Многомерные сингулярные интегральные операторы с разрывными классическими символами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

I к 0/^3

АКАДЕМИЯ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР

/ ТБИЛИССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНА1ШШ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А.М.РАЗМАДЗВ

ВАСИЛЕВСКИЙ НИКОЛАЙ ЛЕОНИДОВИЧ

УДК 517.968.23:517.983

ШОГСШШЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С РАЗРЫВНЫМИ КЛАССИЧЕСКИМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика; . 01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

На правах дукописи

СИМВОЛАМИ

Тбилиои - 1988

Работа выполнена в Одесском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. И.И.Мечникова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корреспондент АН ГССР Гегелиа Т.Г.;

доктор физико-математических наук, профессор Егоров Ю.В.; доктор физико-математических наук Каспаров Г.Г.

Ведущая организация - Ленинградский государственный

университет им. А.А.Жданова

Защита состоится "_"__1988г. в 15 часов

на заседании специализированного совета Д 007.12.01 при Тбилисском математическом институте им. А.М.Размадзе АН ГССР по адресу: 380093, Тбилиси, ул. З.^ухадзе, I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

. Автореферат разослан "_"_1988 г.

Учёный секретарь специализированного совета

доктор физ.-мат. наук А.Р.Цицкишвил*

-1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Зарааденяв теории сингулярных интегральных уравнений, одномерных и многомерных, относится к началу века и связано с именами А.Цуанкаре, Д.Гильберта, Ф.Нетера, Т.Карлемана, Ф.Трикоми, Ж.Жиро. Становление теории сингулярных интегральных уравнений, как самостоятельной ветви математики, было обусловлено не только внутренними мотивами её развития, но и её приложениями, а также связями с другими областями математики. Взаимное обогащение, проникновение методов и идей связывает сингулярные уравнения с , теорией аналитических функций и краевых задач для этих функций, теорией уравнений в частных производных, общей теорией нетеровых операторов и теорией индекса, теорией упругости и радом других разделов математики. Многомерные сингулярные интегральные операторы были одной из двух ветвей, породивших теорию псевдодифференциалышх операторов, которые дали затем современной математической физика интегральные операторы Фурье и микролокальный анализ.

В работах А.В.Бицадзе. И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, Ф.Д.Гахо-ва, Т.Г.Гегёлиа, А.Кальдерона, А.Зишунда, С.Г.Михлина, Н.И.Цусхелишвили, Б.В.Хведелидде и ряда других математиков была, в целом, завершена классическая теория сингулярных интегральных операторов. Её характерным признаком было рассмотрение гладких (непрерывных) коэффициентов (символов) и многообразий на которых изучались объекты.

Вместе с тем, как внутренняя логика развития теории, так и потребности приложений требовали изучения "разрывных" ситуаций, т.е. перехода к разрывным коэффициентам (символам) и к многообразиям с особенностями.

На рубеже 60х - 70х годов была, в основном, завершена разрывная теория одномерных сингулярных интегральных операторов. Так в работах И.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника систематически изучалась алгебра, порожденная одномерным сингулярным оператором с ядром Коши и операторами умножения на кусочно-непрерывные функции. Была описана её алгебра символов, указан гомоморфизм, сопоставляющий операторам их символы, получены завершающие результаты по нетеровскс?* теории.

Различным разрывным ситуациям в многомерном случав посвящены работы Р.В.Дудучава, Г.Корцеса, Б.А.Пламеневского, В.Н.Сеничкина, И.Б.Симоненко, Ш.Ремпеля, Б.-В.Щульце и ряда других математиков. Однако достаточно полного аналога разрывной теории для многомерных сингулярных интегральных операторов до сих пор нет. Такое положение может быть объяснено рядом причин. Во-первых, это, так сказать, причины постановочного характера, кроющиеся в богатстве возможностей многомерного случая. Здесь возможны и существенны разрывы как по прямой ( х ), так и по двойственной (К ) переменной. Одномерный случай, в этом смысле, вырожден, поскольку единичная сфера Б° в 1Я дискретна, а поэтому любая заданная на ней функция непрерывна. Далее, правомерны и естественны различные варианты обобщения на многомерный случай нонятия кусочно-непрерывной функции (возможны, например, скачки относительно гиперповерхностей', разрывы однородного типа относительно подмногообразий различных коразмерностей, конические точки разрыва, и, наконец, совмещение различных вариантов особенностей, происходящее при пересечении многообразий разрывов).

Кроме того присутствуют и причины структурного характера. Алгеброй символов для кусочно-непрерывного одномерного случая (для операторов, действующих в ) является С*-алгебра, все неприводимые представления которой имеют размерности один или два. Причины такого описания теперь достаточно понятны и легко объяснимы. В многомерном же разрывном случав алгебра символов необходимо имеет бесконечномерные неприводимые представления. Причем характер этшс представлений существенно зависит от типов вводимых в классическую стуацшо разрывов. Таким образом при переходе от одномерного к многомерному случаю происходит как принципиальное усложнение алгебры символов, так и определённая потеря эффективности получаемых результатов. Критерий нете-ровостя, в частности, формулируется уже не в терминах обратимости матриц-функций, а в терминах обратимости оператор-функций, вид которых определяется типом допускаемых разрыве®. .'■■■''■■..

Возникающие потребности рассмотрения и использования многомерных сингулярных интегральных операторов, классические символы которых разрывны, требуют изучения их свойств. Построение достаточно полной теории таких операторов, учитывающей все многообразие возможностей многомерного случая, становится таким образом насущной задачей.

