Приближения решений одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Губайдуллина Рената Камилевна

ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат 005010757

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математнческих наук

1 МАР Ш

Казань - 2012

005010757

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Габдулхаев Билсур Габдулхаевич

Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент Агачев Юрий Романович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кац Борис Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент Шакиров Искандер Асгатович

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Запита состоится "22" марта 2012 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.ЗЗТ.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан февраля 2012 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет".

Ученый секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Е.К. Липачев

I Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие прикладные задачи физики, механики, математической физики, в частности, контактные задачи теории упругости, некоторые задачи теории дифракции, теории статики и теории трещин приводят к многомерным интегральным уравнениям с полярными ядрами и ядрами типа Михлина-Трикоми-Жиро.

Первые значительные результаты по исследованию свойств решений таких уравнений и участвующих в них интегралов в двумерном случае появились в работах Ф. Трикоми, Ж. Жиро, С.Г. Михлииа. Они, в частности, получили формулы дифференцирования соответствующих интегралов, формулы для композиции слабосингулярных и сингулярных интегралов и нашли случаи решения уравнений в замкнутой форме. В дальнейшем эти результаты были развиты в различных направлениях: распространение на случай евклидового пространства произвольной размерности; исследование уравнений, заданных в произвольной ограниченной области и на многообразиях с краем; изучение свойств интегралов с обобщенными слабосингулярными ядрами и свойств решений уравнений с такими интегралами; «¡следование в пространствах Лебега £р, 1 < р < оо (возможно, с весом) и весовых пространствах Гельдера вопросов разрешимости соответствующих равнений.

Систематическое исследование многомерных интегральных уравнений с олярными ядрами и с ядром Трикоми-Михлина^Жиро в случае задания равнения на всем евклидовом пространстве и на ограниченном замкнутом -тожестве этого пространства проведено С.Г. Михлиным и изложено в его гзвестных монографиях. В случаях открытого ограниченного множества сследование свойств решений многомерных слабосингулярных интеграль-ых уравнений и некоторых классов сингулярных интегральных уравнений 'одержится в монографиях К.Е. Аткинсона, Г.М. Вайникко, И.К. Лифано-а и Л.Н. Полтавского, С.Г. Михлина и С. Прёсдорфа, Г.С.Кита и М.В. Хая, .В. Войкова (см. также библиографию в них).

К настоящему времени теория для уравнений с полярными ядрами и ядами типа Трикоми-Михлина-Жиро хорошо разработана. Из этой теории кдует, что за исключением частных случаев такие уравнения в замкну-ой форме не решаются. Поэтому как для теории, так и, в особенности, ля практики важное значение имеют разработка приближенных мегодов ешения соответствующих многомерных сингулярных интегральных урав-

нений и исследование вопросов их разрешимости.

Вопросами приближенного решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикоми-Михлина^Жиро занимались С.Г. Михлин, С. Прёсдорф, Г.М. Вай-никко, Б.Г. Габдулхаев, A.B. Самохин, Й.В. Бойков, их ученики и последователи. При этом значительное число работ посвящено итерационным методам решения указанных уравнений и лишь небольшое количество работ - построению приближенных решений с помощью прямых методов, таких, как: методы Галеркина и Ритца, методы коллокаций и квадратур на базе сплайновой аппроксимации. Однако, несмотря на сказанное, в этой области всё ещё остается ряд нерешенных задач. К ним, прежде всего, следует отнести следующие: нахождение новых достаточных условий разрешимости уравнений; построение в определенном смысле наилучших итерационных методов; разработка простых вычислительных схем прямых методов со строгим теоретическим обоснованием. Данная диссертационная работа в некоторой степени восполняет этот пробел.

Целью настоящей диссертации является разработка со строгим теоретико-функциональным обоснованием приближенных методов решения двумерных слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений в круге и исследование вопросов разрешимости соответствующих уравнений. При этом под теоретико-функциональным обоснованием, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач:

а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения;

б) установление оценок погрешности приближенного решения;

в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости;

