования нете-ровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достаточные условия компактности ([4], [56]—[59]).

Дальнейшее развитие теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н. К. Карапетянца. Отказавшись от условия инвариантности ядра относительно группы вращений, Н. К. Карапетянц установил достаточные, а в случае неотрицательного ядра и необходимые, условия ограниченности операторов с однородными ядрами в .^-пространствах, а также получил оценки снизу для норм таких операторов ([33, 36]). Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах [37]. Кроме того, в работах Н. К. Карапетянца рассматривались операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов в пространствах суммируемых и гельдеровских функций [34]. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации [39] и частично нашли отражение в монографии [111].

Начиная со второй половины 90-х годов теория канонических многомерных интегральных операторов с однородными ядрами преимущественно развивалась по трем направлениям. Первое направление связано с описанием банаховых алгебр, порожденных этими операторами. Рассматривались также алгебры операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Другое направление — это исследование вопросов применимости к каноническим операторам проекционных методов и выяснение связи между спектральными характеристиками исходного и «усеченного» операторов. Третье — это изучение тензорных произведений операторов с однородными ядрами (т. е. изучение операторов с биоднородными ядрами) и порожденных ими С*-алгебр. Все три направления отражены в работах автора [12Т]—[148] и в данной диссертации. Кроме того, в последней главе рассматриваются некоторые классы интегральных операторов, ядра которых удовлетворяют условиям более общим, чем условия 1°-3°.

В заключение краткого исторического обзора отметим, что интерес к интегральным операторам с однородными ядрами в значительной мере связан с приложениями. Такие операторы находят применение в механике [26], в краевых задачах теории аналитических функций [81], в теории операторов, коммутирующих с растяжениями [79], при исследовании мультипликативных дискретных сверток [27, 28], в дифференциальной геометрии [126], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами и т. д.

Особенно подчеркнем тесную связь многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с некоторыми задачами математической физики. Такие операторы естественным образом возникают, если применять метод потенциалов к уравнениям вида в области (7, содержащей точку х = 0; при этом предполагается, что функции ак(х), Ь(х) ограничены в С. Так, например, применение метода потенциалов к уравнению Шредипгера м3

Подробно эти вопросы изложены в монографии Л. Г. Михайлова [55]. п х\2Аи + Ь(х)и = 0, х е М3 приводит к интегральному оператору вида

Основные научные результаты

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

3) Разработана теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, е-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.

4) Изучена С*-алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородными ядрами: для нее построено операторнознач-ное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.

5) Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.

Содержание работы

Данная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя.

Первая глава посвящена изучению условий нетеровости и обратимости интегральных операторов вида XI — Ка, где Ка — оператор (0.1), обобщающих их парных операторов, а также описанию банаховых алгебр, порожденных такими операторами. Подчеркнем, что исследование операторных алгебр является предметом внимания многих математиков на протяжении нескольких последних десятилетий. Не претендуя на полноту изложения, упомянем таких известных авторов как И. М. Гельфанд, М. Г. Крейн, И. Ц. Гохберг, И. Б. Симоненко, Б. А. Пламеневский, А. Б. Ан-тоневич, Н. Я. Крупник, А. Я. Хелемский, Н. К. Никольский. В настоящее время многие операторные алгебры полностью описаны. Некоторые аспекты этих исследований отражены в монографиях [1, 14, 15, 48, 61, 69, 80, 104, 110], а полный список работ по этой тематике содержал бы, вероятно, сотни наименований. Однако, алгебры, порожденные многомерными интегральными операторами с однородными ядрами, ранее не рассматривались.

§ 1.2 посвящен многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами, т. е. операторам вида а = xi - кхР - к2д, где Л е С, р и ф — операторы умножения на характеристические функции внутренности и внешности единичного шара соответственно. Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для вычисления дефектных чисел и индекса. Для решения этой задачи используется специальный метод, основанный на теории сферических гармоник, который позволяет осуществить редукцию многомерного интегрального уравнения, соответствующего оператору а, к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод является одним из основополагающих в теории операторов вида (0.1) и неоднократно применяется в дальнейшем. Кроме того, в этом же параграфе получен критерий обратимости и нетеровости оператора xi — К.

