Некоторые двумерные сингулярные интегральные операторы с подвижными и фиксированными особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК ГРУЗИИ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ.А.РАЗМАДЗЕ

На правах рукоплси

ПШЬХ0Д1А ДХАНГИБЕКОВ Некоторые двумерные сянгулярше интегральные операторы с подвижныка и фиксированными особенностями

01,01.03 - Математическая физика

01.01,01 - Математический анализ »

АВТОРЕФЕРАТ .

диссертации на соискание ученой степени доктора физшсо - математических наук

ТБИЛИСИ * 1993

♦

Работа выполнена в К'атех-атическом институте с вычислительным центром АН Таджикистана

О'пцгллъше оппоненты: 1. В.А.Пааталгвили- доктор гизеко - математических неук, профессор;

г.Г.Ф.Гяядлсавпдзе - доктор г^изико - штештическюс наук,

ПрО(;!бССОр;

З.Н.В.Мярошин - доктор гизико - математических наук, профессор.

Еааита диссертации состоятся 1993г.

в »"/4 « часов на заседании Научно - аттестованного совета /-М 01.01. С й 1-2 Математического института им. А.Разгздве АН Грузии ( 380093. Тбилиси, ул.Рухедзе I, тел.365977 ).

Ознакомься с диссертацией могло в научной библиотеке Института;—--—-------_

Автореферат разослан " ^ « 1993г.

Ученый секретарь л

научно - аттестационного совета / /Р.Аблулаев.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1

АКТУАЛЬНОСТИ ТЩ. Широко известно, какую важнуо роль в различных вопросах математики и её приложение шрает научное направление, связанное о теорией многопарных сингулярных интегральных операторов (С.ГЛйхлин, А.Кальдарон, А.Зигмунд, Е.Ы.Сте&н, Т.Г.Гегелиа, И.Б.Сишненко, Р.В.Дудучава, А.Джуравв, НЛ.Ваои-левский, И.И.Кпмяк в др.). Отметим, в частности, что необходимые и достаточные условия нётеровоотн многомерных сингулярных интегральных уравнений на многообразиях о краем в пространстве

получены И.Б.Симоненко с помощью цредложенного им локального принципа. Эти результаты были обобщены Р.В.Дудучаврй на случай цроотранств Л! и'У/р при 1 Р¿«о . Однако, как указывает сам И.Б.Симоненко, найденные уоловая, сформулированнно в терминах частных индексов матрицы символа оператора, но являются эффективных!. В работах Н.Л.Василевского установлена н8-теровость двумерных сингулярных интегральных операторов в С в терминах обратимости систем одномерных сингулярных интегральных уравнений. Рад исследований по сингулярным уравнениям в двумерном случае, проведен А.Дхураевым. В предположениях гладкости коэффициентов, путем сведения х краевым задачам для эллиптических дифференциальны^ уравнений, им получены достаточные условия нётеровости в I» , р7 2. , и формулы для индекоа некоторых классов Двумерных сингулярных интегральных уравнений по о1раниченной области. Надо сказать/ однако, что полученные им теоремы,, как правило, также мало эффективны, ибо содержат ; матрицы, реальное построение которых весьма затруднительно.

В связи с исследованиями по дифференциальным уравнениям о .сингулярными коэффициентам« Л.Г.Михайлов ввел в рассмотрение класо интегральных операторов о ядрами однородными порядка ■ - Л ( п - размерность пространства) инвариантными отнеси-

тельно вращений и удовлетворяющими определенному у слове» суммируемости. Им.установлена ограниченность таких операторов в серил банаховых пространств со степенный весом и разработан метод редукции к снотеиам одномерных уравнений, позволявший получить теоремы Нётера в формулы индекса.

Из сделанного краткого обзора с очевидностью следует актуальность задачи исследования двумерных операторов, содержащих как сингулярные интегралы, тех и операторы с однородными ядрена указанного типа. Кроме того, в плане нахождения эффективных уоловяй нЗтеровости и формулы индекса, представляет интерес а расо&аирэиие классических сингулярных интехральных уравнение с непрерывными козффгдиентсиа, включающих в частности, двумерные операторы, которые как показано в известной монографии И.Н.Босу а, щрают важную роль в теории обобщенных аналитических функций а квазиконформных отображений.

Рассматриваемые в работе двумерные интегральные операторы содержат как интегралы с подвижной (сингулярные) осо-

бенностью, так и кнтегралы с однородными суммируемыми ядрами, имеющими фиксированную особенность порядка ( -2 ), причем коэффициенты при сингулярных ннте1ралах имеет в конечной числе точек существенные разрывы вида | ,

- целые числа. Такие операторы важны также и в плане применения к исследованию краевых задач для эллиптических систем

дифференциальных уращшний с сингулярными коэффициентами. Они_

имеют тагаге точки соприкосновения с некоторыми вопросами, исследуемыми в работах С.Г^Самко, Н.К.Карапетянца, а.П.Солдатова.

ОСНОВНОЙ НЕЛЫО диссертации являэтея исследование новых типов двумерных операторов, представимых в виде сумма сингулярных инт91ралов по ограниченной области, инте1ралов с ядрами Бергмана и интегралов с ядрами, однородными порядка -2, удовлетворяющими условию суммируемости, с коэффициентами при сингулярных инте1ралах, имеющими существенный разрыв в конечном числе точек. Ставится задача установления эффективных необходимых и достаточных условий нётеровости и получения формул для вычисления индекса. Кроме того, исследуется вопрос получения эффективно .формулируемых результатов для некоторых важных

классов двумерных сингулярных интегральных операторов о непрерывными коэффициентами.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

а) Найдены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости довольно широких класоов двумерных сингулярных интегральных операторов с. непрерывная! коэффициентами по охрани-, ченной области в Лебеговых пространствах о веоом в виде неравенств, содержащих алгебраические операция над коэффициентам операторов; даны формулы дяя вычисления индекса операторов через приращение аргумента вдоль границы области некоторых конкретных функций,,которые даются посредством алгебраических операций над коэффициентами; выделены случаи обратимости указанных операторов, когда коэффициенты постоянны, а в отдельных случаях получены формулы обращения.

