Эквивалентность сходимости регуляризационного процесса существованию решения некорректной задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

чч

r - л Л 1

: t v . i

йнсг/sy? агяемаг/ки Сибирского отделения РАН - " "..........На правах рукописи

Доманский Еягенай Николаевич

УДК 517.948

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СХОДИМОСТИ РШЛЯРЙЗШОННОГО ПРОЦЕССА СУЩЕСТВОВАНИЮ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕШОЙ ЗАДАЧИ

/ 01.01,01 - математический анализ /

Автореферат диссертации на соискание учёной степеяз доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Челябинском государственном техническом университете

Официальные оппоненты:

академик В.П.Наслов доктор физико-математических наук,

профессор И.В.Мельникова

доктор <£из ико -математических наук,

профессор А.Г.Кусраев

Ведущая организация - Московский государственный университет им. Ы.В.Ломоносова

Защита состоится " " Озейр ^Л- ? 199 Ц г.. в 7 О часов на заседании Специализироваднбго совета Д 002.23.02 в Институте математики СО РАН го адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский пр., 4.

С диссертацией южно ознакомиться в библиотеке Института.

Автореферат разослан " /т" 199Эг.

/ "

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических

наук, профессор В.А.Шарафутдинов

Т-регуляриэуемо тогда к только тогда, когда 4 обладает ре-гуляризатором. Легко видеть, что ^ линейно Т-регуляризуемо если и только если ^ обладает линейным регуляризвтором.

В четвертом параграфе вводится понятие разрешимого регулярн-

Определение Э. Рогуляризатор (линейный рэгуляризатор) цл с1&Т для отображения £ называется разрешимым (линейным разрешимым) регуляризвтором, если

где М(4л) = Гх у 13 уе У ^Ы -> £, о} - множество сходимости семейства

Показано, что вопрос о существований непрерывного МРА (линейного МРА) для 4- сводится к существовании разрешимого (линейного разрешимого) рагуляризатора для ф

В связи с этим во всех поелвдувших главах диссертации изучается вопрос о существовании регуляризаторов» в частности, линейных регуляризаторов, линейных разрешимых регуляризаторов и др.

В пятом параграфе главы показано, что если ^ -линейное нормированное пространство и А 'У - непрерывное инъек-

тивное отображение» то образ оператора /4 есть мно-

жество типа Р^^ в 'У , и на основе ^того результата из теоремы I, примененной х отображению А ' , получено следуо-щее важное

Следствие 2. Пусть X - банахово,

■1/

- лйаейное нормированное пространство, А: - инъективный непрерывный оператор. Если оператор А" Т-регуляризуем, то Д"1 непрерывно М-регуляризуем, а в случае сепарабельности X /]~< непрерывно конечномерно М-регуЛяризуеи.

Т.о., обратные отображения Г-регуляризуекн, М-регудяризуемы и даже непрерывно М-рэгуляризуемы одновременно.

В шестом, последнем параграфе главы I вводится понятие секвенциального МРА для отображения £ , в точности описываше» теорему В.П. Маслова (Д$68 г.).

Определение ТРА I, для отображения /

называется секвенциальным МРА для. , если Р&нЪсТ,

п. —о УСсс^сХ(§С->хеЩ) Теорему З.П. Маслова в случае

можно переформу-

лировать так; семейство ~ ^ С&Е + Л/} ) , $->0 образует сетшдаальный МРА для уравнений (2), где У~*У тождественный оператор. .

Изучается свойства секвенциальных МЗ?А для f • Вводится понятие строго разрешимого регулярнее«»ра для f .

Определение 5. Регуляризатор , <¿6! для отоб-

ражения -f называется строго разрешимым для 4 » 0СЛК для любой &с

Всякий строго разрешимый регуляризатор, очевидно, является разрешимым. Приведен пример разрешимого, но не строго разрешимо' го регуляризатора. Показано, что существует МРА для f , не являвшийся секвенциальным МРА для .В заключение параграфа найдены три достаточных условия существования секвенциального МРА для . Например,.