В § 1.3 исследуется банахова алгебра 21, порожденная всеми операторами вида XI — К.\Р — Кгф + Т, где Т — компактный в Ьр(Шп) оператор. Для алгебры 21 построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору а £ 21 поставлен в соответствие его символ — некоторая вектор-функция £), &2,а{™>1 £))> непрерывная на компакте (здесь й+хМ — компактификация й+хМ одной точкой оо) и такая, что <71^(00) = ^¿(оо)• В терминах этого символа получены критерий нетеровости операторов и формула для вычисления индекса. Методика решения этой задачи основана на исследовании фактор-алгебры 21 /Т{Ьр(Шп)), где Т(Ьр(Шп)) — множество всех компактных операторов, действующих в Ьр(Шп). При этом ключевым моментом является описание пространства максимальных идеалов коммутативной алгебры 21 /Т(Ьр(Ш.п)) (см. пункт 1.3.2). В заключительной части параграфа изучен матричный аналог алгебры 21.

В §1.4 рассматривается банахова алгебра 2), представляющая собой наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры содержащую все операторы вида XI — К. Очевидно, что 2) является замкнутой подалгеброй алгебры 21. Доказывается, что алгебра 2) коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту Z+xK. Для операторов из этой алгебры получен критерий обратимости и нетеровости.

В теории операторов свертки важную роль играют операторы сдвига. Такая же роль в теории операторов с однородными ядрами отводится мультипликативным сдвигам. С этой точки зрения естественно расширить алгебру операторов с однородными ядрами посредством присоединения операторов мультипликативного сдвига. Эта задача решается в § 1.5, где изучается С*-алгебра (£, порожденная всеми операторами К и всеми операторами мультипликативного сдвига вида

Сад (ж) = 6-п/2ф/6), 5 > 0. в этом параграфе предполагается, что операторы действуют в ¿2(МП)). Описана структура С*-алгебры (£. На основе этого для С*-алгебры (£ построено символическое исчисление, в терминах которого установлен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры.

Заключительный параграф первой главы (§1.6) посвящен операторам вида (0.1) при а = 1, т.е. действующим в пространстве ЬР(ВП), где В„ — единичный шар. Здесь получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора XI—К, и указаны формулы для вычисления его дефектных чисел и индекса. Также рассматривается банахова алгебра Я, порожденная всеми операторами вида XI — К -\-Т, где Т — компактный в £р(Вп) оператор. Установлен изоморфизм фактор-алгебры Д/Т(£р(Вп)) и алгебры 2), введенной в § 1.4. Опираясь на этот факт, для алгебры Я построено символическое исчисление, и получен критерий нетеровости операторов.

В этом же параграфе впервые рассмотрены многомерные вольтерровские интегральные операторы с однородными ядрами, и исследована порожденная ими банахова алгебра 27.

Во второй главе изучаются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Хорошо известно, что поведение коэффициента может существенно влиять на свойства рассматриваемого оператора. По этой причине имеется немало работ, в которых исследуются операторы свертки, Винера-Хопфа, сингулярные интегральные операторы с теми или иными коэффициентами (см., например, [3, 23, 31, 78, 91, 92, 93, 94, 98, 99, 107, 125] и цитированные в них источники). В работе [34] рассматривались операторы с однородными ядрами и коэффициентами, которые в некотором смысле «стабилизируются» в нуле и на бесконечности. В данной главе вводится более широкий класс «стабилизирующихся» коэффициентов (§2.7), а также впервые рассматриваются интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими в нуле и на бесконечности (§§ 2.8-2.9). Мы также исследуем банаховы алгебры, порожденные такими операторами. т

В §2.7 введен класс А, состоящий из всех функций а € Ь00{Жп), для каждой из которых существуют такие числа ао и а^, что для любого компакта ОсК" выполняются условия а также класс Ао = {а € А: ао = а,оо — 0}. Доказывается, что если а е Ао, то оператор МаК, где Ма — оператор умножения на функцию а, компактен в 1/р(Мп); если же а 6 А, то где Т — компактный оператор. На основе этого равенства показано, что при р ф оо банахова алгебра 21', порожденная всеми операторами вида XI + М0К + Т, совпадает с алгеброй 21 из § 1.3. а п