г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Методика исследования. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов существенно используются теория приближения функций многочленами и сплайнами, общая теория приближенных методов анализа, а также результаты из функционального анализа и теории сингулярных интегральных уравнений. При этом подходы и рассуждения, применяемые в работе, основываются на использовании результатов и методик исследований, предложенных в работах научного руководителя.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В работе установлены достаточные условия однозначной разрешимости двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и сингулярных интегральных уравнений с ядром Трикохш-Михлина-Жиро. Для исследуемых уравнений дано теоретическое обоснование вычислительных схем ряда итерационных и прямых методов их решения; в частности, получены эффективные оценки погрешности построенных приближенных решений в универсальных терминах конструктивной теории функций. Изучены свойства двумерного полиномиального оператора Лагранжа и предложены с обоснованием два способа вычисления двумерных слабосингулярных интегралов на основе полиномиальной и сплайновой аппроксимаций.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при разработке и исследовании точных и приближённых методов решения многомерных сингулярных и слабосиигулярных интегральных уравнений, возникающих при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых конференциях Казанского государственного университета за 2004 - 2006 гг., 2011 г., на Седьмой, Восьмой и Десятой международных Казанских летних школах-конференциях 'Теория функций, её приложения ц смежные вопросы" (Казань, 27 июня - 4 июля 2005 г., 27 июня - 4 июля 2007 г., 1 - 7 июля 2011 г.), на Пятой, Шестой и Десятой молодёжных научных школах-коиферепциях "Лобачевские чтения" (Казань, 28 ноября - 2 декабря 2005 г., 28 ноября - 2 декабря 2006 г., 31 октября -4 ноября 2011 г.), на Второй международной научно-практической конференции "Дни науки - 2006" (Днепропетровск, 17 - 28 июня 2006 г.). Кроме того, по мере получения результаты докладывались на городском научном семинаре при Казанском университете "Теория аппроксимации и ее приложения" (научный руководитель, профессор Б.Г. Габдулхаев) и па семинаре кафедры теории функций и приближений (научный руководитель, профессор Ф.Г. Авхадиев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю и научному консультанту принадлежат постановка задач и определение общего подхода к исследованиям, соответствующие результаты получены лично диссертантом.

Структура и объем работы. Работа объемом 1Ü5 страниц состоит из введения, 2 глав, содержащих 13 параграфов и списка литературы, насчитывающего 114 наименований.

II Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, приводится обзор работ по теме диссертации и дается краткое изложение полученных автором результатов.

Первая глава диссертации посвящена построению и исследованию приближенных методов решения слабосингулярных интегральных уравнений (кратко: с.с.и.у.). В ней вводятся основные пространства, в которых ведутся исследования, строятся кубатурные формулы для вычисления двумерных слабосингулярных интегралов, исследуется разрешимость интегральных уравнений с полярными ядрами и разрабатываются втлчислительные схемы приближенных методов решения таких уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием.

В §1 приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов функционального анализа, теории приближения функций полиномами и доказываются некоторые новые результаты из конструктив-нон теории функций, необходимые во всем дальнейшем изложении.

§2 посвящен исследованию двух групп кубатурных формул для интеграла с фиксированной особенностью

_ Г h(x, у)и{у)

= У г°(0, у) ~dy' XGD' 0<а<2-

D

При этом для приближенного вычисления слабосингулярного интеграла использовались результаты построения кубатурных формул специального вида для регулярных интегралов, когда областью интегрирования является круг. Первая группа, кубатурных формул построена с применением квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби г1_а на отрезке [0,1] и квадратурной формулы наивысшей тригонометрической степени точности. Кубатурная формула в данном случае имеет следующий вид:

2тг "

Тик — У] Ак У] h(p cos y?, р sin y?; Гк cos fl,-, г к sin 0,)ц(т> cos rk sin ,

Tfl ' ^

it=i ;=i

где и € C(D), Гк a Ah - узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса, а в( - попарно неэквивалентные равноотстоящие узлы на отрезке длиной 2-тг. Для построения второй группы кубатурных формул вместо классического аппарата полиномиального приближения использовался аппарат сплайн-функций, в частности, сплайнов нулевой и первой степеней. Для обеих групп кубатурных формул установлены оценки погрешности.

В §3 установлены достаточные условия существования а единственности решения с.с.и.у.

Аи = а(х)и(х) + [ ЩУЩау = /(з;), xeD, 0 < а < 2. (1) J Га[х,у)

D

Здесь (и далее) D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, х = (ж1,ж2), у = (г/ь г/г) - его точки, г{х,у) = \х — у\ - евклидово расстояние между точками х и у, h(x,y),a(x) - непрерывные, а f(x) -квадратично-суммируемая (возможно, с весом) в круге D данные функции соответственно, и(х) - искомая функция. Приведем один из полученных результатов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) функция а(х) £ C{D) не обращается в нуль ни в одной точке области D;

2) h{x,y) б C(D2); S) функция

h(x,y) + h(y,x)

9{х, У) =--ч-

г°{х, у)

разлагается в симметричный ряс)

оо fc=i

сходящийся в пространстве L2(Z?2), где {/?t(s)}iii = {Ä-(sbs2)}b=i - линейно независимая система функций из L2(D). Тогда с.с.и.у. (1) шкет единственное решение и*(х) € Li(D) при любой правой части f(x)£ L2{D) и

< ¿l/ll^toj.

где т - точная ниоюняя грань функции |а(а;)|.

В §4 предлагается эффективный итерационный метод решения с.с.и.у. (1). Исходное уравнение записывается в эквивалентном виде

и = Ви + г/, г > О,

где В — В{т) = Е — тА : L2 Lq есть так называемый оператор перехода. Выбирая здесь г из условия минимальности нормы оператора В в Lт.е. г = го = m/M2, где m - точная нижняя грань функции |а(а:)|, a константа M ограничивает норму оператора А в пространстве Lï{D), приближения к решению будем получать по следующему итерационному правилу:

ик = В(то)ик~1 + го/ = и"-1 + - Aufc = 1,2,..., € L2(D).