, б) Изучены двумерные операторы, представимые в виде (¡уют сингулярных интегралов, интехралов с ядрами Бергмана и интегралов с ядрами, однородными порядка -2, удовлетворяющими условию суммируемости с коэффициентами при сингулярных интегралах имеющими существенный разрыв1 в коночном числе точек, для которых получены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости в лебеговых пространствах о весом и формулы для вычисления индекса. Интегральные уравнения о модельными операторами рассмотрены в более широкой серии банаховых пространств функций. Для них подсчитаны числа решений однородных уравнений и числа условий разрешимости неоднородных; в ряде случаев решения однородных уравнений выписаны в явном виде, т.е. дана полная картина разрешимости указанных уравнений.

в) Построена теория Н8тера некоторых клаосов двумерных сингулярных интегральных операторов со сдвигом Карлемзна.

г) Получены новые результаты по краевым задачам для эллиптических систем уравнений в ча'стных производных как в регулярном, так и в сингулярном случаях, а. именно: найдены необходимые и достаточные условия иётеровостз.и формулы индекса для задачи линейного сопряжения решений вллиатичеоких систем дифференциальных уравнений общего вида о коэффициентами, имеющими особенность первого порядка, проведена гомотопическая классификация общих эллиптических систем дифференциальных уравнений

второго порядка о двумя фувкцнят от двух перагганкцх и получены оЙак?ПЕнио необходимые с достаточные условия нётеровостп и фор-ли индекса задач ДирихлеиКейлаша.

Полученные результаты, связанные с нахождением условяй н8-тероЕоота в £ориуд для вычисления иидохса интегральных операторов, шгу? найгн, наряду о указанными в пункта г), а другие при-к:зигппл и теориидифференциальных уравнений.

ДП?<ТВАШЯ р/ВОТН. Основные результата диссертации докладывались: на Ресяубляканской научной конференции но уравнениям матекатичэсксС Слзкки (Дусанбе, 1983г.); на Роспублякааской конференции ьюлодцх ученых к спорна листов Тадаикистапа (Душанбе, 1977-1982 гг.); на конференции по интвхралыши уравнениям в прикладном кэдалзфоваили (Киев, 1986 г.); на Всесоюзной сиыаозяу-

"СоБреманныа проблема цатеьшткчзской физики" (ТбилисЕ,1967г.); на Всесоюзной конфоранцяа по теория с прЕдамвиям фувацЕопадьЕо-дг^фзреш^альных уравнений (Душибе, 1387 г.); па расширенных заседаниях семинара ШШ иа. И. Н. Баку а (Тбилиси 1985 г., 1983 г., 1930 г.); на шкоде конференции по походам комплексного анализа л катмральши уравнениям (Сухуми, 1987 г.); на РеупубдЕсанской конференции но некотором Ерялоизапяи функционального анализа п теория дифференциальных уравнений (Дупавбв, 1990 г.); на Республиканской кон^еранциз по дифференциальны;.! уравнениям в их сри-доеоеея (Куля6, 1991 г..); на иэддукародпом склюзиукз яо механика в родстван1;ьш сь^.^за (Тбшшод, 1091 г.); па-

влзздународной конференции со дифференциальным и интегральные уравнениям (Сатира, 1992 г.).

С сообщениями о результатах диссертация автор выступил на селшарах: член-корр. АН Республики Узбекистан Ш.А.Алвхова (Ташкент); члеи-корр. АН Республики Узбекистан А.С.Садуллаева (Ташгзнт); проф. С.Б.Стечккка (Москва); проф. А.Г.Костюченко (Москва); проф. А.А.Шкаликова (Москва); проф. Б.С.Виноградова (Москва); проф. Э.Ы.Ыухамадиева (Душанбе); проф. К.Х.Бо'^това (Душанбе)}проф. П.И.Дизоркина (Кооква).

Результаты диссертации миогократио докладывались и обсуждались на семинаре по .ДЕ$$еревдвалишгн к изтехральтм уравнени-

руководимом акадеьпшом АН Республика Таджикистан Л.Г.МихэЙ-

юекм.

ГОЫШШЩ. Ооношша результата диссертации опубликованы > работах [1-25] • Статья [б! , ЦсП , 1,15] , 1211 иаппсапн i соавторство п их результата принадлежат авторам в равной глэре.

СТРУКТУРА И ОВЬЕМ МСС1УТАНИИ. Диссертация состоит из введения я четырех глав, разбитых- на 16 параграфов со спвсзно! нумерацией. Общий объем работа (за пскличанкеа списка литературы) ¡оставляет 308 страниц (лзпнр.описного текота. Список литературы ¡одержит 123 наименования.

С0ДЕ?2АНИЕ * РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по тема диссор-гацил п приводятся ооновныа результаты работы.

Первая глава, состоящая из сеш параграфов, посвящена лзу-*8ншэ некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области о непрерывными коэффициентами, получены эффективные необходимые и достаточные условия нйтеро-вости указанных операторов в пространства и ( 1 г- Р <■ ) с везем в виде неравенств, оодерзшщях алгебраические операции над коэффициентами оператора; даны формула для вычисления индекса зператора чероз.. приращение аргумента вдоль границы Г области

3) некоторых конкретных функций, которые даотся посредством алгебраических операций над коэффициентами; кстати, необращенно этих функций в ноль вдоль границы Г составляет граничные условия нетеровости соотвествующих операторов. Особо выделяются случаи обратимости указанных операторов, когда' коэффициенты постоянны, при этом иногда удается получить формулы обращения. Результаты этой главы применяются в последующих главах.

В §1 рассматривается следующий проотейший сингулярный интегральный оператор

С А? )(*> = <*«>{«> + ««> С Б? )с«+«*) (Ь{)су, *с©,<1)

где'

- 8 - . -

- конечная одяоовязная область комплексной плоскости, огра-кичениая простой замкнутой {фквой Ляпунова Г ; Л , в , С -

- комшикснозначныа непрерывные в Ю= SD V Г функции;

функция Грана для оператора Лапласа, ciS^ - злэ-ыонт плоской мэры Лебега. .