МаК = аоКР + а^Кд + Т,

В первой части § 2.8 вводится класс í2rad(Rra), состоящий из всех функций f(x) = /о(|ж|), х € Мп, где /o(í) — ограниченная и непрерывная на Е+ функция, слабо осциллирующая в нуле и на бесконечности. Затем рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами, имеющие коэффициенты из этого класса. Исследование таких операторов включает два принципиально важных момента. Во-первых, показано, что метод редукции многомерного случая к одномерному, развитый нами в § 1.2 для парных операторов, можно эффективно применять и для операторов с радиальными коэффициентами. Во-вторых, доказана теорема, устанавливающая компактность коммутатора МаК — КМа, где а Е f2raci(Kn). Последнее позволило исследовать банахову алгебру, порожденную операторами с однородными ядрами и коэффициентами из класса Oad(Rn). Для этой алгебры построено символическое исчисление, получен критерий нетеровости операторов, а также формула для вычисления их индекса.

§2.9 посвящен исследованию С*-алгебры 95, порожденной многомер- 1 ными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами умножения на осциллирующие функции вида |я|га(= eia\n\x\y Отметим, что коэффициенты |а;|га играют в теории операторов с однородными ядрами ту же роль, что и коэффициенты вида ешЬ в теории операторов свертки. Упомянутая алгебра 95 существенно некоммутативна. У такой алгебры не существует скалярного символа и при ее исследовании возникают серьезные затруднения. Для их преодоления используется подход, основанный на теории С*-алгебр, порожденных динамическими системами ([1, Гл. II], [2]). Этот подход позволяет построить для С*-алгебры операторное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры. Кроме того, выделен один класс операторов из алгебры 95, для которых указано эффективное скалярное условие обратимости.

Перейдем к изложению результатов третьей главы. Проекционные методы решения операторных уравнений являются важной составляющей современной теории операторов, причем с развитием компьютерной математики и численных методов их значение только возрастает. Классическая теория проекционных методов нашла отражение в известной монографии И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана [15]. Впоследствии А. В. Козаком [44] было установлено, что вопрос о применимости проекционного метода можно свести к исследованию обратимости элементов некоторой банаховой алгебры. Это дало новый импульс проекционным методам и близким аспектам теории операторов. Современное состояние теории проекционых методов отражено в монографиях S. Prössdorf, В. Silbermann [120], А. Böttcher, В. Silbermann [104], R. Hagen, S. Roch, В. Silbermann [109, 110]. Отметим также ряд работ ростовских математиков [16, 45, 46, 67, 68, 74].

В свою очередь, развитие теории проекционных методов приводит к проблеме сопоставления спектральных свойств исходного и усеченного операторов. В настоящее время для операторов свертки, Винера-Хопфа и Теплица предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов изучено достаточно полно (см., например, [29, 52, 95, 96, 100, 101, 102, 105, 118, 123, 124]). Целью данной главы является разработка проекционных методов для интегральных операторов с однородными ядрами, а также исследование предельного поведения спектров, псевдоспектров и сингулярных значений усеченных операторов.

В §3.10 строится теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами в скалярном и матричном случаях. Основным результатом является теорема 10.1 — критерий применимости проекционного метода к матричному парному интегральному оператору по системе проекторов {Рп,т2} (0 < 7i < 1,1 < 7*2 < оо) при Т\ —> 0, Т2 —* оо, где проектор Pti,t2 задается в пространстве векторфункций (fi = (</?!,., (fis) формулой

О, \x\ < ri V > r2.

В качестве следствия этой теоремы получены необходимые и достаточные условия применимости проекционного метода к оператору XI — К. В заключительной части параграфа из основной теоремы выводятся критерии проекционного метода для оператора XI — К и его матричного аналога.

§ 3.11 носит промежуточный характер. Здесь рассматривается несколько различных и важных для дальнейшего вопросов. В качестве основных выделим следующие два результата. Во-первых, доказана теорема о композиции усеченных операторов вида Кт = РТКРТ1 где проектор Рт (О < т < 1) определяется формулой р(х), т < Ы < 1,

0.3)

0, \х\ < Т.