Цель работы. Развитие теории многомерных сингулярных интегральных операторов с разрывными классическими символами. Выяснение механизмов построения алгебр символов и описание алгебр символов для неклассических алгебр операторов. В качестве основного объекта исследования выступают обозначаемые через ; (Й) алгебры. Они, по определению, порождены всеми действующими в С Ш"1) операторами вида

лы1 ЬСЪ) . Р*4«*) Г, «(»€£>,

здесь $ и <Ь - некоторые подалгебры алгебры СКИ) , состоящие из разрывных в том или ином смысле функций, "][ _ единичный оператор, V а Р"1- соответственно прямое и 'обратное преобразования Фурье.

Выбор в качестве объекта исследования алгебр ввда Ч? Ы; СЕ) позволяет:

- естественно объединить в единой постановке изучение разрывов как по * , так и по ^ ;

- охватить широкий спектр изучаемых объектов (многомерные сингулярные операторы Михлкна-Кельдерояа-Зипдунда, операторы типа свертки, теплицевы операторы, бисингулярные и псдисшцулярные операторы);

- объединить изучение различных типов операторов в рамках исследования более широких алгебр;

- существенно расширить классы изучаемых объектов за счет (различного) расширения разрывными функциями классичеких вариантов алгебр Лий;

- прояснить с более общей точки зрения некоторые результаты предыдущих исследований по одномерным и многомерным интегральным операторам.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.

1) Разработана разрывная теория широких классов многомерных сингулярных интегральных операторов, позволившая объединить, дополнить и существенно расширить предыдущие исследования.

2) Развита теория многомерных тевлицевых операторов с псевдодифференциальньши нулевого порядка предсимвсдами для одного класса не строго псевдовыцуклых областей.

3) Описана алгебра, порожденная двумя произвольными ортопроекторами. На основе этого описания разработан метод, позволивший единообразно изучить ряд конкретных алгебр, порожденных различными классами многомерных интегральных операторов,

4) Изучен общий (многомерный) случай абстрактных сингулярных операторов со сдвигом, обнаруживший ряд принципиально новых положений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

Международной конференции "функционально-дифференциальные системы и родственные вопросы" (ПНР, 1979 г.).

4-ом Симпозиуме по интегральным уравнениям и их приложениям (ПНР, 1987 г.).

Всесоюзных "шксяах по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1978 г.; Минск, 1982 г.; Рига, 1983 г.; Новосибирск, 1985'г.; Челябинск, 1986 г.).

' Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987 г.).

5-ой Республиканской конференции'математиков Белоруссии (Гродно, 1980 г.).

' Республиканской конференции по пространственный задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (Тбилиси, 1983 г.). '

Расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа ТГУ (Тбилиси, I9S5 г.).

II и III Республиканских'симпозиумах по дифференциальным "и интегральным уравнениям (Одесса, 1978 г.; Одесса, 1982 г.). -

С сообщениями о результатах диссертации автор выступал также на семинарах чл.-корр, АН СССР А.В.Бицадзе, чл.-корр. АН СССР П.Л.Ульянова, д.ф.-м.н. Е.А.Горина (Москва), проф. Н.К.Никольского, проф. С.Г.Михлина, проф. Б^А.Пла-меневского (Ленинград), академика АН ГССР Б.В.Хведелидза, чл.-корр. АН ГССР Т.Г.Гегелиа (Тбилиси), академика АН Тадн.ССР А.Д.Джураева (Душанбе), проф. А.А.Гадаиева (Баку), проф. И.Б.Симоненко (Ростов-на-Дону), чл.-корр. АН УССР М.Г.Крейна (Одесса).'

Результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на Одесском городском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям (руководитель - проф. Г.С.Литвинчук).

■ Публикации. Список основных публикаций по теме диссертации, содержащий восемнадцать самостоятельных и три совместные работы, приводится в конце автореферата. Из совместных работ £4,5,93 в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору и его соавторам (И.М.Спитковскоаду и Р.Трухильо) в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на 33 параграфа. Общий объем работы составляет 297 страниц машинописного текста. Список литературы содеркит 205 наименований.

СОДЕНШИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткая историческая справка, дается обзор основных идей и результатов работы.

Первая глава работы (§§ 1-4) посвящена определению алгебр символов для банаховых алгебр операторов и исследованию их свойств. В § I описывается функтор Бут , сопоставляющий банаховым'алгебрам операторов 91 (всегда с единицей 1 ) их алгебры символов: 01 . Основным

здесь является определение^

^ {Д = а '

где - образ алгебры при естественной проекции

зг : Л —

^ - идеал содержащихся в Ж. компактных операторов,

& - радикал Джекобсона алгебры £Д. .

Показано, что "запас" алгебр символом в точности совпадает о совокупностью всех полупростых банаховых алгебр с единице}1

В § 2 изложение конкретизируется для случая, когда алгебра символов Ф. коммутативная. Теорема Аренса-

Ройдеяа здесь позволяет свести задачу гомотопической классификации нетеровых операторов из Ф- к вычислению группы когомологий НЛСтЛ-,2) , где - компакт максимальных

идеалов алгебры . Методика этого параграфа не-

однократно используется в дальнейшем.

В § 3 исследуется матричная алгебра £И® (здесь и далее С«. - алгебра всех у»*п. комплексных матриц) с компонентами из . При изучении вопросов гомотопической классификации вводится понятие стабильного топологического индекса.

По видимому впервые Л.И.ВсльпертомР указан пример матричного оператора А . индекс которого отличен от индекса его определителя. Различные достаточные условия совпадения Экс! А и ЗшЛск-Ь А приводились в работах Н.Я.Кнупника и А,С.Ыаркуса, И.А.Фельдмана. В § 4 вопрос о соотношении ЗиЛ А и ЗпЛ А " решается в значительно более полном виде.

Пусть 31 - банахова алгебра операторов с коммутативной алгеброй символов, 7П - компакт максимальных идеалов алгебры • Операторы А € 51® С ц и с1е~1 А 6®. являются нетеровнмк операторами лишь одновременно.