В связи с применением к теории обобщенных аналитических функций И.Н.Векуа рассмотрел оператор А при условии CUj = О.

lß(iUl7 l€(?Jl, 2€о0 и im основе цринципа сжатых отображений . показал, что опзратор А имеет ограниченный обратный в CS)) прп р достаточно близких к 2. Далее А.Джураев в цредположении а, б, с е сча))Л с^сй; показал, что условия IcuMi^iecsui, , йш + сшфо, teT ,'доота-

точны для иёторовости оператора А в I» (S) • 2 ^ Р^а? с что кздакс оператора А равоа 83 = - 2 Cinci р СС-О^). В

случае круговой области в предполохенни лишь кепреривнооти ковф-фщиоатоз\К.И.Ко!йтк показал, что указанные виаз услошя необходимы к достаточна для нбторовости оператора Д е L , •(¿Р*«?.

В §1 указанные розультаты Ддураэва-Кмгяка распространены на случай восоеого пространства

tei^'feu = Fc«)c Lp«>), Hfll^J »Flljpj.

гдо —1У*- 031_Q^fic g. и одаоедязной области <9 (тооре-

ш I.I). . •

p В §2 np*i тех se продпологвниях относительно области S). в L p-v/p («О.) рассматриваются операторы вида

.mn- al + G Sfi + с ß + ciß + еBfCt ^ÖK + TV (2)

где а i С , cl - непрерывные в 5) функции, f -

- вполне непрерывный оператор, 5 = К В К , ( Kf X2J = feij • Следует заметить, что по:.якэ' отмеченного выше частного случая А.Ддураев и .И.И.Комяк такге исследовали в L СЮ) частный случай оператора "3t , когда 6 = 6 = ^ S О . нами рассматривается алгебра , порожденная всеми- действующими в пространства L£-г/р С5)) СР^оэ , 0<ß< 2 ) операторами "ЗЗХ из (2) н доказывается, что всякий оператор из Ä. представ-

ДЯ9ТСЯ В В2ДЗ

д _ а1 + в$К + сЬ + с<&+еЬК + <*Вк + Л5ВК +

где есэ коэффициенты ноп^орывш! в «5) , а оператори 23К, ЬЗК, > ЙВ . В£> шэи особенность па грапздо Г области Л) . Доказана

ТЕОРЕМА 2.1. Дат того, чтобы произвольный оператор Д из алгебры Ж. был нёторозим в пространство Ь р-г/р ОФ.), 1 Я, ч необходимо и достаточно, чтобы

1аш I Ф |вСО! пр2 2€Я) , сС<11 Ъс-к) Ф о пря Г,

где

/ ащ-ьссо ___\

0(4)= ( аои + с?с5 ).

При выполнении этих условий индекс оператора Д из (3) равен

В теореме 2.2. дается обобщение результатов тэоремн 2.1. 1фомэ того, при в н О я постоянных коэффициентах О. , С , о( , О. , получена явная формула для решения уравнения С'ЗГС-Р ВСЯ.) (теорема 2.3).

Параграф 3 посвящен исследованию оператора

• А=«1 + 8К + (сЬс(К)$+Се1 + йК)5' + + С*1 + *Юй+Ш + ' (4>

в пространстве Ь^^-а/р# Гд0 все коэффициенты являются непрерывными в Ш функциями. Операторы вида (4) играют важную роль в теории обобщенных аналитических функций (И.Н.Векуа) и широко применяются при изучении "раз- . личных краевых задач для эллиптических систем уравнений первого

с второго порядка на шюскоотк (И.Н.Ввкуа, Б.Боярский, В.С.Виноградов, А.Джураев), Поэтому получение эффективных условия яётеро-соста и формулы для иадекса оператора из (4) представляет практически интерес. Однако ранее, помимо отмеченных выше частных случаев, такие результаты не были получены. В отличие от предыдущего параграфа алгебра операторов вида (4) не имеет конечного представления в поэтому здесь применяется другой способ. А именно, согласно результатам Р.В.Дудучавы выписывая матрщу-символ оператора А , сначала устанавливаем, что её неварозденность оквавалантна выполнении трех езаимоисключащих неравенств над коэффициентам» оператора А (декада 3.1). Затем в соотвествин с втешсходяый оператор эквивалентны» образом редуцируется к более простим операторам и находятся необходимые к достаточные условия при которых нх символа факторцзуются с нулевыми частными индексами. Для вычисления индексе оператора (4) он представляется в взде композиции обратили операторов и операторов, изученных в §2..

В итоге получены эффективные naoбходаше ж достаточные ус-яовкя иатеровостЕ оператора А в L jj.a/p^"®^ в виде неравенств, содержащих алгебраические операции над коэффициентами операторе (теорема 3.1). Показано, что индекс оператора равен поделенному на 3Í црцращена» аргумента вдоль границы области <§)

^уя^яй, яр-.ю построены в рэдэ алгебраических

операций над коэффициентами. Приведем для простоты результаты в частном случае, когда оператор А имеет вед

' Д^ al + вК+ Ccl + oíK)S. . {5)

ТЕСРЩ 3.2. Дяя кётеровостн оператора Ал в L р~г/р 00) ¿ 1 р с со , О¿ р< 2 ) необходимо и достаточно выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий:

1Д,СУМЛ(!и1 + , VíL€c9, (6)

j4t«)to, Vit?. (7)

При этом, если выполнено (6), то оператор Д., из (5) имеет огра-

- II -

ниченный обратный, а при выполнении (7) его вндеко равен

zJnclгJчг(^.),

где здесь приняты следующие обозначения

Д1=1а|1-181г, Л4 = |с1*-|о<|1, Л^ас-всГ, ^млёГ-З"с.

В §4 в пространстве 1?р-4/р(.0.) С 1*Р<оо, иссле-

дован оператор

СА?.)С50= ас«{со + в со С + <8>

ГД9 - „„ .-аств

«О

^ - целое отличное от нуля число, 5т а К К ;

& + БуВБ*, «ели »14-1.

