Устойчивые методы решения нелинейных монотонных некорректных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

г ь од

о т

На правах рукописи

РЖШЦЕВА ' Кряна Прокофьева

устойчивые методы реиеш нелинейных монотонных некорректных задач

01.01.01 - математический анализ

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1995

Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: академик АНЭ, _

профессор ВАЯНЖКО Г. М.

'член-корреспондент РАН, . профессор ВАСИН В. В-.

доктор физико-математических наук, профессор ФЕЛОГОВ А. М.. . Ведуаая организация: Воронежский государственный университет

Залита состоится -к. шт 1935 года в

К.

на заседании диссертационного совета Д-063.98.02 Новосибирского государственного университета по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Парогоза, 2. ' • '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного-университета. ,

Автореферат разослан ", Ж _" 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Ч^т - / — ■ -' > — I »

л/

I. ОШАЯ ХАРАПОТ*ЛУ£А РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Мкогие практические задачи приводятся к операторному уравнение

Ах = J, х е X, f е У, СП

где оператор А действует из метрического пространства X в метрическое пространство У. Среди задач вида CID особое место занимают некорректные задачи.

Ранее считали, что корректность задачи С13 необходима для того, тгобы соответствующая ей физическая или техническая проблема имела, реальный смысл. Поэтому вопрос о создакии методов решения некср-зектнкх задач долгое время не ставился. Однако, интенсивное зазвитие науки и техники все чаше приводило к необходимости решать именно такие задачи. Общепризнанной стала проблема создания теории ! методов решения некорректных захач. -

Начало разработке таких методов положила работа А.Н. Тихонова 33]. Ка основе ее результатов М.М.Лаврентьев ввел понятие условно-гсрректной задачи [34]. ¿ля решения этих задач надо уметь налагать •акие условия, которые определяли бы компактное множество Xj с X, :ояерхадее решение XI). Основеой вклад в решение этой проблемы внес L М. Лаврентьев.

Задачи, для которых нельзя построить компактное многество Xj допустимых решений", называвт существенно некорректными. Лля репения кг !. Ы. Лаврентьевым предложен' операторный. метод регуляризации, а А. Н. Тисковым устойчивый вариационный метод решекняСметса .сглаживающего ункаиовала [33]) . Кроме того, свердловской школой математиков под уковсдством Б. К. Иванова разработаны еае два вариационных метода реше-ия некорректных задач: метод,квазирешений н метод невязки 1353.

Наиболее интенсивное и подробное изучение все перечисленные ые-оды получили для линейных задач. Фундаментальные результаты этого аправления изложены в монографиях М.М. Лаврентьева"[34,37], А.Н.Ти-онова и В.Я.Арсенина [333, В.К.Иванова, В.В.Васина я В.П.Танана [33], .А.Морозова [33], А. Б. Бакунинского и A.B. Гончарского [391, в обзорах 40,41], а также в многочисленных статьях, диссертациях.

Потребности практики привели к необходимости создания методов ре~ экия нелинейных некорректных задач. Варяашюнные методы решения та-

ких задач получила законченное развитие в работах 0. А. Лисковаа С 423, методы решения экстремальных задач исследована Ф. П. Васильевым [ 43].

Получить результаты, близкие к линейному случаи для всего класса нелинейных задач не удается. 9 связи с зтлы появилась необходимость выделения отдельны! классов нелинейных некорректно задач. В качестве такого класса был -определен класс задач с монотонными операторами. . Внимание к ним сило привлечено благодаря следуюаему простому утверждение: градиент Ешухлого функционала является монотонным отображением.

Интенсивное изучение задач с монотоншии отсСрагения;,а привело к созданию за последние тридцать лет теории монстоннннх операторов. Существенный вклад в ее развитие внесли М. Ы:БаЯнСерг, Р. й. Качуров-еккй, Ф.Е. Браудер, X. Ерезис, Р.Клсге, Р. Т. Рокафеллар и другие математика. Эти фундаментальные исследования используются в диссертации в качестве аппарата для построения методов решения нелинейных монотонных некорректньег задач.

Основное вникание в- работе уделяется операторному методу регуляризации. Идея этого метода» восходящая к работам М. М. Лаврентьева [343, в нелинейной случае была использована в работах целого ряда авторов, причем здесь•исследования проводились либо при уеловин точного задания оператора," ллйо на приближения к А накладывались весьма жесткие ограничения. Широкий круг задач оптимизации сзодится к вариационным неравенствам, для которых не проводилось подробное исследование регуляриз прусака: алгоритмов.

Проблем выбора параметра регуляризации - одна из гажкеЗнж' в гео рии некорректных задач. Самые распространенные способы определения. а: принципы невязки, квазиолтяшльности и мжншаяьяыя невязок - обоснованные для линейных задач, в нелинейном случае не подвергались подобному изучении.

Вариационные методы, являвшиеся эффективными в лзшейн.-м случае, для' нелинейных задач теряют свои основные преимущества. Поэтому возникла проблема такой модификации методов квазиреиекяй а "невязки для монотонного случая, чтобы предлагаемые алгоритмы лишались бы тех недостатков, которые создают трудности■при ш численной реализации в нелинейном случае.

После построения методов регуляризации естественным становится вопрос о ¡¿этедаз Спроекшюннш-и згхерациокньЕ:} приближенного решения регуляризованной задача.

