Оценки скорости сходимости итерационных методов для некорректных операторных уравнений с истокообразно представимыми решениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ

СХОДИМОСТИ С ДАННОЙ СКОРОСТЬЮ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ.

§ 1. Класс методов аппроксимации решений линейных некорректных операторных уравнений.

§2. Необходимые условия сходимости со степенной скоростью методов аппроксимации решений линейных некорректных операторных уравнений с точными данными.

§3. Логарифмические оценки скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных некорректных задач с точными данными.

§4. Прямые и обратные теоремы о скорости сходимости методов регуляризации для уравнений с приближенной правой частью.

§5. Примеры исследования скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных некорректных уравнений.

§6. Обсуждение результатов главы 1.

ГЛАВА 2. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НА

ОСНОВЕ СХЕМЫ ГАУССА-НЬЮТОНА.

§ 1. Класс методов итеративной регуляризации.

§2. Невырожденные оценки скорости сходимости методов итеративной регуляризации.

§3. Необходимые условия сходимости методов итеративной регуляризации со степенной скоростью.

§4. Необходимые и достаточные условия сходимости метода А.Н. Тихонова со степенной скоростью.

§5. Примеры итерационных процессов.

§6. Обсуждение результатов главы 2.

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕКОРРЕКТНЫХ

ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Класс итерационных методов градиентного типа с проектированием.

§2. Устойчивые градиентно-проекционные методы с приближенной реализацией операции проектирования.

§3. Примеры аппроксимирующих семейств для операторов проектирования.

§4. Устойчивый градиентно-проекционный метод с постоянным проектором.

§5. Устойчивые итерационные процессы на основе регуляризации метода Гаусса-Ньютона.

§6. Обсуждение результатов главы 3.

Теория некорректных задач и численных методов их решения - активно развивающееся направление вычислительной математики, имеющее разнообразные приложения во многих областях естествознания и техники. Некорректно поставленные задачи естественным образом возникают в процессе математического моделирования в геофизике, астрофизике, компьютерной томографии, при обработке и интерпретации данных физических экспериментов (см., например, [1; 10, гл.У; 20, §§2.1, 4.2; 27; 50, гл. I; 54; 64, с. 18-30; 66, гл.6]). Задачи обращения классических интегральных преобразований (Фурье, Лапласа, Радона) также зачастую оказываются некорректными [54; 57; 58; 64, гл.5]. Интенсивное развитие теории некорректных задач во многом обусловлено появлением в последние десятилетия высокопроизводительной вычислительной техники. Как правило, эти задачи формулируются в виде операторных уравнений, зачастую нелинейных, или задач минимизации нелинейных функционалов, а также задач вычисления значений неограниченных операторов. Поскольку источником исходных данных на практике нередко служат измерения и эксперименты, операторы получаемых уравнений обычно бывают известны с той или иной погрешностью.

Корректность или некорректность постановки задачи является одной из основных ее характеристик, определяющих спектр численных методов решения этой задачи. Объектом изучения в работе являются операторные уравнения

F(x) = 0, jcetfj, (1) где F :Н] —> Н2 - нелинейный дважды дифференцируемый по Гато оператор, Я,, Н2 - гильбертовы пространства. Непрерывная обратимость производной

F'(x), либо оператора F'* (x)F'(x) не предполагается, так что (1) является в общем случае некорректной задачей (см. ниже определение 1). Пусть зафиксировано метрическое пространство (Г, р), которому принадлежат точный оператор F(x) и все допускаемые к рассмотрению его аппроксимации.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 ([64, 66]). Говорят, что задача (1) поставлена корректно по Адамару в паре пространств (Н\,Н2), если выполняются следующие условия:

1) уравнение (1) имеет единственное решение;

2) это решение непрерывно (в смысле метрики р на F и нормы пространства Нх) зависит от оператора F(x) при его вариациях в пределах пространства F.

Если нарушается хотя бы одно из условий 1), 2), то задача (1) называется некорректно поставленной.