Ьт =

т-1 _

b+SSvBSy, если т?/1,

(WI-I

Следует отметить, что при óO ~ ^ I5l<¡tj оператор Вт нами был введен и представлен ранее в виде интегрального оператора с ядром ¡

и нетрудно показать, что совпадает о функцией, изу-

чавшейся впоследствии А.Дяураевым и названной поли-керн функцией. Прежде всего непосредственными вычислениями устанавливаются важные свойства операторов и Dn-i : I) о^

2) операторы sm Bw, BwSh, . Bm8m, Bí,-Bm»

при (nK)O компактны в u £„a/p(JO,) (леммы 4.1, 4^2).

Затем доказывается . • .

таивцА 4.1. пусть в (8) ас*), бои, ее*; пвпрерив. вы в с© . Тогда

1) если выполнены условия

1аа)1 1всг; I, ас-о+сшньо, Г, о)

I р

то одоратор кз (8) нётеров в С^р-ссо, о^^г^к

ого индекс

[а.1^ (ас<;+ сш) 3 Р ;

«/С 1

2) если наругается хотя бы одно из условий (9), то оператор Д не-икает в р-г/р пи левого, ни правого огра-плчзиних рёгуллрззаторов.

В частном случае, когда ¿0= {Я-' ^ Л, €,С -

коАгтлоконоэначныэ постоянкыэ члсла, тогда для оператора А из (В) получен более дательный результат.

УЕСРГ-'А 4.3, I) Прп любых сааченвях коэффициентов а , С , С и таких, что |а I 4- ¡61 -г 1С | О , урсЕненав

/41 = 9 <1°>

пэрь^адьно разрел^о в 1,Р р- г/р > "К Р<са, о^рсг.

2) Для того, чтобы уравнеккэ (10) ари любом свободном чяо-В8 аз и'р-г/рС^и шало еданстЕЭн;:ое рспзн::е, необходимо с достаточно, чтобы выполнялись условзл

_|а 1^.161, а; Су о-_(II)

При этом решение (10) имеет вгд,

3) Если нарушается хотя бы одно из условий (II), то однородное уравнение (10) и сопряженное однородное уравненкэ будут и;.:зть бесконечное число линейно-незавгссшх решений.

§5 посвящен исследованию оператора^

А = а] + € К + (с Ь оС (С ) 2 I + К) (12)

где все коэффициенты в (12) непрерывны в конечной одкосвязной области 3) (с границей Ляпунова Г ) Функций. Исследование оператора ез (12У ведется по следующей схеме: сначала в про-

|Р -

отранстве L^.^Cß) (l* Р-<«о. o*p<2 J изучаетоя алгебра операторов вида (12) при в«Ся>)л=о (h=.i,2,..., m ) . Эта алгебра является расширение!! алгебры изученной в §4, в по той хе схеме получены для нее необходимые к достаточные условия нётеровости в терминах коэффициентов из (12) я дана формула для вычисления индекса (теорема 5.1). Затем оператор А эквивалентным образом сводитоя к более простым операторам изученного вида, к которым далее применяются предыдущие результаты, и таксы образом, устанавливаются условия нётеровостн к формулы для индэхса общего оператора из (12) (теорема 5.2).

В §6 изучен сингулярный интегральный оператор

А* ааА +ввс*Ж+ Z' «,«>SVK: . (13)

vs- m.

где штрих у знака суммы означает пропуск члена с номером о , а §) - ограниченная область комплексной плоскости, граница Г которой состоит из конечного чиола простых замкнутых кривых Ляпунова, не пересекающихся меаду собой, К и W- - целые положительные числа, . а<г> , - непрерывные в функции. Доказана

ТЕОРЕМА 6.1. Для нётеровостн оператора А из (13) в LTji-2/p (£}.) необходимо и достаточ-

но выполнение одного из двух (исключающих друг друга) условий

tacDl? IZ eywtv|f htl=1, (I4)

< , ,f-fc/=i и аа)Фо когда N= 3nd ZI 4°, УгеГ. (I5)

,€l=1 vr-w,

При этом, если выполнено (14) или (15), где , то ин-

декс оператора А из (13) равен нулю, а если выполнено (15), где t4 * О I то ' : ' •

В заключительном параграфе 7 главы I рассмотрена система сингулярных интегральных уравнений вида

ас*}?<ъ)+ 5 + +

J Г- г. (Iе)

где N - нагудалькоэ число, fX.Cz), &тСЪ), ССЫ, сСс^) _ непрерывные е сЮ квадратные матрицы-функции порядка К . Заметим, что В.С.Виноградовым рассмотрена частная система (16) при N=1, С ~ сС = О , СХ= 1 в связи с исследованием гранично 6 задача и построены регуляризаторы для (16) в 1Г (£>,) при Р , близких к двум, и показано,что индекс сястелш равен нулю. В §7

получзнк необходимые и достаточные условия нбтеровости системы (16) в пространство 1> (¿0) в эффективной фор.чо и дана формула для вычисления индекса (теорема 7.1).

Во второй главе (§§ 8-12) работы в весовом пространстве

впервые изучаются двумерные операторы, представимте в вддэ сум«ш сингулярных интегралов по ограниченной области, интегралов с ядра.\и Бергшиа 2 интегралов с ядрами, однородны;,ы порядка -2, удовлетворяющими условию суммируемости. При этом коэффициенты при сингулярных интегралах содержат кно.тлтоль _( , и.-целое число), который к.\;сзт существенный разрыв в точке £ = О Г ИШ'ьрес к рассмотрению-

подобных операторов в простейшем случае возник под влиянием работ Л.Г.Михайлова, где исследованы некоторые двумерныэ интегральные операторы с ядрами, однородными порядка -2 и построена их ' . теория разрепишетк в случае круговой области.