Нэ всякую нелинейную задачу мохео поставить в раыках гяльбер-'4 . ■

та пространства. Это потребовало распространения некоторых извест-гах методов итеративной регуляризация, построенных в гильбертовых [ространствах, на классы банаховых- пространств. -

В процессе исследований решался ряд задач, не изученных в-тео->ии монотонных операторов. В классической теории монотонных операторов доказаны теоремы существования решений уравнений и' неравенств, ■ста оператор удовлетворяет каким-либо. условиям непрерывности или ¡аксимальной монотокностиСаккретнвности). Однако, установить максл-:альнув монотояностьСаккретпвкостьЗ оператсра чаще всего непросто, роме того, эти операторы в общем случае ¿Геляются многозначным!, что оздает'определенные трудности при численном решении. Этими прсблека-и Еыэвана необходимость' доказательств разрешимости уравнений и нера-енств с произвольны!,ш. монотсннымиСаккретивными) отображениями,что -ает возможность поникать.под оператором А любое его однозначное се-ение. Кроме того, получены достаточкне услоеия разрешимости вари-кконных неравенств с полумонотоюшнми неограниченными операторам:.

ЦЕПЬ РАБОТЫ-: для нелинейных монотонных задач построить устойчивые етояы решения, использующие различную информацию о исходной задаче; Засновать, а при необходимости и модифицировать, известные способы . абора параметра регуляризации, показать универсальность применяемой-столики, использовав ее при решении различных монотонных некоррект-лх задач; установить сходимость - классических приближенных методов !терационньгх и проекционных) для регуляризеванной задачи.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы являются' новыми и вносят (лад в направление математики - методы решения нелинейных некоррект-гх задач с монотонным операторами.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Теоретическая ценность рабо-г состоит в том, что для важного класса нелинейных некорректных задач >строены и обоснованы устойчивые методы решения, получены условия, при )торых для регуляризованной задачи применима некоторые классические "ерашюнные и проекционные кетоды; разработанная в этих исследованн-¡- методика к приемы доказательств могут быть использованы при решении :угих проблем, описываемых с помощью монотонных отображений; нехотою утверждения, такие как теоремы существования решений, построение, одиыость, правила останова итерационных проиессов, имеет самостоя-'Льный интерес. Практическая ценность состоит в том, что полученные оультаты применимы при решения следуишс конкретных неустойчивых ш-тонных задач: задачи теория игр, экстремальные задачи, уравнения в

..частных производных, воэникавдие в.нелинейной теории упругости; теори веньстоновской жидкости, квантовой механике и т.д..

АППРОБАЦИЛ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на конференции по численным методам решения краенвд задач и интегральных уравнений Сг. Тарту,'1981), на Всесоюзной школе'- семинаре по некорректным задачам ССаратов,1985), на семинаре в МГУ, руководитель Ф.П.Васильев (1983), на Сибирской школе по методам решения условно корректных зада (Красноярск,, 1986), на III Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Алма-Ата, 1989), на II Всесоюзной конференции "Математическое моделирование : нелинейные проблемы и вычислительная математика" (Звенигород, 1990), на Международной конференции "Некорректные задачи в естественных науках" (МоскЕа, 1991),на XVI Всесошной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород,1991 в институте математики УрО РАН (руководитель семинара .3. В.Васин, Екатеринбург, 1993), в Казанском госуниверситете на кафедре вычислительной математики (руководитель семинара• Ä. ДЛяик'о. 1993), в институте математики СО РАН на сешшаре по условно-корректным задачамируководитель семинара М.М. Лаврентьев,1993), ка семинаре теоретического отдела института гидродинамики .СО РАН ( руководитель семинара Л. В. Овсянников, 1994), на семинаре кафедрц математической физики МГУ Сруководитель семинара А. М. Денисов, 1994), г-а семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара'А.И.Перов, 1993).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертационной работы отражены в 32 работах, список которых прилагается в конце автореферата.

ОБЪЕ.1 РАБОТЫ. Диссертация изложена .на 326 страницах. Библиография содержит 169 наименований.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит га введения и семи глав', разделенных на двадцать семь пунктов. Нумерация пунктов двойная,- первая цифр-, соответствует номеру главы, а вторая - порядковый номер параграфа в- данной главе.

Во введении дается краткая характеристика основных методов современной теории некорректных-задач, обосновывается актуальность теш, кратко налагаются основные результата работы.

. Всюду предполагается, что X - рефлексивное банахово пространств-. в

X* - его сопряженное, причем X и X* - строго выпуклы, Я - гильбертово пространство, непрерывные возрастание неотрицательные функции, определенные при I > 0 будем называть здесь НВН-фуккпиями.

В первой главе "Монотонные и аккретиЕные отображения" дается описание аппарата исследования. Здесь автору принадлежат следушне результаты.

В тр 1,3 для произвольного монотонного оператора А с 1пОХА) * 0, ОСА) - выпуклое замкнутое множество в X, доказано существование единственного решения уравнения

Ах + ейЛс - / СЗЗ

едя любого элемента / е Xя, где А:Х -^ , —>Х* - дуальное

этображение с масштабной функцией уСО, а решение (3) понимается в обо-Заенном смыслеСсм. 144]). Кроме того, показано что в тех же условиях сравнение СЗ) эквивалентно следующему: 2х + = /, где Л - макся-хаяьное монотонное расширение А, IX А) = 1X1). Под решением вариационного неравенства

<• Ах - /, г - х •> £ 0, уг € 0, х'е О, ". Ш

: произвольным монотонным оператором А на выпуклом замкнутом множестве 1 понимаем элемент х 6 П, длг которого найдется у е 2х такой, что "у-/, г - х > Ъ 0, уг ей. "

В гА.4 при Ш й * 0 или 2 п Ш!ХЛ> * 0 доказана однозначная • разрешимость иеравенста с Ах + пУ^х - /, 2 - х •> £ 0, уи € О, х е й, получены достаточные условия разрешимости С4) с неограниченным полумонотонным отображение«.