Доказывается, что при таком выборе параметра оператор В = £?(ть) является сжимающим отображением. Получены оценки погрешности и доказана устойчивость предложенного метода относительно исходных данных.

В §5 исследуется общий проекционный метод Галеркина решения с.с.и.у. (1). Доказана однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, и установлена сходимость приближенных решений, полученных предложенным методом, к точному решению исследуемого уравнения.

В §6 предлагаются проекционно-итератнвные методы, основанные на наследованных в §§4 и 5 итерационном и проекционном методах. Необходимость разработки таких методов заключается в том, что разрешимость системы линейных алгебраических уравнений проекционного метода возможна. вообще говоря, только при значениях п порядка системы, начиная с некоторого натурального. Поэтому при больших значениях п задача решения системы алгебраических уравнений становится трудоемкой. Проекционно-итеративные методы позволяют в определенной степени эт. проблему решить. Для предложенных проекционно-итеративных методо установлены эффективные оценки погрешности.

Среди прямых методов решения интегральных уравнений особое мест-занимает метод механических квадратур (кубатур). Это связано, прежд всего, с простой вычислительной схемой указанного метода. Вместе с тег. его обоснование вызывает значительные трудности. В §§7 и 8 нами пред латаются вычислительные схемы метода кубатур решения с.с.и.у. (1). §7 посвящен теоретическому обоснованию метода механических куб ату ]

рещения с.с.н.у. с фиксированной особенностью вида

Аи = а(х)и(х) + J Щф^-dy = f(x), х € D, 0 < а < 2,

D

где а(х),/(х) и h(x,y) - данные непрерывные функции в D и D х D соответственно. Вычислительная схема метода строится с применением одной из построенных в §2 кубатурных формул. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений

2т " m — — _

с»р + ~~ X/Ак VP' Гк> = f(ps' ^р)' 5 = "> Р = 1,m> m fc=i i=i

относительно приближенных значений {Cfc¿} искомой функции и (г, в) = = u(r cos 9, г sin в) в узлах кубатурной формулы (г^, (fc = 1, n, г = 1, т), h(p,ip;r,e) = h(p cos p,psin<p; r cos 0, г sin 0), f(p, <p) = f (p cos (p,p sin tp), ГДе {rfc} ~ нули многочлена Якоби из ортогональной системы на [0,1] с весом г1_а, {<?,;} = 2iir/m + (J,u 6 К. Доказывается сходимость метода и устанавливается оценка его погрешности в среднем. Как следствие сходимости метода в среднем, доказывается сходимость метода в узлах кубатурной формулы, а из нее, в свою очередь, сходимость в равномерной метрике.

В §8 предлагаются вычислительная схема и теоретическое обоснование метода механических кубатур решения с.е.и.у. (1). При построении вычислительной схемы метода используются результаты Б.Г. Габдулхаева и П.Н. Душкова по решению методом механических квадратур одного одномерного сингулярного интегрального уравнения. Слабосингулярный интеграл из (1) преобразуется следующим образом:

[ h(x,y)u{y) fho{x,y)u{y) . . (r{0,y)\a

™ Ч h^y)=h(x>y) [тт) ■

D D

Рассматривается новый интегральный оператор

ñ »<.<!.

D '

где s - произвольно фиксированный параметр, а ' h.(x,y) = h(x, y)ra{0, y)vs(x, y), «.(*,») = {

Тогда для с.с.и.у.

Ави = и + Т(1гяи) = f

становится возможным применить одну из построенных в §2 кубатурных формул. В результате мы приходим к вычислительной схеме метода кубатур решения уравнения (1):

2тг " т — — -_ _

с*р + ~_ Ак ]С ЇР'п' в^Сы = > і = 1, п, р = 1, ттг, (2)

т ь=і ¡=1

относительно приближенных значений {сы} искомой функции =ы(г, 0) в узлах (г/,-, 0,) (/с = 1, 71,?' = 1, то). Доказана

Теорема 8.1. Яр« определенном согласовании параметров з, п и т система алгебраических уравнений метода механических кубатур однозначно разрешима (хотя бы при достаточно больших п и т). Для погрешности приближенных решений в пространстве верна оценка

ІК - <(пт)ІІ2 < ^^ • ||и*||2 + {і3зіпт) ■ ||7|І2Л + 5пт),

* V -1 Рв(пт) ^ J

где А„ и / - оператор Ая и функция / после перехода к полярной системе координат, и = и(в, а) = Сі7 < 1, \1г(х,у)\ < С,

^ = тах J (Ф, У)~а ~ «л(я, У))<ІУ, 03{х) = {у € И2|г(ж, у) < в}, а, и

&(„т) = б7ГІ^аІІ2''|д,-і,ос(^; р)с +

і Е>П!<х(й;г)с - наилучшее равномерное приближение функции й(г,в) по переменной г алгебраическими многочлена.ии степени не выше п, коэффициенты которых являются произвольными непрерывнъши функциями относительно переменной в, Е^ Дц; 9)с - наилучшее равномерное приближение функции ы(г, в) по переменной в тригонометрическими многочленами степени не выше (і = [(тп — 1)/2], коэффициенты которых

являются произволънъиш непрерывными функциями относительно переменной г.