Согласно определению 1, малые погрешности в задании оператора F(x), определяющего корректную задачу (1), мало влияют на решение (1) и в этом смысле с вычислительной точки зрения неопасны. Напротив, некорректно поставленные задачи чувствительны к погрешностям в исходных данных, так как малые вариации оператора F(x) могут привести к значительным изменениям решения или даже превратить исходное уравнение (1) в несовместное. Основным понятием теории некорректных задач является понятие регуляризирующего алгоритма. Следуя [64, 66], приведем соответствующее определение в необходимой нам форме. Считаем, что вместо точного оператора F(x) в (1) известно его приближение F е F, такое что p(f,f}<S , где величина 8> О характеризует погрешность аппроксимации F(x) и предполагается заданной. Пусть X* - множество решений уравнения (1). Всюду в работе предполагается, что X* Ф 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Регуляризирующим алгоритмом для задачи (1) называется оператор R : F х [0, со) —» Ну, ставящий в соответствие паре

F x [0,oo) элемент R(F,S) e Hl таким образом, что для некоторого элементах еХ*, х =х (F), выполняется равенство lim sup R(F,S)-x* -0.

FeF:p(F,F)<S

2)

Здесь и далее в работе через р| обозначается норма элемента хеХ в пространстве X, вид которого обычно ясен из контекста. Из (2) следует, что элемент xs - r{f,8) может быть выбран в качестве приближенного решения задачи (1), соответствующего приближенному оператору F(x) и уровню погрешности 8.

Впервые понятие регуляризирующего алгоритма было сформулировано А.Н. Тихоновым в [62, 63], после чего теория приближенного решения некорректных задач оформилась как самостоятельная ветвь вычислительной математики. Современное состояние теории и методов решения некорректных задач подробно освещено в [10, 16-18, 22, 28, 30, 50, 52, 53, 64-66].

Проблема практического построения регуляризирующих алгоритмов для того или иного класса некорректных уравнений имеет непосредственный прикладной интерес. Значительное место среди разрабатываемых численных методов решения уравнений (1) занимают регуляризирующие алгоритмы, построенные на базе итерационных процедур. Существуют различные пути использования итерационных конструкций при решении некорректных задач. В теории линейных некорректных задач ([10, 16, 22, 28, 52, 53, 64]) объектом изучения являются уравнения (1) с оператором где А\Нх-> Н2 - линейный непрерывный оператор. Здесь широкое распространение получил подход, согласно которому вначале фиксируется некоторый базовый итерационный процесс, сходящийся в случае корректно поставленной задачи (1), а в случае некорректного уравнения (1) с

F(x) = Ax-f,

3) приближенным оператором F{x)~ Ах - f в качестве элемента R{F,8) берется результат работы N(S) шагов базового процесса При этом число итераций N(8) указанного процесса выбирается в зависимости от уровня погрешности 8 так, чтобы было lim N{8) = со и оператор О

R(F,8) - xn^{F) удовлетворял условию (2). Исследование регуляризирующих алгоритмов такого типа началось еще в 60-е годы. Тогда же было установлено, что многие классические итерационные методы для решения линейных операторных уравнений могут быть успешно использованы в качестве базовых для построения регуляризирующих алгоритмов. Эти классические процессы должны быть лишь дополнены соответствующими правилами останова в зависимости от величины погрешности входных данных (см. подробнее в [10, 16, 22]).

Определенное продвижение имеется в настоящее время и в проблеме конструирования итерационных регуляризирующих алгоритмов для нелинейных уравнений (1). В этом случае непосредственно использовать классические итерационные схемы не удается. Для нелинейных уравнений с монотонным оператором в пространстве Н = Нх = Н2, т.е. с оператором F :Н -»• Н, удовлетворяющим условию

F(x)-F(y),x-y)> 0 Ух,уеН, (4) в [2, 10, 15] предложен и обоснован принцип итеративной регуляризации. Указанный принцип позволяет единообразно строить и исследовать итерационные регуляризирующие алгоритмы для нелинейных монотонных уравнений на базе классических итерационных процессов, сходящихся в применении к уравнениям с равномерно монотонным оператором, т.е. с оператором, удовлетворяющим более сильному по сравнению с (4) условию

F(x) - F(y), х - у) > ||х - y\\ju(\\x - уI) \fx,y g Н. (5)

Здесь ju(t) - строго возрастающая непрерывная функция на [0,+со); //(0) = 0, lim ju{t) = да. Заметим, что уравнение (1) с оператором F(x), подчиненным

СО требованию (5) и нежестким условиям непрерывности, оказывается корректным. Трудоемкость реализации получаемых в рамках этого подхода итерационных процедур не выше трудоемкости их классических аналогов, ориентированных на уравнения с равномерно монотонным оператором. К уравнениям с монотонным оператором сводятся, например, экстремальные задачи min (р{х), где (p:Hl -> R - выпуклый дифференцируемый хеЯ( функционал. При этом оператор F(x) = <р'(х) оказывается монотонным в смысле (4). В то же время многие прикладные некорректные задачи приводят к уравнениям (1) с оператором F(x), не обладающим свойством монотонности (см., например, [10, 19, 24, 69]). Поэтому проблема разработки итерационных методов для уравнения (1) с произвольным гладким оператором, не стесненным дополнительными структурными условиями типа (4), (5), остается актуальной.