В гЛ.3 установлено, что при условии непрерывности дуальных отображений в пространствах X и X* аккретившй оператор локально ограничен в тИХА), найдены достаточные условия выпуклости ыяожества Ю7, до-

7

казана однозначная разрешимость уравнения Лх + ах = / с произвольным аюкретивныы отображением, DCA) - X.

Глава II "Операторный метод регуляризации для уравнений с монотонными операторами" посвяаена получению достаточных условий сходимости указанного метода для уравнения Ш в предположении приближенного задания элемента / и оператора А.

Пусть вместо / задана последовательность ( ¡1/ - i б, а для максимального монотонного оператора .4 известны максимальные монотонные

приближения Ah:K --> 2х* С h > О Э, причем ¡ХАЗ = DCAh), и

T*CAx,dhû ^ gCflxph, С55

где Ах и - множества значений операторов А и Л1 в точке х, r*(P,QJ - хаусдорфово расстояние между множествами Р и Û в X*, - НВН-<$ункция.

В качестве регулярязованного будем рассматривать следующее уравнение

Ahx + atf\ = f6, а > О. (6)

В vPz. i изучается случай гильбертова пространства и доказана ТЕОРЕМА 1." Если А: И —> г4 - максимальный монотонный, оператор,

â/a —-> 0, tVа -> 0 при .а -> Û, то последовательность

С Г = (ô,h) J решений уравнений

Ahx + ах = / (7)

сильно сходится при а -> 0 к минимальному по норме решения х*

уравнения С13, которое предполагается разрешимым.

В тр2.2. исследуется случай банахова Е-пространства, при этом элементы определяются из регуляризованного уравнения С6).. Здесь также показана справедливость теоремы 1. Никаких ограничений на область о;.-8

«деления отображения А не налагается. Результаты о сходимости ¡аспространяются и на уравнения с произвольными монотонными операто->ами. Получены достаточные условия сходимости метода С63, когда вмес-■о CS) выполняется более слабое неравенство.

Установление оценки сверху для величины - x*g считается одной з самых сложных и ваюшх проблем в теории некорректных задач. В ли-ейнсн случае такая оценка получена при весьма жестком требовании :стокообразной представимости решения. А. Б.Бакушинскйй обоб&ил это по-ятие на нелинейные равнения и получил указанную оценку в гильберто-сы пространстве в монотонном случае. В тр2.. 2 подобная опенка найдена ля истокообразно представимого решения при условии, что оператор

:Х-> Xs, а-геометрии пространств К и X* обладает некоторыми

всйствами.

В îfiz.i изучаются уравнения с произвольными полумонотонными отобра-ениями А и Доказано, что если масштабная функция fjCtJ в CS) по-обрана специальным образом, а последовательности (б/а) и ih/a) при

-> 0 ограничены, то всякая слабая точка сгуаения последователь-

ости" fx^.? есть решение (1).

В главе III "Способы выбора параметра регуляризации" иссяедувтся равила построения функции аСУЗ, базирующиеся на различных данных о адаче и ка различных трейо: 1ниях к приближениям х^.

Пункт 3.1 посвяшен принципу невязки, согласно которому значение а эй заданных б и h находится из уравнения, связывашего невязку урав-;кия С13 на решения С6) с уровнями ошибок данных ô и h, которые счв-штся известными. Невязка здесь понимается в обойденном смысле [45], е. невязка рц(сО = а^Цх^р. Установлены следумше ее свойства.

flfflMA Î. При a Z oq j 0 функция невязки однозначна непрерывна, а

:ли о € DCA3, то lim. д.СаЗ = + ® , a если 0 € ХЮ, то

а —=-> a g

Цт р^сО = - }6Ь где элемент е А^СО) и определяется соотно

Я -> 00

яенией

ц{ - }61 = тп < ьА- ЛАаз > . сю

Основное утверждение этого пункта вырахается теоремой.

ТЕОРЕМА 2. Пусть X - Г-пространстьо, А:Х —>2**, А-Х-.> ;

С К > 0 ^-максимальные монотонные операторы, дСЮ^ОСА^З, 0 с с5+а ^ : причем выполнено условие (93/ Если 0 б ВСЮ, то дополнительно предполагается справедливость неравенства

- /<51 > + 8С0Ж6+Юр, к > 1, р е C0.il,

здесь элемент е А^СОЗ и удовлетворяет (8). Тогда существует единственное решение а уравнения

рС£> = а^ » [Л + + Юр, С93

где - решение регуляризованного уравнения А^х + йУх = , У -

нормализованное дуальное отображение. Кроме того, при г --> 0 :

О а ——> 0; 2) ест р е СО^З, то —> х*, 5/а-> 0,

Vй -> 0; 3) если р - 1, и уравнение (13 имеет единственное ре-

аение хо • то -а последовательности (¿/о? и огра-

ничены.

Утверждения теоремы 2 обобщается на случай произвольных монотонн* отображений /1 и А Подобный С 9) способ выбора а получен я для регу; риэо'ванного уравнения (63 при рСО = 5^2..

В условйях Теоремы 2 невязка является возрастающей функцией. Это свойство обеспечивает применение при решении уравнения (9) разнообразных приближенных методов, для реализаций которых весьма полезна оценка сверху величины а, полученная в конце п^З.1.