Теорема 4.1 Доли сКуу ТЯ ^Ъ. то А = ¿М с1«г1 А

Р Докл. АН СССР, 1960, т.133, А I, о, 13-15.

Замечание 4.2 Условие du«'ÎTt<2> можно заменить более слабим требованием: существует пространство TL такое, что dlvn и tt имеет тот же гомотопический тип, что и ТГГ» .

В случае, когда теорема 4.1 (или замечание 4.2) неприменимы, справедливость равенства А » УиД А зависит уже от конкретного выбора алгебры операторов 3L . Анализируется топологические а алгебраический причины совпадения или не совпадения индексов А и dei А .

Алгебра символов алгебры ЯЬ) общего вида обя-*

зательно имеет неприводивые бесконечномерные представления. Бресте с тем некоторые подалгебры алгебр "MlCiî; £Ъ) , по-разденные специальными (и важными в связи с различными приложениями) операторами,'устроены проще. Их алгебры символов "исчерпываются" лишь конечномерными представлениями. Ряд таких случаев выделен и рассмотрен в главах II (§§ 5-14) и III (§§ 15-17). Эти исследования предваряют ойибание ббщих a/iiaöp вида Cil ; ib) и отличаются простотой описания и эффективностью получаемых результатов.

В § 5 главы II описан локальный принцип и процедура восстановления алгебры (символов) по локальным описаниям. Используется следующий вариант локального принципа2^: Пусть Öt - С^-алгебра, 2 - некоторая её центральная коммутативная С*-подалгебра, Т - компакт максимальных идеалов алгебры 2 • Через обозначим максимальный вдеал алгебры 2 , соответствующий точка -t е"Т , а через JC-i) - замкнутый двусторонний идеал алгебры

, пороаденный вдеалом . Локальной алгеброй, соответствующей точке 1 <£ Т , тогда является алгебра

Ключевым результатом глав II и III является приведенное

Douglas R.G, Banach Algebra Techniques in Operator

Theory, Academic Press, 1972,

Varela J. Duality of C*-algebras, Inj Memoirs Amer.

Ueth. Soc,; 1974, no. 143, p. 97 - 108.

в § 6 описание С*-алгебры, порожденной двумя ортопроекто-рами. В работах автора ["3,6] при исследовании одного варианта алгебры, порожденной интегральным оператором с ядром Бершаиа и кусочно-непрерывными коэффициентами описана С36-алгебра с образующими Б и М , связанными соотношениями

ЫЛ = I ЬА/ * N в - О, а"- Й А/"*-- N. ; - '

Замена образующих

р,_ » ¿(-I- &-А/),

приводит к алгебра, порожденной двумя ортопроекторами и Р^. Эта алгебра оказывается Ск-аягеброй, все неприводимые представления которой имеют размерность один или два. Она, для данных ортопроекторов, восстанавливается по множеству

Приведем более просто формулируемую теорему для случая, когда точки 0,1 не являются изолированными точками Д0

Теорема 6.7 Алгебра а Ф.(<С-, Р^ Р^) , порожденная ортопроекторами Р1 и изометрически изоморфна алгебре всех непрерывных на А0-матриц-функций, становящихся диагональными в точках {1} Г\ д0 При изоморфизме

•9 : (А — &

шеем /1 о\ ЛсГТм', 4

( о о)' ^-С^таг

Результат об ортопроекторах позволяет, в частности, дать общий метод описания алгебр, порожденных каким либо ортопро-ектором (или инвслютивным оператором), коммутирующим с точностью до компактного слагаемого с операторами умножения на непрерывные функции, и операторами умножения на кусочно-непрерывные функции (коэффициенты). Действительно, комг^утация о точностью до комйажтного слагаемого с непрерывными функциями дает возможность применять в алгебре символов локальный принцип. А (наиболее сложная) локальная ситуация в

точках разрывов коэффициентов сводится к алгебре, порох-денной двумя проекторами. Один из них - это локальный представитель исходного проектора (или проектора, определяемого инволюцией). Локально, в точках разрыва, кусочно-непрерывные функции эквивалентны кусочно-постоянным, которые порождены характеристической функцией подходящего множества. Оператор умножения на эху характеристическую функцию - это второй ортопроектор. Вопрос сводится, таким образом, к конкретному нахождению множеств типа ер СРА - Ря .

Изложенная методика служит основой дальнейших постро— ний главы II, посвященной изучению конкретных операторных алгебр. В §§ 7-9 изучается алгебра, порожденная интегральным оператором с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами. Операторы с ядром Бергмана и непрерывными коэффициентами изучались в работах А.Джураева, И.И.Комяка, В.Вену-гопалкришны. Принципиальное отличие кусочно-непрерывного случая, резко усложняющее строение алгебры, состоит в некомпактности коммутатора оператора с ядром Бергмана и оператора умножения на кусочно-непрерывную функцию.

В § 7 изучается модельная, локальная ситуация. Общий случай разобран в § 8. Цусть - некоторая ограниченная конечносвязная область с гладкой границей У = *

Цусть (а (2, гО _ функция Грина области , тогда

I/ - ^ -— - кеон-^шшия Беогмана области.

- оператор с ядром Бергмана.

Введем класс коэффициентов. Обозначим через Ь кусочно-гладкую линию в Д5 , удовлетворяющую следующим свойствам: На линии I существует конечное число точек (узлов), разбивающих её на простые ориентируемые гладкие кривые в^ ( )* ^ узлам будем относить и концы кривых ¿^

Множество всех узлов обозначим через "О" , а сами узлы будем обозначать символами и.^ , где верхний индекс обозначает количество кривых начинающихся (оканчивающихся) в этом узле, а нижний индекс соответствует нумерации уз-

лов. Предполагаем также, что граница У области £> пересекается с линией Ь лишь по (некоторым) узлам вида U.^. . Цусть пересечение Jfflfc сЬдержит и* точек.

