Конечномерные аппроксимации решений операторных уравнений

Федотов, Александр Иванович

Конечномерные аппроксимации решений операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Федотов, Александр Иванович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Конечномерные аппроксимации решений операторных уравнений»

Автореферат диссертации на тему "Конечномерные аппроксимации решений операторных уравнений"

На правах рукописи

Федотов Александр Иванович

Конечномерные аппроксимации решений операторных уравнений

01.01.01 - математический анализ 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ии34/В4Ю

Казань - 2009

003476410

Работа выполнена в Московском социально-гуманитарном институте.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Р. С. Сакс,

доктор физико-математических наук, профессор 3. Ю. Фазуллин,

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Лапин.

Ведущая организация - Математический институт им. В. А. Стеклова.

Защита состоится 2 октября 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Институте математики с ВЦ УНЦ РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с ВЦ УНЦ РАН.

Автореферат разослан 1 августа 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук

С. В. Попёнов

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке и обоснованию приближенных методов решения различных классов сингулярных интергодифференци-альных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, в которых производные аппроксимируются конечными разностями, а интегралы, в том числе сингулярные, квадратурными суммами. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокаций для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокации для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта.

Актуальность темы. Сингулярные интегродифференциальные уравнения составляют широкий класс задач, которые, с одной стороны, являются обобщением сингулярных интегральных уравнений, а с другой - обыкновенных дифференциальных уравнений или, в многомерном случае, уравнений в частных производных. Как и сингулярные интегральные уравнения, сингулярные интегродифференциальные уравнения тесно связаны с краевыми задачами теории функций комплексной переменной. Как обобщение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, сингулярные интегродифференциальные уравнения относятся к задачам математической физики. Таким образом, как теория, так и методы исследования сингулярных интегродифференциальных уравнений лежат на стыке теорий краевых задач и задач математической физики.

Обе эти тесно взаимосвязанные теории к настоящему времени хоро-

шо развиты в качественном плане, то есть вопросы существования и единственности решений и их принадлежность к определенным функциональным пространствам исследованы глубоко и полно. Однако многие вопросы нахождения самих этих решений как для конкретных уравнений, так и для классов уравнений, определяемых классами коэффициентов и правых частей, остаются открытыми до сих пор. Из теории известно, что сингулярные интегродифференциальные уравнения точно решаются лишь в редких частных случаях. Поэтому актуальной задачей является разработка и теоретическое обоснование приближенных методов решения таких уравнений.

Общей теории приближенных методов решения операторных уравнений и ее приложениям к сингулярным интегральным и интегродиффе-ренциальным уравнениям посвящено значительное число работ. Первые значительные результаты в этой области получены С. Г. Михли-ным, В. В. Ивановым, Б. Г. Габдулхаевым; весомый вклад в развитие приближенных методов решения сингулярных уравнений внесли также А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, И. Гохберг, М. Гольберг, В. А. Золотаревский, А. И. Каландия, И. К. Лифанов, Б. И. Мусаев, 3. Прёссдорф, Н. Я. Тихоненко, М. А. Шешко, Д. Эллиотт, а также их ученики и последователи.

щим простыми вычислительными схемами, даже если скорость их сходимости невелика. К таким методам относятся, например, разностный и квадратурно-разностный методы решения регулярных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Это привело нас к необходимости разработки и обоснования аналогичных приближенных методов для решения различных классов сингулярных интегродифференциальных уравнений.

Данная работа посвящена разработке и обоснованию приближенных методов решения различных классов сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши, в которых производные аппроксимируются конечными разностями, а интегралы, в том числе сингулярные, квадратурными суммами. Как и в регулярном случае, такие методы будем называть квадратурно-разностными методами решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Кроме того, в работе предложены и обоснованы полиномиальный метод коллокаций для полных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, при этом приближенное решение, в отличие от известных результатов, ищется в виде интерполяционного полинома с кратными узлами, и полиномиальный метод коллокаций для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений, являющихся естественным обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта.

Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим:

- разработан и обоснован квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанный на аппроксимации точного решения сплайнами;

- разработаны и обоснованы метод полиномиальной коллокации и

квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанные на аппроксимации точного решения тригнометрическими полиномами с кратными узлами;

- разработаны и обоснованы сеточные квадратурно-разностные методы решения линейных и нелинейных сингулярных интегродифферен-циальных уравнений с ядром Гильберта, основанные на аппроксимации производных точного решения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

- разработан и обоснован сеточный квадратурно-разностный метод решения многомерных линейных сингулярных интегродифференциаль-ных уравнений с ядром Гильберта, основанный на аппроксимации производных точного решения формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

- разработан и обоснован сеточный квадратурно-разностный метод решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на отрезке, основанный на аппроксимации производных точного решения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами;

- разработан и обоснован полиномиальный метод коллокации решения периодических псевдодифференциальных уравнений и систем псевдодифференциальных уравнений, а также разработана новая методика обоснования методов полиномиальной коллокации решения операторных уравнений в пространствах Соболева;

- получены оценки норм интерполяционных операторов Лагранжа в многомерных пространствах Соболева.

Методика исследований. Проведенные исследования опираются

на результаты общей теории приближенных методов решения операторных уравнений, основы которой заложены в работах Л. В. Канторовича, на результаты Б. Г. Габдулхаева по обоснованию приближенных методов решения сингулярных интегральных и интегродифференцн-альных уравнений, результаты Г. М. Вайникко по обоснованию непро-екциоиных приближенных методов решения операторных уравнений и методику Д. Арнольда и В. Вендланда обоснования метода коллока-ций путем сведения его к нестандартному методу Галеркина. При выводе и обосновании полученных результатов в диссертации существенным образом используются результаты теории функций, сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений, краевых задач теории функций комплексного переменного и некоторые оценки теории приближенных методов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечены строгими доказательствами содержащими подробные выкладки и вычисления автора диссертации, а также, где это необходимо, ссылки на результаты других авторов.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных и периодических псевдо-дифференциаьных уравнений. Они могут быть, кроме того, непосредственно применены при решении прикладных задач, сводящихся к уравнениям указанных типов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения были доложены на Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (г. Киев, 1983 г.), на V Всесоюзной школе "Теоретические основы и

конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (г. Казань, 1984 г.), на Всесоюзных симпозиумах "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (г. Харьков, 1987, 1989, 1993 гг., г. Одесса, 1991 г.), на Всесоюзной конференции "Методы решения сингулярных интегральных уравнений" (г. Тарту, 1989 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (г. Казань, 1994 г.), на Школе-конференции "Те-рия функций и ее приложения" (г. Казань, 1995 г.), на Втором европейском математическом конгрессе ЕСМ2 (г. Будапешт, 1996 г.), на Конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям EQUADIFF 9 (г. Брно, 1997 г.), на Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г. Одесса, 2000 г.), на Международных конференциях "Dynamical systems modelling and stability investigation" (г. Киев, 2001, 2003 гг.), на Научной конференции, посвященной 125-летию Казанского педагогического университета (г. Казань, 2001 г.), на Международной конференции по вычислительной математике и приложениям ENUMATH 2003 (г. Прага, 2003 г.), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 200-летию Казанского государственного университета (г. Казань, 2004 г.), а также на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета 1985-2003 гг. (г. Казань) и на научных семинарах "Теория аппроксимации и её приложения" при Казанском государственном университете (руководитель: профессор Б. Г. Габдулхаев) и "Геометрическая теория функций и краевые задачи" при НИИ механики и математики им. Н. Г. Чеботарева (руководитель: профессор Ф. Г. Авхадиев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в

работах [1 ]—[36].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, каждая из которых разбита на параграфы, заключения, приложения и списка цитированной литературы из 199 наименований. Общий объем работы 248 страниц. Параграфы внутри каждой главы имеют независимую нумерацию. Определения, теоремы, леммы, следствия и замечания нумеруются независимо друг от друга с указанием номера главы и порядкового номера внутри главы. Номера формул состоят из номера главы, номера параграфа и непосредственно номера формулы внутри параграфа.

Содержание работы

Во введении отмечены характер, направленность и методология диссертационного исследования. Их главным содержанием являются, как указано выше, построение и обоснование квадратурно-разностных методов решения различных классов сингулярных интегродифференци-альных уравнений, а также новая методика обоснования полиномиального метода коллокаций для приближенного решения периодических псевдодифференциальных уравнений.

Сингулярные интегральные уравнения, содержащие производную искомой функции (то есть сингулярные интегродифференциальные уравнения), были рассмотрены впервые в работах А. Пуанкаре в связи с теорией приливов и Д. Гильберта в 1902 - 1904 гг. В 1918 г. Л. Пран-дтль, исследуя аэродинамические свойства поверхностей, получил сингулярное интегродифференциальное уравнение, которое носит имя своего первооткрывателя и до сих пор привлекает к себе внимание как специалистов по аэро- и гидродинамике, так и математиков. С этого времени сингулярные интегродифференциальные уравнения появляются в работах по аэро- и гидродинамике, теории упругости, электроди-

намике, теории дифракции и многих других прикладных дисциплинах.

С 1938 года начались планомерные исследования сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений в рамках развития математической теории краевых задач теории функций комплексной переменной. Ф. Д. Гахов в 1938 году, И. И. Векуа в 1942 году и Д. И. Шерман в 1946 году представили три различные постановки задачи Гильберта, содержащей производные искомой функции, - в виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения, в виде краевой задачи и в виде задачи гармонических функций. В монографии "Краевые задачи" Ф. Д. Гахов показал, что все три постановки в целом "равносильны как в отношении методов, которые могут быть применены для решения любой из них, так и в отношении результатов, которые при этом получаются".

Аналогичное обобщение задачи Римана было впервые сделано Л. Г. Магнарадзе. Впоследствии в работах Ю. М. Крикунова и В. С. Рогожина были получены представления, значительно упростившие исследования этой задачи. Р. С. Исаханов показал, что для таких уравнений справедливы теоремы, аналогичные теоремам Нётера, а также обобщил задачу на случай нескольких разомкнутых контуров и разрывных коэффициентов. Н. П. Векуа указал способ решения сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений путем сведения их к задаче Коши для сингулярных интегральных уравнений.

Здесь уместно подчеркнуть, что, хотя метод Векуа позволяет сводить сингулярные интегродифференциальные уравнения к сингулярным интегральным уравнениям, проблема методов приближенного решения сингулярных интсгродифференциальных уравнений, как самостоятельная, не снимается. В качестве основных причин этого обстоятельства можно указать следующие: во-первых, разработка и обоснование методов приближенного решения сингулярных интегродифференциальных

уравнений без их сведения к сингулярным интегральным уравнениям нужны потому, что сам процесс сведения с вычислительной точки зрения может оказаться сложным и нежелательным, и, во-вторых, положительное решение указанной проблемы может позволить обосновать ряд методов в применении к более широким классам сингулярных интег-родифференциальных уравнений, в частности, к тем разновидностям сингулярных интегродифференциальных уравнений, для которых сведение к сингулярным уравнениям пока неизвестно или невозможно в принципе.

Первым трудом, в котором со всей математической строгостью рассмотрен вопрос о приближенном решении сингулярных интегральных уравнений, является работа М. А. Лаврентьева, опубликованная в 1932 году. В монографии Н. И. Мусхелишвили "Сингулярные интегральные уравнения", подводящей итог многолетним исследованиям в области теории сингулярных интегральных уравнений и их приложений, по поводу этой работы М. А. Лаврентьева сказано: "Дальнейшая разработка этого и аналогичных методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений является, как мне кажется, одной из важнейших очередных задач теории этих уравнений".

Бурное развитие теории сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегродифференциальных уравнений в последующие годы, их связь с краевыми задачами и многочисленные приложения в теории упругости, гидромеханике и многих разделах математической физики усилили внимание математиков к методам приближенного решения этих уравнений и к проблемам обоснования этих методов.