Далее предполагается, что уровни ошибок данных 6 и Н неизвестны.

В -пРз. 2 исследуется возможность выбора' параметра а из принципа ява-зиоптикальносте, если монотонный оператор А: И —> И, причем считается, что к = 0, т. е. регуляризованные решения ха ^ находятся из уравне-1ия:

Ах * ах = /6, СМ)

I функция квазиоптимальности (ем. 146]) уСсО = где Уа 5 =

= ахс' ^ . При этом элемент х является решением корректной задачи 4'Сха £с.)х + ах = - ха ^ . За значение а в уравнении СЮ) принимаем ''463 налмекьшуо пределькув точку множества ( а > 0 / = : £п/ (уСВ) / 0 < (3 < а }}, где а - некоторое фиксированное число, ¡оказано, что ограничения на приближения при которых установлена ¡сзможность выбора а из принципа квазиоптимальности в линейном случае, [влявтся достаточными условиями такого способа определения а я для ве-кнейных монотонных уравнений. •

Пусть А: К-X*, а решения ха ^ находятся из уравнения

Ах * с^х » Д Ш}

'де 1^= при рСО = 5 £ Тогда элемент ха'^ будет являться

»ешенаем задачи, не огвосяпейся к корректным для широкого класса ба-аховых пространств. В гРз.3 предлагается вместо ?СсО рассматривать ункоию выбора иСаО = ат8га 5!> где т = {/С 8-1), - единственное ешение одного из уравнений

Аг ♦ с^г = * ; + * 1 (Аса>5 .

де й - решение (11). Показано, что результаты п°3.2 остаотс* спра-едливымв я для предложенного способа выбора а в некотором классе анаховых пространств. И наконец, в лРз. 4 строится принцип минимальных невязок. Значение

и

параметра о = oq г регуляризованном уравнении

Ах+ dJx * f6 (12)

предлагается находить аз соотношения

Oq * inf( ó ✓ р<Г£> e in/ ípCaJ, а > M }) ,

где Л -"допустимый класс-решений (1), - решение (12). При некоторы ограничениях на приближения доказываются сходимости х"? -> х*,

UQ

ад-> 0 при б ——> 0. _

Отметим, что при неизвестных уровнях ошибок не всегда можно доказать сходимость методов регуляризация без дополнительных ограничений на приближения [39,47],

В главе IV "Операторный метод для монотонных вариационных неравенств" изучается сходимость операторного метода регуляризации для задачи (4), которая считается разрешимой.

В тР^Л предполагается, что множество Q, на котором решается неравенство (4), задается точно, причем intQ * % или í) n intDCA) * Й , Регуляризованные решения находятся из неравенства

<• А + - f6, z - х > 2 0, vz е а, х е Q. . ' (13)

*

Доказывается справедливость теорема 1- и в этом случае, причем х* -элемент с минимальной кормой из множества решений (4).

Невязка вариационного неравенства (4) на решениях (13) определяется, как и прежде: Р^СаЭ = a -

ШША 2. Невязка р^Сп) есть однозначная непрерывная функция параметра а С а > 0 ), я если о <£ Й, то lía р Са) = + со ,а если о <г Z и ч а ——> а

ТО lim р Ccú = ¡}у* - 3, причем когда 0 е in£Q, то элемент у} опреде

a ® * ■ , - *

ляется из С8), а если о 6 <30, то Щ - f\ = ¡ata { |v - /°| / и « Е^СО)}, где ^ + 5Í0, 3.'q - субдиф^ергнциал индикаторной фуи tí

аии множества Q.

ТЕОРЕМА 3. Если в условиях теоремы 2 ШП * 0 или Q л Ш1ХА 1 * 0, h > 0, а элемент у^ определяется аз лешш 2, то существует единственное решение а уравнения С9), где х^ - решение вариаиионного неравенства

<• Ahx + dJx - }б, г - х > S 0, yz 6 П, х е Я, . CU3

при а = а, и для последовательностей { J, (6/cJ, (h/aУ, (о) при

Y -> 0 имеет место утверждения теоремы 2.

В rPi.Z предполагается, • что множество П задается приближенно, а именно, вместо 0 имеется последовательность выпуклых замкнутых множеств С > 0, причем либо iiUQ^. * 0, либо л

intDCAny * 3,

<з > 0, h > 0, и неравенство (S3 выполняется на С a Qa- Близость множеств 0 и QT определим через хаусдорфову метрику з X

гСЙ, Ц^З < a. С15)

Пусть .4: Н -> и при всех ¿>0, hiO^atO справедливо

неравенство -

• IjA- /*1 s * t>, jAs А, х € £За, с > Q, С163 с Пд., б/a —> О, h/a-> 0, cr/a -> 0 при а -> 0 , то последовательность {>*) С г - (5,h,a) J решений регуляризованного вариаиионного неравенства

f А + ах - 2 - х J > 0, уz z х ,й С173

сходится по норме И при а -> 0 к минимальному по норме решение (4).