Обозначим через РС(3, алгебру функций аса) , непрерывных в «О n й- и имеющих левые и правые предельные значения на кривых tj : а+(г) и а*(г) . Таким образом в узлах типа (кроме u^e )(П2> ) функции изРСсаэ имеют г предельных значений.

Изучается алгебра k^ftd) , порожденная

всеми действующими в Х/д_ СЪ) операторами вида

А « асг) I + вез) + ><1,

где о.(г) , 6Сг) е РС(2; е) , К ( с ) - компактный оператор. Для формулировки результата введем некоторые обозначения. Цусть Ja - множество, получаемое из ¿5 проведением разрезов вдоль линии 2- . При этом каждая точка из С¿Nt7)u(.y Л £•) перейдет в пару точек множества jb . Какдому узлу ввда о,^, (4 К1 Л ) будет соответствовать г точек множества jo '. Обозначим через t р - о . i г и tp + О , следуя положительному направлению на X , пару

точек, которая соответствует точке ipfcXrífc , .

Так введенное множество jo , очевидно, совпадает с компактом максимальных идеалов алгебры РС(Б, е) . Аналогично, обозначим через # множество, полученное из у разрезами по точкам -Ц е У Л Ь . Пару точек на * , соответствующих точке -tp е ХО С- , обозначим, следую положительному направлению на_ , через-t'p-o и 1*р+-о

к X«UtAp -непересекающееся объединение отрезков Lo, i3p . Обозначим через J4 отображение, сопоставлявшее точкам из ъХ пары точек из У по следующее правилу

jvUOp) ж (.-t'p-o/tpfo), Оре Др^-ОеЛ,

Показано, что спектром С*-алгебры ¡Л является пространство ТП »ХО.у .

Глобальное описание алгебры S^v^Cft. может быть дано либо в терминах сечений некоторого С*-расслоения над TTÎ, , либо следующим эквивалентным образом. Пусть Ёэ -множествовсех пар er.cs«^ «го . где ег^сСЧ), «"«.е Cfx , €л), причем выполнены следующие условия согласования: если ' гДе*.б7,х -ïxsÇ , то

( WJ.CJJ«.) о \ б^Ск! * ( 1 .

— V -

Относительно покомпонентных операций и нормы

Ц «г U = { Ъ^л \rt£-jl Su_p \l e^i-i 11 }

a ' X ■ '

a.

гдеДСд. 11 - наибольшее собственное число матрицы . , множество <£э является (^-алгеброй.

Теорема 8.4 Алгебра символов S^vh ¿й- алгебры 5Ь&СРеб5е); изоморфна и изомзтрачна алгебре^ .

При их отождествлении гомоморфизм

s^jvn : ОХ —byvw ¡Л

порождается следующим отображением образующих алгебры GL : если А * асз>1 + «Сз> R , то

А-

-{: е л «

А<лг+о')**аа1.~о)а-*) Сса^о)- сс^-ойЛа-х/]

-аС-ц-оЯ^а-^' сар^)а-»)4саго)у / х € по а, -¿г «уае.

здесь ссз) «асз) * « еж) , сиг> <сз)е Рс<В( е.) ,

Следствие 8.5 Для того, чтобы произвольный оператор А алгебры Ш. был нетеровым необходимо и достаточно, чтобы его символ был обратим, т.е.

^ А * О иа у , О т ^ ,

Вычислению индекса нетеровых операторов алгебры ■3>«£P.CPCC5,t), посвящен § 9. В § 10 содержится

приложение результатов §§ 8-9 к изучению'тешшцевнх операторов с кусочно-непрерывными предсимволами в пространстве Бергмана. Здесь обобщаются некоторые результаты В.Венуго-валкришны на кусочно-непрерывный случай.

В §§ II-1? изучаются алгебры, порожденные оператором Бицадзе, возникающим в связи с изучением голоморфных по Моисилу-Теодореско отображений. Операторы рассматриваются на единичной сфере в R3 , хотя, разумеется, все результаты остаются справедливыми и для любого гладкого замкнутого ориентируемого многообразия в . В § 12 исследуется алгебра, порожденная оператором Бицадзе и'вепрерывнн-ми коэффициентами вида

где и - непрерывные на сфере матрицы-санкции ква-тернионного вица, а Q - ортопроектор, определяемый непрерывным единичным векторным полем на сфере. Описание алгебры символов здесь зависит от углов между векторами поля,определяющими ортопроектор Q , и нормалями к сфере.

В § 13 исследуется алгебра, порожденная операторами Бицадзе и'^сочно-непрерывными коэффициентами, описана также случай многообразия с краем. Отметим, что в отличие от общего случая псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем, алгебра символов здесь имеет только конечномерные (размерности 2) представления.

•. В äвключительком § 14 главы II кратко описан ряд других конкретных операторных алгебр,""описываемых методами главы II.

Глава III идейно продолжает исследования главы II. В ней изучаются алгебры, порожденные абстрактным сингулярным оператором S ( S1 = I , ,Sa.1 -а.S - компак-

тен для непрерывных функций о- ), операторами умножения на непрерывные на некотором компакте ЬЛ функции и (унитарным) оператором взвешенного сдвига

(WvK*) » wU) vCoi^a,

где оioo - диффеоморфизм М на себя.

Хорошо известен классический одномерный случай ,<: М простой гладкий замкнутый контур, S - одномерный сингулярный оператор с ядром Коши.