Сначала в описываемой главе изучаются специальные модальные интегральные операторы, которые несут в сабэ всю информацию о влияния разрыва коэффициента и оператора с однородным ядром на разрешимость исходного оператора. Исследование ведется методом, который напоминает метод разделения переменных из теория дифференциальных уравнений, т.е. ищется ресение опе-

раторного уравнения в виде ряда Фурьа, относительно полярного угла = агд г :

- 15 -

« гя

Ссы = £ ^суе'** , СУ . Л-

о

Применительно к суммируемым однородным ядрам эта методика разработана Л.Г.МихаЯловым. Исходное модельное уравнение редуцируется к бесконечной совокупности интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье с ядрами, однородные порядка -I. Специально доказывается, что найденная из этих уравнений система функций - образует совокупность коэффициентов Фурье некоторой функции из пространства о весом. Получены необходимые и достаточные условия нётеровости модельных операторов я вычислен их индекс. Затем исходные операторы представляются в вида композиции модельных операторов и операторов с непрерывными коэффициентами, в итога получены необходимые и достаточные условия нётеровости исходных операторов и вычислен их индекс. Получены также операторы с несколькими особыми точками.

Особое внимание уделяется тем частным, случаям, где удается подсчитать число решений однородных уравнений и число условий разрешимости неоднородных; выписываются эти реиения в явном виде, т.е. дается полная картина разрешимости указанных операторов.

В §8 которым начинается вторая глава рассмотрен следующий сингулярный интегральный оператор

д- асу I + еои А К+ с«)в+Гн](17)

где здесь а. , б , с - непрерывные в функции; конеч-

ная односвязная область, ограниченная простой змкнутой !фивой Ляпунова Г и содержащая внутри точку 2 - О ; У1 - цэ~ лое число, операторы Н) задаются по формулам I

Qi

- измеримые ограниченные функции, имеющие пределы

e¿m Q.(o,oJ :

J J

- измеримые по всей комплексной плоскости функции, причем ■ £ у

Я {-^jCerjЦе»Г ofs^^oo , j=t.a; {I8)

I6KOO J

P - некоторое число из интервала (0,2).

Характерной особенностью оператора А из (17) являетоя, то, что он содержит как интеграл с подвижной Z (сингулярной) особенностью, так и интегралы с неподвижной <?=о особенностью, причем коэффициент при сингулярном интеграле имеет в точке &=0 существенный разрыв вида

tx - ^елое число. Как выяоняется, наличие этого разрыва существенно влияет на нётеровость и индекс оператора А .

В одномерном случае интегральные уравнения с суммируемыми однородными ядрами порядка (-1) изучены в работах Л.Г.Михайлова, Б.И.Бильмана, Р.В.Дудучава, Н.К.Карапетянца и С.Г.Самко. В работах Р.В.Дудучава и Т.НЛацабидзе, А.П.Солдатова изучены одномерные уравнения с подвижной и неподвижной особенностью. В частном случае, когда , SCi) -CCi) - <0=0

—теория разрешимости ура в-,. нения Af=§ с оператором Д из (17) построена Л.Г.Михайловым.

В §8 сначала доказывается вспомогательные утверждения об операторах S , S с разрывом (Z/lit)* (леммы 8.2, 8.3) Затем в серии банаховых пространств функций V : L £-г/р > Üp-a/p » § » CUP^co, р - число из (18) изу-

чается модельное интегральное уравнение

САо?)ш a aw Z(Z) + eco) (i ) n( s fjco +

(h ГХ Н;?>> + Q¿o, ó; (H2°f) ^

где

¿и

Уравнение (19) редуцируется эквивалентным образом к конечной совокупности одномерных интегральных уравнений относительно коэффициентов искомой функции по полярному углу с ядрами, однородными порядка (-1), к которым применяются результаты работ Л.Г.Михайлова и Б.М.Бильмана. Таким образом установлены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости уравнения (19) в серии банаховых пространств функций V и получена формула для индекса уравнения (теоремы 8.2, 8.3).

Затем для изучения исходного оператора из (17) доказывается лемма 8.4 о факторизации оператора Д . ЛШЛА 8.4. Имеют место представления

А=/\оД1+Т1, А=Аг/\о + Тг.

где Т^ - вполне неперывные в [Гр-г/р С£)) операторы, а Дд и Дг имеют вид простейшего оператора с непрерывными коэффициентами который изучен в §1 главы I. Теперь, зная результаты для операторов До , п Аг на основе известных фактов теории линейных операторов получены:

ТЕОРЕМА 8.4. Для того чтобы оператор А из (17) был н§-теровым в СЙ)) ( 1 р±аэ , £ - чяс5ю из (18)),

необходимо и достаточно выполнение условий

а) /вс*.>| лря а« Д сш^о прж ¿е Г,

б) * ° > , К= По, «о-м...... N0 >

причем индекс оператора А равен

Мо

ае=- иЛпс(„ (аи) + сы) + г Ц Зпс1

1 к = -сооггаэ

-ооос^а?

где . если и. четно, и = £ . если - нечзт-

яо; По= */2. , если п. четно, п= /г , если к.

- нечетно, а функции , р ) ямеют ввд:

где

У+г^+ьХ кгкет <

= ctco; + Q.Co,o)tt e°"SсгГ^,

|61 ¿¿О

= C«53 + QtC°,ojf{ gxCeJecW| fff^iiStf

tffjMO '

1? - целое число,

ТЕОРЕМА 8.5. Если условия а), б) нарушены, то оператор Д , не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регу-ляризаторов в li £_а/р •

Цри некоторых частных случаях функций KjCff^ для оператора Д получены раздельные формулы для подсчета Ж"'' -числа линейно независимых решений однородного уравнения и St' -

- числа условии разрешимости неоднородного ураъшшш—Л^ - %-

(теоремы 8.6, 8.7). В случае -р^Св".) но найде-

ны необходимые и достаточные условия нормальной разрешимости

Л о Я - % < подсчитаны числа Sß.+ и аб- в зависимости от значений коэффициентов cico) , 6C0J /показателя^ : ои параметра м. j выписаны в явном виде базис решений однородного уравнения и условия разрешимости неоднородного уравнения (теоремы 8.9 - 8.12). Для иллюстрации приведем фор-мулщювки результатов для уравнения

Ради удобства введем предварительно некоторое обозначения.Через -X обозначим величину (бСсо/а^р; / ( О.Со)$о} ц- целая

часть числа Ск-1) /2, ;

=• \/1 — апо^и/ск+^х к-^-п+з;1

ГД0 к7/Мо , К* -1 ; через ,/<„ СЛ;

обозначил число, равное для <=• 1 количеству значений К , при которых СЮ -А , а для -Л71 равное ко-

личеству значений К , при которых С А) ; если

п7/-0 ц О Ь 1 или я г ,

то введем

32»/Л) -

" - При Д^-/,

при Л7* и л^сл/*-^1.