Утверждение остается справедливым г при flff с il, если элементы определяется из неравенства

С А: + аЕ^х - i6, z - х Э > О, Y2 € Qa, х е GT, С183

где -—> И, &С0> - 0, £^х - х ¡¿Ml/frl, х * О, rfO > gCO

при t > tQ > 0, причем цСО есть НВН-функпия. Kpoiie того, если (53 вы-

полкяется при Q и йа, то сходимость последовательностей решений (17) и С183 при а —0 имеет место без дополнительных предположений о влохимосгк множеств Сг(1г

Требование С153 для неограниченных множеств является весьма жестким. Получены условия,.при которых решения регуляризованных.варкациов-ш неравенств, рассматриваемых на последовательности специальным. образом построенных ограниченных множеств, сходятся к решению (43. Если такую последовательность множеств трудно получить, то найдем величину тШХ { sCR.O.Cl^, sCR,QaSú >, где

sCR.P.Q) = sup inf gu - ul, R> 0, í* - { x eP /|х| < R }, причем ивГ ueö

прк ¡£= ß считаем, что sCR,P,G> - 0. . Предположим, что

тCR, оду í оГйЗс, (193 где аСЮ - НВН-функпия, аСОУ - 0, аСЮ -> оо при R -> оа . Построим оператор -> И с НВН-функцией цСО, рСО > ю íaCD.gCO)

при 1 Ъ íq> ■ 0, х регуляризовакные решения будем находить из неравенства С183. -Тогда все приведенные здесь утверждения rPí.Z сохраняется.

Если А^:Х -> ( h i 0 3 - максимальные монотонные отображения,

то на порядок роста операторов У1 сдедует наложить ограничение вида: 1У1- < sCjxfJ, Ас, х е ÜJ, где *С О - НВН-фуккаия. Найдем масг ггабнус фушиш) (¿O J maxi aCO,g(OrxCD У прк t i íq > 0 ж рассмотрим операторный метод регуляризации вида

<■ /х -i- alßx - f6, г - х > i 0, vz e Üg, x e ü^ (203

Пусть Jí - Е-простраястзо, б/а —¿ 0, h/a --> 0, tr/a -> 0 при

a —> о, тогда последовательность решение С20) сильно сходится в X £ минимальному по карие решение £43.

В гильбертовом пространстве при приближенном задания множества D

(условие близости CIS)) принцип невязки в форме

рСой = = fit + с + 8С8х£ЗЖ5+/1-|-ст.?р, к > 1, р е СО,И,

где - решение С17), есть регуляризиругвшй алгоритм, удовлетворяющий достаточным условиям сходимости операторного метода регуляризации для вариационных неравенств.

При условии, что - Xts-i, X > 0, в > 2 можно построить принцип невязки и з банаховом пространстве. Все утверждения этой главы справедливы и для произвольных монотонных отображений /I а Да сходи-днмссть операторного метода имеет место и при-полумснотонности приближений Z1.

Цель главы V "Применение операторного метода регуляризации к решении некоторых задач"- .показать возможность использования результатов глав II-IV для получения устойчивых' алгоритмов решения ряда известных нелинейных некорректных проблем.

В rp5.1 дается регулярнзируюшй алгоритм для задачи вычисления значения неограниченного полуыонотоянего оператора А:Х-. Устойчивые алгоритмы нахождения лсевдорешений уравнения CD с максимальным монотонным оператором А получены в.я^З. 2. Предполагается,что уравнение С13 неразрешимо,и RCA) -.замкнутое а X множество.Свойства максимальных монотонных отображений позволяет заключить, что з этих условиях Jtao-жестзо псевдорешеяий С13 непусто. '

Пусть А:И->2^ , ^приближения к псевдорешеншэ .(13 находим либо

уравнения (103, либо из неравенства Су- у^ * ах^ - у J < С, а > 0, уу б RCA), € Ах^ . ¡¡ля каждого случая дая способ выбора параметра а. Последний алгоритм распространяется на банаховы пространства, допускает приближенное задание оператора.

В 71%. 3 решается задача мянимизацди собственного выпуклого полуне-

прерывного снизу функционала <р: X-> $ на решениях уравнения (1) с

максимальным монотонным оператором Л.-Х —

Операторный метод регуляризации для уравнения (13 в предположении, что ошибки данных есть случайные величины, рассматривается в гРз.А. Здесь мы исходим из следующих требований на регуляризирусаий алгоритм: для каждой реализации данных необходимо иметь корректную задачу, регу-ляризованкые решения должны быть измеримы,' чтобы можно было найти их вероятностные характеристики. Лается способ выбора типа С9) функции аСыЭ такой, что

/ ф -> х* при |<?Сса>!р -> 0, |Л£ыЭ|р-> 0, где о> € П -

полное вероятностное пространство с мерой |. | - норма в ¿Рсп.йЪ,

- /Ц < бГщЗ, цАыЗх - Ах| < ¿СЦхрЬСиЗ, /СыЗ, АоО - приближения к / а Л соответственно, Л и АохЗ - монотонные непрерывные отображения из X в X*; х^Сьл3 - решение уравнения АиЗхСыЗ + аСьОихСиО -

Разнообразие информации о некорректной задаче С13 породило и многообразие методов ее решения. В главе VI "Другие методы регуляризации нелинейных неустойчивых монотонных задач" строятся неоператорные методы регуляризация. ■

Пункт 8.1 посвяаен методу квазирешевий для строго монотонного уравнения (1). Под квазирешекиеи (1) понимается элемент Хд е М, удовлетворяющей неравенству с Ах - /, х0 - х > 3 0, ух е К, тле М с ¡ХА3, Н г выпуклый компакт, * 0. Показано, что задача нахождения квази-ревения устойчива к ошибкам А, / г Н, обосновано применение проекционного метода для кахо:иения квазирешекий, установлена эквивалентность . метола кваз»решений операторному методу регуляризации.