В § 15 рассматривается случай, когда сдвиг удовлетворяет условии oiLötens ъ . Исследование ухе этого простейшего случая обнаруживает, по сравнению с одномерным случаем, _ принципиально новую ситуацию. Главный из результатов (непредсказуемый с точки зрения изученного одномерного случая) состоит в том, что алгебра символов (точные формулировки 'будут даны ниже) реализуется как алгебра непрерывных * Ч матриц-функций на некотором множестве TTrt^ (<= М * Lo il ), вырождающихся в блочно-диагональные матрицы в граничных точках отелем.» Ы) и C№*fii) . При этом оказывается, что два ( в какой-то степени противопоставлявшихся) случая одншерйой теории сдвигов сохраняющих или изиеняодих ориентацию, в точности соответствуют этим вырождениям. Значения символа в точках VA * Ы соответствуют одномерному .случав сдвига,сохраняющего ориентацию, а в точках М * (4} -случаю сдвига, изменяющего ориентацию.

Часть результатов одномерной теории получила при этом естественное толкование в бшше общей ситуации. •

Итак, пусть а ijlhhi х s и V** X. Обозначим через («= М ) множество неподвижных точек сдвига . Цусть'далее es^-sptfs-'WS'W.) есть существенный спектр локального представитель оператора £>-WSW в точке ¡¡tM и ■ ■

| ■. . >e ««-«^ Cs-WsW)J,

д• { tllizJi . у * сз-wsw)}

1л

} Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. - М.: Наука, 1977.

Введем

ТК-т- - г

г

Через обозначим алгебру всех пар ® , где

б^еССШр , <ЕЛ) , КцбССГи^^ с^) , для которых выполнены следующие условия:

1) при Ci.-t) 6TtiftLl)A\P.i}* fo ill матрица

блочно-диагональна с л*Я- блоками;

2) при (л-ОсОтт^ п CP,**fo}> матрица а) дигональна, при i\ « t тк.^ п С ^ х f ti) матрица

блочно-диагональна с одинаковыми блоками;

3) значения и ^ связаны следующим образом ( A^U) = A^Ufij» )

-iîï О \ О -iJI ч>Д о о

о iJî о /

где

j ftt о о

\

4) при еПцг»х foi}) матрица х) диагональна;

5) для точек ^е кк^. при % (где % е ) имеет место предельный переход v

N. « V"1 * Д/ бхт . ЛГ1 =

«-•Y - *-J»'ï -

0

я. '

л г. , 4. + /ПТ j

ГД9

jL + jf^i О О ^L-nTlII

-I Jl-TL^I о . \ о -Ц

Nil -■(Тч о viiWTI о о о iVTwCT/

• Норму в алгебре G5 введем следующим образом

Пег«-* { №б*гС II t Ä <УД О,-л}

я,

где - наибольшее собственное число матрицы«?*6"*, (^-А,2-). Описание алгебры символов алгебры 35. = & NO, W, порожденной всеми действующими в Ц,г С М) операторами вида

atx) X . Л(яеССМ) , "W и S , дается следующей теоремой.

Теорема 15,8 Алгебра символов CR алгебры

Oi=®.CCCMh"W, "э- ЗО изоморфна и йзометрична алгебре Й . при их отаздествлении гомоморфизм

ft^Vn •• (Л -=» Ь^Ул 01

порождается следующим отображением образующих алгебры

& :

svjvn яда!

Ч о а(ъ, ) '

j <*+£*) а.с*> О о

q_£ч) a„ft> о о

о о с\+1\) -ала)

о о -а.сю а

здесь а+С:>> jLa<4> +at-*(h)ll . ft-t*) = | Lcuo

вдь^-

С о ■

(* х) 6 ОПТ,

(Ч -О « ,

Дл/хй^Т; 1-4. 4 -¿>/1ГГГ1) -¡\ftii~t)

Следствие 15.9 Для того, чтобы произвольный оператор Д алгебры ££' бшг нетеровым необходимо и достаточно, чтобы его символ был обратим, т.е. всюду на пг^

с1е-Ь Ь^уп А Ф О.

В § 16 приведен и рассмотрен до конца ряд модельных примеров, в"которых оператор ?> реализуется оператором Бицад-зе. Рссмотрены сдвиги имеющие цустое, дискретное и континуальное множество неподвижных точек. '

В § 17 рассматривается сдвиг третьего порядка (V ="!). Этот случай, как и случай более общей группы сдвигов, не может быть рассмотрен в общей ситуации до конца. Дело в том, что при описании локальной алгебры в качестве подзадачи возникает задача описания групповой алгебры дикой группы Йд^Йд.* ~ свободного произведения трех циклических групп второго порядка. В случае сдвига второго порядка (§ >5)

соответствующая группа ручная и имеет ввд -* , групповая алгебра которой является алгеброй, порожденной двумя ортопроекторами. Выбор какого-либо конкретного оператора 2> (в параграфе это инвошоция Бидадзе) привносит дополнительные соотношения в групповую алгебру, которые позволяют закончить исследования. Возникающий при этом новый момент состоит в том, что вид символа (а пе только область его определения, как в абстрактной ситуации § 15) зависит от взаимных свойств оператора Б и сдвига. Построения иллюстрируются конкретными примерами.

В главах ЗУ {§§ 18-26) и У (§§ 27-32) изучаются общие алгебры вида Л') . Одновременное допущение разрыв-

ных функций в алгебрах з? и ¿В приводит к тому, что центр алгебры символов становится скалярным. Тем самым применение локального принципа делается невозможным. Исследование алгебр "ЧТГй; 35) поэтому естественно распадается на два цикла: алгебра гД - классическая, алгебра ¿Ъ состоит из разрывных функций (глава ЗУ) и алгебра 4 состоит из разрывных функций, алгебра © - классическая (глава У). В главах 1У и У охвачены широкие классы разрывных сингулярных интегральных операторов и порождаемых ими алгебр. Результаты для двойственных по Фурье алгебр Р - ^ СЛ ; Л) при этом с очевидностью следуют из полученных в работе результатов. Поэтому отдельно такие алгебры не рассматриваются и результаты для них не формулируются.