Во-вторых, найден предел при т —> 0 нормы операторов вида

Ат = РТ(Х1 - К)РТ + РтТРт + RrLRr, где Т и L — компактные операторы, а Rr — некоторый оператор специального вида (см. формулу (11.1)). Подчеркнем, что данный результат (теорема 11.2) самым существенным образом используется в следующем параграфе.

В §3.12 исследуется предельное поведение е-псевдоспектров усеченных операторов Кт при т —> 0. Напомним, что е-псевдоспектром оператора А G где X — банахово пространство, называется множество

Sp £(А) = {ХеС: Ае Эр(Л) или \\{А - А/)1|| ^ 1/е}.

По-видимому, впервые псевдоспектры усеченных операторов Теплица и Винера-Хопфа рассматривал Н. Landau [115, 116] в контексте физических задач. Значительно позднее эти вопросы изучали L. Reichel и L. Trefethen [122] и S. Reddy [121]. Весьма активное изучение псевдоспектров началось после публикации в 1994 году работы А. Böttcher [100]. При этом почти всегда предполагалось, что операторы действуют в пространстве L2. Случай, когда операторы действуют в Lp при р ф 2, принципиально сложнее и рассматривался лишь в [102] и [52].

В §3.12 также предполагается, что операторы действуют в пространстве Lp(Bn), где 1 < р < оо. Основным результатом этого параграфа является теорема 12.3, согласно которой для любого е > 0 справедливо равенство limSp£(KT)==Spe(K)USp£(K), т—► О где К — интегральный оператор, ядро к(х,у) которого связано с ядром к(х,у) оператора К формулой к(х,у) = к(у,Х)(\у\/\х\)л/р-п/р'.

Здесь и далее предел по параметру семейства множеств понимается в смысле определения 12.1.) Вышеуказанный результат обобщается на матричный случай. Показано также, что для спектров аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места.

В последнем параграфе третьей главы (§3.13) исследуется предельное поведение спектров и сингулярных значений усеченных операторов Кт, действующих в пространстве Рт(Ь2(Вп))- Доказано, что если ядро оператора К помимо условий 1°-3° удовлетворяет еще условию к(у,ех) = егвк(еиу), где в — некоторое вещественное число, то спектр оператора К аппроксимируется спектрами усеченных операторов Кт. Кроме того показано, что множество Ti(K) сингулярных значений оператора К всегда аппроксимируется множествами Т,(Кт) сингулярных значений операторов Кт.

Четвертая глава посвящена многомерным интегральным операторам с биоднородными ядрами, т.е. операторам вида (0.2), некоторым обобщениям этих операторов, а также С*-алгебрам, порожденным такими операторами. Для операторов из этих алгебр выясняются условия нетеровости, и в топологических терминах вычисляется индекс. Кроме того, изучается вопрос о применимости проекционного метода и описывается предельное поведение спектральных характеристик усеченных интегральных операторов с биоднородными ядрами.

Отметим, что исследования данной главы тесно примыкают к теории операторов Теплица и Винера-Хопфа в четверть-плоскости, а также к теории бисингулярных операторов. Не претендуя на полноту изложения, отметим работы [19, 21, 25, 51, 63, 64, 65, 66, 67, 76, 106, 108], близкие к тематике этой главы. Технической основой четвертой главы является аппарат тензорных произведений С*-алгебр, развитый в работах Т. Turumaru, Е. Effros, Е. Lance, М. Takesaki и др. Современное изложение теории тензорных произведений можно найти, например, в [53].

Остановимся немного подробнее на результатах § 4.14. В нем рассматривается С*-алгебра Япип2 = гДе &п3 ~ наименьшая С*-подалгебра С*-алгебры £(L2(®n,))» содержащая все операторы вида xi — к+ т, здесь Т — компактный оператор. (В общем случае, т. е. когда 1 < р ^ оо, алгебра яп(= я) рассматривалась в § 1.6.) Для С*-алгебры ЯП1)П2 построен опера-торнозначный полный символ, в терминах которого найдены необходимые и достаточные условия нетеровости операторов. Кроме того, построен скалярный слабый символ, в терминах которого указано эффективное необходимое условие нетеровости.