£яя нелинейного монотонного А множество $ = ( хеХ / 5 6),

в обвеы случае невыпупло. Поэтому в основу построения метода невязки

Ссравни с [36]) для монотонных нелинейных уравнений легла идея расширения области минимизации регуляризатора, а именно, в гРв.2 предлагается следующая форма метода невязки: определим-последовательность У,

еде ■

• = аш < Их}3 / хеО5;, з г 2, С213

Ъб ={ х0е 6 / <Ах - ¡г,х0 - х > < 6М, ух ч 6 }, С223

5 - выпуклое замкнутое ограниченное множество в ОСА), М п 6 = * 0, I - ¡множество реиений С1) , с 10.710 £ Я,причем величина.з подбирается так, ггобы функционал ЦхЦ3 был равномерно выпуклый на X.

ТЕОРЕМА 4. Если N п * 0, 0 а Нв, X - ¿"-пространство, то зада-

1а С21), С223 имеет единственное решение а / —> х* при 6 -■> О,

де х* - элемент с минимальной нормой из И^. ■ Получены достаточные условия сходимости проекционного метода для 213,(22), доказана эквивалентность метода невязки операторному методу егуляризашга.

Показано, что приближения к решение (1) можно вайтн как точхи ма~ имума некоторого равномерно выпуклого сглажиЕаюиего функционала, ели А - нелинейный монотонный оператор.

В п^б. 3, получены достаточные условия слабой сходимости проксимального алгоритма Рокафеляара для уравнений с максимальными монотонными зераторами в банаховом пространстве, а в тРб. 4 исследуется сходимость банаховом пространстве метода чезаровстсах средних. .Наконец, осматривается йтератиьяая регуляризация метода Ньютона-Канторовича.

и банахова пространства з следующей форме: Ахп + А,(хпХхп+^- х^У * - /•

Предметом изучения седьмой главы "Приближенное решение регуляризо-1ННОЙ задачи" являются проекционные % атерашюнние методы, •мечается сходимость прекциояных методов' для регулярязояанных урав-*ниа и неравенств в условиях сходимости операторного метода регуля-

1?

ризацкк. Пусть регуляризоваяное уравнение С7) решается методом простой итерации

zn+i= 2п ' 1пСА\ + " f6^ 1т. > °> ' -> И - непрерывный монотонный оператор, {i^) - некоторая последовательность, удовлетворяющая условиям сходимости zr -j> х^ при

а ->.оо. Считаем также, что выполнены достаточные условия сходимости

операторного метода регуляризации. В rPl. i доказано утверждение: если , останов в (23) проводить на первом номере п - пСу), для которого выполняется неравенство

- 1пс[6 * ^Ч^3' с > czi}

то —:—х* при г -•> 0. Правила останова типа (24) обоснованы

для монотонных и ахкретивных уравнений в банаховом пространстве, а также для вариационных неравенств в банаховом пространстве. В пР7.2 устанавливается сходимость со скоростью геометрической прог-. рессии итерационного процесса = х^ - £n<4xn, tn > 0, для аккре-

тиьного уравнения Ах = 0 при различных способах построения ~ после- -довательяости <1п>, отмечена-возможность применения этих утверждений при решении регуляризоЕанной задачи. Из-за отсутствия скалярного про- . взведения в банаховом пространстве фундаментальную роль ь этих исследованиях играют геометрии пространств X и X*. Заключительный 3 работы посвящен изучению сходимости в банаховом пространстве методов высокого порядка: метода Нызтона-Какторовича и метода с кубической скоростью сходимости.

Метод Ньютона-Канторопича для уравнения

Ах + Ы/*х = / . С 25)

определяется соотношением: ÂxJl +A,Cxn)(xnfj-x^+ai/x^ » й s < 3,

получены условия, при которых имеют место оценки : ' »

>*cf T = i^S'O, С > О, О С Q <1,

Их - x J i г cf^1, здесь x„ - решение уравнения C253. а 71 t=n-i a ■

Построим в X последовательность ix^:

= % - CfifxM>xA - xk = ХЧ - iBCxA,xk- /ЗГЗх^Г^х^.

где I - дуальное отображение в Xх, (3 - некоторое число, Кх.уО - разделенная разность первого порядка оператора В = 4 + а//3, 2 < s <' 2,5.

Получены достаточные условия сходимости х^ -•> xQ со скбростьс

J*jT xai < с > 0, 0 < q < 1, y - 5 - 2s.

x - решение уравнения fix = 0. При s = 2 (случай гильбертова пространства) у = 1, и имеем кубическую скорость сходимости.

В заключении перечислены основные результаты диссертация, которые и выносятся на защиту.

1. Установлена сходимость операторного метода регуляризации для монотонных уравнений и вариационных неравенств в гильбертовых и банаховых пространствах при приближенном задании данных. Для некоторого класса задач найдены оценки скорости сходимости. Получены достаточные условия существования решений регуляризованных уравнений с произвольными 'монотонными и аккретивными операторами я регуляризованных вариационных неравенств с произвольны!® полу-¿онотонными отображениями.

2. Обоснован Еыбор пара! ?тра регуляризации из принципа невязки !обобщенной невязки) при известных уровнях ошибок- данных задачи (ля монотонных уравнений а вариационных, неравенств. Показано, что финцип невязки есть .регуляризнрующий алгоритм, удовлетворяющий дос— 'аточным условиям' сходимости операторного метода регуляризации. Исследована возможность- выбора параметра регуляризации и в том лучае, когда неизвестны оценки возмудений данных. В гильбертовом ространстзе в этой ситуации изучен принцип квазиоптимальности, -для анахсва пространства построек новый алгоритм, исследована воз-ожяость выбора пара!.(етра регуляризации из принципа минимальных евязок. Разработанная для исследования сходимости операторного етсда рег/ляризаоии методика применяется при решении следующая

классических некорректных задач: а) вычисление значения неограничен. ного полумонотонного оператора, б) построение алгоритмов нахождения псеваорешений монотонных уравнений, в) нахождение точки минимума выпуклого функционала на множестве решений монотонного уравнения, г) исследование сходимости операторного метода регуляризации при случайном характере ошибок данных.