В §9 для вычислительной схемы метода наименьших квадратов решения уравнения (1) дано его теоретическое обоснование в пространстве L2{D).

В главе II диссертации исследуются сингулярные интегральные уравнения вида

Ли S а(х)и(х) + J 1Щ^У1иШу = д{х), в = ^ х 6 D, (3)

D '

где а(х) 6 C(D), д(х) € Li(D) - данные, а и(х) G Lz{D) - искомая функции; характеристика f(ß) € ¿i[0,2тг] удовлетворяет необходимому и достаточному условию существования сингулярного интеграла из (3) в смысле главного значения

Г №<10 = о,

J —7Г

а функция h(x,y) € C(D2) такова, что

ll-A||i2(ß)-.£,(D) <М — const < оо.

Для уравнения (3) устанавливаются достаточные условия разрешимости, приводятся вычислительные схемы ряда приближенных методов и дается их теоретическое обоснование.

В §10 устанавливаются простые и эффективные условия, достаточные для существования и единственности решения уравнения (3) в пространстве квадратично-суммируемых в круге D функций. В частности, имеет место следующая

Теорема 10.1. Пусть 6 е R,

min |а(х)| > mo — const > О

xüD

и выполняется одно из условий: а) функция /(#) является нечетной функцией и для и € ^(D)

(S-u,и) > ¿¡Ml', 5-U = \¡втщ^АиШу,

ß) f(ß) является четной функцией и для и € ^(D)

/о+ ____jr.. п2 с+ 1 Г f{e)[h(x,y) + h(y,x)] ,

(S+u, и) > 5||м|Г, S и = 2jD-Т2(х у)-<y)dy-

Если т = то + S > 0, то оператор А : Li(D) —> L^iD) непрерывно обратим и

IIA^IU,^ < m_1 < ос.

Следствие. В ус.повиях теоремы интегральное уравнение (3) имеет единственное решение и* = A~lg € L^D) при любой правой части g 6 и для него справедливо неравенство

Шью < ¿II/IU2(0)-

В §11 построены вычислительные схемы итерационных методов решения с.и.у. (3), обеспечивающие наилучшую скорость сходимости построенных приближений к точному решению, и получены оценки их погрешности в пространстве

§12 посвящен теоретическому обоснованию проекционного метода решения с.и.у. (3). Приближенное решение уравнения (3) ищется в виде обобщенного многочлена

п

= хеДпеМ, (4)

к=\

где {ф^} - полная ортонормальная система функций в ¿2(0), а неизвестные коэффициенты {■*!%} находятся из системы линейных алгебраических уравнений метода Галеркнна

п

^1кС1{Афк) = ci(g), I = Т~п, (5)

fc=i

где с;(г) - коэффициенты Фурье функции г £ ¿г(-О) по системе {фк}- Для вычислительной схемы (3), (4), (5) справедлива

Теорема 12.1. В условиях теоремы 10.1 система (5) однозначно разрешима при любых гг G N и приближенные решения (4) сходятся в ¿г(^) к точному решению и*(х) уравнения (3). При этом погрешность приближенной формулы и,*(х) ~ ип(х) может быть оценена с помощью неравенств

М

Еп{и*) < ||u* - ип\\2 < —Еп(и*), п е N,

где Еп(и*) - наилучшее среднеквадратическое приближение функции и* € Ь2(0) всевозможными элементами вида (4), М - константа, определяемая из неравенства \\A\\i^d)-^Li(d) < М.

В §13 исследуются проекционно-итеративные методы решения с.и.у. (3), построенные на основе исследованных в §§11 и 12 итерационном и проекционном методах. Согласно этому методу приближения к решению, полученному проекционным методом (4), (5), ищутся по итерационному правилу

777

К = j = 1,2,..., (6)

где Рп : Ь2 —» Хп С ¿2 - линейный проекционный оператор, Хп - линейная оболочка, натянутая на первые n G N элементов линейно независимой полной ортонормальной системы функций {фк}, п € N, а и® - произвольное начальное приближение из Хп.

Теорема 13.1. В условиях теоремы 10.1 решение ип € Х„ проекционного метода (4), (5) люжно найти как предел в L2 итерационной последовательности (6), причем для u® = (т/М2)Рпд справедливы оценки

Теорема 13.2. В условиях теоремы 10.1 единственное решение и* € Lz{D) уравнения (3) можно найти как предел

и* -- lim ип — lim lim и}п

п—*оо j—»00

в Ь-2 итерационной последовательности (6). При этом для любых n,j € N и и0п € Хп справедлива оценка

II«* - <11 < ~£„(ti') + - «Sil;

если же = (m/M2)Png, то

Приведем здесь ещё один результат для проекционно-итеративного метода решения уравнения (3), основанного на итерационном правиле

и^и^+^ід-Аи"-1), к — 1,2,----

Теорема 13,3. Пусть за начальное приближение и0 є Ь-2ІО) берется приближенное решение ип є Х„ уравнения (3), полученное проекционным методом (4), (5). Тогда погрешность к-го приближения и* —ик оценивается по формуле

\\и*-ик\\<^-Еп(и*), т

где п,к&П,ч = у/1 - ш2/М2 < 1.