Другой подход к построению регуляризирующих алгоритмов для нелинейных уравнений (1) на основе итерационных процедур развивается в работах [23, 71, 80, 83, 86]. В частности, подробно изучался градиентный итерационный процесс (метод Ландвебера) хо еЯ,, xn+l =хп-yF'\xn)F(xn), и = 0,1,2,. (/>0). (6) Процесс (6) является реализацией метода градиентного спуска с постоянным

1 . „2 шагом в задаче min —F(x)|| ([17, с.67]). Наряду с (6) исследовались хеН\ 2 реализации методов сопряженных градиентов и квазиньютоновских методов, хорошо зарекомендовавших себя в применении к задачам конечномерного нелинейного программирования. При исследовании сходимости перечисленных методов условие монотонности оператора F{x) заменяется тем или иным требованием на характер нелинейности F(x) в окрестности решения х . Одно из таких условий имеет вид (см. [86]):

Ух&Н] :

X X (7)

F(x )-F(x)-F'(x)(x -х) < С F(x) - F(x ) с ограничениями на величину константы С. Однако, как констатируется в [19, 74, 75], в применении ко многим прикладным обратным задачам математической физики указанное требование и его аналоги из [23, 71, 80, 83] являются труднопроверяемым, либо вовсе нарушаются.

Альтернативный подход к построению и исследованию итерационных методов решения (1), позволяющий снять условия вида (4), (5), (7), развивается в [3, 4, 6, 7, 59]. В этих работах было начато исследование класса итерационных процессов хп+х =^-е{р'\хп)Р\хп\апУ\хп)(Пхп)-Р\хп)(хп-^)), (8) построенных на основе регуляризации классической схемы Гаусса-Ньютона. Конкретные процессы в рамках общей схемы (8) определяются выбором порождающей функции в{Х,а). Для обоснования сходимости и получения оценок скорости сходимости итерационных процессов вида (8) существенно используется условие истокопредставимости начальной невязки /.**.* \р X -£ = (/" (х )F'(x ))%, vetfj, р> 1/2. (9)

Основное внимание в [3, 4, 6, 7, 59] уделяется получению с использованием (9) оценок скорости сходимости рассматриваемых методов. Однако, эти исследования оставляют открытым вопрос о том, в какой степени условие истокопредставимости (9), достаточное для выполнения указанных оценок, является необходимым. Этот вопрос является одним из основных в диссертации. Его рассмотрению в работе предшествует анализ необходимых и достаточных условий сходимости с данной скоростью класса методов аппроксимации решения (1) с линейным оператором вида (3). В рамках этих ха х методов в качестве аппроксимации решения х , ближайшего к фиксированному начальному приближению ^еЯ, при А = А > 0 выбирается ха={1-Ав{А,а))% + в{А,а)/, ае(0,сх0]. (10)

В главе 1 исследуется необходимость условия степенной истокопредставимости х -Е, еr[ap^,p > 0, обеспечивающего для схемы (10) оценку скорости сходимости

Ссхр Vae(0,a0]. (11)

В этой же главе рассматриваются итерированные условия логарифмической истокопредставимости вида х* - £ е i?([ln In.(— In А)]~р |; р > 0, и устанавливается, что эти условия практически являются необходимыми и достаточными для выполнения итерированных логарифмических оценок скорости сходимости ха-х < C[lnln.(-lna)]/) Vae(0,a0] (К>\ символов In).