3. Существенно используя свойство монотонности оператора, удалось модифицировать методы невязки и квазирешений для монотонных уравнений. Локазана возможность применения для монотонного нелинейного уравнения метода сглаживающего функционала, сводящегося к корректной задаче минимизации равномерно выпуклого функционала, в котором обычно присутствующий квадрат невязки уравнения заменен некоторым специальным образом построенным функционалом. Показана эквивалентность всех, исследованных вариационных методов операторному методу регуляризации. Исследована сходимость сяедуваях методов итеративной регуляризации для монотонных уравнений в банаховом пространстве (ранее известных только' в случае гильбертова пространства): проксимальный алгоритм, .метод чезаровских средних, итеративная регуляризация метода Ньютона-Канторовича.

4. Получены достаточные условия сходимости проекционных методов для методов квазирешений и невязки, для-регуляризованных аккретиькых Ш-монотонных) уравнений. Доказана сходимость методов высокого порядка (метода Ньютона-Канторовича и метода с кубической скоростью сходимости) для монотонных уравнений, нестационарного итерационного процесса и метода с минимальными невязками для аккретивных уравнений. Построены' правила останова в методе простой итерации при решении регуляризовакяой задачи С операторного уравнения и вариационного неравенства ) в гильбертовых и банаховых пространствах.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕКЕ ¿ИЗСЕРГАПЖ

1. Рязанцева И. П. О построении регуляризир'утвих алгоритмов для уравнений с монотонными операторами/ЛЬв. вузов. Математика. -1931.-МЗ. -С. 39-43. . .

2.' Рязанцева Л П. О вычислении значения полунонотснного неограниченного оператора^/Ред. СЖ-Новосибирск,1981,-11с.-Леп. в ВИНИТИ за И3237-811еп..

3. Рязанцева Я П. Вибср параметра регуляризации для нелинейных уравнений с монотонным приближенно заданным оператором //№зв. зузов. },&тгматпка.-1382.--^.-С. 4S-53.

I. Рязанцева И. П. О принципе невязки для нелинейных задач с монотонными операторами//Дифференц. ур-яия. -1S83. -Т. 19, ÎÎ6. -С. 1079-1080.

3. Рязанаева И. П. О решения вариационных неравенств с монотонными операторами методе« регуляризации//!, вычисл. матем. и матем. физ,-1983. -Т. 23. ?42. -С. 479-483. ' '

I. Рязанцева И. П. Операторный метод регуляризации для некорректных задач оптимального плакирования с монотонными операторами//Рзд. СОТ. -Новосибирск, 1383. -12с, -Лея. з ВИНИТИ за ?«£042-83Деп.

'. Рязанцева И. П. Вариационные неравенства с мскстсиными операторами на множествах, заданных приближенно//!, вычисл. матем. я матем. физ. -1384. -Т. 24, -С. 922-526.

. Рязанцева И. П. О внссре параметра регуляризации при решении нелинейных задач с монотонными оператораыи//Иза.вузов.Математика.-1985.-•Ц. -0. 55-57.

9, Рязанцева ЯП,' Об оансы правиле останова при решении нелинейного монотонного уравнения.-Труды Эсес. '¿¡колы-семинара по яекоррект-. нкм задачам. -Саратоз: СГУ. -1985. -С. 123-123.

3. Рязанцева Л. П. О нелинейных операторных уравнениях с аккретивнамя отобрзхеккля1//1Ьз. зузов. Математика. -1985. -Ml. -С. 42-46. .

L. Рязанцева И. П. О правилах останова при решении нелинейных некорректных задач//Автоматзка я телемеханика. -198S. -rflO. -С. 27-30. Рязанцева ЯП. О квазиоптимальнсм выборе параметра регуляризации яри решения нелинейных ур мнений с монотонными операторами//!! .вычисл. матем. я матем. физ. -1Ô86. -Т. 20, НИ.-С Л731-1733.

Î. Рязанцева И. П. О регуляризнрутзаих алгоритмах юх уравнений с *монотонными отосражениями при случайных помехах//Изs. вузов. .Чатгыатя-;са. -1987. -«12. -О. 39-63.

Рязанцева И. П. Итерационный методы тала Нытзна-Каятсровича прз решении нелинейных некорректных задач с монотонными операторами// Яифференц. уравнения. -1987. -Т. 23, ill 1. -G. 2012-2014. -Рязанцева И. П. О сходимости средних итераций для нелинейных îxoeo-тонных уравнений в банаховой простралстзе//Езстлик МГУ. Сзрия 13. -■ 1987. -ÏÎ4. -С. 61-53.

. Рязанцева ЯП. Метод невязка в нелинейных.-.мястсншп залачах//Рэд. ж. йзз. вузов, Математика. -Казань, 1S87. -14с. Isa. s ВИНИТИ за-î!7520-B87. 01

17. Рязанцева К. П. О нестационарных итерационных методах решения нелинейных уравнений с аккретивными операторами в банаховом прсстраи-стве//?ед. ж. йзв. вузов. Математика.-Казань, 1987. -7с. Леп. в ВИШГГИ за W7551-B87.