вые значительные результаты в этой области получены С. Г. Михли-иым, В. В. Ивановым, Б. Г. Габдулхаевым; весомый вклад в развитие приближенных методов решения сингулярных уравнений внесли также А. А. Бабаев, С. М. Белоцерковский, И. Гохберг, М. Гольберг, В. А. Золотаревский, А. И. Каландия, И. К. Лифанов, Б. И. Мусаев, 3. Прёссдорф, Н. Я. Тихоненко, М. А. Шешко, Д. Эллиотт, а также их ученики и последователи.

На основании этих работ можно констатировать, что к настоящему времени предложено и обосновано большое число различных приближенных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядрами Гильберта и Коши и в ряде случаев получены окончательные результаты, то есть для отдельных классов уравнений указаны методы, обладающие наивысшей (асимптотически или по порядку) скоростью сходимости приближенных решений к точному. Однако на практике предпочтение нередко отдается методам, обладающим простыми вычислительными схемами, далее если скорость их сходимости невелика. К таким методам относятся, например, разностный и квадратурно-разностный методы решения регулярных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Это привело нас к необходимости разработки и обоснования аналогичных приближенных методов для решения сингулярных интегродифференциальных уравнений.

Далее во введении дан обзор близких по тематике работ, аннотированы выполненные исследования, отмечены их результаты. В итоге сформулированы следующие основные положения, которые выносятся на защиту:

1. Разработка и обоснование квадратурно-разностного метода решения линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений

с ядром Гильберта, основанного на аппроксимации точного решения сплайнами.

2. Разработка и обоснование метода полиномиальной коллокации и квадратурно-разностного метода решения линейных сингулярных ин-тегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанных на аппроксимации точного решения тригонометрическими полиномами с кратными узлами.

3. Разработка и обоснование сеточных квадратурно-разностных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанных на аппроксимации производных точного решения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами.

4. Разработка и обоснование сеточных квадратурно-разностных методов решения нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанных на аппроксимации производных точного решения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами.

5. Разработка и обоснование сеточного квадратурно-разностного метода решения многомерных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта, основанного на аппроксимации производных точного решения формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами.

6. Разработка и обоснование полиномиального метода коллокации решения периодических псевдодифференциальных уравнений и систем псевдодифференциальных уравнений, а также разработка методики обоснования методов полиномиальной коллокации решения операторных уравнений в пространствах Соболева.

7. Разработка и обоснование сеточных квадратурно-разностных ме-

тодов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на отрезке, основанных на аппроксимации производных точного решения произвольными сходящимися формулами численного дифференцирования, а интегралов - квадратурными суммами.

8. Оценки норм операторов Лагранжа в многомерных пространствах Соболева.

Каждая глава, начиная со второй, начинается с краткого изложения истории возникновения и развития задач, рассматриваемых в этой главе. Здесь же даны ссылки на оригинальные работы других авторов.

Глава 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены определения основных понятий, используемых в дальнейшем изложении, а также основные обозначения. Даны определения и свойства пространств функций, удовлетворяющих условию Гёльдера, пространств функций, суммируемых с весом, а также одномерных и многомерных пространств Соболева. Затем приводятся система обозначений для регулярных и сингулярных интегралов с ядрами Коши и Гильберта и некоторые их свойства. Для всех видов сингулярных интегралов даны формулы Племеля-Сохоцкого. Показано, как изменяются эти формулы при переходе от одного функционального пространства к другому.

В §1.2 рассматриваются сингулярные интегральные и интегродиф-ференциальные уравнения с ядром Гильберта в одномерном случае. Указываются свойства и условия разрешимости (если таковые имеются) этих уравнений.

В §1.3 приводятся свойства одномерных псевдодифференциальных уравнений в пространствах Соболева. Указывается связь между сингулярными интегральными и интегродифференциальными уравнениями

с ядром Гильберта и псевдодифференциальными уравнениями в пространствах Соболева. Дается определение эллиптических псевдодифференциальных уравнений и указываются условия их разрешимости.

§1.4 посвящен основным свойствам двумерных сингулярных интегральных и интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта. Двумерный случай рассматривается лишь для простоты выкладок. Все приводимые здесь результаты без труда переносятся на случай п > 3, п € М, измерений. Приводятся условия разрешимости для частных случаев уравнений.

В §1,5 рассматриваются сингулярные интегральные и интегродиф-ференциальные уравнения с яром Коши на разомкнутом контуре. Для простоты изложения, а также из-за наличия многочисленных приложений, в качестве контура выбран отрезок [—1,1]. Дается определение индекса и канонической функции уравнения. Приводятся условия существования и единственности решения уравнений нулевого, положительного и отрицательного индексов.

Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

Вторая глава посвящена исследованию аналитических квадратурно-разностных методов решения сингулярных интегродифференциальных уравнений. Здесь рассмотрены метод сппайн-коллокаций и полиномиальный метод коллокаций, в котором в качестве агрегата аппроксимации точного решения уравнения используются тригонометрические полиномы с кратными узлами. В обоих случаях вычислительные схемы оказываются квадратурно-разностными, то есть интегралы аппроксимируются квадратурными суммами, а производные - конечными разностями.

В §2.1 содержатся необходимые сведения и теоремы теории обосно-

вания аналитических методов решения операторных уравнений в линейных нормированных пространствах. Приведем одну из теорем.

Пусть X и У - линейные нормированные пространства, а Хп С X и Уп С У (п = 1,2,...) - их линейные подпространства одинаковой размерности. Рассмотрим уравнения

Ах = г/, х€Х, уеУ, (0.1)

А„хп = Уп, Хп е Х„, уп е Уп, (0.2)

где А и АП - линейные операторы, действующие из X в У и из Хп в У„ соответственно (Л € £(Х,У) и Ап € £(ХП,УП), п е М,).

Теорема 0.1. Пусть выполнены условия:

а) оператор А : X —> У линейно обратим;

б) || А - Лп||х„^у —► 0 при п со;

в) <ИтХп = <ИтУп < оо, п = 1,2,....