Теорема 2. Пусть / «метрическое, 'У -бесконечномерное сепарабельное линейное нормированное пространство,

4; X-í» И - произвольное Т-регуляризуеиое. отобра-

жения с областью определения, при'кадлекааей первому борелевскому классу множеств* Тогда <f непрерывно секвенциально М-регуля-ризуемо, . '

Глава 2 состоит из 5 параграфов. В § 2,1 на основе известных результатов В.П. Маслова, Д.Б, Бакуиинбкого, Худака вводятся понятия В-разрешимото и усиленно В-разрешимого семейства линейных операторов при некотором линейном операторе для линейного уравнения (2) ив терминах усиленной В-равреиимо-' сти семейства дается необходимое и достаточное условие, при котором данное семейство линейных непрерывных операторов является линейным регуляризатором. На основе этого результата для случая линейного ТРА дана интерпретация пределу "регуляризованного решения" . как обобщенному решению уравнения (2), Предел

{{ЪС является точным решением уравнения ВЛсс^Ву

при некотором линейном операторе В с и

Во втором параграфе главы рассматриваются усиленно В-разре-пимые линейные регуляризаторы, изучаются их свойства. Линейные регуляризатора вида ^(Ы^Ъ, cL>0 , содержание известннй класс регуляризаторов А.Б, Бакувинсхого, исследована на их усиленную В-разревимость.

В третьем параграфе главы дается общая охема обобщения теоремы Пикарг о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма первого рода на основе линейного регуляризатора. При этом используются результаты второго параграфа главы»

В § 2.4 изучаются линейные МРА для линейного уравнения (2). Указано необходимое и достаточное условие, при котором линейный ТРА для уравнения (2) является МРА.

Пусть X и ' 'У - линейные нормированные пространства. Через В>СХ,'У) обозначим множество всех линейных непрерывных операторов из X" в ; Вс СХ, У) - подмножество

инъективных операторов из 9>СХ,У)

Теорема 3. Пусть X и 'У - линейные нормированные пространства, к&ЬС(Х,1/} , Линейный ТРА для уравнения (2) является МРА для уравнения (2) тогда и только тогда, когда

лш^т)

Указан некоторый способ построения линейных секвенциальных МРА для уравнения (2), исходя из линейного регуляризатора.

Теорема Пусть X и ^ - линейные нормированные пространства, АеВоСЪ'У) ; №} ■у ы & [ — некоторый строго разрешимый линейный регуляризатор для уравнения (2). Тогда если для Функции 4Гс) , бёТ , и а!-* о при > О семейство , Б" 6 Т образует ТРА для уравнения (2), то оно является секвенциальным МРА для этого уравнения.

Т.о., все линейные ТРА, построенные на основе строго разрешимого линейного регуляризатора, является секвенциальными МРА.

Линейные регуляризаторы вида исследованы на

строгую разрешимость. Показано, что многие из них являются строго разрешимыми..

В § 2.5 предложены способы построения линейных секвенциальных МРА для линейного уравнения (2) при условии, что оператор в уравнении задан с ошибкой.

Глава 3 состоит из 4 параграфов. Она содержит ряд необходимых условий суаествования линейных регуляризаторов, линейных разрешимых регуляра зато ров для уравнения вида (2), С7- регуляри-заторов для задачи управления. На основе этих условий указан ряд отрицательных примеров.

Так, например, получены такие результаты:•

I) если А'1 линейно регуляризуеи, и /У-* ИгС6?у

О

пространство, то x-wca пространство ;

2) если А"* линейно регуляризуем н слабосепа-рабельно, то слабо* сепарабельно ;

3) если А обладает дискретны« линейным разрешимым регу-ляризатороы и Х*~ слабо'*" сепарвбельио, то 'У" слабо* сепарабельно.

Эти утверждения дополняют известное необходимое условие Т-регуляризуемости Л" , полученное В.А. Винокуровым (1^72 г,).

Глава 4 диссертации состоит из 7 параграфов. В ней в основном изучается линейные конечномерные разрешимые регуляризаторы.

В § 4.1 изучаются так называемые ГГ-регуляризаторы для некорректных задач управления, рассматриваемых В.К. Ивановым. Установлено суаествованио линейных конечномерных 'У -регулярн-заторов для задача управления, т.е, задачи ревения неравенства ЦА<с- U-ïl^S , Р-тО , с лобвм оператором АеВСХ.

If) , плотно по норме действующим из нормированного пространства X в сепарабелызое банахово пространство со свойством ограниченной аппроксимации .