18. Рязанцева И. П. Метод с минимальными невязками б банаховом прост-раЕстве/'/Гсрький, 1937. -8с. Леп. в ВИНИТИ за № 482-В88.

19. Рязанцева И. П. О некоторых итерационных процессах в банаховом пространстве.-Межвузовский сб. "Ус ловко-корыстные задачи матем. тиз.

к анализа".-Красноярск: КГУ, 1988.-C.25S-262.

20. Рязанцева И. П. Устойчивый метод нахождения псеьдсрешений нелинейных уравнений с монотонными Ьператорами//Дифференц. уравнения. -1982. -Т. 25, N8. -С. 1457-1459. * ' •.

21. Рязанцевг И. П. Об одном алгоритме решения нелинейных монотонных уравнений с неизвестной оценкой ошибки еходных данных//!, екчисл. матем. и ыатек. физ. -1989. -Т. 23, N10. -С. 1572-1576.

22. 'Рязанцева И.О. Об устойчивых методах нахождения псевдорешений уравнений с монотонными отображениями.-Тезисы докл. III Всес. конф. "УслоЕво-корректные задачи мате*;, физ. и анализа". Алма-Ата, 1989.-С.76. ' ' -

22. Рязаниеьа И. П. К вопросу о решении выпуклых задач минимизации// Ред. г. йзв. вузов. Матем.-Казань, 1990.-13с. Леп. в ВИТИНИ за ■ К2428-В30. -

24. Рязанцева К. П.. 0 некоторых правилах останова в нелинейных зада-чах//Ред. СМЖ.-Новосибирск, 1990.-12с. Леп. в ВИЖГИ за NS32-B90.

25. Рязанцева' И. П. О нахождении псевдорешений нелинейных уравнений с монотонными операторами//Ред. ж. Изв. вузов! Матем.-Казань, 1990. -13с. Леп. в ВИНИТИ за N2429-B90.

26. Рязанцева К. П. -О принципе минимальных невязок в нелинейных монотонных задачаX//3L вычисл. матем. и матем/физ.-1991.-Т. 31 ,NS.-С. 777-781.

27. Рязанцева И. П. Операторный метод регуляризации нелинейных монотонных некорректных задач. -Тезисы докл. Межд. конф."Некорректно поставленные задачи в естественных науках", Москва: 1991.-С.230.

' 28. Рязанцева И. П. О существовании решений вариационных неравенств с немонотонными отображениями.-Тезисы докл.IX Коллоквиума "Современный групповой анализ. Методы а приложения". Н. Новгород,1991.-С. 41.

29. Рязанцева И. П. О методе А. Н. Тихонова в нелинейных монотонных задачах// I. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. -Т. 32. -Н8. -С. 1330-1331.

3Q. Рязанцева И. П. On operator method of régularisation of nonlinear monotone ill-posed problems.-Ill-Posed Problems in Natural Sciences.-Proc. Inter. Conf. Held in Moscow. - August 19-25, 1991.-Hoscovc 1991.-P. 149-154.

31. Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Вариационные неравенства и принцип невязки.-Тезисы конф. "Численное решение краевых задач и интегральных уравнений".-Тарту, 1981.-С. 86-63.

32. Альбер Я. И., Рязанцева И. П. Вариационные неравенства с разрывными монотонными отображениями//Докл. АН СССР.-1982.-Т. 262, ffô.-С. 12S9-12S3.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

3. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач//Докл. АН СССР. -1943. -Т. 43.-С. 195-193.

1. Лаврентьев M. М. О некоторых некорректных задачах математической физики.-Новосибирск: СО АН СССР, 1962.-92с..

3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. - М. : Наука, 1979.-285с.

3.. Иванов Б. К., Васин В. В., Талана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. -М. : Наука, 1978.-206с.

7. Лаврентьев M. М. Условно - корректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУ, 1973.-71с.

3. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. -М.-. МГУ, 1988.-216с.

3. Еакушинский А. 5., Гончарский А. В. Итеративные методы решения не- ' корректных задач. -М. : Наука, 1989. -128с.

). Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи//Итоги науки я техника. Математический анализ. Т. 19.-Ч. : ВИНИТИ, 1973. -С.129--178.

.. Ласковец O.A. Теория и методы решения некорректных задач// Итоги науки и техники. Математический анализ.Т.20.-М.: ВИНИТИ, 1382.-С. 116-178. ;

Лискозвц O.A. Вариационные методы решения неустойчивы! задач.-Минск: Наука и техника, 1201.-343с. -

2S

43. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1981. -400с.

44. Абрамов A.A., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содерха-скх разрывные монотонные преобразования//!, вычисл. матем. и матем. физ. -1972. -Т. 12,N1. -С.204-207.

45. Альбер Я. И. Методы решения нелинейных операторных уравнений и вариационных- неравенств в банаховых пространствах: Дис... д. ф. -к. н. -Горький, 1985. -315с.

46. Гласко В.Б., Криксин Ю. А. О принципе квазиоптимальности для линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.-1984.-Т.24,N1. -С. 1603-1613.

47. Тихоное А. Б. О задачах с неточно заданной информацией// Докл. АН СССР. -1983. -Т. 220, КЗ. -С. К39-562.

Подп к печ. 09.П.95. Формат 60х842/1б. Бумаге газетная. Печать 0ÍCSTH8H. Печ.л. 1,5. Тираж 100 зкз. Заказ 233. Бесплатно.

Полиграфическая база НШ. 603155, Н.Новгород, ул; Цкнииа, Zk.