Развитая в главе 1 техника используется затем при исследовании скорости сходимости процессов вида (8) для уравнения (1) с нелинейным оператором F(x) общего вида. В [7] было установлено, что при выполнении условия истокопредставимости (9) и неравенства ||vj| < d{p) справедлива оценка l(p)ap V«eN, (12) где постоянные d(p), 1{р) помимо показателя р из (9) зависят от оператора задачи (1). Особенностью найденной в [7] оценки (12) является вырожденность при р —> 1/2, выражающаяся в стремлении к нулю величины d(p). Последнее означает, что при /?—>1/2 область допустимых значений управляющего параметра стягивается к неизвестному решению х . В этой связи в [7] был поставлен вопрос о нахождении для процессов (8) невырожденных оценок скорости сходимости. В главе 2 проведено уточнение результатов [7] и получены оценки вида (12), в которых величины l(p), d(p) регулярным образом зависят от показателя истокопредставимости р, так что l(p), d(p) отделены от нуля и ограничены на каждом ограниченном интервале изменения р. Здесь же исследуется семейство регуляризирующих алгоритмов для задачи (1) с приближенно заданным оператором F(x) и устанавливаются невырожденные оценки скорости сходимости этих алгоритмов. Последовательность приближений в данном случае определяется согласно (8) с заменой F(x) на приближенный оператор F(x), в качестве приближения к решению (1) выбирается элемент этой последовательности с некоторым конечным номером N = N(S); 5 - оценка погрешности в задании F(x). Устанавливается устойчивость этих алгоритмов к погрешностям в истокообразном представлении (9).

В работах [8, 9] для решения нерегулярных уравнений (1) предложен итерационный процесс градиентного типа с проектированием х0 еЯ|, хп+х = ПN (z ){xn-$-yF'\xn)F{xn))+$, (13) где у > О - шаговый множитель; £ е Нх - параметр метода, позволяющий управлять его сходимостью, а последовательность zn совпадает с хп (см. [8]), либо остается стационарной: zn-zQ ([9]). Оператор nN{zn)\Hx —>•#, есть проектор на подпространство, натянутое на собственные векторы оператора F' (x)F'(x), соответствующие собственным значениям, не меньшим N. В отличие от метода Ландвебера (6), в процессе (13) градиентный шаг в пространстве Нх сопровождается проектированием на специально конструируемое конечномерное подпространство Нх. Предполагается, что операторы F'(x), F'(x) являются вполне непрерывными для х из окрестности решения х*. Сходимость последовательности {хп}, генерируемой методом

13), в [8, 9] исследовалась в предположении, что параметр £ удовлетворяет условию nN(/)-llx*- фд.

Установлено, что приближения хп стабилизируются в окрестности решения х с радиусом, пропорциональным А и погрешности в задании оператора

С0(с>+Д). Тем самым, процесс (13) обладает

F(x), так что lim п—>0О хп X свойством устойчивости к погрешности в задании оператора F(x) и погрешности в модифицированном по сравнению с (9) "истокообразном" представлении х*-^R{nN{x*)\

Поэтому для процессов (13) проблема построения критерия останова итераций естественным образом снимается.

Устойчивым итерационным процессам указанного выше типа посвящена глава 3 диссертационной работы. Здесь исследуется семейство процессов вида (13) с zn=x0, где вместо точного проектора IJN(x0) используется его к , lim кт = 0. да—» со приближение П^"\х0) такое, что П^\х0)~ПN(x0)

Целесообразность рассмотрения подобных модификаций (13) следует из того, что обычно точное вычисление образа отличного от нуля элемента под действием проектора TIN(x0) невозможно. Изучаемый процесс имеет вид

0 *л+1 =n^\x0){xn-Z-yF'\xn)F{xn))+$ . (14)

Анализ сходимости схемы (14) проводится при условии

Яд,(х0)-/)(х*-фд, которое можно рассматривать как некоторое ослабление представления х* - <е R{nN (х0)). (15)

В этой же главе строится и исследуется модификация процесса (14) с проектированием на фиксированное конечномерное подпространство. Рассматривается итерационный процесс о е н\> *«+i = рмk -Z-У?'*(*„)F(x„))+ £, (16) где Рм - оператор ортогонального проектирования на выбранное конечномерное подпространство MczH\. Сходимость процесса (16) исследуется при условии ослабляющем "истокообразное" представление х*-£еМ. (17)

В рамках схемы (16) удается снять условие полной непрерывности оператора F'(x) и существенно упростить реализацию операции проектирования. Наряду со схемами (14), (16) исследуется семейство итерационных процессов x0eHlt хп+] =PQ^-e[Fl\xn)F{xn),aQf'\xnp{xn)-F\xn){xn -£))], (18) где Е, е Н1, а0> 0, через Pq обозначается оператор проектирования из Н] на выпуклое замкнутое множество QczH^, содержащее искомое решение л- . Для итерационных процессов (14), (16), (18) получены оценки скорости сходимости. Указанные методы вырабатывают приближения хп, стабилизирующиеся при п со к окрестности решения х*, радиус которой пропорционален погрешностям в задании оператора F{x), а также погрешностям в истокообразном представлении (9) и его модификациях (15), (17).