Заключение. В работе получены н выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. Предложены достаточные условия существования и единственности решений двумерных слабосиніулярньїх и сингулярных интегральных уравнений в круге, приводящихся к уравнениям второго рода.

2. Для двумерных интегральных уравнений с полярным ядром и двумерных сингулярных интегральных уравнений типа Трикоми-Михлина-Жиро в круге построены вычислительные схемы и проведено теоретическое обоснование итерационных методов, общего проекционного метода Галеркина и метода механических кубатур.

3. Для двумерных интегралов в круге с полярным ядром предложены с обоснованием два способа построения кубатурных формул.

III Публикации по теме диссертации

1. Габдулхаев, Б. Г. Методы решения одного класса многомерных сингулярных интегральных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Материалы Седьмой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 27 июня-4 июля 2005 г.). - Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 30. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2005. - С. 30 - 34.

2. Габдулхаев, Б. Г. О кубатурных формулах для одного класса многомерных слабо сингулярных интегралов / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Матеріали II Міжнародної науково-практичної конференції "Дні

науки - 2006", Т. 35. Математика. - Дніпропетровськ: Наука и освіта. -2006. - С. 12 - 18.

3. Габдулхаев, Б. Г. Приближенные методы решения одного класса многомерных сингулярных уравнений / Б. Г. Габдулхаев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. — 2006.

- № 11. - С. 11 - 16.

4. Губайдуллина, Р. К. Метод наименьших квадратов решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина// Материалы Пятой молодёжной научной школы-конференции "Лобачевские чтения -2006" (Казань, 28 ноября - 2 декабря 2006 г.). - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2006. - С. 66 - 68.

5. Губайдуллина, Р. К. Приближенные методы решения одного класса многомерных слабосннгулярных интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Сб. докладов конференции, посвященной 10-летию филиала КГУ в г. Зеленодольске "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук"(23 ноября 2006 г.). - Казань: Казан, гос. ун-т. - 2006. - С. 93

- 96.

6. Губайдуллина, Р. К. Об оценках операторов Лагранжа в многомерных пространствах / Р. К. Губайдуллина // Материалы Восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции "Теория функций, её приложения н смежные вопросы" (Казань, 27 июня - 4 июля 2007 г.). -Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 35. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2007. - С.83 - 85.

7. Агачев, Ю. Р. Об одном многомерном слабосингулярном интегральном уравнении / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. - № 11. - 2007. - С. 3 - 11.

8. Губайдуллина, Р. К. Сходимость в среднем кубатурного метода для одного класса интегральных уравнений / Р. К. Губайдуллина // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", посвященной памяти академика П.Л.Ульянова.

- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. - 2008. - С. 59 - 60.

9. Агачев, Ю. Р. Кубатурный метод решения одного класса многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Ю. Р. Агачев, Р. К. Губайдуллина // Известия вузов. Математика. - № 12. - 2009. - С. 3 - 13.

10. Губайдуллина, Р. К. Метод механических кубатур решения одного

класса двумерных слабо сингулярных интегральных уравенений / Р. К. Гу-байдуллина // Материалы Десятой международной Казанской летней научной школы-конференции 'Теория функций, её приложения и смежные вопросы" (Казань, 1-7 июля 2011 г.). - Труды мат. центра им. Н.И.Лобачевского, Том 43. - Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва. - 2011. - С. 106 - 109.

Подписано в печать 8.02.12 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1,3 Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 120 экз. Заказ 26/2

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. 233-73-59,292-65-60

61 12-1/751

Министерство образования и науки ФГАОУВПО "Казанский (Приволжский) федеральный университет" Кафедра теории функций и приближений

Губайдуллина Рената Камилевна

Приближения решений

одного класса двумерных сингулярных интегральных уравнений

(01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, Б.Г.Габдулхаев Научный консультант кандидат физико-математических наук, Ю.Р.Агачев

Казань - 2 0 1 2

На правах рукописи

УДК 519.642: 517.518.8

Оглавление

Введение..................................................... 3

I. Приближенные методы вычисления слабосингулярных интегралов и решения интегральных уравнений 24

§1. Вспомогательные сведения......................................................................28

§2. Кубатурные формулы................................................................................37

§3. Теоремы существования и единственности решения..................45

§4. Итерационные методы ................ ..............................................51

§5. Общий проекционный метод Галеркина............................................55

§6. Проекционно-итеративные методы......................................................57

§7. Метод механических кубатур решения слабосингулярного

интегрального уравнения с фиксированной особенностью..................60

§8. Метод механических кубатур решения слабосингулярного

интегрального уравнения с подвижной особенностью............................70

§9. Метод наименьших квадратов................................................................76

II. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений с ядром Михлина-Трикоми-Жиро 79