Во втором параграфе главы на основе анализа теоремы Пикара о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма первого роде вводится понятие разрешимого базиса для уравнения <2) с произвольным опервтороы А из в случае бесконечномерных банаховых пространств.

Определение 6. Базис в X i с сопряженной сис-

темой Р&кУ называется разрешимым базисом для уравнения (2),' если существует последовательность функционалов

О**?) » Л-'ёгЖ" такая, что множество схо-

димости последовательности операторов

К-

= Jf

совпадает с т) . -

.По определению всякий разрешимый базис для уравнения является базисом Шаудера., С другой стороны, каждый базис является разрешимым базисом для тривиального уравнения . Пример разрешимого базиса содержит упоминавшаяся классическая теореме Пикара. Именно, разрешимым базисом является базис из сооственных элементов оператора уравнения. Замечено, что решение ОС и

Ю

только решение уравнения с^ > обладавшего разрешимым

базисом Г^иЗ с сопряженной и1 , можно представить в виде:

оО

<х«дI

п»1

где - некоторая последовательность из ^ такая,

что

7*4 - некоторая по<

I«- , И&Ж

Разложение решения уравнения Ь'Х-^- по разрешимому базису можно понимать как обобщение классического разложения Гильберта-Шмидта.

Найдены два необходимых и достаточных условия<сн^последовательность, при которых она является разрешимым^для данного уравнения (2).

Теорема 5. Пусть X и 'У - банаховы пространства, причем X с базисом, И слабо*" сепарабельно,

АеВЛХЛ) . Тогда следувиие условия равносильны:

1) "ГякЗ" - разрешимый базис в X для уравнения (2) ;

2) последовательность Лг*3 образует базис в X , сопряженная которого "Л^нЭ такова, что для некоторой тотальной в последовательности {'¿¡к} .

1 /> V

У) последовательность с&нЛ • образует базис в X ,

причем оператором /4 он переводится в минимальную систему с тотальной сопряженной.

Из теоремы 5 получен ряд следствий.

Следствие 2. Суаесгвувт банаховы пространства X к "У с базисом, с сепарабельныни сопряженными пространствами и оператор

¡\€ Вв(Х?'Ц) • Для которых уравнение обладает базисом с сопряженной из А^'У* и не имеет разрешимого базиса.

А.Н. Шшчко доказано, что разрешимым базисом обладает любое

уравнение (2) с оператором л , плотно по норме действуотам из

рефлексивного банахова пространства с базисом X в линейное

гИ •

нормированное пространству а

В заключение параграфа по аналогии с определением 6 вводятся понятия разрепимого операторного базиса и разрешимого линейного операторного базиса для уравнения вида (2), обобщавшие понятие разрешимого базиса. »

о

В третьем параграфе главы приводится замечательный результат В.П.Фонфа.

Теорема б (В,П. Фонф). Пусть X и "У - банаховы пространства, л сепарабельно, слабо* сепарабельно, , С^ледупвде утверждения равносильны:

1) оператор /4~ Г-регуляризуем;

2) в X существует разрешимый операторный <5азис для уравнения С2);

3) уравнение (2) обладает разрешимым конечномерным регуляри-затором. Найдены некоторые новые классы операторов , для которых оператор л ГТ~ регуляризуем. Для уравнений с такими операторами в силу теоремы В.П. Фонфа существует разрешимый операторный базис.

Теорема 7. Пусть X п - сопряженные пространства

к некоторым банаховым пространствам, причем простран-

ство, Аё- - сопряженный оператор к некоторому

линейному непрерывному оператору. Тогда /4 . Т -регуляризуем и, следовательно, ¿11- регуляризуем.

М.Й. Островским доказано, .что обратные операторы к сопряженным операторам линейно конечномерно Т-регуляризуемы.

В § главы получен аналог теоремы В.П. Фонфа для линейного случая.

Теоремц 8. Пусть А и - банахова пространства,

^ слабо'51' ■ сепарабельно, ¡\€. ВьСУ^з) . Следующие лредло-кения равносильны:

1) оператор /4 линейно конечномерно регуляризуем;

2) в )( существует разрешимый линейный операторный.базис для уравнения (2);

У) оператор обладает линейным конечномерным разре-

шимым рзгуляриэатором ;

4) оператор Л""1., линейно конечномерно Л1 -регуляризуем.