Наибольшую сложность представляет задача вычисления индекса операторов из алгебры Л„1)П2. Одним из ключевых моментов для решения этой задачи является лемма о вложении С*-алгебры ЯП] в С*-алгебру W^ операторов Винера-Хопфа с компактными коэффициентами (лемма 14.2).

С помощью указанной леммы строится мономорфизм С*-алгебры Япип2 в С*-алгебру (8> опираясь на который для нетеровых операторов из алгебры Япип2 получена топологическая формула для вычисления индекса.

В заключительной части этого параграфа установлен аналог теоремы С. Ошера, т. е. описан класс интегральных операторов с биоднородными ядрами, для которых нетеровость равносильна обратимости.

В §4.15 изучается применимость проекционного метода к оператору

А = А(/1 О /2) + (Кх <8> 12) + (/1 <8> К2) + {Къ ® К4), (0.4) где А £ С, операторы Д, К\, действуют в пространстве ¿2(ВП1), а операторы 12, К2, К4 действуют в 1/2 (ВП2). Для оператора А получен критерий применимости проекционного метода по системе проекторов {РТ1 <8> РТ2} при 71 —> 0, Т2 —»• 0, где Рт (^ = 1,2) — проектор, который определяется в пространстве Ь2(Вп.) формулой (0.3). Этот критерий является следствием более общего утверждения (теорема 15.1), которое существенно используется и в следующем параграфе.

§4.16 посвящен исследованию предельного поведения спектров, псевдоспектров и множества сингулярных значений усеченных операторов

Лп,Т2 = (Рп <8> Рт2) А (Рп 0 РГ2), где А — оператор вида (0.4). С оператором А ассоциированы операторы

А1 = А(Д (8) /2) + {Кх ® 12) + (/1 ® К2) + (К3 ® К4), А2 = А(Д ® 12) + (Кг ® 12) + (Д О К2) + (К3 ® где Kj — оператор, транспонированный к оператору К у Доказывается, что для любого е > 0 справедливо равенство

1Ш1 8ре(Д- Г2) = Бре(А) и Эр£Ш = $Ре(А) и БРеШт\ —>и г2—0

Если оператор А является самосопряженным, то аналогичное равенство справедливо для спектров. Показано также, что предел при т\ —» 0, 72 —>• О множества сингулярных значений Е(АТ1)Т2) «с точностью до нуля» совпадает с множеством Т,(А) и Т,(Аг), где г = 1 или г = 2.

В §4.17 изучается С*-алгебра 21 ПиП2 = 21П1 ®21Па, где 2Ц — наименьшая С*-подалгебра С*-алгебры С(Ь2(ШП:>)), содержащая все парные операторы вида XI — К 1.Р — Кгф 4- Т, здесь Т — компактный оператор (в общем случае, т.е. когда 1 ^ р ^ оо, алгебра 21п(= 21) рассматривалась в § 1.3). Для алгебры 21Пь„2 в основном исследуются те же вопросы, что и для алгебры Яп1>п2 в §4.14. А именно, для С*-алгебры 21 П1;П2 строится опера-торнозначное символическое исчисление, в терминах которого получены критерий нетеровости операторов и топологическая формула для вычисления их индекса.

В главах 1-4 предполагалось, что ядра изучаемых интегральных операторов удовлетворяют условиям 1°-3°. При этом наиболее важными являются условия 1° и 2° (условие 3° нужно для того, чтобы обеспечить ограниченность оператора вида (0.1) в Ьр(Мп(а))). Представляется вполне естественным отказаться от условий 1° и 2°, заменив их более общими условиями. Этим вопросам и посвящена пятая глава. В §§ 5.18-5.19 мы отказываемся от условия 1° и рассматриваем операторы, ядра которых имеют более общий характер однородности, а в § 5.20 отказываемся от условия инвариантности ядра относительно группы вращений 30(п). Отметим, что ранее Н. К. Карапетянцем изучались интегральные операторы с ядрами, имеющими сложный характер однородности ((а, Ь)-однородность, квазиоднородность), причем без предположения типа 2° (см. [33, 39]). Однако, его результаты касались только ограниченности этих операторов. Наши исследования главным образом направлены на выяснение условий нетеровости и обратимости рассматриваемых операторов.