Перейдем к обзору содержания диссертации по главам. Работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы.

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1988. - 288 с.

2. Бакушинский А.Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. - Т. 17. -N6. - С.1350-1362.

3. Бакушинский А.Б. К проблеме сходимости итеративно-регуляризованного метода Гаусса-Ньютона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1992. - Т.32. -N9. - С. 15031509.

4. Бакушинский А.Б. Итерационные методы без насыщения для решения вырожденных нелинейных операторных уравнений // Доклады РАН. -1995. Т.34. -N1. - С.7-8.

5. Бакушинский А.Б. К проблеме линейной аппроксимации решений нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. - Т.36. - N9. - С.6-12.

6. Бакушинский А.Б. Итеративные методы для решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. - Т.З. -N3. - С.685-692.

7. Бакушинский А.Б. О скорости сходимости итерационных процессов для нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т.38. - N4. - С.559-563.

8. Бакушинский А.Б. Итеративные методы градиентного типа для нерегулярных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. - Т.38. - N12. - С.1962-1966.

9. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Необходимые условия сходимости методов решения некорректных уравнений: Тез. докл. Воронежской зимней математической школы "Современный анализ и его приложения". Воронеж: ВГУ, 2000. - С.40-41.

10. Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Об итеративных методах градиентного типа для решения нелинейных некорректных уравнений // Сибирский журнал вычислительной математики. 2001. -N4. -С.317-329.

11. Бакушинский А.Б., Поляк Б.Т. О решении вариационных неравенств // Доклады АН СССР. 1974. - Т.219. -N5. - С. 1038-1041.

12. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. - 181 с.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

14. Васин В.В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993. - 262 с.

15. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. Решение нелинейной задачи гравиметрии методами градиентного типа // Математическое моделирование. 1999.-Т.П. -N10.-С.86-91.

16. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986.-544 с.

17. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1995. -232 с.

18. Гилязов С.Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. - 120 с.

19. Гилязов С.Ф., Черный В.В. Регуляризирующий метод проекции сопряженных градиентов // Численный анализ: теория, приложения, программа. М.: Изд-во МГУ, 1999. - С.56-73.

20. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. -М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. 152 с.

21. Демьянов В.Ф. Теорема о неподвижной точке в негладком анализе и ее применение: Учебное пособие. СПб: Изд-во С.-Петербургского университета, 1996. - 136 с.

22. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. - 432 с.

23. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1994. - 208 с.

24. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 208 с.

25. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.-744 с.

26. Каплан А.А. Об устойчивости методов решения задач выпуклого программирования и вариационных неравенств // Труды ИМ СО РАН. Модели и методы оптимизации. 1988. - Т. 10. - С. 132-159.

27. Кокурин М.Ю. О необходимых условиях сходимости с заданной скоростью методов решения линейных некорректных задач // Вестник СПбГУ. Серия математика, механика, астрономия. 1997. - вып.2. -С.22-27.

28. Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач. Йошкар-Ола: Изд-во МарГУ, 1998. - 292 с.

29. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Необходимые условия квалифицированной сходимости методов решения линейных некорректных задач с точными данными: Тез. докл. конф. "Понтрягинские чтения X". Воронеж: ВГУ, 1999. - С. 130.

30. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Обратные теоремы для некоторых методов решения нелинейных операторных уравнений // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы Всероссийской школы-конференции. Казань: Изд-во "ДАС", 1999. -С. 123-124.

31. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О необходимых условиях квалифицированной сходимости некоторых методов решения линейных некорректных задач при наличии погрешностей в данных // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1999. - Т.6. - вып.1. -С.156-157.

32. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О скорости сходимости методов аппроксимации решений линейных некорректных задач при точной информации // Ассоциация математического программирования. Информационный бюллетень N8. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999. - С.159-160.

33. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Об одном классе итерационных методов градиентного типа с проектированием: Тез. докл. Международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Воронеж: ВГУ, 2000. - С. 123-124.

34. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О критериях медленной сходимости методов решения линейных уранений: Тез.докл. VI конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: МАКС Пресс, 2000. - С.39.

35. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О невырожденных оценках скорости сходимости итерационных методов решения некорректных нелинейных операторных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. - Т.40. -N6. - С.832-837.

36. Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О необходимых условиях квалифицированной сходимости методов решения линейных некорректных задач // Известия вузов. Математика. 2001. - N2. - С. 39-47.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд. -М.: Наука, 1981. 543 с.

38. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-456 с.

39. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. -М.: Наука, 1966.-500 с.

40. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

41. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. - 336 с.

42. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. - 216 с.

43. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1987.-240 с.

44. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990.-288 с.

45. Немировский А.С., Поляк Б.Т. Итеративные методы решения линейных некорректных задач при точной информации. 1,11 // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. -N2,3. - С. 13-25, 18-25.

46. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. 2-е изд. М.: Мир, 1979.-587 с.

47. Рябов В.М. Свойства квадратурных формул, применяемых при обращении преобразования Лапласа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1989. - Т.29. - N6. - С.941-944.

48. Рябов В.М. Численное обращение двумерного преобразования Лапласа // Вестник ЛГУ. Серия математика, механика, астрономия. 1990. -вып.1. - С.38-42.

49. Смирнова А.Б. Итеративные методы решения нелинейных операторных уравнений первого рода и их приложения: Дис. канд. физ.-мат. наук. -Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995.

50. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979. -416 с.

51. Титчмарш Е. Теория функций. 2-е изд. М.: Наука, 1980. - 463 с.

52. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 151. - N3. - С.501-504.

53. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Доклады АН СССР. 1963. - Т. 153. -N1. - С.49-52.

54. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-288 с.

55. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.-200 с.

56. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. -М.: Наука. Физматлит, 1995. -312 с.

57. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

58. Airapetyan R., Ramm A., Smirnova A. Continuous methods for solving nonlinear ill-posed problems // Fields institute communications. 2000. -V.25. - P.l 11-137.

59. Bakushinsky A., Goncharsky A. Ill-posed problems: Theory and applications. Dordrecht: Kluwer, 1996. - 258 p.

60. Blaschke В., Neubauer A., Scherzer O. On convergence rate of the iteratively regularized Gauss-Newton method // J.IMA. Numerical Analysis. 1997. -V.17. - P.421-436.

61. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. -Dordrecht: Kluwer, 1996. 320 p.

62. Engl H., Kunisch K., Neubauer A. Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems. 1989. -V.5. - P.523-540.

63. Deuflhard P., Engl W., Scherzer O. A convergence analysis of iterative methods for the solution of nonlinear ill-posed problems under affinely invariant condition // Inverse Problems. 1998. - V. 14. - P. 1081-1106.

64. Hettlich F. The Landweber iteration applied to inverse conductive scattering problems // Inverse problems.- 1998. V. 14. - P.931-947.

65. Hettlich F., Rundell W. Iterative methods for the reconstruction of an inverse potential problem // Inverse problems 1996. - V.12. - P.251-266.

66. Hohage Т. Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss-Newton method for an inverse potential and an inverse scattering problem // Inverse problems.- 1997. V.13. - P.l279-1299.

67. Hohage T. Regularization of exponentially ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. - V.21. - N3-4. - P.439-464.

68. Hohage Т., Schormann C. A Newton-type method for a transmission problem in inverse scattering // Inverse problems 1998. - V.14. - P. 12071227.

69. Kaltenbacher B. Some Newton-type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems. 1997. - V.13. - P.729-753.

70. Kaltenbacher B. On broyden's method for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1998.- V.19. -N7-8. P.807-833.

71. Neubauer A. Tikhonov regularization for nonlinear ill-posed problems: optimal convergence rates and finite-dimensional approximation // Inverse Problems. 1989. - V.5. - P.541-557.

72. Neubauer A. On converse and saturation results for Tikhonov regularization of linear ill-posed problems // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1997.- V.34.-N2,-P.517-527.

73. Potthast P. On the convergence of a new Newton-type method in inverse scattering // Inverse Problems. 2001. - V. 17. - P. 1419-1434.

74. Ramm A., Smirnova A. A numerical method for solving nonlinear ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1999. -V.20. - N3-4. - P.317-332.

75. Scherzer O. A convergence analysis of a method of steepest descent and a two-step algorithm for nonlinear ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1996. - V.17. - N1-2. - P. 197-214.123

76. Scherzer О. A modified Landweber iteration for solving parameter estimation problems // Applied Mathematics and Optimization. 1998. -Y.38. - P.45-68.

77. Scherzer O. An iterative multi level algorithm for solving nonlinear ill-posed problems // Numerische Mathematik. 1998. - V.80. - P.579-600.

78. Tautenhahn U. On a general regularization scheme for nonlinear ill-posed problems: II. Regularization in Hilbert scales // Inverse Problems. 1998. -V.14. - P.1607-1616.