Тогда при всех п, таких, что выполнены неравенства

9п = ||Л-1||||Л-Л1||<1, Л-Л,:Х„-У,

приближенное уравнение (0.2) имеет единственное решение ж* € Х„ при любой правой части уп € Уп, причем

1КН < Н^'НЫ!. \\кч <

1 Чп

Если, кроме того, выполнено условие

г) Ну - Уп\\ 0 при п -> оо,

то приближенные решения х* € Хп сходятся к точному решению х* 6 X по норме пространства X. При этом погрешность приближенного решения может быть оценена соотношением

-*■ Чп

Теорема 0.1 является базовой при обосновании аналитических приближенных методов. С помощью этой теоремы обоснование метода сводится, по-существу, к проверке двух условий: равномерной сходимости операторов, приближающих левую часть уравнения, и сходимости функций, приближающих правую часть. Однако это "удобство" обоснования обусловлено требованием Хп С X, сильно сужающим круг методов, допускающих такое обоснование. Таким образом, здесь имеет место обычная в математике ситуация, когда для более частного случая удается получить более красивые результаты. В главе 3 используется теория обоснования, в которой указанное выше условие заменено на значительно менее обременительное, но обоснование приближенных методов при этом оказывается более сложным.

В §2.2 дано обоснование квадратурно-разностного метода для сингулярного интегродифференциального уравнения порядка т € N вида

Ш-1 h (+} 2? Т — t

x™(t) + £ {av{t)x^{t) + -f1f хМ(т) ctg —dr) = y(t) (0.3)

u=0 я о ^

с начальными условиями

а;М(0) = iM(27r) =0, и = 0,1,..., m - 1, (0.4)

где x(t) - искомая, a„(t), bv(t), v = 0,1,..., m — 1 и y(t) - известные непрерывные 2-7г-периодические функции, а сингулярные интегралы с ядром Гильберта

1 — t (Jx^)(t) = — (iM(r)ctg^—dr, r = 0,l,...,m,

о 2

понимаются здесь и далее в смысле главного значения по Коши-Лебегу. Приближенное решение ищется в виде периодического сплайна xn(t), п 6 N из условий коллокации

m—1

z(nm)W + Е KfttJxWfa) + K{tk)(JPnx¥)(tk)) = y{tk), (0.5)

v=Q

к = 0,1,..., п — 1,

в узлах сетки

27тк

** =-, к = 0,1,..., п — 1. (0.6)

Здесь Рп - тригонометрический интерполяционный оператор Лагранжа по узлам (0.6). Доказана

Теорема 0.2. Пусть для задачи (0.3), (0-4) выполнены следующие условия:

А1 а^) А(£), и - 0,1,-,т - 1, и у{1) £ С,

А2 для любого р & Ж, \ < р < оо задача (0.3), (0.4) имеет единственное решение х*(Ь) £ при любой правой части у(£) € Ьр. Тогда при п таких, что 1

т~1 1 1 1 т

с( Е ("Ы )с + ш(Ь„; -)с) + п ¡(кп)1;') < 1,

„=о п п

система линейных алгебраических уравнений (0.5) однозначно разрешима и приближенные решения а;*(£) сходятся при п оо к точному решению ж*^) задачи (0.3), (0-4) в пространстве со скоростью

т~ 1 I 1

II** - < с( £ ~)с + -)С)+

р 1/=0 п п

+п"'(1пп)У + ш(у;

В уравнении (0.3) порядок старшей производной искомой функции вне сингулярного интеграла выше, чем порядок старшей производной этой функции под интегралом. Такие уравнения, хотя и содержат сингулярные интегралы, подчиняются теории интегральных уравнений Фредгольма, а не Нётера. Обосновать тем же способом этот

1 Здесь и далее с обозначает вполне определенные постоянные, значения которых не зависят от п.

квадратурно-разностный метод для уравнений, имеющих равный порядок старших производных вне и под сингулярным интегралом, невозможно. Поэтому в §2.3 для таких уравнений построен и обоснован квадратурно-разностный метод, основанный на аппроксимации точного решения тригонометрическими интерполяционными полиномами с кратными узлами. Приведем основной результат этого параграфа.

Рассмотрим сингулярное интегродифференциальное уравнение первого порядка

¿ (a„(t)xM(t) + Ш |>(r) ctg I^ldT+ (0.7)

i/=o 2тг ¡j 2

1 2 тт

27Го

с условием

ж(0) = х(2тг), (0.8)

где x(t) - искомая, a„(í), b„(t), hv(t,r) (по обеим переменным), v = 0,1, и y(t) - известные непрерывные 27г-периодические функции.

Приближенное решение задачи (0.7), (0.8) будем искать в виде тригонометрического полинома

1 п-1 _ Sin2 ^(í - Í2fc)

Xn{t) = — E (ix2n]2.¡c + [D2nX2nhk sin(t - t2k))- f - U,

n- fc=0 sin2

удовлетворяющего условиям

Xnihk) = [хглЬь x'n{t2k) = [Агпх2п]2Ь A; = 0,l,...,n- 1,

в четных узлах сетки

7тк

tk =—, к = 0,1,..., 2п - 1. (0.9)

Здесь

p2,.x2„]fc = EílLZB, к = 0,1,..., 2п - 2, п

[£>2ПХ2П12П-1 ~

ХО ~ х2п-1

, л =

7Г

простейшие формулы численного дифференцирования, а Х2„ - вектор приближенных значений

[Х2п]к = хк, к = 0,1,..., 2п - 1,

искомой функции в узлах сетки (0.9). Они находятся из системы линейных алгебраических уравнений

где р2П - примененный по переменной г тригонометрический интерполяционный оператор Лагранжа по узлам (0.9), а

регулярный интеграл. Доказана

Теорема 0.3. Пусть для уравнения задачи (0.7), (0.8) выполнены условия

А1 функции аЬц{к¡/(¿,т) (по обеим переменным), V = 0,1, и у{£) удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем а € К, 0 < а < 1,

А2 а\{€) + Ъ\(£) ф 0, *€[0,2тг], АЗ к — тсЦа^) - ¿Ь^)) = т<1(а1(4) + гЬ^)) = 0, А4 задача (0.7), (0.8) имеет единственное решение е Н^1', при любой правой части у{Ь) € Н¡¡, 0 < /? < а < 1.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (0.10) однозначно разрешима и приближенные решения Х2П сходятся к точному