В § 5.18 изучаются многомерные интегральные операторы с квазиоднородными ядрами, т. е. с ядрами удовлетворяющими условию д(/1Х, ¡1иу) = /¿ад(ж, у), V у. > О, где I/ > 0, / 1, а € 1. Исследование таких операторов осуществляется в контексте исследования операторов вида

А = \1-К-В, где В — интегральный оператор с квазиоднородным ядром, инвариантным относительно всех вращений. Оператор А рассматривается в весовом 1/р-пространстве с весом \х\Р~п!р, причем показатель (3 связан с показателями квазиоднородности V и а. Для оператора А получены критерий нетеровости и формула для вычисления индекса. В заключение рассмотрены парные операторы, обобщающие оператор А.

В прикладных задачах нередко возникают интегральные операторы с ядрами, имеющими различную структуру однородности по разным группам переменных. В связи с этим в §5.19 рассматриваются многомерные интегральные операторы, ядра которых имеют смешанный характер однородности: по части переменных ядро однородно степени (—п) и инвариантно относительно группы вращений 50(п), а по оставшимся переменным ядро покоординатно-однородно. Для таких операторов установлены достаточные условия ограниченности в ¿^-пространстве, а также получен критерий обратимости и нетеровости.

Перейдем к § 5.20. Во всех предыдущих параграфах на ядро интегрального оператора накладывалось условие его инвариантности относительно группы-вращений 50(п). Это условие играет ключевую роль, так как позволяет осуществить редукцию многомерного случая к одномерному. В данном параграфе мы рассматриваем интегральные операторы с однородными степени (—2) ядрами на плоскости и при этом заменяем условие инвариантности относительно всех вращений более слабыми условиями. Новые условия, однако, также обеспечивают редукцию двумерного оператора к бесконечной последовательности матричных одномерных операторов. Для двумерных интегральных операторов с ядрами, удовлетворяющими новым условиям, получены критерий нетеровости, формула для индекса, а также критерий применимости проекционного метода.

Завершая обзор этого параграфа, отметим работу [22], в которой также изучались интегральные операторы с однородными ядрами на плоскости без предположения инвариантности ядра относительно всех вращений.

Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддержке следующих грантов:

Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости» (РФФИ, проект 98-01-00261-а);

Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с ними» (РФФИ, проект 00-01-00046-а);

Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ, проект 06-01-00297-а);

Псевдодифференциальные операторы и их приложения» (Внутренний грант Южного федерального университета, проект К-07-Т-143/8).

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на международной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление», посвященной памяти Ф. Д. Гахова (Минск, 1996 г.); на международной школе по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.); на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвященной 70-летию В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, 2004 г.); на 3-й и 4-й международных конференциях «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2003 и 2006 гг.); на международной конференции

Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.); на XIV и XVI международных конференциях «Математика. Образование. Экономика.» (Новороссийск, 2006 и 2008 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XIX» (Воронеж, 2008 г.); на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинаре академика РАН В. А. Ильина в Московском госуниверситете (2008 г.); на семинаре проф. А. П. Солдатова и проф. А. М. Мейрманова в Белгородском госуниверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математического общества (2008 и 2009 гг., руководитель — проф. A.B. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета — Южного федерального университета (руководители — проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетянц, проф. А. И. Задорожный).

Все основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [127]—[148], из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертациям. Результаты, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомогательного характера, которые включены в работу для полноты изложения и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).

В совместной работе [127] Н. К. Карапетянцу принадлежит метод доказательства теоремы 1. В диссертации это утверждение (теорема 6.1) получено как следствие более общей теоремы, принадлежащей соискателю.

В работе [128] соавтору принадлежат лемма 7, а также часть доказательства теоремы 3, посвященная вычислению индекса. Эти результаты в диссертацию не включены. В статье [134] Н. К. Карапетянцем были получены леммы 1 и 2 (также не включены в диссертацию). В работах [132] и [133] Н. К. Карапетянцу принадлежит общая постановка задачи и обсуждение полученных результатов. Статья [135] является обзором по данной тематике, который написан, в основном, по работам авторов. Новых результатов эта работа не содержит.