§10. Достаточные условия существования и единственности

решения............................................................ 80

§11. Итерационные методы........................................ 82

§12. Проекционный метод......................................... 85

§13. Проекционно-итеративные методы........................... 88

Литература.................................................. 90

Введение

В диссертационной работе рассматриваются вопросы теоретического обоснования итерационных и прямых методов решения классов сингулярных интегральных уравнений с полярным ядром и ядром Михлина-Трикоми-Жиро, а также их однозначной разрешимости. Под теоретическим обоснованием приближенных методов, согласно Л. В. Канторовичу и Б. Г. Габдулхаеву, понимается следующий круг задач: а) доказательство теорем существования и единственности решения аппроксимирующего уравнения; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и исследование скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Почти одновременно с фредгольмовской теорией интегральных уравнений с непрерывным, или, по крайней мере, ограниченным, ядром появились известные работы Гильберта и Пуанкаре, в которых изучались сингулярные интегральные уравнения (с.и.у.), т.е. такие уравнения, в которых интеграл расходится в обычном смысле и должен быть понимаем в смысле его главного значения по Коши. Существует^ два существенных отличия с.и.у. от уравнений Фредгольма. Во-первых, входящие в с.и.у. сингулярные интегральные операторы, задаваемые сингулярными интегралами (с.и.), не являются вполне непрерывными операторами в соответствующих функциональных пространствах, хотя и могут быть ограниченными. Следовательно, к таким с.и.у. не применима теория Фредгольма - Рисса - Шаудера. Во-вторых, для них приходится различать случаи одной и нескольких независимых переменных, так как перенесение полученных в одномерном случае результатов на случай двух и более независимых переменных оказывается трудно разрешимой задачей. Наряду с с.и.у. исследовались и, так называемые, слабосингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.), которые, как показал С. Г. Михлин,

подчиняются теории Фредгольма в ряде функциональных пространств, но с точки зрения реализации на практике ведут себя как сингулярные.

Глава I диссертации посвящена исследованию методов приближенного решения с.с.и.у. вида

Аи = а(х)и(х) + [ = f(x), xeD, 0 < ct < 2, (0.1)

J ra(x,y)

D

где D - круг единичного радиуса с центром в начале координат, х = (xi,x2), У = (УЪУ2) - его точки, г(х,у) = \х - у\ - евклидово расстояние между точками х и у, h(x,y),a(x) - непрерывные, a f(x) -квадратично-суммируемая (возможно с весом) в круге D данные функции соответственно, и(х) - искомая функция.

К решению таких уравнений приводит ряд прикладных задач, в частности, контактные задачи теории упругости, трехмерные задачи теории упругости для тел с разрезами, задачи об определении стационарных температурных полей в телах с инородными включениями, задачи об определении концентрации напряжений в телах, содержащих трещины (см., напр., [1], [41], [42], [54], [73], [85], [106]).

Впервые исследования по многомерным слабосингулярным интегралам (с.с.и.) с полярным ядром, т.е. интегралам вида f h(x,y)u(y)

ra(x,y)

-dy, leQc Mm, 0 < a < m,

n

появились в работах Ф. Трикоми [110], [111], а наиболее значительные результаты по многомерным сингулярным интегралам (с.и.) и интегральным уравнениям вида

Аи = а(х)и(х) + / Щ-^—dy = /(ж), ж е П С 1Г\ 0 < а < т, J Т [х,у) п

(0.2)

были получены С. Г. Михлиным в работах [57] - [65] и опубликованы в систематизированном и несколько дополненном виде в его монографии [66].

В частности, он доказал, что уравнение (0.2) при любых любых 0 < а < < т и произвольной ограниченной области О С Мт относится к классу интегральных уравнений, приводящихся к уравнению II рода с вполне непрерывным оператором в пространствах непрерывных и квадратично-суммируемых функций. В работах Ф. Трикоми [110], [111] рассматривались двумерные с.и. с полярным ядром в евклидовом пространстве, для которых он установил формулу дифференцирования двойных интегралов. В монографии [112] рассматривались многомерные интегралы с полярным ядром на открытом ограниченном множестве б С Мп Были показаны ограниченность интегралов в Ьр(С)(р > п/(п — а)), компактность в ЬР(С) и пространстве непрерывно-ограниченных в С функций, установлена связь свойств ядра с гладкостью решения, сформулированы теоремы о дифференцируемости с.с.и., приведены оценки производной интегрального оператора. Свойства слабосингулярных интегральных операторов в весовых пространствах Гельдера исследовались в статье [104].