Изучение алгебр с разрывами по двойственной переменной открываются в главе ИТ двумерным случаем. Начиная с работы И.Б.Симоненко^ в самостоятельное направление выделилось изучение бисингулярных операторов - тензорных произведений одномерных сингулярных операторов. Изучение проводилось в основном в рамках т.н. билокального метода, основаного на тензорной структуре объектов. Эти исследования обладали определенной самостоятельностью и никак не были связаны с

4| Известия ВУЗов, Математика, 1974, № 2, с. 115-120

классической'теорией многомерных сингулярных операторов. В то же время, скажем, в рамках пространства Х/а СИ?.1) эти операторы имеют общую природу. В простейшем своем варианте они представимы в виде для однородных степени

нуль функций ик) в Ш.2" . При атом функции непре-

рывны на Э1 в случае двумерных сингулярных операторов и кусочно-постоянны (порождены ^ и - для

бисингулярных.

Естественно поэтоьу расширить объект исследования. Считать однородную степени нуль функцию ¿(V) , во-первых, кусочно-непрерывной на в1 , а, во-вторых, выделенные точки разрыва (± 1 ,11 ) заменить произвольными. Добавляя в качестве'образующих (к операторам вида ) операторы умножения на функции из с получим алгебру, естественно объединяющую и расширяющую изучение как классических двумерных сингулярных операторов Михлина-Кальде-рона-Зигцунда, так и бисингулярных операторов. Описанию . этой алгебры и построению её алгебры символов посвящен § 18, в § 19 проводится вычисление индекса нетеровых операторов рассматриваемой алгебры.

Переход от двумерного случая к случаю высших размерностей возможен в нескольких направлениях. Пусть>¿4) -характеристическая функция некоторого конуса V в с вершиной'в начале координат, V- . В §§ 20-21

изучается алгебра СИ ^ ■ являющаяся расширением матричной (уу»хт ) алгебры классических многомерных сингулярных &ператоров¥СС£Пг*Ь НСссв"'1.))) в^с помощью ортопроек-тора Р^ = Ре е», , - единичная матрица из . Здесь через НСс обозначена алгебра однородных сте-

пени нуль функций в Г ^ сужение которых на единичную сферу а*"4- непрерывны, К"« Ш.*1 и .

Пусть"ЬСУО предполагается, что многообразие гладкое и замкнутое (коразмерности I). Если через НС^сСв*1"4,обозначить алгебру всех однородных степени нуль функций в , сужение которых на в"4"4" принадлежат алгебре ВС Са*"1, Л) функций непрерывных в ^^ и имеющих односторонние предельные значения на Л , то, как

легко видеть СССГОГ), ЦСРССв*'^))) ® <Ет

Построение алгебры символов алгебры проходит с использованием локализации по точкам 5"4 . Для точки X через обозначим вращение пространства около на-

чала координат, при котором ось . становится сонаправ-ленной с вектором внутренней нормали к границе конуса V" в точке ^б^сйЛЛ . Вращения выбираем

таким образом, чтобы матрица-функция юс определяющая была непрерывна на Л . Через С>у4 ^ обозначил оси, в которые при вращении О(к) переходят основные координатные оси О*; , ¿-Г^ . Для точек пространства Пг.и будем употреблять запись

-Су-^ , Я*,*,а •■•.

Через Ь обозначим замыкание разрезанной по ¿с сферы Б*"1" (компакт максимальных идеалов алгебры Рс С а*"1: Л) ). Каждая точка и X перейдет при этом в две точки е б^^ПЛТ и V , соответствующие дзум предельным

значениям функций из в точке . Введем

т. = »Г-* ^ и .

Через 35.СССПО , обозначим алгебру, „действующих в

одномерных сингулярных интегральных операторов вида

р+ р- * К.

где Р* • ¿(1 * , £ 5 , К - компактный

в 1/1С К) оператор. й '

Пусть © есть совокупность всех непрерывных на ЧП/ вектор-функций 6 вида л

с < VI е < ^ ч> е *• ь""1

5 " С^ц,. г* Р+ * с^,,Р. + ИСа,ч

' для которых выполнены следующие условия: I) при каждом $ * Й с,А Су^ С <.ЛЛ8*Ц",)= С С

3) пусть И , тогда

Относительно покомпонентных операций и нормы

«вц* множество^ является С^-алгеброй.

Основным результатом § 23 является следующая

Теорема 20.4 Алгебра е> (0„ изоморфна и изомет-рична алгебре символов в^ (Л^ алгебры . При их отождествлении гомоморфизм

порождается следующим отображением образующих алгебры íi*:

здесь ас*) е CÜCL*)® €ы , HCPC(Sh-%í))® С», .

Следствие 20.5 Для того, чтобы произвольный оператор А алгебры был нетеровым необходимо и достаточно, чтобы его символ syw, А был обратим, т.е.

.( «Ui S**. А) < } О , С у, «с *

операторыСь^у* АК г \ О обратимы в алгебре а.(С<(1); Sg^ ® Сл, при всех Сзе> *>е ШГ^хХ.

Вычислению индекса нетеровых операторов алгебр СЛ^ посвящен § 21. Отметим, что рассмотрение матричного случая

2) для * ь ¿ Щ«>, >s> « о.

üyvn ; -> 'S'yv» ® W»

•и

(w\>i ) связано со значительными трудностями. Б процессе ¡вычисления индекса приходится гомотопировать невырожденные матрицы-функции с нулевой системой частных индексов (вместо не обращающихся в нуль функций в скалярном случае wi.d. ).

Помимо самостоятельного значения интерес к алгебре вызван её приложением к многомерным теплицевым операторам, связанным с радиальными трубчатыми'областями, результаты о которых приведены в § 22.