В .§ 4,5 главы найдены некоторые достаточные условия, при

которых в известных критериях В.А. Винокурова, Л.В. Гладуна, Ю.И. Петувина, А.Н. Пличко Т-регуляриэуемосги /4 1 и В,А. Винокурова, А.Н. Пличесо линейной конечномерной Т-регуляризуемости

Д""' подпространство /\*~/}?>г можно заменить на возможно более обозримое-подпространство

ел

, где 01 -произвольное тотальное подпространство Сне обязательно замкнутое) из *У .

Таким условием, например, является условие слабой компактности оператора А .В результате сформулирован ряд эффективно проверяемых достаточных условий Т-регуляризуемости или линейной конечномерной т-регуляризуакости обратных операторов к суперпозиции линейных непрерывных операторов.

В § 4.5 главы рассматривается вопрос о существовании так называемых линейных канонически конечномерных регуляризатороэ для . Показано, что обратные операторы к сопряженным операторам обладают такими регуляризаторами. В последнем, седьмом параграфе главы изучаются проекционные регуляризаторы для А , т.е. линейные регуляризаторы вида , цеЖ, где Кг. -

некоторый проекторы на некоторув возрастающую последовательность замкнутых подпространств М-н. из ЯСА) . Указаны некоторое условия существования проекционных регуляризато» ров для ¡\~ .

Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Т.о., в ходе выполненного исследования изучены некоторые вопросы нового направления в теории регуляризации некорректных задач - регуляризация по Маслову.

Получены следующие основные результаты.

I) Введен ряд-понятий теории: понятие М-регуяяризуащего алгоритма, секвенциального М-регуляри9уонего алгоритма для отображения, действующего в метрических пространствах, понятие раз, решимого и строго разрешимого рэгуляризатора, разрешимого базиса для уравнения и др«

■ 2) Найдено необходимое я достаточное .условие существования непрерывного МРА для отображения, достаточное условие существования секвенциального МРА для отображения.

3) Доказано, что обратные отображения к непрерывным отображениям обладают ТРА и непрерывным МРА одновременно. Если простру* * *

ранство э слабо сепарабельно, то обратные операторы к линейным непрерывным операторам линейно конечномерно Т-регуля-ризуемы и линейно конечномерно М -регуляризуены также одновременно.

4) Указан способ построения МРА и секвенциальных МРА для уравнения как точного, так и возмущенного.

5) Получены условия существования разложений по базису яда некоторому его обобщению для решения уравнения A^-fr » обобщавших классическое разложение Гильберта-Шмидта. Сформулированы необходимые и достаточные условия на последовательность элементов пространства, при которых она является разрешимым базисом для уравнения ¡{oc^ty .

' ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕШ ДИССЕРТАЦИИ

1. Доманский E.H. К вопросу о разрешимости линейного операторного уравнения // Известия вузов. Математика. 1979, je 2.

С. 25-30.

2. Доманский E.H. Характеристическое свойство линейного- регуляризатора // Тезисы докладов Всесосзной конференции по некорректно поставленным задачам. Фрунзе: Йдим, 1979. С. 56-57.

3. Доманский E.H. Условия усиленной В-разречшмости линейных ре-гуляризувщих алгоритмов // Исследования по математическому анализу- Свердловск: УрГУ. 1979. С. 23-29.

4. Доманский E.H.,О регуляризусвдх алгоритмах, сходимость которых эквивалентна разрешимости некоторых линейных операторных уравнений // Известия вузов, Матем^гика. IS80, Ъ 7. С. 14-20.

5. Доманский Б.Н, 0 классе усиленно В-разрешиных линейных регу--ляризующих алгоритмов // Известия вузов» Математика. 1980,

» 8. С. 20-26. "

6. Доманский E.K« Некоторые необходимые условия линейного регуляризатора // Прикладная математика. Челябинск: ЧПИ. 1980. -С. 33-35.

7. Доманский E.H. О свойствах тотальных последовательностей

' • 14

операторов и некоторых их приложениях // йатем» заметки.