В.А. Волохин рассматривал интегралы со слабой особенностью вида (0.2), а также уравнения с такими интегралами по сфере единичного радиуса с центром в начале координат в трехмерном пространстве, когда 0 < а < 2. При этом он вращал систему координат так, чтобы точка х стала северным полюсом сферы. В статье [14] В.А. Волохин предложил точный метод вычисления слабосингулярного интеграла. В его же работе [12] с помощью двумерного тригонометрического интерполяционного полинома степени п по равноотстоящим узлам была построена кубатурная формула; было показано, что полученная кубатурная формула сходится со скоростью

7 2

0(~1), где р - порядок гладкости плотности и{у). В работах [15] и [16] В.А. Волохиным были предложены приближенные методы решения слабосингулярных уравнений. В статье [15] рассматривался проекционный метод решения с.с.и.у., для которого была установлена сходимость приближенного решения к соответствующему точному решению, а также

был предложен проекционно-итеративный метод решения одного класса нелинейных интегральных уравнений со слабой особенностью. В [16] В.А. Волохин рассмотрел один класс слабосингулярных интегралов с подвижной особенностью, когда Н(х,у)и(у) = /пд(г(а:, у))Уп(у), где д = 0,1,2,..., Уп{у) ~ сферическая функция порядка п. Он предложил алгоритм точного вычисления таких интегралов, а также проекционный метод решения соответствующих интегральных уравнений второго рода.

Приближенному решению интегральных уравнений II рода со слабосингулярным ядром посвящена диссертация [ИЗ]. В ней предложены вычислительные схемы методов вейвлет-коллокации и квадратур, проведены численные эксперименты с использованием параллельных вычислений. В работе [109] предложен приближенный метод решения одного класса интегральных уравнений типа Фредгольма II рода с регулярными и слабосингулярными ядрами, основанный на разложении подынтегральной функции в ряд Тейлора, что позволило найти решение уравнения в замкнутой форме. В книге [107] приведены результаты по решению в замкнутом виде линейных интегральных уравнений I и II родов с полярным ядром при 0 < а < 1/2, при этом уравнения рассматривались как частный случай уравнений Фредгольма. В работе [32] на базе сплайн-функций нулевой степени строится метод механических кубатур для с.с.и.у. со степенной особенностью, когда областью интегрирования является квадрат В = [0,1] х [0,1].

Следует отметить работы И. К. Лифанова, Л. Н. Полтавского и Г. М. Вайникко по решению многомерных с.с.и.у. на открытом ограниченном множестве. В статье [102] авторы предложили численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на окружности с сингулярными и слабосингулярными слагаемыми. В книге [101] была установлена связь слабосингулярных и сингулярных интегральных уравнений с уравнениями Неймана, преобразованием

Лапласа, найдено при определенных условиях решение уравнений в замкнутом виде. Исследования по с.с.и.у. II рода, начатые в статье [10], были продолжены Г. М. Вайникко в монографии [112], а именно, предложены "кусочно-постоянный" коллокационный и кубатурный методы решения с.с.и.у., проведен анализ сходимости и найдена скорость сходимости предложенных методов в пространстве непрерывно-ограниченных в С функций.

Среди уравнений вида (0.1) особое место занимают уравнения I и II родов с двумерными слабосингулярными интегралами вида

называемые уравнениями типа ньютоновского потенциала. Круг прикладных задач, которые сводятся к решению интегральных уравнений типа ньютоновского потенциала с поверхностью интегрирования П, являющейся частью произвольной канонической поверхности, ограниченной гладким контуром, достаточно широк. Свойства таких интегралов исследованы в ряде работ. Ограниченность интегралов на однородных группах в пространствах Морри была исследована в статье [31], ограниченность и компактность интегралов в пространстве Ь(р(х)) = (суммируемых с весом когда вес р(х) удовлетворяет

условию Липшица, - в работе [93]. В статье [71] авторами были установлены условия обращения некоторых операторов типа потенциала с особенностями ядер на сфере, а в [38] - (Ьр Дооценки для некоторых операторов с осциллирующими ядрами. Спектральные свойства интегральных операторов типа ньютоновского потенциала на гладких и негладких поверхностях были изучены в [90], свойства операторов на сфере с особенностями на полюсах - в [11]. Исследованию свойств нелинейных и.у. с ядрами типа потенциалов в комплексных пространствах Лебега посвящены работы [2], [3]. В работе [55] получена формула обращения

2

(0.3)

двумерного интегрального уравнения типа ньютоновского потенциала, заданного в круговой области.

Изучением интегральных уравнений, встречающихся в теории трещин, занимались украинские математики и механики Г. С. Кит и М. В. Хай. В их совместных статьях [39] - [41] были рассмотрены интегральные уравнения пространственных задач термоупругости для тел с трещинами, для решения которых использовался метод потенциалов. В монографии М. В. Хая [85] была сделана попытка систематизировать полученные им и другими математиками результаты по решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений типа ньютоновского потенциала, заданных на многообразиях с краем в трехмерном пространстве. С помощью определения символа интегральных уравнений и их индекса исследована разрешимость двумерных уравнений указанного типа как первого, так и второго рода. Там, где это было возможно, получены решения интегральных уравнений в замкнутом виде.

Остановимся теперь на содержании первой главы.

Во введении дается постановка задачи и вводятся пространства функций, в которых исследуются слабосингулярные интегралы и соответствующие интегральные уравнения, и проводится теоретическое обоснование приближенных методов.

В §1 приводятся вспомогательные результаты из общей теории приближенных методов функционального анализа, теории приближения функций и некоторые новые результаты, необходимые во всем дальнейшем изложении.