В работе [131] В. М. Деундяку принадлежат теорема 4, а также конструкция метода доказательства теоремы 3. В диссертации приведено модифицированное доказательство этого утверждения (лемма 14.2), принадлежащее соискателю. Аналогично, в [138] соавтору принадлежат теорема 2 (не включена в диссертацию) и конструкция метода доказательства теоремы 3, для которой в данном тексте соискателем дано модифицированное доказательство (лемма 17.2). В работе [144] В. М. Деундяку принадлежит теорема 1.1 (не включена в диссертацию), а также обсуждение полученных результатов.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Авсянкин, Олег Геннадиевич, Ростов-на-Дону

1. Антоневич А. Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. Минск: Изд-во «Университетское», 1988. 232 с.

2. Антоневич А. Б. О двух методах исследования обратимости операторов из С*-алгебр, порожденных динамическими системами // Мат. сборник. 1984. Т. 124, №1. С. 3-23.

3. Антоневич А. Б. Об операторах типа свертки с осциллирующими коэффициентами // Весщ АН БССР. Серыя ф1з.-мат. навук. 1976. №2. С.42-46.

4. Бильман Б. М. Об условиях полной непрерывности некоторых многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Докл. АН СССР. 1971. Т. 197, №1. С. 14-17.

5. Бетилгириев М. А. Асимптотическое разложение решений одного интегрального уравнения с однородным степени —1 ядром // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Сб. науч. трудов. Элиста: Изд-во КалмГУ, 1983. С. 12-18.

6. Бетилгириев М. А. Исследование асимптотики интегральных операторов свертки и с однородными ядрами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д. 1985. 120 с.

7. Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир, 1972. 183 с.

8. Бурбаки Я. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. 272 с.

9. Гельфанд И.М., Райков Д. А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М.: Физматгиз, 1960. 315 с.

10. Гиль А. В., Карапетянц Н. К. Интегральный оператор с однородным ядром в пространстве функций с ограниченной средней осцилляцией // Докл. РАН. 2004. Т. 397, №1. С. 1-4.

11. Голубов Б. И. Об ограниченности операторов Харди и Харди-Литтлвуда в пространствах КеН1 и В МО 11 Мат. сборник. 1997. Т. 188, №7. С. 93-106.

12. Гохберг И. ЦКрейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // УМН. 1957. Т. 12, вып. 2. С. 43-118.

13. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // УМН. 1958. Т. 13, вып. 2. С. 3-72.

14. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973. 426 с.

15. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

16. Грудский С. М., КозакА. В. О скорости сходимости норм операторов, обратных к усеченным операторам Теплица // Иитегро-дифференциальные операторы и их приложения. Сб. науч. трудов. Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 1996. С. 45-55.

17. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

18. Данфорд Н.? Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1064 с.

19. Деундяк В. М. О вычислении индекса систем многомерных бисингу-лярных интегральных операторов // Матем. анализ и его прилож. 1975. №7. С. 137-149.

20. Деундяк В. М. Гомотопические свойства множества нетеровых элементов С*-алгебры многомерных обобщенных теплицевых операторов // Функц. анализ и его прилож. 1980. Т. 14, вып. 3. С. 79-80.

21. Деундяк В. М. Гомотопическая классификация и вычисление индекса семейств многомерных бисингулярных интегральных операторов // Изв. вузов. Математика. 1996. №5. С. 34-47.

22. Деундяк В.М., Степанюченко Е.А. Об интегральных операторах с однородными ядрами послойно сингулярного типа в пространстве ЬР(Ш2) // Вестник ДГТУ. 2007. Т. 7, №2. С. 161-168.

23. Деундяк В. М., Штейнберг В. Я. Об индексе операторов свертки с медленно изменяющимися коэффициентами на абелевых группах // Функц. анализ и его прилож. 1985. Т. 19, вып. 4. С. 84-85.

24. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М.: Наука, 1974. 399 с.

25. Дудучава Р. В. О бисингулярных интегральных операторах и операторах типа свертки на квадранте // Докл. АН СССР. 1975: Т. 221, №2. С. 279-282.

26. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными пред-символами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тбилиси: Мец-ниераба, 1979. Т. 60. 135 с.

27. Ерусалимский Я.М. Необходимые и достаточные условия нетеро-вости операторов мультипликативной дискретной свертки // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1973. №4. С. 105-107.

28. Ерусалимский Я. М. Операторы мультипликативной дискретной свертки. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д. 1976. 102 с.

29. Заброда О. Н., Симоненко И. Б. Асимптотическая обратимость и коллективное асимптотическое поведение спектра обобщенных одномерных дискретных сверток // Функц. анализ и его прилож. 2004. Т. 38, вып. 1. С. 81-82.

30. Канторович Л. В., Акимов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. 684 с.

31. Карапетянц Н. К. Об одном классе дискретных операторов свертки с осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1974. Т. 216, №1. С. 28-31.

32. Карапетянц Н. К. Об одном классе уравнений типа свертки со сдвигом // Сообщения АН ГрузССР. 1976. Т. 81, № 3. С. 541-544.

33. Карапетянц Н. К. О необходимых условиях ограниченности оператора с неотрицательным квазиоднородным ядром // Мат. заметки. 1981. Т. 30, № 5. С. 787-794.

34. Карапетянц Н. К. Полная непрерывность некоторых классов операторов типа свертки и с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 1981. № 11. С. 71-74.

35. Карапетянц Н.К. Об интегральных операторах с покоординатно-однородными ядрами // Сообщения АН ГрузССР. 1982. Т. 105, № 3. С.469-472.

36. Карапетянц Н. К. Об интегральных операторах с однородными ядрами. Докл. расширенных заседаний семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н. Векуа. Тбилиси. 1985. Т. 1, №1. С. 477-480.

37. Карапетянц Н. К. О полной непрерывности операторов свертки и с однородными ядрами в гельдеровских классах // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1987. № 2. С. 34-39.

38. Карапетянц Н. К О одном аналоге теоремы Хёрмандера для областей, отличных от Еп // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, №6. С. 12941297.

39. Карапетянц Н. К. Интегральные операторы свертки и с однородными ядрами с переменными коэффициентами. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. Тбилиси, 1989. 296 с.

40. Карапетянц Н. КСамко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1988. 192 с.

41. Килбас А. А., Самко С. Г. Об интегральных операторах с однородными ядрами в гельдеровских пространствах Нш // Докл. АН БССР. 1977. Т. 21, №1. С. 5-8.

42. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. 344 с.

43. Козак А. В. Локальный принцип в теории проекционных методов // Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, № 6. С. 1287-1289.

44. Козак А. В. Об одном проекционном методе решения операторных уравнений в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1973. Т. 211, № 5. С. 1042-1045.

45. Козак А. В., Симоненко И. Б. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свертках // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, №2. С. 119-127.

46. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // УМН. 1958. Т. 13, вып. 5. С. 4-120.

47. Крупник Н. Я. Банаховы алгебры с символом и сингулярные интегральные операторы. Кишинев: Штиинца, 1984. 138 с.

48. Левитан Б. М. Почти периодические функции. М.: Гостехиздат. 1953. 396 с.

49. Левитан Б. М.; Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 204 с.

50. Малышев В. А. О решении дискретных уравнений Винера-Хопфа в четверть-плоскости // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187, №6. С. 12431246.

51. Максименко Е. А. Операторы свертки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров / / Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, №6. С. 1310-1323.

52. Мёрфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997. 336 с.

53. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени — 1. Душанбе: Дониш, 1966. 48 с.

54. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами // Труды АН ТаджССР. 1963. Т. 1. 180 с.

55. Михайлов Л. Г. О некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами // Докл. АН СССР. 1967. Т. 176, №2. С. 263-265.

56. Михайлов Л. Г. Многомерные интегральные уравнения с однородными ядрами // Труды симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. 1971. Т. 1. Тбилиси: Мецниераба, 1973. С. 182-191.

57. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений // Math. Nachr. 1977. Т. 76. С. 91-107.

58. Михайлов Л. Г., Замота А. В. О некоторых интегральных уравнениях с однородными ядрами // Докл. АН ТаджССР. 1971. Т. XIV, №12. С. 3-7.60 6162