\ ПРИ Л7 1 И =

если м.7,0 и Или и

то введем

ч.

при и ^//иузсл; $

■ ЯгС^н п при и ^уСМ = ^пп При ■

ТЕОРЕМА 8.12. Пусть ч.сг) , бег; . ссг; непрерывны в <3} и СХ.Со) Ф О . Для того, чтобы уравнение (17°) было нё'торовым в С «О.) С14Рс«, необходимо и достаточно выполнение условий

1) \ac2Ji Ф 1ёси1 , яш+с^фо,

2) Л 4 Я^Лк;, К-целое, ус7,Ло, (СФ а ^

причем индекс уравнения (17°) равен

аг=-Я (яш -1-е«;^ + .

Для рассматриваемого фиксированного _р> : О <^3^2. однородное уравнение (17°) имеет одни и те репчння во всех пространствах С.¿03 , а сопряженное однородное уравнение з «О; , Р«*» •

- 20 -

Если условия I), 2) нарушены, то оператор из левой чаоти (17°) на может иметь ни левого ни правого ограниченных регуля-ризаторов в Ь^-а/рС©-)-

В §9 получены обобщения указанных результатов на операторы, полученные из (17), добавлением слагаемых типа оператора Бергмана (теорема 9.1), а также операторов К и в (теорема 9.2).

Параграф 10 посвящен построении теории ГОтера уравнений, содержащих оператор с экспоненциальной характеристикой четного порядка , оператор с поли-керн функцией Вт и операторы о суммируемыми однородными ядрами Из :

+ ( ) + сс^ С6т *)с*) +

+ + (20)

где Кп - целое число, <ХС?; , 6 С*; , СС& - непрерывные в «Ц-Г функции. Также, как в §8 сначала изучается модельное интегральное уравнение (теоремы ЮЛ, 10,2), затем на основе атого и исходное уравнение (20). Получены более конкретные результаты для уравнения (20) в некоторых частных случаях функций (?,&.) (.¿-Л,!-) (теоремы 10.5 - 10.8). Указанные результаты в §11 обобщаются на более общие операторы вида Д :

А = («ь в (4 г 'к + осе + ¿г |.К) ^

-V |3 ал -V ^ к) + У'Ч к + Нг •

В §12 рассматриваются двумерные сингулярные интегральные операторы, представите в вида суммы сингулярных операторов о нёсколькими точками разрыва в коэффициентах и операторов с ядрами имеющими фиксированные особенности в нескольких точках:

А-асгЛ+ ("Йгг, ) + сс*;В+

'■-4,2 ) Л = г,...-) |тл ^ ^ _ внутренние точка области <3. Прегдо всаго доказывается следующая

12.1;, Для оператора Д из (21) имеет место представление , . , . д -гА- АоА^А,......А*, + Т.

где операторы Д^ ( л = ', 2.,- ■• ■, гп ) имеют фиксированные особенности л.'пзь в одно! точке 2.= «Ху , оператор Д0 язл>:атся сингуляриыч оператором с нэлрерывн!;"л корффгщизнтЕмч:

Л, = ПоСг)1 + '¿оСа) & К + Са(г)В , а Т -г.полнэ нэпрс-ризнцЯ оператор. На основа :;тоЯ леммы и результатов предыдущих параграфов получены необходимые и достаточнее услогкя :г;тероЕостя опораторг /\ из (21) в лебеговом про-

LD

1 с веста и гччзелен лндекс (теоремы 12.1, 12.2).

Глава 3 (§§ 13, 14) поевкцена псследокжзо некоторых классов двумерных ечнгулярнах интегральных операторов со сдвигом. Кг?" известно (Г.С.Лятвинчук), теория Нётера одномерных сингулярных илтогралъных операторов со сдвигом хорошо развиты. Что касается двумерных сингулярных интегральных операторов со сдвигом, то, по-видимому одна работа авторов В.В.Дудучава, А.Сагл-напвяли, Е.М.Шзргородский является горным в этом напрззленки, где получены условия нётеровости простейшего двумерного сингулярного интегрального оператора со сдвигом, явлшцэйся конформным отображением области на себя. Пусть - однолистное конформное отображение односвязной области 5) на себя, удовлетворяющее условию Карлемана = Яг .в §13 в весовом пространстве Ц^-а/р СД).) С{¿р^со, О рассматривается следующий оператор

А» а1 + + (с 1 + К +1 (VЛ^кВДД,

11 К=1 *

где «-, в, & , сС, • С К « 1, а , — .»»> ) нецрерыв-

ные в Ж квадратные матрицы порядка П , )С%) = £(<<(%))• X - вполне непрерывный оператор. На основе свойств операторов $т , к нз главы I и о помощью непосредственных вычислений устанавливается, что операторы типа (22) составляют алгебру Л . Доказана

ТЕОРЕМА 13.1. Для того, чтобы оператор Д вида (22) из алгебры $1, был нётеровым в пространстве р-я/р (©.) ¿.со, о^рсг.) необходимо и достаточно, чтобы

Цри выполнении этих условий индекс оператора А равен

где патрицы М(50 , , (Л) имеют вид

/асы ёс*.> \ ^ /с с г;

т м '