¿(ъМ&Чь) + (0.10)

+(^„(М^ЖЫ) = №), к = 0,1,..., 2п - 1,

решению х*(Ь) задачи (0.7), (0.8) & узлах (0.9) при п —> оо со скоростью

||р2пх*-хУн^ <с(п~а+//1пп + £п), 0 </?<«< 1, (0.11)

где

£п = \\DinP2nX* - д2пЯ*'||нД2„, Н/3,2,, = Нд2п,

р2пх = (г(г0), аг(^),..., ж(<2п-1)), : -> Нд2Л>

д2пх' = (а:'(«0),ж'(*2п-1))> ?2п : Щ -»

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЙ ПОДХОД В ПОСТРОЕНИИ КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫХ МЕТОДОВ

Третья глава диссертационной работы посвящена построению и исследованию квадратурно-разностных методов решения линейных и нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений в пространствах Гёльдера и линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами и правой частью в пространствах квадратично суммируемых функций.

В §3.1 содержатся необходимые сведения и теоремы теории обоснования численных методов решения операторных уравнений в линейных нормированных пространствах. Сами эти теоремы и их использование для обоснования численных приближенных методов существенно сложнее, чем аналогичные теоремы теории обоснования аналитических методов. Это связано с тем, что здесь не предполагается выполнение условия Хп С X. Оно заменено более слабым условием наличия так называемых "связывающих отображений" (терминология Г. М. Вай-никко) рп : X —► Хп, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, позволяющим определить различные виды сходимости как для элементов основных пространств, так и для определенных на них операторов.

Приведем две теоремы этого параграфа.

Теорема 0.4. Следующие условия 1), 2) и 3) для операторов А £ £(Х, Y) u Ane£(X„,Yn), пеК, равносильны:

1)Ап —> А регулярно, при почти всехп операторы Ап фредгольмовы с нулевым индексом, Af(A) = {0};

2)Ап —> А устойчиво, 7l(A) = Y;

3)Ап —» А устойчиво и регулярно.

Если выполнено какое-нибудь из условий 1),2) или 3), то существует оператор A~1 g £(Х, Y), при почти всех п существуют операторы Л"1 £ £(Хп, Yn) и А~2 QV-сходятся к А-1 устойчиво и регулярно.

Вновь рассмотрим операторные уравнения

Ах = у, х 6 X, у 6 Y, (0.12)

Лпхп = уП) хп 6 Х„, уп £ Yn, (0.13)

Теорема 0.5. Пусть выполнено одно из (равносильных) условий 1),2) или 3) теоремы 0.4 и пусть последовательность {уп)пе№> Уп € Yn, Q-сходится к у £ Y. Тогда уравнение (0.12) имеет единственное решение х* — A~ly £ X, уравнения (0.13) для всех достаточно больших п однозначно разрешимы и приближенные решения х*п = А~^уп 6 Хп V-сходятся к х* с оценкой

с\\Апрпх* - y„||Y„ < Ц< - Рп2*||х„ < с\\Апрпх* - y„||Y„.

В §3.2 обоснован квадратурно-разностный метод для полных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Гильберта вида

+ fx(»){T)ctgLZldT+ (0.14)

i/=o 27Г j 2

+ ~Jhv(t,T)x^{T)dT)=y(t)

с условиями

ям(0) =хм{2п), i/ = 0,1,..., m — 1, (0.15)

где x(í) - искомая, а„(£), b„(í), г) (по обеим переменным), f = 0,1, ...,m, и y(t) - известные непрерывные 27г-периодические функции.

Вычислительная схема метода строится следующим образом. Выберем п £ N. Введем на [0,27г] сетку равноотстоящих узлов

27тк

tk=-, к = 0,1,...,п-1. (0.16)

Приближенное решение задачи (0.14), (0.15) будем искать в виде вектора

хп = (х0, хь ..., x„-i), (0.17)

компоненты которого [x„]¿ = 2ь к = 0,1, ...,п — 1, - приближенные значения искомой функции в узлах (0.16) найдем из системы линейных алгебраических уравнений

m А (fA п-1

Е Mtk)[D»xn]k + Е ak-i[DvnXn}i+ (0-18)

i/=о П i=о

+-SM^^X];) = »(**)> Л = 0,1,...,П- 1.

п 1=0

Здесь jD„xn, i/ = 0,l,...,m, - формулы численного дифференцирования, определенные на сетке (0.16)

27Г

Kxra]fc = /г£ Л = —, г/ = 0,1, (0.19)

í arfc+j+n, А; -Ь j < 0 ж/t+j = j к = 0,l,...,n- 1,

I xk+j-n> к + j > n,

а коэффициенты квадратурных сумм сс^-г = = 0,l,...,n — 1,

равны

1тЛ г Г7Г г77 1

а}. — {tg—-, г — четно, —ctg—, г — нечетно}, п — нечетно; 2 п 2 п

= (0, г — четно, 2ctg —, г — нечетно}, п — четно.

Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 0.6. Пусть для задачи (О.Ц), (0.15) и вычислительной схемы (0.16) - (0.19) выполнены следующие условия:

AI функции av(t), bv{t), hu(t,r) (по обеим переменным), и — 0,1,..., т, uy(t) удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем а 6 К, 0 < а < 1,

А2 a2m(t) +bl(t)^ 0 ка [0,2*1, A3 к = ind(am(i) - ibm(t)) - ind(am(i) + ibm(t)) = 0, A4 задача (О.Ц), (0.15) имеет единственное решение x*(t) е Н^ при любой правой части y{t) е Hg, ß G R, 0 < ß < а,

B1 формулы численного дифференцирования D%xn, и = 0,1 ,...,т, сходятся,

В 2 характеристические значения оператора D™ по модулю отличны от 1.