Терия многомерных теплицевых операторов в принципе сложнее и гораздо разнообразнее одномерной теории. Объясйяется это особенностями строения областей голоморфности в многомерном случае. Аналогия с хорошо изученным одномерным случаем сохраняется лишь для теплицевых операторов, связанных с простейшими областями голоморфности - строго псевдовыпук-лдаи областями с гладкой границей. Для не строго псевдовыпуклых областей результаты получены в отдельных случаях. Новым этапом в теории теплицевых операторов в строго псевдовыпуклых областях стали недавние работы ^ по теплицевым операторам с псевдодифференциальными предсимволами.

Результаты § 22 (и далее § 25) объединяют и развивают с одной стороны исследования Ч.Бергера, ЛКобурна, Г.Упмае-ра по теплицевым операторам, связанным с классическими областями Картана и операторам типа свертки в конусах (И.Б. Симоненко, П.Мали и Дк.Рено), а с другой - результаты Л.Дуте де Монвеля и В.Гийемина.

Подробнее, пусть V - выпуклый острый замкнутый конус в l*1 , такой, что проекция на Si"*4 сопряженного конуса "V* имеет гладкую границу. Введем радиальную трубчатую область Tst* i Vc <D ц соответствующее пространство Харци Ца CTV) . Оператор Р* F"4* является ортопроектором Сегё пространства на HACTVJ . ' Поэтому алгебра Ф*, содержит, как подалгебру, алгебру >

Boutet de Uoavel L., Guillemin V. The epeotrnl theory of Toepliti operatora. Princeton Uni*, prese, 1991. Guillerain V. Intégral Iq-, Operator Theory, 1984, r. 7, no. 2, p. 145-205.

порожденную действующими в Й^ тешшцевнми операто-

рами!^» Н» А (Р^ --Рее» ) с матричными псевдодифференциальными нулевого порядка предсдаволами А £

^ ® С», , результаты по алгебре

приводятся в § 22. В §§ 23-25 изучается почти-периодический случай. Здесь расширяются на разрывы по двойственной переменной результаты работы При изучении используются методы алгебр фон-Деймана и обобщенная теория Нете-ра (М.Бройер). В § 25 результаты предыдущего параграфа прилагаются к почти-периодическим тешшцевым операторам. В дополнении к главе 1У (§ 26) кратко описан общий случай разрывной алгебры СЬ " и* алгебры ^ С с с ), (Ь) . В заключительной главе У изучаются алгебры вида («Я, НСССЬ4'1))) . » где Й - некоторая алгебра разрывных функций, содержащая СШ") . Здесь дополняются и развиваются некоторые результаты работ Б.А.Цламеневского и В.Н.Сеничкина.-

В § 27 описана общая схема изучения алгебр типа Ч/ для различных ^ . Изучается алгебра $ »»КЯ; Н (С(е>*"Ъ)), порожденная всеми действующими в ((к41) операторами вида

где а.су)« 4 , С«) Р ,

Обозначил! совокупность всех операторов & такого вида через йЮС®.*1) . Условие с(.Ьц) <= $ обеспечивает возможность применения локального принципа. Локализация проводится по точкам х.б В*" ,

Если хв есть точка непрерывности для всех функций из ев , то в точке х» имеет место следующая локальная эквивалентность асх")~ ас*„) , и поэтому . При этом оператору А»31 в алгебре будет соответствовать функция л(^) и*) , иь1"1 .

йсли >ц> - точка разрыва для функций ас*) « й , то описаний алгебры а <*„) существенно зависит от характера

СоЪитп L.A., Moyer B.D., Singer 1,11., Acta Math., 1973» v. 130, no. 3-4, p. 273-307.

разрыва, т.е. от структуры алгебры ¡И . Предполагается, что разрывы функций а<»д с $ сосредеточены на гладких ориентируемых подмногообразиях Г^ коразмерности к в К.** (к» Ги-1 ). Через обозначим норлальное

пространство к Гц. в точке у 0 .В каждой точке Г* разрывы функций ася е $ локально сосредоточены, на самом деле, в окрестности нуля пространства <*<.) . После локального распрямления Гк в окрестности точки х<> алгебра •Л принимает ввд Яо^весю^"). в точке имеет место локальная эквивалентность

й ч 4с*а)0 СС1®С; Ск,).

Здесь через £х») обозначена алгебра, составленная из локальных представителей в точке Об В^ОО функций, входящих в й<*.) . Считаем далее, что разрывы коэффициентов а с») в точке х0 таковы, что функции из Яго< сх0; однородны степени нуль в . Таким образом

5 (Л (Я^ Схо) : ЬЮСт*)),

причем функции из Сх») зависят только от к аргументов точки хс Ю.** йЧх.) цщ*'1*. Специально подобранный унитарный оператор ; Х^СВ» дает возможность разделить переменные и в алгебре . Оказывается, что

бю с ее») с с & с тч ® сс

Здесь через 0 5(81*.) обозначена алгебра непрерывных функций в компактификации бесконечно удаленной сферой.

Однородность функций из Д^сх,,) влечет

тт* Сй^сх.) в с-1^,) и*«- = в С1 с..,,

где - некоторая алгебра операторов, действующих в

а. со* тт^зи^оо; а»осйу')) «а^ с

О лес sea*)-, ^с*)) © сс aCCSCR");

Таким образом при любом варианта описываемых разрывов функций ас» ( ^ сосредоточенных на , локальная' алгебра символов реализуется как алгебра непрерывных на с*"""*- оператор-функций со значениями в Ж.СС §>(©>.); j)<J*<o). Специфика разрывов при этом отразится лишь на конкретном виде алгебры операторов с*.} . Условия нетеровости операторов из 31 в любом случае будут формулироваться в терминах обратимости операторов из алгебры ¿ЖсбС®*); . Тем самым возникает задача описания алгебр вида OUCSCE."}; ákC>0.) для *.е Г* ), которая связана уже с конкретизацией вида разрывов функций-коэффициентов CU») Ч. $ .