- ,,, /'аш+Т.УкШ \

*=./' т I. --V £№0+ 21 сшш) -V- Ц —

В §14 изучается алгебра, порожденная поли-керн операторами со сдвигом. В скалярном случае интегральные операторы

В с ядром Бергмана /О'^^1^^)

где - однолистное конформное отображение области 3)

на единичный круг изучались Н.Н.Комяком, А.Джураевым, Н.Л.Василевским. Так Н.Н.Комяком получены необходимые и достаточные ус; ловия нётеровости и вычислен индекс оператора ОС Г в В в случае, когда - единичный круг с центром в начале координат, а коэффициенты Л , в , С. являются непрерывными в <Ю функциями. А.Джураев рассматривал указанный оператор в случае, когда о£) - конечносвязно, а коэффициенты принадлежат классу

!,(£))/} СчСЙ.), оН.Л.Василевским исолвдовава алгеб->а, порожденная в пространстве 1_г интегральным оператором ! операторами умножения на кусочно-непрерывные в £Г функции. 3 §14 рассматривается банаховая алгебра - порожденная все-ш операторами вида

ас*Я, К. Ы, В.к, 8К , Ск = г,г.....т),

?дэ ЙС*.) - непрерывная в конечной односвязной области й) «эмплекснозначная квадратная матрица-функция порядка Ух , I - единичный оператор ) С*) = , где .ему -

ущолистное конформное отображение или антиконформное отображе-12е области <© на себя, удовлетворяющее условию Карлэтана <<(аССа.)) 3 2- . Установлена

14.2. Алгебра совпадает о совокупностью опера-

горов вида

А = сг«)1 +

+ 2 (с*сыЬ ¿/««Д^т +0и*Л Т,

где Т - вполне непрерывный оператор, ЙСй), бег,),

(к= т ) - непрерывные в <© квадрат-

*ые матрицы-функции размерности К . Далее доказывается необходимые и достаточные условия нётеровости операторов указанного зида и алгебры и вычислен индекс (теорема 14.1).

Заключительная глава 4 (§§ 15, 16) посвящена приложению юлучоннах результатов по двумерным сингулярным интегральным эператорам к краевым задачам для эллиптических систем уравнений. Известно (И.Н.Векуа, Б.Боярский), что построенная обширная геория систем эллиптических уравнений первого порядка на плоскости в регулярном случае, т.е. когда коэффициенты системы при--подлежат пространству СЭ) » Р?2 > позволила хоро-ао изучить соответствующую задачу линейного сопряжения. Когда ке коэффициенты системы имеют, например, особенность первого юрядка, то построение такой теории затруднительно и в этом злучае изучена (Л.Г.Михайлов) лишь обобщенная система Кошл-Ри-лана при определенных условиях малости коэффициентов в особой гочке, причем оказалось, что тогда для задачи сопряжения сох-

раняютсл все теорем регулярного случая. Впоследствии эти исследования 3.Д.Установим были продолжены при иных условиях малости.

В §15 рассматривается задача линейного сопряжения решений эллиптических систем дифференциальных уравнений с коэффициентами, имеющими особенность первого порядка. Пусть <2)+ - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограничонная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку 2= О , а ¿0' - дополнение ов* V Г до полной плоскости. Обозначим через "2X1 - множество функций

РСг^ принадлежащих Ьр-п-а/р (¡ОУ Л ,

где ре. со , (>¿£¿1 , ^ ~ любое фиксированное целое число. Это означаэт, что функция РС2.) имеет з Я)+\0 обобщенные производные % > и 1с1р'"'а/рУСг.> €

ЗАДАЧА. Требуется найти решения уравнений

- %(2^ + ? + У - , ¥»€

ъ=о,е€2Г, при /¿.^со (гз)

имеющие непрерывные граничные значения удовлетворяющие на .условию____

1P+«J = cC,<i)p-a) + fi0CU f'Cbi , i 6 Г , (24)

где - измеримые ограниченные в «S4 функции, имеющие

пределы f¡0í2-> = , J = 1, 3 ; -непре-

рывна , причем l$C-i)¡c. 1, , ^COJi-O.,

6 llfi.n+1.2/p . функции o<of-é; и j9o«J на

P удовлетворяют условию IcLoUJl$ lfi0C-t)¡.

Поставленная задача эквивалентным образом редуцируется к сингулярным интегральным уравнениям, изученным в §9 главы 2. Доказаны

ТЕОРЕМА 15.1. Пусть ¿.оШФо при *« Г и СХ; J * О при ж = о, 1, 2,... , N , ~со<к<со, где

кп1*- +

Тогда для разрешимости задачи (23), (24) необходимо а достаточно выполнение равенств

ЙеГГ Зш^о^гг.о. ,г ,

где - пробегает базис решений однородного сопряаеиного

уравнения в

ТЕОРЕМА 15.2. Индекс задачи (23), (24) равен , Мв

-2 ТЗ^ Ы ф0Сх1Р),

тг1 -со£Х£п -солхсга

если /с(вС<Л-?|рвС^| , -беГ;

(Чг1 -СЭСХС.СО

где - число линейно-независишх решений однородной задачи.

В §16 рассматривается общая эллиптическая систем уравнений второго порядка, комплексная запись которой имеет вид

_ , _ (25)

+ е^ + с,!^ + =

где иг= ЦСх,а)+ ¿Л*-,у.) коэффициенты в (25)

являются непрерывными в ограниченной односвязной области <5) функциям.

Показано, что мнохоство всех эллиптических систем (25) разбивается на три класса гомотопий, которые соответственно опксыв-вавтся тремя неравенствами над коэффициентами (25). Отметим, что типичными'представителями этих гомотопических классов являются уравнения с оператором Лапласа = ; урав- .

венге Л.Е.Бкцадзе = <г-> и сопряЕэпное уравна-

ие0 а.В.Бщадза уу.^ с 23со . В соответствии о этим

основные краевые задачи, т.е. задачи Д1фихде в Неймана для система (25) приводятся к двумерным сингулярным интегральны;.! уравнениям, изученным в §3, и применение полученных там результатов дает Е$фективныа необходимые и достаточные условия нётеровоотн указанных задач и формулы для подсчета индекса.