Тогда при достаточно больших п система уравнений (0.18) однозначно разрешима и приближенные решения х* сходятся к точному решению x*(t) задачи (О.Ц), (0.15) при п —> оо со скоростью

IK -р„®*||им < с(п~а+131пп + еп),

где

еп= max \\D%pnx* - qnx*(v)\\üßn-

В §3.3 строится и обосновывается квадратурно-разностный метод для нелинейного сингулярного интегродифференциального уравнения вида

F(t,x<m>,...,x(t),(Jx<m))(t),...,(Jx)(t), (0.20)

(J°hmx^>)(t),...,(J°h0x)(t)) = y(t),

с условиями

хм(0) =хм(2тг), — 0,1,..., m — 1, (0.21)

где x{t) - искомая, F(t, ит,..., и0, vm,..., vq, wm,..., Wo), hv{t,r), v = 0,1,...,in и y(t) - известные 27г-периодические по переменным t и т непрерывные функции своих аргументов, J и J0 обозначают, как и выше, сингулярный интеграл с ядром Гильберта и регулярный интеграл соответственно.

Вычислительная схема метода строится следующим образом. Выберем пеМ. Введем на [0,2тг] сетку равноотстоящих узлов

lirk

tk=—,k = 0,l,..,n-l. (0.22)

Приближенное решение задачи (0.20), (0.21) будем искать в виде вектора

Xn = (xo.zi, ...,x„_i), (0.23)

компоненты которого [xn]fc = я*, к = 0,1, ...,n— 1, - приближенные значения искомой функции в узлах (0.22) найдем из системы нелинейных алгебраических уравнений

(0.24)

п 1== о п 1=0

- Е ..., i £ ho(tkt ДО°х„]г) = y(it),

« 1=0 п 1=0

к = 0,1, ...,п— 1.

Здесь, как и в (0.18), £>£, v — 0,1,..., m, - разностные операторы, определяемые формулами численного дифференцирования (0.19), а значения коэффициентов a^-i = как и в предыдущем параграфе, равны

In) с Г7Г Г7Г

а)!' = {tg——, г — четно, — ctg —, г — нечетно}, п — нечетно;

Zii ¿/iL

= {0, г — четно, 2ctg—, г —нечетно}, п — четно. 2 п

Для вычислительной схемы (0.22) - (0.24) задачи (0.20), (0.21) справедлива следующая

Теорема 0.7. Пусть выполнены следующие условия:

AI функции h„(t,T) (по обеим переменным), v = 0,1,...,т, и y(t) удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем а £ R, 0 < а < 1,

А2 задача (0.20), (0.21) в некотором шаре пространства имеет единственное решение х *(i) € HS"), ß € R, 0 < ß < а < 1,

A3 функция F(t,um, ...,щ,ьт, ...,Vo,wm,..., wo) непрерывно дифференцируема по переменным v„, wu, v — 0,1,..., m, в области

I i |< oo, \uv-x*v\t) |<c, \vv-(Jx*M)(t) [< c,

\wv-(JaKx*M)(t) |<c, у — 0,1,...,то,

и ее частные производные F'Uu, F^, F^, v — 0,1, ...,m, удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а по переменной t и условию Липшица по переменным uv, vu, wv, v = 0,1,..., m, A4 i£(x*) + i£(x*) ф 0 на [0,2*], A5 к — ind(F^(x*) + iFlJx*)) = 0, A6 линеаризованная задача

771

+Fi(xn(Jx^)(t) + F^(X')(J°KXM№) = 0, (0.25)

v=0

Xм(0) = хм(2тг), V = 0,1, ...,т - 1, (0.26)

имеет в Н^ лищь нулевое решение,

В1 формулы численного дифференцирования Г^х^, V — 0,1,...,т, сходятся,

В2 характеристичекие значения оператора Б™ по модулю отличны от 1.

Тогда при достаточно больших п системна уравнений (0.24) однозначно разрешима в некотором шаре

||хп -рлХ*||„(т) < с

пР,п

и приближенные решения х* € Н^ сходятся к точному решению х*(£) € задачи (0.20), (0.21) при п —► оо со скоростью

К -рпх*\\нм < с(гГа+/51пп + £„),

где

£п = л?3/ НДХ^* - qnX',{■v)\\щn.

В §3.4 предложен и обоснован квадратурно-разностный метод решения линейного сингулярного интегродифференциального уравнения в пространстве квадратично суммируемых функций. При этом коэффициенты характеристической части удовлетворяют условию Гёльдера с некоторым показателем 0 < а < 1, а остальные коэффициенты и правая часть уравнения могут иметь интегрируемые разрывы. Точным решением уравнения в этом случае будет функция, старшая производная которой квадратично суммируема.

В вычислительной схеме метода, в отличие от метода, рассмотренного в §3.2, используются не значения коэффициентов в узлах, а их средние значения (по Стеклову) на промежутке между узлами.

Доказана разрешимость метода и получена оценка погрешности приближенного решения

т 1 , 1 \\рпх* - х^Н^о < с(п-а + £ -)2 + «ф'М; -)2) + еп),

П П

2тг

и>т(Л*; = || вир { / | Л„(«,т + к) - Л„(4,т) |2 ¿т}*^.

0<Т)<5 5

Глава 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В четвертой главе рассматриваются приближенные методы решения псевдодифференциальных уравнений. Псевдодифференциальные уравнения являются обобщением сингулярных интегродифференциальных уравнений и наследуют их свойства. Поэтому результаты по приближенным методам решения последних могут быть перенесены на случай псевдодифференциальных уравнений. В то же время псевдодифференциальные уравнения рассматриваются в пространствах Соболева, что позволяет получать более сильные результаты, не имеющие аналогов в других пространствах.

В §4.1 приводятся вспомогательные результаты, необходимые для обоснования полиномиального метода коллокаций. В частности, доказывается равносильность полиномиального метода коллокаций и модифицированного метода Галеркина.

В §4.2 обосновывается полиномиальный метод коллокации для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта. Однако сам сингулярный интеграл с ядром Гильберта в тексте этого параграфа не присутствует, потому что, как показал М. С. Агранович, сингулярный интегральный оператор с ядром Гильберта в пространствах Соболева равен, с точностью до вполне непрерывного слагаемого, раз-

ности операторов проектирования в ряды Фурье по положительным и отрицательным индексам. Поэтому здесь сингулярный интегральный оператор представляется именно в таком виде.