- 1933. Т. 34, S 2. С. 219-226. . '

8. Доманский E.H. О некоторых свойствах образа сопряженного оператора и регуляризуемостя обратных задач // IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Тернополь: Збруч. 1984.С-42,> ,

9. Доманский E.H. К регуляриэуемости некорректно поставленных задач управления // Теория и методы репения некорректно поставленных задач и их приложения. Труды Всесоюзной аколы--семинара по некорректно поставленным задачам. Саратов: Сарат. гос. университет. 1985. С. 61-62.

10. Доманский E.H. О регуляризуемостя некорректно поставленных задач управления. Известия вузов. Математика. 1986, К 12. С. 27-31.

11. Доманский E.H. О некоторых свойствах образа сопряженного оператора // Некоторые вопросы теории операторов. Свердловск: УрГУ. 1987. С. 29-36.

12. Доманский E.H. Об эквивалентности сходимости регуляризувщего алгоритма существованию решения обратной задачи // ХП школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы

. докладов. Ч. I. Тамбов. 1987. С. 65.

13. Доманский E.H. Об эквивалентности сходимости регуляризующего алгоритма сукествованив решения некорректной задачи // Успехи матем. наук. 1987. Г. 42, вып. 5. С. 101-118. .

14. Доманский E.H. Необходимое и достаточное условие непрерывной регуляриэуемостк по Маслову разрывных отображений // Х1У школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезнси докладов. 4.1. Новгород. 1989. "С. 81.

15. Доманский E.H. О разрешимых базисах для линейного операторного уравнения первого рода // ИЗ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Нижний Новгород. 1991. С. 69.

16. Доманский E.H. Из сходимости формальных "регуляризованиых решений" некорректной задачи следует сходимость их к решение этой задачи // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тезисы докладов Международной конференции. Москва. 1991. С. 129.

17. Доманский E.H. О непрерывной регуляризуемости по Маслову некорректных задач //Докл. АН СССР. 1991. Т. 321, К 2.

С. 246-249.

18. Доманский E.H. О существовании.разрешимых, базисов для линейного операторного уравнения первого рода // Тезисы Мевдународ-ной математической конференции, посвяценной 100-леиш со дня роздения С.Баваха. Львов. 1992. С. 58-59.

19. Доманский E.H., Надец В.И. О базисных подпространствах в сопряженном пространстве // XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезиса докладов. Часть I. Челябинск: ЧПИ. 198$. С. 39.

20. Доманский E.H., Кадец В.М. О базисной регуляризуемостк' обратных операторов // Сиб. матем. журнал. 1S88. Т. 29, ё 5. С. 104-108.

21. Доманский E.H., Островский М.И.' 0 нормируемости образа сопряженного оператора // XI; Всесоюзная окола по теории операто-

■ ров в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Часть I. Челябинск; ЧПИ. 1986. С. 40.

22. Доманский E.H.» Островский М.И* 0 рагуляризуемости обратных

операторов к линейным инъекциям и кх суперпозициям // Скб.

' - матем. журнал. I988. Т. 29, В 3. С. 190-193. . ■ -

23. Доманский E.H., Пличко А.Н. К обобцввио "теоремы Пикара о разрешимости интегрального уравнения Зредгояька первого рода // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280,' » 4. С. 781-784.

24. Доманский E.H., Пличко А.Н. К обобщении теорема Пикара о разрешимости интегрального уравнения фрэдголька первого рода - полный текст JJ Исследования по функциональному анализу и его приложениям. Свердловск: УрГУ. IS85. С. 19-28.

25. Доманский E.H., Фонф Е.П. Операторное базисы и разрешимость операторных уравнений первого рода // Докл. АН СССР. ISS7. Т. 292, № 3. С. 531-534.

26. Дсмаюкяй Е.П. О достаточном условия ®прерывной секвенциальной рзгуляризуемоетк по Маслову разрывных отображений // Тезисы ''э>1дутроцной конференция, шозящзнаой памяти академика М.П. Кравчука. Институт математика АН Украина. Луцкии пэд. институт. ltoB-Дуцк. 1ЭЭ2. С. 68.

27. Доманский E.H. О рехуляризуемссги но Маелову разрывных отображений П Известия РАН, сер. магам. 1993. Г.57, >1 I.

С. 33-58. .

' 28. доманский E.H. О проекционной регудяркз} вмести обратных операторов ■// ;,'ате?л. залет к и. 1993; 1". 53, выл* 3.

. С. 28-35. -

Г7