§2 посвящен исследованию двух групп кубатурных формул для интеграла с фиксированной особенностью

и

где Б - единичный круг с центром в начале координат. При этом для

приближенного вычисления слабосингулярного интеграла использовались результаты И.П. Мысовских построения кубатурных формул специального вида для регулярных интегралов, когда областью интегрирования является круг. Первая группа кубатурных формул построена с применением квадратурных формул Гаусса с весовой функцией Якоби га~1 на отрезке [0,1] и наивысшей тригонометрической степенью точности. Кубатурная формула в данном случае имеет следующий вид:

/и( 27г п т

и — У^АкУ^и{гксо8вигк8тв1), и е С (Б), га(0, у) т ^ ^

где гк и Ак - узлы и коэффициенты квадратурной формулы типа Гаусса, а

- попарно неэквивалентные равноотстоящие узлы на отрезке длиной 27г. Для построения второй группы кубатурных формул вместо классического аппарата полиномиального приближения использовался аппарат сплайн-функций, в частности, сплайнов нулевой и первой степеней. Для построенных кубатурных формул установлены оценки погрешности в пространстве непрерывных в круге I) функций.

В §3 выведены новые достаточные условия существования и единственности решения с.с.и.у. (0.1). Приведем один из полученных результатов.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) функция а(х) 6 С (И) не обращается в нуль ни в одной точке области

2) Цх,у) 6 С{В2);

3) функция

Цх1У) + ЦУ,х)

га(х,у)

разлагается в симметричный ряд

00

9{х, у) = Рк{х)Рк(у), х,у е Б, к=1

сходящийся в пространстве L2(D2), где {Pk{s)}kLi = {Pk{si,S2)}kLi ~ линейно независимая система функций из L2(D). Тогда с.с.и.у. (0.1) имеет единственное решение и*(х) G L2(D) при любой правой части

f(x) е l2(d) u ^

\\u*\\l2(d) < —||/||ь2(г>))

где т - точная нижняя грань функции \а(х)\.

В §4 предлагается эффективный итерационный метод решения с.с.и.у. (0.1). Исходное уравнение записывается в эквивалентном виде

и = Ви + г/, г > 0,

где В — В(т) = Е — тА : Ь2 —^ Ь2 есть так называемый оператор перехода. Выбирая здесь т = tq = jj? из условия минимальности нормы оператора В в пространстве Ь2, где m - точная нижняя грань функции |а(ж)|, a константа М ограничивает норму оператора А в пространстве L2(D), приближенное решение будем получать по следующему итерационному правилу:

и" = В(то)ик~1 + го/ = ик-1 + - Аик-1), к = 1,2,...,

Доказывается, что при таком выборе параметра оператор В = В(то) является сжимающим отображением. Получены оценки погрешности и доказана устойчивость предложенного метода относительно исходных данных.

В §5 исследуется общий проекционный метод Галеркина решения с.с.и.у. Доказана однозначная разрешимость соответствующей системы линейных алгебраических уравнений, и установлена сходимость приближенных решений, полученных предложенным методом, к точному решению исследуемого уравнения.

В §6 предлагаются проекционно-итеративные методы, основанные на исследованных в §§4 и 5 итерационном и проекционном методах.

Для них установлены оценки погрешностей. Необходимость разработки таких методов заключается в том, что разрешимость системы линейных алгебраических уравнений проекционного метода возможна, вообще говоря, не при всех значениях порядка п системы, а начиная с некоторого натурального щ. Поэтому при больших значениях п задача реализации системы становится трудоемкой. Проекционно-итеративные методы позволяют в определенной степени эту проблему решить.

§7 посвящен теоретическому обоснованию метода механических кубатур решения с.с.и.у. с фиксированной особенностью вида

Аи = а(х)и(х) + J Щф^у-dy = f(x), х Е D, 0<а<2.

d

Вычислительная схема метода строится с применением одной из построенных в §2 кубатурных формул. Согласно неё приближенные значения {сщ} искомой функции и(х) = и (г cos в, г sin в) в узлах (rk,0i) (к = 1,72, г = 1,??2) находятся из системы линейных алгебраических уравнений

2 п т

Csp Н--^Ak^h(Ps,<Pp,rk,0i)Cki=7{P8,<Pp), S — 1) 72, Р= 1,772,

ТТЬ

к=1 1=1

где h(p, г, в) = h(p eos tp, р sin tp; r cos0,r sin0), f(p, ip) — f(pcosip,psimp). Предложенный вариант метода механических кубатур исследуется изложенным Б. Г. Габдулхаевым способом, который заключается в следующем. Сначала доказывается сходимость метода и выводится оценка его погрешности в среднем. Отсюда, как следствие сходимости метода в среднем, доказывается сходимость в узлах кубатурной формулы, а из нее, в свою очередь, выводится оценка погрешности в равномерной метрике

В §8 предлагаются вычислительная схема и теоретическое обоснование метода механических кубатур решения с.с.и.у. (0.1). При построении вычислительной схемы метода используются результаты Б.Г. Габдулхаева

и П.Н. Душкова по решению одного одномерного сингулярного интегрального уравнения методом механическ