Доказано, что полиномиальный метод коллокаций для сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта в пространствах Соболева имеет погрешность порядка наилучшего приближения точного решения, то есть является оптимальным по порядку.

В §4.3 результаты предыдущего параграфа обобщаются на случай псевдодифференциальных уравнений, а в §4.4 - на случай систем псевдодифференциальных уравнений.

Глава 5. КУБАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В пятой главе обосновывается кубатурно-разностный метод для многомерных сингулярных интегродифференциальных уравнений в периодическом случае.

В §5.1 проводится исследование аппроксимативных свойств интерполяционного оператора Лагранжа в многомерном пространстве Соболева. В частности доказывается следующая лемма об оценке нормы интерполяционного оператора Лагранжа в пространствах Соболева.

Зафиксируем тп б N, s е М, s > m/2 и n = (щ, щ,..., nm) € Nm. Обозначим через

In = II In, = {kj | kj e Z, I kj |< Uj), j = 1,2, ...,m,

3=1

индексное множество и введем на А = [—тг, jr]m сетку узлов

An = {tk = (tk„tk2,-,tkm) е Km I k = {kl, кг,-,km) e l„,

2 тг

tkj = kjhh hj = , -, j = 1,2,..., m}.

Обозначим через

(Р„и)(т)= £ ^к)£пМк), кб!п

Г = (т<1>,т(2),-,т(т)) ед, 1* = ..О е Д„,

интерполяционный полином Лагранжа функции и 6 Н* по узлам Дп. Здесь

= 11 ,0 > ,, — . = 2п + 1 б!(г — Гк),

(2п, + 1) БтЦт"' - 2) 1е1п

п=(пьпа>...1пт) еГ, 1 = (1,1,...,1) ерг,

Т= (тМ.гй,.-,^) е А, ^ = 6 Дп,

- фундаментальные полиномы, удовлетворяющие условиям

[о, 1,ке1„.

Лемма 0.1. Для любых веК, тбй, тп > 2, й > т/2 ипб№" верна оценка

||Рп||н»-.н* < + фз - т + 1),

где

"<-•>-(ад)'"

оо

а = £ з ~ дзета-функция Римапа.

Лемма 0.1 показывает, что в отличие от одномерного случая, где норма этого оператора ограничена, в многомерном случае норма оператора зависит от соотношения числа узлов по каждой переменной, и для сходимости интерполяционного полинома к интерполируемой функции наилучшим является случай равного количества узлов по каждой переменной.

В §5.2 обосновывается кубатурно-разностный метод для полного двумерного сингулярного интегродифференциального уравнения вида

{АВхт + (Тхт = у(Ь), t = (£(1>,^2») б [-7Г,7Г12,

где А - двумерный сингулярный интегральный оператор

Ах = + а01^)(701а;)(4) + + 1пх){Ь)

с сингулярными интегралами

— 7Г

= ¿5 / ¡х(тМтМ)с

— 7Г — 7Г

понимаемыми в смысле главного значения по Коши-Лебегу, В - эллиптический дифференциальный оператор

вх = £ б^Х-г^Х*)

¡кН1|=т

с обобщенными производными

£>к = ) порядка к = (fc1, /с2) € N0,

а Т - известный линейный оператор. Доказывается сходимость метода и получаются оценки погрешности приближенного решения.

Глава 6. КВАДРАТУРНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НА РАЗОМКНУТОМ КОНТУРЕ

Шестая глава посвящена разработке и обоснованию квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегродифференциальных уравнений с ядром Коши на разомкнутом контуре.

В §6.1 квадратурно-разностный метод строится и обосновывается для уравнений нулевого индекса вида

Ёмо^м + УЙ

I/—о т т - ъ

1 1

+ - I К{1,т)х^\т)<1т) = у(г), -1 < £ < 1, с начальными условиями

хм(£0)=0, г/ = 0,1,..., т — 1, -1<&<1,

где а;(£) - искомая, /I/ = 0,1,...т, - известные

непрерывные функции своих аргументов £,т 6 [—1,1], ¿>т(£) является полиномом степени ?го > 0.

В §6.2 указываются изменения в постановке, вычислительной схеме и обосновании метода в случае уравнений положительного и отрицательного индексов.

В заключении подводены итоги выполненных исследований и намечены направления дальнейших исследований по данной теме.

В приложении приведены примеры решения нескольких модельных задач предлагаемыми методами и оценены полученные результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федотов А. И. Решение одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений квадратурно-разностным методом/ Ред. "Изв. вузов. Математика.", 1983. - 14 С. - Деп. в ВИНИТИ №1606 -83.

2. Федотов А. И. Аппроксимация решений одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений тригонометрическими

полиномами с кратными узлами/ Казан, ун-т. - Казань, 1986. - 12 С. - Деп. в ВИНИТИ №2483 - В86.

3. Федотов А. И. Квадратурно-разностный метод для линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. все-союз. симпоз.: Метод дискретных особенностей в задачах математической физики и его роль в развитии численного эксперимента на ЭВМ, 14 - 16 мая 1987 г. - Харьков, 1987. - С. 166-168.

4. Федотов А. И. Квадратурно-разностный метод для решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами// Тез. докл. всесоюз. симпоз.: Методы дискретных особенностей в задачах математической физики, 23 - 29 мая 1989 г. - Харьков, 1989. - С. 271-271.

о. Федотов А. И. Об одном подходе к построению квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегродифференциальных уравнений// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т. 29, №7. - С. 978-986.

6. Федотов А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для одного класса сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Изв. вузов. Математика. - 1989. - №8. - С. 64-68.

7. Федотов А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т. 29, №9. - С. 13011308.

8. Федотов А. И. Квадратурно-разностные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1990. - 110 С.

9. Федотов А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1991. - Т. 31, №2. - С. 201-271.

10. Федотов А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 1991. - Т. 31, №5. - С. 781787.