В §§ 29,30 (модельные случаи) и § 31 (общий случай) описана алгебра Ч?СЙ; НСС(s*-4)) , ¿"которой функции из •Я допускают разрывы однородного типа на гладких ориентируемых непересекающихся подмногообразиях Г*, различных размерностей. Относительно других алгебр разрывных функций в конце § 27 сделаны краткие замечания.

В дополнении (§ 32) кратко описана алгебра, порожденная двумерными операторами в плоской .области и операторами комплексного сопряжения. Полученные результаты обобщают и упрощают результаты ряда работ А.Джураева. Интерес к таким объектам вызван их приложениями в теории краевых задач для дифференциальных уравнений составного и смешанного типов.

В дополнении (§ 33) приводится один пример, показывающий применимость методов диссертаций при изучении краевых задач для пседдодифференциальных уравнений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОШ

I. Василевский Н.Л. Символы операторных алгебр // Докл. АН - СССР.-1977.-т.235, *1. - с. 15-18.

2. Василевский H.JI. Алгебры символов для некоторых классов

банаховых алгебр операторов // International Conference

Functional-Differential Syatema and Related Tópica, Foland, Abstracta, 1979, p. 74.

3. Vasilevski H.L. Banach Algebras Generated Ъу Some Ттго-Dimensional Integral Operators // Instituto of líath. Polish Academy of Sciensea, ffarssawa, Preprint 199, 1979, - p. 1-35.

4. Василевский H.JI., Трухильо Р. О -операторах в матричных алгебрах операторов // Докл. АН СССР. - 1979. -т.245, » 6. - с. I289-1292. " "

5. Василевский Н.Л.,"Трухильо Р. К теории Ф -операторов в матричных алгебрах операторов // Линейные операторы. Кининев: Штиинца, 1980. - с. 3-15.

6. Василевский Н.Л. Банаховы алгебры, порсвденные некоторыми двумерными интегральными операторами. I // Math. Hachr. 1980. - B.9S. - с. 245-255. "

7. Василевский Н.Л. Банаховы алгебры, порожденные некоторыми двумерными интегральными операторами, II // Math. Hachr. •- 1980. - в.99. - с. 135-144.

8. Василевский H.JK К теории" символов 'для банаховых алгебр операторов, обобщающих алгебры сингулярных интегральных операторов // Дифференц. уравнения. - 1981. - т.Г?, й 4. - с. 578-688.

9. Василевский Н.Л., Спитковский И.М. Об алгебре, порожденной двумя проекторами // Доклады АН УССР, Серия "А". -1981. - & 8. - с. 10-13.

10. Васйлевский Н.Л. Об 'алгебре, порожденной двумерными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами // Докл. АН СССР. - 1983. -т.271, № 5. - с. 1041-Ю44.

II.Василевский Н.Л. О нёкбторых алгебрах, порожденных пространственным аналогом сингулярного оператора с ядром Коши // Докл. АН СССР. - 1983. - т.273, ИЗ. - с.521-024,

12. Василевский Н.Л. 05 алгебре, порожденной абстрактным сингулярном оператором и сдвигом Карлемана // Сообщ. АН ГССР. - 1984. - т.115, № 3. - с. 473-476.

13. Василевский Н.Л. Об"одной алгебре, порожденной многомер-

ными операторами Винера-Хопфа.// Доклады' расширенных заседаний института прикладной матем, им. И.Н.Векуа, Тбилиси: Б.и., 1985. - т.Х. - с. 59-62.

14. Василевский Н.Л.' Алгебры,"порожденные многомерными те"' плидевыми операторами о кусочно-непрерывными предсимво-

лами // Научные тр. юбилейного семинара по краевым задачам, посвяц. 75-детию со дня рожд. академика АН БССР Ф.Д.Гахова. - Минск: Белорус, ун-т, 1985. - с. 149-150.

15. Василевский Н.Л. Двумерные операторы'ТЛихлина-Каладеро-на-Зипдувда и бисшнулярные операторы // Сибирский матем. журнал. - 1986. - т.ХХУП, »2.-0. 23-31.

16. Василевский Н.Л." Банаховы алгёбры, пороаденные'двумер-ными интегральными операторами с ядром Бергмана и кусочно-непрерывными коэффициентами. I. // Известия ВУЗов, Математика. - 1986. - Л 2. -"с. 12-21.

17. Василевский Н.Л. Банаховы алгебры, порожденные двумерными интегральными операторами с ядром Бершана и куг сочно-непрерывными коэффициентами. II // Известия ВУЗов, Математика. - 1986. - № 3. - с. 33-38.

18. Василевский Н.Л. Алгебры, порожденные многомерными сингулярными интегральными операторами и коэффициентами допускающими разрывы однородного типа // Матем. сборник. - 1986. - т.129, * I. - с. 3-19.

19. Василевский Н.Л, Об'одной алгебре, порожденной теплице-выми операторами с псевдодифференциальными нулевого порядка предсимволами // Докл. АН.СССР. - 1986. - т.289, А I. - с. 14-18.

20. Василевский, Н.'Л. Многомерные сшнулярные интегральные операторы с коэффициентами, допускающими разрывы однородного типа // Сообщ. АН ГССР. - 1986. - т.124, » I.-С. 41-44. "

21. Василевский Н.Л. Об одной алгебре, связанной о тешш-цевыми операторами в радиальных трубчатых областях // Известия АН СССР, серия матем. - 1987. - т.81, Л I. -с. 79-95. '•