ЗАДАЧА ДИРЮСТЕ. Найти непрерывные решения системы (25) в области ¿3 из класса \УраС£)> , >г^Р<со , удовлетворяюще на границе Г условии

РУи>|г а О . (26)

Доказана

ТЕОРЕМА 16.1. Для того, чтобы задача Дирихле (26) для эллиптической системы (25) была нётеровой, необходимо и достаточ- : но выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий

Уге-Э; . "(27)

. . , -,(28)

(29)

При этом, если выполнено (27), то задача Фредгольмова (т.е. её лндекс равен нулю); если выполнено (28), то'индекс задачи равен

если выполнено (29), то

.где здесь . •

¿tz ic,*-icti* jn^aX-Uc ,ßi=-f>d-eс, A3 = üe-€ß, MC«) Re .

■wy>miM Усг/а/MCiy» СС/|И A'W?»,

1 7

L üjiQto.

Отмэтем, что указанные задача ранеэ рассматривались Б.В.Боярс-ким для гомотопического класса, содержащего оператора Лапласа, причем при более жестких чем здесь условиях на коэффициента я с псисчьз принципа сжатых отобраг.аниЯ показ с:: а ях (¿рэдгольданостъ.

ОСНОЕШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССИПАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

I'. Ддснгибэкоз Г. Исследование разрешимости одного двумерного сингулярного интегрального уравнения с комплексно сопряженной неизвестной функцией //Докл.АН ТадкССР.-1978.-т.21 .-- т.- с.з-8.

2. Джангабэхов Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнэниЯ, содоржаартх комплексное сопряжение искомой функции //Докл.АН ТадаССР.-1981.-т.24.- №2,- с.80-85.

3. Джапгибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений с экспоненциальными характеристиками в ядро //Докл.АН ТаджССР.-1981.-т.24.- JS7.- с.399-404.

4. Джангибеков Г. Формула обращения для одного двумерного сингулярного интегрального уравнения //Докл.АН ТаджССР.-1984.--T.27.- №5.- с.243-248.

5. Дяангибеков Г. Решение одного двумерного сингулярного интегрального уравнения //В сб:: Интегральные уравнения в прикладном моделировании. Тезисы докл. 2-ой Респ.научн.техн.

конф.-Киев.-1986.-ч.2.-о.89-90.

6. Бильман Б.М., Джангибеков Г. Об условиях нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений о разрывными коэффициентами по ограниченной одноовязной области //ДАН CCCP.-I986.-T.288.- *4.- с.792-797.

7. Джангибеков Г. Нётеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов //Докл.АН ТадаССР.-1987. -т.30.- *7.- с.400-405. .

8. Джангибеков Г. Исследование одного двумерного интегрально-:

, го уравнения // В сб.: Тезисы докл. Всвсоюз.конф. по теории в прилож. функционально-дифференциальных уравнений.-Душанбе, 1987. -Ч.1.- с.107-108. ,

9. Джангибеков Г. О нётеровости и индексе одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффи-

- циентами //ДАН СССР.-1988,-т.300.- *2.- с.272-276.

10. Бойматов К.Х., Джангибеков Г. Об одном сингулярном интеграл-льном операторе //Успехи матем. ваук.-1988.-т.43.- В.8.-

- с.171 -172.

11. Джангибеков Г. О нётеровости и индексе некоторых- двумерных сингулярных интегральных операторов //Докл. расшар.засед. семинара ин-та прям.матем. им. И.Н.Векуа,-Тбилиси,1988.-т.З.- Щ,- с.60-64.

12. Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интеграль-иых операторах //Матем. заметки.-1989.-т.46.- В.5.-с.91-93.

13. Джангибеков Г. О нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных инте1ральных операторов .// ДАН СССР.-1989.-

; т.308.- с. 1037-1041., •

14. О нётеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных ин--. тегральных операторов // В сб.: Линейные операторы в функциональных пространствах. Тез. докл. Северо-Кавказской регион.конф.-1розный.-1989.- с.53-54. .

15. Бильман Б.М., Джангибеков Г. Об условиях нётеровости и ин-' дексе некоторых особых двумерных интетральных уравнений

.// ДАН CCCP.-I990.-T.312. с.15-19.. ч 16. Джангибеков Г. Нётеровость и индекс одного класса двумерных сингулярных интегральных операторов //ДАН СССР.-1990.-т.313.

- . »3.- 0.541-545.

17. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР.-1990.-т.314.-»5.-с.1055-1059.

18. Джангибеков Г. Об условиях нётеровости и формула для индекса одного класоа двумерных интегральных операторов //Докл. расшир. засед. семинара ин-та прикл. матем. им. И.Н.Векуа.--Тбилиси.-1990.-т.5.- *1.- с.50-53.

19. Джангибеков Г. Задача линейного сопряжения решений эллиптических систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами на плоскости //ДАН СССР.-1991 .-т.317.-И.- с.813-818.

20. Джангибеков Г. Штеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов //Изв. ВУЗов матем.-1991.-*1.- с.19-28.

21. Бильман Б.М., Джангибеков Г. О некоторых системах двумерных сингулярных интегральных уравнений //ДАН СССР.-1991.-т.318.-

- »5.- с.1033-1037.

22. Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных инте1раль-ных операторах со сдвигом //Матем. заметки.-1991.-т.49.-

- с.150- 152.

¿3. Джангибеков Г. Об алгебре, порожденной поликерн операторами со сдвигом //Докл.АН ТаджССР.-1991.-т.34.-№7.-с.399-405.

24. Джангибеков Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах со сдвигом //Докл.АН ТаджССР.-1991.-т.34.-

- №9.

25. Джангибеков Г. Об условиях нётеровости и индексе некоторых . двумерных сингулярных интегральных операторов //ДАН СССР.-

-1991.-т.319.-М.- с.811-815.

26. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных, операторов с несколькими фиксированными особенностями //ДАН СССР.-1992.-т.322.- И.- с.22-27.