11. Федотов А. И. Квадратурно-разностный метод для нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений// Тез. докл. V Всесоюзного симпозиума: Метод дискретных особенностей в задачах математической физики, 15-19 сентября 1991 г., Часть II. -Одесса. 1991. - С. 59-61.

12. Федотов А. И. Квадратурно-разностный метод для линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на отрезке// Тез. докл. международ, конференции: Алгебра и анализ, посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева, 5-11 июня 1994 г. -Казань, 1994. - С. 133-134.

13. Федотов А. И. Сходимость квадратурно-разностного метода для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на интервале// Тез. докл. школы конференции: Теория функций и ее приложения, 15 - 22 июня 1995 г. - Казань, 1995. - С. 68-69.

14. Федотов А. И. Сходимость квадратурно-разностного метода для одного класса линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на отрезке// Изв. вузов. Математика. — 1997. - №3. - С. 73-76.

15. Федотов А. И. Об асимптотической сходимости полиномиального метода коллокаций для периодических сингулярных интегральных и псевдодифференциальных уравнений/ Ред. "Изв. вузов. Математика.", 1998. - 17 С. - Деп. в ВИНИТИ №2477 - В98.

16. Федотов А. И. О классах псевдодифференциальных уравнений разрешимых методами Галеркина и коллокаций// Тез. докл. международ. конференции: Дифференциальные и интегральные уравнения, 12 - 14 сентября 2000 г. - Одесса, 2000. - С. 279-280.

17. Федотов А. И. Классы уравнений, разрешимые методами Галеркина и коллокаций// Тез. докл. международ, конференции: Dynamical systems modelling and stability investigation, 22 - 25 мая 2001 г. -Киев, 2001. - С. 102-102.

18. Федотов А. И. Кубатурно-разностный метод для многомерных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 11. Казан, матем. общество.

- Казань: УНИПРЕСС, 2001. - С. 263-266.

19. Федотов А. И. О классах уравнений, разрешимых методами Галеркина и коллокаций// Труды Матем. центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 11. Казан, матем. общество. - Казань: УНИПРЕСС, 2001.

- С. 267-268.

20. Федотов А. И. Численно-аналитические методы решения операторных уравнений// На рубеже веков. Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н. Г. Чеботарева Казанского государственного университета. 1998 - 2002 гг. - Казань: Издательство Казан, матем. общества, 2003. - С. 293-298.

21. Федотов А. И. Сходимость кубатурно-разностного метода для многомерных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений// Тез. докл. международ, конференции: Dynamical systems modelling and stability investigation, 27 - 30 мая 2003 г. - Киев, 2003. - С. 113-113.

22. Федотов А. И. О сходимости квадратурно-разностного метода для полных линейных сингулярных интегродифференциальных уравнений на интервале// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2004. -Т. 44, №2. - С. 337-348.

23. Федотов А. И. Оценка нормы оператора Лагранжа в многомерных пространствах Соболева// Тез. докл. X международ, научной конференции им. академика М. Кравчука, 13 - 15 мая 2004 г. - Киев, 2004. - С. 153.

24. Федотов А. И. Норма оператора Лагранжа в многомерных пространствах Соболева// Тез. докл. международ, конференции: Алгебра и анализ - 2004, 2 - 9 июля 2004 г. - Казань, 2004. - С.-108-109.

25. Федотов А. И. Обоснование квадратурно-разностного метода решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с ядром Коши// Тез. докл. XI международ, научной конференции им. академика М. Кравчука, 18 - 20 мая 2006 г. - Киев, 2006. - С. 627.

26. Федотов А. И. Оценка нормы интерполяционного оператора Лагранжа в многомерном пространстве Соболева// Матем. заметки. - 2007. - Т. 81, №3. - С. 427-433.

27. Fedotov A. I. Asymptotic convergence of polynomial collocation method for periodic pseudodifferential equations// Abstracts: Equadiff

9, Conference on differential equations and their applications, Brno, August 25 - 29, 1997. Brno, 1998. - P. 33-33.

28. Fedotov A. I. On convergence of the polynomial collocation method for singular integral equations and periodic pseudifferential equations// Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2000. - V. 7. - P. 3-14. (http://ljm.ksu.ru/content7.htm)

29. Fedotov A. I. On convergence of quadrature-differences method for linear singular integro-differential equations on the interval// Archivum Mathematicum. - 2001. - Tomus 37, №4. - P. 257-271.

30. Fedotov A. I. On the asymptotic convergence of the polynomial collocation method for singular integral equations and periodic pseudodifferential equations// Archivum Mathematicum. - 2002. - Tomus 38, №1. - P. 1-13.

31. Fedotov A. I. On convergence of cubature-differences method for multidimensional singular integro-differential equations// Book of abstracts: ENUMATH 2003, Fifth European conference on numerical mathematics and advanced applications, Prague, August 18 - 22, 2003. - Prague, 2003. - P. 48-48.

32. Fedotov A. I. Lebesgue constant estimation in multidimensional Sobo-lev space// Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2004. - V. 14. - P. 25-32. (http://ljm.ksu.ru/contentl4.htm)

33. Fedotov A. I. Convergence of cubature-differences method for multidimensional singular integro-differential equations// Archivum Mathematicum. - 2004. - Tomus 40, №2, - P. 181-191.

34. Fedotov A. I. Cubature-difTerences method for singular integro-differen-tial equations// Proceedings of ENUMATH 2003 the 5th European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Applications, Prague, August 2003. - Springer-Verlag, 2004. - P. 308-315.

35. Fedotov A. I. Justification of quadrature-difference methods for singular integrodifferential equations// Proceedings of the conference on Differential & Difference Equations and Applications, Melbourne, Florida, August 1-5, 2005. - Hindawi Publishing Corp., 2006. - P. 403411.

36. Fedotov A. I. Justification of the Galerkin method for one class of singular integro-differential equations on an interval// Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2008. - V. 29, №2, - P. 73-81.

Подписано б печать 02.03.09. Формат 60 x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Печать ризографическая. Печ. л. 2,33. Тираж 100. Заказ 96/3

420008, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел.: (843)231-53-59, 292-65-60